Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості
Исследована структура множества непрерывных решений одного класса систем нелинейных функционально-разностных уравнений.
Збережено в:
Дата: | 2017 |
---|---|
Автори: | , |
Формат: | Стаття |
Мова: | Ukrainian |
Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
Назва видання: | Нелінійні коливання |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177299 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / І.В. Бецко, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 147-165 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-177299 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1772992021-02-15T01:26:32Z Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості Бецко, І.В. Пелюх, Г.П. Исследована структура множества непрерывных решений одного класса систем нелинейных функционально-разностных уравнений. We study the structure of a solution set of a certain class of nonlinear functional-difference equations 2017 Article Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / І.В. Бецко, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 147-165 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177299 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
description |
Исследована структура множества непрерывных решений одного класса систем нелинейных функционально-разностных уравнений. |
format |
Article |
author |
Бецко, І.В. Пелюх, Г.П. |
spellingShingle |
Бецко, І.В. Пелюх, Г.П. Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості Нелінійні коливання |
author_facet |
Бецко, І.В. Пелюх, Г.П. |
author_sort |
Бецко, І.В. |
title |
Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості |
title_short |
Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості |
title_full |
Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості |
title_fullStr |
Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості |
title_full_unstemmed |
Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості |
title_sort |
про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2017 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177299 |
citation_txt |
Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / І.В. Бецко, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 147-165 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
series |
Нелінійні коливання |
work_keys_str_mv |
AT beckoív proobmeženínavsíjdíjsníjosírozvâzkinelíníjnihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹííhvlastivostí AT pelûhgp proobmeženínavsíjdíjsníjosírozvâzkinelíníjnihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹííhvlastivostí |
first_indexed |
2025-07-15T15:20:37Z |
last_indexed |
2025-07-15T15:20:37Z |
_version_ |
1837726787745873920 |
fulltext |
УДК 517.9
ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ
ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ I ЇХНI ВЛАСТИВОСТI
I. В. Бецко, Г. П. Пелюх
Iн-т математики НАН України
вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01004, Україна
e-mail: betskoiv@mail.ru
grygor@imath.kiev.ua
We study the structure of a solution set of a certain class of nonlinear functional-difference equations.
Исследована структура множества непрерывных решений одного класса систем нелинейных
функционально-разностных уравнений.
Дослiдження питань iснування неперервних при t ∈ R розв’язкiв нелiнiйних функцiональ-
но-рiзницевих рiвнянь вигляду
x(t+ 1) = Ax(t) + F (t, x(qt)), (1)
деA, q — деякi дiйснi сталi, t ∈ R, F : R×R → R, були основною метою багатьох матема-
тикiв (див. [1 – 5] i наведену там бiблiографiю). Особливо детально цi питання дослiджено
для лiнiйних функцiонально-рiзницевих рiвнянь [6 – 8]. Основною метою даної роботи є
встановлення достатнiх умов iснування неперервних обмежених при t ∈ R розв’язкiв рiв-
няння (1) i розробка методу їх побудови.
Спочатку розглянемо питання про iснування неперервного обмеженого при t ∈ R
розв’язку рiвняння (1). Має мiсце така теорема.
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) функцiя F (t, x) є неперервною при всiх t, x ∈ R i задовольняє умову
|F (t, x̄)− F (t, ¯̄x)| ≤ L|x̄− ¯̄x|,
де L = const > 0, t, x̄, ¯̄x ∈ R;
2) sup
t
|F (t, 0)| = M < ∞;
3) 0 < a = |A| < 1, 0 < a+ L = ∆ < 1, q 6= 0.
Тодi рiвняння (1) має єдиний неперервний обмежений при t ∈ R розв’язок γ(t).
Доведення. Побудуємо послiдовнiсть функцiй
x0(t+ 1) = F (t, 0),
(2)
xi(t+ 1) = Axi−1(t) + F (t, x0(qt) + . . .
. . .+ xi−1(qt))− F (t, x0(qt) + . . .+ xi−2(qt)), i = 1, 2, . . . ,
c© I. В. Бецко, Г. П. Пелюх, 2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 147
148 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ
де x−1(t) ≡ 0, i покажемо, що виконуються оцiнки
|x0(t)| ≤ M, |xi(t)| ≤ M∆i, i ≥ 1. (3)
Дiйсно, оскiльки iз (2) випливають спiввiдношення
x0(t) = F (t− 1, 0),
xi(t) = Axi−1(t− 1) + F (t− 1, x0(q(t− 1)) + . . .+ xi−1(q(t− 1)))−
− F (t− 1, x0(q(t− 1)) + . . .+ xi−2(q(t− 1))), i ≥ 1,
x−1(t) ≡ 0,
то з огляду на умови теореми послiдовно знаходимо
|x0(t)| = |F (t− 1, 0)| ≤ M,
|x1(t)| ≤ |A||x0(t− 1)|+ |F (t− 1, x0(q(t− 1)))− F (t− 1, 0)| ≤
≤ aM + LM ≤ M(a+ L) = M∆,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|xi(t)| ≤ |A||xi−1(t− 1)|+ |F (t− 1, x0(q(t− 1)) + . . .+ xi−1(q(t− 1)))−
− F (t− 1, x0(q(t− 1)) + . . .+ xi−2(q(t− 1)))| ≤
≤ aM∆i−1 + LM∆i−1 ≤ M∆i−1(a+ L) = M∆i.
Таким чином, оцiнки (3) виконуються при всiх t ∈ R i i ≥ 0. Тодi безпосередньо iз (3)
випливає, що ряд
γ(t) =
∞∑
i=0
xi(t)
рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R до деякої неперервної функцiї γ(t), яка задовольняє
умову
|γ(t)| ≤ M
1−∆
.
Бiльш того, покажемо, що функцiя γ(t) є розв’язком рiвняння (1). Дiйсно, згiдно з (2)
для цього достатньо показати, що ряд
F (t, 0) +
∞∑
i=0
[F (t, x0(qt) + . . .+ xi(qt))− F (t, x0(qt) + . . .+ xi−1(qt))] ,
де x−1(t) ≡ 0, рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R i його сумою є функцiя
F
(
t,
∞∑
i=0
xi(qt)
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 149
Для цього, в свою чергу, достатньо довести, що при всiх t ∈ R виконується спiв-
вiдношення
lim
m→∞
F
(
t,
m∑
i=0
xi(qt)
)
= F
(
t,
∞∑
i=o
xi(qt)
)
. (4)
Дiйсно, з огляду на (3) для довiльного як завгодно малого ε > 0 можна вказати таке
натуральне N, що при m ≥ N виконується нерiвнiсть
ML
1−∆
∆m+1 ≤ ε.
Тодi, беручи до уваги умову 1 теореми, при всiх m ≥ N отримуємо∣∣∣∣∣F
(
t,
∞∑
i=0
xi(qt)
)
− F
(
t,
m∑
i=0
xi(qt)
)∣∣∣∣∣ ≤ L
∞∑
i=m+1
|xi(qt)| ≤
≤ LM∆m+1
∞∑
i=0
∆i ≤ M∆m+1 L
1−∆
≤ ε.
Таким чином, при всiх t ∈ R спiввiдношення (4) має мiсце. Цим самим доведено, що
при всiх t ∈ R виконується тотожнiсть
F
(
t,
∞∑
i=0
xi(qt)
)
= F (t, 0) + [F (t, x0(qt))− F (t, 0)]+
+
∞∑
i=1
[F (t, x0(qt) + . . .+ xi(qt))− F (t, x0(qt) + . . .+ xi−1(qt))] .
Нехай iснує ще один неперервний обмежений при t ∈ R розв’язок γ̄(t) рiвняння (1).
Тодi виконується спiввiдношення ‖γ(t) − γ̄(t)‖ = 0, де ‖γ(t)‖ = sup
t
|γ(t)|, що можливо
лише при γ = γ̄. Отримана суперечнiсть доводить єдинiсть розв’язку.
Виконуючи в (1) замiну змiнних
x(t) = y(t) + γ(t), (5)
де γ(t) — побудований вище розв’язок рiвняння (1), отримуємо рiвняння для y(t):
y(t+ 1) = Ay(t) + F̃ (t, y(qt)), (6)
де F̃ (t, y(qt)) = F (t, y(qt) + γ(qt)) − F (t, γ(qt)), F̃ (t, 0) ≡ 0, яке, очевидно, має розв’язок
y(t) ≡ 0.
Покажемо, що при t ∈ R+ для рiвняння (6) справедливою є така теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються умови 1 – 3 i A > 0, q > 1. Тодi рiвняння (6) має сiм’ю
неперервних обмежених при t ∈ R+ розв’язкiв, що залежать вiд довiльної неперервної
1-перiодичної функцiї.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
150 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ
Доведення. Побудуємо послiдовнiсть рiвнянь
yi(t+ 1) = Ayi(t) + F̃ (t, y0(qt) + . . .+ yi−1(qt))−
− F̃ (t, y0(qt) + . . .+ yi−2(qt)), i ≥ 1,
(7)
y0(t) = Atω(t),
де ω(t) — довiльна неперервна 1-перiодична функцiя, y−1(t) ≡ 0, i доведемо, що ряд
∞∑
i=0
yi(t) (8)
рiвномiрно збiгається при t ≥ 0 до деякої неперервної функцiї y(t), яка є розв’язком
рiвняння (6).
Легко переконатися, що рiвняння (7) мають формальнi розв’язки
yi(t) =−
∞∑
j=0
A−(j+1)[F̃ (t+ j, y0(q(t+ j)) + . . .+ yi−1(q(t+ j)))−
− F̃ (t+ j, y0(q(t+ j)) + . . .+ yi−2(q(t+ j)))], i = 1, 2, . . . ,
(9)
y0(t) = Atω(t).
Покажемо, що ряди (9) рiвномiрно збiгаються при t ≥ 0 i виконуються оцiнки
|yi(t)| ≤ M∆iAt, i ≥ 0, (10)
де ∆ =
L
A−Aq
< 1.
Дiйсно, оцiнка (10) виконується при i = 0. Тодi на пiдставi (9) i умов 1 – 3 маємо
|y1(t)| ≤
∞∑
j=0
A−(j+1)|F (t+ j, y0(q(t+ j)) + γ(q(t+ j)))− F (t+ j, γ(q(t+ j)))| ≤
≤
∞∑
j=0
A−(j+1)L|y0(q(t+ j))| ≤ L
∞∑
j=0
A−(j+1)MAq(t+j) ≤ MLAqt−1
∞∑
j=0
A(q−1)j ≤
≤ MLAqt−1 1
1−Aq−1 ≤ ML
A−1
1−Aq−1 A
qt ≤ M∆At.
Нехай оцiнки (10) встановлено при i = 1, 2, . . . , k. Тодi з огляду на (9) i умови 1 – 3
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 151
маємо
|yk+1(t)| ≤
∞∑
j=0
A−(j+1)|F̃ (t+ j, y0(q(t+ j)) + . . .+ yk(q(t+ j)))−
− F̃ (t+ j, y0(q(t+ j)) + . . .+ yk−1(q(t+ j)))| ≤
≤
∞∑
j=0
A−(j+1)L|yk(q(t+ j))| ≤
∞∑
j=0
A−(j+1)LM∆kAq(t+j) ≤
≤ ML∆kA−1Aqt
∞∑
j=0
A(q−1)j ≤ ML∆kAqt A−1
1−Aq−1 ≤ M∆k+1At.
Отже, оцiнки (10) мають мiсце при всiх i ≥ 0. Звiдси безпосередньо випливає, що ряд
(8) рiвномiрно збiгається при всiх t ≥ 0 до деякої неперервної при t ≥ 0 функцiї y(t), яка
є розв’язком рiвняння (6) i такою, що виконується нерiвнiсть
y(t) ≤ M
1−∆
At.
Для цього, як i при доведеннi теореми 1, достатньо показати, що виконується спiввiд-
ношення
F̃
(
t,
∞∑
i=0
yi(qt)
)
≡ F̃ (t, 0) +
[
F̃ (t, y0(qt))− F̃ (t, 0)
]
+ . . . .
Теорема 3. Нехай виконуються умови 1 – 3 i A < 0, q > 1. Тодi рiвняння (6) має сiм’ю
неперервних обмежених при t ∈ R+ розв’язкiв, що залежать вiд довiльної неперервної
функцiї ω(t), яка задовольняє умову ω(t+ 1) = −ω(t).
Якщо побудувати послiдовнiсть рiвнянь
yi(t+ 1) =Ayi(t) + F̃ (t, y0(qt) + . . .+ yi−1(qt))− F̃ (t, y0(qt) + . . .+ yi−2(qt)), i ≥ 1,
y0(t) = |A|tω(t),
(11)
де ω(t) — довiльна неперервна функцiя, що задовольняє умову ω(t+ 1) = −ω(t), y−1 ≡ 0,
то, як i при доведеннi теореми 2, можна показати, що ряд
∞∑
i=0
yi(t)
рiвномiрно збiгається при t ≥ 0 до деякої неперервної функцiї y(t), яка є розв’язком
рiвняння (6).
При доведеннi теореми 1 припускалось виконання умови 3, яка досить помiтно обме-
жує її загальнiсть. Внаслiдок цього виникає природне питання: чи можна довести анало-
гiчне твердження у випадку, коли ця умова не виконується? Вiдповiдь дає наступна тео-
рема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
152 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ
Теорема 4. Нехай виконуються умови:
1) функцiя F (t, x) є неперервною при всiх t, x ∈ R i задовольняє умову
∣∣F (t, x′)− F (t, x′′)∣∣ ≤ L
∣∣x′ − x′′∣∣ ,
де L = const > 0, t, x′, x′′ ∈ R;
2) sup
t
|F (t, 0)| = M < ∞;
3) |A| > 1, |A−1| < 1,
L|A−1|
1− |A−1|
= Θ < 1, q 6= 0.
Тодi рiвняння (1) має єдиний неперервний обмежений при t ∈ R розв’язок χ(t).
Доведення. Розглянемо послiдовнiсть рiвнянь
x0(t+ 1) = Ax0(t) + F (t, 0),
(12)
xi(t+ 1) = Axi(t) + F (t, x0(qt) + . . .+ xi−1(qt))−
− F (t, x0(qt) + . . .+ xi−2(qt)), i ≥ 1,
де x−1(t) = 0, i покажемо, що вони мають неперервнi обмеженi при t ∈ R розв’язки, якi
задовольняють умови
|xi(t)| ≤ M̃Θi, i = 0, 1, . . . , (13)
де M̃ = M
|A−1|
1− |A−1|
.
Дiйсно, легко переконатися, що рiвняння (12) мають формальнi розв’язки
x0(t) = −
∞∑
j=0
A−(j+1)F (t+ j, 0),
(14)
xi(t) = −
∞∑
j=0
A−(j+1)[F (t+ j, x0(q(t+ j)) + . . .+ xi−1(q(t+ j)))−
− F̃ (t+ j, x0(q(t+ j)) + . . .+ xi−2(q(t+ j)))], i ≥ 1,
де x−1(t) = 0. Беручи до уваги умови теореми, знаходимо
|x0(t)| ≤
∣∣A−1∣∣M ∞∑
j=0
∣∣A−1∣∣j ≤ M
|A−1|
1− |A−1|
= M̃.
Отже, оцiнка (13) виконується при i = 0. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припускаємо,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 153
що вона виконується при i = 0, 1, . . . , k. Тодi з огляду на (14) i умови теореми отримуємо
|xk+1(t)| ≤
∣∣A−1∣∣ ∞∑
j=0
∣∣A−j [F (t+ j, x0(q(t+ j)) + . . .+ xk(q(t+ j)))−
− F (t+ j, x0(q(t+ j)) + . . .+ xk−1(q(t+ j)))]
∣∣ ≤
≤
∣∣A−1∣∣L ∞∑
j=0
∣∣A−1∣∣j |xk(q(t+ j))| ≤
∣∣A−1∣∣LM̃Θk
∞∑
j=0
∣∣A−1∣∣j ≤
≤ M̃Θk L|A−1|
1− |A−1|
≤ M̃Θk+1.
Таким чином, оцiнки (13) виконуються при всiх i ≥ 0 i t ∈ R.
Безпосередньо iз (13) випливає, що ряд
χ(t) =
∞∑
i=0
xi(t) (15)
рiвномiрно збiгається до деякої неперервної обмеженої при t ∈ R функцiї χ(t), яка є
розв’язком рiвняння (1) (доведення цього твердження є аналогiчним проведеному при
доведеннi теореми 1).
Виконуючи в (1) замiну змiнних
x(t) = y(t) + χ(t),
де χ(t) — неперервний обмежений при t ∈ R розв’язок (15), отримуємо рiвняння
y(t+ 1) = Ay(t) + F̄ (t, y(qt)), (16)
де F̄ (t, y(qt)) = F (t, y(qt) + χ(qt)) − F (t, χ(qt)), яке має єдиний неперервний обмежений
при t ∈ R розв’язок y(t) ≡ 0. Для рiвняння (15) справедливою є така теорема.
Теорема 5. Нехай виконуються умови 1 – 3 теореми 4 i A > 0, q > 1. Тодi рiвняння
(15) має сiм’ю неперервних обмежених при t ∈ R− розв’язкiв, що залежать вiд довiльної
неперервної 1-перiодичної функцiї.
Доведення. Побудуємо послiдовнiсть рiвнянь
y0(t+ 1) = Ay0(t),
(17)
yi(t+ 1) = Ayi(t) + F̄ (t, y0(qt) + . . .+ yi−1(qt))−
− F̄ (t, y0(qt) + . . .+ yi−2(qt)), i ≥ 1,
де y−1(t) = 0, i доведемо, що вони мають неперервнi обмеженi при t ∈ R− розв’язки yi(t),
i = 0, 1, . . . , такi, що ряд
χ(t) =
∞∑
i=0
yi(t) (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
154 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ
рiвномiрно збiгається при t ∈ R− до деякої неперервної обмеженої функцiї χ̄(t), яка є
розв’язком рiвняння (16).
Легко безпосередньо переконатися, що рiвняння (17) мають формальнi розв’язки
y0(t) = Atω(t),
(19)
yi(t) =
∞∑
j=1
Aj−1[F̄ (t− j, y0(q(t− j)) + . . .+ yi−1(q(t− j)))−
− F̄ (t− j, y0(q(t− j)) + . . .+ yi−2(q(t− j)))], i = 1, 2, . . . ,
де ω(t) — довiльна неперервна 1-перiодична функцiя.
Покажемо, що при всiх i ≥ 0 i t ∈ R− виконуються оцiнки
|yi(t)| ≤ M̄ΘiAt, (20)
де Θ =
L
Aq −A
.
Дiйсно, оцiнка (20) виконується при i = 0. Тодi, беручи до уваги (19) i умови теореми,
послiдовно отримуємо
|y1(t)| ≤
∞∑
j=1
A(j−1)|F̄ (t− j, y0(q(t− j)))| =
=
∞∑
j=1
A(j−1)|F (t− j, y0(q(t− j)) + χ̄(q(t− j)))− F (t− j, χ̄(q(t− j)))| ≤
≤
∞∑
j=1
A(j−1)L|y0(q(t− j))| ≤ LM̄
∞∑
j=1
Aj−1Aq(t−j) ≤ M̄LAqt
∞∑
j=1
A(1−q)j−1 ≤
≤ M̄Aqt LA−q
1−A1−q ≤ M̄ΘAqt ≤ M̄ΘAt,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|yi(t)| ≤
∞∑
j=1
Aj−1L|yi−1(q(t− j))| ≤
∞∑
j=1
Aj−1LM̄Θi−1Aq(t−j) ≤
≤ M̄LΘi−1
∞∑
j=1
Aj−1−qj
Aqt ≤ M̄Θi−1Aqt L
Aq −A
= M̄ΘiAqt ≤ M̄ΘiAt.
Таким чином, оцiнки (20) виконуються при всiх i ≥ 0 i t ∈ R−. Звiдси випливає, що
ряд (18) рiвномiрно збiгається при всiх t ≤ 0 до деякої неперервної обмеженої при t ≤ 0
функцiї χ̄(t). Як i при доведеннi теореми 1, можна показати, що функцiя χ̄(t) задовольняє
рiвняння (16).
Теорему 5 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 155
Теорема 6. Нехай виконуються умови 1 – 3 теореми 4 i A < 0, q > 1. Тодi рiвняння
(16) має сiм’ю неперервних обмежених при t ∈ R− розв’язкiв, що залежать вiд довiльної
неперервної функцiї ω̄(t), яка задовольняє умову ω̄(t+ 1) = −ω̄(t).
Доведення теореми 6 аналогiчне доведенню теореми 5.
Тепер розглянемо систему функцiонально-рiзницевих рiвнянь вигляду
x(t+ 1) = Ax(t) + F (t, x(qt)), (21)
де A — дiйсна (n× n)-матриця, q = const > 0, F : R× Rn → Rn.
Припустимо, що власнi числа λi, i = 1, . . . , n, матрицi A задовольняють умови
|λi| 6= 0, 1, λi 6= λj , i, j = 1, . . . , n.
Тодi iснує неособлива замiна змiнних
x(t) = Cy(t), (22)
яка приводить систему (21) до вигляду
y(t+ 1) = Λy(t) + F̃ (t, y(qt)), (23)
де Λ = diag (λ1, . . . , λn), F̃ (t, y(qt)) = C−1F (t, Cy(qt)).
Дослiдимо систему (23) у випадку, коли виконуються такi умови:
1) 0 < λi < 1 < λj , i = 1, . . . , k, j = k + 1, . . . , n;
2) вектор-функцiя F̃ (t, y) задовольняє умову∣∣∣F̃ (t, ȳ)− F̃ (t, ¯̄y)
∣∣∣ ≤ L|ȳ − ¯̄y|,
де L = const > 0, (t, ȳ), (t, ¯̄y) ∈ R× Rn, F̃ (0, 0) = 0.
Якщо позначити
Λ1 = diag (λ1, . . . , λk), Λ2 = diag (λk+1, . . . , λn),
y(t) =
(
y1(t), y2(t)
)
, y1(t) = (y1(t), . . . , yk(t)), y2(t) = (yk+1(t), . . . , yn(t)),
F̃ (t, y) =
(
F̃ 1(t, y), F̃ 2(t, y)
)
,
F̃ 1(t, y) =
(
F̃1(t, y), . . . , F̃k(t, y)
)
, F̃ 2(t, y) =
(
F̃k+1(t, y), . . . , F̃n(t, y)
)
,
то систему рiвнянь (23) можна записати у виглядi
y1(t+ 1) = Λ1y
1(t) + F̃ 1
(
t, y1(qt), y2(qt)
)
,
y2(t+ 1) = Λ2y
2(t) + F̃ 2
(
t, y1(qt), y2(qt)
)
.
(24)
Для системи рiвнянь (24) мають мiсце такi теореми.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
156 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ
Теорема 7. Нехай виконуються умови 1, 2, а також
3) q > 1, λ∗q < λ∗, Θ = max
{
2L
1
λ∗ − λ∗q
, 2L
1
λ∗∗ − λ∗q
}
< 1, λ∗ = min{λi, i =
= 1, . . . , k}, λ∗ = max{λi, i = 1, . . . , k}, λ∗∗ = min{λj , j = k + 1, . . . , n}.
Тодi система рiвнянь (24) має сiм’ю неперервних i обмежених при t ≥ 0 розв’язкiв, що
залежать вiд довiльної 1-перiодичної вектор-функцiї ω1(t) розмiрностi k.
Доведення. Розв’язки системи (24) шукатимемо у виглядi функцiональних рядiв
y1(t) =
∞∑
i=0
y1i (t),
y2(t) =
∞∑
i=0
y2i (t),
(25)
де y1i (t), y2i (t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при t ≥ 0 вектор-функцiї.
Оскiльки ряди (що буде доведено пiзнiше)
F̃ 1(t, y10(qt), y20(qt)) +
∞∑
i=2
F̃ 1
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
−
−F̃ 1
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
,
F̃ 2(t, y10(qt), y20(qt)) +
∞∑
i=2
F̃ 2
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
−
−F̃ 2
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
,
рiвномiрно збiгаються при t ∈ R+ i їх суми дорiвнюють F̃ 1
(
t,
∑∞
j=0 y
1
j (qt),
∑∞
j=0 y
2
j (qt)
)
i
F̃ 2
(
t,
∑∞
j=0 y
1
j (qt),
∑∞
j=0 y
2
j (qt)
)
вiдповiдно, то, пiдставляючи (25) в (24), отримуємо
∞∑
i=0
y1i (t+ 1) = Λ1
∞∑
i=0
y1i (t) + F̃ 1(t, y10(qt), y20(qt))+
+
∞∑
i=2
F̃ 1
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
− F̃ 1
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 157
∞∑
i=0
y2i (t+ 1) = Λ2
∞∑
i=0
y2i (t) + F̃ 2(t, y10(qt), y20(qt))+
+
∞∑
i=2
F̃ 2
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
− F̃ 2
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
.
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї y1i (t), y2i (t), i = 0, 1, . . . , є роз-
в’язками послiдовностi систем рiвнянь
y10(t+ 1) = Λ1y
1
0(t),
y20(t+ 1) = Λ2y
2
0(t),
(26)
y11(t+ 1) = Λ1y
1
1(t) + F̃ 1
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
,
y21(t+ 1) = Λ2y
2
1(t) + F̃ 2
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
,
(27)
y1i (t+ 1) = Λ1y
1
i (t) + F̃ 1
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
− F̃ 1
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
,
y2i (t+ 1) = Λ2y
2
i (t) + F̃ 2
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
− F̃ 2
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
,
(28)
i = 2, 3, . . . ,
то ряди (25) є формальним розв’язком системи рiвнянь (24).
Беручи до уваги умови теореми i зображення загального розв’язку системи (26), мож-
на переконатися, що iснує сiм’я розв’язкiв, яка задовольняє систему рiвнянь (26), i вико-
нуються оцiнки
|y10(t)| ≤ M1λ∗t,
|y20(t)| = 0,
(29)
де M1 = max |ω1(t)|.
Далi, з огляду на (27) та (29) отримуємо
|y11(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λ−11 |
j+1|F̃ 1(t+ j, y10(q(t+ j)), y20(q(t+ j)))| ≤
≤
∞∑
j=0
(λ−1∗ )j+1L(|y10(q(t+ j))|+ |y20(q(t+ j))|) ≤
≤
∞∑
j=0
λ
−(j+1)
∗ L|y10(q(t+ j))| ≤
∞∑
j=0
λ
−(j+1)
∗ LM1λ∗q(t+j) ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
158 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ
≤ LM1λ−1∗ λ∗qt
∞∑
j=0
(
λ−1∗ λ∗q
)j ≤ lM1 1
λ∗ − λ∗q
λ∗qt ≤ M1Θλ∗qt,
(30)
|y21(t)| ≤
∞∑
j=0
|Λ−12 |
j+1|F̃ 2
(
t+ j, y10(q(t+ j)
)
, y20(q(t+ j)))| ≤
≤
∞∑
j=0
(
λ−1∗∗
)j+1
L(|y10(q(t+ j))|+ |y20(q(t+ j))|) ≤
∞∑
j=0
λ
−(j+1)
∗∗ L
∣∣y10(q(t+ j))
∣∣ ≤
≤
∞∑
j=0
λ
−(j+1)
∗∗ LM1λ∗q(t+j) ≤ lM1 1
λ∗∗ − λ∗q
λ∗qt ≤ M1Θλ∗qt,
де Θ = max
{
2L
1
λ∗ − λ∗q
, 2L
1
λ∗∗ − λ∗q
}
< 1.
Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (28) при i = 2, 3, . . . , легко показати, що
ряди
y1i (t) = −
∞∑
j=0
Λ
−(j+1)
1
F̃ 1
t+ j,
i−1∑
j=0
y1j (q(t+ j)),
i−1∑
j=0
y2j (q(t+ j))
−
−F̃ 1
t+ j,
i−2∑
j=0
y1j (q(t+ j)),
i−2∑
j=0
y2j (q(t+ j))
,
(31)
y2i (t) = −
∞∑
j=0
Λ
−(j+1)
2
F̃ 2
t+ j,
i−1∑
j=0
y1j (q(t+ j)),
i−1∑
j=0
y2j (q(t+ j))
−
−F̃ 2
t+ j,
i−2∑
j=0
y1j (q(t+ j)),
i−2∑
j=0
y2j (q(t+ j))
рiвномiрно збiгаються при t ≥ 0 i задовольняють систему рiвнянь (28) при i = 2, 3, . . . , а
також виконуються оцiнки ∣∣y1i (t)
∣∣ ≤ M1Θiλ∗qt,∣∣y2i (t)
∣∣ ≤ M1Θiλ∗qt, i = 2, 3, . . . .
(32)
Звiдси випливає, що ряди (25) рiвномiрно збiгаються при t ≥ 0 до деяких неперервних
вектор-функцiй y(t) = (y1(t), y2(t)), якi є розв’язками системи рiвнянь (24) i задовольня-
ють умову
|y1(t)| ≤ M1
1−Θ
λ∗t, |y2(t)| ≤ M1
1−Θ
λ∗t.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 159
Доведемо тепер, що
F̃ 1
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
+
∞∑
i=2
F̃ 1
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
−
−F̃ 1
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
= F̃ 1
t, ∞∑
j=0
y1j (qt),
∞∑
j=0
y2j (qt)
,
F̃ 2
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
+
∞∑
i=2
F̃ 2
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
−
−F̃ 2
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
= F̃ 2
t, ∞∑
j=0
y1j (qt),
∞∑
j=0
y2j (qt)
.
Дiйсно, оскiльки при всiх m ≥ 1 виконуються спiввiдношення
F̃ 1
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
+
m+1∑
i=2
F̃ 1
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
−
−F̃ 1
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
= F̃ 1
t, m∑
j=0
y1j (qt),
m∑
j=0
y2j (qt)
,
F̃ 2
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
+
m+1∑
i=2
F̃ 2
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
−
−F̃ 2
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
= F̃ 2
t, m∑
j=0
y1j (qt),
m∑
j=0
y2j (qt)
,
то внаслiдок умов теореми отримуємо∣∣∣∣∣∣F̃ 1
t, ∞∑
j=0
y1j (qt),
∞∑
j=0
y2j (qt)
− F̃ 1
t, m∑
j=0
y1j (qt),
m∑
j=0
y2j (qt)
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ L
∣∣∣∣∣∣
∞∑
j=0
y1j (qt)−
m∑
j=0
y1j (qt)
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
∞∑
j=0
y2j (qt)−
m∑
j=0
y2j (qt)
∣∣∣∣∣∣
≤
≤ L
∣∣∣∣∣∣
∞∑
j=m+1
y1j (qt)
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
∞∑
j=m+1
y2j (qt)
∣∣∣∣∣∣
≤ L
∞∑
j=m+1
2M1Θiλ∗qt ≤ 2LM1 Θm+1
1−Θ
λ∗qt,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
160 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ∣∣∣∣∣∣F̃ 2
t, ∞∑
j=0
y1j (qt),
∞∑
j=0
y2j (qt)
− F̃ 2
t, m∑
j=0
y1j (qt),
m∑
j=0
y2j (qt)
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ L
∣∣∣∣∣∣
∞∑
j=0
y1j (qt)−
m∑
j=0
y1j (qt)
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
∞∑
j=0
y2j (qt)−
m∑
j=0
y2j (qt)
∣∣∣∣∣∣
≤
≤ L
∣∣∣∣∣∣
∞∑
j=m+1
y1j (qt)
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
∞∑
j=m+1
y2j (qt)
∣∣∣∣∣∣
≤ L
∞∑
j=m+1
2M1Θiλ∗qt ≤ 2LM1 Θm+1
1−Θ
λ∗qt.
Отже, згiдно з умовою 3 знайдеться таке натуральне число N, що при всiх m ≥ N i
довiльному як завгодно малому ε > 0 має мiсце нерiвнiсть
2LM1Θm+1
1−Θ
λ∗qt ≤ ε.
Таким чином, для всiх m ≥ N, t ∈ R+ виконуються нерiвностi∣∣∣∣∣∣F̃ 1
t, ∞∑
j=0
y1j (qt),
∞∑
j=0
y2j (qt)
− F̃ 1
t, m∑
j=0
y1j (qt),
m∑
j=0
y2j (qt)
∣∣∣∣∣∣ ≤ ε,
∣∣∣∣∣∣F̃ 2
t, ∞∑
j=0
y1j (qt),
∞∑
j=0
y2j (qt)
− F̃ 2
t, m∑
j=0
y1j (qt),
m∑
j=0
y2j (qt)
∣∣∣∣∣∣ ≤ ε
i, отже, мають мiсце спiввiдношення
lim
m→∞
F̃ 1
t, m∑
j=0
y1j (qt),
m∑
j=0
y2j (qt)
= F̃ 1
t, ∞∑
j=0
y1j (qt),
∞∑
j=0
y2j (qt)
,
lim
m→∞
F̃ 2
t, m∑
j=0
y1j (qt),
m∑
j=0
y2j (qt)
= F̃ 2
t, ∞∑
j=0
y1j (qt),
∞∑
j=0
y2j (qt)
.
Цим самим доведено, що ряди
F̃ 1
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
+
∞∑
i=2
F̃ 1
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
−
−F̃ 1
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 161
F̃ 2
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
+
∞∑
i=2
F̃ 2
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
−
−F̃ 2
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
рiвномiрно збiгаються при t ∈ R+ i їх суми дорiвнюють
F̃ 1
t, ∞∑
j=0
y1j (qt),
∞∑
j=0
y2j (qt)
, F̃ 2
t, ∞∑
j=0
y1j (qt),
∞∑
j=0
y2j (qt)
.
Теорему 7 доведено.
Аналогiчну теорему можна довести у випадку, коли t ≤ 0.
Теорема 8. Нехай виконуються умови 1, 2 i умова
3) q > 1, λq∗∗ > λ∗∗, Θ = max
{
2L
λq∗∗ − λ∗
,
2L
λq∗∗ − λ∗∗
}
, λ∗ = max{λi, i = 1, . . . , k},
λ∗∗ = max{λj , j = k + 1, . . . , n} λ∗∗ = min{λj , j = k + 1, . . . , n}.
Тодi система рiвнянь (24) має сiм’ю неперервних i обмежених при t ≤ 0 розв’язкiв, що
залежать вiд довiльної 1-перiодичної вектор-функцiї ω2(t) розмiрностi n− k.
Доведення. Розв’язок системи (24) шукатимемо у виглядi функцiональних рядiв
y1(t) =
∞∑
i=0
y1i (t),
y2(t) =
∞∑
i=0
y2i (t),
(33)
де y1i (t), y2i (t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при t ≤ 0 вектор-функцiї.
Оскiльки ряди (доведення аналогiчне тому, яке було проведено при доведеннi теоре-
мi 7)
F̃ 1
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
+
∞∑
i=2
F̃ 1
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
−
−F̃ 1
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
,
F̃ 2
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
+
∞∑
i=2
F̃ 2
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
−
−F̃ 2
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
162 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ
рiвномiрно збiгаються при t ∈ R− i їх суми дорiвнюють F̃ 1
(
t,
∑∞
j=0 y
1
j (qt),
∑∞
j=0 y
2
j (qt)
)
i
F̃ 2
(
t,
∑∞
j=0 y
1
j (qt)
∑∞
j=0 y
2
j (qt)
)
вiдповiдно, то, пiдставляючи (33) в (24), отримуємо
∞∑
i=0
y1i (t+ 1) = Λ1
∞∑
i=0
y1i (t) + F̃ 1(t, y10(qt), y20(qt))+
+
∞∑
i=2
F̃ 1
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
− F̃ 1
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
,
∞∑
i=0
y2i (t+ 1) = Λ2
∞∑
i=0
y2i (t) + F̃ 2
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
+
+
∞∑
i=2
F̃ 2
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
− F̃ 2
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
.
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї y1i (t), y2i (t), i = 0, 1, . . . , є роз-
в’язками послiдовностi систем рiвнянь
y10(t+ 1) = Λ1y
1
0(t),
y20(t+ 1) = Λ2y
2
0(t),
(34)
y11(t+ 1) = Λ1y
1
1(t) + F̃ 1
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
,
y21(t+ 1) = Λ2y
2
1(t) + F̃ 2
(
t, y10(qt), y20(qt)
)
,
(35)
y1i (t+ 1) = Λ1y
1
i (t) + F̃ 1
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
−
− F̃ 1
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
,
(36)
y2i (t+ 1) = Λ2y
2
i (t) + F̃ 2
t, i−1∑
j=0
y1j (qt),
i−1∑
j=0
y2j (qt)
−
− F̃ 2
t, i−2∑
j=0
y1j (qt),
i−2∑
j=0
y2j (qt)
, i = 2, 3, . . . ,
то ряди (33) є формальним розв’язком системи рiвнянь (24).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 163
Беручи до уваги умови теореми, можна переконатися, що iснують розв’язки, якi задо-
вольняють систему рiвнянь (34), i виконуються оцiнки
∣∣y10(t)
∣∣ = 0,∣∣y20(t)
∣∣ ≤ M2λt∗∗,
(37)
де M2 = max |ω2(t)|.
Далi, з огляду на (35) та (37) маємо
|y11(t)| ≤
∞∑
j=1
|Λj−1
1 ||F̃ 1(t− j, y10(q(t− j)), y20(q(t− j)))| ≤
≤
∞∑
j=1
(λ∗)j−1L|y20(q(t− j))| ≤
≤
∞∑
j=1
(λ∗)j−1LM2λ
q(t−j)
∗∗ ≤
≤ LM2 1
λ∗
∞∑
j=1
(
λ∗
λq∗∗
)j
λqt∗∗ ≤
≤ M2 L
λq∗∗ − λ∗
λqt∗∗ ≤ M2Θλqt∗∗,
|y21(t)| ≤
∞∑
j=1
|Λj−1
2 ||F̃ 2(t− j, y10(q(t− j)), y20(q(t− j)))| ≤
≤
∞∑
j=1
(λ∗∗)j−1L|y20(q(t− j))| ≤
≤
∞∑
j=1
(λ∗∗)j−1LM2λ
q(t−j)
∗∗ ≤
≤ LM2 1
λ∗∗
∞∑
j=1
(
λ∗∗
λq∗∗
)j
λqt∗∗ ≤
≤ M2 L
λq∗∗ − λ∗∗
λqt∗∗ ≤ M2Θλqt∗∗,
де Θ = max
{
2L
λq∗∗ − λ∗
,
2L
λq∗∗ − λ∗∗
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
164 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ
Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (36) при i = 2, 3, . . . , легко показати, що
ряди
y1i (t) =
∞∑
j=1
Λj−1
1
F̃ 1
t− j, i−1∑
j=0
y1j (q(t− j)),
i−1∑
j=0
y2j (q(t− j))
−
−F̃ 1
t− j, i−2∑
j=0
y1j (q(t− j)),
i−2∑
j=0
y2j (q(t− j))
,
y2i (t) =
∞∑
j=1
Λj−1
2
F̃ 2
t− j, i−1∑
j=0
y1j (q(t− j)),
i−1∑
j=0
y2j (q(t− j))
−
−F̃ 2
t− j, i−2∑
j=0
y1j (q(t− j)),
i−2∑
j=0
y2j (q(t− j))
, i = 2, 3, . . . .
рiвномiрно збiгаються при t ≤ 0 i задовольняють систему рiвнянь (36) при i = 2, 3, . . . , а
також виконуються оцiнки ∣∣y1i (t)
∣∣ ≤ M2Θiλqt∗∗,
∣∣y2i (t)
∣∣ ≤ M2Θiλqt∗∗, i = 2, 3, . . . .
Звiдси випливає, що ряди (33) рiвномiрно збiгаються при t ≤ 0 до деяких неперервних
вектор-функцiй y(t) = (y1(t), y2(t)), якi є розв’язками системи рiвнянь (24) i задовольня-
ють умову
∣∣y1(t)∣∣ ≤ M2
1−Θ
λt∗∗,
∣∣y2(t)∣∣ ≤ M2
1−Θ
λt∗∗.
Теорему 8 доведено.
Лiтература
1. Birkhoff G. D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1911. — 12. —
P. 243 – 284.
2. Trjitzinsky W. J. Analytic theory of linear q-difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1933. — 61. —
P. 1 – 38.
3. Пелюх Г. П., Сiвак О. А. Дослiдження структури множини неперервних розв’язкiв систем лiнiйних
функцiонально-рiзницевих рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 3. — С. 307 – 335.
4. Пелюх Г. П., Сiвак О. А. Про структуру множини неперервних розв’язкiв функцiонально-рiзницевих
рiвнянь з лiнiйно перетвореним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2010. — 13, № 1. — С. 75 – 95.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 165
5. Сiвак О. А. Структура множини неперервних розв’язкiв систем лiнiйних функцiонально-рiзницевих
рiвнянь // Наук. вiстi Нац. техн. ун-ту України «КПI». — 2011. — № 4. — C. 81 – 87.
6. Бецко I. В. Дослiдження структури множини неперервних розв’язкiв систем рiзницевих рiвнянь //
Наук. вiстi Нац. техн. ун-ту України «КПI». — 2015. — № 4. — C. 7 – 13.
7. Бецко I. В. Про iснування неперервних розв’язкiв систем рiзницевих рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. —
2016. — 19, № 1. — C. 3 – 10.
8. Бецко I. В. Побудова неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних функцiонально-рiзницевих рiвнянь //
Наук. вiстi Нац. техн. ун-ту України «КПI». — 2016. — № 4. — C. 7 – 13.
Одержано 01.03.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
|