Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з швидко та правильно змінними нелінійностями
Получены асимптотические представления решений одного класса дифференциальных уравнений второго порядка с быстро и правильно меняющимися нелинейностями.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177321 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з швидко та правильно змінними нелінійностями / О.О. Чепок // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 549-563 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177321 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773212021-02-15T01:26:51Z Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з швидко та правильно змінними нелінійностями Чепок, О.О. Получены асимптотические представления решений одного класса дифференциальных уравнений второго порядка с быстро и правильно меняющимися нелинейностями. We find asymptotic representations for solutions of a certain class of second order differential equations with rapidly and regularly varying nonlinearities. 2017 Article Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з швидко та правильно змінними нелінійностями / О.О. Чепок // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 549-563 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177321 517.925 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены асимптотические представления решений одного класса дифференциальных уравнений второго порядка с быстро и правильно меняющимися нелинейностями. |
| format |
Article |
| author |
Чепок, О.О. |
| spellingShingle |
Чепок, О.О. Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з швидко та правильно змінними нелінійностями Нелінійні коливання |
| author_facet |
Чепок, О.О. |
| author_sort |
Чепок, О.О. |
| title |
Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з швидко та правильно змінними нелінійностями |
| title_short |
Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з швидко та правильно змінними нелінійностями |
| title_full |
Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з швидко та правильно змінними нелінійностями |
| title_fullStr |
Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з швидко та правильно змінними нелінійностями |
| title_full_unstemmed |
Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з швидко та правильно змінними нелінійностями |
| title_sort |
асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з швидко та правильно змінними нелінійностями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177321 |
| citation_txt |
Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з швидко та правильно змінними нелінійностями / О.О. Чепок // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 549-563 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT čepokoo asimptotičnízobražennârozvâzkívdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdkuzšvidkotapravilʹnozmínniminelíníjnostâmi |
| first_indexed |
2025-07-15T15:22:09Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:22:09Z |
| _version_ |
1837726884319723520 |
| fulltext |
УДК 517.925
АСИМПТОТИЧНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
З ШВИДКО ТА ПРАВИЛЬНО ЗМIННИМИ НЕЛIНIЙНОСТЯМИ
О. О. Чепок
Одес. нац. ун-т iм. I. I. Мечникова
вул. Дворянська, 2, Одеса, 65026, Україна
We find asymptotic representations for solutions of a certain class of second order differential equations
with rapidly and regularly varying nonlinearities.
Получены асимптотические представления решений одного класса дифференциальных уравне-
ний второго порядка с быстро и правильно меняющимися нелинейностями.
1. Постановка задачi та формулювання основних результатiв. Диференцiальнi рiвнян-
ня другого порядку, що мiстять у правiй частинi як степеневi, так i експоненцiальнi не-
лiнiйностi, вiдiграють важливу роль у розвитку якiсної теорiї диференцiальних рiвнянь.
Такi рiвняння також мають безлiч застосувань на практицi. Це вiдбувається, наприклад,
при вивченнi розподiлу електростатичного потенцiалу в цилiндричному об’ємi плазми
продуктiв згоряння. Вiдповiдне рiвняння можна звести до такого:
y′′ = α0p(t)e
σy
∣∣y′∣∣λ .
У роботах В. М. Євтухова та Н. Г. Дрiк (див., наприклад, [1]) при деяких умовах на функ-
цiю p отримано результати про асимптотичну поведiнку всiх правильних розв’язкiв цього
рiвняння. Далi почали розглядати диференцiальнi рiвняння, якi мiстять у правiй частинi
бiльш широкий клас функцiй, нiж експоненцiальнi, — швидко змiннi функцiї.
Диференцiальне рiвняння
y′′ = α0p(t)ϕ(y)
зi швидко змiнною функцiєю ϕ було розглянуто у роботi В. М. Євтухова та В. М. Харкова
[2]. Але у данiй роботi введений клас розв’язкiв рiвняння залежить вiд функцiї ϕ, що не є
зручним для практичного використання.
Природним узагальненням попереднiх дослiджень є розгляд диференцiального рiв-
няння
y′′ = α0p(t)ϕ0(y)ϕ1(y′), (1.1)
де α0 ∈ {−1; 1}, p : [a, ω[→]0,+∞[, −∞ < a < ω ≤ +∞, ϕi : ∆Yi →]0,+∞[, i ∈ {0, 1}, є
неперервними функцiями, Yi ∈ {0,±∞},∆Yi — або промiжок
[
y0
i , Yi
[1
, або
]
Yi, y
0
i
]
. Крiм
того, будемо вважати, що функцiя ϕ1 є правильно змiнною при y → Y1 (y ∈ ∆Y1) порядку
1 При Yi = +∞ (Yi = −∞) вважаємо, що y0
i > 0 (y0
i < 0) вiдповiдно.
c© О. О. Чепок, 2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4 549
550 О. О. ЧЕПОК
σ1 [3, c. 10 – 15], а функцiя ϕ0 — двiчi неперервно диференцiйовною, монотонною на ∆Y0
та такою, що
lim
y→Y0
y∈∆Y0
ϕ0(y) ∈ {0,+∞}, lim
y→Y0
y∈∆Y0
ϕ0(y)ϕ′′0(y)
(ϕ′0(y))2
= 1. (1.2)
Розв’язок y рiвняння (1.1), визначений на [t0, ω[⊂ [a, ω[, будемо називати Pω(Y0, Y1, λ0)-
розв’язком, якщо
y(i) : [t0, ω[−→ ∆Yi , lim
t↑ω
y(i)(t) = Yi, i = 0, 1, lim
t↑ω
(y′(t))2
y′′(t)y(t)
= λ0. (1.3)
Метою даної роботи є встановлення необхiдних та достатнiх умов iснуванняPω(Y0, Y1, λ0)-
розв’язкiв рiвняння (1.1), а також асимптотичних зображень при t ↑ ω для цих розв’язкiв
та їх похiдних першого порядку у випадках λ0 ∈ R\{0, 1}.
Введемо необхiднi для подальшого викладу позначення та означення:
πω(t) =
{
t, якщо ω = +∞,
t− ω, якщо ω < +∞, λi0 =
{
λ0 при i = 0,
1 при i = 1,
θ1(y) = ϕ1(y)|y|−σ1 ,
Φ0(y) =
y∫
A0
ω
|ϕ0(y)|
1
σ1−1 dy, A0
ω =
y0
0, якщо
∫ Y0
y0
0
|ϕ0(y)|
1
σ1−1 dy = +∞,
Y0, якщо
∫ Y0
y0
0
|ϕ0(y)|
1
σ1−1 dy < +∞,
Z0 = lim
y→Y0
y∈∆Y0
Φ0(y)
y
,
Φ1(y) =
y∫
A1
ω
Φ0(τ)
τ
dτ, A1
ω =
y0
0, якщо
∣∣∣∣∣
∫ Y0
y0
0
Φ0(τ)
τ
dτ
∣∣∣∣∣ = +∞,
Y0, якщо
∣∣∣∣∣
∫ Y0
y0
0
Φ0(τ)
τ
dτ
∣∣∣∣∣ < +∞,
Z1 = lim
y→Y0
y∈∆Y0
Φ1(y)
та у випадку, коли y0
1 lim
t↑ω
|πω(τ)|
1
λ0−1 = Y1,
I(t) = |λ0 − 1|
1
1−σ1 y0
1
t∫
B0
ω
∣∣∣πω(τ)p(τ)θ1
(
|πω(τ)|
1
λ0−1 y0
1
)∣∣∣ 1
1−σ1 dτ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 551
B0
ω =
b, якщо
∫ ω
b
∣∣∣πω(τ)p(τ)θ1
(
|πω(τ)|
1
λ0−1 y0
1
)∣∣∣ 1
1−σ1 dτ = +∞,
ω, якщо
∫ ω
b
∣∣∣πω(τ)p(τ)θ1
(
|πω(τ)|
1
λ0−1 y0
1
)∣∣∣ 1
1−σ1 dτ < +∞,
I1(t) =
t∫
B1
ω
λ0I(τ)
(λ0 − 1)πω(τ)
dτ, B1
ω =
b, якщо
∫ ω
b
λ0I(τ)
(λ0 − 1)πω(τ)
dτ = +∞,
ω, якщо
∫ ω
b
λ0|I(τ)|
(λ0 − 1)πω(τ)
dτ < +∞,
де b ∈ [a;ω[ вибрано так, щоб |πω(t))
1
λ0−1 | ∈ ∆Y1 при t ∈ [b;ω].
Зауваження 1. З умов (1.2) на функцiю ϕ0 випливає, що r0 ∈ {0,+∞} та
lim
y→Y0
y∈∆Y0
Φ′′0(y) · Φ0(y)
(Φ′0(y))2
= 1, lim
y→Y0
y∈∆Y0
Φ′′1(y) · Φ1(y)
(Φ′1(y))2
= 1.
Зауваження 2. Справедливими є такi твердження:
Φ0(y) = (σ1 − 1)
ϕ
σ1
σ1−1
0 (y)
ϕ′0(y)
[1 + o(1)] при y → Y0 (y ∈ ∆Y0),
sign
(
ϕ′0(y)Φ0(y)
)
= sign (σ1 − 1) при y ∈ ∆Y0 ,
Φ1(y) =
Φ2
0(y)
yΦ′0(y)
[1 + o(1)] при y → Y0 (y ∈ ∆Y0).
Звiдси отримуємо
sign (Φ1(y)) = y0
0 при y ∈ ∆Y0 .
Нехай Y ∈ {0,∞}, ∆Y — деякий однобiчний окiл Y. Неперервно диференцiйовна
функцiя L : ∆Y →]0; +∞[ називається нормалiзованою повiльно змiнною функцiєю при
y → Y (y ∈ ∆Y ) [3, с. 15], якщо
lim
y→Y1
y∈∆Yi
yL′(y)
L(y)
= 0. (1.4)
Говорять, що повiльно змiнна при y → Y (y ∈ ∆Y ) функцiя θ : ∆Y →]0; +∞[ задоволь-
няє умову S (див., наприклад, [6]), якщо для будь-якої нормалiзованої повiльно змiнної
при y → Y (y ∈ ∆Y ) функцiї L : ∆Y →]0; +∞[ має мiсце спiввiдношення
θ(yL(y)) = θ(y)(1 + o(1)) при y → Y (y ∈ ∆Y ).
Встановлено таку теорему.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
552 О. О. ЧЕПОК
Теорема. Нехай σ1 6= 1, функцiя θ1 задовольняє умову S. Тодi для iснування
Pω(Y0, Y1, λ0)-розв’язкiв рiвняння (1.1), де λ0 ∈ R\{0, 1}, необхiдно, а якщо мають мiсце
умови
I(t)I1(t)λ0(σ1 − 1) > 0 при t ∈ ]b, ω[, (1.5)
lim
y→Y0
y∈∆Y0
(
Φ′1(y)
Φ1(y)
)′′ (Φ′1(y)
Φ1(y)
)
((
Φ′1(y)
Φ1(y)
)′)2 = γ0, γ0 ∈ R\{1}, (1.6)
та функцiя
|πω(t)|1−
(2−γ0)λ0
(1−γ0)(λ0−1) I ′1(t)
I1(t)
є нормалiзованою повiльно змiнною при t ↑ ω, то й
достатньо виконання умов
πω(t)y0
1y
0
0λ0(λ0 − 1) > 0, πω(t)y0
1α0(λ0 − 1) > 0 при t ∈ [a;ω[, (1.7)
y0
1 lim
t↑ω
|πω(t)|
1
λ0−1 = Y1, (1.8)
lim
t↑ω
I1(t) = Z1, (1.9)
lim
t↑ω
I ′′1 (t)I1(t)
(I ′1(t))2
= 1, lim
t↑ω
I ′1(t)πω(t)
Φ′1
(
Φ−1
1 (I1(t))
)
Φ−1
1 (I1(t))
=
λ0
λ0 − 1
, lim
t↑ω
πω(t)I ′′1 (t)
I ′1(t)
= ∞. (1.10)
Бiльш того, для кожного такого розв’язку при t ↑ ω мають мiсце асимптотичнi зо-
браження
Φ1(y(t)) = I1(t)[1 + o(1)],
y′(t)Φ′1(y(t))
Φ1(y(t))
=
I ′1(t)
I1(t)
[1 + o(1)]. (1.11)
Зауваження 3. Iз другої з умов (1.10) випливає, що функцiя
|πω(t)|1−
(2−γ0)λ0
(1−γ0)(λ0−1) I ′1(t)
I1(t)
є
повiльно змiнною при t ↑ ω.
Зауваження 4. З (1.6) та (1.2) випливає, що функцiя ϕ′0(y) є швидко змiнною при y →
→ Y0 [5, с. 139] (п. 3.1.8), проте функцiя
ϕ′0(y)
ϕ0(y)
є правильно змiнною при y → Y0.
2. Доведення теореми. Необхiднiсть. Нехай y : [t0, ω[→ ∆Y0 є Pω(Y0, Y1, λ0)-розв’язком
рiвняння (1.1), де λ0 ∈ R\{0, 1}. Тодi згiдно з властивостями таких розв’язкiв, встанов-
леними В. М. Євтуховим (див., наприклад, [6]), при t ↑ ω маємо
y(i+1)(t)
y(i)(t)
=
λi0
(λ0 − 1)πω(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω, i = 0, 1, (2.1)
звiдки отримуємо (1.7).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 553
З (2.1) також випливає, що функцiя y′(t) є правильно змiнною функцiєю порядку
1
λ0 − 1
при t ↑ ω, а тому [3, c. 10] може бути записана у виглядi
y′(t) = |πω(t)|
1
λ0−1L1(t) при t ↑ ω, (2.2)
де L1(t) — повiльно змiнна при t ↑ ω функцiя. Звiдси з урахуванням властивостей пра-
вильно змiнних функцiй [3, c. 10 – 15] отримуємо (1.8).
З (1.1) та (2.1) при t ↑ ω випливає, що
|y′(t)|1−σ1sign y0
1
ϕ0(y(t))
= α0(λ0 − 1)πω(t)ϕ1(y′(t))|y′(t)|−σ1p(t)[1 + o(1)]. (2.3)
Пiдставляючи (2.2) у (2.3), при t ↑ ω одержуємо
y′(t)
|ϕ0(y(t))|
1
1−σ1
= y0
1|λ0 − 1|
1
1−σ1
∣∣∣πω(t)θ1
(
|πω(t)|
1
λ0−1L1(t)y0
1
)
p(t)
∣∣∣ 1
1−σ1 [1 + o(1)]. (2.4)
Оскiльки функцiя L1 у (2.2) є повiльно змiнною при прямуваннi аргумента до Y1, то
згiдно з умовою S, яку задовольняє функцiя θ1, з (2.4) при t ↑ ω отримуємо
y′(t)
|ϕ0(y(t))|
1
1−σ1
= y0
1|λ0 − 1|
1
1−σ1
∣∣∣πω(t)θ1
(
|πω(t)|
1
λ0−1 y0
1
)
p(t)
∣∣∣ 1
1−σ1 [1 + o(1)]. (2.5)
З (2.5) у випадку, коли
∫ ω
B0
ω
|πω(τ)θ1
(
|πω(τ)|
1
λ0−1 y0
1
)
p(τ)|
1
1−σ1 dτ = +∞, маємо
Φ0(y(t)) = I(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.6)
Якщо
∫ ω
B0
ω
|πω(τ)θ1
(
|πω(τ)|
1
λ0−1 y0
1
)
p(τ)|
1
1−σ1 dτ < +∞, то одержуємо або (2.6), або
lim
t↑ω
Φ0(y(t)) = c 6= 0. (2.7)
Покажемо, що (2.7) не може мати мiсця. З умов (1.2) та вигляду функцiї Φ0 випливає,
що
lim
t↑ω
Φ0(y(t)) ∈ {0; +∞},
а це суперечить (2.7). Таким чином, (2.6) має мiсце у будь-якому випадку.
Подiливши (2.5) на (2.6), з урахуванням (2.1) будемо мати
πω(t)y′(t)
y(t)
y(t)Φ′0(y(t))
Φ0(y(t))
=
πω(t)I ′(t)
I(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
554 О. О. ЧЕПОК
Оскiльки з умов (1.2) випливає, що функцiя Φ0(y) є швидко змiнною при y → Y0 (Y0 ∈
∈ ∆Y0), то
lim
t↑ω
πω(t)I ′(t)
I(t)
= ∞, (2.9)
звiдки випливає третя з умов (1.10).
З урахуванням (2.6) та (2.1) маємо
y′(t)Φ0(y(t))
y(t)
=
λ0I(t)
(λ0 − 1)πω(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.10)
Якщо
∫ ω
a
∣∣∣∣ I(τ)
πω(τ)
∣∣∣∣ dτ = +∞, то
Φ1(y(t)) = I1(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.11)
При
∫ ω
a
∣∣∣∣ I(τ)
πω(τ)
∣∣∣∣ dτ < +∞ аналогiчно з обґрунтуванням (2.6) переконаємось, що (2.11)
має мiсце i у цьому випадку.
Таким чином, мають мiсце перше iз зображень (1.11) та перша з умов (1.9). Pоздiливши
(2.10) на (2.11), отримаємо друге iз зображень (1.11).
Запишемо друге iз зображень (1.11) у виглядi
πω(t)y′(t)
y(t)
y(t)Φ′1(y(t))
Φ1(y(t))
=
πω(t)I ′1(t)
I1(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω,
звiдки з використанням (2.1) одержимо
λ0
λ0 − 1
y(t)Φ′1(y(t))
Φ1(y(t))
=
πω(t)I ′1(t)
I1(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.12)
З умов (1.2) на функцiю ϕ0(y(t)) та зауваження 2 випливає, що функцiя Φ1(y) є швидко
змiнною при y → Y0 (Y0 ∈ ∆Y0). Тому з урахуванням (2.12) маємо
lim
t↑ω
πω(t)I ′1(t)
I1(t)
= ∞. (2.13)
Використовуючи (2.8), (2.9) та (2.12), отримуємо
lim
t↑ω
I ′′1 (t)I1(t)
(I ′1(t))2
= lim
t↑ω
πω(t)I′(t)
I(t)
πω(t)I′1(t)
I1(t)
= lim
t↑ω
y(t)Φ′0(y(t))
Φ0(y(t))
y(t)Φ′1(y(t))
Φ1(y(t))
= lim
y→Y0
y∈∆Y0
Φ′′1(y)Φ1(y)
(Φ′1(y))2
= 1, (2.14)
тобто має мiсце перша з умов (1.10).
Зауважимо, що функцiя Φ−1
1 (y) є повiльно змiнною при y → Z0 як обернена до швид-
ко змiнної при y → Y0 (Y0 ∈ ∆Y0) функцiї Φ1. З урахуванням цього та (2.11) при t ↑ ω
маємо
y(t) = Φ−1
1 (I1(t))[1 + o(1)],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 555
звiдки випливає друга з умов (1.9).
Зауважимо, що має мiсце спiввiдношення
lim
z→Z0
Φ′′1(Φ−1
1 (z))z
(Φ′1(Φ−1
1 (z)))2
= lim
y→Y0
Φ′′1(Φ−1
1 (Φ1(y)))Φ1(y)(
Φ′1(Φ−1
1 (Φ1(y)))
)2 = lim
y→Y0
Φ′′1(y)Φ1(y)
(Φ′1(y))2 = 1.
Звiдси випливає, що
lim
z→Z0
z
(
Φ′1(Φ−1
1 (z))
Φ1(Φ−1
1 (z))
)′
Φ′1(Φ−1
1 (z))
Φ1(Φ−1
1 (z))
= lim
y→Z0
Φ′′1(Φ−1
1 (z))z
(Φ′1(Φ−1
1 (z)))2
− 1 = 0.
Отже, функцiя
Φ′1(Φ−1
1 )
Φ1(Φ−1
1 )
є повiльно змiнною при прямуваннi аргумента до Z0. Тому (2.12)
можна записати у виглядi
λ0
λ0 − 1
Φ−1
1 (I(t))ψ(Φ−1
1 (I1(t))) =
πω(t)I ′1(t)
I1(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω,
звiдки випливає виконання другої з умов (1.10). Необхiднiсть доведено.
Достатнiсть. Нехай функцiя
|πω(t)|1−
(2−γ0)λ0
(1−γ0)(λ0−1) I ′1(t)
I1(t)
є нормалiзованою повiльно змiн-
ною функцiєю при t ↑ ω та виконуються умови (1.5) – (1.10).
До рiвняння (1.1) застосуємо перетворення
Φ1(y(t)) = I1(t)[1 + v1(x)],
y′(t)Φ′1(y(t))
Φ1(y(t))
=
I ′1(t)
I1(t)
[1 + v2(x)],
(2.15)
де
x = β ln |I1(t)|, β =
1, якщо lim
t↑ω
I1(t) = ∞,
−1, якщо lim
t↑ω
I1(t) = 0.
(2.16)
Зведемо систему (2.15) до системи диференцiальних рiвнянь
v′1 = β [v2 + v1v2] ,
(2.17)
v′2 = βG(t) [1 + v2]
[
N(t(x), v1, v2)
(λ0 − 1)
(
1
[1 + L(t(x))]
)σ1−1
×
× (1 + v1)σ1−1(1 + v2)σ1−1
∣∣∣∣ λ0
λ0 − 1
∣∣∣∣σ1−1
×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
556 О. О. ЧЕПОК
×
∣∣∣∣(L(t(x)) + L(t(x))
ψ′(Y (t(x), v1))Y (t(x), v1)
ψ(Y (t(x), v1))
+
+
(I ′1(t))2
I1(t(x))I ′′1 (t(x))
M(I1(t(x))(1 + v1)
M(I1(t))
Φ−1
1 (I1(t(x)))Φ′1(I1(t(x)))
πω(t(x))I ′1(t(x))
)∣∣∣∣σ1−1
+
+
ψ′(Y (t(x), z1))Y (t(x), v1)
ψ(y(t(x)))
Y (t(x), v1)Φ′1(Y (t(x), v1))
πω(t(x))I ′1(t(x))
×
× M(I1(t(x))(1 + v1))
M(I1(t(x)))
(1 + v2) +Q(t(x))
]
,
у якiй
G(t) =
I1(t)
πω(t)I ′1(t)
, Q(t) =
πω(t)
(
I1(t)
I′1(t)
)′
I1(t)
I′1(t)
,
N(t, v1, v2) =
θ1
(
I′1(t)Φ1(Y (t,v1))
I1(t)Φ′1(Y (t,v1))
(1 + v2)
)
θ1
(
|πω(t)|
1
λ0−1 sign y0
1
) , Y (t, v1) = Φ−1
1 (I1(t)[1 + v1]),
ψ(y) =
Φ′1(y)
Φ1(y)
, L(t) =
I ′1(t)
πω(t)I ′′1 (t)
, M(y) = Φ−1
1 (y)ψ(Φ−1
1 (y)).
Оскiльки функцiя
|πω(t)|1−
(2−γ0)λ0
(1−γ0)(λ0−1) I ′1(t)
I1(t)
є нормалiзованою повiльно змiнною при t ↑ ω,
то
lim
t↑ω
πω(t)
(
|πω(t)|
1− (2−γ0)λ0
(1−γ0)(λ0−1)
I′1(t)
I1(t)
)′
|πω(t)|
1− (2−γ0)λ0
(1−γ0)(λ0−1)
I′1(t)
I1(t)
= 0. (2.18)
З iншого боку,
lim
t↑ω
πω(t)
(
|πω(t)|
1− (2−γ0)λ0
(1−γ0)(λ0−1) I′1(t)
I1(t)
)′
|πω(t)|
1− (2−γ0)λ0
(1−γ0)(λ0−1)
I′1(t)
I1(t)
= lim
t↑ω
(
|πω(t)|1−
(2−γ0)λ0
(1−γ0)(λ0−1)
)′
πω(t)I′1(t)
I1(t)
|πω(t)|1−
(2−γ0)λ0
(1−γ0)(λ0−1) I′1(t)
I1(t)
+
+ lim
t↑ω
πω(t)
(
I′1(t)
I1(t)
)′
I′1(t)
I1(t)
= 1− (2− γ0)λ0
(1− γ0)(λ0 − 1)
+ lim
t↑ω
Q(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 557
Звiдси з урахуванням (2.18) маємо
lim
t↑ω
Q(t) = 1− (2− γ0)λ0
(1− γ0)(λ0 − 1)
. (2.19)
З першої з умов (1.10) випливає, що
lim
t↑ω
G(t) = 0. (2.20)
Оскiльки, як було обґрунтовано при доведеннi необхiдностi, функцiя Φ−1
1 (z) є повiльно
змiнною при z → Z0, то з урахуванням (1.6) та другої з умов (1.9) маємо
lim
t↑ω
Y (t, v1) = Y0 рiвномiрно по |v1| <
1
2
. (2.21)
Зауважимо, що (
ψ(y)
ψ′(y)
)′
= 1− ψ(y)ψ′′(y)
(ψ′(y))2
.
Тому з (1.6) випливає, що
yψ′(y)
ψ(y)
=
1
1− γ0
[1 + o(1)] при y → Y0 (y ∈ ∆Y0). (2.22)
З (2.22) випливає, що функцiя ψ(y) =
Φ′1(y)
Φ1(y)
є правильно змiнною порядку
1
1− γ0
при
y → Y0 (y ∈ ∆Y0) та з урахуванням (2.21)
lim
t↑ω
Y (t, v1)ψ′(Y (t, v1))
ψ(Y (t, v1))
=
1
1− γ0
рiвномiрно по |v1| <
1
2
. (2.23)
Оскiльки ψ — правильно змiнна функцiя порядку
1
1− γ0
при прямуваннi аргумента до Y0,
а Φ−1
1 — повiльно змiнна при прямуваннi аргумента до Z1, то функцiя ψ(Φ−1
1 ) є повiльно
змiнною при прямуваннi аргумента до Z1, а тому, i функцiя M є повiльно змiнною при
прямуваннi аргумента до Z1 як добуток повiльно змiнних функцiй. Таким чином,
lim
t↑ω
M(I1(t))
M(I1(t)(1 + v1))
= 1 рiвномiрно по v1 : |v1| <
1
2
. (2.24)
З другої з умов (1.10) отримуємо
lim
t↑ω
πω(t)I ′1(t)
Φ−1
1 (I1(t))Φ′1(Φ−1
1 (I1(t)))
=
λ0
λ0 − 1
. (2.25)
Покажемо, що
lim
t↑ω
N(t, v1, v2) = 1 рiвномiрно по |v1| <
1
2
, |v2| <
1
2
. (2.26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
558 О. О. ЧЕПОК
Зауважимо, що з урахуванням (2.19) та вигляду функцiї Q
lim
t↑ω
(
I′1(t) |πω(t)|
1
1−λ0
I1(t)
)′
πω(t)
I′1(t)|πω(t)|
1
1−λ0
I1(t)
= lim
t↑ω
πω(t)
(
I′1(t)
I1(t)
)′
I′1(t)
I1(t)
+
1
1− λ0
=
λ0
(1− γ0)(λ0 − 1)
.
Оскiльки
lim
t↑ω
(Φ−1
1 (I1(t)))′πω(t)
Φ−1
1 (I1(t))
= lim
t↑ω
I ′1(t)πω(t)
Φ′1
(
Φ−1
1 (I1(t))
)
Φ−1
1 (I1(t))
=
λ0
λ0 − 1
,
то функцiя Φ−1
1 (I1(t)) є правильно змiнною порядку
λ0
λ0 − 1
при t ↑ ω. Тому
Φ1(Φ−1
1 (I1(t)))
Φ′1(Φ−1
1 (I1(t)))
є правильно змiнною функцiєю порядку
λ0
λ0 − 1
1
γ0 − 1
при t ↑ ω. Крiм того,
Φ1(Φ−1
1 (z))
Φ′1(Φ−1
1 (z))
є повiльно змiнною при z → Z1 як композицiя правильно змiнної та повiльно змiнної
функцiй.
Отже, на пiдставi теореми про рiвномiрну збiжнiсть з теорiї повiльно змiнних функцiй
(див., наприклад, [3]) маємо(
I′1(t)Φ1(Y (t,v1))|πω(t)|
1
1−λ0
I1(t)Φ′1(Y (t,v1))
)′
πω(t)(
I′1(t)Φ1(Y (t,v1))|πω(t)|
1
1−λ0
I1(t)Φ′1(Y (t,v1))
) = lim
t↑ω
(
Φ1(Φ−1
1 (I1(t)))
Φ′1(Φ−1
1 (I1(t)))
)′
πω(t)
Φ1(Φ−1
1 (I1(t)))
Φ′1(Φ−1
1 (I1(t)))
+
+ lim
t↑ω
(
I′1(t) |πω(t)|
1
1−λ0
I1(t)
)′
πω(t)
I′1(t)|πω(t)|
1
1−λ0
I1(t)
= 0
рiвномiрно по v1 : |v1| <
1
2
. Тому функцiя
(
I ′1(t)Φ1(Y (t, v1))|πω(t)|
1
1−λ0
I1(t)Φ′1(Y (t, v1))
)
є нормалiзованою повiльно змiнною при t ↑ ω рiвномiрно по v1 : |v1| <
1
2
, а (2.26) випли-
ває з того, що функцiя θ1 задовольняє умову S.
З урахуванням третьої з умов (1.10) маємо
lim
t↑ω
L(t) = 0. (2.27)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 559
На пiдставi (1.9) iснує t0 ∈ [a, ω[ таке, що
Φ−1
1 (I1(t)(1 + v1)) ∈ ∆Y0 при t ∈ [t0, ω[, |v1| ≤
1
2
.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь (2.17) на множинi
Ω = [x0,+∞[×D, де x0 = β ln |πω(t0)|, D =
{
(v1, v2) : |vi| ≤
1
2
, i = 1, 2
}
,
та запишемо її у виглядi
v′1 = β[v2 + z1v2],
v′2 = βG(t(x))[A21v1 +A22(x)v2 +R1(x, v1, v2) +R2(x, v1, v2)],
(2.28)
де
A21 =
σ1 − 1
λ0 − 1
, A22(x) =
σ1 − 1
λ0 − 1
+ γ0
πω(t)I ′1(t)
Φ−1
1 (I1(t))ψ(Φ−1
1 (I1(t)))
,
R1(x, v1, v2) = (1 + v2)
[
N(t(x), v1, v2)
λ0 − 1
(
λ0
λ0 − 1
1
[1 + L(t(x))]
×
×
(
L(t(x)) + L(t(x))
Y (t, v1)ψ′(Y (t, v1))
ψ(Y (t, v1))
(I ′1(t(x)))2
I1(t(x))I ′′1 (t(x))
×
× Φ−1
1 (I1(t))ψ(Φ−1
1 (I1(t)))
πω(t)I ′1(t)
M(I1(t)(1 + v1)
M(I1(t))
))σ1−1
+Q(t(x))+
+
Y (t, v1)ψ′(Y (t, v1))
ψ(Y (t, v1))
πω(t)I ′1(t)
Φ−1
1 (I1(t))ψ(Φ−1
1 (I1(t)))
M(I1(t(x)))
M(I1(t(x)(1 + v1))
]
+
+ v2
πω(t)I ′1(t(x))
Φ−1
1 (I1(t(x)))ψ(Φ−1
1 (I1(t(x))))
(
Φ−1
1 (I1(t(x)))ψ′
(
Φ−1
1 (I1(t(x)))
)
ψ(y(t))
×
× M(I1(t(x)))
M(I1(t(x)(1 + v1)))
− 1
1− γ0
)
+ (v2 + v1)
σ1 − 1
λ0 − 1
×
×
[
N(t(x), v1, v2)
(
λ0
λ0 − 1
1
[1 + L(t(x))]
(
L(t(x)) + L(t(x))
Y (t, v1)ψ′(Y (t, v1))
ψ(Y (t, v1))
+
+
(I ′1(t(x)))2
I1(t(x))I ′′1 (t(x))
Φ−1
1 (I1(t))ψ(Φ−1
1 (I1(t)))
πω(t)I ′1(t)
M(I1(t)(1 + v1)
M(I1(t))
))σ1−1
− 1
]
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
560 О. О. ЧЕПОК
R2(x, v1, v2) = (1 + v2)
N(t(x), v1, v2)
λ0 − 1
(
λ0
λ0 − 1
1
[1 + L(t)]
×
×
(
L(t(x)) + L(t(x))
Y (t, v1)ψ′(Y (t, v1))
ψ(Y (t, v1))
+
+
(I ′1(t(x)))2
I1(t(x))I ′′1 (t(x))
Φ−1
1 (I1(t))ψ(Φ−1
1 (I1(t)))
πω(t)I ′1(t)
M(I1(t)(1 + v1)
M(I1(t))
))σ1−1
×
× [(1 + v1)σ1−1 − 1] [(1 + v2)σ1−1 − 1] + v2
2
πω(t)I ′1(t(x))
Φ−1
1 (I1(t(x)))ψ(Φ−1
1 (I1(t(x))))
×
× Φ−1
1 (I1(t(x)))ψ′(Φ−1
1 (I1(t(x))))
ψ(y(t))
M(I1(t(x)))
M(I1(t(x)(1 + v1))
.
Iз (2.19) – (2.27) i першої та другої з умов (1.10) маємо
lim
x→∞
A22(x) =
σ1 − 1
λ0 − 1
+
λ0γ
λ0 − 1
, (2.29)
lim
|v1|+|v2|→0
R2(x, v1, v2)
|v1|+ |v2|
= 0 рiвномiрно по x ∈ [x0,+∞[, (2.30)
lim
x→+∞
R1(x, v1, v2) = 0 рiвномiрно по v1, v2 : (v1, v2) ∈ D. (2.31)
Тому з урахуванням (2.20) зрозумiло, що гранична матриця коефiцiєнтiв системи (2.28)
має нульове власне значення.
Застосовуючи до системи (2.28) перетворення
z1 = w1,
z2 =
√
|G(t(x))|w2,
(2.32)
з урахуванням (1.5) отримуємо систему
w′1 = β
√
|G(t(x))| [w2 + V1(x;w1;w2)],
w′2 = β
√
|G(t(x))| [C21w1 + V2(x,w1, w2) + V3(x,w1, w2)],
(2.33)
де
C21 = A21sign ((λ0 − 1)(σ1 − 1)) , V1(x;w1;w2) = w1w2,
V2(x,w1, w2) =
√
|G(t(x))| sign ((λ0 − 1)(σ1 − 1))
(
A22(x)− Ñ(x)
√
|G(t(x))|
)
w2+
+R2(x,w1,
√
|G(t(x))|w2),
V3(x;w1;w2) = R1
(
x,w1,
√
|G(t(x))|w2
)
sign ((λ0 − 1)(σ1 − 1)) ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 561
Ñ(x) =
sign ((σ1 − 1)(λ0 − 1))G′(t(x))I(t(x))
2G(t(x))2I ′(t(x))
.
Зауважимо, що
lim
x→∞
Ñ(x) = lim
x→∞
sign ((σ1 − 1)(λ0 − 1))G′(t(x))I(t(x))
2G2(t(x))I ′(t(x))
=
= sign((σ1 − 1)(λ0 − 1)) lim
t↑ω
(
I(t)
πω(t)I′(t)
)′
πω(t)
2
(
I(t)
πω(t)I′(t)
) =
= sign ((σ1 − 1)(λ0 − 1)) lim
t↑ω
1
2
πω(t)
(
1
πω(t)
)′
I(t)
I′(t)
I(t)
πω(t)I′(t)
+
πω(t)
(
I(t(x))
I′(t(x))
)′
I(t(x))
I′(t(x))
=
= sign((σ1 − 1)(λ0 − 1))
1
2
(
−1 + lim
t↑ω
Q(t)
)
=
sign((σ1 − 1)(λ0 − 1))λ0(γ + 1)
2(λ0 − 1)
.
Тому згiдно з (2.29) – (2.31)
lim
|w1|+|w2|→0
Vi(x,w1, w2)
|w1|+ |w2|
= 0, i = 1, 2, рiвномiрно по x ∈ [x0,+∞[, (2.34)
lim
x→+∞
V3(x,w1, w2) = 0 рiвномiрно по w1, w2 : (w1, w2) ∈ D. (2.35)
Зауважимо, що характеристичне рiвняння матрицi(
0 β
βC21 0
)
має вигляд
µ2 − |σ1 − 1|
|λ0 − 1|
= 0.
Це рiвняння не має коренiв iз нульовою дiйсною частиною. Розглянемо
∫ ∞
x0
G(t(x)) dx.
З урахуванням зображення G(t(x)) =
I(t(x))
πω(t(x))I ′(t(x))
маємо
∞∫
x0
G(t(x)) dx =
∞∫
x0
I(t(x))
πω(t(x))I ′(t(x))
dx =
∞∫
t(x0)
I(t)
πω(t)I ′(t)
I ′(t)
I(t)
dt = ln |πω(t)|ωd1
→ ∞
при t → ω, оскiльки в околi нуля виконується
∫ ∞
x0
√
|G(t(x))| dx ≥ k
∫ ∞
x0
G(t(x)) dx.
Таким чином,
∫ ∞
x0
√
|G(t(x))| dx → ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
562 О. О. ЧЕПОК
Отже, для системи диференцiальних рiвнянь (2.33) виконано всi умови теореми 2.2 з
[7]. Згiдно з цiєю теоремою система (2.33) має однопараметричну сiм’ю розв’язкiв
{zi}2i=1 : [x1,+∞[−→ R2 (x1 ≥ x0), якi прямують до нуля при x → +∞. Цим розв’яз-
кам на пiдставi замiн (2.16), (2.15) вiдповiдають розв’язки y рiвняння (1.1), що допускають
при t ↑ ω асимптотичнi зображення (1.11).
З огляду на цi зображення та (1.5) зрозумiло, що отриманi розв’язки є Pω(Y0, Y1, λ0)-
розв’язками.
Теорему доведено.
3. Iлюстрацiя отриманих результатiв. Як приклад, що iлюструє отриманi результати,
розглянемо при t ∈ [2,+∞[ диференцiальне рiвняння
y′′ =
1
4
t−3L(t)e|y|
4−t8 ∣∣y′∣∣3 , (3.1)
де L : [2,+∞[→]0,+∞[ — повiльно змiнна на нескiнченностi функцiя.
Дане рiвняння є рiвнянням вигляду (1.1), у якому a = 2, α0 = 1, p(t) =
1
4
t−3 L(t)e−t
8
,
ϕ0(y) = e|y|
4
, ϕ1(y) = |y|3.
Дослiдимо питання про iснування та асимптотичну поведiнку при t, що прямує до +∞,
P+∞(Y0, Y1, λ0)-розв’язкiв рiвняння (3.1), для яких λ0 ∈ R \ {0, 1}. Функцiя ϕ1 задовольняє
умову S. Розглянемо випадок Y0 = ∞. Тодi виконуються умови (1.2). Можемо використа-
ти доведену теорему. У даному випадку
πω(t) = t, θ1(y) = 1, I(t) =
2√
|λ0 − 1|
t∫
B0
+∞
∣∣∣τ−2L(τ)e−τ
8
∣∣∣− 1
2
dτ.
Тому з урахуванням вибору B0
+∞ при t → +∞ отримуємо
I(t) =
1
2
√
|λ0 − 1|
t−6(L(t))−
1
2 e
1
2
t8 [1 + o(1)].
Аналогiчно при t → +∞ маємо
I1(t) =
λ0
8
√
|λ0 − 1|(λ0 − 1)
t−14(L(t))−
1
2 e
1
2
t8 [1 + o(1)].
Крiм того, оскiльки Y0 = ∞, з урахуванням вибору A0
∞ одержимо
Φ0(y) =
1
2y3
e
1
2
|y|4 sign y[1 + o(1)] при y → ∞.
Аналогiчно маємо
Φ1(y) =
1
4y7
e
1
2
|y|4 [1 + o(1)] при y → ∞. (3.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНI ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 563
Крiм того,
Φ′1(y)
Φ1(y)
= 2y3[1 + o(1)] при y → ∞,
звiдки випливає, що виконується умова (1.6), де γ0 =
2
3
.
З огляду на (3.2) зрозумiло, що
Φ−1
1 (y) =
4
√
2 ln
1
4 |y|[1 + o(1)] при y → ∞.
З другої з умов (1.10) випливає, що λ0 = 2, звiдки маємо y0
1 > 0 та y0
0 > 0.
Таким чином, виконано всi умови доведеної теореми. Згiдно з цiєю теоремою рiвнян-
ня (3.1) з класу P+∞(Y0, Y1, λ0)-розв’язкiв може мати лише P+∞(+∞,+∞, 2)-розв’язки.
З теореми 1 також випливає, що рiвняння (3.1) має однопараметричну сiм’ю
P+∞(+∞,+∞, 2)-розв’язкiв та кожен такий розв’язок має асимптотичнi зображення
1
y7(t)
e
1
2
y4(t) = t−14(L(t))−
1
2 e
1
2
t8 [1 + o(1)], y′(t)y3(t) = 2t7[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.3)
Бiльш того, легко бачити, що у випадку L(t) ≡ 1 y(t) = t2 є точним розв’язком рiвнян-
ня (3.1). Цей точний розв’язок легко отримати з другого зi спiввiдношень (3.3). У цьому
випадку кожен iз розв’язкiв однопараметричної сiм’ї P+∞(+∞,+∞, 2)-розв’язкiв є еквi-
валентним до t2 при t → +∞.
Висновки. У данiй роботi для класiв диференцiальних рiвнянь другого порядку з швид-
ко та правильно змiнними нелiнiйностями, якi ранiше не розглядалися, отримано необ-
хiднi та достатнi умови iснування Pω(Y0, Y1, λ0)-розв’язкiв при λ0 ∈ R\{0, 1}. Цей клас
розв’язкiв для бiльшостi рiвнянь вигляду (1.1) охоплює всi правильно змiннi розв’язки,
що мають також правильно змiнну похiдну першого порядку, за винятком особливих ви-
падкiв, коли розв’язки або їх похiднi є повiльно змiнними функцiями при t ↑ ω.
Лiтература
1. Evtukhov V. M., Drik N. G. Asimptotic behavior of solutions of a second order nonlinear differention equati-
on // Georg. Math. J. — 1996. — 3, № 2. — P. 123 – 151.
2. Evtukhov V. M., Kharkov V. M. Asymptotic representation of solutions essentially nonlinear differential
equations of second order // Differents. Uravneniya. — 2007. — 43, № 10. — P. 1311 – 1323.
3. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985. — 141 с.
4. Maric V. Regular variation and differential equations // Lect. Notes Math. — 2000. — 1726. — 127 p.
5. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation // Encyclopedia Math. and Appl. — Cambridge:
Cambridge Univ. Press, 1987. — 494 p.
6. Евтухов В. М., Клопот А. М. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями // Дифференц. уравнения. —
2014. — 50, № 5. — С. 584 – 600.
7. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений ве-
щественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. —
2010. — 62, № 1. — С. 52 – 80.
Одержано 08.01.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
|