Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием
Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна для побудови розв’язкiв лiнiйної матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсною дiєю. Для розв’язання матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсною дiєю використ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177322 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, М.В. Дзюба // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 564-573 — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177322 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773222021-02-15T01:26:54Z Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием Чуйко, С.М. Дзюба, М.В. Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна для побудови розв’язкiв лiнiйної матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсною дiєю. Для розв’язання матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсною дiєю використано оригiнальнi умови розв’язностi, а також конструкцiю загального розв’язку лiнiйного матричного рiвняння. We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions of a linear matrix boundary-value problem for a system of matrix differential-algebraic equations with impulsive effect. We also construct a generalized Green’s operator of linear boundary conditions for a system of matrix differential-algebraic equations with impulsive effect. To solve the matrix differential-algebraic boundary problem with impulsive effect, we use original solvability conditions and the structure of the general solution of the linear matrix equation. 2017 Article Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, М.В. Дзюба // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 564-573 — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177322 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна для побудови розв’язкiв лiнiйної матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсною дiєю. Для розв’язання матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсною дiєю використано оригiнальнi умови розв’язностi, а також конструкцiю загального розв’язку лiнiйного матричного рiвняння. |
| format |
Article |
| author |
Чуйко, С.М. Дзюба, М.В. |
| spellingShingle |
Чуйко, С.М. Дзюба, М.В. Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием Нелінійні коливання |
| author_facet |
Чуйко, С.М. Дзюба, М.В. |
| author_sort |
Чуйко, С.М. |
| title |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием |
| title_short |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием |
| title_full |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием |
| title_fullStr |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием |
| title_full_unstemmed |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием |
| title_sort |
матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177322 |
| citation_txt |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, М.В. Дзюба // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 564-573 — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT čujkosm matričnaâdifferencialʹnoalgebraičeskaâkraevaâzadačasimpulʹsnymvozdejstviem AT dzûbamv matričnaâdifferencialʹnoalgebraičeskaâkraevaâzadačasimpulʹsnymvozdejstviem |
| first_indexed |
2025-07-15T15:22:14Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:22:14Z |
| _version_ |
1837726889259565056 |
| fulltext |
УДК 517.9
МАТРИЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ*
С. М. Чуйко, М. В. Дзюба
Донбас. гос. пед. ун-т
ул. Генерала Батюка, 19, Славянск Донецкой обл., 84116, Украина
e-mail: chujko-slav@inbox.ru
chujko-slav@ukr.net
We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions of a linear matrix boundary-value
problem for a system of matrix differential-algebraic equations with impulsive effect. We also construct
a generalized Green’s operator of linear boundary conditions for a system of matrix differential-algebraic
equations with impulsive effect. To solve the matrix differential-algebraic boundary problem with impulsive
effect, we use original solvability conditions and the structure of the general solution of the linear matrix
equation.
Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування, а також конструкцiю узагальненого опера-
тора Грiна для побудови розв’язкiв лiнiйної матричної диференцiально-алгебраїчної крайової
задачi з iмпульсною дiєю. Для розв’язання матричної диференцiально-алгебраїчної крайової за-
дачi з iмпульсною дiєю використано оригiнальнi умови розв’язностi, а також конструкцiю за-
гального розв’язку лiнiйного матричного рiвняння.
1. Постановка задачи. Исследуем задачу о построении решений [1, 2]
Z(t) ∈ C1
α×β{[a, b] \ {τi}I} := C1{[a, b] \ {τi}I} ⊗ Rα×β, i = 1, 2, . . . , p,
матричного дифференциально-алгебраического уравнения [3, 4]
AZ ′(t) = BZ(t) + F (t), t 6= τi, (1)
подчиненных краевому условию [5 – 7]
LZ(·) = A, A ∈ Rµ×ν . (2)
Здесь
AZ ′(t) : C1
α×β{[a, b] \ {τi}I} → Cγ×δ{[a, b] \ {τi}I} := C{[a, b] \ {τi}I} ⊗ Rγ×δ
— матричный дифференциально-алгебраический оператор, который по определению
для любых скалярных функций
ζ(t), ξ(t) ∈ C1{[a, b] \ {τi}I}
∗ Выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований
Украины (номер государственной регистрации 0115U003182).
c© С. М. Чуйко, М. В. Дзюба, 2017
564 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
МАТРИЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА . . . 565
и любых постоянных матриц Ξ1,Ξ2 ∈ Rα×β обеспечивает равенство
A(ζ ′(t)Ξ1 + ξ′(t)Ξ2)(t) = ζ ′(t)A(Ξ1)(t) + ξ′(t)A(Ξ2)(t).
Аналогично матричный оператор
BZ(t) : C1
α×β{[a, b] \ {τi}I} → C1
γ×δ{[a, b] \ {τi}I}
далее будем называть алгебраическим, если для любых скалярных функций
ζ(t), ξ(t) ∈ C1{[a, b] \ {τi}I}
и любых постоянных матриц Ξ1,Ξ2 ∈ Rα×β имеет место равенство
B(ζ(t)Ξ1 + ξ(t)Ξ2)(t) = ζ(t)B(Ξ1)(t) + ξ(t)B(Ξ2)(t).
Здесь также F (t) ∈ Cγ×δ{[a, b] \ {τi}I} — непрерывная при t 6= τi матрица и LZ(·) —
линейный ограниченный матричный функционал:
LZ(·) :=
p∑
i=0
LiZ(·) : C1
α×β{[a, b] \ {τi}I} → Rµ×ν , i = 1, 2, . . . , p,
где
LiZ(·) : C1
α×β[τi, τi+1[→ Rµ×ν , i = 0, . . . , p− 1,
τ0 := a, LpZ(·) : C1
α×β[τp, b] → Rµ×ν
— линейные ограниченные матричные функционалы. Вообще говоря, предполагаем,
что α, β, γ, δ, µ, ν ∈ N — произвольные натуральные числа. Матричное дифференциаль-
но-алгебраическое уравнение (1) обобщает традиционные постановки задач как для
матричных дифференциальных уравнений [8 – 10], так и для дифференциально-алгебраи-
ческих уравнений [4, 11 – 15]. С другой стороны, матричная дифференциально-алгебраи-
ческая краевая задача (1), (2) обобщает традиционные постановки нетеровых краевых
задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1], а также дифферен-
циальных уравнений с импульсным воздействием [1, 5 – 7].
Определим операторM[A] : Rm×n → Rm·n как оператор, который ставит в соответ-
ствие матрицеA ∈ Rm×n вектор-столбец B := M[A] ∈ Rm·n, составленный из n столбцов
матрицы A, а также обратный оператор [17 – 19]
M−1 [B] : Rm·n → Rm×n,
который ставит в соответствие вектору B ∈ Rm·n матрицу A ∈ Rm×n. Обозначим через
Ξ(j) ∈ Rα×β, j = 1, 2, . . . , α ·β, естественный базис [20] пространства Rα×β, при этом зада-
ча о нахождении решений обобщенного дифференциально-алгебраического матричного
уравнения (1) приводит к задаче о нахождении вектора z(t), компоненты которого zj(t)
определяют разложение матрицы
Z(t) =
α·β∑
j=1
Ξ(j)zj(t), zj(t) ∈ C1{[a, b] \ {τi}I}, j = 1, 2, . . . , α · β.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
566 С. М. ЧУЙКО, М. В. ДЗЮБА
Линейный дифференциально-алгебраический матричный оператор AZ ′(t) по определе-
нию представим в виде
AZ ′(t) =
αβ∑
j=1
AΞ(j)(t)z′j(t),
при этом
M
[
AZ ′(t)
]
= Ω(t) · z′(t), Ω(t) := [Ωj(t)]
α·β
j=1 ∈ C1
γ·δ×α·β{[a, b] \ {τi}I},
где
Ωj(t) = M
[
AΞ(j)(t)
]
, j = 1, 2, . . . , α · β.
Аналогично
M [BZ(t)] = Θ(t) · z(t), Θ(t) := [Θj(t)]
α·β
j=1 ∈ C1
γ·δ×α·β{[a, b] \ {τi}I},
где
Θj(t) = M
[
BΞ(j)(t)
]
, j = 1, 2, . . . , α · β.
Таким образом, задача о построении решений обобщенного дифференциально-алгебраи-
ческого матричного уравнения (1) приведена к задаче о нахождении решений
z(t) ∈ C1
α·β {[a, b] \ {τi}I}
традиционного дифференциально-алгебраического уравнения [4, 5, 11 – 14]
Ω(t) · z′(t) = Θ(t) · z(t) + F(t), F(t) := M[F (t)]. (3)
При условии [3, 5, 14, 15, 23]
PΩ∗(t)Θ(t) = 0, PΩ∗(t)F(t) = 0 (4)
в случае
Ω+(t)Θ(t) ∈ Cα·β×α·β{[a, b] \ {τi}I}, Ω+(t)F(t), PΩ%(t)ϕ(t) ∈ Cα·β×%{[a, b] \ {τi}I} (5)
система (3) разрешима относительно производной
dz
dt
= Ω+(t)Θ(t)z + F(t, ϕ(t)), F(t, ϕ(t)) := Ω+(t)F(t) + PΩ%(t)ϕ(t).
Здесь PΩ∗(t) — (γ · δ × γ · δ)-матрица-ортопроектор: PΩ∗(t) : Rγ·δ → N (Ω∗(t)) , PΩ%(t) —
(α·β×%)-матрица, составленная из % линейно независимых столбцов (α·β×α·β)-матрицы-
ортопроектора PΩ(t) : Rα·β → N(Ω(t)).
2. Случай разрешимости системы (3) относительно производной. Обозначим через
X0(t) нормальную фундаментальную матрицу [1]
dX0(t)
dt
= Ω+(t)Θ(t)X0(t), X0(a) = Iαβ, t ∈ [a; τ1[,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
МАТРИЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА . . . 567
полученной традиционной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При
условии (4), (5) система (3) имеет решение вида
z(t, c) = X0(t)c+K [F(s, ϕ(s))] (t),
K [F(s, ϕ(s))] (t) := X0(t)
t∫
a
X−1
0 (s)F(s, ϕ(s)) ds,
которое определяет решение обобщенного матричного дифференциально-алгебраиче-
ского уравнения (1)
Z(t, c) = W (t, c) +K [F(s, ϕ(s))] (t), W (t, c) := M−1 [X0(t)c] , c ∈ Rα·β, (6)
где
K [F(s, ϕ(s))] (t) := M−1 {K [F(s, ϕ(s))] (t)} , t ∈ [a; τ1[,
— обобщенный оператор Грина задачи Коши Z(a) = 0 для дифференциально-алгеб-
раической системы (1).
Таким образом, доказано следующее достаточное условие разрешимости задачи Ко-
ши для системы (1).
Лемма. При условиях (4) и (5) матричная задача Коши Z(a) = A для дифференци-
ально-алгебраической системы (1) однозначно разрешима для любого начального зна-
чения A ∈ Rµ×ν . При условиях (4) и (5) общее решение (6) задачи Коши Z(a) = A для
дифференциально-алгебраической системы (1) при t ∈ [a; τ1[ определяет обобщенный
оператор Грина задачи Коши Z(a) = 0 для дифференциально-алгебраической системы
(1) и общее решение W (t, c) задачи Коши Z(a) = A для однородной части дифферен-
циально-алгебраического уравнения (1).
Предположим условия (4) и (5) выполненными. В этом случае фундаментальную
матрицу нетривиальных решений задачи
z′ = Ω+(t)Θ(t)z, t 6= τi, `z(·) := MLZ(·) = 0
ищем в виде
X(t) =
X0(t)U0, U0 ∈ Rα·β×α·β, t ∈ [a; τ1[,
X0(t)U1, U1 ∈ Rα·β×α·β, t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)Up, Up ∈ Rα·tβ×α·β, t ∈ [τp; b],
U :=
U0
U1
. . .
Up
∈ Rα·β(p+1)×α·β. (7)
Подставляя матрицу (7) в краевое условие (2), получаем уравнение
QU = 0, `iz(·) := MLiZ(·), Q :=
[
`0X0(·) `1X0(·) . . . `pX0(·)
]
. (8)
Обозначим через PQ : Rα·β(p+1) → N(Q) матрицу-ортопроектор. При условии PQ = 0
однородная часть задачи (1), (2) имеет только нулевое решение; если же PQ 6= 0, то
однородная часть задачи (1), (2) имеет решение вида z(t, c) = X(t)c, где
U = PQC, C ∈ Rα·β(p+1)×α·β.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
568 С. М. ЧУЙКО, М. В. ДЗЮБА
Пусть
PQ =
P
(0)
Q
P
(1)
Q
. . .
P
(p)
Q
, C = Ĩ · C(0), Ĩ =
Iα·β
Iα·β
. . .
Iα·β
,
где P (0)
Q , P
(1)
Q , . . . , P
(p)
Q — (α · β × α · β(p + 1))-мерные блоки ортопроектора PQ, C(0) —
произвольная постоянная (α · β × α · β)-матрица, Ĩ — постоянная (α · β(p + 1) × α · β)-
матрица. В новых обозначениях общее решение уравнения (8) определяют матрицы
U0 = P
(0)
Q ĨC(0), U1 = P
(1)
Q ĨC(0), . . . , Up = P
(p)
Q ĨC(0), U =
P
(0)
Q ĨC(0)
P
(1)
Q ĨC(0)
. . . . . .
P
(p)
Q ĨC(0)
.
Таким образом, при условиях (4), (5) и PQ 6= 0 однородная часть задачи (1), (2) имеет
решение
Z(t, c) = W (t, c) := M−1 [X(t)c] , c ∈ Rα·β,
представимое фундаментальной матрицей X(t).
3. Обобщенный оператор Грина. При условиях (4), (5) решение неоднородной диффе-
ренциально-алгебраической задачи (1), (2) с импульсным воздействием ищем, используя
решение неоднородной краевой задачи
dz
dt
= Ω+(t)Θ(t)z + F(t, ϕ(t)), `z(·) := MLZ(·) = MA
в виде
G [F(s, ϕ(s));MA] (t) :=
X0(t)ξ0 +K [F(s, ϕ(s))] (t), t ∈ [a; τ1[,
X0(t)ξ1 +K [F(s, ϕ(s))] (t), t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)ξp +K [F(s, ϕ(s))] (t), t ∈ [τp; b].
Здесь ξ0, ξ1, . . . , ξp — постоянные, для нахождения которых используем уравнение
Qξ = M{A− LK [F(s, ϕ(s))] (·)} , ξ := col (ξ0, . . . , ξp) ∈ Rα·β(p+1),
разрешимое тогда и только тогда, когда
PQ∗M{A− LK [F(s, ϕ(s))] (·)} = 0, (9)
где PQ∗ — ортопроектор: Rµ·ν → N(Q∗). Следуя традиционной классификации краевых
задач [1], случай PQ∗ 6= 0 назовем критическим. В этом случае условия существования и
вид общего решения задачи (1), (2) определяет следующая теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
МАТРИЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА . . . 569
Теорема. При условиях (4) и (5) однородная часть дифференциально-алгебраической
задачи с импульсным воздействием (1), (2) имеет решение
Z(t, c) = W (t, c) := M−1 [X(t)c] , c ∈ Rα·β,
представимое фундаментальной матрицей
X(t) =
X0(t)P
(0)
Q ĨC(0), t ∈ [a, τ1],
X0(t)P
(1)
Q ĨC(0), t ∈ [τ1, τ2],
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)P
(p)
Q ĨC(0), t ∈ [τp, b].
При условиях (4) и (5) линейная неднородная дифференциально-алгебраическая задача
с импульсным воздействием (1), (2) разрешима тогда и только тогда, когда выполнено
условие (9). В этом случае задача (1), (2) имеет решение
Z(t, c) = W (t, c) + G [F(s, ϕ(s));MA] (t), c ∈ Rα·β,
представимое обобщенным оператором Грина
G [F(s, ϕ(s));MA] (t) := M−1 {G [F(s, ϕ(s));MA] (t)} ,
где
col (ξ0, . . . , ξp) := Q+M{A− LK [F(s, ϕ(s))] (·)} .
Утверждение теоремы существенно упрощается в некритическом (PQ∗ = 0) случае,
при этом линейная неоднородная дифференциально-алгебраическая задача с импульс-
ным воздействием (1), (2) разрешима для любых неоднородностей.
Пример. Требованиям доказанной теоремы удовлетворяет матричная дифференци-
ально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием
AZ ′(t) = BZ(t) + F (t), t ∈ [−1; 1], t 6= τ1, LZ(·) = A, (10)
где
AZ ′(t) :=
3∑
i=1
2∑
j=1
Ŝi(t) Šj(t)Z
′(t) R̂i(t) Řj(t),
Ŝ1 := Ŝ2 :=
0 1 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
, Ŝ3 :=
0 0 1
1 0 0
0 0 0
0 0 0
,
Š1 :=
0 1 0
0 0 0
1 0 0
, Š2 :=
0 1 1
0 0 0
0 0 0
, R̂1 :=
(
1 1
0 0
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
570 С. М. ЧУЙКО, М. В. ДЗЮБА
R̂2 :=
(
1 0
1 0
)
, R̂3 :=
(
0 1
0 1
)
, Ř1 :=
(
1 0 0
1 0 0
)
, Ř2 :=
(
0 1 0
0 1 0
)
.
Кроме того,
BZ(t) :=
3∑
i=1
2∑
j=1
Φ̂i(t) Φ̌j(t)Z(t) Ψ̂i(t) Ψ̌j(t),
где
Φ̂1 :=
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
, Φ̂2 :=
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, Φ̂3 :=
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, Φ̌1 :=
0 0 0
0 0 0
1 0 0
,
Φ̌2 :=
0 0 0
0 2 0
0 0 0
, Ψ̂1 := Ψ̂3 :=
(
1 0
0 0
)
, Ψ̂2 :=
(
0 1
0 0
)
,
Ψ̌1 :=
(
1 0 0
0 0 0
)
, Ψ̌2 :=
(
0 0 1
0 0 0
)
, F (t) :=
0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 0
.
Импульсное воздействие определяют равенства
LZ(·) :
√
eZ(−1)− Z(0) = 0, Z(−1)− Z(1) = 0, A := 0.
Пусть
Ξ∗1 :=
(
1 0 0
0 0 0
)
,Ξ∗2 :=
(
0 1 0
0 0 0
)
, . . . ,Ξ∗6 :=
(
0 0 0
0 0 1
)
— естественный базис пространства R3×2. Поскольку
Ω(t) =
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 3 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1
0 3 3 0 1 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
, Θ(t) =
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
МАТРИЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА . . . 571
то условия (4) и (5) выполнены,
Ω+(t)Θ(t) =
1
2
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
∈ C6×6[−1; 1],
при этом матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача (10) представляет
критический случай (PQ∗ 6= 0). Здесь
PQ∗ =
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
В силу неравенства PQ 6= 0 однородная часть дифференциально-алгебраической краевой
задачи (10) имеет нетривиальные решения
W (t, c1) = c1
et/2 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, t ∈ [−1; 0[,
W (t, c1) = c1
1 + et/2 1 + et/2 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, t ∈ [0; 1].
Заметим, что % = 1 6= 0, при этом решение дифференциально-алгебраической задачи
(10) зависит от произвольной функции ϕ(t) ∈ C[−1; 1]. Положим ϕ(t) := 0. Обобщенный
оператор Грина задачи Коши Z(−1) = 0 для дифференциально-алгебраической системы
(10) имеет вид
K [F(s, ϕ(s))] (t) =
t+ 1
2
0 0
0 0
1 −1
, t ∈ [−1; τ1[,
и позволяет проверить выполнение условия (9). Поскольку требование (9) выполнено,
неоднородная дифференциально-алгебраическая задача с импульсным воздействием (10)
разрешима. При этом дифференциально-алгебраическая задача с импульсным воздей-
ствием (10) имеет решение
Z(t, c1) = W (t, c1) + G [F(s, ϕ(s));MA] (t), c1 ∈ Rα·β,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
572 С. М. ЧУЙКО, М. В. ДЗЮБА
представимое обобщенным оператором Грина
G [F(s, ϕ(s));MA] (t) =
t− (t+ 1)
√
e
2 (1−
√
e)
0 0
0 0
1 −1
, t ∈ [−1; 0[,
G [F(s, ϕ(s));MA] (t) =
t− 2− (t− 1)
√
e
2 (1−
√
e)
0 0
0 0
1 −1
, t ∈ [0; 1].
Найденные условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора
Грина матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи с импульсным воз-
действием (1), (2) обобщают традиционные результаты как для матричных дифферен-
циальных уравнений [8, 9, 10, 22], так и для дифференциально-алгебраических уравнений
[4, 11 – 15, 23]. С другой стороны, найденные условия разрешимости, а также конструкция
обобщенного оператора Грина краевой задачи матричной дифференциально-алгебраи-
ческой задачи (1), (2) обобщают условия разрешимости и конструкцию обобщенного
оператора Грина для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1], а также
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием [1, 5 – 7].
Заметим, что аналогичные условия разрешимости, а также конструкция обобщен-
ного оператора Грина матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи с
импульсным воздействием (1), (2) могут быть получены и в случае неразрешимости сис-
темы (3) относительно производной [3, 23], в частности в случае разрешимости систе-
мы (3) относительно неизвестной [3]. Кроме того, аналогичные условия разрешимости, а
также конструкция обобщенного оператора Грина матричной дифференциально-алгеб-
раической краевой задачи с импульсным воздействием (1), (2) могут быть получены для
краевой задачи с импульсным воздействием в абстрактных пространствах [1, 24, 25].
Литература
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
2th ed. — Berlin; Boston: De Gruyter, 2016. — 298 p.
2. Азбелев Н. В., Максимов Н. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифферен-
циальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 277 с.
3. Chuiko S. M. A generalized matrix differential-algebraic equation // J. Math. Sci. — 2015. — 210, № 1. —
P. 9 – 21.
4. Campbell S. L. Singular systems of differential equations. — San Francisco etc.: Pitman Adv. Publ. Program,
1980. — 178 p.
5. Чуйко С. М. Нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем
с линейным импульсным воздействием // Динам. системы. — 2014. — 4(32), № 1 – 2. — С. 89 – 100.
6. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения. —
2001. — 37, № 8. — С. 1132 – 1135.
7. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Доклады РАН. — 2001. —
379, № 2. — С. 170 – 172.
8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969. — 367 с.
9. Деревенский В. П. Матричные уравнения Бернулли // Изв. вузов. Математика. — 2008. — № 2. —
C. 14 – 23.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
МАТРИЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА . . . 573
10. Boichuk A. A., Krivosheya S. A. A critical periodic boundary-value problem for a matrix Riccati equations //
Different. Equat. — 2001. — 37, № 4. — P. 464 – 471.
11. Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. — Новосибирск:
Наука, 1996. — 280 с.
12. Бояринцев Ю. Е., Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и иссле-
дования. — Новосибирск: Наука, 1998. — 224 с.
13. Boichuk A. A., Pokutnyi A. A., Chistyakov V. F. Application of perturbation theory to the solvability analysis
of differential algebraic equations // Comput. Math. and Math. Phys. — 2013. — 53, № 6. — P. 777 – 788.
14. Chuiko S. M. To the issue of a generalization of the matrix differential-algebraic boundary-value problem //
J. Math. Sci. — 2017. — 227, № 1. — P. 16 – 32.
15. Чуйко С. М. Линейные нетеровы краевые задачи для дифференциально-алгебраических систем //
Компьютер. исслед. и моделирование. — 2013. — 5, № 5. — С. 769 – 783.
16. Boichuk A. A., Krivosheya S. A. Criterion of the solvability of matrix equations of the Lyapunov type // Ukr.
Math. J. — 1998. — 50, № 8. — P. 1162 – 1169.
17. Чуйко С. М. О решении матричного уравнения Сильвестра // Вестн. Одес. нац. ун-та. Математика и
механика. — 2014. — 19, вып. 1 (21). — С. 49 – 57.
18. Чуйко С. М. О решении матричных уравнений Ляпунова // Вестн. Харьков. нац. ун-та им.
В. Н. Каразина. Математика, прикл. математика и механика. — 2014. — № 1120. — C. 85 – 94.
19. Чуйко С. М. О решении обобщенного матричного уравнения Сильвестра // Чебышев. сб. — 2015. —
16, вып. 1. — С. 52 – 66.
20. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 318 с.
21. Chuiko S. M. Generalized Green operator of Noetherian boundary-value problem for matrix differential
equation // Russian Math. — 2016. — 60, № 8. — P. 64 – 73.
22. Лаптинский В. Н., Маковецкий И. И. К конструктивному анализу двухточечной краевой задачи для
нелинейного уравнения Ляпунова // Дифференц. уравнения. — 2005. — 41, № 7. — С. 994 – 996.
23. Chuiko S. M. The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-algebraic boundary-value
problem // Sib. Math. J. — 2015. — 56, № 4. — P. 752 – 760.
24. Чуйко С. М. Линейная краевая задача для матричного дифференциального уравнения // Дифференц.
уравнения. — 2016. — 52, № 11. — C. 1578 – 1579.
25. Чуйко С. М. О разрешимости матричной краевой задачи // Итоги науки и техники. Совр. математика
и ее приложения. Тематические обзоры. — 2017. — 132. — C. 140 – 144.
Получено 07.04.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
|