Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості

Исследована структура множества непрерывных решений одного класса систем нелинейных функционально-разностных уравнений.

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2017
Автори: Бецко, І.В., Пелюх, Г.П.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2017
Назва видання:Нелінійні коливання
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177299
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / І.В. Бецко, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 147-165 — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-177299
record_format dspace
spelling irk-123456789-1772992021-02-15T01:26:32Z Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості Бецко, І.В. Пелюх, Г.П. Исследована структура множества непрерывных решений одного класса систем нелинейных функционально-разностных уравнений. We study the structure of a solution set of a certain class of nonlinear functional-difference equations 2017 Article Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / І.В. Бецко, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 147-165 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177299 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Исследована структура множества непрерывных решений одного класса систем нелинейных функционально-разностных уравнений.
format Article
author Бецко, І.В.
Пелюх, Г.П.
spellingShingle Бецко, І.В.
Пелюх, Г.П.
Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості
Нелінійні коливання
author_facet Бецко, І.В.
Пелюх, Г.П.
author_sort Бецко, І.В.
title Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості
title_short Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості
title_full Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості
title_fullStr Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості
title_full_unstemmed Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості
title_sort про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2017
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177299
citation_txt Про обмежені на всій дійсній осі розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / І.В. Бецко, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 147-165 — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT beckoív proobmeženínavsíjdíjsníjosírozvâzkinelíníjnihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹííhvlastivostí
AT pelûhgp proobmeženínavsíjdíjsníjosírozvâzkinelíníjnihfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹííhvlastivostí
first_indexed 2025-07-15T15:20:37Z
last_indexed 2025-07-15T15:20:37Z
_version_ 1837726787745873920
fulltext УДК 517.9 ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ I ЇХНI ВЛАСТИВОСТI I. В. Бецко, Г. П. Пелюх Iн-т математики НАН України вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01004, Україна e-mail: betskoiv@mail.ru grygor@imath.kiev.ua We study the structure of a solution set of a certain class of nonlinear functional-difference equations. Исследована структура множества непрерывных решений одного класса систем нелинейных функционально-разностных уравнений. Дослiдження питань iснування неперервних при t ∈ R розв’язкiв нелiнiйних функцiональ- но-рiзницевих рiвнянь вигляду x(t+ 1) = Ax(t) + F (t, x(qt)), (1) деA, q — деякi дiйснi сталi, t ∈ R, F : R×R → R, були основною метою багатьох матема- тикiв (див. [1 – 5] i наведену там бiблiографiю). Особливо детально цi питання дослiджено для лiнiйних функцiонально-рiзницевих рiвнянь [6 – 8]. Основною метою даної роботи є встановлення достатнiх умов iснування неперервних обмежених при t ∈ R розв’язкiв рiв- няння (1) i розробка методу їх побудови. Спочатку розглянемо питання про iснування неперервного обмеженого при t ∈ R розв’язку рiвняння (1). Має мiсце така теорема. Теорема 1. Нехай виконуються умови: 1) функцiя F (t, x) є неперервною при всiх t, x ∈ R i задовольняє умову |F (t, x̄)− F (t, ¯̄x)| ≤ L|x̄− ¯̄x|, де L = const > 0, t, x̄, ¯̄x ∈ R; 2) sup t |F (t, 0)| = M < ∞; 3) 0 < a = |A| < 1, 0 < a+ L = ∆ < 1, q 6= 0. Тодi рiвняння (1) має єдиний неперервний обмежений при t ∈ R розв’язок γ(t). Доведення. Побудуємо послiдовнiсть функцiй x0(t+ 1) = F (t, 0), (2) xi(t+ 1) = Axi−1(t) + F (t, x0(qt) + . . . . . .+ xi−1(qt))− F (t, x0(qt) + . . .+ xi−2(qt)), i = 1, 2, . . . , c© I. В. Бецко, Г. П. Пелюх, 2017 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 147 148 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ де x−1(t) ≡ 0, i покажемо, що виконуються оцiнки |x0(t)| ≤ M, |xi(t)| ≤ M∆i, i ≥ 1. (3) Дiйсно, оскiльки iз (2) випливають спiввiдношення x0(t) = F (t− 1, 0), xi(t) = Axi−1(t− 1) + F (t− 1, x0(q(t− 1)) + . . .+ xi−1(q(t− 1)))− − F (t− 1, x0(q(t− 1)) + . . .+ xi−2(q(t− 1))), i ≥ 1, x−1(t) ≡ 0, то з огляду на умови теореми послiдовно знаходимо |x0(t)| = |F (t− 1, 0)| ≤ M, |x1(t)| ≤ |A||x0(t− 1)|+ |F (t− 1, x0(q(t− 1)))− F (t− 1, 0)| ≤ ≤ aM + LM ≤ M(a+ L) = M∆, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |xi(t)| ≤ |A||xi−1(t− 1)|+ |F (t− 1, x0(q(t− 1)) + . . .+ xi−1(q(t− 1)))− − F (t− 1, x0(q(t− 1)) + . . .+ xi−2(q(t− 1)))| ≤ ≤ aM∆i−1 + LM∆i−1 ≤ M∆i−1(a+ L) = M∆i. Таким чином, оцiнки (3) виконуються при всiх t ∈ R i i ≥ 0. Тодi безпосередньо iз (3) випливає, що ряд γ(t) = ∞∑ i=0 xi(t) рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R до деякої неперервної функцiї γ(t), яка задовольняє умову |γ(t)| ≤ M 1−∆ . Бiльш того, покажемо, що функцiя γ(t) є розв’язком рiвняння (1). Дiйсно, згiдно з (2) для цього достатньо показати, що ряд F (t, 0) + ∞∑ i=0 [F (t, x0(qt) + . . .+ xi(qt))− F (t, x0(qt) + . . .+ xi−1(qt))] , де x−1(t) ≡ 0, рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R i його сумою є функцiя F ( t, ∞∑ i=0 xi(qt) ) . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 149 Для цього, в свою чергу, достатньо довести, що при всiх t ∈ R виконується спiв- вiдношення lim m→∞ F ( t, m∑ i=0 xi(qt) ) = F ( t, ∞∑ i=o xi(qt) ) . (4) Дiйсно, з огляду на (3) для довiльного як завгодно малого ε > 0 можна вказати таке натуральне N, що при m ≥ N виконується нерiвнiсть ML 1−∆ ∆m+1 ≤ ε. Тодi, беручи до уваги умову 1 теореми, при всiх m ≥ N отримуємо∣∣∣∣∣F ( t, ∞∑ i=0 xi(qt) ) − F ( t, m∑ i=0 xi(qt) )∣∣∣∣∣ ≤ L ∞∑ i=m+1 |xi(qt)| ≤ ≤ LM∆m+1 ∞∑ i=0 ∆i ≤ M∆m+1 L 1−∆ ≤ ε. Таким чином, при всiх t ∈ R спiввiдношення (4) має мiсце. Цим самим доведено, що при всiх t ∈ R виконується тотожнiсть F ( t, ∞∑ i=0 xi(qt) ) = F (t, 0) + [F (t, x0(qt))− F (t, 0)]+ + ∞∑ i=1 [F (t, x0(qt) + . . .+ xi(qt))− F (t, x0(qt) + . . .+ xi−1(qt))] . Нехай iснує ще один неперервний обмежений при t ∈ R розв’язок γ̄(t) рiвняння (1). Тодi виконується спiввiдношення ‖γ(t) − γ̄(t)‖ = 0, де ‖γ(t)‖ = sup t |γ(t)|, що можливо лише при γ = γ̄. Отримана суперечнiсть доводить єдинiсть розв’язку. Виконуючи в (1) замiну змiнних x(t) = y(t) + γ(t), (5) де γ(t) — побудований вище розв’язок рiвняння (1), отримуємо рiвняння для y(t): y(t+ 1) = Ay(t) + F̃ (t, y(qt)), (6) де F̃ (t, y(qt)) = F (t, y(qt) + γ(qt)) − F (t, γ(qt)), F̃ (t, 0) ≡ 0, яке, очевидно, має розв’язок y(t) ≡ 0. Покажемо, що при t ∈ R+ для рiвняння (6) справедливою є така теорема. Теорема 2. Нехай виконуються умови 1 – 3 i A > 0, q > 1. Тодi рiвняння (6) має сiм’ю неперервних обмежених при t ∈ R+ розв’язкiв, що залежать вiд довiльної неперервної 1-перiодичної функцiї. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 150 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ Доведення. Побудуємо послiдовнiсть рiвнянь yi(t+ 1) = Ayi(t) + F̃ (t, y0(qt) + . . .+ yi−1(qt))− − F̃ (t, y0(qt) + . . .+ yi−2(qt)), i ≥ 1, (7) y0(t) = Atω(t), де ω(t) — довiльна неперервна 1-перiодична функцiя, y−1(t) ≡ 0, i доведемо, що ряд ∞∑ i=0 yi(t) (8) рiвномiрно збiгається при t ≥ 0 до деякої неперервної функцiї y(t), яка є розв’язком рiвняння (6). Легко переконатися, що рiвняння (7) мають формальнi розв’язки yi(t) =− ∞∑ j=0 A−(j+1)[F̃ (t+ j, y0(q(t+ j)) + . . .+ yi−1(q(t+ j)))− − F̃ (t+ j, y0(q(t+ j)) + . . .+ yi−2(q(t+ j)))], i = 1, 2, . . . , (9) y0(t) = Atω(t). Покажемо, що ряди (9) рiвномiрно збiгаються при t ≥ 0 i виконуються оцiнки |yi(t)| ≤ M∆iAt, i ≥ 0, (10) де ∆ = L A−Aq < 1. Дiйсно, оцiнка (10) виконується при i = 0. Тодi на пiдставi (9) i умов 1 – 3 маємо |y1(t)| ≤ ∞∑ j=0 A−(j+1)|F (t+ j, y0(q(t+ j)) + γ(q(t+ j)))− F (t+ j, γ(q(t+ j)))| ≤ ≤ ∞∑ j=0 A−(j+1)L|y0(q(t+ j))| ≤ L ∞∑ j=0 A−(j+1)MAq(t+j) ≤ MLAqt−1 ∞∑ j=0 A(q−1)j ≤ ≤ MLAqt−1 1 1−Aq−1 ≤ ML A−1 1−Aq−1 A qt ≤ M∆At. Нехай оцiнки (10) встановлено при i = 1, 2, . . . , k. Тодi з огляду на (9) i умови 1 – 3 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 151 маємо |yk+1(t)| ≤ ∞∑ j=0 A−(j+1)|F̃ (t+ j, y0(q(t+ j)) + . . .+ yk(q(t+ j)))− − F̃ (t+ j, y0(q(t+ j)) + . . .+ yk−1(q(t+ j)))| ≤ ≤ ∞∑ j=0 A−(j+1)L|yk(q(t+ j))| ≤ ∞∑ j=0 A−(j+1)LM∆kAq(t+j) ≤ ≤ ML∆kA−1Aqt ∞∑ j=0 A(q−1)j ≤ ML∆kAqt A−1 1−Aq−1 ≤ M∆k+1At. Отже, оцiнки (10) мають мiсце при всiх i ≥ 0. Звiдси безпосередньо випливає, що ряд (8) рiвномiрно збiгається при всiх t ≥ 0 до деякої неперервної при t ≥ 0 функцiї y(t), яка є розв’язком рiвняння (6) i такою, що виконується нерiвнiсть y(t) ≤ M 1−∆ At. Для цього, як i при доведеннi теореми 1, достатньо показати, що виконується спiввiд- ношення F̃ ( t, ∞∑ i=0 yi(qt) ) ≡ F̃ (t, 0) + [ F̃ (t, y0(qt))− F̃ (t, 0) ] + . . . . Теорема 3. Нехай виконуються умови 1 – 3 i A < 0, q > 1. Тодi рiвняння (6) має сiм’ю неперервних обмежених при t ∈ R+ розв’язкiв, що залежать вiд довiльної неперервної функцiї ω(t), яка задовольняє умову ω(t+ 1) = −ω(t). Якщо побудувати послiдовнiсть рiвнянь yi(t+ 1) =Ayi(t) + F̃ (t, y0(qt) + . . .+ yi−1(qt))− F̃ (t, y0(qt) + . . .+ yi−2(qt)), i ≥ 1, y0(t) = |A|tω(t), (11) де ω(t) — довiльна неперервна функцiя, що задовольняє умову ω(t+ 1) = −ω(t), y−1 ≡ 0, то, як i при доведеннi теореми 2, можна показати, що ряд ∞∑ i=0 yi(t) рiвномiрно збiгається при t ≥ 0 до деякої неперервної функцiї y(t), яка є розв’язком рiвняння (6). При доведеннi теореми 1 припускалось виконання умови 3, яка досить помiтно обме- жує її загальнiсть. Внаслiдок цього виникає природне питання: чи можна довести анало- гiчне твердження у випадку, коли ця умова не виконується? Вiдповiдь дає наступна тео- рема. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 152 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ Теорема 4. Нехай виконуються умови: 1) функцiя F (t, x) є неперервною при всiх t, x ∈ R i задовольняє умову ∣∣F (t, x′)− F (t, x′′)∣∣ ≤ L ∣∣x′ − x′′∣∣ , де L = const > 0, t, x′, x′′ ∈ R; 2) sup t |F (t, 0)| = M < ∞; 3) |A| > 1, |A−1| < 1, L|A−1| 1− |A−1| = Θ < 1, q 6= 0. Тодi рiвняння (1) має єдиний неперервний обмежений при t ∈ R розв’язок χ(t). Доведення. Розглянемо послiдовнiсть рiвнянь x0(t+ 1) = Ax0(t) + F (t, 0), (12) xi(t+ 1) = Axi(t) + F (t, x0(qt) + . . .+ xi−1(qt))− − F (t, x0(qt) + . . .+ xi−2(qt)), i ≥ 1, де x−1(t) = 0, i покажемо, що вони мають неперервнi обмеженi при t ∈ R розв’язки, якi задовольняють умови |xi(t)| ≤ M̃Θi, i = 0, 1, . . . , (13) де M̃ = M |A−1| 1− |A−1| . Дiйсно, легко переконатися, що рiвняння (12) мають формальнi розв’язки x0(t) = − ∞∑ j=0 A−(j+1)F (t+ j, 0), (14) xi(t) = − ∞∑ j=0 A−(j+1)[F (t+ j, x0(q(t+ j)) + . . .+ xi−1(q(t+ j)))− − F̃ (t+ j, x0(q(t+ j)) + . . .+ xi−2(q(t+ j)))], i ≥ 1, де x−1(t) = 0. Беручи до уваги умови теореми, знаходимо |x0(t)| ≤ ∣∣A−1∣∣M ∞∑ j=0 ∣∣A−1∣∣j ≤ M |A−1| 1− |A−1| = M̃. Отже, оцiнка (13) виконується при i = 0. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припускаємо, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 153 що вона виконується при i = 0, 1, . . . , k. Тодi з огляду на (14) i умови теореми отримуємо |xk+1(t)| ≤ ∣∣A−1∣∣ ∞∑ j=0 ∣∣A−j [F (t+ j, x0(q(t+ j)) + . . .+ xk(q(t+ j)))− − F (t+ j, x0(q(t+ j)) + . . .+ xk−1(q(t+ j)))] ∣∣ ≤ ≤ ∣∣A−1∣∣L ∞∑ j=0 ∣∣A−1∣∣j |xk(q(t+ j))| ≤ ∣∣A−1∣∣LM̃Θk ∞∑ j=0 ∣∣A−1∣∣j ≤ ≤ M̃Θk L|A−1| 1− |A−1| ≤ M̃Θk+1. Таким чином, оцiнки (13) виконуються при всiх i ≥ 0 i t ∈ R. Безпосередньо iз (13) випливає, що ряд χ(t) = ∞∑ i=0 xi(t) (15) рiвномiрно збiгається до деякої неперервної обмеженої при t ∈ R функцiї χ(t), яка є розв’язком рiвняння (1) (доведення цього твердження є аналогiчним проведеному при доведеннi теореми 1). Виконуючи в (1) замiну змiнних x(t) = y(t) + χ(t), де χ(t) — неперервний обмежений при t ∈ R розв’язок (15), отримуємо рiвняння y(t+ 1) = Ay(t) + F̄ (t, y(qt)), (16) де F̄ (t, y(qt)) = F (t, y(qt) + χ(qt)) − F (t, χ(qt)), яке має єдиний неперервний обмежений при t ∈ R розв’язок y(t) ≡ 0. Для рiвняння (15) справедливою є така теорема. Теорема 5. Нехай виконуються умови 1 – 3 теореми 4 i A > 0, q > 1. Тодi рiвняння (15) має сiм’ю неперервних обмежених при t ∈ R− розв’язкiв, що залежать вiд довiльної неперервної 1-перiодичної функцiї. Доведення. Побудуємо послiдовнiсть рiвнянь y0(t+ 1) = Ay0(t), (17) yi(t+ 1) = Ayi(t) + F̄ (t, y0(qt) + . . .+ yi−1(qt))− − F̄ (t, y0(qt) + . . .+ yi−2(qt)), i ≥ 1, де y−1(t) = 0, i доведемо, що вони мають неперервнi обмеженi при t ∈ R− розв’язки yi(t), i = 0, 1, . . . , такi, що ряд χ(t) = ∞∑ i=0 yi(t) (18) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 154 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ рiвномiрно збiгається при t ∈ R− до деякої неперервної обмеженої функцiї χ̄(t), яка є розв’язком рiвняння (16). Легко безпосередньо переконатися, що рiвняння (17) мають формальнi розв’язки y0(t) = Atω(t), (19) yi(t) = ∞∑ j=1 Aj−1[F̄ (t− j, y0(q(t− j)) + . . .+ yi−1(q(t− j)))− − F̄ (t− j, y0(q(t− j)) + . . .+ yi−2(q(t− j)))], i = 1, 2, . . . , де ω(t) — довiльна неперервна 1-перiодична функцiя. Покажемо, що при всiх i ≥ 0 i t ∈ R− виконуються оцiнки |yi(t)| ≤ M̄ΘiAt, (20) де Θ = L Aq −A . Дiйсно, оцiнка (20) виконується при i = 0. Тодi, беручи до уваги (19) i умови теореми, послiдовно отримуємо |y1(t)| ≤ ∞∑ j=1 A(j−1)|F̄ (t− j, y0(q(t− j)))| = = ∞∑ j=1 A(j−1)|F (t− j, y0(q(t− j)) + χ̄(q(t− j)))− F (t− j, χ̄(q(t− j)))| ≤ ≤ ∞∑ j=1 A(j−1)L|y0(q(t− j))| ≤ LM̄ ∞∑ j=1 Aj−1Aq(t−j) ≤ M̄LAqt ∞∑ j=1 A(1−q)j−1 ≤ ≤ M̄Aqt LA−q 1−A1−q ≤ M̄ΘAqt ≤ M̄ΘAt, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |yi(t)| ≤ ∞∑ j=1 Aj−1L|yi−1(q(t− j))| ≤ ∞∑ j=1 Aj−1LM̄Θi−1Aq(t−j) ≤ ≤ M̄LΘi−1  ∞∑ j=1 Aj−1−qj Aqt ≤ M̄Θi−1Aqt L Aq −A = M̄ΘiAqt ≤ M̄ΘiAt. Таким чином, оцiнки (20) виконуються при всiх i ≥ 0 i t ∈ R−. Звiдси випливає, що ряд (18) рiвномiрно збiгається при всiх t ≤ 0 до деякої неперервної обмеженої при t ≤ 0 функцiї χ̄(t). Як i при доведеннi теореми 1, можна показати, що функцiя χ̄(t) задовольняє рiвняння (16). Теорему 5 доведено. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 155 Теорема 6. Нехай виконуються умови 1 – 3 теореми 4 i A < 0, q > 1. Тодi рiвняння (16) має сiм’ю неперервних обмежених при t ∈ R− розв’язкiв, що залежать вiд довiльної неперервної функцiї ω̄(t), яка задовольняє умову ω̄(t+ 1) = −ω̄(t). Доведення теореми 6 аналогiчне доведенню теореми 5. Тепер розглянемо систему функцiонально-рiзницевих рiвнянь вигляду x(t+ 1) = Ax(t) + F (t, x(qt)), (21) де A — дiйсна (n× n)-матриця, q = const > 0, F : R× Rn → Rn. Припустимо, що власнi числа λi, i = 1, . . . , n, матрицi A задовольняють умови |λi| 6= 0, 1, λi 6= λj , i, j = 1, . . . , n. Тодi iснує неособлива замiна змiнних x(t) = Cy(t), (22) яка приводить систему (21) до вигляду y(t+ 1) = Λy(t) + F̃ (t, y(qt)), (23) де Λ = diag (λ1, . . . , λn), F̃ (t, y(qt)) = C−1F (t, Cy(qt)). Дослiдимо систему (23) у випадку, коли виконуються такi умови: 1) 0 < λi < 1 < λj , i = 1, . . . , k, j = k + 1, . . . , n; 2) вектор-функцiя F̃ (t, y) задовольняє умову∣∣∣F̃ (t, ȳ)− F̃ (t, ¯̄y) ∣∣∣ ≤ L|ȳ − ¯̄y|, де L = const > 0, (t, ȳ), (t, ¯̄y) ∈ R× Rn, F̃ (0, 0) = 0. Якщо позначити Λ1 = diag (λ1, . . . , λk), Λ2 = diag (λk+1, . . . , λn), y(t) = ( y1(t), y2(t) ) , y1(t) = (y1(t), . . . , yk(t)), y2(t) = (yk+1(t), . . . , yn(t)), F̃ (t, y) = ( F̃ 1(t, y), F̃ 2(t, y) ) , F̃ 1(t, y) = ( F̃1(t, y), . . . , F̃k(t, y) ) , F̃ 2(t, y) = ( F̃k+1(t, y), . . . , F̃n(t, y) ) , то систему рiвнянь (23) можна записати у виглядi y1(t+ 1) = Λ1y 1(t) + F̃ 1 ( t, y1(qt), y2(qt) ) , y2(t+ 1) = Λ2y 2(t) + F̃ 2 ( t, y1(qt), y2(qt) ) . (24) Для системи рiвнянь (24) мають мiсце такi теореми. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 156 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ Теорема 7. Нехай виконуються умови 1, 2, а також 3) q > 1, λ∗q < λ∗, Θ = max { 2L 1 λ∗ − λ∗q , 2L 1 λ∗∗ − λ∗q } < 1, λ∗ = min{λi, i = = 1, . . . , k}, λ∗ = max{λi, i = 1, . . . , k}, λ∗∗ = min{λj , j = k + 1, . . . , n}. Тодi система рiвнянь (24) має сiм’ю неперервних i обмежених при t ≥ 0 розв’язкiв, що залежать вiд довiльної 1-перiодичної вектор-функцiї ω1(t) розмiрностi k. Доведення. Розв’язки системи (24) шукатимемо у виглядi функцiональних рядiв y1(t) = ∞∑ i=0 y1i (t), y2(t) = ∞∑ i=0 y2i (t), (25) де y1i (t), y2i (t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при t ≥ 0 вектор-функцiї. Оскiльки ряди (що буде доведено пiзнiше) F̃ 1(t, y10(qt), y20(qt)) + ∞∑ i=2 F̃ 1 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − −F̃ 1 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  , F̃ 2(t, y10(qt), y20(qt)) + ∞∑ i=2 F̃ 2 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − −F̃ 2 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  , рiвномiрно збiгаються при t ∈ R+ i їх суми дорiвнюють F̃ 1 ( t, ∑∞ j=0 y 1 j (qt), ∑∞ j=0 y 2 j (qt) ) i F̃ 2 ( t, ∑∞ j=0 y 1 j (qt), ∑∞ j=0 y 2 j (qt) ) вiдповiдно, то, пiдставляючи (25) в (24), отримуємо ∞∑ i=0 y1i (t+ 1) = Λ1 ∞∑ i=0 y1i (t) + F̃ 1(t, y10(qt), y20(qt))+ + ∞∑ i=2 F̃ 1 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − F̃ 1 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 157 ∞∑ i=0 y2i (t+ 1) = Λ2 ∞∑ i=0 y2i (t) + F̃ 2(t, y10(qt), y20(qt))+ + ∞∑ i=2 F̃ 2 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − F̃ 2 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  . Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї y1i (t), y2i (t), i = 0, 1, . . . , є роз- в’язками послiдовностi систем рiвнянь y10(t+ 1) = Λ1y 1 0(t), y20(t+ 1) = Λ2y 2 0(t), (26) y11(t+ 1) = Λ1y 1 1(t) + F̃ 1 ( t, y10(qt), y20(qt) ) , y21(t+ 1) = Λ2y 2 1(t) + F̃ 2 ( t, y10(qt), y20(qt) ) , (27) y1i (t+ 1) = Λ1y 1 i (t) + F̃ 1 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − F̃ 1 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  , y2i (t+ 1) = Λ2y 2 i (t) + F̃ 2 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − F̃ 2 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  , (28) i = 2, 3, . . . , то ряди (25) є формальним розв’язком системи рiвнянь (24). Беручи до уваги умови теореми i зображення загального розв’язку системи (26), мож- на переконатися, що iснує сiм’я розв’язкiв, яка задовольняє систему рiвнянь (26), i вико- нуються оцiнки |y10(t)| ≤ M1λ∗t, |y20(t)| = 0, (29) де M1 = max |ω1(t)|. Далi, з огляду на (27) та (29) отримуємо |y11(t)| ≤ ∞∑ j=0 |Λ−11 | j+1|F̃ 1(t+ j, y10(q(t+ j)), y20(q(t+ j)))| ≤ ≤ ∞∑ j=0 (λ−1∗ )j+1L(|y10(q(t+ j))|+ |y20(q(t+ j))|) ≤ ≤ ∞∑ j=0 λ −(j+1) ∗ L|y10(q(t+ j))| ≤ ∞∑ j=0 λ −(j+1) ∗ LM1λ∗q(t+j) ≤ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 158 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ ≤ LM1λ−1∗ λ∗qt ∞∑ j=0 ( λ−1∗ λ∗q )j ≤ lM1 1 λ∗ − λ∗q λ∗qt ≤ M1Θλ∗qt, (30) |y21(t)| ≤ ∞∑ j=0 |Λ−12 | j+1|F̃ 2 ( t+ j, y10(q(t+ j) ) , y20(q(t+ j)))| ≤ ≤ ∞∑ j=0 ( λ−1∗∗ )j+1 L(|y10(q(t+ j))|+ |y20(q(t+ j))|) ≤ ∞∑ j=0 λ −(j+1) ∗∗ L ∣∣y10(q(t+ j)) ∣∣ ≤ ≤ ∞∑ j=0 λ −(j+1) ∗∗ LM1λ∗q(t+j) ≤ lM1 1 λ∗∗ − λ∗q λ∗qt ≤ M1Θλ∗qt, де Θ = max { 2L 1 λ∗ − λ∗q , 2L 1 λ∗∗ − λ∗q } < 1. Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (28) при i = 2, 3, . . . , легко показати, що ряди y1i (t) = − ∞∑ j=0 Λ −(j+1) 1 F̃ 1 t+ j, i−1∑ j=0 y1j (q(t+ j)), i−1∑ j=0 y2j (q(t+ j)) − −F̃ 1 t+ j, i−2∑ j=0 y1j (q(t+ j)), i−2∑ j=0 y2j (q(t+ j))  , (31) y2i (t) = − ∞∑ j=0 Λ −(j+1) 2 F̃ 2 t+ j, i−1∑ j=0 y1j (q(t+ j)), i−1∑ j=0 y2j (q(t+ j)) − −F̃ 2 t+ j, i−2∑ j=0 y1j (q(t+ j)), i−2∑ j=0 y2j (q(t+ j))  рiвномiрно збiгаються при t ≥ 0 i задовольняють систему рiвнянь (28) при i = 2, 3, . . . , а також виконуються оцiнки ∣∣y1i (t) ∣∣ ≤ M1Θiλ∗qt,∣∣y2i (t) ∣∣ ≤ M1Θiλ∗qt, i = 2, 3, . . . . (32) Звiдси випливає, що ряди (25) рiвномiрно збiгаються при t ≥ 0 до деяких неперервних вектор-функцiй y(t) = (y1(t), y2(t)), якi є розв’язками системи рiвнянь (24) i задовольня- ють умову |y1(t)| ≤ M1 1−Θ λ∗t, |y2(t)| ≤ M1 1−Θ λ∗t. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 159 Доведемо тепер, що F̃ 1 ( t, y10(qt), y20(qt) ) + ∞∑ i=2 F̃ 1 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − −F̃ 1 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  = F̃ 1 t, ∞∑ j=0 y1j (qt), ∞∑ j=0 y2j (qt)  , F̃ 2 ( t, y10(qt), y20(qt) ) + ∞∑ i=2 F̃ 2 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − −F̃ 2 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  = F̃ 2 t, ∞∑ j=0 y1j (qt), ∞∑ j=0 y2j (qt)  . Дiйсно, оскiльки при всiх m ≥ 1 виконуються спiввiдношення F̃ 1 ( t, y10(qt), y20(qt) ) + m+1∑ i=2 F̃ 1 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − −F̃ 1 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  = F̃ 1 t, m∑ j=0 y1j (qt), m∑ j=0 y2j (qt)  , F̃ 2 ( t, y10(qt), y20(qt) ) + m+1∑ i=2 F̃ 2 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − −F̃ 2 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  = F̃ 2 t, m∑ j=0 y1j (qt), m∑ j=0 y2j (qt)  , то внаслiдок умов теореми отримуємо∣∣∣∣∣∣F̃ 1 t, ∞∑ j=0 y1j (qt), ∞∑ j=0 y2j (qt) − F̃ 1 t, m∑ j=0 y1j (qt), m∑ j=0 y2j (qt) ∣∣∣∣∣∣ ≤ ≤ L ∣∣∣∣∣∣ ∞∑ j=0 y1j (qt)− m∑ j=0 y1j (qt) ∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣ ∞∑ j=0 y2j (qt)− m∑ j=0 y2j (qt) ∣∣∣∣∣∣  ≤ ≤ L ∣∣∣∣∣∣ ∞∑ j=m+1 y1j (qt) ∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣ ∞∑ j=m+1 y2j (qt) ∣∣∣∣∣∣  ≤ L ∞∑ j=m+1 2M1Θiλ∗qt ≤ 2LM1 Θm+1 1−Θ λ∗qt, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 160 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ∣∣∣∣∣∣F̃ 2 t, ∞∑ j=0 y1j (qt), ∞∑ j=0 y2j (qt) − F̃ 2 t, m∑ j=0 y1j (qt), m∑ j=0 y2j (qt) ∣∣∣∣∣∣ ≤ ≤ L ∣∣∣∣∣∣ ∞∑ j=0 y1j (qt)− m∑ j=0 y1j (qt) ∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣ ∞∑ j=0 y2j (qt)− m∑ j=0 y2j (qt) ∣∣∣∣∣∣  ≤ ≤ L ∣∣∣∣∣∣ ∞∑ j=m+1 y1j (qt) ∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣ ∞∑ j=m+1 y2j (qt) ∣∣∣∣∣∣  ≤ L ∞∑ j=m+1 2M1Θiλ∗qt ≤ 2LM1 Θm+1 1−Θ λ∗qt. Отже, згiдно з умовою 3 знайдеться таке натуральне число N, що при всiх m ≥ N i довiльному як завгодно малому ε > 0 має мiсце нерiвнiсть 2LM1Θm+1 1−Θ λ∗qt ≤ ε. Таким чином, для всiх m ≥ N, t ∈ R+ виконуються нерiвностi∣∣∣∣∣∣F̃ 1 t, ∞∑ j=0 y1j (qt), ∞∑ j=0 y2j (qt) − F̃ 1 t, m∑ j=0 y1j (qt), m∑ j=0 y2j (qt) ∣∣∣∣∣∣ ≤ ε, ∣∣∣∣∣∣F̃ 2 t, ∞∑ j=0 y1j (qt), ∞∑ j=0 y2j (qt) − F̃ 2 t, m∑ j=0 y1j (qt), m∑ j=0 y2j (qt) ∣∣∣∣∣∣ ≤ ε i, отже, мають мiсце спiввiдношення lim m→∞ F̃ 1 t, m∑ j=0 y1j (qt), m∑ j=0 y2j (qt)  = F̃ 1 t, ∞∑ j=0 y1j (qt), ∞∑ j=0 y2j (qt)  , lim m→∞ F̃ 2 t, m∑ j=0 y1j (qt), m∑ j=0 y2j (qt)  = F̃ 2 t, ∞∑ j=0 y1j (qt), ∞∑ j=0 y2j (qt)  . Цим самим доведено, що ряди F̃ 1 ( t, y10(qt), y20(qt) ) + ∞∑ i=2 F̃ 1 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − −F̃ 1 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 161 F̃ 2 ( t, y10(qt), y20(qt) ) + ∞∑ i=2 F̃ 2 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − −F̃ 2 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  рiвномiрно збiгаються при t ∈ R+ i їх суми дорiвнюють F̃ 1 t, ∞∑ j=0 y1j (qt), ∞∑ j=0 y2j (qt)  , F̃ 2 t, ∞∑ j=0 y1j (qt), ∞∑ j=0 y2j (qt)  . Теорему 7 доведено. Аналогiчну теорему можна довести у випадку, коли t ≤ 0. Теорема 8. Нехай виконуються умови 1, 2 i умова 3) q > 1, λq∗∗ > λ∗∗, Θ = max { 2L λq∗∗ − λ∗ , 2L λq∗∗ − λ∗∗ } , λ∗ = max{λi, i = 1, . . . , k}, λ∗∗ = max{λj , j = k + 1, . . . , n} λ∗∗ = min{λj , j = k + 1, . . . , n}. Тодi система рiвнянь (24) має сiм’ю неперервних i обмежених при t ≤ 0 розв’язкiв, що залежать вiд довiльної 1-перiодичної вектор-функцiї ω2(t) розмiрностi n− k. Доведення. Розв’язок системи (24) шукатимемо у виглядi функцiональних рядiв y1(t) = ∞∑ i=0 y1i (t), y2(t) = ∞∑ i=0 y2i (t), (33) де y1i (t), y2i (t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при t ≤ 0 вектор-функцiї. Оскiльки ряди (доведення аналогiчне тому, яке було проведено при доведеннi теоре- мi 7) F̃ 1 ( t, y10(qt), y20(qt) ) + ∞∑ i=2 F̃ 1 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − −F̃ 1 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  , F̃ 2 ( t, y10(qt), y20(qt) ) + ∞∑ i=2 F̃ 2 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − −F̃ 2 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 162 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ рiвномiрно збiгаються при t ∈ R− i їх суми дорiвнюють F̃ 1 ( t, ∑∞ j=0 y 1 j (qt), ∑∞ j=0 y 2 j (qt) ) i F̃ 2 ( t, ∑∞ j=0 y 1 j (qt) ∑∞ j=0 y 2 j (qt) ) вiдповiдно, то, пiдставляючи (33) в (24), отримуємо ∞∑ i=0 y1i (t+ 1) = Λ1 ∞∑ i=0 y1i (t) + F̃ 1(t, y10(qt), y20(qt))+ + ∞∑ i=2 F̃ 1 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − F̃ 1 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  , ∞∑ i=0 y2i (t+ 1) = Λ2 ∞∑ i=0 y2i (t) + F̃ 2 ( t, y10(qt), y20(qt) ) + + ∞∑ i=2 F̃ 2 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − F̃ 2 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  . Звiдси безпосередньо випливає, що якщо вектор-функцiї y1i (t), y2i (t), i = 0, 1, . . . , є роз- в’язками послiдовностi систем рiвнянь y10(t+ 1) = Λ1y 1 0(t), y20(t+ 1) = Λ2y 2 0(t), (34) y11(t+ 1) = Λ1y 1 1(t) + F̃ 1 ( t, y10(qt), y20(qt) ) , y21(t+ 1) = Λ2y 2 1(t) + F̃ 2 ( t, y10(qt), y20(qt) ) , (35) y1i (t+ 1) = Λ1y 1 i (t) + F̃ 1 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − − F̃ 1 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  , (36) y2i (t+ 1) = Λ2y 2 i (t) + F̃ 2 t, i−1∑ j=0 y1j (qt), i−1∑ j=0 y2j (qt) − − F̃ 2 t, i−2∑ j=0 y1j (qt), i−2∑ j=0 y2j (qt)  , i = 2, 3, . . . , то ряди (33) є формальним розв’язком системи рiвнянь (24). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 163 Беручи до уваги умови теореми, можна переконатися, що iснують розв’язки, якi задо- вольняють систему рiвнянь (34), i виконуються оцiнки ∣∣y10(t) ∣∣ = 0,∣∣y20(t) ∣∣ ≤ M2λt∗∗, (37) де M2 = max |ω2(t)|. Далi, з огляду на (35) та (37) маємо |y11(t)| ≤ ∞∑ j=1 |Λj−1 1 ||F̃ 1(t− j, y10(q(t− j)), y20(q(t− j)))| ≤ ≤ ∞∑ j=1 (λ∗)j−1L|y20(q(t− j))| ≤ ≤ ∞∑ j=1 (λ∗)j−1LM2λ q(t−j) ∗∗ ≤ ≤ LM2 1 λ∗ ∞∑ j=1 ( λ∗ λq∗∗ )j λqt∗∗ ≤ ≤ M2 L λq∗∗ − λ∗ λqt∗∗ ≤ M2Θλqt∗∗, |y21(t)| ≤ ∞∑ j=1 |Λj−1 2 ||F̃ 2(t− j, y10(q(t− j)), y20(q(t− j)))| ≤ ≤ ∞∑ j=1 (λ∗∗)j−1L|y20(q(t− j))| ≤ ≤ ∞∑ j=1 (λ∗∗)j−1LM2λ q(t−j) ∗∗ ≤ ≤ LM2 1 λ∗∗ ∞∑ j=1 ( λ∗∗ λq∗∗ )j λqt∗∗ ≤ ≤ M2 L λq∗∗ − λ∗∗ λqt∗∗ ≤ M2Θλqt∗∗, де Θ = max { 2L λq∗∗ − λ∗ , 2L λq∗∗ − λ∗∗ } . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 164 I. В. БЕЦКО, Г. П. ПЕЛЮХ Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (36) при i = 2, 3, . . . , легко показати, що ряди y1i (t) = ∞∑ j=1 Λj−1 1 F̃ 1 t− j, i−1∑ j=0 y1j (q(t− j)), i−1∑ j=0 y2j (q(t− j)) − −F̃ 1 t− j, i−2∑ j=0 y1j (q(t− j)), i−2∑ j=0 y2j (q(t− j))  , y2i (t) = ∞∑ j=1 Λj−1 2 F̃ 2 t− j, i−1∑ j=0 y1j (q(t− j)), i−1∑ j=0 y2j (q(t− j)) − −F̃ 2 t− j, i−2∑ j=0 y1j (q(t− j)), i−2∑ j=0 y2j (q(t− j))  , i = 2, 3, . . . . рiвномiрно збiгаються при t ≤ 0 i задовольняють систему рiвнянь (36) при i = 2, 3, . . . , а також виконуються оцiнки ∣∣y1i (t) ∣∣ ≤ M2Θiλqt∗∗, ∣∣y2i (t) ∣∣ ≤ M2Θiλqt∗∗, i = 2, 3, . . . . Звiдси випливає, що ряди (33) рiвномiрно збiгаються при t ≤ 0 до деяких неперервних вектор-функцiй y(t) = (y1(t), y2(t)), якi є розв’язками системи рiвнянь (24) i задовольня- ють умову ∣∣y1(t)∣∣ ≤ M2 1−Θ λt∗∗, ∣∣y2(t)∣∣ ≤ M2 1−Θ λt∗∗. Теорему 8 доведено. Лiтература 1. Birkhoff G. D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1911. — 12. — P. 243 – 284. 2. Trjitzinsky W. J. Analytic theory of linear q-difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1933. — 61. — P. 1 – 38. 3. Пелюх Г. П., Сiвак О. А. Дослiдження структури множини неперервних розв’язкiв систем лiнiйних функцiонально-рiзницевих рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 3. — С. 307 – 335. 4. Пелюх Г. П., Сiвак О. А. Про структуру множини неперервних розв’язкiв функцiонально-рiзницевих рiвнянь з лiнiйно перетвореним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2010. — 13, № 1. — С. 75 – 95. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 ПРО ОБМЕЖЕНI НА ВСIЙ ДIЙСНIЙ ОСI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ . . . 165 5. Сiвак О. А. Структура множини неперервних розв’язкiв систем лiнiйних функцiонально-рiзницевих рiвнянь // Наук. вiстi Нац. техн. ун-ту України «КПI». — 2011. — № 4. — C. 81 – 87. 6. Бецко I. В. Дослiдження структури множини неперервних розв’язкiв систем рiзницевих рiвнянь // Наук. вiстi Нац. техн. ун-ту України «КПI». — 2015. — № 4. — C. 7 – 13. 7. Бецко I. В. Про iснування неперервних розв’язкiв систем рiзницевих рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. — 2016. — 19, № 1. — C. 3 – 10. 8. Бецко I. В. Побудова неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних функцiонально-рiзницевих рiвнянь // Наук. вiстi Нац. техн. ун-ту України «КПI». — 2016. — № 4. — C. 7 – 13. Одержано 01.03.17 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2