Слабовозмущенные интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах
Розглядаються слабкозбуренi рiвняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах. Отримано умови бiфуркацiї з точки ε = 0 розв’язкiв слабкозбурених операторних рiвнянь у банахових просторах. Запропоновано збiжну iтерацiйну процедуру знаходження розв’язкiв у виглядi ряду Σεᶦ zᵢ(t) за степеням...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177298 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Слабовозмущенные интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах / В.Ф. Журавлев, Н.П. Фомин // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 85-97 — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177298 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772982021-02-15T01:26:45Z Слабовозмущенные интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах Журавлев, В.Ф. Фомин, Н.П. Розглядаються слабкозбуренi рiвняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах. Отримано умови бiфуркацiї з точки ε = 0 розв’язкiв слабкозбурених операторних рiвнянь у банахових просторах. Запропоновано збiжну iтерацiйну процедуру знаходження розв’язкiв у виглядi ряду Σεᶦ zᵢ(t) за степенями ε. We consider weakly perturbed Fredholm equations with degenerate kernel in Banach spaces. We obtain conditions for ε = 0 to be a bifurcation point for solutions of weakly perturbed operator equations in Banach spaces. A convergent scheme for finding solutions in the form of the series Σεᶦ zᵢ(t) in powers of ε is proposed. 2017 Article Слабовозмущенные интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах / В.Ф. Журавлев, Н.П. Фомин // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 85-97 — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177298 517.983 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглядаються слабкозбуренi рiвняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах. Отримано умови бiфуркацiї з точки ε = 0 розв’язкiв слабкозбурених операторних рiвнянь у банахових просторах. Запропоновано збiжну iтерацiйну процедуру знаходження розв’язкiв у виглядi ряду Σεᶦ zᵢ(t) за степенями ε. |
| format |
Article |
| author |
Журавлев, В.Ф. Фомин, Н.П. |
| spellingShingle |
Журавлев, В.Ф. Фомин, Н.П. Слабовозмущенные интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах Нелінійні коливання |
| author_facet |
Журавлев, В.Ф. Фомин, Н.П. |
| author_sort |
Журавлев, В.Ф. |
| title |
Слабовозмущенные интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах |
| title_short |
Слабовозмущенные интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах |
| title_full |
Слабовозмущенные интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах |
| title_fullStr |
Слабовозмущенные интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах |
| title_full_unstemmed |
Слабовозмущенные интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах |
| title_sort |
слабовозмущенные интегральные уравнения фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177298 |
| citation_txt |
Слабовозмущенные интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах / В.Ф. Журавлев, Н.П. Фомин // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 85-97 — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT žuravlevvf slabovozmuŝennyeintegralʹnyeuravneniâfredgolʹmasvyroždennymâdromvbanahovyhprostranstvah AT fominnp slabovozmuŝennyeintegralʹnyeuravneniâfredgolʹmasvyroždennymâdromvbanahovyhprostranstvah |
| first_indexed |
2025-07-15T15:20:33Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:20:33Z |
| _version_ |
1837726783376457728 |
| fulltext |
УДК 517.983
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ
В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В. Ф. Журавлев, Н. П. Фомин
Житомир. нац. агроэкол. у-т
бульв. Старый, 7, Житомир, 10008, Украина
e-mail: vfz2008@ukr.net
npfomin@mail.ru
We consider weakly perturbed Fredholm equations with degenerate kernel in Banach spaces. We obtain
conditions for ε = 0 to be a bifurcation point for solutions of weakly perturbed operator equations in
Banach spaces. A convergent scheme for finding solutions in the form of the series
∑+∞
i=−1 ε
izi(t) in powers
of ε is proposed.
Розглядаються слабкозбуренi рiвняння Фредгольма з виродженим ядром у банахових просто-
рах. Отримано умови бiфуркацiї з точки ε = 0 розв’язкiв слабкозбурених операторних рiвнянь
у банахових просторах. Запропоновано збiжну iтерацiйну процедуру знаходження розв’язкiв у
виглядi ряду
∑+∞
i=−1 ε
izi(t) за степенями ε.
Исследование условий разрешимости и построение решений слабовозмущенных инте-
гральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах про-
должают развитие методов теории возмущений, в частности методов малого параметра
Ляпунова – Пуанкаре [1] и Вишика – Люстерника [2].
Эти методы были успешно применены при построении решений слабовозмущенных
краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных и функционально-диффе-
ренциальных уравнений с нетеровой линейной частью [3 – 5] в евклидовых простран-
ствах. Предложенный в [6] подход к исследованию дифференциальных систем в банахо-
вых пространствах был применен А. А. Бойчуком и Е. В. Панасенко [7] к исследованию
слабовозмущенных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных урав-
нений в банаховых пространствах.
Необходимо отметить, что дифференциальная система линейной порождающей кра-
евой задачи (ε = 0) имеет решения при любой правой части, т. е. по классификации
С. Г. Крейна [8] является везде разрешимой. Исследование слабовозмущенных не везде
разрешимых сингулярных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений
в конечномерных пространствах проводили А. А. Бойчук, Л. М. Шегда и И. А. Головац-
кая [9, 10].
Поэтому актуальной является задача исследования условий возникновения решений
слабовозмущенных интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в бана-
ховых пространствах.
Постановка задачи. Рассмотрим в банаховом пространстве B слабовозмущенное урав-
нение Фредгольма
c© В. Ф. Журавлев, Н. П. Фомин, 2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1 85
86 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН
(Lz)(t) := z(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z(s)ds = f(t) + ε
b∫
a
K(t, s)z(s)ds, (1)
где оператор-функцииM(t) иN(t) действуют из действительного банахова пространства
B в это же пространство, сильно непрерывны [6] с нормами |||M ||| = supt∈I‖M(t)‖B =
= M0 < ∞ и |||N ||| = supt∈I‖N(t)‖B = N0 < ∞, оператор-функция K(t, s) определена
в квадрате I × I и действует из банахова пространства B в B по каждой переменной,
сильно непрерывна по t, s с нормой |||K||| = supt,s∈I‖K(t, s)‖B = K0 < ∞, вектор-функ-
ция f(t) действует из отрезка I в банахово пространство B : f(t) ∈ C(I,B) :=
{
f(·) : I →
→ B, |||f ||| = supt∈I ‖f(t)‖
}
, C(I,B) — банахово пространство непрерывных на I век-
тор-функций со значениями в B, ε << 1 — малый параметр.
Предположим, что порождающее уравнение, которое получается из (1) при ε = 0,
(Lz)(t) := z(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z(s)ds = f(t) (2)
не имеет решений при произвольной неоднородности f(t) ∈ C(I,B).
В настоящей статье, с использованием теории обобщенного обращения операторов
[4, 5] и, в частности, обобщенного обращения интегральных операторов Фредгольма с
вырожденным ядром в банаховых пространствах [11], а также теоремы о разрешимости
уравнений с обобщенно-обратимыми операторами L [12, 13], рассмотрим задачу об уста-
новлении условий возникновения решений уравнения (2), возмущенного малым линей-
ным слагаемым ε
∫ b
a
K(t, s)z(s)ds, а также построении общего решения уравнения (1).
Прежде всего приведем некоторые сведения, необходимые для дальнейшего изложе-
ния.
Предварительные сведения. Пусть z(t) ∈ C(I,B) — вектор-функция, которая дей-
ствует из отрезка I = [a, b] в банахово пространство B.
Рассмотрим в банаховом пространстве B линейное интегральное уравнение Фредголь-
ма с вырожденным ядром (2).
Обозначим:
D = IB −A, A =
b∫
a
N(s)M(s) ds, D : B → B.
В [11] показано, что если D — ограниченный обобщенно-обратимый оператор, то
интегральный оператор L — обобщенно обратим.
Для доказательства обобщенной обратимости интегрального оператора построены
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА . . . 87
проекторы
(PN(L)z)(t) = M(t)PN(D)
b∫
a
N(s)z(s)ds, PN(L) : C(I,B) → N(L),
(PYL
f)(t) = M(t)PYD
b∫
a
N(s)f(s)ds, PYL
: C(I,B) → YL
и доказано, что они ограничены. Здесь PN(D), PYD
— ограниченные проекторы на нуль-
пространство N(D) и подпространство YD оператора D соответственно [14], которые
разбивают банахово пространство B в прямые топологические суммы замкнутых под-
пространств
B = N(D)⊕XD, B = YD ⊕R(D).
В дальнейшем класс линейных ограниченных обобщенно-обратимых операторов, дей-
ствующих из банахова пространства C(I,B) в банахово пространство C(I,B), будем
обозначать GI(C(I,B),C(I,B)). Очевидно, что оператор из GI(C(I,B),C(I,B)) явля-
ется нормально разрешимым.
Теорема 1 [11]. Пусть D принадлежит GI(B,B). Тогда оператор
(L−f)(t) = f(t) +M(t)D−
b∫
a
N(s)f(s)ds (3)
является ограниченным обобщенно-обратным оператором к интегральному опера-
тору L, где D− — ограниченный обобщенно-обратный оператор к оператору D.
Теорема 2 [11]. Пусть D принадлежит GI(B,B). Тогда соответствующее (2) одно-
родное интегральное уравнение имеет семейство решений
z(t) = M(t)PN(D)c,
где c — произвольный элемент банахова пространства B.
Неоднородное интегральное уравнение (2) при выполнении условия
PYD
b∫
a
N(s)f(s)ds = 0
и только при нем имеет семейство решений
z(t) = M(t)PN(D)c+ (L−f)(t),
где L− — ограниченный обобщенно-обратный оператор (3) к оператору L.
Основной результат. Для решения поставленной задачи используем метод Вишика –
Люстерника [2] и найдем условия возникновения решений интегрального уравнения (1) в
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
88 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН
виде ряда по степеням малого параметра ε, который содержит ε в отрицательной степени.
Решение уравнения (1) будем искать в виде ряда
z(t, ε) =
+∞∑
i=−1
εizi(t). (4)
Подставим ряд (4) в интегральное уравнение (1) и приравняем коэффициенты при
одинаковых степенях ε.
При ε−1 приходим к однородному интегральному уравнению
z−1(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z−1(s)ds = 0 (5)
для определения z−1(t).
По теореме 2 однородное уравнение (5) имеет решение
z−1(t, c−1) = M(t)PN(D)c−1, (6)
где c−1 ∈ B — произвольный элемент, который будет определен ниже.
Приравнивая коэффициенты при ε0, получаем неоднородное интегральное уравне-
ние
z0(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z0(s)ds = f(t) +
b∫
a
K(t, s)z−1(s)ds (7)
для определения коэффициента z0(t) ряда (4).
По теореме 2 линейное неоднородное интегральное уравнение (7) имеет решения тог-
да и только тогда, когда
PYD
b∫
a
N(s)
f(s) +
b∫
a
K(s, τ)z−1(τ)dτ
ds = 0.
Подставив z−1(t, c−1) из (6), получим уравнение
PYD
b∫
a
N(s)
f(s) +
b∫
a
K(s, τ)M(τ)PN(D)c−1dτ
ds = 0. (8)
Обозначив
B0 = PYD
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)M(τ)PN(D)dτds, (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА . . . 89
из (8) получим операторное уравнение относительно элемента c−1 ∈ B:
B0c−1 = −PYD
b∫
a
N(s)f(s)ds. (10)
Пусть оператор B0 ∈ GI(B, YD) — обобщенно обратим. Тогда он нормально разре-
шим и существуют ограниченные проекторы PN(B0) : B → N(B0), PYB0
: B → YB0 и
ограниченный обобщенно-обратный оператор B−0 : B → B к оператору B0.
Уравнение (10) может быть [8]: однозначно разрешимым (PN(B0) ≡ 0), везде разре-
шимым (PYB0
≡ 0), неоднозначно и не везде разрешимым (PN(B0) 6= 0,PYB0
6= 0).
Рассмотрим наиболее общий случай, когда уравнение (10) неоднозначно и не везде
разрешимо. По теореме 2, в результате обобщенной обратимости оператора B0, уравне-
ние (10) разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условию
PYB0
PYD
b∫
a
N(s)f(s)ds = 0.
Последнее условие выполняется, если будет выполнено условие
PYB0
PYD
= 0, (11)
а операторное уравнение (10) при этом будет иметь семейство решений
c−1 = PN(B0)c−B
−
0 PYD
b∫
a
N(s)f(s) ds,
где c — произвольный элемент банахова пространства B.
Подставив c−1 в (6), получим общее решение однородного интегрального уравне-
ния (5)
z−1(t) = M(t)PN(D)PN(B0)c−M(t)PN(D)B
−
0 PYD
b∫
a
N(s)f(s)ds.
Обозначив
B̃−0 = −PN(D)B
−
0 PYD
, (12)
окончательно получим
z−1(t) = M(t)PN(D)PN(B0)c+M(t)B̃−0
b∫
a
N(s)f(s) ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
90 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН
При выполнении (11) выполнится условие (8) и по теореме 2 неоднородное инте-
гральное уравнение (7) имеет семейство решений
z0(t, c0) = M(t)PN(D)c0 + z̄0(t), (13)
где c0 — произвольный элемент, который будет определен на следующем шаге,
z̄0(t) = L−
f(·) +
b∫
a
K(·, s)z−1(s)ds
(t) =
= L−
f(·) +
b∫
a
K(·, s)M(s)PN(D)PN(B0)ds c+
+
b∫
a
K(·, s)M(s)B̃−0
b∫
a
N(τ)f(τ)dτds
(t) = H−1(t)PN(B0)c+ F̃−1(t).
Здесь
H−1(t) =
(
L−(K̃M)(·)PN(D)
)
(t),
F̃−1(t) = L−
f(·) + (K̃M(·)B̃−0
b∫
a
N(τ)f(τ)dτ
(t),
оператор K̃ действует на оператор-функцию M(t) по правилу
(K̃M)(t) =
b∫
a
K(t, s)M(s)ds.
Из формулы (3) имеем, что действие оператора L− на вектор-функцию
f(t) + K̃M(t)B̃−0
b∫
a
N(s)f(s)ds
описывается формулой
L−
f(·) + K̃M(·)B̃−0
b∫
a
N(s)f(s)ds
(t) = f(t) + K̃M(t)B̃−0
b∫
a
N(s)f(s)ds+
+M(t)D−
b∫
a
N(s)
f(s) + (K̃M)(s)B̃−0
b∫
a
N(τ)f(τ)dτ
ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА . . . 91
При ε1 для определения коэффициента z1(t) получаем уравнение
z1(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z1(s)ds =
b∫
a
K(t, s)z0(s)ds. (14)
Из критерия разрешимости уравнения (14)
PYD
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)z0(τ)dτds = 0,
с учетом (13) имеем
PYD
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)
[
M(τ)PN(D)c0 + z̄0(τ)
]
dτds = 0.
Используя обозначение (9), из последнего уравнения получаем операторное уравне-
ние относительно элемента c0 ∈ B:
B0c0 = −PYD
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)z̄0(τ)dτds = −PYD
b∫
a
N(s)(K̃z̄0)(s)ds, (15)
где
(K̃z̄0)(s) =
b∫
a
K(s, τ)z̄0(τ)dτ.
Операторное уравнение (15) при выполнении условия (11) имеет семейство решений
c0 = PN(B0)c−B
−
0 PYD
b∫
a
N(s)(K̃z̄0)(s) ds = PN(B0)c−B
−
0 PYD
b∫
a
N(s)×
×
(
K̃
[
H−1(s)PN(B0)c+ F̃−1(s)
])
(s) ds = D0PN(B0)c+ c̄0, (16)
где
D0 = IB −B−0 PYD
b∫
a
N(s)(K̃H−1)(s)ds,
c̄0 = −B−0 PYD
b∫
a
N(s)(K̃F̃−1)(s)ds,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
92 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН
IB — тождественный оператор в банаховом пространстве B.
Подставляя (16) в (13) и используя (12), получаем
z0(t) = M(t)PN(D)
[
D0PN(B0)c+ c̄0
]
+ z̄0(t) = M(t)PN(D)D0PN(B0)c+
+M(t)PN(D)c̄0 +H−1(t)PN(B0)c+ F̃−1(t) = X0(t)PN(B0)c+ z̄0(t),
где
X0(t) = H−1(t) +M(t)PN(D)D0 = H−1(t)+
+M(t)PN(D)
I −B−0 PYD
b∫
a
N(s)(K̃H−1)(s)ds
=
= M(t)PN(D) +
I ∗+M(t)B̃−0
b∫
a
N(s)(K̃∗)ds
H−1(t),
z̄0(t) = M(t)PN(D)c̄0 + F̃−1(t) =
I ∗+M(t)B̃−0
b∫
a
N(s)
(
K̃∗
)
ds
F̃−1(t).
Здесь I — тождественный оператор в банаховом пространстве C(I,B).
При выполнении (15) интегральное уравнение (14) имеет семейство решений
z1(t, c1) = M(t)PN(D)c1 + z̄1(t), (17)
где c1 ∈ B — произвольный элемент, который будет определен на следующем шаге ите-
рационного процесса,
z̄1(t) = L−
(
K̃z0
)
(t) = L−K̃
([
X0(t)PN(B0)c+ z̄0(t)
])
(t) = H0(t)PN(B0)c+ F̃0(t),
H0(t) = L−(K̃X0)(t),
F̃0(t) = L−
K̃
I ∗+M(·)B̃−0
b∫
a
N(s)
(
K̃∗
)
ds
F̃−1(·)
(t).
Действуя по индукции, для определения коэффициентов zi(t) при εi ряда (4) получаем
уравнения
zi(t)−M(t)
b∫
a
N(s)zi(s) ds =
b∫
a
K(t, s)zi−1(s)ds, i = 1, 2, 3, . . . . (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА . . . 93
Из критериев разрешимости уравнений (18)
PYD
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)zi−1(τ) dτ ds = 0
получим операторные уравнения для определения ci:
B0ci−1 = −PYD
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)z̄i−1(τ) dτ ds = −PYD
b∫
a
N(s)(K̃z̄i−1)(s) ds. (19)
Операторные уравнения (19) при выполнении условия (11) имеют семейства решений
ci−1 = PN(B0)c−B
−
0 PYD
b∫
a
N(s)(K̃z̄i−1)(s) ds = PN(B0)c−
−B−0 PYD
b∫
a
N(s)
(
K̃
[
Hi−2(s)PN(B0)c+ F̃i−2(t)
])
(s) ds = Di−1PN(B0)c+ c̄i−1,
где
Di−1 = IB −B−0 PYD
b∫
a
N(s)(K̃Hi−2)(s)ds,
c̄i−1 = −B−0 PYD
b∫
a
N(s)(K̃F̃i−2)(s) ds.
При выполнении условия (11), а следовательно и условий (19), интегральные уравне-
ния (18) имеют семейства решений
zi(t, ci) = M(t)PN(D)ci + z̄i(t) = M(t)PN(D)[DiPN(B0)c+ c̄i] + z̄i(t) =
= M(t)PN(D)DiPN(B0)c+M(t)PN(D)c̄i +Hi−1(t)PN(B0)c+ F̃i(t) =
= Xi(t)PN(B0)c+ z̄i(t),
где
Xi(t) = Hi−1(t) +M(t)PN(D)Di = Hi−1(t)+
+M(t)PN(D)
I −B−0 PYD
b∫
a
N(s)(K̃Hi−1)(s)ds
=
= M(t)PN(D) +
I ∗+M(t)B̃−0
b∫
a
N(s)(K̃∗)ds
Hi−1(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
94 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН
z̄i(t) = M(t)PN(D)c̄i + F̃i−1(t) =
I ∗+M(t)B̃−0
b∫
a
N(s)
(
K̃∗
)
ds
F̃i−1(t).
Проведенные рассуждения позволяют предложить итерационный алгоритм построе-
ния семейства решений интегрального уравнения (1):
zi(t, ci) = M(t)PN(D)PN(B0)c+ X̃i(t)PN(B0)c+ z̄i(t),
X̃i(t) =
0, если i = −1,[
I ∗+M(t)B̃−0
∫ b
a
N(s)
(
K̃∗
)
ds
]
Hi−1(t), если i = 0,∞,
Hi−1(t) =
(
L−(K̃M(·)PN(D))
)
(t), если i = 0,(
L−(K̃Xi−1(·))
)
(t), если i = 1,∞,
(20)
z̄i(t) =
M(t)B̃−0
∫ b
a
N(s)f(s)ds, если i = −1,[
I ∗+M(t)B̃−0
∫ b
a
N(s)
(
K̃∗
)
ds
]
F̃i−1(t), если i = 0,∞,
F̃i−1(t) =
(
L−
[
I ∗+(K̃M)(·)B̃−0
∫ b
a
N(s) ∗ ds
]
f(·)
)
(t), если i = 0,
L−
(
K̃
[
I ∗+M(·)B̃−0
∫ b
a
N(s)
(
K̃∗
)
ds
]
F̃i−2(·)
)
(t), если i = 1,∞.
Таким образом, при выполнении условия (11) слабовозмущенное операторное урав-
нение (1) имеет семейство решений в виде ряда
z(t, ε) =
+∞∑
i=−1
εizi(t) =
+∞∑
i=−1
εiM(t)PN(D)PN(B0)c+
+∞∑
i=0
εiX̃i(t)PN(B0)c+
+∞∑
i=−1
εiz̄i(t). (21)
Использовав обозначения
|||M ||| = sup
t∈I
‖M(t)‖B = M0 < ∞, |||N ||| = sup
t∈I
‖N(t)‖B = N0 < ∞,
|||B̃−0 |||B = b̃0 < ∞, |||L−|||C(I,B) = l < ∞,
|||K̃|||C(I,B) = k̃ < ∞, |||f(t)|||C(I,B) = f < ∞,
|||PN(D)|||B = p < ∞, |||PN(B0)|||B = p̃ < ∞,
докажем равномерную сходимость ряда (21) при фиксированном ε ∈ (0, ε∗].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА . . . 95
Очевидно, что в силу ограниченности операторов M(t),PN(D) и PN(B0) ряд
+∞∑
i=−1
εiM(t)PN(D)PN(B0)c = M(t)PN(D)PN(B0)c
+∞∑
i=−1
εi
для ε < 1 сходится.
Далее докажем сходимость ряда
+∞∑
i=0
εiX̃iPN(B0)c. (22)
При i = 0 имеем
|||X̃0(t)|||C(I,B) ≤ lkM0p(1 +M0N0b̃0k).
Аналогично при i = 1
|||X̃1|||C(I,B) ≤ lk(1 +M0N0b̃0k)|||X̃0|||C(I,B).
Продолжая этот процесс, для операторов X̃i получаем оценки
|||X̃i|||l∞(I,B1) ≤ [lk(1 +M0N0b̃0k)]i|||X̃0|||C(I,B).
Тогда для каждого t ∈ I имеем
+∞∑
i=0
εiX̃i(t)PN(B0)c ≤
+∞∑
i=0
εiKi
1|||X̃0(t)|||C(I,B)|||PN(B0)|||B|||c|||B,
где K1 = lk(1 +M0N0b̃0k). Следовательно, при фиксированном ε ∈ (0, ε∗], где ε∗ < K−11 ,
ряд (22) равномерно сходится.
Аналогично доказывается сходимость ряда
+∞∑
i=−1
εiz̄i(t).
Для оценки коэффициентов z̄i(t), i = 1,∞, получаем
|||z̄i(t)|||C(I,B) ≤ kili+1(1 +M0N0b̃0k)i+2|||f(t)|||C(I,B).
Тогда для каждого t ∈ I имеем
+∞∑
i=−1
εiz̄i(t) ≤ ε−1M0N0b̃0|||f(t)|||C(I,B) +
+∞∑
i=0
εikili+1(1 +M0N0b̃0k)i+2|||f(t)|||C(I,B) =
= ε−1M0N0b̃0|||f(t)|||C(I,B) +
+∞∑
i=0
εiKi
1l(1 +M0N0b̃0k)2|||f(t)|||C(I,B)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
96 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН
и для фиксированного ε ∈ (0, ε∗], где ε∗ < K−11 , ряд
∑+∞
i=−1 ε
iz̄i(t) равномерно сходится.
Пусть ε∗ < min(1,K−11 ), тогда для ε ∈ (0, ε∗] ряд (21) будет равномерно сходящимся.
Теорема 3. Пусть оператор D принадлежит GI(B,B) и порождающее уравнение (2)
при произвольной неоднородности f(t) ∈ C(I,B) не имеет решений.
Тогда если оператор B0 принадлежит GI(B,B) и
PYB0
PYD
= 0,
то слабовозмущенное уравнение (1) при произвольной неоднородности f(t) ∈ C(I,B)
имеет семейство решений в виде абсолютно сходящегося при произвольных фиксиро-
ванных ε ∈ (0, ε∗] ряда
x(t, ε) =
+∞∑
i=−1
εizi(t),
коэффициенты которого определяются с помощью итерационного алгоритма (20).
Замечание 1. Если PN(B0) = 0, то операторные уравнения (10), (15) и т. д. на каждом
шаге итерационного процесса будут n-нормальными и однозначно разрешимыми [8]. Тог-
да при выполнении условия
PYB0
PYD
= 0
уравнение (1) будет иметь единственное решение в виде ряда (4), коэффициенты кото-
рого определяются с помощью итерационного алгоритма (20), в котором PN(B0) = 0, а
обобщенно-обратный оператор B−0 будет левым обратным (B0)
−1
l [15].
Замечание 2. Если PYB0
= 0, то операторные уравнения (10), (15) и т. д. на каждом
шаге итерационного процесса будут d-нормальными и всюду разрешимыми [8]. Тогда
условие (11) будет всегда выполнено и уравнение (1) при произвольной f(t) будет иметь
семейство решений в виде ряда (4), коэффициенты которого определяются с помощью
итерационного алгоритма (20), в котором обобщенно-обратный оператор B−0 будет пра-
вым обратным (B0)
−1
r [15].
Литература
1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Гостехиздат, 1950. — 472 с.
2. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосо-
пряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. — 1960. — 15,
вып. 3. — C. 3 – 80.
3. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. — Киев: Наук. думка, 1990. — 96 с.
4. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 319 с.
5. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalised inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 323 p.
6. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 534 с.
7. Бойчук А. А., Панасенко Є. В. Слабкозбуренi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь у банахо-
вому просторi // Нелiнiйнi коливання. — 2010. — 13, № 3. — C. 291 – 304.
8. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971. — 104 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА . . . 97
9. Boichuk A. A., Shegda L. M. Bifurcation of solutions of singular Fredholm boundary value problems //
Different. Equat. — 2011. — 47, № 4. — P. 453 – 461.
10. Головацька I. А. Слабкозбуренi системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. —
2012. — 15, № 2. — С. 151 – 164.
11. Zhuravl’ov V. P. Generalized inversion of Fredholm integral operators with degenerate kernels in Banach
spaces // J. Math. Sci. — 2015. — 212, № 3. — P. 275 – 289.
12. Boichuk A. A., Zhuravlev V. F., Pokutnyi A. A. Normally solvable operator equations in a Banach space //
Ukr. Math. J. — 2013. — 65, № 2. —P. 179 – 192.
13. Журавльов В. П. Лiнiйнi крайовi задачi для iнтегральних рiвнянь Фредгольма з виродженим ядром у
банахових просторах // Буков. мат. журн. — 2014. — 2, № 4. — С. 57 – 66.
14. Попов М. М. Доповнювальнi простори i деякi задачi сучасної геометрiї просторiв Банаха // Матема-
тика сьогоднi’07. — 2007. — Вип. 13. — C. 78 – 116.
15. Zhuravlev V. F. Solvability criterion and representation of solutions of n-normal and d-normal linear operator
equations in a Banach space // Ukr. Math. J. — 2010. — 62, № 2. — P. 186 – 202.
Получено 17.10.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
|