Асимптотические представления быстро меняющихся решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
Встановлено асимптотичнi зображення для швидко змiнних розв’язкiв iстотно нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177309 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотические представления быстро меняющихся решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Г.А. Гержановская // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 328-345 — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177309 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773092021-02-15T01:26:23Z Асимптотические представления быстро меняющихся решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Гержановская, Г.А. Встановлено асимптотичнi зображення для швидко змiнних розв’язкiв iстотно нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку. We establish asymptotic representations of rapidly varying solutions of essentially nonlinear differential equations of the second order. 2017 Article Асимптотические представления быстро меняющихся решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Г.А. Гержановская // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 328-345 — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177309 517.925 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено асимптотичнi зображення для швидко змiнних розв’язкiв iстотно нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку. |
| format |
Article |
| author |
Гержановская, Г.А. |
| spellingShingle |
Гержановская, Г.А. Асимптотические представления быстро меняющихся решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Нелінійні коливання |
| author_facet |
Гержановская, Г.А. |
| author_sort |
Гержановская, Г.А. |
| title |
Асимптотические представления быстро меняющихся решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_short |
Асимптотические представления быстро меняющихся решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full |
Асимптотические представления быстро меняющихся решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_fullStr |
Асимптотические представления быстро меняющихся решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full_unstemmed |
Асимптотические представления быстро меняющихся решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_sort |
асимптотические представления быстро меняющихся решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177309 |
| citation_txt |
Асимптотические представления быстро меняющихся решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Г.А. Гержановская // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 328-345 — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT geržanovskaâga asimptotičeskiepredstavleniâbystromenâûŝihsârešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-15T15:21:21Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:21:21Z |
| _version_ |
1837726834362417152 |
| fulltext |
УДК 517.925
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
БЫСТРО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ
СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Г. А. Гержановская
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
ул. Дворянская, 2, Одесса, 65026, Украина
e-mail: greta.odessa@gmail.com
We establish asymptotic representations of rapidly varying solutions of essentially nonlinear differential
equations of the second order.
Встановлено асимптотичнi зображення для швидко змiнних розв’язкiв iстотно нелiнiйних ди-
ференцiальних рiвнянь другого порядку.
Постановка задачи. Рассматривается дифференциальное уравнение
y′′ = α0p(t)ϕ0(y)ϕ1(y
′)f(y, y′), (1)
где α0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[→]0,+∞[ — непрерывная функция (−∞ < a < ω ≤ +∞),
ϕi : ∆Yi →]0,+∞[ — непрерывные функции, Yi ∈ {0,±∞}, ∆Yi — промежуток либо
[y0i ;Yi[
1, либо ]Yi; y
0
i ], i = 0, 1, f : ∆Y0 ×∆Y1 →]0,+∞[ — непрерывно дифференцируемая
функция. Кроме того, предполагается, что каждая из функций ϕi, i ∈ {0, 1}, является
правильно меняющейся функцией (см. [1, с. 9], гл. 1, § 1.1) при стремлении аргумента к Yi
порядка σi, причем σ0 + σ1 6= 1, а функция f удовлетворяет условию
lim
vk→Yk
vk∈∆Yk
vk
∂f
∂vk
(v0, v1)
f(v0, v1)
= 0 равномерно по vj ∈ ∆Yj , j 6= k, k, j = 0, 1. (2)
Асимптотическому поведению решений дифференциальных уравнений вида (1), в ко-
тором f(y, y′) ≡ 1, было посвящено большое количество работ (см., например, [2, 4]).
Однако для нелинейностей, близких к правильно меняющимся функциям, могут возни-
кать функции, даже асимптотически не представимые в виде произведения функций
лишь от одной переменной, что не позволит применить эти результаты. В данной работе
в уравнении (1) функция f может содержать множители, не представимые в виде такого
произведения. Примерами соответствующих функций f, удовлетворяющих условию (2),
являются функции вида e|γ ln |v0|+µ ln |v1||α , 0 < α < 1, γ, µ ∈ R \ {0}.
Решение y уравнения (1) будем называть Pω (Y0, Y1, λ0)-решением, если оно задано на
[t0, ω[ и
lim
t↑ω
y(i)(t) = Yi, i = 0, 1, lim
t↑ω
(y′(t))2
y′′(t) y(t)
= λ0. (3)
1 При Yi = +∞ (Yi = −∞) считаем y0
i > 0
(
y0
i < 0
)
соответственно.
c© Г. А. Гержановская, 2017
328 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЫСТРО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 329
В неособых случаях λ0 ∈ R \ {0, 1} Pω(Y0, Y1, λ0)-решения уравнения (1) были де-
тально исследованы в [7]. Отметим, что такие решения являются правильно меняющи-
мися функциями при t ↑ ω. Данная работа посвящена исследованию достаточно важного
класса Pω(Y0, Y1, 1)-решений данного уравнения, которые являются быстро меняющими-
ся функциями (см. [1, с. 46], гл. 1, § 1.8) при t ↑ ω. Pω(Y0, Y1, 1)-решения для общего случая
уравнения (1) ранее не исследовались, хотя при f(v0, v1) ≡ 1 это было сделано как для
уравнения второго порядка (см., например, [4]), так и для уравнений n-го порядка (см.,
например, [6]).
Основные результаты. Введем дополнительные обозначения, положив
πω(t) =
{
t при ω = +∞,
t− ω при ω < +∞, Θi(z) = ϕi(z)|z|−σi , i = 0, 1,
I(t) = α0
t∫
Aω
p(τ) dτ, Aω =
a, если
∫ ω
a
p(τ) dτ = +∞,
ω, если
∫ ω
a
p(τ)dτ < +∞,
J1(t) =
t∫
B1
ω
|I(τ)|
1
1−σ1 dτ, B1
ω =
a, если
∫ ω
a
|I(τ)|
1
1−σ1 dτ = +∞,
ω, если
∫ ω
a
|I(τ)|
1
1−σ1 dτ < +∞,
J2(t) =
t∫
B2
ω
|I(τ)|
1
σ0 dτ, B2
ω =
a, если
∫ ω
a
|I(τ)|
1
σ0 dτ = +∞,
ω, если
∫ ω
a
|I(τ)|
1
σ0 dτ < +∞.
Получены следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть σ1 6= 1. Тогда для существования Pω(Y0, Y1, 1)-решений уравнения
(1) необходимо, а если
σ1 6= 2 либо (σ1 − 1)(σ0 + σ1 − 1) > 0, (4)
то и достаточно выполнение условий
y00α0 > 0, y01I(t)(1− σ0 − σ1) > 0 при t ∈ [a, ω[, (5)
lim
t↑ω
y00|J1(t)|
1−σ0−σ1
1−σ1 = Y0, lim
t↑ω
y01|J1(t)|
1−σ0−σ1
1−σ1 = Y1, lim
t↑ω
J1(t)I
′(t)
J ′1(t)I(t)
= 1− σ1. (6)
Более того, для каждого такого решения имеют место следующие асимптотические
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
330 Г. А. ГЕРЖАНОВСКАЯ
представления при t ↑ ω:
y(t)|y(t)|−
σ0
1−σ1
(f(y(t), y′(t))Θ0(y(t))Θ1(y′(t)))
1
1−σ1
=
1− σ0 − σ1
1− σ1
|1− σ1 − σ0|
1
1−σ1 J1(t)[1 + o(1)],
y(t)
y′(t)
=
1− σ0 − σ1
1− σ1
J1(t)
J ′1(t)
[1 + o(1)].
(7)
Теорема 2. Пусть σ1 = 1. Тогда для существования Pω(Y0, Y1, 1)-решений уравнения
(1) необходимо, а если
σ0I(t) < 0, (8)
то и достаточно выполнение условий
y00α0 > 0, σ0y
0
1I(t) < 0 при t ∈ [a, ω[, (9)
lim
t↑ω
y00|J ′2(t)|−1 = Y0, lim
t↑ω
y01|J2(t)−1 = Y1, lim
t↑ω
J2(t)I
′(t)
J ′2(t)I(t)
= σ0. (10)
Более того, для каждого такого решения имеют место следующие асимптотические
представления при t ↑ ω:
|y′(t)|(f(y(t), y′(t))Θ0(y(t))Θ1(y
′(t)))
1
σ0 = |σ0|
− 1
σ0 |J2(t)|−1[1 + o(1)],
y(t)
y′(t)
= −J2(t)
J ′2(t)
[1 + o(1)].
(11)
Доказательство теоремы 1. Необходимость. Пусть y : [t0, ω[→ ∆Y0 — Pω(Y0, Y1, 1)-
решение уравнения (1). С учетом (3) получаем, что y00α0 > 0, т. е. выполнено первое из
условий (5).
В силу свойств медленно меняющихся функций (см. [1, с. 23], гл. 1, § 1.4) существуют
бесконечно дифференцируемые функции L0 : ∆Y0 →]0,+∞[, L1 : ∆Y0 →]0,+∞[ такие,
что
Li(z) = Θi(z)[1 + o(1)] при z → Yi, z ∈ ∆Yi , lim
z→Yi
z∈∆Yi
zL′i(z)
Li(z)
= 0, i = 0, 1. (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЫСТРО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 331
Рассмотрим равенство
(
y′(t)
|y(t)|σ0 |y(t)′|σ1f(y(t), y′(t))L0(y(t))L1(y′(t))
)′
=
=
(
1− σ1 −
y′(t) ∂f∂v1
(y(t), y′(t))
f(y(t), y′(t))
− (y′(t))2
y′′(t)y(t)
×
×
(
σ0 +
y(t) ∂f∂v0
(y(t), y′(t))
f(y(t), y′(t))
+
y(t)L′0(y(t))
L0(y(t))
)
− y′(t)L′1(y
′(t))
L1(y′(t))
)
×
× y′′(t)
|y(t)|σ0 |y′(t)|σ1f(y(t), y′(t))L0(y(t))L1(y′(t))
. (13)
Поскольку в равенстве (13) при t ↑ ω
y′′(t)
|y(t)|σ0 |y′(t)|σ1f(y(t), y′(t))Θ0(y(t))Θ1(y′(t))
=
y′′(t)[1 + o(1)]
|y(t)|σ0 |y′(t)|σ1f(y(t), y′(t))L0(y(t))L1(y′(t))
,
то в силу (1), условий (2) и (12) соотношение (13) можно записать при t ↑ ω в виде
(
y′(t)
|y(t)|σ0 |y′(t)|σ1f(y(t), y′(t))L0(y(t))L1(y′(t))
)′
= α0p(t)(1− σ0 − σ1)[1 + o(1)]. (14)
Поэтому с использованием предложений 1 и 2 из [3, с. 115] (гл. 5, § 1) при t ↑ ω имеем
|y′(t)|sign y01
|y(t)|σ0 |y′(t)σ1f(y(t), y′(t))Θ0(y(t))Θ1(y′(t))
= I(t)(1− σ0 − σ1)[1 + o(1)], (15)
откуда следует второе из условий (5), а также следующее представление при t ↑ ω:
y′(t)
|y(t)|
σ0
1−σ1 |f(y(t), y′(t))Θ0(y(t))Θ1(y′(t))|
1
1−σ1
=
= |I(t)|
1
1−σ1 |1− σ0 − σ1|
1
1−σ1 sign y01[1 + o(1)]. (16)
Покажем, что функция f
(
v0, y
′(y−1(v0))
)
Θ0(v0)Θ1(y
′(y−1(v0))) является медленно ме-
няющейся функцией при v0 → Y0, v0 ∈ ∆Y0 , где y−1 — функция, обратная для y(t). Так
как lim v0→Y0
v0∈∆Y0
y′(y−1(v0)) = Y1, в силу (2), (3) имеем
lim
v0→Y0
v0∈∆Y0
v0
∂f
∂v0
(v0, y
′(y−1(v0)))
f(v0, y′(y−1(v0)))
= 0, lim
v0→Y0
v0∈∆Y0
y′(y−1(v0)))
∂f
∂v1
(v0, y
′(y−1(v0)))
f(v0, y′(y−1(v0)))
= 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
332 Г. А. ГЕРЖАНОВСКАЯ
Таким образом, с учетом (3)
lim
v0→Y0
v0∈∆Y0
v0
(
f(v0, y
′(y−1(v0)))L0(v0)L1(y
′(y−1(v0)))
)′
v0
f(v0, y′(y−1(v0)))L0(v0)L1(y′(y−1(v0)))
=
= lim
v0→Y0
v0∈∆Y0
v0
∂f
∂v0
(v0, y
′(y−1(v0)))
f(v0, y′(y−1(v0)))
+ lim
v0→Y0
v0∈∆Y0
v0L
′
0(v0)
L0(v0)
+
+ lim
v0→Y0
v0∈∆Y0
(
y′(y−1(v0))
∂f
∂v1
(v0, y
′(y−1(v0)))
f(v0, y′(y−1(v0)))
+
y′(y−1(v0))L
′
1(y
′(y−1(v0)))
L1(y′(y−1(v0)))
)
×
× v0 y
′′(y−1(v0))
(y′(y−1(v0)))2
= 0.
Следовательно, функция f
(
v0, y
′ (y−1 (v0)
))
L0(v0)L1
(
y′
(
y−1(v0)
))
, а значит и функция
f(v0, y
′(y−1(v0)))Θ0(v0)Θ1
(
y′
(
y−1(v0)
))
, является медленно меняющейся функцией при
v0 → Y0, v0 ∈ ∆Y0 .
C использованием предложений 1 и 2 из [3, с. 115] (гл. 5, § 1) из (16) при t ↑ ω получаем
y(t)|y(t)|−
σ0
1−σ1
(f(y(t), y′(t))Θ0(y(t))Θ1(y′(t)))
1
1−σ1
=
= J1(t)|1− σ0 − σ1|
1
1−σ1
1− σ0 − σ1
1− σ1
sign y01[1 + o(1)], (17)
т. е. первое из представлений (7). Разделив (16) на (17), будем иметь
y′(t)
y(t)
=
J ′1(t)(1− σ1)
J1(t)(1− σ0 − σ1)
[1 + o(1)] при t ↑ ω, (18)
т. е. второе из представлений (7). С учетом (3) из (18) получаем первое и второе из усло-
вий (6). С учетом (1) и (15) имеем
y′′(t)
y′(t)
=
I ′(t)
(1− σ0 − σ1)I(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Отсюда в силу (18) и (3) следует, что
lim
t↑ω
J1(t)I
′(t)
J ′1(t)I(t)
= 1− σ1,
т. е. третье из условий (6).
Достаточность. Обозначим g(v0, v1) = f(v0, v1)L0(v0)L1(v1), где L0, L1 определены
в (12). В силу (2) и (12) имеем
lim
vi→Yi
vi∈∆Yi
vi
∂g
∂vi
(v0, v1)
g(v0, v1)
= 0 равномерно по vj ∈ ∆Yj , j 6= i, i, j = 0, 1. (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЫСТРО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 333
Таким образом, можно выбрать ∆̃Yi ⊂ ∆Yi , i = 0, 1, так, чтобы
∣∣∣∣∣vi
∂g
∂vi
(v0, v1)
g(v0, v1)
∣∣∣∣∣ < ζ при (v0, v1) ∈ ∆̃Y0 × ∆̃Y1 , i = 0, 1, (20)
где 0 < ζ <
|1− σ0 − σ1|
4
, ζ достаточно мало и
∆̃Yi =
{[ỹ0i , Yi[, если ∆Yi = [y0i , Yi[, y0i ≤ ỹ0i < Yi,
]Yi, ỹ
0
i ], если ∆Yi =]Yi, y
0
i ], Yi > ỹ0i ≥ y0i ,
i = 0, 1.
Рассмотрим функцию
F (s0, s1) =
|s1|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (s0, s1)
s1
s0
,
заданную на множестве ∆̃Y0 × ∆̃Y1 , и первую компоненту данной функции. С учетом (19)
имеем
lim
s0→Y0
s0∈∆̃Y0
s0
(
|s0|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (s0,s1)
)′
s0
|s0|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (s0,s1)
= lim
s0→Y0
s0∈∆̃Y0
(
1− σ0
1− σ1
− 1
1− σ1
s0
∂g
∂s0
(s0, s1)
g(s0, s1)
)
=
=
1− σ0 − σ1
1− σ1
равномерно по s1 ∈ ∆̃Y1 .
Поэтому
lim
s0→Y0
s0∈∆̃Y0
|s0|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (s0, s1)
= Υ равномерно по s1 ∈ ∆̃Y1 ,
Υ =
+∞, если Y0 = +∞ и (1− σ0 − σ1)(1− σ1) > 0, либо
Y0 = 0 и (1− σ0 − σ1)(1− σ1) < 0,
0, если Y0 = +∞ и (1− σ0 − σ1)(1− σ1) < 0, либо
Y0 = 0 и (1− σ0 − σ1)(1− σ1) > 0.
(21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
334 Г. А. ГЕРЖАНОВСКАЯ
Покажем, что F взаимно однозначно отображает ∆̃Y0 × ∆̃Y1 на множество
F (∆̃Y0 × ∆̃Y1) =
[
|ỹ00|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (ỹ00, ỹ
1
0)
; Υ
)
×∆0, если
|ỹ00|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (ỹ00, ỹ
1
0)
< Υ,
(
Υ;
|ỹ00|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (ỹ00, ỹ
1
0)
]
×∆0, если
|ỹ00|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (ỹ00, ỹ
1
0)
> Υ,
(22)
где
∆0 =
(0; +∞), если ỹ00 ỹ
1
0 > 0,
(−∞; 0), если ỹ00 ỹ
1
0 < 0.
(23)
Рассмотрим поведение функции
|s0|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (s0, s1)
на прямых
s1 = ks0, k ∈ R \ {0}. (24)
На каждой такой прямой
|s0|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (s0, s1)
=
|s0|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (s0, ks0)
. Кроме того, имеем
(
|s0|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (s0, ks0)
)′
s0
=
|s0|
1− σ0
1−σ1
(1− σ1)s0g
1
1−σ1 (s0, ks0)
×
×
(
1− σ0 − σ1 −
s0g
′
s0(s0, ks0)
g(s0, ks0)
−
ks0g
′
ks0
(s0, ks0)
g(s0, ks0)
)
.
Это означает, что c учетом (20)
sign
(
|s0|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (s0, ks0)
)′
s0
= sign (y00(1− σ0 − σ1)(1− σ1)).
Поэтому функция
|s0|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (s0, ks0)
строго монотонна на любой прямой вида (24). Предпо-
ложим, что отображение F не является взаимно однозначным. Тогда существуют точки
(p0, p1), (q0, q1) ∈ ∆̃Y0 × ∆̃Y1 , (p0, p1) 6= (q0, q1), такие, что F (p0, p1) = F (q0, q1). С учетом
определения множеств ∆̃Y0 , ∆̃Y1 последнее равенство означает, что
|p0|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (p0, p1)
=
|q0|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (q0, q1)
,
p0
p1
=
q0
q1
= c ∈ R \ 0. (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЫСТРО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 335
Покажем, что точки (p0, p1) и (q0, q1) лежат на одной прямой вида (24). Но тогда (25)
не может иметь места, так как функция
|s0|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (s0, cs0)
строго монотонна на этой прямой.
Таким образом, существует обратная функция F−1 : F (∆̃Y0 × ∆̃Y1) → ∆̃Y0 × ∆̃Y1 . Учи-
тывая вид функции F, имеем
F−1(w0, w1) =
F−10 (w0, w1)
F−11 (w0, w1)
=
F−10 (w0, w1)
w1F
−1
0 (w0, w1)
.
Поскольку якобиан
JF (s0, s1) =
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
|s0|
1− σ0
1−σ1
(
1− σ0 − σ1 −
s0
∂g
∂s0
(s0,s1)
g(s0,s1)
)
s0(1− σ1)g
1
1−σ1 (s0, s1)
−|s0|
1− σ0
1−σ1
s1(1− σ1)g
1
1−σ1 (s0, s1)
s1
∂g
∂s1
(s0, s1)
g(s0, s1)
−s1
s20
1
s0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
=
|s0|
1− σ0
1−σ1
s20(1− σ1)g
1
1−σ1 (s0, s1)
×
×
(
1− σ0 − σ1 −
s0
∂g
∂s0
(s0, s1)
g(s0, s1)
−
s1
∂g
∂s1
(s0, s1)
g(s0, s1)
)
6= 0 при (s0, s1) ∈ ∆̃Y0 × ∆̃Y1 ,
функция F−1 является непрерывно дифференцируемой на F (∆̃Y0×∆̃Y1).Кроме того, для
(w0, w1) ∈ F (∆̃Y0 × ∆̃Y1) справедливы равенства
|F−10 (w0, w1)|
1− σ0
1−σ1
g
1
1−σ1 (F−10 (w0, w1), F
−1
1 (w0, w1))
= w0,
(26)
F−1i (w0, w1)
w0
∂F−1
i
∂w0
(w0, w1)
= 1− σ0
1− σ1
− 1
1− σ1
×
×
2∑
k=1
[
F−1k−1(w0, w1)
∂g
∂vk
(F−10 (w0, w1), F
−1
1 (w0, w1))
g(F−10 (w0, w1), F
−1
1 (w0, w1))
]
, i = 0, 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
336 Г. А. ГЕРЖАНОВСКАЯ
F−10 (w0, w1)
w1
∂F−1
0
∂w1
(w0, w1)
=
1− σ0 − σ1
1− σ1
g(F−10 (w0, w1), F
−1
1 (w0, w1))
w1F
−1
0 (w0, w1)
∂g
∂v0
(F−10 (w0, w1), F
−1
1 (w0, w1))
+
+
1
1− σ1
F−10 (w0, w1)
∂g
∂v0
(F−10 (w0, w1), F
−1
1 (w0, w1))
w1F
−1
0 (w0, w1)
∂g
∂v0
(F−10 (w0, w1), F
−1
1 (w0, w1))
+ 1, (27)
w1
∂F−1
1
∂w1
(w0, w1)
F−11 (w0, w1)
= 1 +
w1
∂F−1
0
∂w1
(w0, w1)
F−10 (w0, w1)
. (28)
Полагая
|y(t)|1−
σ0
1−σ1
f
1
1−σ1 (y(t), y′(t))
=
1− σ0 − σ1
1− σ1
J1(t)|1− σ0 − σ1|
1
1−σ1 sign y01[1 + z1(x)],
y′(t)
y(t)
=
J ′1(t)
J1(t)
1− σ1
1− σ0 − σ1
[1 + z2(x)],
(29)
где
x = β ln |J1(t)|, β =
1, если lim
t↑ω
J1(t) = +∞,
−1, если lim
t↑ω
J1(t) = 0,
сводим уравнение (1) к системе
z′1 = β[1 + z1]
(
[1 + z2]−
1
1− σ0 − σ1
Φ0(x, z1, z2)[1 + z2]+
+
α0
(1− σ1)(1− σ0 − σ1)
Φ1(x, z1, z2)H(t(x))[1 + z1]
σ1−1|1 + z2|σ1−1 − 1
)
,
(30)
z′2 = β
(
[1 + z2]−
α0
1− σ1
H(t(x))[1 + z2] +
α0
1− σ0 − σ1
H(t(x))×
×[1 + z1]
σ1−1|1 + z2|σ1 − 1− σ1
1− σ0 − σ1
[1 + z2]
2
)
,
где
Ψi(x, z1, z2) = F−1i
(
1− σ0 − σ1
1− σ1
J1(t(x))|1− σ0 − σ1|
1
1−σ1 sign y01[1 + z1] ,
J ′1(t(x))
J1(t(x))
1− σ1
1− σ0 − σ1
[1 + z2]
)
,
Φi(x, z1, z2) =
Ψi(x, z1, z2)
∂f
∂vi+1
(Y0(x, z1, z2), Y1(x, z1, z2))
f(Y0(x, z1, z2), Y1(x, z1, z2))
, i = 0, 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЫСТРО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 337
H1(x) =
p(t(x))J1(t(x))
I(t(x))J ′1(t(x))
.
В силу третьего из условий (6)
lim
x→∞
H1(x) =
1− σ1
α0
. (31)
Обозначим
η1(t, z1) =
1− σ0 − σ1
1− σ1
J1(t)|1− σ0 − σ1|
1
1−σ1 sign y01[1 + z1],
η2(t, z2) =
J ′1(t)
J1(t)
1− σ1
1− σ0 − σ1
[1 + z2].
Рассмотрим выражения
J1(t)(Ψk(x(t), z1, z2))
′
t
J ′1(t)Ψk(x(t), z1, z2)
=
η1(t, z1)
∂F−1
k
∂w0
(η1(t, z1), η2(t, z2))
F−1k (η1(t, z1), η2(t, z2))
+
(
J1(t)J
′′
1 (t)
(J ′1(t))
2
)
×
×
η2(t, z2)
∂F−1
k
∂w1
(η0(t, z1), η1(t, z2))
F−1k (η0(t, z1), η1(t, z2))
, k = 0, 1. (32)
Так же, как и при доказательстве достаточности в теореме 1 из [7], c учетом (32), (26) –
(28) получим, что при построении множеств ∆̃Y0 , ∆̃Y1 число ζ может быть выбрано на-
столько малым, чтобы существовали такие константы c1, c2 ∈ R, что
c1 <
J1(t)(Ψk(x(t), ξ1, ξ2))
′
t
J ′1(t)Ψk(x(t), ξ1, ξ2)
< c2 при(ξ1, ξ2) ∈
]
−1
2
,
1
2
[
×
]
−1
2
,
1
2
[
, k = 0, 1,
и sign c1 = sign c2 = sign
1− σ1
1− σ0 − σ1
. Поэтому
lim
x→∞
Ψi(x, z1, z2) = Yi равномерно по z1, z2 : |zj | <
1
2
, j = 1, 2, i = 0, 1. (33)
В силу (33) и (19) имеем
lim
vi→Yi
vi∈∆Yi
vi
∂g
∂vi
(v0, v1)
g(v0, v1)
= 0 равномерно по vj ∈ ∆Yj , i 6= j, i, j = 0, 1,
откуда следует, что
lim
x→∞
Φi(x, z1, z2) = 0 равномерно по z1, z2 : |zj | <
1
2
, j = 1, 2, i = 0, 1. (34)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
338 Г. А. ГЕРЖАНОВСКАЯ
Так же, как и при доказательстве достаточности в теореме 1 из [7], в силу (5), (6),
(21) – (23) можно выбрать число t0 ∈ [a, ω[ так, чтобы для любых |zj | ≤
1
2
, j = 1, 2,
J1(t)
1− σ0 − σ1
1− σ1
|1− σ0 − σ1|
1
1−σ1 sign y01[1 + z1]
J ′1(t)
J1(t)
1− σ1
1− σ0 − σ1
[1 + z2]
∈ F (∆̃Y0 × ∆̃Y1) при t ∈ [t0, ω[.
Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений (30) на множестве
Ω = [x0,+∞[×D, где x0 = β ln |J1(t2)|,
D =
{
(z1, z2) : |zi| ≤
1
2
, i = 1, 2
}
.
Запишем систему (30) в виде
z′1 = A11z1 +A12z2 +R1(z1, z2) +R2(x, z1, z2),
z′2 = A21z1 +A22z2 +R3(x, z1, z2) +R4(z1, z2),
(35)
где
A11 = 0, A12 = β, A21 = β
α0H1(x)(σ1 − 1)
1− σ0 − σ1
,
A22 = β
σ0 − σ1 − 1 + α0H1(x)(2σ1 + σ0 − 1)
1− σ0 − σ1
, R1(x, z1, z2) = βz1z2,
R2(x, z1, z2) = β[1 + z1]
(
− 1
1− σ0 − σ1
[1 + z2]Φ0(x, z1, z2)+
+
α0
(1− σ1)(1− σ0 − σ1)
H1(t(x))
[1 + z1]
σ1−1
|1 + z2|1−σ1
Φ1(x, z1, z2)
)
,
R3(x, z1, z2) = β
(
H1(t(x))− 1− σ1
α0
)(
α0
1− σ1
[1 + z2] +
α0
1− σ0 − σ1
|1 + z2|σ1
[1 + z1]1−σ1
)
,
R4(z1, z2) = −β 1− σ1
1− σ0 − σ1
(
|1 + z2|σ1
[1 + z1]1−σ1
− 1− σ1z2 − (1− σ1)z1 + z22
)
.
Предельная матрица коэффициентов линейной части системы (35) имеет вид
A =
0 β
−β (1− σ1)2
1− σ0 − σ1
β
(1− σ1)(σ1 − 2)
1− σ0 − σ1
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЫСТРО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 339
и с учетом (31) и (34) для каждого i ∈ {1, 4} и каждого j ∈ {2, 3}
lim
|z1|+|z2|→0
Ri(x, z1, z2)
|z1|+ |z2|
= 0 равномерно по x : x ∈]x0,+∞[,
lim
x→+∞
Rj(x, z1, z2) = 0 равномерно по z1, z2 : (z1, z2) ∈ D.
В силу (4) характеристическое уравнение матрицы A не имеет корней с нулевой действи-
тельной частью.
Таким образом, для системы дифференциальных уравнений (35) выполнены все усло-
вия теоремы из [5]. Согласно этой теореме, система (30) имеет хотя бы одно решение
{zi}2i=1 : [x1,+∞[→ R2, x1 ≥ x0, стремящееся к нулю при x → +∞. Ему в силу за-
мен (29) соответствует решение y уравнения (1), допускающее при t ↑ ω асимптотиче-
ские представления (7). В силу этих представлений и (1) полученное решение y является
Pω(Y0, Y1, 1)-решением.
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Необходимость. Пусть y : [t0, ω[→ ∆Y0 — Pω(Y0, Y1, 1)-ре-
шение уравнения (1). С учетом (3) y00α0 > 0, т. е. выполнено первое из условий (9). Так же,
как и при доказательстве теоремы 1, введем функции L0(y), L1(y
′) и получим равенство
(15). При σ1 = 1 оно примет вид
sign y01
|y(t)|σ0f(y(t), y′(t))Θ0(y)Θ1(y′)
= −σ0I(t) [1 + o(1)]. (36)
Отсюда следует второе из условий (9). Запишем (36) в виде
y(t) =
∣∣f(y(t), y′(t)Θ0(y)Θ1(y
′)
∣∣− 1
σ0 |I(t)|−
1
σ0 | − σ0|
− 1
σ0 sign y00[1 + o(1)] при t ↑ ω. (37)
Подставив (37) в третье из условий (3), получим
(y′(t))2 = y′′(t)f
− 1
σ0
(
y(t), y′(t)
)
(Θ0(y)Θ1(y
′))
− 1
σ0 |I(t)|−
1
σ0×
× |σ0|
− 1
σ0 sign y00[1 + o(1)] при t ↑ ω. (38)
Отсюда имеем
y′′(t)
(y′(t))2(f(y(t), y′(t))Θ0(y)Θ1(y′))
1
σ0
= |I(t)|
1
σ0 |σ0|
1
σ0 sign y00[1 + o(1)] при t ↑ ω. (39)
Покажем, что функция f(y((y′)−1(v1)), v1)Θ0(y((y′)−1(v1)))Θ1(v1) является медленно
меняющейся при v1 → Y1, v1 ∈ ∆Y1 , где (y′)−1 — функция, обратная для y′(t). В силу (2)
с учетом того, что lim v1→Y1
v1∈∆Y1
y((y′)−1(v1)) = Y0, имеем
lim
v1→Y1
v1∈∆Y1
v1
∂f
∂v1
(y((y′)−1(v1)), v1)
f(y((y′)−1(v1)), v1)
= 0, lim
v1→Y1
v1∈∆Y1
y((y′)−1(v1)))
∂f
∂v0
(y((y′)−1(v1)), v1)
f(y((y′)−1(v1)), v1)
= 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
340 Г. А. ГЕРЖАНОВСКАЯ
Таким образом,
lim
v1→Y1
v1∈∆Y1
v1(f(y(y−1(v1)), v1)L0(y(y−1(v1)))L1(v1))
′
v1
f(y(y−1(v1)), v1)L0(y(y−1(v1)))L1(v1)
=
= lim
v1→Y1
v1∈∆Y1
v1
∂f
∂v1
(y((y′)−1(v1)), v1)
f(y((y′)−1(v1)), v1)
+ lim
v1→Y1
v1∈∆Y1
v1L
′
1(v1)
L1(v1)
+
+ lim
v1→Y1
v1∈∆Y1
(
y((y′)−1(v1))
∂f
∂v0
(y((y′)−1(v1)), v1)
f(y((y′)−1(v1)), v1)
+
y((y′)−1(v1))L
′
0(y((y′)−1(v1)))
L0(y((y′)−1(v1)))
)
×
× y(y′((y′)−1(v1)))
2
y′′((y′)−1(v1))y((y′)−1(v1))
= 0.
Следовательно, функция f(y((y′)−1(v1)), v1)L0(y((y′)−1(v1)))L1(v1), а значит и функция
f(y((y′)−1(v1)), v1)Θ0(y((y′)−1(v1)))Θ1(v1), является медленно меняющейся функцией при
v1 → Y1, v1 ∈ ∆Y1 . Тогда с использованием предложений 1 и 2 из [3, с. 115] (гл. 5, § 1)
получаем
1
y′(t)(f(y(t), y′(t))Θ0(y)Θ1(y′))
1
σ0
= −J2(t)|σ0|
1
σ0 sign y00[1 + o(1)] при t ↑ ω, (40)
т. е. первое из представлений (11).
Перемножая (36) и (40), имеем
y(t)
y′(t)
= −J2(t)
J ′2(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω, (41)
т. е. второе из представлений (11). Кроме того, с учетом (11) выполняются первое и вто-
рое из условий (10).
Разделив (39) на (40), получим
y′′(t)
y′(t)
=
I ′(t)
−σ0I(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Отсюда с учетом (41) и (3) получаем третье из условий (10).
Достаточность. Так же, как и при доказательстве теоремы 1, обозначим g(v0, v1) =
= f(v0, v1)L0(v0)L1(v1), где L0, L1 определены в (12), и рассмотрим функцию
F (s0, s1) =
1
s1g
1
σ0 (s0, s1)
s0
s1
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЫСТРО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 341
заданную на множестве ∆̃Y0×∆̃Y1 , где ∆̃Y0×∆̃Y1 выбраны так же, как в теореме 1, причем
(19) и (20) имеют место. Рассмотрим первую компоненту данной функции. С учетом (19)
имеем
lim
s1→Y1
s1∈∆̃Y1
s1
(
1
s1g
1
σ0 (s0,s1)
)′
s1
1
s1g
1
σ0 (s0,s1)
= lim
s1→Y1
s1∈∆̃Y1
(
−1−
s1
∂g
∂s1
(s0, s1)
σ0g(s0, s1)
)
= −1 равномерно по s0 ∈ ∆̃Y0 .
В силу свойств функции g
lim
s1→Y1
s1∈∆̃Y1
1
s1g
1
σ0 (s0, s1)
= Υ равномерно по s0 ∈ ∆̃Y0 , Υ =
{
∞, если Y1 = 0,
0, если Y1 = ∞. (42)
Покажем, что F взаимно однозначно отображает ∆̃Y0 × ∆̃Y1 на множество
F (∆̃Y0 × ∆̃Y1) =
[
1
y10g
1
σ0 (ỹ00, ỹ
1
0)
; Υ
)
×∆1, если
1
y10g
1
σ0 (ỹ00, ỹ
1
0)
< Υ,
(
Υ;
1
y10g
1
σ0 (ỹ00, ỹ
1
0)
]
×∆1, если
1
y10g
1
σ0 (ỹ00, ỹ
1
0)
> Υ,
(43)
где
∆1 =
(0; +∞), если ỹ00 ỹ
1
0 > 0,
(−∞; 0), если ỹ00 ỹ
1
0 < 0.
(44)
Рассмотрим поведение функции
1
s1g
1
σ0 (s0, s1)
на прямых
s0 = ks1, k ∈ R \ {0}. (45)
На каждой такой прямой
1
s1g
1
σ0 (s0, s1)
=
1
s1g
1
σ0 (ks1, s1)
. Кроме того, имеем
(
1
s1g
1
σ0 (ks1, s1)
)′
s1
=
1
s21g
1
σ0 (ks1, s1)
(
−1−
ks1g
′
ks1
(ks1, s1)
σ0g(ks1, s1)
−
s1g
′
s1(ks1, s1)
σ0g(ks1, s1)
)
.
Это означает, что c учетом (20)
sign
(
1
s1g
1
σ0 (ks1, s1)
)′
s1
= sign (−y10).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
342 Г. А. ГЕРЖАНОВСКАЯ
Поэтому функция
1
s1g
1
σ0 (ks1, s1)
строго монотонна на любой прямой вида (45). Предпо-
ложим, что отображение F не является взаимно однозначным. Тогда существуют точки
(p0, p1), (q0, q1) ∈ ∆̃Y0 × ∆̃Y1 , (p0, p1) 6= (q0, q1), такие, что F (p0, p1) = F (q0, q1). С учетом
определения множеств ∆̃Y0 , ∆̃Y1 последнее равенство означает, что
1
p1g
1
σ0 (p0, p1)
=
1
q1g
1
σ0 (q0, q1)
,
p0
p1
=
q0
q1
= c ∈ R \ 0. (46)
Покажем, что точки (p1, p2) и (q1, q2) лежат на одной прямой вида (45). Но тогда (46)
невозможно, так как функция
1
s1g
1
σ0 (cs1, s1)
строго монотонна на этой прямой.
Таким образом, существует обратная функция F−1 : F (∆̃Y0 × ∆̃Y1) → ∆̃Y0 × ∆̃Y1 . Учи-
тывая вид функции F, имеем
F−1(w0, w1) =
F−10 (w0, w1)
F−11 (w0, w1)
=
F−10 (w0, w1)
w1F
−1
0 (w0, w1)
.
Как и при доказательстве теоремы 1, получаем, что функция F−1 является непрерывно
дифференцируемой на F (∆̃Y0 × ∆̃Y1).
Применим к уравнению (1) преобразование
1
y′(t)g
1
σ0 (y(t), y′(t))
= −J2(t)|σ0|
1
σ0 sign y00[1 + z1(x)],
y(t)
y′(t)
= −J2(t)
J ′2(t)
[1 + z2(x)],
(47)
где
x = β ln |J2(t)|, β =
{
1 при ω = +∞,
−1 при ω < +∞.
Получим систему вида
z′1 =
β
c
(
α0|H2(t(x))|
|c|σ0−1
|1 + z2|σ0
|1 + z1|σ0−1 +
c
σ0
[1 + z1]
[1 + z2]
Φ0(x, z1, z2)+
+
|c|1−σ0 |H2(t(x))|
σ0
|1 + z2|σ0
|1 + z1|σ0−1Φ1(x, z1, z2)− c[1 + z2]
)
,
(48)
z′2 = β
(
−1 +
|H2(t(x))|
|c|σ0
|1 + z2|1+σ0
|1 + z1|σ0
+
H2(t(x))
σ0
[1 + z2]− [1 + z2]
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЫСТРО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 343
где
Ψi(x, z1, z2) = F−1i
(
−|σ0|
1
σ0 J2(t(x)) sign y00[1 + z1],−
J2(t(x))
J ′2(t(x))
[1 + z2]
)
, i = 0, 1,
Φi(x, z1, z2) =
Ψi(x, z1, z2)
∂g
∂vi+1
(Ψ0(x, z1, z2),Ψ1(x, z1, z2))
g(Ψ0(x, z1, z2),Ψ1(x, z1, z2))
, i = 0, 1,
H2(x) =
J2(t(x))I ′(t(x))
J ′2(t(x))I(t(x))
, c = |σ0|
1
σ0 sign y00.
В силу третьего из условий (10)
lim
x→∞
H2(x) = σ0. (49)
Так же, как и при доказательстве теоремы 1, с учетом (19) имеем
lim
x→∞
Φi(x, z1, z2) = 0 равномерно по z1, z2 : |zj | <
1
2
, j = 1, 2, i = 0, 1. (50)
Далее, как и при доказательстве достаточности в теореме 1 из [7], в силу (9), (10), (42) –
(44) можно выбрать число t0 ∈ [a, ω[ так, чтобы для любых |zj | ≤
1
2
, j = 1, 2,
−J2(t)|σ0|
1
σ0 sign y00[1 + z1(x)]
−J2(t)
J ′2(t)
[1 + z2(x)]
∈ F (∆̃Y0 × ∆̃Y1) при t ∈ [t0, ω[.
Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений (48) на множестве
Ω = [x0,+∞[×D, где x0 = β ln |J2(t0)|, D =
{
(z1, z2) : |zi| ≤
1
2
, i = 1, 2
}
.
Запишем систему (48) в виде
z′1 = A11(x)z1 +A12(x)z2 +R1(z1, z2) +R2(x, z1, z2),
z′2 = A21(x)z1 +A22(x)z2 +R3(x) +R4(x, z1, z2),
(51)
где
A11(x) =
βα0(1− σ0)
c|c|σ0−1 |H2(x)|, A12(x) =
βσ0
c|c|σ0−1 |H2(x)| − β,
A21(x) = − βσ0
|c|σ0
|H2(x)|, A22(x) =
β(σ0 + 1)
|c|σ0
|H2(x)|+ β
σ0
H2(x)− β,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
344 Г. А. ГЕРЖАНОВСКАЯ
R1(z1, z2) =
β
c
(
|1 + z2|σ0
|1 + z1|1−σ0
− 1− σ0z2 − (1− σ0)z1
)
,
R2(x, z1, z2) =
β
c
(
α0(|H2(t(x))| − |σ0|)
|c|σ0−1
|1 + z2|σ0
|1 + z1|σ0−1 +
c
σ0
[1 + z1]
[1 + z2]
Φ0(x, z1, z2)+
+
|c|1−σ0 |H2(t(x))|
σ0
|1 + z2|σ0
|1 + z1|σ0−1 Φ1(x, z1, z2)
)
,
R3(x, z1, z2) = β
(
|H2(t(x))|
|c|σ0
+
H2(t(x))
σ0
− 2
)
,
R4(x, z1, z2) = β
|H2(t(x))|
|c|σ0
(
|1 + z2(t(x))|σ0−1
|1 + z1|σ0
− 1 + (1− σ0)z2 + σ0z1
)
.
Предельная матрица коэффициентов линейной части системы (51) имеет вид
A =
(
β(1− σ0) β(σ0 − 1)
−βσ0 β(σ0 + 1)
)
,
и с учетом (49) и (50) для каждого i ∈ {1, 4} и каждого j ∈ {2, 3}
lim
|z1|+|z2|→0
Ri(z1, z2)
|z1|+ |z2|
= 0 равномерно по x ∈ [x0,+∞[,
lim
x→+∞
Rj(x, z1, z2) = 0 равномерно по z1, z2 : (z1, z2) ∈ D.
В силу (8) характеристическое уравнение матрицы A не имеет корней с нулевой действи-
тельной частью. Таким образом, для системы дифференциальных уравнений (51) выпол-
нены все условия теоремы 2.2 из [5]. Согласно этой теореме, система (48) имеет хотя бы
одно решение {zi}2i=1 : [x1,+∞[→ R2, x1 ≥ x0, стремящееся к нулю при x → +∞. Ему в
силу замен (47) соответствует решение y уравнения (1), допускающее при t ↑ ω асимпто-
тические представления (11). С учетом этих представлений и (1) ясно, что полученное
решение y является Pω(Y0, Y1, λ0)-решением.
Теорема 2 доказана.
Вывод. В данной работе для быстро меняющихся решений уравнения (1) получены
необходимые и достаточные условия существования Pω(Y0, Y1, 1)-решений для случаев,
когда σ1 = 1 и σ1 6= 1, а также асимптотические представления таких решений при t ↑ ω.
Литература
1. Seneta Е. Regularly varying functions // Lect. Notes Math. — 1976. — 508. — 113 p.
2. Евтухов В. М., Кириллова Л. А. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравне-
ний второго порядка // Дифференц. уравнения. — 2005. — 41, № 8. — С. 1053 – 1061.
3. Maric V. Regular variation and differential equations // Lect. Notes Math. — 2000. — 1726. — 128 p.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЫСТРО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 345
4. Белозерова М. А. Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных урав-
нений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным // Нелiнiйнi коливання. — 2009. —
12, № 1. — С. 3 – 15.
5. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений ве-
щественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. —
2010. — 62, № 1. — С. 52 – 80.
6. Bilozerova M. A., Evtukhov V. M. Asymptotic representations of solutions of the differential equation y(n) =
= α0p(t)
∏n−1
i=0 φi(y
(i)) // Miskolc Math. Notes. — 2012. — 13, № 2. — P. 249 – 270.
7. Белозерова М. А., Гержановская Г. А. Асимптотические представления решений дифференциальных
уравнений второго порядка с нелинейностями, в некотором смысле близкими к правильно меняю-
щимся // Мат. студ. — 2015. — 44, № 2. — C. 204 – 214.
Получено 28.12.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
|