Пошаговое усреднение линейных дифференциальных включений переменной размерности на конечном интервале
Розглядаються лiнiйнi диференцiальнi включення зi змiнною розмiрнiстю та обґрунтовується можливiсть використання методу покрокового усереднення на скiнченному промiжку....
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177303 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Пошаговое усреднение линейных дифференциальных включений переменной размерности на конечном интервале / А.А. Плотников // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 211-227 — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177303 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773032021-02-15T01:26:44Z Пошаговое усреднение линейных дифференциальных включений переменной размерности на конечном интервале Плотников, А.А. Розглядаються лiнiйнi диференцiальнi включення зi змiнною розмiрнiстю та обґрунтовується можливiсть використання методу покрокового усереднення на скiнченному промiжку. We consider linear differential inclusions of variable dimension, and substantiate a possibility of using a step-by-step averaging on a bounded interval. 2017 Article Пошаговое усреднение линейных дифференциальных включений переменной размерности на конечном интервале / А.А. Плотников // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 211-227 — Бібліогр.: 40 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177303 517.911 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглядаються лiнiйнi диференцiальнi включення зi змiнною розмiрнiстю та обґрунтовується можливiсть використання методу покрокового усереднення на скiнченному промiжку. |
| format |
Article |
| author |
Плотников, А.А. |
| spellingShingle |
Плотников, А.А. Пошаговое усреднение линейных дифференциальных включений переменной размерности на конечном интервале Нелінійні коливання |
| author_facet |
Плотников, А.А. |
| author_sort |
Плотников, А.А. |
| title |
Пошаговое усреднение линейных дифференциальных включений переменной размерности на конечном интервале |
| title_short |
Пошаговое усреднение линейных дифференциальных включений переменной размерности на конечном интервале |
| title_full |
Пошаговое усреднение линейных дифференциальных включений переменной размерности на конечном интервале |
| title_fullStr |
Пошаговое усреднение линейных дифференциальных включений переменной размерности на конечном интервале |
| title_full_unstemmed |
Пошаговое усреднение линейных дифференциальных включений переменной размерности на конечном интервале |
| title_sort |
пошаговое усреднение линейных дифференциальных включений переменной размерности на конечном интервале |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177303 |
| citation_txt |
Пошаговое усреднение линейных дифференциальных включений переменной размерности на конечном интервале / А.А. Плотников // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 211-227 — Бібліогр.: 40 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT plotnikovaa pošagovoeusrednenielinejnyhdifferencialʹnyhvklûčenijperemennojrazmernostinakonečnomintervale |
| first_indexed |
2025-07-15T15:20:54Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:20:54Z |
| _version_ |
1837726806235414528 |
| fulltext |
УДК 517.911
ПОШАГОВОЕ УСРЕДНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
ПЕРЕМЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
А. А. Плотников
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
ул. Дворянская, 2, Одесса, 65000, Украина
e-mail: aaplotnikov@ukr.net
We consider linear differential inclusions of variable dimension, and substantiate a possibility of using a
step-by-step averaging on a bounded interval.
Розглядаються лiнiйнi диференцiальнi включення зi змiнною розмiрнiстю та обґрунтовується
можливiсть використання методу покрокового усереднення на скiнченному промiжку.
1. Введение. В теории динамических систем метод усреднения является мощным средст-
вом для их исследования. Он позволяет получать приближенные аналитические реше-
ния для весьма сложных систем. Математическое обоснование метода усреднения для
обыкновенных дифференциальных уравнений берет начало с фундаментальной работы
Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [1]. Большую роль в разработке метода усреднения
для различных классов динамических систем сыграли работы Ю. А. Митропольского,
В. И. Арнольда, В. М. Волосова, Н. Н. Моисеева, Н. А. Перестюка, В. А. Плотникова,
А. М. Самойленко, А. Н. Филатова, О. П. Филатова, М. М. Хапаева, T. Dontchev, M. Kisie-
liwicz, J. A. Sanders и др. [2 – 16].
В этой работе рассматриваются линейные дифференциальные включения с перемен-
ной размерностью. Такие дифференциальные включения относятся к импульсным диф-
ференциальным включениям, для которых обоснование возможности применения мето-
да усреднения рассматривалось многими авторами (обзоры развития методов усредне-
ния для импульсных дифференциальных включений содержатся в работах [6 – 8, 14, 34]).
Однако, в отличие от ранее рассматриваемых импульсных дифференциальных включе-
ний, в данном случае в моменты импульсных воздействий меняется размерность системы,
а сам импульс „связывает” разноразмерные решения в эти моменты времени.
В данной работе получены некоторые свойства решений линейных дифференциаль-
ных включений с переменной размерностью и обосновывается возможность применения
для их исследования метода пошагового усреднения.
2. Основные определения и обозначения. Пусть comp (Rn) (conv(Rn)) — семейство
всех непустых компактных (выпуклых) подмножеств пространства Rn с метрикой Хаус-
дорфа
h(A,B) = max{max
a∈A
min
b∈B
‖a− b‖, max
b∈B
min
a∈A
‖a− b‖},
где ‖ · ‖— евклидова метрика в Rn.
Пусть I = [0, T ], n : I → N — кусочно-постоянная функция, непрерывная справа и
ограниченная постоянной n > 0: 1 ≤ n(t) ≤ n для всех t ∈ I.
c© А. А. Плотников, 2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2 211
212 А. А. ПЛОТНИКОВ
Предположение 1. Предположим, что множество всех точек разрыва функции n(·)
на сегменте I конечно и равно m.
Рассмотрим семейство линейных дифференциальных включений
ẋi ∈ Ai(t)xi + Fi(t), t ∈ [τi, τi+1), i = 0,m, (1)
x0(τ0) = x0(0) = x0, xi(τi) = Mixi−1(τi − 0), i = 1,m, (2)
где x(t) ∈ Rn(t), t ∈ I, τi ∈ I, i = 1,m, — моменты времени (τi < τi+1) такие, что n(τi) 6=
6= n(τi − 0), Ai(t) — матричнозначная функция (n(t)× n(t)), Fi : [τi, τi+1] → conv(Rn(t)) —
многозначное отображение, Mi — матрица (n(τi)× n(τi − 0)), τm+1 = T.
Наряду с системой (1), (2) будем рассматривать следующую вспомогательную систе-
му, которая получена из системы (1), (2) и имеет постоянную размерность:
ẋ ∈ N(n(t))A(t)x+N(n(t))F (t), t 6= τi, (3)
x(0) = x0, x(τi) = M(n(τi))x(τi − 0), i = 1,m, (4)
где t ∈ I, E(n(t)) — единичная матрица (n(t)×n(t)), N(n(t)) — матричнозначная функция
(n× n) такая, что
N(n(t)) =
(
E(n(t)) 0
0 0
)
,
P (t) — матричнозначная функция (n(t) × n) такая, что P (n(t)) = (E(n(t))0), A(t) —
матричнозначная функция (n × n) такая, что N(n(t))A(t) ≡ P T (n(t))Ai(t)P (n(t)) для
всех t ∈ [τi, τi+1), i = 0,m, F : I → conv (Rn) — многозначное отображение такое, что
N(n(t))F (t) ≡ P T (n(t))Fi(t) для всех t ∈ [τi, τi+1), i = 0,m, M(n(t)) — матричнозначная
функция (n× n) такая, что
M(n(t)) = M(n(τi)) =
(
Mi 0
0 E(n− n(τi))
)
для всех t ∈ [τi, τi+1), i = 0,m− 1, M0 = E(n), N(n(0))x0 ≡ P T (n(0))x0.
Определение 1. Вектор-функция x : I → (Rn) называется решением системы (3),
(4), если она абсолютно непрерывна, удовлетворяет дифференциальному включению
(3) почти всюду на интервалах, которые не содержат τi, и удовлетворяет условию (4)
для t = τi.
Замечание 1. Очевидно, что P T (n(t))x(t) = xi(t) для всех t ∈ I, где x(·) — решение
системы (3), (4), а xi(·) — решения системы (1), (2), т. е. первые n(t) элементов вектора
x(t) совпадают со всеми элементами вектора xi(t) для всех t ∈ I.
Замечание 2. Очевидно, что если дифференциальное включение (3) удовлетворяет
условиям теорем существования решений для обыкновенных линейных дифференциаль-
ных включений на I (см., например, [6, 8, 17 – 19]), то система (3), (4) будет иметь решения
на I [20].
ЧерезX(I) обозначим множество решений системы (3), (4), черезX(t) — его сечение
в момент t, т. е. X(t) = {x(t) : x(·) ∈ X(I), t ∈ I}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПОШАГОВОЕ УСРЕДНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 213
Замечание 3. К таким системам сводятся, например, управляемые процессы возник-
новения и развития объектов, дифференцированных по моменту создания [21 – 23],
управляемые гибридные системы [24 – 28] и управляемые системы с переменной размер-
ностью [29]. Если же n(t) ≡ n, то система (3), (4) является обыкновенным линейным
дифференциальным включением [8, 18, 19].
Теперь рассмотрим две системы:
ẋ ∈ [N(n(t))A1(t)x+N(n(t))F1(t)] t 6= τi, (5)
x(0) = x0, x(τi) = M(n(τi))x(τi − 0), i = 1,m, (6)
и
ẏ ∈ [N(n(t))A2(t)y +N(n(t))F2(t)], t 6= τi, (7)
y(0) = y0, y(τi) = M(n(τi))y(τi − 0), i = 1,m. (8)
Теорема 1. Пусть A1(t), A2(t), F1(t), F2(t) удовлетворяют следующим условиям:
1) A1(·), A2(·) — матричнозначные функции (n× n), непрерывные на I \ {τi} и непре-
рывные справа в τi, i = {1, 2, . . . ,m};
2) F1(·), F2(·) : I → conv
(
Rn
)
— многозначные отображения, непрерывные на I \ {τi}
и непрерывные справа в τi, i = {1, 2, . . . ,m};
3) существует постоянная η > 0 такая, что для всех t ∈ I
‖A1(t)−A2(t)‖ ≤ η, h(F1(t), F2(t)) ≤ η; (9)
4) существует постоянная λ > 0 такая, что для всех t ∈ I
‖M(n(t))‖ ≤ λ. (10)
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) для любого решения x(·) системы (5), (6) существует решение y(·) системы (7),
(8) такое, что для всех t ∈ I
‖x(t)− y(t)‖ ≤ max {1, λm} e
√
na1T δ0 + Cη; (11)
2) для любого решения y(·) системы (7), (8) существует решение x(·) системы (5),
(6) такое, что для всех t ∈ I выполняется условие (11).
Следовательно, для всех t ∈ I
h(X(t), Y (t)) ≤ max {1, λm} e
√
na1T δ0 + Cη, (12)
где ‖x0 − y0‖ = δ0, a1 = maxt∈I ‖A1(t)‖, C — некоторая постоянная, зависящая от λ,
a1, T и m (см. (27)).
Доказательство. Докажем первое утверждение, т. е. включение X(t) ⊂ Y (t) + Sς(0),
где ς = max{1, λm}e
√
na1T δ0 + Cη.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
214 А. А. ПЛОТНИКОВ
Пусть τ0 = 0, τm+1 = T. Возьмем произвольное решение x(·) ∈ X системы (5), (6).
Тогда
x(t) = x(τi) +
t∫
τi
[N(n(s))A1(s)x(s) +N(n(s))f1(s)]ds (13)
для всех t ∈ [τi, τi+1), i = 0,m, где f1(·) — измеримая вектор-функция такая, что f1(t) ∈
∈ F1(t) для всех t ∈ I, а также x(τi) = M(n(τi))x(τi − 0), i = 1,m.
Возьмем f2(t) = minf∈F2(t) ‖f1(t) − f‖. Очевидно, что f2(·) является измеримой век-
тор-функцией.
Пусть вектор-функция y(·) такая, что для всех t ∈ [τi, τi+1), i = 0,m,
y(t) = y(τi) +
t∫
τi
[N(n(s))A2(t)y(s) +N(n(s))f2(s)]ds (14)
и y(τi) = M(n(τi))y(τi − 0), i = 1,m. Следовательно, y(·) ∈ Y.
Возьмем произвольное t ∈ I. Очевидно, что t принадлежит некоторому полуинтер-
валу [τi, τi+1), где i ∈ {0, . . . ,m}. Обозначим
δ−i = ‖x(τi − 0)− y(τi − 0)‖, δi = ‖x(τi)− y(τi)‖.
Из (13) и (14) получим
‖x(t)− y(t)‖ =
∥∥∥∥∥∥x(τi) +
t∫
τi
[N(n(s))A1(s)x(s) +N(n(s))f1(s)]ds−
−y(τi)−
t∫
τi
[N(n(s))A2(t)y(s) +N(n(s))f2(s)]ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ δi +
t∫
τi
‖N(n(s))‖‖A1(s)‖‖x(s)− y(s)‖ds+
+
t∫
τi
‖N(n(s))‖‖A1(s)y(s)−A2(s)y(s)‖ds+
t∫
τi
‖N(n(s))‖‖f1(s)− f2(s)‖ds ≤
≤ δi +
t∫
τi
‖N(n(s))‖‖A1(s)‖‖x(s)− y(s)‖ds+
+
t∫
τi
‖N(n(s))‖‖A1(s)y(s)−A2(s)y(s)‖ds+
t∫
τi
‖N(n(s))‖h(F1(s), F2(s))ds ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПОШАГОВОЕ УСРЕДНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 215
≤ δi +
t∫
τi
[
√
n‖A1(s)‖‖x(s)− y(s)‖+ 2
√
nη]ds.
Воспользовавшись неравенством Гронуолла – Беллмана [10], получим
‖x(t)− y(t)‖ ≤
(
δi +
2η
a1
)
e
√
na1(t−τi) − 2η
a1
, t ∈ [τi, τi+1). (15)
Тогда
δ−i+1 ≤
(
δi +
2η
a1
)
e
√
na1(τi+1−τi) − 2η
a1
,
а также
δi = ‖x(τi)− y(τi)‖ = ‖M(n(τi))x(τi − 0)−M(n(τi))y(τi − 0)‖ ≤
≤ λ‖x(τi − 0)− y(τi − 0)‖ = λδ−i .
Следовательно,
δi+1 ≤ λe
√
na1(τi+1−τi)δi +
2λη
a1
(
e
√
na1(τi+1−τi) − 1
)
.
Пусть κ =
2η
a1
и µ =
√
na1. Тогда
δi+1 ≤ λeµ(τi+1−τi)δi + λκ
(
eµ(τi+1−τi) − 1
)
.
Поскольку δ−0 = δ0, то
δ1 ≤ λeµτ1δ0 + λκ (eµτ1 − 1) ,
δ2 ≤ λeµ(τ2−τ1) (λeµτ1δ0 + λκ (eµτ1 − 1)) + λκ
(
eµ(τ2−τ1) − 1
)
=
= λ2eµτ2δ0 + λ2κ
(
eµτ2 − eµ(τ2−τ1)
)
+ λκ
(
eµ(τ2−τ1) − 1
)
,
δ3 ≤ λeµ(τ3−τ2)δ2 + λκ
(
eµ(τ3−τ2) − 1
)
≤
≤ λeµ(τ3−τ2)
(
λ2eµτ2δ0 + λ2κ
(
eµτ2 − eµ(τ2−τ1)
)
+ λκ
(
eµ(τ2−τ1) − 1
))
+
+ λκ
(
eµ(τ3−τ2) − 1
)
≤ λ3eµτ3δ0 + λ3κ
(
eµτ3 − eµ(τ3−τ1)
)
+
+ λ2κ
(
eµ(τ3−τ1) − eµ(τ3−τ2)
)
+ λκ
(
eµ(τ3−τ2) − 1
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
216 А. А. ПЛОТНИКОВ
Следовательно, воспользовавшись методом математической индукции, получим
δi+1 ≤ λeµ(τi+1−τi)δi + λκ
(
eµ(τi+1−τi) − 1
)
≤
≤ λi+1eµτi+1δ0 + λi+1κ
(
eµτi+1 − eµ(τi+1−τ1)
)
+ λiκ
(
eµ(τi+1−τ1) − eµ(τi+1−τ2)
)
+ . . .
. . .+ λ2κ
(
eµ(τi+1−τi−1) − eµ(τi+1−τi)
)
+ λκ
(
eµ(τi+1−τi) − 1
)
. (16)
Теперь мы можем рассмотреть следующие случаи относительно λ:
1) если λ ≤ 1, то заменим все λj , j = 2, i+ 1, на λ:
δi+1 ≤ λeµτi+1δ0 + λκ (eµτi+1 − 1) ; (17)
2) если λ > 1, то заменим все λj , j = 1, i, на λi+1:
δi+1 ≤ λi+1eµτi+1δ0 + λi+1κ (eµτi+1 − 1) , (18)
а также получить другую оценку, в которой не используется оценка λ. Так как
eµτi+1 − eµ(τi+1−τ1) ≤ eµτi+1 − 1, eµ(τi+1−τ1) − eµ(τi+1−τ2) ≤ eµτi+1 − 1, . . . ,
eµ(τi+1−τi−1) − eµ(τi+1−τi) ≤ eµτi+1 − 1, eµ(τi+1−τi) − 1 ≤ eµτi+1 − 1,
то из (16) имеем
δi+1 ≤ λi+1eµτi+1δ0 + (λi+1 + λi + . . .+ λ2 + λ)κ (eµτi+1 − 1) .
Если λ 6= 1, то, воспользовавшись формулой суммы геометрической прогрессии, бу-
дем иметь
δi+1 ≤ λi+1eµτi+1δ0 + κ
λi+1 − λ
λ− 1
(eµτi+1 − 1) , (19)
а если λ = 1, то
δi+1 ≤ eµτi+1δ0 + κ(i+ 1) (eµτi+1 − 1) . (20)
Из (15), (17), получим
‖x(t)− y(t)‖ ≤ λeµtδ0 + λκ
(
eµt − eµ(t−τi)
)
+ κ
(
eµ(t−τi) − 1
)
≤
≤ λeµtδ0 + κ
(
eµt − 1
)
= λe
√
na1tδ0 +
2η
a1
(
e
√
na1t − 1
)
, (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПОШАГОВОЕ УСРЕДНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 217
из (15), (18) —
‖x(t)− y(t)‖ ≤
(
λieµτiδ0 + λiκ (eµτi − 1) + κ
)
eµ(t−τi) − κ ≤
≤ λieµtδ0 + λiκ
(
eµt − eµ(t−τi)
)
+ κ
(
eµ(t−τi) − 1
)
=
= λieµtδ0 + κ
(
λi + 1
) (
eµt − 1
)
≤
≤ λie
√
na1tδ0 +
2η
a1
(
λi + 1
) (
e
√
na1t − 1
)
, (22)
из (15), (19) —
‖x(t)− y(t)‖ ≤ λieµtδ0 + κ
λi − 1
λ− 1
(
eµt − eµ(t−τi)
)
+ κ
(
eµ(t−τi) − 1
)
≤
≤ λieµtδ0 + κ
λi + λ− 2
λ− 1
(
eµt − 1
)
=
= λie
√
na1tδ0 +
2η
a1
λi + λ− 2
λ− 1
(
e
√
na1t − 1
)
, (23)
а из (15), (20) —
‖x(t)− y(t)‖ ≤ eµtδ0 + κ(i+ 1)
(
eµt − eµ(t−τi)
)
+ κ
(
eµ(t−τi) − 1
)
≤
≤ eµtδ0 + κ(i+ 2)
(
eµt − 1
)
= e
√
na1tδ0 +
2η
a1
(i+ 2)
(
e
√
na1t − 1
)
. (24)
Следовательно, так как i ≤ m и t ≤ T, то для любого t ∈ I из (21) – (24) получим
‖x(t)− y(t)‖ ≤ max{1λm}e
√
na1T δ0 + Cη, (25)
где
C =
2
a1
(
e
√
na1T − 1
)
, если λ ≤ 1,
2
a1
(λm + 1)
(
e
√
na1T − 1
)
, если λ > 1,
2
a1
max
{
1,
λm + λ− 2
λ− 1
}(
e
√
na1T − 1
)
, если λ 6= 1,
2
a1
(m+ 2)
(
e
√
na1T − 1
)
, если λ = 1.
(26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
218 А. А. ПЛОТНИКОВ
Оценив выражения в (26), будем иметь
C =
2
a1
(
e
√
na1T − 1
)
, если λ ≤ 1,
2
a1
min
{
(λm + 1),
λm + λ− 2
λ− 1
}(
e
√
na1T − 1
)
, если λ > 1.
(27)
Таким образом, из (25), (27) получим первое утверждение теоремы. Аналогично до-
казывается второе утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Замечание 4. Рассмотрим некоторые специальные случаи этой теоремы.
Пусть η = 0, δ0 6= 0. Тогда
h(X(t), Y (t)) ≤ max {1, λm} e
√
na1T δ0 (28)
для всех t ∈ I.
Из (28) следует, что для любого ε > 0 существует δ(ε) = εmax{1, λm}−1e−
√
na1T та-
кое, что если δ0 = ‖x0 − y0‖ < δ, то h(X(t), Y (t)) < ε для всех t ∈ I. Следовательно,
множество решений системы (5) непрерывно зависит от начального условия.
Если δ0 = 0 и η 6= 0, то h(X(t), Y (t)) ≤ Cη для всех t ∈ I, т. е. для любого ε >
> 0 существует такое η(ε) =
ε
C
, что если неравенства (9), (10) выполняются, то h(X(t),
Y (t)) < ε для всех t ∈ I. Тем самым множество решений системы (5) непрерывно зависит
от правой части системы.
3. Метод пошагового усреднения. Рассмотрим линейную систему с малым параметром
ẋ ∈ ε[N(n(t))A(t)x+N(n(t))F (t)], t 6= τi, (29)
x(0) = x0, x(τi) = M(n(τi))x(τi − 0), (30)
где ε > 0 — малый параметр, τi ∈ R+ — моменты времени (τi < τi+1) такие, что n(τi −
−0) 6= n(τi).
Предположение 2. Предположим, что множество разрывов функции n(·) на любом
сегменте, принадлежащем R+, конечно.
Возьмем некоторое ω > 0. Обозначим через Γ множество таких точек пространства
R+, что γi = iω, i = 0, 1, . . . , а через Υ множество таких точек τi, что n(τi−0)−n(τi+0) 6=
6= 0.Обозначим через Ξ множество точек ti, i = 0, 1, . . . , таких, что Ξ = Γ
⋃
Υ.Очевидно,
что ti+1 − ti ≤ ω для всех i = 0, 1, . . . .
Системе (29), (30) поставим в соответствие усредненную систему
ẏ ∈ ε[N(n(t))A(t)y +N(n(t))F (t)], t 6= τi, (31)
y(0) = x0, y(τi) = M(n(τi))y(τi − 0), (32)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПОШАГОВОЕ УСРЕДНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 219
где
A(t) =
Ai : Ai =
1
ti+1 − ti
ti+1∫
ti
A(s)ds, t ∈ [ti, ti+1), i = 0, 1, . . .
, (33)
F (t) =
Fi : Fi =
1
ti+1 − ti
ti+1∫
ti
F (s)ds, t ∈ [ti, ti+1), i = 0, 1, . . .
. (34)
Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:
1) A(·) : R+ → Rn×n — матричнозначная функция (n × n) с непрерывными элемен-
тами на R+\{τi} и непрерывными справа в t = τi;
2) F (·) : R+ → conv (Rn) — непрерывное многозначное отображение на R+\{τi} и
непрерывное справа в t = τi;
3) существует такое α > 0, что ‖N(n(t))A(t)‖ ≤ α, ‖N(n(t))F (t)‖ ≤ α для всех
t ≥ 0;
4) существует такое 0 < λ < 1, что для всех t ≥ 0
‖M(n(t))‖ ≤ λ. (35)
Тогда для любого L > 0 существуют такие ε0(L) > 0 и C(L) > 0, что для всех
ε ∈ (0, ε0] и t ∈ [0, Lε−1] справедливы следующие утверждения:
1) для любого решения x(·) системы (29), (30) существует такое решение y(·) сис-
темы (31), (32), что
‖x(t)− y(t)‖ < Cε; (36)
2) для любого решения y(·) системы (31), (32) существует такое решение x(·) сис-
темы (29), (30), что выполняется неравенство (36).
Следовательно,
h(X(t), Y (t)) < Cε. (37)
Доказательство. Докажем первое утверждение, т. е. включение
X(t) ⊂ Y (t) + SCε(0).
Обозначим Ξε = [0, Lε−1]
⋂
Ξ и Υε = [0, Lε−1]
⋂
Υ. Очевидно, что множества Ξε и
Υε конечны, и будем считать, что они содержат k + 1 элемент t0, t1, . . . , tk и l элементов
τ1, . . . , τl соответственно. Кроме того, обозначим tk+1 = Lε−1.
Возьмем любое решение x(·) ∈ X системы (29), (30). Тогда
x(t) = x(ti) + ε
t∫
ti
[N(n(s))A(s)x(s) +N(n(s))f(s)]ds (38)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
220 А. А. ПЛОТНИКОВ
для всех t ∈ [ti, ti+1), если ti+1 ∈ Υ, и t ∈ [ti, ti+1], если ti+1 6∈ Υ, i = 0, 1, . . . , k, где f(·)
— измеримая вектор-функция такая, что f(t) ∈ F (t) почти для всех t ∈ [0, Lε−1], а также
x(0) = x0 и x(ti) = M(n(ti))x(ti − 0) для всех ti ∈ Ξε
⋂
Υ.
Возьмем f(t) = minf∈F (t) ‖f(t)−f‖.Очевидно, что f(·) — измеримая вектор-функция
на t ∈ [0, Lε−1].
Пусть y(·) такое, что
y(t) = y(ti) + ε
t∫
ti
[N(n(s))A(s)y(s) +N(n(s))f(s)]ds (39)
для всех t ∈ [ti, ti+1), если ti+1 ∈ Υ, и t ∈ [ti, ti+1], если ti+1 6∈ Υ, i = 0, 1, . . . , k, y(0) = x0
и y(ti) = M(n(ti))y(ti − 0) для всех ti ∈ Ξε
⋂
Υ. Следовательно, y(·) является решением
системы (31), (32), т. е. y(·) ∈ Y.
Возьмем произвольное t ∈ (0, Lε−1). Тогда возможны следующие случаи:
1) t ∈ (0, τ1), где τ1 ∈ Υε;
2) t ∈ (τj , τj+1), где τj , τj+1 ∈ Υε;
3) t ∈ (τl, tk+1), где τl ∈ Υε;
4) t = τr, где τr ∈ Υε, r ∈ {1, . . . , l}.
Рассмотрим первый случай. Из (38) и (39) имеем
|x(t)| ≤ (|x0|+ αL)eαL, |y(t)| ≤ (|x0|+ αL)eαL. (40)
Далее получим
‖x(t)− y(t)‖ =
∥∥∥∥∥∥x(0) + ε
t∫
0
[N(n(s))A(s)x(s) +N(n(s))f(s)]ds−
−y(0) + ε
t∫
0
[N(n(s))A(s)y(s) +N(n(s))f(s)]ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ ε
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
N(n(s))A(s)x(s)ds−
t∫
0
N(n(s))A(s)y(s)ds
∥∥∥∥∥∥+
+ ε
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
N(n(s))f(s)ds−
t∫
0
N(n(s))f(s)ds
∥∥∥∥∥∥ . (41)
Предположим, что [0, τ1]
⋂
Ξε = {t0, . . . , tm} и t ∈ (tm−1, tm), где t0 = 0, tm = τ1.
Теперь оценим первое слагаемое в (41):∥∥∥∥∥∥
t∫
0
N(n(s))A(s)x(s)ds−
t∫
0
N(n(s))A(s)y(s)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤ (42)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПОШАГОВОЕ УСРЕДНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 221
≤
m−2∑
i=0
∥∥∥∥∥∥
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(s)ds−
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(s)ds
∥∥∥∥∥∥+ (43)
+
∥∥∥∥∥∥∥
t∫
tm−1
N(n(s))A(s)x(s)ds−
t∫
tm−1
N(n(s))A(s)x(s)ds
∥∥∥∥∥∥∥+ (44)
+
t∫
0
∥∥N(n(s))A(s)x(s)−N(n(s))A(s)y(s)
∥∥ ds. (45)
Оценим каждое слагаемое в (43):
∥∥∥∥∥∥
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(s)ds−
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(s)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥∥∥∥
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(s)ds−
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(ti)ds
∥∥∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥∥∥
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(ti)ds−
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(ti)ds
∥∥∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥∥∥
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(ti)ds−
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(s)ds
∥∥∥∥∥∥ .
Поскольку
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(ti)ds =
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(ti)ds =
ti+1∫
ti
N(n(s))Aix(ti)ds
и∥∥∥∥∥∥
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(s)ds−
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(ti)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥∥∥∥
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)[x(ti) + ε
s∫
ti
[N(n(ζ))A(ζ)x(ζ) +N(n(ζ))f(ζ)]dζ]ds−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
222 А. А. ПЛОТНИКОВ
−
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(ti)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥∥∥∥
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)
ε s∫
ti
[N(n(ζ))A(ζ)x(ζ) +N(n(ζ))f(ζ)] dζ
ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
ti+1∫
ti
α
ε s∫
ti
[α‖x(ζ)‖+ α]dζ
ds ≤ εα2
[
(‖x0‖+ αL)eαL + 1
] (ti+1 − ti)2
2
≤
≤ εα2[(‖x0‖+ αL)eαL + 1]
ω2
2
,
а также аналогично∥∥∥∥∥∥
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(ti)ds−
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(s)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤ εα2
[
(‖x0‖+ αL)eαL + 1
] ω2
2
,
то ∥∥∥∥∥∥
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(s)ds−
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(s)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤ εα2
[
(|x0|+ αL)eαL + 1
]
ω2.
Теперь можно получить оценку выражения (43):
m−2∑
i=0
∥∥∥∥∥∥
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(s)ds−
ti+1∫
ti
N(n(s))A(s)x(s)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ (m− 1)[εα2
[
(‖x0‖+ αL)eαL + 1]ω2
]
. (46)
Далее, оценим выражение (44):∥∥∥∥∥∥∥
t∫
tm−1
N(n(s))A(s)x(s)ds−
t∫
tm−1
N(n(s))A(s)x(s)ds
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
t∫
tm−1
‖x(s)‖‖N(n(s))A(s)−N(n(s))A(s)‖ds ≤ 2α(‖x0‖+ αL)eαLω, (47)
а также интеграл (45):
t∫
0
‖N(n(s))A(s)x(s)−N(n(s))A(s)y(s)‖ds ≤ α
t∫
0
‖x(s)− y(s)‖ds. (48)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПОШАГОВОЕ УСРЕДНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 223
Тогда из (42) и (46) – (48) получим∥∥∥∥∥∥
t∫
0
N(n(s))A(s)x(s)ds−
t∫
0
N(n(s))A(s)y(s)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ (m− 1)
[
εα2
[
(‖x0‖+ αL)eαL + 1
]
ω2
]
+
+ 2α(‖x0‖+ αL)eαLω + α
t∫
0
‖x(s)− y(s)‖ds. (49)
Теперь оценим аналогично второе слагаемое в (41):∥∥∥∥∥∥
t∫
0
N(n(s))f(s)ds−
t∫
0
N(n(s))f(s)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤ 2αω. (50)
Тогда, благодаря (41) и (49), (50), получим
‖x(t)− y(t)‖ ≤ εα
t∫
0
‖x(s)− y(s)‖ds+ ε
{
(m− 1)
[
εα2
[
(‖x0‖+ αL)eαL + 1
]
ω2
]
+
+2α(‖x0‖+ αL)eαLω + 2αω
}
.
На основании леммы Грануолла – Беллмана будем иметь
‖x(t)− y(t)‖ ≤ ε
{
(m− 1)
[
εα2
[
(‖x0‖+ αL)eαL + 1
]
ω2
]
+
+2α(‖x0‖+ αL)eαLω + 2αω
}
eαL,
т. е.
‖x(t)− y(t)‖ ≤ C0ε,
где
C0 =
{
α2L
[
(‖x0‖+ αL)eαL + 1
]
+ 2α(‖x0‖+ αL)eαL + 2α
}
eαLω.
Заметим, что если t = τ1, то
‖x(τ1)− y(τ1)‖ ≤ ‖M(n(τ1))x(τ1 − 0)−M(n(τ1))y(τ1 − 0)‖ ≤ λC0ε.
Рассмотрим второй случай (когда t ∈ (τ1, τ2)). Из (40) имеем
‖x(τ1 − 0)‖ ≤ (‖x0‖+ εατ1)e
εατ1 , ‖y(τ1 − 0)‖ ≤ (‖x0‖+ εατ1)e
εατ1 .
Тогда
‖x(τ1)‖ ≤ λ(‖x0‖+ εατ1)e
εατ1 , ‖y(τ1)‖ ≤ λ(‖x0‖+ εατ1)e
εατ1 .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
224 А. А. ПЛОТНИКОВ
Следовательно,
‖x(t)‖ ≤ ‖x(τ1)‖+ εα
t∫
τ1
‖x(s)‖ds+ εα(τ2 − τ1) ≤
≤ λ‖x0‖eεαt + ελατ1e
εαt + εα(τ2 − τ1)eεα(t−τ1) ≤
≤ λ‖x0‖eαL + λαLeαL + αLeαL = λeαL
(
‖x0‖+ αL
(
1 + λ−1
))
. (51)
Аналогично
‖y(t)‖ ≤ λeαL
(
‖x0‖+ αL
(
1 + λ−1
))
.
Из (38) и (39) находим
‖x(t)− y(t)‖ ≤ ‖x(τ1)− y(τ1)‖+ ε
∥∥∥∥∥∥
t∫
τ1
N(n(s))A(s)x(s)ds−
t∫
τ1
N(n(s))A(s)y(s)ds
∥∥∥∥∥∥+
+ ε
∥∥∥∥∥∥
t∫
τ1
N(n(s))f(s)ds−
t∫
τ1
N(n(s))f(s)ds
∥∥∥∥∥∥ .
Предположим, что [τ1, τ2]
⋂
Ξε = {tz, . . . , tz+m} и t ∈ (tz+m−1, tz+m), где tz = τ1,
tz+m = τ2. Тогда аналогично (49) получим∥∥∥∥∥∥
t∫
tz
N(n(s))A(s)x(s)ds−
t∫
tz
N(n(s))A(s)y(s)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ α
t∫
tz
‖x(s)− y(s)‖ds+ (m− 1)
[
εα2
[
λeαL
(
‖x0‖+ αL
(
1 + λ−1
))
+ 1
]
ω2
]
+
+ 2αλeαL
(
‖x0‖+ αL
(
1 + λ−1
))
ω, (52)
а также аналогично (50)∥∥∥∥∥∥
t∫
tz
N(n(s))f(s)ds−
t∫
tz
N(n(s))f(s)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤ 2αω. (53)
Тогда
‖x(t)− y(t)‖ ≤ λC0ε+ ε
{
(m− 1)εα2ω[λeαL(‖x0‖+ αL(1 + λ−1)) + 1]+
+2αλeαL(‖x0‖+ αL(1 + λ−1)) + 2α
}
eαε(t−τ1)ω.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПОШАГОВОЕ УСРЕДНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 225
Следовательно,
‖x(t)− y(t)‖ ≤ C1ε,
где
C1 = λC(0) + C(1), C(0) = C0,
C(1) =
{
α2L
[
λeαL
(
‖x0‖+ αL
(
1 + λ−1
))
+ 1
]
+
+2αλeαL
(
‖x0‖+ αL
(
1 + λ−1
))
+ 2α
}
eαLω.
Заметим, что если t = τ2, то ‖x(τ2)− y(τ2)‖ ≤ λC1ε.
Теперь рассмотрим третий случай, когда t ∈ [τl, Lε
−1]. Тогда аналогично предыдущим
рассуждениям получим
‖x(τl)− y(τl)‖ ≤ λCl−1ε,
‖x(t)‖ ≤ λleαL
(
‖x0‖+ αL
(
1 + λ−1 + λ−2 + . . .+ λ−l
))
= λleαL
(
‖x0‖+ αL
λ−l−1 − 1
λ−1 − 1
)
,
‖y(t)‖ ≤ λleαL
(
‖x0‖+ αL
λ−l−1 − 1
λ−1 − 1
)
,
а также
‖x(t)− y(t)‖ ≤ Clε,
где
Cl = λlC(0) + λl−1C(1) + . . .+ λC(l−1) + C(l),
C(i) = eαLω(α2L+ 2α)
[
λieαL
(
‖x0‖+ αL
λ−i−1 − 1
λ−1 − 1
)
+ 1
]
.
Выполнив тождественные преобразования, будем иметь
Cl = λleαLω(α2L+ 2α)
{
(l + 1)eαL‖x0‖+ eαLαL
l + 1
1− λ−1
+
1− λ−l−1
1− λ−1
(eαLαLλ−1 + 1)
}
.
Для фиксированных α, L, ω, x0 и 0 < λ < 1 последовательность {Cl}∞l=1 является
возрастающей и liml→+∞Cl = C(λ, α, L, ω, x0), где 0 < C(λ, α, L, ω, x0) < +∞. Тогда мы
возьмем C = C(λ, α, L, ω, x0) и получим справедливость первого утверждения теоремы.
Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.
Теорема доказана.
Замечание 5. Если в условии 4 теоремы предположить существование только λ > 0,
то при λ ≥ 1 получим liml→+∞Cl = +∞. Но в этом случае можно доказать аналогичную
теорему, если предположить, что множество разрывов функции n(·) на R+ конечно.
Замечание 6. Если n(t) ≡ n, то данная теорема обосновывает возможность примене-
ния пошагового усреднения для обыкновенных линейных дифференциальных включе-
ний на конечном промежутке.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
226 А. А. ПЛОТНИКОВ
Замечание 7. Аналогично могут быть рассмотрены линейные управляемые диффе-
ренциальные включения с переменной размерностью в условиях неопределенности и не-
четкие линейные дифференциальные включения с переменной размерностью, а также
доказаны теоремы, которые обобщают результаты работ [30 – 40] для линейного случая.
Литература
1. Крылов Н. М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937.
2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989.
3. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. —
М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1971.
4. Боголюбов H. H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колеба-
ний. — М.: Физматгиз, 1963.
5. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наук. думка, 1971.
6. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциаль-
ные уравнения с многозначной и разрывной правой частью. — Киев: Ин-т математики НАН Украи-
ны, 2007.
7. Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential equations with impulse effects:
multivalued right-hand sides with discontinuities // De Gruyter Stud. Math. — 2011. — 40.
8. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной
правой частью. Асимптотические методы. — Одесса: АстроПринт, 1999.
9. Филатов А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных
уравнений. — Ташкент: Фан, 1974.
10. Филатов А. Н., Шарова Л. В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. — М.:
Наука, 1976.
11. Филатов О. П., Хапаев М. М. Усреднение систем дифференциальных включений. — М.: Изд-во
Моск. гос. ун-та, 1998.
12. Филатов О. П. Усреднение дифференциальных включений и пределы максимальных средних. —
Самара: Универс групп, 2009.
13. Gama R., Smirnov G. Stability and optimality of solutions to differential inclusions via averaging method //
Set-Valued Var. Anal. — 2014. — 22, № 2. — P. 349 – 374.
14. Klymchuk S., Plotnikov A., Skripnik N. Overview of V. A. Plotnikov’s research on averaging of differential
inclusions // Physica D. — 2012. — 241, № 22. — P. 1932 – 1947.
15. Lochak P., Meunier C. Multiphase averaging for classical systems // Appl. Math. Sci. — 1988. — 72.
16. Sanders J. A., Verhulst F. Averaging methods in nonlinear dynamical systems // Appl. Math. Sci. — 1985. —
59.
17. Благодатских В. И., Филлипов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление //
Топология, обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы. — М.: Наука, 1985. —
С. 194 – 252.
18. Aubin J.-P., Cellina A. Differential inclusions. Set-valued maps and viability theory. — Berlin etc.: Springer-
Verlag, 1984.
19. Smirnov G. V. Introduction to the theory of differential inclusions // Grad. Stud. Math. — 2002. — 41.
20. Кичмаренко О. Д., Плотников А. А. Нелинейные дифференциальные включения с переменной
размерностью и их свойства // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика i механiка. — 2013. — 18, вип. 2(18). —
С. 29 – 34.
21. Федосеев А. В. Исследование методами оптимального управления одной модели разработки группы
месторождений полезного ископаемого с ограниченными запасами // Методы системного анализа и
пробл. рационального использования ресурсов. — М.: ВЦ АН СССР, 1977. — С. 117 – 134.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ПОШАГОВОЕ УСРЕДНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ . . . 227
22. Хачатуров В. Р., Босолейль Р., Федосеев А. В. Имитационное моделирование и задачи оптималь-
ного управления при долгосрочном планировании производства многолетних сельскохозяйственных
культур. — М.: ВЦ АН СССР, 1985.
23. Романенко А. В., Федосеев А. В. Оптимальное управление экономическими системами с возрастной
структурой // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 1993. — 33, № 8. — С. 1155 – 1165.
24. Barton P. I., Lee Ch. K. Modeling, simulation, sensitivity analysis, and optimization of hybrid systems // ACM
Trans. Model. and Comput. Simul. — 2002. — 12, № 4. — P. 256 – 289.
25. Guan Zhi-Hong, Hill D.J., Shen X. On hybrid impulsive and switching systems and application to nonlinear
control // IEEE Trans. Autom. Control. — 2005. — 50, № 7. — P. 1058 – 1062.
26. Haddad W. M., Chellaboina V. S., Nersesov S. G. Impulsive and hybrid dynamical systems. — Princeton:
Princeton Univ. Press, 2008.
27. Liu B., Liu X., Liao X. Stability and robustness of quasi-linear impulsive hybrid systems // J. Math. Anal.
and Appl. — 2003. — 283. — P. 416 – 430.
28. Vidal R., Chiuso A., Soatto S., Sastry Sh. Observability of linear hybrid systems // Hybrid Systems: Comput.
and Control Lect. Notes in Comput. Sci. — 2003. — 2623. — P. 526 – 539.
29. Kichmarenko O. D., Plotnikov A. A. The averaging of control linear differential equations with variable
dimension on finite interval // Int. J. Sensing, Comput. and Control. — 2015. — 5, № 1. — P. 25 – 35.
30. Плотников А. В. Усреднение уравнений управляемого движения с многозначными траекториями //
Укр. мат. журн. — 1987. — 39, № 5. — С. 657 – 659.
31. Плотников А. В. Асимптотическое исследование уравнений управляемого движения с многознач-
ными траекториями // Укр. мат. журн. — 1990. — 42, № 10. — С. 1409 – 1412.
32. Плотников А. В. Усреднение уравнений управляемого движения с многозначным критерием качест-
ва // Нелiнiйнi коливання. — 2000. — 3, № 4. — С. 505 – 510.
33. Плотников А. В. Усреднение нечетких управляемых дифференциальных включений с терминаль-
ным критерием качества // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 1. — C. 105 – 110.
34. Перестюк Н. А., Скрипник Н. В. Усреднение импульсных многозначных систем // Укр. мат. журн. —
2013. — 65, № 1. — С. 126 – 142.
35. Plotnikov A. V., Komleva T. A. The partial averaging of fuzzy differential inclusions on finite interval // Int.
J. Different. Equat. — 2014. — Article ID 307941. — 5 p.
36. Plotnikov A. V., Komleva T. A., Plotnikova L. I. The partial averaging of differential inclusions with fuzzy
right-hand side // J. Adv. Res. Dyn. Control Syst. — 2010. — 2, № 2. — P. 26 – 34.
37. Плотников А. В. Схема полного усреднения для нечетких дифференциальных включений на конеч-
ном промежутке // Укр. мат. журн. — 2015. — 67, № 3. — С. 366 – 374.
38. Plotnikov A. V., Komleva T. A. The averaging of fuzzy linear differential inclusions on finite interval // Dyn.
Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. B. Appl. Algorithms. — 2016. — 23, № 1. — P. 1 – 9.
39. Skripnik N. V. The partial averaging of fuzzy impulsive differential inclusions // Different. Integral Equat. —
2011. — 24, № 7 – 8. — P. 743 – 758.
40. Skripnik N. V. Step scheme of averaging method for impulsive differential inclusions with fuzzy right-hand
side // Contemp. Methods in Math. Phys. and Gravitation. — 2015. — 1, № 1. — P. 9 – 26.
Получено 23.01.16,
после доработки — 07.08.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
|