Стабілізація та гасіння обмежених збурень у дискретних системах керування

В терминах матричных неравенств сформулированы необходимые и достаточные условия стабилизируемости по выходу линейных дискретных систем управления. Показано, что вытекающий из них алгоритм стабилизации применим для некоторого класса нелинейных дискретных систем управления. Предложена методика постро...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2017
Автор: Кусій, С.М.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2017
Назва видання:Нелінійні коливання
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177302
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Стабілізація та гасіння обмежених збурень у дискретних системах керування / С.М. Кусій // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 198-210 — Бібліогр.: XX назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-177302
record_format dspace
spelling irk-123456789-1773022021-02-15T01:26:30Z Стабілізація та гасіння обмежених збурень у дискретних системах керування Кусій, С.М. В терминах матричных неравенств сформулированы необходимые и достаточные условия стабилизируемости по выходу линейных дискретных систем управления. Показано, что вытекающий из них алгоритм стабилизации применим для некоторого класса нелинейных дискретных систем управления. Предложена методика построения законов управления, обеспечивающих заданную оценку взвешенного уровня гашения входных сигналов и начальных возмущений, а также робастную устойчивость состояния равновесия управляемой системы. Приведен численный пример дискретной системы стабилизации маятника на подвижной платформе. Necessary and sufficient conditions for static output feedback stabilization of linear discrete-time systems are obtained in the form of a matrix inequality. It is shown that the arising stabilization algorithms are applicable to a certain class of nonlinear discrete-time control systems. Methods for constructing controls that provide a specified evaluation of the weighted damping level of the input signals and initial perturbations as well as robust stability of the equilibrium state of the control system are proposed. A numerical example of the discrete-time stabilization system of a pendulum on a movable platform is given. 2017 Article Стабілізація та гасіння обмежених збурень у дискретних системах керування / С.М. Кусій // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 198-210 — Бібліогр.: XX назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177302 517.935;681.5 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description В терминах матричных неравенств сформулированы необходимые и достаточные условия стабилизируемости по выходу линейных дискретных систем управления. Показано, что вытекающий из них алгоритм стабилизации применим для некоторого класса нелинейных дискретных систем управления. Предложена методика построения законов управления, обеспечивающих заданную оценку взвешенного уровня гашения входных сигналов и начальных возмущений, а также робастную устойчивость состояния равновесия управляемой системы. Приведен численный пример дискретной системы стабилизации маятника на подвижной платформе.
format Article
author Кусій, С.М.
spellingShingle Кусій, С.М.
Стабілізація та гасіння обмежених збурень у дискретних системах керування
Нелінійні коливання
author_facet Кусій, С.М.
author_sort Кусій, С.М.
title Стабілізація та гасіння обмежених збурень у дискретних системах керування
title_short Стабілізація та гасіння обмежених збурень у дискретних системах керування
title_full Стабілізація та гасіння обмежених збурень у дискретних системах керування
title_fullStr Стабілізація та гасіння обмежених збурень у дискретних системах керування
title_full_unstemmed Стабілізація та гасіння обмежених збурень у дискретних системах керування
title_sort стабілізація та гасіння обмежених збурень у дискретних системах керування
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2017
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177302
citation_txt Стабілізація та гасіння обмежених збурень у дискретних системах керування / С.М. Кусій // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 198-210 — Бібліогр.: XX назв. — укр.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT kusíjsm stabílízacíâtagasínnâobmeženihzburenʹudiskretnihsistemahkeruvannâ
first_indexed 2025-07-15T15:20:50Z
last_indexed 2025-07-15T15:20:50Z
_version_ 1837726801380507648
fulltext УДК 517.935;681.5 СТАБIЛIЗАЦIЯ ТА ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ У ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМАХ КЕРУВАННЯ С. М. Кусiй Iн-т математики НАН України вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01004, Україна e-mail: sergii.kusii@gmail.com Necessary and sufficient conditions for static output feedback stabilization of linear discrete-time systems are obtained in the form of a matrix inequality. It is shown that the arising stabilization algorithms are applicable to a certain class of nonlinear discrete-time control systems. Methods for constructing controls that provide a specified evaluation of the weighted damping level of the input signals and initial perturbati- ons as well as robust stability of the equilibrium state of the control system are proposed. A numerical example of the discrete-time stabilization system of a pendulum on a movable platform is given. В терминах матричных неравенств сформулированы необходимые и достаточные условия стабилизируемости по выходу линейных дискретных систем управления. Показано, что выте- кающий из них алгоритм стабилизации применим для некоторого класса нелинейных дискрет- ных систем управления. Предложена методика построения законов управления, обеспечиваю- щих заданную оценку взвешенного уровня гашения входных сигналов и начальных возмущений, а также робастную устойчивость состояния равновесия управляемой системы. Приведен чис- ленный пример дискретной системы стабилизации маятника на подвижной платформе. 1. Вступ.Однiєю з основних проблем теорiї керування є необхiднiсть побудови статичних або динамiчних регуляторiв,що забезпечують робастну стiйкiсть станiв рiвноваги та зни- ження впливу зовнiшнiх збурень на динамiку керованих об’єктiв.Вказанi якостi системам керування надають методи теорiїH∞-оптимiзацiї (див., наприклад, [1–7]), а також методи iнварiантних елiпсоїдiв [8]. Задачi стабiлiзацiї навiть для класiв лiнiйних систем за умов неповної iнформацiї про їхнiй стан недостатньо вивченi i розв’язанi лише при додаткових обмеженнях [9]. При дослiдженнi складних динамiчних об’єктiвшироко використовуються математич- нi моделi руху та системи керування як з неперервним, так i з дискретним часом.На прак- тицi дискретнi моделi систем керування мають певнi переваги порiвняно з неперервними. Зокрема, застосування рiзницевих рiвнянь руху не вимагає дослiдження математичних проблем iснування та єдиностi розв’язкiв. Рiзницевi системи є досить придатними для їх безпосередньої реалiзацiї програмними засобами на сучасних комп’ютерах. Слiд зазначити, що практичне застосування багатьох методiв синтезу неперервних та дискретних систем керування базується на розв’язуваннi лiнiйних матричних нерiвностей (ЛМН). Для цього створенi достатньо ефективнi засоби LMI Toolbox комп’ютерної сис- теми Matlab [10]. Будемо використовувати такi позначення: R n×m — простiр дiйсних матриць розмiру n×m; In — одинична матриця порядку n; 0n×m — нульова матриця розмiру n×m; c© С. М. Кусiй, 2017 198 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 СТАБIЛIЗАЦIЯ ТА ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 199 X = XT > 0 (≥ 0) — симетрична додатно (невiд’ємно) визначена матриця X ; i(X) = { i+(X), i−(X), i0(X) } — iнерцiя симетричної матрицi X, яку утворюють кiль- костi її додатних, вiд’ємних i нульових власних значень, враховуючи кратностi; detA, σ(A) i ρ(A) — вiдповiдно детермiнант, спектр i спектральний радiус матрицi A; WA — матриця, стовпцi якої утворюють базис ядра KerA матрицi A; ‖x‖ — евклiдова норма вектора x; ‖x‖Q — зважена l2-норма векторної послiдовностi xt, t = 0, 1, . . . . 2. Допомiжнi твердження. При дослiдженнi блочно-матричних спiввiдношень викори- стовуються методи зниження розмiрностi, зокрема формула Фробенiуса, лема Шура та iн. [11]. Наведемо вiдомi формули для iндексiв iнерцiї симетричної блочної матрицi M = [ A BT B C ] , A = AT , C = CT . Лема 1. Якщо det A �= 0, то i±(M) = i±(A) + i±(C − BA−1BT ). (1) Аналогiчно, якщо det C �= 0, то i±(M) = i±(C) + i±(A − BTC−1B), (2) Iз формул (1) та (2) випливають вiдповiднi критерiї додатної (невiд’ємної) визначено- стi блочної матрицi M (лема Шура): M > 0(≥ 0) ⇐⇒ A > 0, C − BA−1BT > 0(≥ 0), (3) M > 0(≥ 0) ⇐⇒ C > 0, A − BTC−1B > 0(≥ 0). (4) Узагальнення даних формул на випадок вироджених дiагональних блокiв матрицi M на- ведено в [5]. У теорiї стабiлiзацiї лiнiйних систем використовується таке твердження [7]. Лема 2. Лiнiйна матрична нерiвнiсть LTKR+RTKTL < S, (5) де L, R i S = ST — заданi матрицi вiдповiдних розмiрiв p× n, q× n i n× n, має розв’язок K ∈ R p×q тодi i лише тодi, коли виконується одна з умов: (a) rankL = n, rankR = n; (b) rankL < n, rankR = n, W T L SWL > 0; (c) rankL = n, rankR < n, W T RSWR > 0; (d) rankL < n, rankR < n, W T L SWL > 0, W T RSWR > 0. ТутWL i WR — матрицi, стовпцi яких складають базиси вiдповiдних ядерKerL i KerR. У [12] за умов леми 2 наведено загальний розв’язок матричної нерiвностi (5) в парамет- ричнiй формi. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 200 С. М. КУСIЙ 3. Статичний регулятор по вимiрюваному виходу. Розглянемо нелiнiйну систему керу- вання xt+1 = A(xt)xt +B(xt)ut, yt = C(xt)xt +D(xt)ut, (6) де xt ∈ R n, ut ∈ R m i yt ∈ R l — вектори вiдповiдно стану, керування i вимiрюваного виходу системи, а A(xt), B(xt), C(xt) i D(xt) — матрицi вiдповiдних розмiрiв, неперервно залежнi вiд xt в деякому околi S0 = {x : ‖x‖ ≤ h} точки x = 0, t ∈ T = {0, 1, . . .}. Припустимо, що rankB = m, rankC = l i разом iз (6) розглянемо лiнiйну систему xt+1 = Axt +But, yt = Cxt +Dut, (7) де A = A(0), B = B(0), C = C(0) i D = D(0). Позначимо через B⊥ i C⊥ ортогональнi доповнення вiдповiдних матриць B i C, якi визначаються спiввiдношеннями BTB⊥ = 0, det [ B,B⊥ ] �= 0, C⊥CT = 0, det [ CT , C⊥T ] �= 0. Сформулюємо умови стабiлiзацiї нульового стану рiвноваги систем (6) i (7) за допо- могою статичних регуляторiв ut = Kyt, K ∈ KD, t ∈ T , (8) де KD = { K ∈ R m×l : det(Im − KD) �= 0 } . Замкнена система (7), (8) має вигляд xt+1 = Mxt, M = A+BD(K)C, (9) деD(K) = (Im − KD)−1K — нелiнiйний оператор у просторi матриць Rm×l. Систему (9) будемо називати ρ-стiйкою, якщо її спектр σ(M) розмiщений всерединi круга {λ : |λ| < ρ}, де 0 < ρ ≤ 1. Спектральний запас стiйкостi ρ-стiйкої системи α ≥ ≥ 1 − ρ. Теорема 1. Наступнi твердження є еквiвалентними: 1) iснує статичний регулятор (8), що забезпечує ρ-стiйкiсть замкненої системи (9); 2) iснує матриця X = XT > 0, що задовольняє спiввiдношення B⊥T ( AXAT − ρ2X ) B⊥ < 0, (10) AXAT − ρ2X < AXCT ( CXCT )−1 CXAT ; (11) 3) iснують взаємно оберненi матрицi X = XT > 0 i Y = Y T > 0,що задовольняють спiввiдношення (10) i C⊥ ( ATY A − ρ2Y ) C⊥T < 0. (12) Якщо виконується одне iз тверджень 2 або 3, то регулятор ut = Kyt, K = −D(−K0) ∈ KD, t ∈ T , (13) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 СТАБIЛIЗАЦIЯ ТА ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 201 деK0 — довiльний розв’язок ЛМН P TK0Q+QTKT 0 P < F, (14) P = [ −BT , 0m×n ] , Q = [0l×n, CX] , F = [ ρ2X AX XAT X ] , забезпечує ρ-стiйкiсть замкненої системи (9). Доведення. Оскiльки D(K) = K0, то за теоремою Ляпунова критерiєм досягнення ρ-стiйкостi системи (9) є iснування розв’язку X = XT > 0 матричної нерiвностi Y0 = (A+BK0C)X(A+BK0C)T − ρ2X < 0, (15) яка на основi конгруентного перетворення [ B+ B⊥T ] Y0 [ B+T , B⊥ ] = [ B+Y0B +T B+Y0B ⊥ B⊥TY0B +T S ] < 0 зводиться до системи спiввiдношень (10) i H0 +K0H1 +HT 1 K T 0 +K0H2K T 0 < 0, (16) де H0 = B+(L − LRL)B+T , H1 = CXAT (In − RL)B+T , H2 = C(X − XATRAX)CT , L = = AXAT − ρ2X, R = B⊥S−1B⊥T , S = B⊥TLB⊥ [5]. При виконаннi умови (10) критерiєм iснування матрицi K0, що задовольняє нерiвнiсть (16), є обмеження на iнерцiю блочної матрицi H (див. доведення леми 3.1.1 i теореми 6.1.1 у [5]): i(H) = { l,m, 0 } , H = [ H0 HT 1 H1 H2 ] . З iншого боку, H = Ĥ0 − ĤT 1 Ĥ −1 2 Ĥ1 i згiдно з (2) i±(Ĥ) = i±(S) + i±(H), де Ĥ = [ Ĥ0 ĤT 1 Ĥ1 Ĥ2 ] =   B+LB+T B+AXCT B+LB⊥ CXATB+T CXCT CXATB⊥ B⊥TLB+T B⊥TAXCT S   = V1∆V T 1 , ∆ = [ AXAT − ρ2X AXCT CXAT CXCT ] , V T 1 = [ B+T 0 B⊥ 0 Il 0 ] . Оскiльки V1 — квадратна невироджена матриця, то i(Ĥ) = i(∆) = { l, n, 0 } , що еквiва- лентно нерiвностi (11). Отже, твердження 1 i 2 еквiвалентнi. Еквiвалентнiсть тверджень 2 i 3 випливає iз рiвностей i(∆) = i(∆1) = i(∆2), де ∆1 = [ 0 C CT ρ−2ATY A − Y ] , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 202 С. М. КУСIЙ ∆2 = ρ2V2∆1V T 2 =   C+TZC+ ρ2Il C+TZC⊥T ρ2Il 0 0 C⊥ZC+ 0 C⊥ZC⊥T   , V T 2 = [ 0 Il 0 C+ 0 C⊥T ] , detV2 �= 0, Z = ATY A − ρ2Y, якi є наслiдком спiввiдношень (1) i (2). Зазначимо, що еквiвалентнiсть тверджень 1 i 3 можна встановити безпосередньо, за- стосовуючи твердження (d) леми 2 до ЛМН (14) (див. також [12]): W T P FWP > 0, W T QFWQ > 0, WP = [ B⊥ 0 0 In ] , WQ = [ In 0 0 Y C⊥T ] . При цьому шуканий регулятор можна побудувати на основi спiввiдношень (13), (14). Теорему 1 доведено. Сформулюємо достатнi умови стабiлiзацiї стану рiвноваги нелiнiйної системи (6). Теорема 2. Нехай виконується одне iз тверджень 2 або 3 теореми 1 для лiнiйної сис- теми (7). Тодi спiввiдношення (13) i (14) визначають статичний регулятор, що забез- печує асимптотичну стiйкiсть нульового стану xt ≡ 0 та квадратичну функцiю Ля- пунова v(x) = xTX−1x замкненої нелiнiйної системи (6), (13). Доведення. За теоремою 1 для замкненої лiнiйної системи (9) виконуються спiввiдно- шення MXMT − ρ2X < 0, MTYM − Y < (ρ2 − 1)Y ≤ 0, де Y = X−1. При цьому внаслiдок неперервностi матричних функцiй A(x), B(x), C(x) i D(x) для деякого h > 0 виконуються спiввiдношення det [Im − KD(x)] �= 0, MT (x)YM(x) − Y < (ρ2 − 1)Y ≤ 0, x ∈ S0, деM(x) = A(x) + B(x) [ Im − KD(x) ]−1 KC(x), S0 = {x : ‖x‖ < h}, причомуM(0) = M. Тодi для першої рiзницi функцiї v(x) в силу нелiнiйної системи (6) маємо v(xt+1) − v(xt) = xTt [ MT (xt)YM(xt) − Y ] xt < (ρ2 − 1)v(xt) ≤ 0, xt ∈ S0. Отже, теорема 2 є наслiдком теореми 1 i аналога теореми Ляпунова про асимптотичну стiйкiсть для дискретних систем. Теорему 2 доведено. Приклад 1. Для iлюстрацiї теореми 1 розглянемо дискретну модель поздовжнього ру- ху гелiкоптера при вертикальному зльотi i посадцi, яка описується системою рiвнянь (7) з матрицями [13] A =   1, 00000 0, 00027 0, 00016 −0, 00456 0, 00048 0, 98995 −0, 00018 −0, 04001 0, 00100 0, 00365 0, 99303 0, 01407 0, 00001 0, 00002 0, 00997 1, 00010   , B =   0, 00442 0, 00175 0, 03527 −0, 07554 −0, 05494 0, 04461 −0, 00028 0, 00022   , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 СТАБIЛIЗАЦIЯ ТА ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 203 C = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] , D = [ 0 0 0 0 ] . Ця система без керування є нестiйкою, оскiльки її спектральний радiус ρ(A) = 1, 00287 > > 1. Для знаходження матрицi X,що задовольняє систему спiввiдношень (10), (11), розроб- лено i реалiзовано iтерацiйний алгоритм, на кожному кроцi якого розв’язувалась система ЛМН iз застосуванням можливостей комп’ютерної системи Matlab. Матрицю K = K0 стабiлiзуючого регулятора (13) знайдено на основi ЛМН (14) при ρ = 0, 999. В результатi отримано такi значення: X =   0, 93496 0, 27593 0, 01254 0, 42731 0, 27593 0, 10313 0, 02846 0, 03076 0, 01254 0, 02846 8, 06526 −0, 50980 0, 42731 0, 03076 −0, 50980 2, 60944   > 0, K = [ 5, 36439 −19, 07149 −1, 61648 4, 07012 ] . Вiдповiдна замкнена система (9) є асимптотично стiйкою зi спектральним запасом α = = 0, 00274, оскiльки σ(M) = {0, 03418; 0, 99550; 0, 99709±0, 01837 i} i ρ(M) = 0, 99726 < 1. 4. Зважений рiвень гасiння обмежених збурень. Розглянемо систему без керування xt+1 = A(xt)xt +B(xt)wt, yt = C(xt)xt +D(xt)wt, (17) яка функцiонує у деякiй областi фазового простору S0, що мiстить точку x = 0. Тут xt ∈ ∈ R n, wt ∈ R m i yt ∈ R l — вектори вiдповiдно стану, зовнiшнiх збурень i виходу системи, A(xt), B(xt), C(xt) i D(xt) — матрицi вiдповiдних розмiрiв, неперервнi по xt ∈ S0. Введемо критерiй якостi системи (17) вiдносно її вектора виходу: J = sup 0<‖w‖2 P +xT 0 X0x0<∞ ϕ(w, x0), (18) де ϕ(w, x0) = ‖y‖Q√ ‖w‖2P + xT 0 X0x0 , ‖y‖2Q = ∞∑ t=0 yTt Qyt, ‖w‖2P = ∞∑ t=0 wT t Pwt, Q = QT > 0, P = P T > 0 i X0 = XT 0 > 0 — деякi ваговi матрицi. Припустимо, що векторна послiдовнiсть зовнiшнiх збурень wt обмежена по зваженiй l2-нормi ‖w‖P , а x0 — невiдомий початковий вектор. Значення J характеризує зважений рiвень гасiння зовнiшнiх i початкових збурень у системi (17). Даний критерiй якостi у випадку вагових матриць P = Im, Q = Il i X0 = βIn є вiдомим [14, 15]. Вираз (18) при фiксованому початковому векторi x0 = 0 позначимо через J0. Очевидно, що J0 ≤ J. Система (17) має властивiсть неекспансивностi [5], якщо її вектор виходу при довiль- ному ν > 0 задовольняє нерiвнiсть ν∑ t=0 yTt Qyt ≤ ν∑ t=0 wT t Pwt + xT0 X0x0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 204 С. М. КУСIЙ Для характеристики (18) неекспансивної системи виконується нерiвнiсть J ≤ 1. Лема 3. Нехай iснує матриця X = XT > 0 така, що Φ(x) = [ AT (x)XA(x) − X + CT (x)QC(x) AT (x)XB(x) + CT (x)QD(x) BT (x)XA(x) +DT (x)QC(x) BT (x)XB(x) +DT (x)QD(x) − γ2P ] < 0 при x ∈ S0. Тодi виконується оцiнка J0 ≤ γ. Якщо до того ж 0 < X ≤ γ2X0, то J ≤ γ. Доведення. Для першої рiзницi функцiї Ляпунова v(x) = xTXx в силу системи (17) виконуються спiввiдношення v(xt+1) − v(xt) + yTt Qyt − γ2wT t Pwt = [ xTt , wT t ] Φ(xt) [ xt wt ] , v(xν+1) − v(x0) + ν∑ t=0 yTt Qyt − γ2 ν∑ t=0 wT t Pwt < 0. Звiдси, враховуючи, що 0 < X ≤ γ2X0, при ν → ∞ маємо ‖y‖2Q ≤ γ2 ( ‖w‖2P + xT0 X0x0 ) , ϕ(w, x0) ≤ γ, а це означає, що J ≤ γ. Зокрема, при x0 = 0 виконується нерiвнiсть J0 ≤ γ. Лему 3 доведено. Зауваження 1. При умовах леми 3 нульовий стан системи (17) з невизначенiстю wt = 1 γ Θyt, Θ TPΘ ≤ Q, (19) асимптотично стiйкий зi спiльною функцiєю Ляпунова v(x) = xTXx. Цей факт є наслiд- ком леми 3 i теореми 6.2.1 iз [5]. Разом iз (17) розглянемо лiнiйну систему xt+1 = Axt +Bwt, yt = Cxt +Dwt, (20) де A = A(0), B = B(0), C = C(0) i D = D(0). Лема 4. Для лiнiйної системи (20) виконується оцiнка J0 < γ тодi i лише тодi, коли ЛМН Φγ = [ ATXA − X + CTQC ATXB + CTQD BTXA+DTQC BTXB +DTQD − γ2P ] < 0 (21) має розв’язок X = XT > 0. При цьому J < γ, якщо 0 < X < γ2X0. Достатнiсть леми 4 є наслiдком леми 3. Необхiднiсть можна встановити шляхом зображення J0 i J аналогiчними виразами з одиничними ваговими матрицями (див. дове- дення леми 3.2 в [16]) i використання результатiв роботи [15]. Iз леми 4, зокрема, випливає, що критерiї якостi J0 i J системи (20) можна обчислити як розв’язки вiдповiдних оптимiзацiйних задач: J0 = inf {γ : Φγ < 0, X > 0} , J = inf { γ : Φγ < 0, 0 < X < γ2X0 } . (22) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 СТАБIЛIЗАЦIЯ ТА ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 205 5. Статичний регулятор зi збуреннями. Розглянемо нелiнiйну дискретну систему ке- рування (6). По аналогiї з методикою, запропонованою в [17] для неперервних систем, керування будемо шукати у виглядi статичного зворотного зв’язку по вимiрюваному ви- ходу ut = Kyt + wt, K ∈ KD, (23) де wt ∈ R m — вектор обмежених зовнiшнiх збурень, D — матриця обходу вiдповiдної лiнiйної системи (7). Вхiдну вектор-функцiю w(t) i початковий вектор x0 вважаємо невi- домими. Якщо K ∈ KD, то det(Im − KD(x)) �= 0 в деякому околi S0 точки x = 0. Замкнена система (6), (23) в S0 набирає вигляду xt+1 = A∗(xt)xt +B∗(xt)wt, yt = C∗(xt)xt +D∗(xt)wt, (24) де A∗(x) = A(x) +B(x)Dx(K)C(x), B∗(x) = B(x) [ Im − KD(x) ]−1 , C∗(x) = [ Il − D(x)K ]−1 C(x), D∗(x) = [ Il − D(x)K ]−1 D(x), Dx(K) = [ Im − KD(x) ]−1 K. Наведемо також замкнену лiнiйну систему (7), (23): xt+1 = A∗xt +B∗wt, yt = C∗xt +D∗wt, (25) матричнi коефiцiєнти якої є значеннями вiдповiдних матричнихфункцiй в (24) при xt = 0. Нас цiкавлять регулятори (23), якi мiнiмiзують критерiї якостi J0 i J типу (18) i за- безпечують умови неекспансивностi систем (24), (25). Закони керування, якi забезпечу- ють мiнiмальне значення J для замкненої системи, будемо називати J-оптимальними. Алгоритми пошуку J- i J0-оптимальних керувань можна реалiзувати на основi побудови вiдповiдних верхнiх оцiнок для J i J0. Теорема 3. Для лiнiйної системи (7) iснує керування (23), що забезпечує оцiнку J < γ, тодi i лише тодi, коли сумiсною є система спiввiдношень W T R [ ATXA − X + CTQC ATXB + CTQD BTXA+DTQC BTXB +DTQD − γ2P ] WR < 0, (26) W T L [ AY AT − Y +BP−1BT AY CT +BP−1DT CY AT +DP−1BT CY CT +DP−1DT − γ2Q−1 ] WL < 0, (27) 0 < X < γ2X0, XY = γ2In, (28) де R = [ C, D ] , L = [ BT , DT ] . При виконаннi умов (26) – (28) нульовий стан замкнених систем (24), (25) з невизначенiстю (19) робастно стiйкий зi спiльною функцiєю Ляпу- нова v(x) = xTXx. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 206 С. М. КУСIЙ Доведення. За лемою 4 нерiвнiсть J0 < γ виконується лише тодi, коли [ AT ∗ XA∗ − X + CT ∗ QC∗ AT ∗ XB∗ + CT ∗ QD∗ BT ∗ XA∗ +DT ∗ QC∗ BT ∗ XB∗ +DT ∗ QD∗ − γ2P ] < 0 (29) для деякої матрицi X = XT > 0. Використовуючи лему Шура i вирази A∗ = A + BK0C, B∗ = B + BK0D, C∗ = C + DK0C, D∗ = D + DK0D, записуємо ЛМН (29) вiдносно K0 = D(K) у виглядi LT 0 K0R0 +RT 0 K T 0 L0 + Ω < 0, (30) де Ω =   −X 0 AT CT 0 −γ2P BT DT A B −X−1 0 C D 0 −Q−1   , RT 0 =   CT DT 0 0   , LT 0 =   0 0 B D   . Критерiєм сумiсностi ЛМН (30) є умови (див. лему 2) W T L0 ΩWL0 < 0, W T R0 ΩWR0 < 0, WR0 = [ WR 0 0 In+l ] , WL0 = [ In+m 0 0 WL ] . (31) Обчислюючи матричнi вирази в (31) та вводячи позначення Y = γ2X−1 (друге спiв- вiдношення (28)), за допомогою леми Шура приходимо до вiдповiдних матричних нерiв- ностей (26) i (27). При цьому, якщо виконується й перше спiввiдношення (28), то маємо оцiнку J < γ. Теорему 3 доведено. Зауваження 2. Якщо матрицi X i Y задовольняють умови (26) – (28), то невiдому ма- трицюK в теоремi 3 можна побудувати у виглядi K = K0(Il +DK0) −1, −K0 ∈ KD, (32) де K0 — довiльний розв’язок ЛМН (30). При цьому нульовий стан xt ≡ 0 замкнених сис- тем (24), (25) з невизначенiстю (19) робастно стiйкий, а v(x) = xTXx є спiльною функ- цiєю Ляпунова даних систем (див. зауваження 1). Для оцiнки критерiїв якостi J0 i J замк- неної нелiнiйної системи (24) може бути використана лема 3. Розглянемо випадок статичного регулятора по стану ut = Kxt + wt, K ∈ KD, (33) i в наведених вище спiввiдношеннях покладемо C = In, D = 0, WR = [ 0 Im ] , WL = [ B⊥ 0 0 Il ] , Y = γ2X−1. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 СТАБIЛIЗАЦIЯ ТА ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 207 В результатi замiсть (26) – (28) маємо систему ЛМН вiдносно Y : [ P BT B Y ] > 0, [ B⊥T (AY AT − Y )B⊥ B⊥TAY Y ATB⊥ Y − γ2Q−1 ] < 0, [ X0 In In Y ] > 0. (34) Наслiдок 1. Для лiнiйної системи (7) iснує керування (33), що забезпечує оцiнку J < < γ, тодi i лише тодi, коли система ЛМН (34) має розв’язок Y = Y T > 0. При цьому нульовий стан замкнених систем (6), (33) та (7), (33) з невизначенiстю (19) робастно стiйкий зi спiльною функцiєю Ляпунова v(x) = γ2xTY −1x. Приклад 2. Розглянемо систему керування перевернутого маятника на рухомiй плат- формi (рис. 1). Для утримання маятника у верхньому положеннi рiвноваги до платформи прикладено керуючу силу u. Рис. 1. Маятник на рухомiй платформi. Нелiнiйнi рiвняння руху системи мають вигляд (m0 +m1)z̈ + kż +m1lθ̈ cos θ − m1lθ̇ 2 sin θ = u, (I +m1l 2)θ̈ +m1gl sin θ = −m1lz̈ cos θ, де m0 — маса платформи, m1 — маса маятника, k — коефiцiєнт тертя платформи, l — вiдстань вiд точки крiплення маятника до його центра мас, I — момент iнерцiї маятника, g — прискорення сили тяжiння, z — горизонтальне перемiщення платформи, ϕ = θ − −π — кут вiдхилення маятника вiд вертикальної осi, u — керуюча сила, прикладена до платформи. Позначимо δ = I(m0 + m1) + m0m1l 2 i, врахувавши, що cos θ ≈ −1, sin θ ≈ −ϕ i θ̇2 = ϕ̇2 ≈ 0 при малих значеннях кута ϕ, отримаємо лiнiйнi рiвняння руху системи у ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 208 С. М. КУСIЙ виглядi ẋ = Acx+Bcu, Ac =   0 1 0 0 0 −(I +m1l 2)k/δ m2 1gl 2/δ 0 0 0 0 1 0 −m1lk/δ m1gl(m0 +m1)/δ 0   , Bc =   0 (I +m1l 2)/δ 0 m1l/δ   , x =   z ż ϕ ϕ̇   . (35) Для проведення числових розрахункiв побудовано дискретний аналог системи керу- вання (35) у виглядi (7), де A = edAc ≈ I4 + dAc + d2 2 A2 c + d3 6 A3 c , B = d∫ 0 eτAcBcdτ ≈ ( dIn + d2 2 Ac + d3 6 A2 c ) Bc, d = 0, 1 — крок дискретизацiї, i вибрано такi значення механiчних параметрiв: m0 = 0, 5, m1 = 0, 2, k = 0, 1, l = 0, 3 i I = 0, 006. В якостi вагових коефiцiєнтiв функцiонала (18) взято дiагональнi матрицi P = 1, Q = diag{q1, q2, q3, q4} i X0 = βI4, де β = 200. N q1 q2 q3 q4 K J J0 α T0 1 1 1 1 1 [1,4663 2,5332 −19, 4920 − 3, 9697] 0,7996 0,6812 0,0952 38 2 2 1 2 1 [2,0342 2,8795 −20, 5162 − 4, 1427] 0,8704 0,6946 0,1319 31 3 3 1 3 1 [2,4539 3,1342 −21, 2669 − 4, 2693] 0,9265 0,7056 0,1590 27 4 4 1 4 1 [2,7993 3,3446 −21, 8865 − 4, 3739] 0,9741 0,7141 0,1809 26 5 1 2 1 2 [1,0515 2,2804 −18, 7465 − 3, 8440] 1,0645 0,9509 0,0683 48 6 2 2 2 2 [1,4659 2,5329 −19, 4895 − 3, 9693] 1,1316 0,9644 0,0952 38 7 3 2 3 2 [1,7772 2,7232 −20, 0531 − 4, 0646] 1,1853 0,9741 0,1153 33 8 4 2 4 2 [2,0337 2,8786 −20, 5130 − 4, 1420] 1,2317 0,9827 0,1319 31 9 1 3 1 3 [0,8640 2,1663 −18, 4077 − 3, 7868] 1,2671 1,1572 0,0561 56 10 2 3 2 3 [1,2079 2,3761 −19, 0236 − 3, 8907] 1,3342 1,1707 0,0784 43 11 3 3 3 3 [1,4661 2,5331 −19, 4904 − 3, 9694] 1,3867 1,1816 0,0952 38 12 4 3 4 3 [1,6809 2,6638 −19, 8796 − 4, 0351] 1,4307 1,1890 0,1091 34 13 1 4 1 4 [0,7512 2,0977 −18, 2044 − 3, 7525] 1,4392 1,3318 0,0488 63 14 2 4 2 4 [1,0515 2,2804 −18, 7460 − 3, 8438] 1,5051 1,3440 0,0683 48 15 3 4 3 4 [1,2783 2,4191 −19, 1542 − 3, 9130] 1,5564 1,3550 0,0830 42 16 4 4 4 4 [1,4664 2,5332 −19, 4938 − 3, 9700] 1,6003 1,3635 0,0952 38 На основi наслiдку 1 i формул (22), (34) проведено ряд числових експериментiв iз ме- тою побудови наближених J-оптимальних керувань у виглядi статичного регулятора по стану (33) при рiзних значеннях дiагональних елементiв матрицi Q. В таблицi наведено знайденi вiдповiднi значення матрицi J-оптимального регулятора K, критерiїв якостi J i J0, запасу стiйкостi α i часу перехiдного процесу T0 замкненої системи. Остання харак- теристика знаходилась за формулою T0 = min{T : ‖xt‖ ≤ ε, t ≥ T}, де ε = 0, 05. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 СТАБIЛIЗАЦIЯ ТА ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ . . . 209 Рис. 2. Поведiнка системи без керування. Рис. 3. Поведiнка замкненої системи. Дiагональнi елементи q1 i q3 вагової матрицi Q характеризують вплив перемiщення платформи z i кута вiдхилення маятника ϕ на зважений рiвень гасiння обмежених збу- рень, що дiють на платформу. Як видно з таблицi, збiльшення q1 i q3 при сталих q2 i q4 приводить до збiльшення запасу стiйкостi i зменшення часу перехiдного процесу систе- ми при вiдповiдному J-оптимальному керуваннi. Замкнена система є неекспансивною у випадках N = 1, 4. На рис. 2 показано поведiнку розв’язкiв дискретної системи без керування, а на рис. 3 — поведiнку розв’язкiв замкненої системи з початковим вектором x0 = [−1, 1,−2, 2]T для J-оптимального регулятора у випадку N = 4. При цьому збурення wt задано у виглядi (19), де yt = xt, γ = 0, 976, Θ = √ P −1 E √ Q, E = 0, 5[1, 1, 1, 1] i виконується матрична нерiвнiсть ΘTPΘ ≤ Q. 7. Висновок. Для деяких класiв лiнiйних та нелiнiйних систем керування з дискрет- ним часом у термiнах матричних нерiвностей сформульовано алгебраїчнi умови iснуван- ня статичних стабiлiзуючих регуляторiв по вимiрюваному виходу. Запропоновану мето- дику побудови таких регуляторiв застосовано до дискретної моделi системи стабiлiзацiї гелiкоптера при вертикальному зльотi i посадцi. Розвинуто методи робастної стабiлiзацiї, оцiнки та мiнiмiзацiї критерiїв якостi дискретних систем, що характеризують зважений рiвень погашення вхiдних сигналiв i початкових збурень. Вiдповiдний алгоритм синтезу керування у випадку статичного зворотного зв’язку по стану зводиться до розв’язування системи ЛМН. Iз використанням засобiв комп’ютерної системи Matlab проведено чис- лову реалiзацiю даного алгоритму для системи стабiлiзацiї перевернутого маятника на рухомiй платформi. Лiтература 1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. — 303 с. 2. Кунцевич В. М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. — Киев: Наук. думка, 2006. — 264 с. 3. БаландинД.В.,КоганМ.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. — М.: Физматлит, 2007. — 280 с. 4. Ларин В. Б., Туник А. А. О компенсации внешних возмущений динамической обратной связью по выходной переменной // Прикл. механика. — 2006. — 42, № 5. — С. 132 – 144. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 210 С. М. КУСIЙ 5. Мазко А. Г. Робастная устойчивость и стабилизация динамических систем. Методы матричных и ко- нусных неравенств // Пр. Iн-ту математики НАН України. — 2016. — 102. — 332 с. 6. Dullerud G. E., Paganini F. G. A course in robust control theory. A convex approach. — Berlin: Springer- Verlag, 2000. — 419 p. 7. Gahinet P., Apkarian P. A Linear matrix inequality approach to H∞ control // Int. J. Robust and Nonlinear Control. — 1994. — 4. — P. 421 – 448. 8. Назин С. А., Поляк Б. Т., Топунов М. В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 3. — С. 106 – 125. 9. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5. — С. 7 – 46. 10. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A. J., Chilali M. The LMI control toolbox. For use with Matlab. User’s guide. — Natick, MA: The MathWorks, Inc., 1995. — 138 p. 11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с. 12. Баландин Д. В., Коган М. М. Применение линейных матричных неравенств в синтезе законов управ- ления. — Нижний Новгород: ННГУ, 2010. — 93 с. 13. Rosinova D., Vesely V., Kucera V. A necessary and sufficient condition for static output feedback stabilizabi- lity of linear discrete-time systems // Kybernetika. — 2003. — 39, № 4. — P. 447 – 459. 14. Баландин Д. В., Коган М. М. ОбобщенноеH∞-оптимальное управление как компромисс междуH∞- оптимальным и γ-оптимальным управлениями // Автоматика и телемеханика. — 2010. — № 6. — С. 20 – 38. 15. Баландин Д. В., КоганМ. М., Кривдина Л. Н., Федюков А. А. Синтез обобщенногоH∞-оптимального управления в дискретном времени на конечном и бесконечном интервалах // Автоматика и телемеха- ника. — 2014. — № 1. — С. 3–22. 16. Мазко О. Г., Кусiй С. М. Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень в системах керування // Мате- матичнi проблеми механiки та обчислювальної математики: Зб. праць Iн-ту математики НАН Украї- ни. — 2015. — 12, № 5. — С. 90 – 108. 17. Мазко А. Г., Кусий С. Н. Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления // Нелiнiйнi коливання. — 2015. — 18, № 3. — С. 373 – 387. Одержано 06.03.17 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2