Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью
Встановлено умови iснування повiльно змiнних розв’язкiв двочленного неавтономного диференцiального рiвняння другого порядку з швидко змiнною нелiнiйнiстю, а також новi асимптотичнi при t ↑ ω (ω ≤ +∞) зображення для таких розв’язкiв та їх похiдних першого порядку....
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177310 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью / В.М. Евтухов, А.Г. Черникова // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 346-360 — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177310 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773102021-02-15T01:27:07Z Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью Евтухов, В.М. Черникова, А.Г. Встановлено умови iснування повiльно змiнних розв’язкiв двочленного неавтономного диференцiального рiвняння другого порядку з швидко змiнною нелiнiйнiстю, а також новi асимптотичнi при t ↑ ω (ω ≤ +∞) зображення для таких розв’язкiв та їх похiдних першого порядку. We find new conditions for existence of slowly varying solutions of a two-term nonautonomous second order differential equation with rapidly changing nonlinearity. For such solutions and their first order derivatives, we also find asymptotic representations as t ↑ ω ω ≤ +∞. 2017 Article Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью / В.М. Евтухов, А.Г. Черникова // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 346-360 — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177310 517.925 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено умови iснування повiльно змiнних розв’язкiв двочленного неавтономного диференцiального рiвняння другого порядку з швидко змiнною нелiнiйнiстю, а також новi асимптотичнi при t ↑ ω (ω ≤ +∞) зображення для таких розв’язкiв та їх похiдних першого порядку. |
| format |
Article |
| author |
Евтухов, В.М. Черникова, А.Г. |
| spellingShingle |
Евтухов, В.М. Черникова, А.Г. Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью Нелінійні коливання |
| author_facet |
Евтухов, В.М. Черникова, А.Г. |
| author_sort |
Евтухов, В.М. |
| title |
Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью |
| title_short |
Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью |
| title_full |
Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью |
| title_fullStr |
Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью |
| title_sort |
асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177310 |
| citation_txt |
Асимптотическое поведение медленно меняющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью / В.М. Евтухов, А.Г. Черникова // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 346-360 — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT evtuhovvm asimptotičeskoepovedeniemedlennomenâûŝihsârešenijobyknovennyhdvučlennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝejsânelinejnostʹû AT černikovaag asimptotičeskoepovedeniemedlennomenâûŝihsârešenijobyknovennyhdvučlennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝejsânelinejnostʹû |
| first_indexed |
2025-07-15T15:21:25Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:21:25Z |
| _version_ |
1837726838573498368 |
| fulltext |
УДК 517.925
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ
РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДВУЧЛЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С БЫСТРО МЕНЯЮЩЕЙСЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
В. М. Евтухов, А. Г. Черникова
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
ул. Дворянская, 2, Одесса, 65026, Украина
e-mail: emden@farlep.net
evmod@i.ua
anastacia.chernikova@gmail.com
We find new conditions for existence of slowly varying solutions of a two-term nonautonomous second
order differential equation with rapidly changing nonlinearity. For such solutions and their first order
derivatives, we also find asymptotic representations as t ↑ ω ω ≤ +∞.
Встановлено умови iснування повiльно змiнних розв’язкiв двочленного неавтономного диферен-
цiального рiвняння другого порядку з швидко змiнною нелiнiйнiстю, а також новi асимптотич-
нi при t ↑ ω (ω ≤ +∞) зображення для таких розв’язкiв та їх похiдних першого порядку.
1. Введение. Рассматривается дифференциальное уравнение
y′′ = α0p(t)ϕ(y), (1.1)
где α0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[−→]0,+∞[ — непрерывная функция, −∞ < a < ω ≤ +∞,
ϕ : ∆Y0 −→]0,+∞[ — дважды непрерывно дифференцируемая функция, такая, что
ϕ′(y) 6= 0 при y ∈ ∆Y0 , lim
y→Y0
y∈∆Y0
ϕ(y) =
{
либо 0,
либо +∞, lim
y→Y0
y∈∆Y0
ϕ(y)ϕ′′(y)
ϕ′2(y)
= 1, (1.2)
Y0 равно либо нулю, либо±∞,∆Y0 — некоторая односторонняя окрестность Y0.Не огра-
ничивая общности, будем считать, что
∆Y0 =
{
[y0, Y0[, если ∆Y0 — левая окрестность Y0,
]Y0, y0], если ∆Y0 — правая окрестность Y0,
(1.3)
где y0 ∈ R таково, что |y0| < 1 при Y0 = 0 и y0 > 1 (y0 < −1) при Y0 = +∞ (при
Y0 = −∞).
В силу условий (1.2)
lim
y→Y0
y∈∆Y0
yϕ′(y)
ϕ(y)
= ±∞, (1.4)
c© В. М. Евтухов, А. Г. Черникова, 2017
346 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 347
и поэтому функция ϕ является (см., например, [1, с. 91, 92], гл. 3, § 3.4, леммы 3.2, 3.3)
быстро меняющейся при y → Y0.
Определение 1.1. Решение y дифференциального уравнения (1.1) называется
Pω(Y0, λ0)-решением, где −∞ ≤ λ0 ≤ +∞, если оно определено на промежутке [t0, ω[⊂
⊂ [a, ω[ и удовлетворяет следующим условиям:
y(t) ∈ ∆Y0 при t ∈ [t0, ω[, lim
t↑ω
y(t) = Y0, lim
t↑ω
y′(t) =
{
либо 0,
либо ±∞,
lim
t↑ω
y′2(t)
y′′(t)y(t)
= λ0.
В работе [2] были получены необходимые и достаточные условия существования
Pω(Y0, λ0)-решений дифференциального уравнения (1.1) при λ0 = 0, а также асимпто-
тические при t ↑ ω представления для таких решений и их производных первого порядка.
Из определения 1.1 в случае λ0 = 0 следует (см. [2]), что для таких решений
lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= 0, где πω(t) =
{
t, если ω = +∞,
t− ω, если ω < +∞, (1.5)
и поэтому они являются медленно меняющимися функциями при t ↑ ω.
Последняя из четырех установленных в работе [2] теорем содержит одно достаточно
жесткое ограничение. Ниже будет предпринята попытка при некоторых естественных
ограничениях на коэффициент p снять это ограничение.
2. Основные результаты. Положим
µ0 = signϕ′(y), ν0 = sign y0, ν1 =
{
1, если ∆Y0 = [y0, Y0[,
−1, если ∆Y0 =]Y0, y0],
и введем функцию
Φ(y) =
y∫
B
ds
ϕ(s)
, где B =
Y0, если
∫ Y0
y0
ds
ϕ(s)
= const,
y0, если
∫ Y0
y0
ds
ϕ(s)
= ±∞.
Учитывая определение Pω(Y0, λ0)-решения дифференциального уравнения (1.1), сле-
дует заметить, что числа ν0, ν1 и α0 определяют знаки любого Pω(Y0, λ0)-решения, его
первой и второй производных (соответственно) в некоторой левой окрестности ω. При
этом условия
ν0ν1 < 0, если Y0 = 0, ν0ν1 > 0, если Y0 = ±∞, (2.1)
и
ν1α0 < 0, если lim
t↑ω
y′(t) = 0, ν1α0 > 0, если lim
t↑ω
y′(t) = ±∞, (2.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
348 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
являются необходимыми для существования таких решений.
Теперь отметим некоторые свойства функции Φ. Она сохраняет знак на промежутке
∆y0 , стремится либо к нулю, либо к ±∞ при y → Y0 и является возрастающей на ∆Y0 ,
поскольку на этом промежутке Φ′(y) =
1
ϕ(y)
> 0. Поэтому для нее существует обрат-
ная функция Φ−1 : ∆Z0 −→ ∆Y0 , причем в силу второго из условий (1.2) и монотонного
возрастания Φ−1
Z0 = lim
y→Y0
y∈∆Y0
Φ(y) =
{
либо 0,
либо +∞,
(2.3)
∆Z0 =
{
[z0, Z0[, если ∆Y0 = [y0, Y0[,
]Z0, z0], если ∆Y0 =]Y0, y0],
z0 = Φ(y0).
В [2] было также показано, что
Φ(y) ∼ − 1
ϕ′(y)
при y → Y0 и sign Φ(y) = −µ0 при y ∈ ∆Y0 . (2.4)
Кроме того, в силу первого из этих соотношений и (2.3) имеем
Φ′(y)
Φ(y)
∼ −ϕ
′(y)
ϕ(y)
,
Φ′′(y)Φ(y)
Φ′2(y)
∼ 1 при y → Y0, (2.5)
lim
z→Z0
z
(
ϕ
(
Φ−1(z)
))′
ϕ(Φ(z))
= −1, lim
z→Z0
z
(
ϕ′
(
Φ−1(z)
))′
ϕ′(Φ(z))
= −1. (2.6)
Из (2.6), в частности, следует, что функции ϕ(Φ−1(z)) и ϕ′(Φ−1(z)) являются (см. [3, с. 15],
гл. 1, п. 1.2) правильно меняющимися функциями порядка −1 при z → Z0.
Далее, введем интегралы
J(t) =
t∫
A
πω(τ)p(τ) dτ, Jϕ(t) =
t∫
Aϕ
p(τ)ϕ
(
Φ−1(−α0J(τ))
)
dτ,
где πω определена в (1.5),
A =
ω, если
∫ ω
a
πω(τ)p(τ) dτ = const,
a, если
∫ ω
a
πω(τ)p(τ) dτ = ±∞,
Aϕ =
tϕ, если
∫ ω
tϕ
p(τ)ϕ
(
Φ−1(−α0J(τ))
)
dτ = +∞,
ω, если
∫ ω
tϕ
p(τ)ϕ
(
Φ−1(−α0J(τ))
)
dτ < +∞,
tϕ ∈ [a, ω[.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 349
Для ясности дальнейшего изложения приведем сначала три из четырех, установлен-
ных в работе [2], теорем.
Теорема 2.1. Для существования Pω(Y0, 0)-решений дифференциального уравнения
(1.1), для которых существует конечный или равный ±∞ предел limt↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
, не-
обходимо, чтобы выполнялися условия
α0ν1πω(t) < 0, α0µ0J(t) > 0 при t ∈]a, ω[, (2.7)
−α0 lim
t↑ω
J(t) = Z0, lim
t↑ω
πω(t)J ′ϕ(t)
Jϕ(t)
= −1, lim
t↑ω
π2
ω(t)p(t)ϕ
(
Φ−1(−α0J(t))
)
Φ−1(−α0J(t))
= 0. (2.8)
Более того, для каждого такого решения имеют место асимптотические представле-
ния
y(t) = Φ−1 (−α0J(t)) +
ϕ
(
Φ−1(−α0J(t))
)
ϕ′ (Φ−1(−α0J(t)))
o(1) при t ↑ ω, (2.9)
y′(t) = −α0πω(t)p(t)ϕ
(
Φ−1(−α0J(t))
)
[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.10)
Теорема 2.2. Пусть выполняются условия (2.7), (2.8) и
lim
t↑ω
πω(t)J ′(t)
J(t)
= γ, где 0 < |γ| < +∞. (2.11)
Тогда: 1) если γ > 0,то уравнение (1.1) имеет однопараметрическое семействоPω(Y0, 0)-
решений, допускающих при t ↑ ω асимптотические представления (2.9), (2.10); 2) если
γ < 0, то при ω < +∞ уравнение (1.1) имеет двупараметрическое семейство Pω(Y0, 0)-
решений, допускающих при t ↑ ω асимптотические представления (2.9), (2.10), а при
ω = +∞— по крайней мере одно такое решение.
Теорема 2.3. Пусть выполняются условия (2.7), (2.8) и
lim
t↑ω
πω(t)J ′(t)
J(t)
= 0. (2.12)
Тогда: 1) если α0µ0 > 0, то уравнение (1.1) имеет однопараметрическое семейство
Pω(Y0, 0)-решений, допускающих при t ↑ ω асимптотические представления (2.9), (2.10);
2) если α0µ0 < 0, то при ω < +∞ уравнение (1.1) имеет двупараметрическое семей-
ство Pω(Y0, 0)- решений, допускающих при t ↑ ω асимптотические представления (2.9),
(2.10), а при ω = +∞— по крайней мере одно такое решение.
Замечание 2.1. Третье из необходимых условий (2.8) существованияPω(Y0, 0)-решений
из теоремы 2.1 в соответствующей теореме 3.1 из работы [2] отсутствует (так как в даль-
нейшем оно не использовалось). Его справедливость непосредственно следует из того,
что в случае существования Pω(Y0, 0)-решения уравнения (1.1), для которого существует
конечный или равный ±∞ предел limt↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
, этот предел может быть равен толь-
ко −1, поэтому имеем
lim
t↑ω
π2
ω(t)y′′(t)
y(t)
= lim
t↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
πω(t)y′(t)
y(t)
= 0(−1) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
350 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
В силу этого предела и асимптотических соотношений
y(t) ∼ Φ−1(−α0J(t)), y′′(t) ∼ α0p(t)ϕ
(
Φ−1(−α0J(t))
)
при t ↑ ω,
которые вытекают из (2.9) и (2.6), непосредственно следует справедливость третьего из
условий (2.8).
Четвертая из теорем работы [2], относящаяся к случаю, когда
lim
t↑ω
πω(t)J ′(t)
J(t)
= ±∞, (2.13)
как уже было отмечено ранее, содержит одно достаточно жесткое ограничение.
Вместо нее ниже установим при достаточно естественных ограничениях на коэффициент
p уравнения (1.1) новое утверждение. При этом следует отметить, повторяя рассуждения
из доказательства первой теоремы, что если p(t) ∼ p0(t) при t ↑ ω, то асимптотические
представления (2.9), (2.10) могут быть заменены на представления
y(t) = Φ−1 (−α0J0(t)) +
ϕ
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
ϕ′ (Φ−1(−α0J0(t)))
o(1) при t ↑ ω, (2.14)
y′(t) = −α0πω(t)p0(t)ϕ
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
[1 + o(1)] при t ↑ ω, (2.15)
где
J0(t) =
t∫
A
πω(τ)p0(τ) dτ.
Кроме того, в данном случае положим
J0ϕ(t) =
t∫
Aϕ
p0(τ)ϕ
(
Φ−1(−α0J0(τ))
)
dτ, E0(t) = α0π
2
ω(t)p0(t)ϕ′
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
,
h0(t) =
(
ϕ′(y)
ϕ(y)
)′
(
ϕ′(y)
ϕ(y)
)2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y=Φ−1(−α0J0(t))
.
Теорема 2.4. Пусть
p(t) = p0(t)[1 + r(t)], lim
t↑ω
r(t) = 0, (2.16)
где p0 : [a, ω[−→]0,+∞[ — непрерывно дифференцируемая функция и r : [a, ω[−→]−1,+∞[
— непрерывная функция. Пусть, кроме того, выполняются условия (2.7), (2.8), (2.13) и
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 351
существуют конечные или равные ±∞ пределы
lim
t↑ω
πω(t)J ′′0ϕ(t)
J ′0ϕ(t)
, lim
y→Y0
y∈∆Y0
(
ϕ′(y)
ϕ(y)
)′
(
ϕ′(y)
ϕ(y)
)2
√∣∣∣∣yϕ′(y)
ϕ(y)
∣∣∣∣. (2.17)
Тогда:
1) если α0µ0 > 0, то существует однопараметрическое семейство Pω(Y0, 0)-реше-
ний дифференциального уравнения (1.1) с асимптотическими представлениями (2.14),
(2.15), причем таких, производная которых удовлетворяет асимптотическому соот-
ношению
y′(t) = −α0πω(t)p0(t)ϕ
(
Φ−1(−α0J0(t))
) [
1 + |E0(t)|−
1
2 o(1)
]
при t ↑ ω; (2.18)
2) если α0µ0 < 0 и выполняются условия
lim
t↑ω
r(t)
t∫
t0
|E0(τ)|
1
2 dτ
|πω(τ)|
= 0, lim
t↑ω
h0(t)|E0(t)|
1
2
t∫
t0
|E0(τ)|
1
2 dτ
|πω(τ)|
= 0, (2.19)
lim
t↑ω
[
r(t) + 2 +
πω(t)J ′′0ϕ(t)
J ′0ϕ(t)
] t∫
t0
|E0(τ)|
1
2 dτ
|πω(τ)|
2
= 0, lim
t↑ω
∫ t
t0
|E0(τ)|
1
2 dτ
|πω(τ)|
|E0(t)|
1
2
= 0, (2.20)
где t0 — некоторое число из промежутка [a, ω[, то уравнение (1.1) имеет по крайней
мере одно Pω(Y0, 0)-решение, допускающее при t ↑ ω асимптотические представления
y(t) = Φ−1(−α0J(t)) +
ϕ
(
Φ−1(−α0J(t))
)
ϕ′ (Φ−1(−α0J(t)))
t∫
t0
|E0(τ)|
1
2 dτ
πω(τ)
−1
o(1), (2.21)
y′(t) = −α0πω(t)p0(t)ϕ
(
Φ−1(−α0J0(t))
)1 + |E0(t)|−
1
2
t∫
t0
|E0(τ)|
1
2 dτ
|πω(τ)|
−1
o(1)
. (2.22)
Доказательство. В силу выполнения условий (2.16), второго из условий (2.7), первого
из условий (2.8), а также условий (2.3), (2.4) существует такое t0 ∈ [a, ω[, что
Φ−1(−α0J0(t)) ∈ ∆Y0 при t ∈ [t0, ω[ и lim
t↑ω
Φ−1(−α0J0(t)) = Y0.
Поэтому на промежутке [t0, ω[ определены и непрерывны функции ϕ
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
,
ϕ′
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
, ϕ′′
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
и в силу (1.2), (1.4)
lim
t↑ω
Φ−1(−α0J0(t))ϕ′
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
ϕ (Φ−1(−α0J0(t)))
= ±∞, lim
t↑ω
h0(t) = 0. (2.23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
352 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
Кроме того, в силу первого из предельных соотношений (2.6) и представления пра-
вильно меняющейся функции
ϕ
(
Φ−1(−α0J(t))
)
∼ ϕ
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
,
(2.24)
ϕ′
(
Φ−1(−α0J(t))
)
∼ ϕ′
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
при t ↑ ω.
Отсюда и из (2.16) следует, что из условий (2.7), (2.8) вытекают точно такие же условия,
полученные из (2.7), (2.8) заменой в них функций p, J и Jϕ соответственно на функции p0,
J0, J0ϕ. В частности, в силу (2.4) и (2.13) имеем
E0(t) ∼ − α0π
2
ω(t)p0(t)
Φ (Φ−1(−α0J0(t)))
=
πω(t)J ′0(t)
J0(t)
−→ ±∞ при t ↑ ω. (2.25)
Далее, поскольку существуют конечные или равные ±∞ пределы (2.17), выясним чему
они равны.
Вследствие того, что J0ϕ(t) стремится либо к нулю, либо к ±∞ при t ↑ ω, выпол-
няются условия (2.24), второе из условий (2.8) и существует первый из пределов (2.17),
согласно правилу Лопиталя имеем
−1 = lim
t↑ω
πω(t)J ′ϕ(t)
Jϕ(t)
= lim
t↑ω
πω(t)J ′0ϕ(t)
J0ϕ(t)
= 1 + lim
t↑ω
πω(t)J ′′0ϕ(t)
J ′0ϕ(t)
,
откуда следует, что первый из пределов (2.17) равен −2.
Учитывая существование конечного или равного ±∞ второго из пределов (2.17), по-
кажем, что этот предел может быть равен только нулю. Допустим противное. Тогда име-
ет место соотношение (
ϕ′(y)
ϕ(y)
)′
∣∣∣∣ϕ′(y)
ϕ(y)
∣∣∣∣ 3
2
=
z(y)
|y|
1
2
,
где функция z : ∆Y0 → R непрерывна и такова, что
lim
y→Y0
y∈∆Y0
z(y) =
{
либо c = const 6= 0,
либо ±∞. (2.26)
Интегрируя это соотношение на промежутке от y0 до y, получаем
−2µ0
∣∣∣∣ϕ′(y)
ϕ(y)
∣∣∣∣− 1
2
= c0 +
y∫
y0
z(s)
|s|
1
2
ds, (2.27)
где c0 — некоторая постоянная.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 353
Если
∫ Y0
y0
z(s) ds
|s|
1
2
= ±∞, то отсюда после деления на |y|
1
2 будем иметь
−2µ0
∣∣∣∣yϕ′(y)
ϕ(y)
∣∣∣∣− 1
2
=
∫ y
y0
z(s) ds
|s|
1
2
|y|
1
2
[1 + o(1)] при y → Y0.
Выражение, стоящее в этой формуле слева, в силу (1.4) стремится к нулю при y → Y0, а
справа в силу условия (2.26) — либо к отличной от нуля постоянной, либо к ±∞, так как
согласно правилу Лопиталя в форме Штольца
lim
y→Y0
y∈∆Y0
∫ y
y0
z(s) ds
|s|
1
2
|y|
1
2
= 2µ0 lim
y→Y0
y∈∆Y0
z(y),
что невозможно.
Если же
∫ Y0
y0
z(s) ds
|s|
1
2
сходится, что возможно лишь в случае, когда Y0 = 0, то запишем
(2.27) в виде
−2µ0
∣∣∣∣ϕ′(y)
ϕ(y)
∣∣∣∣− 1
2
= c1 +
y∫
0
z(s) ds
|s|
1
2
,
где c1 = c0 +
∫ 0
y0
z(s) ds
|s|
1
2
. Докажем, что здесь c1 = 0. Действительно, если c1 6= 0, то из
данного соотношения следует, что
ϕ′(y)
ϕ(y)
=
4µ0
c2
1
+ o(1) при y → 0,
а в силу (1.4) это невозможно. Значит, c1 = 0, поэтому имеем
−2µ0
∣∣∣∣ϕ′(y)
ϕ(y)
∣∣∣∣− 1
2
=
y∫
0
z(s) ds
|s|
1
2
.
Разделив обе части последнего равенства на |y|
1
2 , убедимся, что левая часть полученного
соотношения в силу условий (1.4) стремится к нулю при y → 0, а правая в силу правила
Лопиталя и (2.26) — либо к отличной от нуля постоянной, либо к ±∞.
Полученные в каждом из двух возможных случаев противоречия приводят к выводу,
что второй из пределов (2.17) равен нулю.
Таким образом, показано, что
lim
t↑ω
πω(t)J ′′0ϕ(t)
J ′0ϕ(t)
= −2, lim
y→Y0
y∈∆Y0
(
ϕ′(y)
ϕ(y)
)′
(
ϕ′(y)
ϕ(y)
)2
√∣∣∣∣yϕ′(y)
ϕ(y)
∣∣∣∣ = 0. (2.28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
354 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
Теперь уравнение (1.1) с помощью преобразования
y(t) = Φ−1 (−α0J0(t)) +
ϕ
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
ϕ′ (Φ−1(−α0J0(t)))
y1(t),
y′(t) = −α0πω(t)p0(t)ϕ
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
[1 + y2(t)]
(2.29)
сведем к системе дифференциальных уравнений
y′1 = −E0(t)
πω(t)
[h0(t)y1 + y2] ,
y′2 = − 1
πω(t)
[
ϕ(Y (t, y1))
ϕ (Φ−1(−α0J0(t)))
(1 + r(t)) +
(
1 +
πω(t)J ′′0ϕ(t)
J ′0ϕ(t)
)
(1 + y2)
]
,
где
Y (t, y1) = Φ−1 (−α0J0(t)) +
ϕ
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
ϕ′ (Φ−1(−α0J0(t)))
y1.
Точно таким же образом, как при доказательстве теоремы 3.2 из работы [2], нетрудно
показать, что здесь
ϕ(Y (t, y1))
ϕ (Φ−1(−α0J0(t)))
(1 + r(t)) = (1 + r(t))(1 + y1) +R(t, y1),
где R(t, y1) такова, что для любого ε > 0 существуют такие t1 ∈ [t0, ω[ и δ > 0, что
|R(t, y1)| ≤ (1 + ε)|y1|2 при t ∈]t1, ω[ и |y1| ≤ δ. (2.30)
Выбрав произвольным образом число ε > 0, рассмотрим далее полученную систему диф-
ференциальных уравнений
y′1 = −E0(t)
πω(t)
[h0(t)y1 + y2] ,
(2.31)
y′2 = − 1
πω(t)
[
r(t) + 2 +
πω(t)J ′′0ϕ(t)
J ′0ϕ(t)
+ (1 + r(t))y1 +
(
1 +
πω(t)J ′′0ϕ(t)
J ′0ϕ(t)
)
y2 +R(t, y1)
]
на множестве [t1, ω[×R2
δ , где R2
δ = {(y1, y2) ∈ R2; |yi| ≤ δ < 1, i = 1, 2)}.
Чтобы доказать существование решений дифференциального уравнения (1.1), допус-
кающих при t ↑ ω асимптотические представления (2.14), (2.15), достаточно в силу заме-
ны (2.29) установить, что существуют решения системы дифференциальных уравнений
(2.31), стремящиеся к нулю при t ↑ ω. Это можно осуществить, в частности, с исполь-
зованием известных результатов, полученных в работах [4, 5]. Чтобы воспользоваться
этими результатами, необходимо систему (2.31) с помощью дополнительных преобразо-
ваний привести к виду, допускающему их применение.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 355
С этой целью применим к системе (2.31) последовательно два преобразования
y1(t) = v1(t), y2(t) = |E(t)|−
1
2 v2(t) (2.32)
и
x =
t∫
t1
|E(t)|
1
2 dτ
|πω(τ)|
, v1(t) = z1(x), v2(t) = z2(x). (2.33)
В результате получим c учетом первого из знаковых условий (2.7) систему дифференци-
альных уравнений
z′1 = c11(x)z1 + c12(x)z2,
(2.34)
z′2 = f(x) + c21(x)z1 + c22(x)z2 + Z(x, z1),
в которой
f(x(t)) = α0ν1
[
r(t) + 2 +
πω(t)J ′′0ϕ(t)
J ′0ϕ(t)
]
, (x(t), z1) = α0ν1R(t, z1),
c11(x(t)) = ν1µ0|E(t)|
1
2h0(t), c12(x(t)) = ν1µ0,
c21(x(t)) = α0ν1(1 + r(t)), c22(x(t)) = α0ν1|E(t)|−
1
2
[
1
2
πω(t)J ′′0ϕ(t)
J ′0ϕ(t)
+ E(t)h0(t)
]
.
Поскольку в силу (2.25)
lim
t↑ω
t∫
t1
|E0(τ)|
1
2 dτ
|πω(τ)|
≥ lim
t↑ω
t∫
t1
dτ
|πω(τ)|
=
∣∣∣∣ln |πω(t)|
πω(t1)
∣∣∣∣ → +∞ при t ↑ ω,
то x(t) ↑ +∞ при t ↑ ω, поэтому на основании (2.16), (2.28), (2.30) и последнего из условий
(2.8) имеем
lim
x→+∞
f(x) = 0, lim
x→+∞
c11(x) = 0, lim
x→+∞
c12(x) = ν1µ0,
lim
x→+∞
c21(x) = α0ν1, lim
x→+∞
c22(x) = 0,
|Z(x, z1)| ≤ α0ν1(1 + ε)|z1|2 при x ∈ [0,+∞[ и |z1| ≤ δ.
Значит, система уравнений (2.34) является квазилинейной системой уравнений с почти
постоянными коэффициентами, к которой могут быть применены результаты из работ
[4, 5], касающиеся существования решений таких систем, стремящихся к нулю при x →
→ +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
356 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
Характеристическое уравнение предельной матрицы коэффициентов линейной час-
ти системы (2.34) имеет вид
ρ2 − α0µ0 = 0. (2.35)
В случае α0µ0 > 0 корнями этого уравнения являются числа ρ1,2 = ±1. В этом случае
согласно теореме 2.2 из работы [4] система дифференциальных уравнений (2.34) имеет
однопараметрическое семейство решений (z1, z2) : [x∗,+∞[→ R2, x∗ ≥ 0, стремящихся
к нулю при x → +∞. Каждому из них в силу замен (2.29), (2.32) и (2.33) соответствует
Pω(Y0, 0)-решение y : [t∗, ω[→ R (t∗ ∈ [a, ω[) дифференциального уравнения (1.1), допус-
кающее асимптотические представления (2.14), (2.18). Следовательно, справедливо пер-
вое утверждение теоремы.
В случае α0µ0 < 0 характеристическое уравнение (2.35) имеет чисто мнимые корни
ρ1,2 = ±i и в силу условий (2.19), (2.20)
lim
x→+∞
x2f(x) = 0, lim
x→+∞
xc11(x) = 0, lim
x→+∞
xc22(x) = 0,
lim
x→+∞
x[c12(x)− ν1µ0] = 0, lim
x→+∞
x[c21(x)− α0ν1] = 0;
кроме того,
lim
z→0
x2
∣∣Z (x, zx)∣∣
z
= 0 равномерно по x ∈ [0,+∞[.
Поэтому для системы (2.34) выполнены все условия теоремы 2.2 из работы [5]. Соглас-
но этой теореме система уравнений (2.34) в данном случае имеет по крайней мере одно
решение (z1, z2) : [x∗,+∞[→ R2 (x∗ ≥ 0) с представлениями
zi(x) = o
(
1
x
)
, i = 1, 2, при x → +∞.
Этому решению системы (2.34) соответствует в силу замен (2.29), (2.32) и (2.33) Pω(Y0, 0)-
решение y : [t∗, ω[→ R (t∗ ∈ [a, ω[) дифференциального уравнения (1.1), допускающее при
t ↑ ω асимптотические представления (2.21), (2.22).
Теорема доказана.
3. Примеры. Сначала, считая, что p0 : [a, ω[→]0,+∞[ — непрерывно дифференцируе-
мая функция, строим пример дифференциального уравнения
y′′ = α0p0(t)ϕ(y), (3.1)
где α0 и ϕ такие же, как в уравнении (1.1), которое имеет Pω(Y0, 0)-решения. При этом
обратим внимание на то, что полученная при доказательстве теоремы 2.4 система диффе-
ренциальных уравнений (2.31) в этом случае, т. е. когда r(t) ≡ 0, заведомо имеет нулевое
решение, если
πω(t)J ′′0ϕ(t)
J ′0ϕ(t)
+ 2 ≡ 0, (3.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 357
и этому решению в силу замены (2.29) соответствует решение уравнения (3.1) вида
y(t) = Φ−1(−α0J0(t)), (3.3)
которое будет Pω(Y0, 0)-решением в случае выполнения условий (2.7), (2.8).
Записывая (3.2) в виде
J ′′0ϕ(t)
J ′0ϕ(t)
= − 2
πω(t)
и интегрируя, получаем
J ′0ϕ(t) =
c0
π2
ω(t)
,
или с учетом вида J0ϕ
p0(t)ϕ
(
Φ−1(−α0J0(t))
)
=
c0
π2
ω(t)
.
Здесь c0 — произвольное положительное число.
Умножая теперь обе части последнего равенства на−α0πω(t), замечаем, что получен-
ное равенство может быть представлено в виде
(
Φ−1(−α0J0(t))
)′
= − α0c0
πω(t)
.
Отсюда в результате интегрирования находим
Φ−1(−α0J0(t)) = −α0c0 ln |πω(t)|+ c1, (3.4)
где c1 — произвольное вещественное число.
Поэтому согласно (3.3)
y(t) = −α0c0 ln |πω(t)|+ c1, (3.5)
и в силу знакового условия, которому должно удовлетворять y′, имеем
α0ν1πω(t) < 0,
т. е. α0 должно быть выбрано так, чтобы выполнялось первое из неравенств (2.7). Также
замечаем, что Y0 для данного y равно ±∞.
Далее, из (3.4) находим
−α0J0(t) = Φ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1) ,
откуда в результате дифференцирования получаем
−α0p0(t)πω(t) =
1
ϕ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
(
− α0c0
πω(t)
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
358 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
Из этого соотношения следует, что
p0(t) =
c0
π2
ω(t)ϕ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
. (3.6)
Учитывая предыдущие соотношения, нетрудно убедиться в том, что для данной функ-
ции p0(t) выполняются второе из неравенств (2.7) и условия (2.8). Кроме того, для нее c
использованием правила Лопиталя имеем
lim
t↑ω
πω(t)J ′0(t)
J0(t)
= lim
t↑ω
c0
ϕ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
−α0Φ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
=
= lim
t↑ω
α0c0ϕ
′ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
ϕ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
. (3.7)
Итак, для случая, когда Y0 = ±∞ и α0 удовлетворяет первому из неравенств (2.7),
построена функция p0 вида (3.6), при которой дифференциальное уравнение (3.1) имеет
Pω(Y0, 0)-решение вида (3.5). В этом нетрудно убедиться и непосредственной подстанов-
кой функции (3.5) в дифференциальное уравнение (3.1). При этом в зависимости от зна-
чений предела (3.7) на основании теоремы 2.2 может быть решен для уравнения (3.1) и
вопрос о количестве Pω(Y0, 0)-решений c асимптотическими при t ↑ ω представлениями
вида
y(t) = −α0c0 ln |πω(t)|+ c1 +
ϕ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
ϕ′ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
o(1), (3.8)
y′(t) = − α0c0
πω(t)
[1 + o(1)]. (3.9)
Теперь вместо дифференциального уравнения (3.1) рассмотрим уравнение
y′′ = α0p0(t)[1 + r(t)[ϕ(y), (3.10)
в котором α0 удовлетворяет первому из неравенств (2.7), функция p0 определяется фор-
мулой (3.6), r : [a, ω[−→]− 1,+∞[ непрерывна и такова, что limt↑ω r(t) = 0, Y0 = ±∞.
Тогда для функции p(t) = p0(t)[1 + r(t)] выполняется второе из неравенств (2.7) и
условия (2.8).
В этом случае из теорем 2.2 – 2.4 следует, что для уравнения (3.10) в зависимости от
значения предела
lim
t↑ω
ϕ′ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
ϕ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
= γ0
имеют место c учетом знака ϕ′ следующие утверждения.
1. Пусть γ0 = const. Тогда: а) если αµ0 > 0, то уравнение (3.10) имеет однопарамет-
рическое семейство Pω(Y0, 0)-решений, допускающих при t ↑ ω асимптотические пред-
ставления (3.8), (3.9); б) если α0µ0 < 0, то при ω < +∞ уравнение (3.10) имеет дву-
параметрическое семейство Pω(Y0, 0)- решений, допускающих при t ↑ ω асимптотические
представления (3.8), (3.9), а при ω = +∞— по крайней мере одно такое решение.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ . . . 359
2. Пусть γ0 = ±∞ и существует конечный или равный ±∞ второй из пределов (2.17).
Тогда: a) если αµ0 > 0, то уравнение (3.10) имеет однопараметрическое семейство
Pω(Y0, 0)-решений, допускающих при t ↑ ω асимптотические представления (3.8), (3.9),
причем таких, производная которых удовлетворяет асимптотическому соотношению
y′(t) = − α0c0
πω(t)
[
1 + |E0(t)|−
1
2 o(1)
]
при t ↑ ω,
где
E0(t) =
c0ϕ
′ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
ϕ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
;
б) если αµ0 < 0 и выполняются условия
lim
t↑ω
h0(t)|E0(t)|
1
2
t∫
t0
|E0(τ)|
1
2 dτ
|πω(τ)|
= 0, lim
t↑ω
r(t)
t∫
t0
|E0(τ)|
1
2 dτ
|πω(τ)|
2
= 0,
lim
t↑ω
∫ t
t0
|E0(τ)|
1
2 dτ
|πω(τ)|
|E0(t)|
1
2
= 0,
где t0 — некоторое число из промежутка [a, ω[ и
h0(t) =
(
ϕ′(y)
ϕ(y)
)′
(
ϕ′(y)
ϕ(y)
)2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y=−α0c0 ln |πω(t)|+c1
,
то уравнение (3.10) имеет по крайней мере одно Pω(Y0, 0)-решение, допускающее при
t ↑ ω асимптотические представления
y(t) = −α0c0 ln |πω(t)|+ c1 +
ϕ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
ϕ′ (−α0c0 ln |πω(t)|+ c1)
t∫
t0
|E0(τ)|
1
2 dτ
πω(τ)
−1
o(1),
y′(t) = − α0c0
πω(t)
1 + |E0(t)|−
1
2
t∫
t0
|E0(τ)|
1
2 dτ
|πω(τ)|
−1
o(1)
.
4. Выводы. В настоящей работе получены результаты, существенно дополняющие
полученные ранее в [2] относительно существования и асимптотики Pω(Y0, 0)-решений
дифференциального уравнения (1.1) с быстро меняющейся нелинейностью. Кроме того,
построены примеры уравнений вида (1.1), которые заведомо допускают Pω(Y0, 0)-реше-
ния, и во всех возможных случаях приведены асимптотические представления для таких
решений и их производных первого порядка.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
360 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
Литература
1. Marić V. Regular variation and differential equations // Lect. Notes Math. — 2000. — 1726, — 128 p.
2. Евтухов В. М., Черникова А. Г. Асимптотика медленно меняющихся решений обыкновенных дву-
членных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью // Не-
лiнiйнi коливання. — 2016. — 19, № 4. — С. 466 – 483.
3. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985. — 144 с.
4. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений ве-
щественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. —
2010. — 62, № 1. — С. 52 – 80.
5. Евтухов В. М. Об исчезающих на бесконечности решениях неавтономных систем квазилинейных
дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39, № 4. – С. 441 – 452.
Получено 16.01.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
|