Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной

Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной

Обґрунтовано можливiсть застосування схiдчастої схеми усереднення до багатозначних диференцiальних рiвнянь з узагальненою похiдною.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2017
1. Verfasser: Скрипник, Н.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2017
Schriftenreihe:Нелінійні коливання
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177313
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 391-400 — Бібліогр.: 67 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-177313
record_format dspace
spelling irk-123456789-1773132021-02-15T01:26:48Z Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной Скрипник, Н.В. Обґрунтовано можливiсть застосування схiдчастої схеми усереднення до багатозначних диференцiальних рiвнянь з узагальненою похiдною. We substantiate applicability of the three-step averaging scheme to multivalued differential equations with generalized derivative. 2017 Article Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 391-400 — Бібліогр.: 67 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177313 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Обґрунтовано можливiсть застосування схiдчастої схеми усереднення до багатозначних диференцiальних рiвнянь з узагальненою похiдною.
format Article
author Скрипник, Н.В.
spellingShingle Скрипник, Н.В.
Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной
Нелінійні коливання
author_facet Скрипник, Н.В.
author_sort Скрипник, Н.В.
title Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной
title_short Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной
title_full Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной
title_fullStr Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной
title_full_unstemmed Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной
title_sort схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2017
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177313
citation_txt Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 391-400 — Бібліогр.: 67 назв. — рос.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT skripniknv shemastupenčatogousredneniâdlâmnogoznačnyhdifferencialʹnyhuravnenijsobobŝennojproizvodnoj
first_indexed 2025-07-15T15:21:38Z
last_indexed 2025-07-15T15:21:38Z
_version_ 1837726851102932992
fulltext УДК 517.9 СХЕМА СТУПЕНЧАТОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОБОБЩЕННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Н. В. Скрипник Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова ул. Дворянская, 2, Одесса, 65082, Украина e-mail: talie@ukr.net We substantiate applicability of the three-step averaging scheme to multivalued differential equations with generalized derivative. Обґрунтовано можливiсть застосування схiдчастої схеми усереднення до багатозначних дифе- ренцiальних рiвнянь з узагальненою похiдною. 1. Введение. При развитии теории многозначных отображений возник вопрос о том, что понимать под производной от многозначного отображения. Основной причиной, по ко- торой возникают трудности при введении данного понятия, является нелинейность прост- ранства comp (Rn) , что влечет за собой отсутствие операции вычитания. В работе [1] M. Hukuhara ввел интеграл и производную для многозначных отображе- ний и рассмотрел как они связаны между собой. Затем T. F. Bridgland [2] ввел Huygens- производную, Ю. Н. Тюрин [3] и H. T. Banks, M. Q. Jacobs [4] — π-производную, которая использует теорему вложения Радстрема [5], А. В. Плотников [6, 7] — T -производную, А. Н. Витюк [8] — дробную производную для многозначных отображений, B. Bede, S. G. Gal [16] — обобщенную производную для интервальных отображений, а А. В. Плотников и Н. В. Скрипник [10] — обобщенную производную для многозначных отображений. В дальнейшем свойства этих производных рассматривались в работах [7, 11 – 18]. В 1969 г. F. S. de Blasi и F. Iervolino рассмотрели дифференциальные уравнения с произ- водной Хукухары [11]. В дальнейшем многие авторы изучали свойства решений таких уравнений [7, 15, 18 – 23], интегро-дифференциальные уравнения [24, 25], уравнения выс- ших порядков [26], импульсные [15, 18] и управляемые [27, 28, 57] уравнения с производ- ной Хукухары, а также дифференциальные включения с производной Хукухары [7, 30]. Впоследствии рассматривались также дифференциальные уравнения с π-производной [12, 18, 31] и T -производной [6, 7], интервальные уравнения с обобщенной производной [16, 17] и многозначные уравнения с обобщенной производной [10, 32]. Рассмотрим многозначное дифференциальное уравнение с обобщенной производной DX h Φ(−φ(t))F1(t,X) = Φ(φ(t))F2(t,X), X(t0) = X0, (1) где t ∈ [t0, T ], X0 ∈ conv (Rn) , X : [t0, T ] → conv (Rn) , F1, F2 : [t0, T ] × conv (Rn) → → conv (Rn) — многозначные отображения, φ : [t0, T ] → R1 — непрерывная функция, Φ(φ) = { 1, φ > 0, 0, φ ≤ 0. c© Н. В. Скрипник, 2017 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3 391 392 Н. В. СКРИПНИК Определение 1 [10, 32]. Многозначное отображениеX : [t0, T ] → conv (Rn) называет- ся решением дифференциального уравнения (1), если оно непрерывно и на любом отрез- ке [τi, τi+1] ⊂ [t0, T ], где функция φ(·) на интервале (ti, ti+1) имеет постоянный знак, удовлетворяет интегральному уравнению X(t) + t∫ τi Φ(−φ(s))F1(s,X(s))ds = X(τi) + t∫ τi Φ(φ(s))F2(s,X(s))ds. (2) Если на интервале (τi, τi+1) функция φ(t) > 0, то X(·) удовлетворяет интегральному уравнению X(t) = X(τi) + t∫ τi F2(s,X(s))ds для t ∈ [τi, τi+1] и diam (X(t)) является возрастающей функцией. Если на интервале (τi, τi+1) функция φ(t) < 0, то X(·) удовлетворяет интегральному уравнению X(τi) = X(t) + t∫ τi F1(s,X(s))ds, т. е. X(t) = X(τi) h t∫ τi F1(s,X(s))ds для t ∈ [τi, τi+1] и diam (X(t)) является убывающей функцией. Если на отрезке [τi, τi+1] функция φ(t) = 0, то X(t) = X(τi) для t ∈ [τi, τi+1] и diam (X(t)) является постоянной функцией. Таким образом, имеет место другое эквивалентное определение решение уравне- ния (1). Определение 2 [10, 32]. Многозначное отображениеX : [t0, T ] → conv (Rn) называет- ся решением дифференциального уравнения (1), если оно абсолютно непрерывно, удов- летворяет уравнению (1) почти всюду на [t0, T ] и diamX(t) возрастает, если φ(t) > 0, постоянный, если φ(t) = 0, и убывает, если φ(t) < 0. В [37] рассмотрены вопросы существования решения уравнения (1) в общем случае, а также в двух частных случаях: conv ( R1 ) и CC (Rn) , n ≥ 2. Методы усреднения в сочетании с асимптотическими представлениями (в смысле Пу- анкаре) применяются как основной конструктивный инструмент при решении сложных проблем аналитической динамики, описываемых дифференциальными уравнениями. Это стало возможным благодаря работам Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова [38], Ю. А. Мит- ропольского [39 – 41], А. М. Самойленко [18, 42], В. М. Волосова [43], Е. А. Гребенникова [44], М. А. Красносельского, С. Г. Крейна [45], А. Н. Филатова [46, 47] и др. Возможность применения метода усреднения к задачам оптимального управления рассмотрена в ра- ботах Н. Н. Моисеева [48, 49], Ф. Л. Черноусько, Л. Д. Акуленко, Б. Н. Соколова [50], В. А. Плотникова [51, 52] и др. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3 СХЕМА СТУПЕНЧАТОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ . . . 393 Впоследствии в роботах [7, 15, 18, 51 – 67] идея метода усреднения была распростра- нена на дифференциальные уравнения с многозначной и разрывной правой частью, ква- зидифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения и включения с произ- водной Хукухары. В данной статье мы рассмотрим возможность применения ступенчатой схемы усред- нения к многозначным дифференциальным уравнениям с обобщенной производной. 2. Основные результаты. Рассмотрим многозначное дифференциальное уравнение с обобщенной производной и малым параметром DX h Φ(−φ(t))εF1(t,X) = Φ(φ(t))εF2(t,X), X(0) = X0, (3) где t ∈ R+, ε > 0− малый параметр, X0 ∈ conv (Rn) , X : R+ → conv (Rn) , F1, F2 : R+ × × conv (Rn) → conv (Rn) — многозначные отображения, φ : R+ → R1 — непрерывная функция, Φ(φ) = { 1, φ > 0, 0, φ ≤ 0. Обозначим через sj , j = 1, 2, . . . , нули функции φ(·), в левой или/и правой окрестнос- ти которых данная функция не равна тождественно 0. Будем считать, что точки sj зану- мерованы в возрастающем порядке, т. е. sj+1 > sj , j = 1, 2, . . . . Также будем предполагать, что единственной точкой сгущения (если такова имеется) точек sj , j = 1, 2, . . . , является +∞.Тогда существует положительная постоянная σ такая, что sj+1 − sj ≥ σ, j = 1, 2, . . . . Разобьем полуось R+ с шагом ω > 0 точками ti = iω, i = 1,∞. Рассмотрим множест- во точек Σ, состоящее из точек {sj} и {ti}, и занумеруем их в возрастающем порядке: {τk}∞k=1. Тогда 0 < τk+1 − τk ≤ ω. Введем в рассмотрение многозначные отображения F̄m(t,X) =  1 τk+1 − τk τk+1∫ τk Fm(s,X) ds, t ∈ (τk, τk+1]  , m = 1, 2. (4) Уравнению (3) поставим в соответствие частично усредненное уравнение DY h Φ(−φ(t))εF̄1(t, Y ) = Φ(φ(t))εF̄2(t, Y ), Y (0) = X0. (5) Имеет место следующая теорема, устанавливающая близость решений систем (3) и (5) на асимптотически большом промежутке. Теорема 1. Пусть в области Q = {(t,X) : t ∈ R+, X ∈ D ⊂ conv (Rn)} выполнены следующие условия: 1) многозначные отображения F1(t,X), F2(t,X) непрерывны, ограничены постоян- ной M и удовлетворяют условию Липшица по X с постоянной λ; 2) решение Y (·) уравнения (5) с начальным условием Y (0) = X0 ∈ D′ ⊂ D определено при t ∈ R+ для всех ε > 0 и лежит с некоторой ρ-окрестностью в области D. Тогда для любого L > 0 найдутся такие ε0(L) > 0 и C(L) > 0, что для любого ε ∈ (0, ε0] для всех t ∈ [0, Lε−1] справедлива оценка h(X(t), Y (t)) ≤ Cε, где X(·) и Y (·) —решения систем (3) и (5) с начальным условием X(0) = Y (0) ∈ D′. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3 394 Н. В. СКРИПНИК Доказательство. Вначале покажем, что многозначные отображения F̄m(t,X), m = = 1, 2, ограничены постоянной M и удовлетворяют условию Липшица с постоянной λ. При t ∈ (τk, τk+1] имеем |F̄m(t,X)| = ∣∣∣∣∣∣ 1 τk+1 − τk τk+1∫ τk Fm(s,X)ds ∣∣∣∣∣∣ ≤ 1 τk+1 − τk τk+1∫ τk |Fm(s,X)|ds ≤ ≤ 1 τk+1 − τk τk+1∫ τk M ds = M, h(F̄m(t,X), F̄m(t, Y )) = h  1 τk+1 − τk τk+1∫ τk Fm(s,X)ds, 1 τk+1 − τk τk+1∫ τk Fm(s, Y )ds  ≤ ≤ 1 τk+1 − τk τk+1∫ τk h(Fm(s,X), Fm(s, Y ))ds ≤ ≤ 1 τk+1 − τk τk+1∫ τk λh(X,Y ) ds ≤ λh(X,Y ). Обозначим δk = h(X(τk), Y (τk)).Пусть t ∈ (τk, τk+1].Тогда функция φ(·) на промежут- ке (τk, τk+1) либо отрицательна, либо положительна, либо тождественно равна 0. 1. Пусть φ(·) на промежутке (τk, τk+1) отрицательна, тогда X(t) = X(τk) h ε t∫ τk F1(s,X(s))ds, Y (t) = Y (τk) h ε t∫ τk F̄1(s, Y (s))ds. Имеем δk+1 = h(X(τk+1), Y (τk+1)) = = h X(τk) h ε τk+1∫ τk F1(s,X(s)) ds, Y (τk) h ε τk+1∫ τk F̄1(s, Y (s)) ds  ≤ ≤ δk + εh  τk+1∫ τk F1(s,X(s)) ds, τk+1∫ τk F̄1(s, Y (s))ds  ≤ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3 СХЕМА СТУПЕНЧАТОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ . . . 395 ≤ δk + εh  τk+1∫ τk F1(s,X(s)) ds, τk+1∫ τk F1(s, Y (s)) ds + + εh  τk+1∫ τk F1(s, Y (s)) ds, τk+1∫ τk F̄1(s, Y (s)) ds  . Учитывая условие Липшица и ограниченность отображений Fm(·, ·), m = 1, 2, оцениваем второе слагаемое: εh  τk+1∫ τk F1(s,X(s)) ds, τk+1∫ τk F1(s, Y (s)) ds  ≤ ≤ ε τk+1∫ τk h(F1(s,X(s)), F1(s, Y (s))) ds ≤ ελ τk+1∫ τk h(X(s), Y (s)) ds ≤ ≤ ελ τk+1∫ τk [h(X(s), X(τk)) + h(X(τk), Y (τk)) + h(Y (τk), Y (s))] ds ≤ ≤ ελ τk+1∫ τk [2εM(s− τk) + δk] ds ≤ ελ [ Mω2ε+ δkω ] . Для третьего слагаемого c учетом (4) имеем εh  τk+1∫ τk F1(s, Y (s)) ds, τk+1∫ τk F̄1(s, Y (s)) ds  ≤ ≤ εh  τk+1∫ τk F1(s, Y (s)) ds, τk+1∫ τk F1(s, Y (τk)) ds + + εh  τk+1∫ τk F1(s, Y (τk)) ds, τk+1∫ τk F̄1(s, Y (τk))ds + + εh  τk+1∫ τk F̄1(s, Y (τk)) ds, τk+1∫ τk F̄1(s, Y (s))ds  ≤ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3 396 Н. В. СКРИПНИК ≤ ε τk+1∫ τk h(F1(s, Y (s)), F1(s, Y (τk)))ds+ ε τk+1∫ τk h(F̄1(s, Y (s)), F̄1(s, Y (τk))) ds ≤ ≤ 2ελ τk+1∫ τk h(Y (s), Y (τk)) ds ≤ 2ελ τk+1∫ τk εM(s− τk) ds ≤ Mε2λω2. Тогда δk+1 ≤ δk + ελ [ Mω2ε+ δkω ] +Mε2λω2 = (1 + ελω)δk + 2Mε2λω2. 2. Пусть φ(·) на промежутке (τk, τk+1) положительна, тогда X(t) = X(τk) + ε t∫ τk F2(s,X(s)) ds, Y (t) = Y (τk) + ε t∫ τk F̄2(s, Y (s)) ds. Имеем δk+1 = h(X(τk+1), Y (τk+1)) = = h X(τk) + ε τk+1∫ τk F2(s,X(s)) ds, Y (τk) + ε τk+1∫ τk F̄2(s, Y (s))ds  ≤ ≤ δk + εh  τk+1∫ τk F2(s,X(s)) ds, τk+1∫ τk F̄2(s, Y (s)) ds  ≤ ≤ δk + εh  τk+1∫ τk F2(s,X(s)) ds, τk+1∫ τk F2(s, Y (s)) ds + + εh  τk+1∫ τk F2(s, Y (s)) ds, τk+1∫ τk F̄2(s, Y (s)) ds  . Проводя рассуждения, аналогичные случаю 1, получаем δk+1 ≤ (1 + ελω)δk + 2Mε2λω2. 3. Пусть φ(·) на промежутке (τk, τk+1) тождественно равна 0. Тогда δk+1 = δk. В любом из трех рассмотренных случаев имеем δk+1 ≤ (1 + ελω)δk + 2Mε2λω2. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3 СХЕМА СТУПЕНЧАТОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ . . . 397 Тогда, учитывая, что количество точек k + 1 не превышает сумму числа точек после- довательности {ti} и числа точек {sj} на промежутке [0, Lε−1], т. е. величину L εω + L εσ , получаем δk+1 ≤ (1 + ελω)k+1δ0 + [ (1 + ελω)k + . . .+ 1 ] 2Mε2λω2 = = (1 + ελω)k+1 − 1 ελω 2Mε2λω2 = = ( (1 + ελω)k+1 − 1 ) 2Mεω ≤ 2Mωe(k+1)ελωε ≤ ≤ 2Mω ( eλL(1+ω σ ) − 1 ) ε. Окончательно имеем h(X(t), Y (t)) ≤ h(X(t), X(τk)) + h(X(τk), Y (τk)) + h(Y (τk), Y (t)) ≤ ≤ 2Mω ( eλL(1+ω σ ) − 1 ) ε+ 2Mωε = 2MωeλL(1+ω σ )ε = Cε. Теорема доказана. Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение с обобщенной производной DX h Φ(− sin(t))εS1+cos(t)(0) = Φ(sin(t))εS2 sin2(t)(0), X(0) = S1(0). Частично усредненное уравнение с ω = π имеет вид DY h Φ(− sin(t))εS1(0) = Φ(sin(t))εS1(0), Y (0) = S1(0). Его решением является Y (t) = { S1+εt(0), t ∈ [0, π), S1+2επ−εt(0), t ∈ [π, 2π), а далее продолжаем периодически. В силу доказанной теоремы решение исходного уравненияX(t) отличается в метрике Хаусдорфа от найденного не более чем на величину 2πε. Литература 1. Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe // Funkc. ekvacioj. — 1967. — № 10. — P. 205 – 223. 2. Bridgland T. F. Trajectory integrals of set valued functions // Pacif. J. Math. — 1970. — 33, № 1. — P. 43 – 68. 3. Тюрин Ю. Н. Математическая формулировка упрощенной модели производственного планирования // Эконом. и мат. методы. — 1965. — 1, № 3. — С. 391 – 409. 4. Banks H. T., Jacobs M. Q. A differential calculus for multifunctions // J. Math. Anal. and Appl. — 1970. — № 29. — P. 246 – 272. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3 398 Н. В. СКРИПНИК 5. Radstrom H. An embedding theorem for spaces of convex sets // Proc. Amer. Math. Soc. — 1952. — № 3. — P. 165 – 169. 6. Плотников А. В. Дифференцирование многозначных отображений. T -производная // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 8. — С. 1119 – 1126. 7. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью. Асимптотические методы. — Одесса: АстроПринт, 1999. — 354 с. 8. Витюк А. Н. Дробное дифференцирование многозначных отображений // Доп. НАН України. — 2003. — № 10. — С. 75 – 78. 9. Bede B., Stefanini L. Generalized Hukuhara differentiability of interval-valued functions and interval dif- ferential equations // Working Papers. — Univ. Urbino Carlo Bo, 2008. 10. Plotnikov A. V., Skripnik N. V. Set-valued differential equations with generalized derivative // J. Adv. Res. Pure Math. — 2011. — 3, № 1. — P. 144 – 160. 11. de Blasi F. S., Iervolino F. Equazioni differentiali con soluzioni a valore compatto convesso // Boll. Unione mat. ital. — 1969. — 2, № 4 – 5. — P. 491 – 501. 12. Chalco-Cano Y., Romin-Flores H., Jiminez-Gamero M. D. Generalized derivative and π-derivative for set- valued functions // Inf. Sci. — 2011. — 181, № 1. — P. 2177 – 2188. 13. Lasota A., Strauss A. Asymptotic behavior for differential equations which cannot be locally linearized // J. Different. Equat. — 1971. — № 10. — P. 152 – 172. 14. Martelli M., Vignoli A. On differentiability of multi-valued maps // Boll. Unione mat. ital. — 1974. — 4, № 10. — P. 701 – 712. 15. Плотников А. В., Скрипник Н. В. Дифференциальные уравнения с четкой и нечеткой многозначной правой частью. Асимптотические методы. — Одесса: АстроПринт, 2009. — 192 с. 16. Bede B., Gal S. G. Generalizations of the differentiability of fuzzy-number-valued functions with applications to fuzzy differential equations // Fuzzy Sets Syst. — 2005. — № 151. — P. 581 – 599. 17. Stefanini L., Bede B. Generalized Hukuhara differentiability of interval-valued functions and interval di- fferential equations // Nonlinear Anal.: Theory, Methods and Appl. Ser. A. — 2009. — 71, № 3 – 4. — P. 1311 – 1328. 18. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциаль- ные уравнения с многозначной и разрывной правой частью. — Киев: Ин-т математики НАН Украи- ны, 2007. — 428 с. 19. de Blasi F. S., Iervolino F. Euler method for differential equations with set-valued solutions // Boll. Unione mat. ital. — 1971. — 4, № 4. — P. 941 – 949. 20. Brandao Lopes Pinto A. J., de Blasi F. S., Iervolino F. Uniqueness and existence theorems for differential equations with compact convex valued solutions // Boll. Unione mat. ital. — 1970. — № 4. — P. 534 – 538. 21. Lakshmikantham V., Granna Bhaskar T., Vasundhara Devi J. Theory of set differential equations in metric spaces. — Cambridge Sci. Publ., 2006. 22. Lakshmikantham V., Mohapatra R. N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions. — London: Taylor & Francis, 2003. 23. Комлева Т. А., Плотников А. В., Скрипник Н. В. Дифференциальные уравнения с многозначными решениями // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 10. — С. 1326 – 1337. 24. Плотников А. В., Тумбрукаки А. В. Интегро-дифференциальные уравнения с многозначными тра- екториями // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 3. — С. 359 – 367. 25. Plotnikov A. V., Komleva T. A. Averaging of set integrodifferential equations // Appl. Math. — 2011. — 1, № 2. — P. 99 – 105. 26. Piszczek M. On a multivalued second order differential problem with Hukuhara derivative // Opusc. Math. — 2008. — 28, № 2. — P. 151 – 161. 27. Арсирий А. В., Плотников А. В. Системы управления многозначными траекториями с многознач- ным критерием качества // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 8. — С. 1142 – 1147. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3 СХЕМА СТУПЕНЧАТОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ . . . 399 28. Plotnikov A. V., Arsirii A. V. Piecewise constant control set systems // Amer. J. Comput. and Appl. Math. — 2011. — 1, № 2. — P. 89 – 92. 29. Плотников В. А., Кичмаренко О. Д. Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары // Нелiнiйнi коливання. — 2006. — 9, № 3. — С. 376 – 385. 30. de Blasi F. S., Lakshmikantham V., Gnana Bhaskar T. An existence theorem for set differential inclusions in a semilinear metric space // Control Cybernet. — 2007. — 36, № 3. — P. 571 – 582. 31. Плотникова Н. В. Системы линейных дифференциальных уравнений с π-производной и линейные дифференциальные включения // Мат. сб. — 2005. — 196, № 11. — С. 127 – 140. 32. Plotnikov A., Skripnik N. Existence and uniqueness theorems for generalized set differential equations // Int. J. Control Sci. Eng. — 2012. — 2, № 1. — P. 1 – 6. 33. Плотникова Н. В. Аппроксимация пучка решений линейных дифференциальных включений // Не- лiнiйнi коливання. — 2006. — 9, № 3. — С. 386 – 400. 34. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. — Новосибирск: Нау- ка, 1986. — 296 с. 35. Filippov A. F. Differential equations with discontinuous righthand sides. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. Group, 1988. 36. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физмат- лит, 2004. — 416 с. 37. Плотников А. В., Скрипник Н. В. Многозначные дифференциальные уравнения с обобщенной про- изводной // Укр. мат. журн. — 2013. — 65, № 10. — С. 1350 – 1362. 38. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937. — 363 с. 39. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колеба- ний. — М.: Наука, 1974. — 503 с. 40. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наук. думка, 1971. — 440 с. 41. Митропольский Ю. А., Хома Г. Л. Математическое обоснование асимптотических методов нелиней- ной механики. — Киев: Наук. думка, 1983. — 216 с. 42. Самойленко А. М. Метод усреднения в системах с толчками // Мат. физика. — 1971. — Вып. 9. — С. 101 – 117. 43. Волосов В. Н. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. — 1962. — № 6. — С. 3 – 126. 44. Гребенников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. — М.: Наука, 1986. — 256 с. 45. Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // Успехи мат. наук. — 1955. — 10, № 3(65). — С. 147 – 152. 46. Филатов А. Н. Усреднение в системах дифференциальных и интегро-дифференциальных уравне- ний. — Ташкент: Фан, 1971. — 280 с. 47. Филатов А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. — Ташкент: Фан, 1974. — 216 с. 48. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. — М.: Наука, 1975. — 528 с. 49. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1981. — 400 с. 50. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. — М.: Наука, 1980. — 384 с. 51. Плотников В. А. Асимптотические методы в задачах оптимального управления. — Одесса: Одес. гос. ун-т, 1976. — 103 с. 52. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. — Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. — 187 с. 53. Плотников А. В. Усреднение дифференциальных включений с производной Хукухары // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 1. — С. 121 – 125. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3 400 Н. В. СКРИПНИК 54. Плотников А. В., Скрипник Н. В. Обзор результатов // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика i механi- ка. — 2010. — 15, вип. 18. — С. 71 – 87. 55. Плотников В. А. Метод усреднения для дифференциальных включений и его приложение к задачам оптимального управления // Дифференц. уравнения. — 1979. — № 8. — С. 1427 – 1433. 56. Плотников В. А. Усреднение дифференциальных включений // Укр. мат. журн. — 1979. — 31, № 5. — С. 573 – 576. 57. Плотников В. А., Кичмаренко О. Д. Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары // Нелiнiйнi коливання. — 2006. — 9, № 3. — С. 376 – 385. 58. Плотников В. А., Кичмаренко О. Д. Усреднение уравнений с производной Хукухары, многозначным управлением и запаздыванием // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика i механiка. — 2007. — 12, вип. 7. — С. 130 – 139. 59. Скрипник Н. В. Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10, № 3. — С. 416 – 432. 60. Скрипник Н. В. Теорема Красносельского – Крейна для дифференциальных уравнений и включений с многозначными решениями // Вiсн. Харкiв. нац. ун-ту. Математика, прикл. математика i механiка. — 2008. — № 826. — С. 87 – 99. 61. Скрипник Н. В. Усереднення iмпульсних диференцiальних рiвнянь з похiдною Хукухари // Вiсн. Чер- нiв. нац. ун-ту iм. Ю. Федьковича. — 2008. — Вип. 374. — С. 109 – 115. 62. Kisielewicz M. Method of averaging for differential equations with compact convex valued solutions // Rend. Math. — 1976. — 9, № 3. — P. 397 – 408. 63. Klimchuk S., Plotnikov A., Skripnik N. Overview of V. A. Plotnikov’s research on averaging of differential inclusions // Physica D. — 2012. — 241, № 22. — P. 1932 – 1947. 64. Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential equations with impulse effects: multivalued right-hand sides with discontinuities // De Gruyter Stud. Math. — Berlin; Boston: Walter De Gruyter GmbHCo., 2011. — 307 p. 65. Plotnikov A. V., Skripnik N. V. Generalized set differential equations // Совр. пробл. математики и ее при- ложения в естественных науках и информ. технологиях: Сб. тез. докл. междунар. конф. — Харьков: Апостроф, 2012. — C. 14. 66. Plotnikov V. A., Kichmarenko O. D. Averaging of differential equations with maxima // Vestn. Chernov. Univ. — 2002. — 150. — P. 78 – 82. 67. Plotnikov V. A., Rashkov P. I. Averaging in differential equations with Hukuhara derivative and delay // Funct. Different. Equat. — 2001. — № 8. — P. 371 – 381. Получено 10.11.16 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3

Ähnliche Einträge