Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177307 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 291-302 — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177307 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773072021-02-15T01:27:02Z Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом. We find new properties of solutions of differential-functional equation with a linearly transformed argument. 2017 Article Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 291-302 — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177307 517.929 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом. |
| format |
Article |
| author |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. |
| spellingShingle |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. |
| author_sort |
Бельский, Д.В. |
| title |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_short |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_full |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_sort |
об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177307 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 291-302 — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT belʹskijdv obasimptotičeskihsvojstvahrešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom AT pelûhgp obasimptotičeskihsvojstvahrešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom |
| first_indexed |
2025-07-15T15:21:12Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:21:12Z |
| _version_ |
1837726823974174720 |
| fulltext |
УДК 517.929
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
С ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
Д. В. Бельский, Г. П. Пелюх
Ин-т математики НАН Украины
ул. Терещенковская, 3, Киев, 01004, Украина
We find new properties of solutions of differential-functional equation with a linearly transformed argument.
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно
перетвореним аргументом.
В настоящей статье рассмотрим уравнение
x′(t) = ax(t) + bx(qt) + cx′(qt), (1)
где {a, b, c} ⊂ R, 0 < q < 1, частные случаи которого изучались многими матема-
тиками. Так, в [1] исследованы асимптотические свойства решений уравнения y′(x) =
= ay(λx) + by(x), в [2] установлены новые свойства решений уравнения y′(x) = ay(λx), в
[3] получены условия существования аналитических почти периодических решений урав-
нения y′(x) = ay(λx) + by(x), в [4] построено представление общего решения уравнения
(1) при |c| > 1, в [5] получен ряд новых результатов о существовании ограниченных и фи-
нитных решений уравнений с линейно преобразованным аргументом, в [6] исследовано
поведение решений уравнения (1) в окрестности точки t = 0, в [7] доказано существова-
ние решений уравнения x′(t) = F (x(2t)) с периодическим модулем, в [11] было исследо-
вано уравнение (1) при a = 0, в [12] — при a < 0. Несмотря на это и на широкие прило-
жения, которые находят такие уравнения в различных областях науки и техники (см. [8]
и приведенную в ней библиографию), многие вопросы теории дифференциально-функ-
ционального уравнения (1) изучены мало. Это прежде всего относится к асимптотиче-
ским свойствам решений этого уравнения при t → +∞.
В дальнейшем нам понадобятся следующие частные решения.
Пример 1. Если
∣∣∣∣ ba
∣∣∣∣ < 1, то одно из решений уравнения (1) имеет вид
x(t) =
+∞∑
n=0
xne
aqnt,
где x0 = 1, xn =
b+ acqn−1
a (qn − 1)
xn−1, n ≥ 1, или в развернутой форме
x(t) = eat
{
1 +
+∞∑
n=1
(−1)n
(b+ ac)(b+ acq) . . .
(
b+ acqn−1
)
an(1− q) (1− q2) . . . (1− qn)
e−a(1−q
n)t
}
.
c© Д. В. Бельский, Г. П. Пелюх, 2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3 291
292 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Пример 2. Еще одним частным решением уравнения (1) является сходящийся при
t > 0 ряд x(t) =
∑+∞
n=0 xnt
v2+n, где величина v2 определяется из равенства qv2 =
q
c
и
удовлетворяет условию v2 6= −n ∀n ∈ N, x0 = 1 и xn+1 =
a+ bqv2+n
(1− cqv2+n) (v2 + n+ 1)
xn,
n ≥ 0; в развернутой форме
x(t) = tv2
{
1 +
+∞∑
n=1
(
a+ b
c q
) (
a+ b
c q
2
)
. . .
(
a+ b
c q
n
)
(1− q) (1− q2) . . . (1− qn) (v2 + 1)(v2 + 2) . . . (v2 + n)
tn
}
.
С помощью методов, примененных в [1], докажем следующую теорему.
Теорема. Пусть выполняются следующие условия:
1) a > 0, bc 6= 0;
2) a+ bqn 6= 0 ∀n ∈ N
⋃
{0} или c > 0, 1 +
ln c
ln q−1
6= l ∀l ∈ Z;
3) величина v1 ∈ C определяется из равенства a+ bqv1 = 0;
4) для параметров {j,m} ⊂ N
⋃
{0} выполняются неравенства
v0
df
=
ln
(
|b|
a
)
ln q−1
= Re v1 ≥ vmin
df
=
ln
(∣∣cqj∣∣ q−1 + |bqj+acqjq−1|
a
)
ln q−1
,
q−Re v1+m
(∣∣∣q
c
∣∣∣+ ∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣) < 1 и
(∣∣c−1∣∣+ 2
∣∣ac−1 + qbc−2
∣∣) q−Re v1+m < 1.
Тогда любое непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1) имеет свойство
x(t)e−at → L, t → ∞, где L — некоторая постоянная, и для любого числа L суще-
ствует решение с указанным свойством; кроме того,
в случае bc < 0 справедливы утверждения:
1) для произвольной m+ 1 раз непрерывно дифференцируемой периодической функ-
ции f0(u) с периодом 1 существует непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1)
xf (t) = tv1f0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−1f1
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .+ tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
+
+∞∑
n=1
zn(t), t > 0,
где fp(u), 1 ≤ p ≤ m, — периодические функции с периодом 1, определяемые рекуррент-
ной формулой
fp+1(u) =
(
bqp+1 + ac
)
ba (qp+1 − 1)
(
(v1 − p)fp(u) +
1
ln q−1
f ′p(u)
)
, 0 ≤ p ≤ m− 1,
z1(t) =
(
bc−2q−v1+m+1 − bc−1
)
×
× e−bc−1t
+∞∫
t
[
uv1−mfm
(
lnu
ln q−1
)
− tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)]
ebc
−1u du,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 293
zn+1(t) = c−1qzn
(
q−1t
)
+
(
ac−1 + qbc−2
)
e−bc
−1t
+∞∫
t
zn
(
q−1u
)
ebc
−1u du, n = 1, 2, 3, . . . ,
функциональный ряд
∑+∞
n=1 zn(t) непрерывно дифференцируем и имеет асимптотиче-
ское свойство
∑+∞
n=1 zn(t) = O
(
tv1−m−1
)
, t → +∞;
2) каждое m + j + 4 раза непрерывно дифференцируемое решение x(t) уравнения (1)
тождественно равно сумме x(t) = Lx1(t) + xf (t), где L — некоторая постоянная, x1(t)
— решение уравнения (1), имеющее свойство x1(t)e−at → 1, t → ∞, xf (t) — решение из
предыдущего пункта, построенное на основе некоторой m + 1 раз непрерывно диффе-
ренцируемой периодической функции f0(u) с периодом 1;
в случае bc > 0 имеют место следующие утверждения:
1) для произвольной m+ 1 раз непрерывно дифференцируемой периодической функ-
ции f0(u) с периодом 1 существует непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1)
xf (t) = tv1f0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−1f1
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .
. . .+ tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
+
+∞∑
n=1
zn(t) + γ x∗(t), t ≥ ρ > 0,
где ρ — достаточно большая и не зависящая от функции f0(u) постоянная, fp(u), 1 ≤
≤ p ≤ m, — периодические функции с периодом 1, определяемые рекуррентной форму-
лой
fp+1(u) =
(
bqp+1 + ac
)
ba (qp+1 − 1)
(
(v1 − p)fp(u) +
1
ln q−1
f ′p(u)
)
, 0 ≤ p ≤ m− 1,
z1(t) =
(
c−1q−v1+m+1 − 1
) [
e−bc
−1(t−ρ)tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
−
−bc−1
t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)
{
uv1−mfm
(
lnu
ln q−1
)
− tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)}
du
,
zn+1(t) = c−1qzn
(
q−1t
)
−
(
qbc−2 + ac−1
) t∫
ρ
e−bc
−1(t−u)zn
(
q−1u
)
du, n = 1, 2, 3, . . . ,
функциональный ряд
∑+∞
n=1 zn(t) непрерывно дифференцируем и имеет асимптотиче-
ское свойство
+∞∑
n=1
zn(t) = O
(
tv1−m−1
)
, t → +∞,
функция x∗(t) является частным решением уравнения (1) и определяется формулой
x∗(t) =
+∞∑
n=0
xne
− b
c
q−nt,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
294 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
где xn =
ac+ bq−n+1
bc (q−n − 1)
xn−1, n ≥ 1, x0 = 1, γ — произвольная постоянная;
2) каждое m + j + 4 раза непрерывно дифференцируемое решение x(t) уравнения
(1) тождественно равно сумме x(t) = Lx1(t) + xf (t), где L — некоторая постоянная,
xf (t) — решение из предыдущего пункта, построенное на основе некоторой m + 1 раз
непрерывно дифференцируемой периодической функции f0(u) с периодом 1 и с некото-
рой постоянной γ.
Доказательство. Запишем уравнение (1) в виде
d
dt
{
e−atx(t)
}
= be−atx(qt) + ce−atx′(qt)
и проинтегрируем его:
e−atx(t) = e−aq
−n
x
(
q−n
)
+ cq−1
{
e−a(1−q)te−aqtx(qt)− e−aq−n(1−q)e−aq−(n−1)
x
(
q−(n−1)
)}
+
+
(
b+ acq−1
) t∫
q−n
e−a(1−q)se−aqsx(qs) ds.
Определим supt∈[q−n+1,q−n]
∣∣e−atx(t)∣∣ df=Mn, и пусть q−n ≤ t ≤ q−n−1. Тогда
∣∣e−atx(t)∣∣ ≤ ∣∣∣e−aq−nx (q−n)∣∣∣+ ∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣×
×
{
e−a(1−q)t
∣∣e−aqtx(qt)∣∣+ e−aq
−n(1−q)
∣∣∣e−aq−(n−1)
x
(
q−(n−1)
)∣∣∣}+
+
∣∣b+ acq−1
∣∣ t∫
q−n
e−a(1−q)s
∣∣e−aqsx(qs)∣∣ ds ≤
≤ Mn + 2
∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣ e−a(1−q)q−nMn +
∣∣b+ acq−1
∣∣Mn
e−a(1−q)q
−n
a(1− q)
=
= Mn
{
1 +
(
2
∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+
∣∣b+ acq−1
∣∣
a(1− q)
)
e−a(1−q)q
−n
}
,
откуда получаем неравенство
Mn+1 ≤ Mn
{
1 +
(
2
∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+
∣∣b+ acq−1
∣∣
a(1− q)
)
e−a(1−q)q
−n
}
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 295
и оценку x(t) = O
(
eat
)
, t → ∞. Теперь из тождества
e−at2x(t2)− e−at1x(t1) = cq−1
{
e−a(1−q)t2e−aqt2x(qt2)− e−a(1−q)t1e−aqt1x(qt1)
}
+
+
(
b+ acq−1
) t2∫
t1
e−a(1−q)se−aqsx(qs) ds
для некоторой постоянной M такой, что
∣∣e−atx(t)∣∣ ≤ M, t ≥ q−n+1, следует неравенство
∣∣e−at2x(t2)− e−at1x(t1)∣∣ ≤ (|c|q−1 {e−a(1−q)t2 + e−a(1−q)t1
}
+
+
∣∣b+ acq−1
∣∣ e−a(1−q)t1 − e−a(1−q)t2
a(1− q)
)
M.
Из принципа Коши следует существование limt→∞ e
−atx(t) ∈ C.
Частное решение из первого примера существует при
∣∣∣∣ ba
∣∣∣∣ < 1. Продифференцируем
уравнение (1) p раз, чтобы выполнялось неравенство |bqp| < a:
x(p+1)(t) = ax(p)(t) + bqpx(p)(qt) + cqpx(p+1)(qt).
Символом yp(t) обозначим решение этого уравнения
y′p(t) = ayp(t) + bqpyp(qt) + cqpy′p(qt), (2)
имеющее свойство yp(t)e−at → ap, t → ∞. Это решение уравнения (2) из первого приме-
ра, умноженное на ap. Определим функцию
yp−1(t) =
t∫
1
yp(u) du+ hp
и проинтегрируем уравнение (2) на отрезке [1, t] :
y′p−1(t) = ayp−1(t) + bqp−1yp−1(qt) + cqp−1y′p−1(qt)− hp
(
a+ bqp−1
)
+
+ bqp−1
1∫
q
yp(u) du− cqp−1yp(q) + yp(1).
Если a+ bqp−1 6= 0, то с помощью соответствующего выбора hp имеем
y′p−1(t) = ayp−1(t) + bqp−1yp−1(qt) + cqp−1y′p−1(qt).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
296 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Легко проверить, что yp−1(t)e−at → ap−1, t → ∞. Повторяя эти рассуждения несколько
раз, получаем x(t)e−at = y0(t)e
−at → 1, t → ∞.
Предположим, что a + bqn = 0, n ∈ N
⋃
{0}, но c > 0 и 1 +
ln c
ln q−1
6= l ∀l ∈ Z. Тогда
решение из второго примера после замены коэффициентов b и c величинами bqn и cqn
соответственно становится неограниченным бесконечно дифференцируемым решением
x2(t) уравнения
x(n+1)(t) = ax(n)(t) + bqnx(n)(qt) + cqnx(n+1)(qt).
В дальнейшем будет доказано, что из предположения x(n)(t) = o
(
eat
)
, t → ∞, для до-
статочно гладкого решения следует оценка x(n)(t) = O(1), t → ∞. Поэтому x2(t)e−at →
→ h 6= 0, t → ∞, и после умножения на подходящую величину получаем решение, имею-
щее свойство yn(t)e−at → an, t → ∞. Дальнейшие рассуждения повторяют предыдущие.
Первая часть утверждения теоремы доказана.
Предположим, что x(t) = o
(
eat
)
, t → ∞. Тогда, устремляя в тождестве
e−at1x(t1)− e−atx(t) = cq−1
{
e−a(1−q)t1e−aqt1x(qt1)− e−a(1−q)te−aqtx(qt)
}
+
+
(
b+ acq−1
) t1∫
t
e−a(1−q)se−aqsx(qs) ds
аргумент t1 к∞, получаем
x(t) = cq−1x(qt)−
(
b+ acq−1
)
eat
+∞∫
t
e−a(1−q)se−aqsx(qs) ds.
Если |x(t)| ≤ Meat, t ≥ U, M, U — некоторые постоянные, то для t ≥ q−1U выполняется
неравенство
|x(t)| ≤ |c|q−1|x(qt)|+
∣∣b+ acq−1
∣∣ eat +∞∫
t
e−a(1−q)se−aqs|x(qs)|ds ≤
≤ |c|q−1Meaqt +
∣∣b+ acq−1
∣∣ eat +∞∫
t
e−a(1−q)sM ds = M
{
|c|q−1 +
∣∣b+ acq−1
∣∣
a(1− q)
}
eaqt.
Повторяя процесс, для t ≥ q−nU получаем
|x(t)| ≤ M
{
|c|q−1 +
∣∣b+ acq−1
∣∣
a(1− q)
}{
|c|q−1 +
∣∣b+ acq−1
∣∣
a (1− q2)
}
. . .
{
|c|q−1 +
∣∣b+ acq−1
∣∣
a (1− qn)
}
eaq
nt.
Поэтому на промежуточном отрезке q−nU ≤ t ≤ q−n−1U выполняется неравенство
|x(t)| ≤ M
{
|c|q−1 +
∣∣b+ acq−1
∣∣
a(1− q)
}{
|c|q−1 +
∣∣b+ acq−1
∣∣
a (1− q2)
}
. . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 297
. . .
{
|c|q−1 +
∣∣b+ acq−1
∣∣
a (1− qn)
}
eaq
−1U ≤
≤ Meaq
−1U
(
|c|q−1 +
∣∣b+ acq−1
∣∣
a
)n n∏
k=1
(
1 + Lqk
)
≤
≤ Meaq
−1U
+∞∏
k=1
(
1 + Lqk
)(
|c|q−1 +
∣∣b+ acq−1
∣∣
a
)n
,
где L — некоторая постоянная. Из условия q−nU ≤ t ≤ q−n−1U следует, что
ln t
ln q−1
− 1− lnU
ln q−1
≤ n ≤ ln t
ln q−1
− lnU
ln q−1
.
Тогда оценку |x(t)| можно продолжить:
|x(t)| ≤ L1
(
|c|q−1 +
∣∣b+ acq−1
∣∣
a
) ln t
ln q−1
= L1t
ln
|c|q−1+
|b+acq−1|
a
ln q−1
для некоторой постоянной L1. Функция в правой части последнего неравенства не зави-
сит от n.
Определим для краткости
ln
(
|c|q−1 + |b+acq
−1|
a
)
ln q−1
df
= v,
и приблизительно (качественно) оценим производную x′(t). Запишем уравнение (1) в
следующем виде:
x′(t) = cx′(qt) + ax(t) + bx(qt)
df
= cx′(qt) + f(t).
Для неоднородности справедливо равенство f(t) = O (tv) , t → ∞. Выполним замену
x′(t) = tv3y(t), v3 > v:
y(t) = cqv3y(qt) + t−v3f(t).
Оценим коэффициент c1
df
= cqv3 и неоднородность t−v3f(t) df= g(t):
|c1| = |c|qv3 < |c|qv < q < 1, |g(t)| < M < +∞
для некоторой постоянной M. Тогда
y(t) = c1y(qt) + g(t)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
298 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
и для q−n−1 ≤ t ≤ T получаем
|y(t)| ≤ |c1| |y(qt)|+M ≤ |c1| sup
q−n−1≤t≤T
|y(qt)|+M = |c1| sup
q−n≤t≤qT
|y(t)|+M ≤
≤ |c1| sup
q−n≤t≤T
|y(t)|+M = |c1|max
{
sup
q−n≤t≤q−n−1
|y(t)|, sup
q−n−1≤t≤T
|y(t)|
}
+M ≤
≤ |c1| sup
q−n≤t≤q−n−1
|y(t)|+ |c1| sup
q−n−1≤t≤T
|y(t)|+M,
откуда
sup
q−n−1≤t≤T
|y(t)| ≤ |c1| sup
q−n≤t≤q−n−1
|y(t)|+ |c1| sup
q−n−1≤t≤T
|y(t)|+M,
sup
q−n−1≤t≤T
|y(t)| ≤ (1− |c1|)−1
(
|c1| sup
q−n≤t≤q−n−1
|y(t)|+M
)
.
T — произвольное число, поэтому
|y(t)| ≤ (1− |c1|)−1
(
|c1| sup
q−n≤t≤q−n−1
|y(t)|+M
)
∀t ≥ q−n−1,
т. е. x′(t) = tv3y(t) = O (tv3) , t → ∞.
Дифференцируя уравнение (1) и последовательно применяя только что изложенные
рассуждения, получаем x(m)(t) = O (tvm+2) , t → ∞, где v < v3 < . . . < vm+1 < vm+2, т. е.
все производные o
(
eat
)
, t → ∞.
Продифференцируем уравнение (1) j раз
x(j+1)(t) = ax(j)(t) + bqjx(j)(qt) + cqjx(j+1)(qt).
Так же, как и для функции x(t), из условия x(j)(t) = o
(
eat
)
, t → ∞, получаем оценку
x(j)(t) = O (tvmin) , t → ∞. В уравнении
x(j)(t) = ax(j−1)(t) + bqj−1x(j−1)(qt) + cqj−1x(j)(qt),
x(j−1)(t) = − b
a
qj−1 x(j−1)(qt)− c
a
qj−1x(j)(qt) +
1
a
x(j)(t)
df
=− b
a
qj−1 x(j−1)(qt) + f(t)
выполняем замену x(j−1)(t) = tv∗y(t), где v∗ ≥ vmin и v∗ >
ln
(
|bqj−1|
a
)
ln q−1
= v0 − (j − 1),
y(t) = − b
a
qj−1 qv∗y(qt) + t−v∗f(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 299
Переопределим вспомогательные коэффициент c1
df
=− b
a
qj−1 qv∗ , неоднородность g(t) df=
df
= t−v∗f(t) и оценим их согласно выбору v∗:
|g(t)| = O
(
tvmin−v∗
)
< M < +∞, t → ∞,
для некоторой постоянной M,
|c1| = exp
ln
∣∣∣ bqj−1
a
∣∣∣
ln q−1
− v∗
ln q−1
< 1.
Применяя к уравнению y(t) = c1y(qt) + g(t) предыдущие рассуждения, получаем ограни-
ченность |y(t)| и свойство x(j−1)(t) = O (tv∗) = O
(
tmax{vmin,v0−(j−1)+ε}
)
, t → ∞, ε > 0 —
произвольное число. Повторяя этот процесс, убеждаемся, что
x(j−2)(t) = O
(
tmax{v0−(j−2)+ε;max{vmin,v0−(j−1)+ε}}
)
= O
(
tmax{v0−(j−2)+ε,vmin}
)
, t → ∞,
а после нескольких раз получаем (по условию теоремы v0 ≥ vmin)
x(t) = O
(
tmax{v0+ε,vmin}
)
= O
(
tv0+ε
)
, t → ∞.
Аналогично, для производной справедлива оценка x′(t) = O
(
tv0−1+ε
)
, t → ∞.
Запишем уравнение (1) в виде
x(t) = − b
a
x(qt) +
1
a
x′(t)− c
a
x′(qt)
df
=− b
a
x(qt) + f(t)
и выполним замену x(t) = tv1−εy(t):
y(t) = − b
a
qv1−εy(qt) + t−(v1−ε)f(t) = q−εy(qt) + t−(v1−ε)f(t).
Оценим неоднородность g(t) df= t−(v1−ε)f(t):
|g(t)| = t−(v1−ε)O
(
tv1−1+ε
)
= O
(
t−1+2ε
)
= O(1), t → ∞,
при малом ε и |g(t)| < M < +∞, t ≥ 1, для некоторой постоянной M. Распишем тож-
дество
y(t) = q−εy(qt) + g(t) = . . . = q−nεy (qnt) + q−(n−1)εg
(
qn−1t
)
+ . . .
. . .+ q−2εg
(
q2t
)
+ q−εg(qt) + g(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
300 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
n выбираем так, чтобы выполнялось неравенство qt0 ≤ qnt ≤ t0. Тогда
|y(t)| ≤ q−nε
{
|y (qnt)|+ qεM + . . .+ q(n−2)εM + q(n−1)εM + qnεM
}
≤
≤ q−nε
{
sup
qt0≤u≤t0
|y(u)|+ M
q−ε − 1
}
.
Из условия qt0 ≤ qnt ≤ t0 следует неравенство n ≤ ln t
ln q−1
+ 1+
ln t0
ln q
. Продолжая оценку
|y(t)|, получаем
|y(t)| ≤ tε
(
q−ε
)1+ ln t0
ln q
{
sup
qt0≤u≤t0
|y(u)|+ M
q−ε − 1
}
,
x(t) = tv1−εy(t) = tv1−εO (tε) = O (tv1) , t → ∞.
Повторяя эти рассуждения для производной, находим x′(t) = O
(
tv1−1
)
, t → ∞.
Выполним в уравнении (1) замену x(t) = tv1y
(
ln t
ln q−1
)
с учетом только что получен-
ной оценки для производной x′(t):
y
(
ln t
ln q−1
)
− y
(
ln t
ln q−1
− 1
)
= O
(
t−1
)
= O
(
e
− ln q−1 ln t
ln q−1
)
, t → ∞.
Обозначим s
df
=
ln t
ln q−1
, l
df
= ln q−1 > 0,
y(s)− y(s+ 1) = O
(
e−ls
)
, s → ∞.
Отсюда получаем фундаментальность, а следовательно, и сходимость последовательнос-
ти y(s+n). Обозначим ее предел символом g(s). Это периодическая функция с периодом
1, для которой выполняется равенство
y(s)− g(s) = O
(
e−ls
)
, s → ∞.
Из равномерной сходимости непрерывных функций к g(s) следует непрерывность этой
функции. Возвращаясь к искомой функции, получаем
x(t) = tv1
{
g(s) +O
(
t−1
)}
, t → ∞.
Для m + j + 4 раза непрерывно дифференцируемого решения x(t) = o
(
eat
)
, t → ∞,
уравнения (1), повторяя этот процесс для его производных, устанавливаем равенства
x(k)(t) = tv1−k
{
fk,0(s) +O
(
t−1
)}
, t → ∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 301
где 0 ≤ k ≤ m + 1, fk,0(s) — непрерывные периодические функции с периодом 1. Да-
лее, применяя рассуждения из доказательства теоремы 5 из § 2 [9] или из [10], получаем
представление
x(t) = tv1f0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−1f1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−2f2
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .
. . .+ tv1−m+1fm−1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−mfm
(
ln t
ln q−1
)
+
+ tv1−m−1dm+1
(
ln t
ln q−1
)
, t ≥ 1, (3)
где fp(u), 0 ≤ p ≤ m,— периодические функции с периодом 1 такие, что f0(u) ∈ Cm+1(R)
и fp+1(u) =
bqp+1 + ac
ba (qp+1 − 1)
(
(v1 − p)fp(u) +
1
ln q−1
f ′p(u)
)
, 0 ≤ p ≤ m−1; dm+1(u) — непре-
рывно дифференцируемая, ограниченная функция. После этого, записывая уравнение
(1) как уравнение с опережением
x′(t) = −bc−1x(t)− ac−1x
(
q−1t
)
+ c−1x′
(
q−1t
)
и применяя к нему рассуждения из доказательства теоремы из [12], получаем равенства
x(t) = xf (t), где функции xf (t) определены в условии теоремы.
Поскольку любое решение имеет свойство x(t)e−at → L ∈ C, t → ∞, то разность
x(t)−Lx1(t) = o
(
eat
)
, t → ∞,функция x1(t) определена в условии теоремы. Отсюда при
достаточной гладкости решения x(t) получаем тождества x(t)− Lx1(t) = xf (t).
Теорема доказана.
В доказательстве теоремы построение решения x1(t) в случае a+bqn = 0, n ∈ N
⋃
{0},
было основано на решении из второго примера. Если же и оно не существует, то можно
попробовать с помощью начальной функции построить, как в [1], или снова найти част-
ное неограниченное решение уравнения
x(n+1)(t) = ax(n)(t) + bqnx(n)(qt) + cqnx(n+1)(qt).
Это решение, например y(t), будет иметь свойство y(t)e−at → h 6= 0, t → ∞, и послужит
отправным пунктом в построении решения x1(t).
Представление (3) для достаточно гладких решений, имеющих свойство x(t) = o
(
eat
)
,
t → ∞, было получено на основе формального решения
xφ(t) = tv1f0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−1f1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−2f2
(
ln t
ln q−1
)
+ . . . ,
где f0(u) — произвольная периодическая функция с периодом 1,
fp+1(u) =
bqp+1 + ac
ba (qp+1 − 1)
(
(v1 − p) fp(u) +
1
ln q−1
f ′p(u)
)
, p ≥ 0.
Это решение является расходящимся степенным рядом при f0(u) ≡ const 6= 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
302 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Литература
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math.
Soc. — 1971. — 77. — P. 891 – 937.
2. de Bruijn N. G. The difference-differential equation F ′(x) = eαx+βF (x− 1). I, II // Ned. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A 56-Indag. Math. — 1953. — 15. — P. 449 – 464.
3. Frederickson P. O. Series solutions for certain functional-differential equations // Lect. Notes. Math. —
1971. — 243. — P. 249 – 254.
4. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974. — 192 с.
5. Дерфель Г. А. Вероятностный метод исследования одного класса дифференциально-функциональных
уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 10. — С. 1483 – 1491.
6. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных
уравнений нейтрального типа // Дифференц. уравнения. — 1973. — 9, № 9. — С. 1627 – 1645.
7. Frederickson P. O. Global solutions to certain nonlinear functional differential equations // J. Math. Anal.
and Appl. — 1971. — 33. — P. 355 – 358.
8. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes Math. — 1980. — 809. —
267 p.
9. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений функциональных и диффе-
ренциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом. — Киев, 2011. —
94 с. — (Препринт / НАН Украины, Ин-т математики).
10. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-
функциональных уравнений // Нелiнiйнi коливання. — 2016. — 19, № 3. — С. 311 – 348.
11. Бельский Д. В., Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функ-
ционального уравнения с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16,
№ 3. — С. 291 – 313.
12. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-
функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобра-
зованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2012. — 15, № 4. — С. 466 – 493.
Получено 29.08.15,
после доработки — 26.03.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
|