Колебания упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидкостью
Запропоновано алгоритм розрахунку коливань пружних оболонок обертання, частково заповнених iдеальною нестисливою рiдиною. При розв’язаннi цiєї задачi враховуються хвильовi рухи рiдини на її вiльнiй поверхнi. Розв’язання задачi гiдропружностi базується на застосуваннi методу декомпозицiї областi iнте...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177297 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Колебания упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидкостью / Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 127-144 — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177297 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772972021-02-15T01:26:43Z Колебания упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидкостью Троценко, Ю.В. Запропоновано алгоритм розрахунку коливань пружних оболонок обертання, частково заповнених iдеальною нестисливою рiдиною. При розв’язаннi цiєї задачi враховуються хвильовi рухи рiдини на її вiльнiй поверхнi. Розв’язання задачi гiдропружностi базується на застосуваннi методу декомпозицiї областi iнтегрування рiвнянь теорiї оболонок з використанням варiацiйного формулювання задачi i на наближенiй побудовi зворотного оператора для гiдродинамiчної частини задачi. Побудовано узагальнений функцiонал вiдносно перемiщень оболонки, для якого умови сполучення розв’язкiв у пiдобластях вiдносяться до числа природних граничних умов. Наведено порiвняння отриманих числових результатiв з iснуючими точними розв’язками даної задачi для оболонки у формi прямого кругового цилiндра. We propose an algorithm for describing oscillations of elastic revolution shells partially filled with ideal incompressible fluid. In solving this problem, the wave motions of the fluid free surface have been taken into account. The solution of the hydroelasticity problem is based on both applying the method of decomposing the integration domain of shell theory equations with a use of variational formulation of the problem and on constructing the operator inverse to the operator of the hydrodynamic portion of the problem. We construct a generalized functional on displacements of the shell such that the coupling conditions for subregions make natural boundary conditions. We make a comparison of the obtained numerical results with existing exact solutions of the considered problem for a straight circular cylinder. 2017 Article Колебания упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидкостью / Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 127-144 — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177297 539.3; 532.5 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Запропоновано алгоритм розрахунку коливань пружних оболонок обертання, частково заповнених iдеальною нестисливою рiдиною. При розв’язаннi цiєї задачi враховуються хвильовi рухи рiдини на її вiльнiй поверхнi. Розв’язання задачi гiдропружностi базується на застосуваннi методу декомпозицiї областi iнтегрування рiвнянь теорiї оболонок з використанням варiацiйного формулювання задачi i на наближенiй побудовi зворотного оператора для гiдродинамiчної частини задачi. Побудовано узагальнений функцiонал вiдносно перемiщень оболонки, для якого умови сполучення розв’язкiв у пiдобластях вiдносяться до числа природних граничних умов. Наведено порiвняння отриманих числових результатiв з iснуючими точними розв’язками даної задачi для оболонки у формi прямого кругового цилiндра. |
| format |
Article |
| author |
Троценко, Ю.В. |
| spellingShingle |
Троценко, Ю.В. Колебания упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидкостью Нелінійні коливання |
| author_facet |
Троценко, Ю.В. |
| author_sort |
Троценко, Ю.В. |
| title |
Колебания упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидкостью |
| title_short |
Колебания упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидкостью |
| title_full |
Колебания упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидкостью |
| title_fullStr |
Колебания упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидкостью |
| title_full_unstemmed |
Колебания упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидкостью |
| title_sort |
колебания упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидкостью |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177297 |
| citation_txt |
Колебания упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидкостью / Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 127-144 — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT trocenkoûv kolebaniâuprugihoboločekvraŝeniâčastičnozapolnennyhidealʹnojžidkostʹû |
| first_indexed |
2025-07-15T15:20:28Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:20:28Z |
| _version_ |
1837726779091976192 |
| fulltext |
УДК 539.3; 532.5
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ,
ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫХ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Ю. В. Троценко
Ин-т математики НАН Украины
ул. Терещенковская, 3, Киев, 01004, Украина
e-mail: yutrotsenko@ukr.net
We propose an algorithm for describing oscillations of elastic revolution shells partially filled with ideal
incompressible fluid. In solving this problem, the wave motions of the fluid free surface have been taken
into account. The solution of the hydroelasticity problem is based on both applying the method of decompo-
sing the integration domain of shell theory equations with a use of variational formulation of the problem
and on constructing the operator inverse to the operator of the hydrodynamic portion of the problem.
We construct a generalized functional on displacements of the shell such that the coupling conditions for
subregions make natural boundary conditions. We make a comparison of the obtained numerical results
with existing exact solutions of the considered problem for a straight circular cylinder.
Запропоновано алгоритм розрахунку коливань пружних оболонок обертання, частково запов-
нених iдеальною нестисливою рiдиною. При розв’язаннi цiєї задачi враховуються хвильовi рухи
рiдини на її вiльнiй поверхнi. Розв’язання задачi гiдропружностi базується на застосуваннi ме-
тоду декомпозицiї областi iнтегрування рiвнянь теорiї оболонок з використанням варiацiйно-
го формулювання задачi i на наближенiй побудовi зворотного оператора для гiдродинамiчної
частини задачi. Побудовано узагальнений функцiонал вiдносно перемiщень оболонки, для яко-
го умови сполучення розв’язкiв у пiдобластях вiдносяться до числа природних граничних умов.
Наведено порiвняння отриманих числових результатiв з iснуючими точними розв’язками даної
задачi для оболонки у формi прямого кругового цилiндра.
Введение. Сложные механические системы, которые включают в себя тонкостенные
оболочки с жидкостью, широко используются в авиастроении, ракетостроении и дру-
гих отраслях промышленности. Имеется большое число публикаций, посвященных ре-
шению задач о взаимодействии тонкостенных оболочек с жидкостью. Обширная библи-
ография по этому вопросу приведена в книгах [1, 2]. Среди публикаций имеются и ра-
боты, в которых построены точные решения рассматриваемых задач гидроупругости [1,
3, 4]. Особо следует отметить работу [3], в которой в наиболее общей постановке по-
строено точное решение задачи о неосесимметричных колебаниях цилиндрической обо-
лочки, частично заполненной жидкостью. Численные данные этой работы могут быть
использованы для оценки точности различных приближенных методов их решения. При-
менительно к оболочкам вращения общего вида разработан ряд приближенных алгорит-
мов решения задач гидроупругости, основанных на применении методов Ритца [1, 5, 6] и
Бубнова – Галеркина [7, 8]. При их использовании в расчете произвольных оболочек вра-
щения с жидкостью основную трудность представляет выбор систем базисных функций.
При реализации метода Бубнова – Галеркина эти трудности могут быть преодолены пу-
тем его модификации, предложенной в работе [9]. На этом пути в работах [10 – 12] были
предложены оригинальные решения ряда задач. В основу численного метода решения
задач гидроупругости положено сведение исходной задачи для системы интегро-диффе-
c© Ю. В. Троценко, 2017
127 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
128 Ю. В. ТРОЦЕНКО
ренциальных уравнений к соответствующим задачам Коши, интегрируемым методом ор-
тогональной прогонки [13]. Применение метода конечных элементов к расчету упругих
конструкций с жидкостью изложено в работах [14 – 16].
Следует отметить работу [17], которая посвящена обзору публикаций за последние
пятнадцать лет по исследованию динамики, прочности и устойчивости оболочек враще-
ния, содержащих жидкость. Из приведенного анализа следует, что при решении рассма-
триваемых задач основное предпочтение при выборе метода решения отдается преиму-
щественно методу конечных элементов, что, по-видимому, связано с его универсально-
стью и наличием программного обеспечения (NASTRAN, ANSIS), которое обеспечивает
относительную простоту его применения. В то же время во многих из опубликованных
исследований авторами отмечаются значительные расхождения между эксперименталь-
ными и расчетными результатами, что указывает на необходимость улучшения теорий,
дальнейшего развития существующих, а также разработки новых методов решения рас-
сматриваемых задач.
Настоящая работа посвящена построению на основе метода Ритца приближенного
аналитического решения задачи о колебаниях жидкости в произвольных упругих оболоч-
ках вращения.
1. Постановка задачи. Рассмотрим тонкостенную упругую оболочку вращения, кото-
рая на глубину H заполнена идеальной и несжимаемой жидкостью. Предполагается, что
ускорение поля массовых сил ~g параллельно оси симметрии оболочки. При формулиров-
ке даной задачи будем использовать линейную теорию оболочек и теорию малых вол-
новых движений жидкости. Начальными перемещениями срединной поверхности оболо-
чки, обусловленными гидростатическим давлением жидкости, а также диссипацией энер-
гии при колебаниях оболочки пренебрегаем.
Введенные допущения позволяют максимально упростить постановку задачи, сохра-
нив при этом ее практическое значение. Такого рода предположения характерны для
большинства теоретических работ по динамике упругих оболочек с жидкостью [1, 2, 19].
У оболочек вращения линиями главных кривизн являются ее меридианы и паралле-
ли. В качестве ортогональных координат для произвольной точки срединной поверхно-
сти оболочки выберем длину дуги меридиана s, отсчитываемую от некоторой начальной
параллели (s1 ≤ s ≤ s2) или от полюса оболочки (s1 = 0), и угол β, определяющий по-
ложение точки на соответствующей параллели. Проекции перемещения точек средин-
ной поверхности оболочки на положительные направления ее образующей, параллели
и внешней нормали обозначим соответственно через u, v и w. Обозначим через ν, E и
h коэффициент Пуассона, модуль упругости материала оболочки и ее толщину соответ-
ственно.
Возмущенное движение оболочки с жидкостью может быть описано системой урав-
нений в частных производных теории оболочек [18, 19, 23]
Li1(u) + Li2(v) + Li3(w) =
1− ν2
Eh
Qi, i = 1, 3, (1)
где Lij — известные дифференциальные операторы тонких оболочек.
Компоненты поверхностной нагрузки Qi в направлении положительного отсчета ко-
ординат s, β и внешней нормали к поверхности оболочки имеют вид
Q1 = −ρh ∂
2u
∂t2
+ X̃1, Q2 = −ρh ∂
2v
∂t2
+ X̃2, Q3 = −ρh ∂
2w
∂t2
+ ∆P + X̃3.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ . . . 129
Здесь ρ — плотность материала оболочки, ∆P — добавочное динамическое давление
на оболочку со стороны жидкости, X̃i — компоненты вектора поверхностной нагрузки
прочих внешних сил.
Для описания движения жидкости в оболочке введем в рассмотрение потенциал сме-
щений χ(z, r, β, t). Обозначим через S срединную поверхность оболочки; через S1 по-
верхность, смоченную жидкостью; через S2 несмоченную часть поверхности оболочки;
через Σ невозмущенную свободную поверхность жидкости и через D область, занятую
жидкостью.
Потенциал смещений частиц жидкости при заданном движении оболочки в ее нор-
мальном направлении w(s, β, t) = w(p, t) определяется из решения следующей краевой
задачи [2, 19]:
∆χ = 0, (z, r, β) ∈ D,
∂χ
∂n
∣∣∣∣
S1
= w(p, t),
(
∂2χ
∂t2
+ g
∂χ
∂z
+ f(t)
)∣∣∣∣
Σ
= 0,
где ∆ — оператор Лапласа, g — модуль вектора ~g, n — внешняя нормаль к поверхности
S1 и f(t) — произвольная функция времени.
К уравнениям (1) необходимо добавить соответствующие граничные условия крепле-
ния торцов оболочки при s = s1 и s = s2. Динамическое давление со стороны жидкости
на оболочку будет определяться по формуле [19]
∆P = −ρ0
∂2χ
∂t2
− 1
Σ
∫
Σ
∂2χ
∂t2
dΣ
. (2)
При написании формулы (2) пренебрегалось несущественным гидростатическим давле-
нием, обусловленным деформацией срединной поверхности оболочки и свободной по-
верхности жидкости.
Заметим, что потенциал смещений χ должен еще удовлетворять соотношению∫
S1+Σ
∂χ
∂n
dS = 0,
вытекающему из уравнения неразрывности и закона сохранения массы несжимаемой
жидкости.
В дальнейшем удобно перейти к безразмерным величинам. Обозначим черезR0 какой-
либо характерный размер оболочки. Введем в рассмотрение следующие параметры и
безразмерные величины (обозначенные черточкой сверху):
η =
ρgR0(1− ν2)
E
, c2 =
h2
12R2
0
, a =
ρ0R0
ρh
, K =
ρR2
0(1− ν2)
E
,
t2 = Kt̄2, {u, v, w} = R0{ū, v̄, w̄}, χ = R2
0χ̄,
{Ti, S} =
Eh
1− ν2
{T̄i, S̄}, Mi =
EhR0
1− ν2
M̄i, i = 1, 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
130 Ю. В. ТРОЦЕНКО
Кроме того, отнесем к R0 также параметры Ламе, кривизны и координаты точек сре-
динной поверхности оболочки. В дальнейшем черточку над безразмерными величинами
будем опускать. В формулах (6) Ti, S и Mi — силы и моменты, действующие в срединной
поверхности оболочки [23].
Безразмерные уравнения возмущенного движения оболочки удобно представить в
следующей векторно-матричной форме:
L~U + ~f = ~X. (3)
Здесь L — матричный оператор, порожденный дифференциальными уравнениями (1) и
определенный на множестве функций ~U, которые удовлетворяют граничным условиям
закрепления краев оболочки. Трехкомпонентные векторы ~f, ~X и ~U имеют вид
~f =
ü, v̈, ẅ + aδ(p)
∂2χ
∂t2
− 1
Σ
∫
Σ
∂2χ
∂t2
dΣ
,
~X = {X1, X2, X3}, Xi =
1− ν2
Eh
X̃i, i = 1, 3,
~U = {u, v, w}, δ(p) =
{
1 при p ∈ S1,
0 при p /∈ S1.
Приведенные выше уравнения вместе с соответствующими начальными условиями
для перемещений оболочки и для волновых движений жидкости [2] однозначно опреде-
ляют связанные колебания упругой оболочки и находящейся в ней идеальной жидкости.
2. Сведение уравнений возмущенного движения оболочки с жидкостью к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений. Как и в динамике твердого тела с жид-
ким заполнением [20, 21], представим потенциал смещений жидкости в виде суммы двух
гармонических функций
χ = Φ(x, y, z, t) + Ψ(x, y, z, t), (4)
где Φ — потенциал смещений частиц жидкости, обусловленный деформацией оболочки,
при условии, что свободная поверхность представляет собой плоскость, параллельную
поверхности Σ (иными словами, отсутствуют волновые движения); Ψ — потенциал вол-
новых движений жидкости.
Функцию Φ определим как решение следующей краевой задачи:
∆Φ = 0, (x, y, z) ∈ D, ∂Φ
∂n
∣∣∣∣
S1
= w(p, t),
∂Φ
∂n
∣∣∣∣
Σ
= c(t), (5)
где c(t) — произвольная функция времени t, p — координаты любой точки срединной
поверхности оболочки.
Функцию c(t) выберем таким образом, чтобы выполнялось условие разрешимости
задачи Неймана для уравнения Лапласа (5):∫
Σ+S1
∂Φ
∂n
dS = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ . . . 131
Отсюда следует, что
c(t) = − 1
Σ
∫
S1
w(p, t) dS.
Здесь Σ — площадь невозмущенной свободной поверхности жидкости.
Приведение исходных уравнений с учетом соответствующих граничных условий к
бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений можно осуществить
методом Бубнова – Галеркина. Для реализации этого метода необходимо располагать
некоторой системой линейно независимых функций, удовлетворяющих граничным усло-
виям задачи и условиям полноты.
Введем в рассмотрение спектральную задачу с параметром в граничном условии
∆ϕk(x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ D,
∂ϕk
∂n
∣∣∣∣
S1
= 0,
(
∂ϕ
∂n
− κkϕk
)∣∣∣∣
Σ
= 0,
(6)
Краевая задача (6) описывает собственные колебания жидкости в неподвижном сосуде.
При этом квадрат частоты σ2
k k-й формы собственных колебаний жидкости связан с час-
тотным параметром κk соотношением
σ2
k = ηκk.
Все собственные значения спектральной задачи (6) действительны, положительны и
имеют единственную предельную точку, расположенную на бесконечности. В свою оче-
редь, совокупность собственных функций обладает свойством полноты на поверхности
Σ и удовлетворяет следующим условиям ортогональности [22]:
∫
Σ
∂ϕk
∂n
dΣ =
∫
Σ
ϕkdΣ = 0,
∫
Σ
ϕkϕldΣ = 0, k 6= l. (7)
Составляющую Ψ потенциала смещений жидкости (4) представим в виде разложения
в обобщенный ряд Фурье по функциям ϕk:
Ψ(x, y, z, t) =
∞∑
k=1
rk(t)ϕk(x, y, z). (8)
Коэффициенты Фурье rk(t) имеют смысл обобщенных координат, характеризующих вол-
новые движения жидкости в оболочке.
Обобщенные координаты жидкости rk(t) будем определять из динамического усло-
вия для потенциала смещений жидкости χ на ее свободной поверхности. Для этого под-
ставим в граничное условие на Σ выражения (4) и (8). Полученное соотношение умножим
на a∂ϕl/∂n и проинтегрируем его по области Σ. С учетом условий ортогональности (7) и
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
132 Ю. В. ТРОЦЕНКО
того, что функция Φ(x, y, z, t) является решением краевой задачи (5), получим следующее
уравнение относительно rk(t):
aµk(r̈k + σ2
krk) = −a
∫
Σ
∂2Φ
∂t2
∂ϕk
∂n
dΣ, k = 1, 2, . . . , (9)
где
µk =
∫
Σ
ϕk
∂ϕk
∂n
dΣ.
Далее, выберем базис для аппроксимации перемещений оболочки и составляющей
потенциала смещений жидкости Φ. Сформулируем вспомогательную спектральную за-
дачу, описывающую свободные колебания оболочки с жидкостью при условии, что сво-
бодная поверхность жидкости представляет собой плоскость, перпендикулярную про-
дольной оси оболочки. Эту задачу можно сформулировать исходя из уравнений (3). Для
этого в них следует положить ~X ≡ 0, для потенциала смещений жидкости (3) положить
Ψ ≡ 0 и отделить временную координату по формулам
[u, v, w] = expiΩt[u, v, w], Φ = expiΩt Φ, c(t) = expiΩtC.
Будем считать, что вектор-функция ~U = {u, v, w} принадлежит вещественному про-
странству H вектор-функций, удовлетворяющих граничным условиям крепления краев
оболочки. Тогда с учетом введенных обозначений сформулированная спектральная зада-
ча будет иметь вид
L~U − Ω2M~U = 0, M ~U =
u, v, w + aδ(p)
Φ− 1
Σ
∫
Σ
ΦdΣ
, (10)
∆Φ = 0, (x, y, z) ∈ D, ∂Φ
∂n
∣∣∣∣
S1
= w,
∂Φ
∂z
∣∣∣∣
Σ
= C. (11)
Можно показать, что операторы L и M являются симметричными и положитель-
ными. В силу этого на основании общих теорем теории спектральных задач [24] можно
сформулировать ряд утверждений для собственных значений и собственных функций за-
дачи (10), (11). Рассматриваемая задача имеет дискретный спектр 0 < Ω2
1 ≤ Ω2
2 ≤ . . .
. . . ≤ Ω2
n . . . , причем Ω2
n → ∞ при n → ∞. Совокупность соответствующих собственных
функций ~Ui полна и удовлетворяет следующим условиям ортогональности:∫
S
(L~Ui, ~Uj)dS =
∫
S
(M~Ui, ~Uj)dS = 0 при i 6= j. (12)
Вследствие этого произвольная квадратично суммируемая на поверхности S вектор-функ-
ция может быть разложена в ряд по системе собственных функций ~Ui, который будет
сходиться покомпонентно в средне квадратичном смысле.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ . . . 133
Таким образом, собственные функции спектральной задачи (10), (11) могут быть ис-
пользованы для сведения исходных уравнений к системе обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. При этом эта система будет иметь наиболее простой вид.
Представим перемещения срединной поверхности оболочки и потенциал смещений
жидкости Φ в виде разложений
~U(p, t) =
∞∑
j=1
sj(t)~Uj(p), Φ =
∞∑
j=1
sj(t)Φj(x, y, z), (13)
где Φj — гармонические функции, удовлетворяющие граничным условиям
∂Φj
∂n
∣∣∣∣
S1
= wj(p),
∂Φj
∂z
∣∣∣∣
Σ
= − 1
Σ
∫
S1
wj(p) dS.
Подставим разложения (13) в уравнения (3) и (9). Полученное уравнение (3) умножим
скалярно на ~Ui и проинтегрируем полученный результат по всей поверхности оболочки
S. Тогда с учетом условий ортогональности (12) будем иметь следующую систему обык-
новенных дифференциальных уравнений:
ai
(
s̈i + Ω2
i si
)
+ a
∞∑
k=1
r̈kλik = Yi,
aµk
(
r̈k + σ2
krk
)
+ a
∞∑
i=1
s̈iγki = 0, i, k = 1, 2, . . . .
(14)
Здесь
ai =
∫
S
(
u2
i + v2
i + w2
i
)
dS + a
∫
S1
Φi −
1
Σ
∫
Σ
ΦidS
wi dS,
λik =
∫
S1
ϕkwidS, γki =
∫
Σ
Φi
∂ϕk
∂n
dS, Yi =
∫
S
(
~X, ~Ui
)
dS.
С помощью формулы Грина для гармонических функций можно показать симметрию
коэффициентов λik и γki, т. е. λik = γki.
Система уравнений (14) для описания возмущенного движения упругой оболочки, час-
тично заполненной жидкостью, может быть сведена к аналогичным уравнениям, кото-
рые получены в работах [2, 19] на основе использования принципа возможных переме-
щений.
Уравнения (14) могут быть использованы для приближенного определения свобод-
ных колебаний жидкости в упругом резервуаре. Для этого следует положить
si = expiωt Si, rk = expiωtRk, Yi ≡ 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
134 Ю. В. ТРОЦЕНКО
Учитывая это и ограничиваясь конечным числом обобщенных координат, для опреде-
ления амплитуд Si, Rk и частот колебаний ω получаем однородную конечную систему
алгебраических уравнений
(
G− λ2F
)
~y = 0, ~y = {S1, S2, . . . , Ss0 ;R1, R2, . . . , Rr0} , λ2 =
(1− ν2)ρR2
0ω
2
E
.
Здесь элементы gij и fij верхней части относительно главной диагонали симметричных
матриц G и F соответственно имеют вид
gi,j = δijaiΩ
2
i , fij = δijai, i, j = 1, s0,
gi,j+s0 = 0, fi,j+s0 = aλij , i = 1, s0, j = 1, r0,
gi+s0,j+s0 = δijaµiσ
2
i , fi+s0,j+s0 = δijaµi, i, j = 1, r0,
δij =
{
1 при i = j,
0 при i 6= j.
Определение коэффициентов уравнений (14) связано с вычислением квадратур от ре-
шений спектральных задач (6) и (10), (11).
3. Применение вариационных методов для построения решений дополнительно вве-
денных спектральных задач. Для оболочек вращения компоненты перемещений точек
срединной поверхности оболочки u, v, w и потенциал смещений частиц жидкости Φ с
учетом условий их периодичности по углу β можно представить в виде
u(s, β) = u(s) cosnβ, v(s, β) = v(s) sinnβ,
w(s, β) = w(s) cosnβ, Φ(z, r, β) = Φ(z, r) cosnβ,
где n— число волн упругой поверхности оболочки и жидкости в окружном направлении,
рассматриваемое в дальнейшем в качестве параметра.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением неосесимметричных колебаний оболочки
с жидкостью при n > 0.
После отделения угловой координаты β для составляющей потенциала смещений жид-
кости Φ(z, r) будем иметь следующую краевую задачу Неймана:
∂2Φ
∂z2
+
1
r
∂
∂r
(
r
∂Φ
∂r
)
− n2
r2
Φ = 0, (z, r) ∈ Q,
∂Φ
∂z
∣∣∣∣
L0
= 0,
∂Φ
∂n
∣∣∣∣
L1
= w,
(15)
где Q, L0 и L1 — меридиональное сечение области D, поверхностей Σ и S1 соответствен-
но.
Введем в рассмотрение оператор G [25], который значениям функции w(s), заданной
на контуреL1, ставит в соответствие функцию Φ, определенную в областиQ и являющую-
ся решением краевой задачи (15). Это соответствие представим в виде
Φ = Gw.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ . . . 135
Здесь G — интегральный оператор, ядром которого является функция Грина второй
краевой задачи (15). Если область имеет каноническую форму, то эту функцию можно
построить в явном виде.
Будем считать, что вектор-функция ~U = {u(s), v(s), w(s)} принадлежит классу H
функций, определенных в точках меридионального сечения оболочки и удовлетворяю-
щих условиям крепления ее торцов. Тогда исходную спектральную задачу (10), (11) мож-
но представить в операторном виде
=(~U) = L~U − Ω2M~U = 0, M = diag {1, 1, 1 + δ(p)aG}. (16)
Решения системы интегро-дифференциальных уравнений (16), имеющей восьмой по-
рядок, должны быть подчинены соответствующим однородным граничным условиям.
Так, для абсолютно жесткого крепления края оболочки при s = s1 эти условия примут
вид [
u = v = w =
dw
ds
= 0
]
s=s1
. (17)
Для свободного края оболочки при s = s2 имеют место силовые граничные условия[
T1 = S = Q̃1 = M1 = 0
]
s=s2
. (18)
Здесь Q̃1 — обобщенная перерезывающая сила [23].
Для оболочки в форме купола при построении решений следует учитывать асимпто-
тическое поведение искомых решений при s → 0 [26].
Поскольку оболочка подвержена действию разрывной динамической нагрузки, то
для эффективного построения приближенных решений исходной задачи и обеспечения
возможности вычисления перемещений оболочки и их первых производных в каждой
точке интервала интегрирования уравнений (16) целесообразно разбить этот интервал
на две подобласти. Пусть s = ζ соответствует уровню жидкости, на который заполне-
на оболочка. Разобьем область [s1, s2] точкой s = ζ на две подобласти: G(1) = [s1, ζ] и
G(2) = [ζ, s2]. Область G(1) соответствует смоченной части оболочки, а область G(2) —
оставшейся несмоченной части. Обозначим решения исходной задачи в подобластях G(1)
и G(2) соответственно через ~U (1) и ~U (2). В дальнейшем верхний индекс во всех встречаю-
щихся функциях будет обозначать область, в которой эти функции определены. Заме-
тим, что в каждой из введенных подобластей динамическая нагрузка на оболочку будет
непрерывной функцией от s.
Для определенности будем считать, что нижний торец оболочки жестко закреплен,
а верхний — свободен. Кроме граничных условий (17), (18) в сечении s = ζ должны
выполняться граничные условия сопряжения решений ~U (1)(s) и ~U (2)(s):
u(1) = u(2), v(1) = v(2), w(1) = w(2),
dw(1)
ds
=
dw(2)
ds
, (19)
T
(1)
1 = T
(2)
1 , S(1) = S(2), M
(1)
1 = M
(2)
1 , Q̃
(1)
1 = Q̃
(2)
1 . (20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
136 Ю. В. ТРОЦЕНКО
Сформулированную задачу будем решать с помощью вариационного метода.
Эквивалентную вариационную постановку исходной спектральной задачи можно по-
лучить исходя из принципа возможных перемещений, согласно которому δΠ = δA, где
δΠ — вариация потенциальной энергии деформации оболочки [23]. Работу внешних сил
δA на возможных перемещениях оболочки можно представить в виде
δA = Ω2
s2∫
s1
[uδu+ vδv + (w + δ(p)aG(w))δw]rds.
В итоге исходная спектральная задача сведется к отысканию стационарных значений для
функционала I(~U)
I(~U) =
s2∫
s1
F (~U)rds.
Представим этот функционал в виде
I =
∫
G(1)
F (~U (1))dG(1) +
∫
G(2)
F (~U (2))dG(2). (21)
Приравнивая первую вариацию от функционала (21) к нулю, получаем вариационное
уравнение для нахождения функций ~U (k)(s), k = 1, 2. Из этого уравнения в силу про-
извольности варьирования функций в областях G(k) и на границе при s = s2 следует, что
в пределах каждой из введенных подобластей должны выполняться исходные уравнения
и граничные условия (18). Далее, если предположить, что класс допустимых функций
при s = ζ подчинен условиям (19), то условия (20) будут естественными граничными
условиями для функционала (21).
Итак, при использовании метода Ритца для решения вариационного уравнения δI = 0
аппроксимации для функций u(k), v(k) и w(k) должны выбираться таким образом, чтобы
они обеспечивали выполнение условий (19). В этом случае остальные граничные условия
задачи, кроме условий (17), будут естественными граничными условиями для функциона-
ла (21). Построение решений, заведомо удовлетворяющих условиям (19), существенно
усложняет алгоритм определения искомых функций. В связи с этим возникает вопрос о
преобразовании функционала (21) в такой функционал, для которого условия сопряже-
ния (19) были бы естественными условиями.
Теория преобразования вариационных задач создана уже давно [27], но в литературе
известны лишь немногие примеры применения ее к конкретным задачам.
Граничные условия (19) при s = ζ можно рассматривать как дополнительные ограни-
чения на задачу нахождения стационарных значений функционала I(~U). Одним из спосо-
бов учета ограничений в форме равенств является метод неопределенных множителей
Лагранжа [27]. В соответствии с этим методом введем в рассмотрение новый функционал
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ . . . 137
Π1, который имеет вид
Π1(~U, α1, α2, α3, α4) = I(~U) +
[
α1
(
u(1) − u(2)
)
+ α2
(
v(1) − v(2)
)
+
+ α3
(
w(1) − w(2)
)
+ α4
(
dw(1)
ds
− dw(2)
ds
)]
s=ζ
, (22)
где αi, i = 1, 4,— множители Лагранжа, подлежащие определению в дальнейшем. Исход-
ная вариационная задача при этом переходит в следующую:
δΠ1(~U, α1, α2, α3, α4) = 0. (23)
Преобразование функционала I в функционал Π1 достигается ценой увеличения ко-
личества неизвестных. Нужно искать стационарное значение функционала Π1 не только
по u, v и w, но и по α1, α2, α3 и α4. Эту задачу можно существенно упростить, если предва-
рительно найти явные выражения для множителей Лагранжа через сами решения ~U и их
производные. С этой целью вычислим первую вариацию функционала Π1 при свободном
варьировании функций ~U (i), i = 1, 2, и постоянных αi, i = 1, 4.
Из вариационного уравнения (23) выпишем только внеинтегральные члены при s =
= ζ. При этом будем иметь
[
δα1
(
u(1) − u(2)
)
+ δα2
(
v(1) − v(2)
)
+ δα3
(
w(1) − w(2)
)
+
+ δα4
(
dw(1)
ds
− dw(2)
ds
)
+
(
T
(1)
1 + α1
)
δu(1) −
(
T
(2)
1 + α1
)
δu(2)+
+
(
S(1) + α2
)
δv(1) −
(
S(2) + α2
)
δv(2) +
(
Q̃
(1)
1 + α3
)
δw(1)+
+
(
Q̃
(2)
1 + α3
)
δw(2) +
(
α4 −M (1)
1
) dδw(1)
ds
+
(
M
(2)
1 − α4
) dδw(2)
ds
]
s=ζ
.
Если функционал (22) принимает стационарное значение для произвольных вариаций
δ~U (i),
dδw(i)
ds
, i = 1, 2, и δαi, i = 1, 4, то из этого выражения следует, что в точке s = ζ
будут выполняться кинематические условия сопряжения (19), а также соотношения
α1 = −T (1)
1 , α1 = −T (2)
1 , α2 = −S(1), α2 = −S(2),
α3 = −Q̃(1)
1 , α3 = −Q̃(2)
1 , α4 = M
(1)
1 , α4 = M
(2)
1 .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
138 Ю. В. ТРОЦЕНКО
Из этих формул можно установить следующие выражения для множителей Лагранжа:
α1 = − 1
2
(
T
(1)
1 + T
(2)
1
)∣∣∣∣
s=ζ
, α2 = −1
2
(
S(1) + S(2)
)∣∣∣∣
s=ζ
,
α3 = − 1
2
(
Q̃
(1)
1 + Q̃
(2)
1
)∣∣∣∣
s=ζ
, α4 =
1
2
(
M
(1)
1 +M
(2)
1
)∣∣∣∣
s=ζ
.
(24)
Исключая αi, i = 1, 4, из функционала (22) с помощью установленных для них выра-
жений (24), получаем обобщенный функционал Π2, зависящий только от ~U(s). Краевые
условия (18) – (20) будут автоматически выполняться для функций, доставляющих функ-
ционалу Π2(~U) стационарное значение.
Полученный функционал служит теоретической основой для построения прямых ме-
тодов решения рассматриваемой задачи. На основе метода Ритца эти решения будут
иметь аналитическую форму.
Представим функции u(k)(s), v(k)(s) и w(k)(s), k = 1, 2, в виде следующих отрезков
обобщенных рядов:
u(1) =
N∑
j=1
xjU
(1)
j (s), v(1) =
N∑
j=1
xj+NV
(1)
j (s), w(1) =
N∑
j=1
xj+2NW
(1)
j (s),
u(2) =
N∑
j=1
xj+3NU
(2)
j (s), v(2) =
N∑
j=1
xj+4NV
(2)
j (s), w(2) =
N∑
j=1
xj+5NW
(2)
j (s).
(25)
Здесь xj , j = 1, 6N, — произвольные постоянные, подлежащие определению в дальней-
шем; U (k)
j (s), V
(k)
j (s) и W (k)
j (s) — системы координатных функций, которые определены
соответственно в подобластях G(k), k = 1, 2.
Координатные функции выберем в виде
U
(1)
j = V
(1)
j = (s− s1)Pj(x), W
(1)
j = (s− s1)2Pj(x), x =
2(s− ζ)
ζ − s1
+ 1,
U
(2)
j = V
(2)
j = W
(2)
j = Pj(y), y =
2s
s2 − ζ
− s2 + ζ
s2 − ζ
,
где Pj(z) — смещенные на единицу по индексу j многочлены Лежандра с аргументами,
которые преобразуют интервалы [s1, ζ] и [ζ, s2] в интервал [−1, 1].
Введенные системы базисных функций являются линейно независимыми и полными
функциями в соответствующих подобластях. Системы координатных функций с верхним
индексом, равным единице, подчинены граничным условиям (17).
Подставим разложения (25) в функционал Π2(~U). Из необходимых условий стацио-
нарности обобщенного функционала получим однородную систему алгебраических урав-
нений (
A− Ω2B
)
~X = 0, (26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ . . . 139
где ~X = {x1, x2, . . . , x6N}. Коэффициенты αij и βij симметричных матриц A и B приведе-
ны в работе [28].
Для вычисления некоторых элементов матрицы B необходимо знать решения следу-
ющих краевых задач Неймана:
∂2Fk
∂z2
+
1
r
∂
∂r
(
r
∂Fk
∂r
)
− n2
r2
Fk = 0, z, r ∈ Q,
∂Fk
∂z
∣∣∣∣
L0
= 0,
(
∂Fk
∂n
)∣∣∣∣
L1
= W
(1)
k , k = 1, N.
(27)
В отличие от задачи (15) граничное условие на контуре L1 содержит уже известные
функции W (1)
k , которые выбраны в качестве координатных функций для аппроксимации
нормального прогиба оболочки w(1)(s) в области G(1).
Решения краевых задач (27) для произвольной оболочки вращения могут быть най-
дены приближенно с помощью метода Трефтца, если их предварительно свести к экви-
валентным вариационным задачам для функционалов:
Ik =
∫
Q
[
r
(
∂Fk
∂z
)2
+ r
(
∂Fk
∂r
)2
+
n2
r
(Fk)
2
]
dz dr − 2
∫
L1
rFkW
(1)
k ds, k = 1, N.
В качестве координатных функций Ψj(z, r) выберем систему частных решений урав-
нения (27), которые линейно независимы и полны на любом замкнутом контуре области
Q [22]. В этом случае решения задач (27) представим в виде разложений
Fk(z, r) =
q∑
j=1
d
(k)
j Ψj(z, r), Ψj =
2nn!(j − n)!
(j + n)!
Rj P
(n)
j (cos θ). (28)
Здесь dij — произвольные постоянные, R =
√
z2 + r2, cos θ = z/R, P
(n)
j — присоединен-
ные функции Лежандра первого рода.
В результате постоянные d(k)
j в разложениях (28) будут определяться из решений ал-
гебраических систем
D~d(k) = ~γ(k), ~d(k) =
{
d
(k)
1 , d
(k)
2 , . . . , d(k)
q
}
, k = 1, N, (29)
в которых коэффициенты dij симметричной матрицыD и элементы γ
(k)
i вектор-столбцов
~γ(k) определяются по формулам
di,j =
∫
L0+L1
rΨi
∂Ψj
∂n
ds, γ
(k)
i =
∫
L1
rW
(1)
k Ψids, i, j = 1, q.
Для учета волновых движений жидкости в оболочке необходимо располагать реше-
ниями спектральной задачи (6) с параметром в граничном условии. Собственные функ-
ции и собственные значения этой задачи для произвольной оболочки вращения могут
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
140 Ю. В. ТРОЦЕНКО
быть найдены приближенно методом Трефтца, если краевую задачу (6), после отделе-
ния угловой координаты, предварительно свести к вариационной задаче. Функционал,
соответствующий этой краевой задаче, имеет вид
I(ϕ) =
∫
Q
[
r
(
∂ϕ
∂z
)2
+ r
(
∂ϕ
∂r
)2
+
n2
r
ϕ2
]
dz dr − κ
∫
L0
rϕ2ds. (30)
Функцию ϕ(z, r) представим в виде разложения
ϕ(z, r) =
q∑
k=1
akΨk(z, r),
где ak — произвольные постоянные, Ψk(z, r) — ранее введенная система координатных
функций.
Из условий стационарности функционала (30) для определения коэффициентов ak и
параметров κ получим однородную систему алгебраических уравнений
(D − κB1)~a = 0, ~a = {a1, a2, . . . , aq},
где коэффициенты матрицы D совпадают с коэффициентами соответствующей матри-
цы системы уравнений (29), элементы β
(1)
ij матрицы B1 вычисляются по формулам
β
(1)
ij =
∫
L0
rΨiΨjds.
Найденные решения для функций ~Ui(s), Φi(z, r) и ϕi позволяют определить коэффици-
енты уравнений возмущенного движения произвольной оболочки вращения, частично
заполненной жидкостью.
4. Некоторые результаты расчетов. Приведем результаты расчетов конкретной обо-
лочки вращения по предложенному выше алгоритму. В литературе известны точные
решения рассматриваемой спектральной задачи для оболочки в форме прямого круго-
вого цилиндра [3], полученные на основе использования технической теории оболочек
В. З. Власова. Численные результаты этой работы могут служить основой для оценки
точности различных приближенных методов решения данной задачи. В связи с этим ни-
же будем рассматривать оболочку вращения в форме кругового цилиндра единичного
радиуса и длины l. Будем считать, что при s1 = 0 торец оболочки жестко закреплен, а
при s2 = l — свободен.
Сначала оценим эффективность вариационного метода решения задачи, который ба-
зируется на декомпозиции области интегрирования исходных уравнений.
Положим ν = 0, 3, l = 4, ζ = 2, a = 0, h = 0, 01.
В табл. 1 приведена сходимость первых четырех собственных значений λi при числе
волн в окружном направлении n = 1 в зависимости от числа приближений N в разложе-
ниях (25). В последней строке таблицы, обозначенной звездочкой, приведены расчетные
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ . . . 141
Таблица 1
N λ1 λ2 λ3 λ4
4 0,10859 0,35024 0,63185 0,73055
6 0,10809 0,34972 0,62820 0,72974
8 0,10795 0,34965 0,62802 0,72971
10 0,10790 0,34964 0,62798 0,72971
12 0,10789 0,34964 0,62798 0,72970
14 0,10789 0,34964 0,62798 0,72970
∗ 0,10789 0,34964 0,62798 0,72970
Таблица 2
N w(±) w
′
(±) w
′′
(±) w
′′′
(±)
10 0,47179 0,28728 −1,0113 18,080
0,46409 0,25086 0,95644 20,146
14 0,46880 0,27533 0,06156 −2,1897
0,46885 0,27441 −0,01540 2,0808
18 0,46882 0,27503 0,02374 −0,16744
0,46882 0,27502 0,02139 0,05579
22 0,46882 0,27502 0,02245 −0,03317
0,46882 0,27502 0,02268 −0,07860
26 0,46882 0,27502 0,02256 −0,05672
0,46882 0,27502 0,02256 −0,05506
30 0,46882 0,27502 0,02256 −0,05587
0,46882 0,27502 0,02256 −0,05590
величины, полученные на основе точного решения рассматриваемой задачи [3]. Значе-
ния нормального прогиба w(±) по первой форме колебаний оболочки и их первых трех
производных при различном числе приближений N в разложениях (25) представлены в
табл. 2. Здесьw(+) = w(2)(ζ) (верхние строки) иw(−) = w(1)(ζ) (нижние строки). Анало-
гичные обозначения имеют место и для производных. Вектор ~X алгебраической системы
(26) нормировался таким образом, чтобы w(l) = 1.
Приведенные вычисления показывают, что данный метод решения исходной задачи
обеспечивает поточечную сходимость для решений и их первых трех производных как
внутри областей G(1) и G(2), так и на их границах. Кроме того, результаты табл. 2 свиде-
тельствуют о точности выполнения кинематических и силовых условий сопряжения при
использовании обобщенного функционала для решения даной задачи.
В соответствии с работой [3] рассмотрим оболочку с параметрами
l
R0
= 6, 06, ν = 0, 29,
R0
h
= 150, a = 19, 2, η = 0, 126 · 10−7.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
142 Ю. В. ТРОЦЕНКО
Таблица 3
λi s0 r0
0 1 2 3 4
λr0+1 1 0,02062 0,02071 0,02072 0,02072 0,02072
5 0,02062 0,02071 0,02072 0,02072 0,02072
λr0+2 2 0,07459 0,08171 0,08231 0,08250 0,08258
3 0,07459 0,08160 0,08219 0,08237 0,08245
4 0,07459 0,08152 0,08209 0,08226 0,08234
5 0,07459 0,08152 0,08208 0,08226 0,08233
λr0+3 3 0,14864 0,15176 0,15193 0,15197 0,15199
4 0,14864 0,15157 0,15170 0,15173 0,15174
5 0,14864 0,15156 0,15169 0,15172 0,15173
Значения параметров n и ε = H/l варьировались. Решение спектральной задачи (6)
можно получить методом разделения переменных.
Спектр частот колебаний рассматриваемой механической системы имеет две ветви.
Первая ветвь λ1, λ2, . . . , λr0 связана преимущественно с волновыми движениями жидкос-
ти, а вторая λr0+1, λr0+2, . . . , λr0+s0 — с деформациями срединной поверхности оболочки.
Для рассматриваемых параметров оболочки низшие частоты преимущественно волно-
вых движений жидкости близки к соответствующим частотам колебаний жидкости в аб-
солютно жестком цилиндре.
В табл. 3 приведены первые три частоты преимущественно упругих колебаний обо-
лочки при n = 2, ε = 0, 25 в зависимости от числа членов r0 и s0 в разложениях (8) и (13).
Данные этой таблицы свидетельствуют о достаточно быстрой сходимости предложенно-
го алгоритма решения задачи. При получении приведенных выше результатов в рядах
(25) и (28) удерживалось соответственно такое количество членов N и q, при которых в
найденных значениях частот λ было бы не меньше шести верных значащих цифр. Эти
условия выполняются при N = 14 и q = 10.
Сравнение полученных расчетных и точных табличных данных работы [3] свидетель-
ствует об их полном совпадении.
Характер изменения преимущественно упругих низших частот λr0+1 в зависимости от
числа волн n в окружном направлении и параметра заполнения оболочки жидкостью ε
(0 ≤ ε ≤ 1) показан на рисунке. При ε < 0, 125 частоты близки к частотам колебаний
оболочки без жидкости, а при ε > 0, 9 — к частотам оболочки, целиком заполненной
жидкостью.
Предложенный выше алгоритм может быть использован для расчета частот и форм
колебаний произвольных оболочек вращения, частично заполненных идеальной жидко-
стью.
Заметим, что решение нелинейной краевой задачи для области с переменными грани-
цами о немалых колебаниях жидкости в абсолютно жестких резервуарах известными ме-
тодами [29] сведено к решению некоторой последовательности линейных краевых задач
для области с фиксированными границами. В связи с этим полученные в данной работе
результаты могут быть использованы при решении соответствующих нелинейных задач
гидроупругости.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ . . . 143
Литература
1. Горшков А. Г., Морозов В. И., Пономарев А. Т., Шклярчук Ф. Н. Аэроупругость конструкций. — М.:
Физматлит, 2000. — 592 с.
2. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими
жидкость. — М.: Машиностроение, 1971. — 563 с.
3. Кулешов В. Б., Швейко Ю. Ю. Неосесимметричные колебания цилиндрических оболочек, частично
заполненных жидкостью // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1971. — № 3. — С. 126 – 136.
4. Кулешов В. Б., Швейко Ю. Ю. Неосесимметричные колебания круглых и кольцевых пластин, взаи-
модействующих с жидкостью // Исследования по теории сооружений. — 1972. — № 19. — С. 28 – 40.
5. Александрович Л. И., Лампер Р. Е. Собственные колебания упругого осесимметричного сосуда прои-
звольного контура // Тр. 6-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин (Баку, 1966). — М.: Наука,
1967. — C. 27 – 29.
6. Троценко В. А. О колебаниях жидкости в сосудах, свободная поверхность которой закрыта мембран-
ной оболочкой из гиперупругого материала // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1980. —
№ 6. — C. 166 – 177.
7. Шмаков В. П. Об уравнениях осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки с жидким за-
полнением // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. — 1964. — № 1. — C. 170 – 173.
8. Wen-Hwa Chu, Conzales R. Supplement to breathing vibrations of a partially filled cylindrical tank — linear
theory // Trans. ASME. E. J. Appl. Mech. — 1964. — 31, № 4. — P. 722 – 723.
9. Шмаков В. П. Об одном приеме, упрощающем применение метода Бубнова – Галеркина к решению
краевых задач // Механика твердого тела. — 1967. — № 5. — C. 129 – 136.
10. Балакирев Ю. Г., Шмаков В. П. Осесимметричные колебания цилиндрической оболочки с полусфери-
ческим днищем // Колебания упругих конструкций с жидкостью. — Новосибирск: Изд. НЭТИ, 1984. —
C. 28 – 32.
11. Балакирев Ю. Г. Осесимметричные колебания пологой сферической оболочки с жидкостью // Меха-
ника твердого тела. — 1967. — № 5. — C. 116 – 123.
12. Кобычкин В. С., Шмаков В. П., Яблоков В. А. Осесимметричные колебания полусферической обо-
лочки, частично заполненной жидкостью // Механика твердого тела. — 1968. — № 5. — C. 46 – 54.
13. Брусиловский А. Д., Шмаков В. П., Яблоков В. А. Метод расчета собственных и вынужденных ко-
лебаний упругих оболочек вращения, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью // Изв. АН
СССР. Механика твердого тела. — 1973. — № 3. — C. 99 – 110.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
144 Ю. В. ТРОЦЕНКО
14. Григорьев В. Г. Применение метода конечных элементов к расчету колебаний упругих оболочечных
конструкций, содержащих жидкость // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жид-
костью: Труды III сем. — Томск: Том. ун-т, 1978. — C. 55 – 60.
15. Olson L. G., Bathe K. J. A study of displacement based fluid finite elements for calculating frequencies of
fluid and fluid — structure systems // Nucl. Eng. and Des. — 1983. — 76. — P. 137 – 151.
16. Мокеев В. В. Исследование динамики конструкций с жидкостью и газом с помощью метода конечных
элементов // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1998. — № 6. — C. 166 – 174.
17. Alphose Zingoni. Liquid-containment shells of revolution: A review of recent studies on strength, stability
and dynamics // Thin-Walled Structures. — 2015. — 87. — P. 102 – 114.
18. Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949. — 784 c.
19. Шмаков В. П. Избранные труды по гидроупругости и динамике упругих конструкций. — М.: Изд-во
МГТУ им. Баумана, 2011. — 287 с.
20. Нариманов Г. С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью //
Прикл. математика и механика. — 1956. — 20, вып. 1. — C. 21 – 38.
21. Микишев Г. С., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жид-
костью. — М.: Машиностроение, 1968. — 532 c.
22. Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И., Докучаев Л. В. Методы определения присоединен-
ных масс жидкости в подвижных полостях. — Киев: Наук. думка, 1969. — 250 c.
23. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. — Л.: Судпромгиз, 1962. — 431 c.
24. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Физматгиз, 1970. — 512 c.
25. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. — М.: Наука,
1965. — 439 c.
26. Троценко Ю. В. Структура интегралов уравнений колебаний оболочек вращения в форме купола //
Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2008. — 5, № 2. — С. 334 – 348.
27. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — М.: Гостехиздат, 1951. — 1. — 476 c.
28. Троценко В. А., Троценко Ю. В. Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично за-
полненной жидкостью // Нелiнiйнi коливання. — 2015. — 18, № 3. — С. 394 – 412.
29. Нариманов Г. С., Докучаев Л. В., Луковский И. А. Нелинейная динамика летательного аппарата с
жидкостью. — М.: Машиностроение, 1977. — 208 с.
Получено 07.06.16,
после доработки — 20.09.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
|