Об одном подходе к решению нелокальной задачи для систем гиперболических уравнений с интегральными условиями
Розглядається нелокальна задача з iнтегральними умовами для системи гiперболiчних рiвнянь з двома незалежними змiнними. Питання розв’язностi та побудови алгоритмiв для знаходження наближених розв’язкiв розглядуваної задачi вирiшується шляхом уведення додаткових функцiональних параметрiв. Вказана зад...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177323 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одном подходе к решению нелокальной задачи для систем гиперболических уравнений с интегральными условиями / А.Т. Асанова // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 435-450 — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177323 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773232021-02-15T01:26:56Z Об одном подходе к решению нелокальной задачи для систем гиперболических уравнений с интегральными условиями Асанова, А.Т. Розглядається нелокальна задача з iнтегральними умовами для системи гiперболiчних рiвнянь з двома незалежними змiнними. Питання розв’язностi та побудови алгоритмiв для знаходження наближених розв’язкiв розглядуваної задачi вирiшується шляхом уведення додаткових функцiональних параметрiв. Вказана задача зводиться до еквiвалентної задачi, що складається iз задачi Гурса для системи гiперболiчних рiвнянь з параметрами та граничної задачi з iнтегральною умовою для системи звичайних диференцiальних рiвнянь щодо введених параметрiв. Запропоновано алгоритми для знаходження наближених розв’язкiв задачi на основi алгоритмiв для розв’язкiв еквiвалентної задачi та доведено їх збiжнiсть до точного розв’язку. We consider a nonlocal problem with integral conditions for a system of hyperbolic equations with two independent variables. The questions of solvability and constructing algorithms for finding approximate solutions of the considered problem by introduction additional functional parameters are considered. The investigated problem is reduced to an equivalent problem that sonsists of the Goursat problem for a system of hyperbolic equations with parameters and a boundary-value problem with integral condition for a system of ordinary differential equations with respect to the introduced parameters. Algorithms for finding approximate solutions of the problem are proposed on the basis of algorithms for finding solutions to an equivalent problem and prove their convergence to its exact solution. 2017 Article Об одном подходе к решению нелокальной задачи для систем гиперболических уравнений с интегральными условиями / А.Т. Асанова // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 435-450 — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177323 517.956.3 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглядається нелокальна задача з iнтегральними умовами для системи гiперболiчних рiвнянь з двома незалежними змiнними. Питання розв’язностi та побудови алгоритмiв для знаходження наближених розв’язкiв розглядуваної задачi вирiшується шляхом уведення додаткових функцiональних параметрiв. Вказана задача зводиться до еквiвалентної задачi, що складається iз задачi Гурса для системи гiперболiчних рiвнянь з параметрами та граничної задачi з iнтегральною умовою для системи звичайних диференцiальних рiвнянь щодо введених параметрiв. Запропоновано алгоритми для знаходження наближених розв’язкiв задачi на основi алгоритмiв для розв’язкiв еквiвалентної задачi та доведено їх збiжнiсть до точного розв’язку. |
| format |
Article |
| author |
Асанова, А.Т. |
| spellingShingle |
Асанова, А.Т. Об одном подходе к решению нелокальной задачи для систем гиперболических уравнений с интегральными условиями Нелінійні коливання |
| author_facet |
Асанова, А.Т. |
| author_sort |
Асанова, А.Т. |
| title |
Об одном подходе к решению нелокальной задачи для систем гиперболических уравнений с интегральными условиями |
| title_short |
Об одном подходе к решению нелокальной задачи для систем гиперболических уравнений с интегральными условиями |
| title_full |
Об одном подходе к решению нелокальной задачи для систем гиперболических уравнений с интегральными условиями |
| title_fullStr |
Об одном подходе к решению нелокальной задачи для систем гиперболических уравнений с интегральными условиями |
| title_full_unstemmed |
Об одном подходе к решению нелокальной задачи для систем гиперболических уравнений с интегральными условиями |
| title_sort |
об одном подходе к решению нелокальной задачи для систем гиперболических уравнений с интегральными условиями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177323 |
| citation_txt |
Об одном подходе к решению нелокальной задачи для систем гиперболических уравнений с интегральными условиями / А.Т. Асанова // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 435-450 — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT asanovaat obodnompodhodekrešeniûnelokalʹnojzadačidlâsistemgiperboličeskihuravnenijsintegralʹnymiusloviâmi |
| first_indexed |
2025-07-15T15:22:18Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:22:18Z |
| _version_ |
1837726893957185536 |
| fulltext |
УДК 517.956.3
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ*
А. Т. Асанова
Ин-т математики и мат. моделирования МОН Республики Казахстан
ул. Пушкина, 125, Алматы, 050010, Республика Казахстан
e-mail: anarasanova@list.ru
assanova@math.kz
We consider a nonlocal problem with integral conditions for a system of hyperbolic equations with two
independent variables. The questions of solvability and constructing algorithms for finding approximate
solutions of the considered problem by introduction additional functional parameters are considered.
The investigated problem is reduced to an equivalent problem that sonsists of the Goursat problem for
a system of hyperbolic equations with parameters and a boundary-value problem with integral condition
for a system of ordinary differential equations with respect to the introduced parameters. Algorithms for
finding approximate solutions of the problem are proposed on the basis of algorithms for finding solutions
to an equivalent problem and prove their convergence to its exact solution.
Розглядається нелокальна задача з iнтегральними умовами для системи гiперболiчних рiвнянь з
двома незалежними змiнними. Питання розв’язностi та побудови алгоритмiв для знаходження
наближених розв’язкiв розглядуваної задачi вирiшується шляхом уведення додаткових функ-
цiональних параметрiв. Вказана задача зводиться до еквiвалентної задачi, що складається iз
задачi Гурса для системи гiперболiчних рiвнянь з параметрами та граничної задачi з iнтеграль-
ною умовою для системи звичайних диференцiальних рiвнянь щодо введених параметрiв. За-
пропоновано алгоритми для знаходження наближених розв’язкiв задачi на основi алгоритмiв
для розв’язкiв еквiвалентної задачi та доведено їх збiжнiсть до точного розв’язку.
Введение. В настоящей работе рассматривается нелокальная краевая задача для системы
гиперболических уравнений с интегральными условиями в области Ω = [0, T ]× [0, ω]
∂2u
∂t∂x
= A(t, x)
∂u
∂x
+B(t, x)
∂u
∂t
+ C(t, x)u+ f(t, x), (1)
a∫
0
K(t, ξ)u(t, ξ)dξ = ψ(t), t ∈ [0, T ], (2)
b∫
0
M(τ, x)u(τ, x)dτ = ϕ(x), x ∈ [0, ω], (3)
где u = col (u1, u2, . . . , un), (n × n)-матрицы A(t, x), B(t, x), C(t, x) и n-вектор-функция
f(t, x) непрерывны на Ω, (n × n)-матрица K(t, x) и n-вектор-функция ψ(t) непрерывно
∗ Выполнена в рамках проекта № 0822 / ГФ 4 по грантовому финансированию МОН Республики Казах-
стан на 2015 – 2017 гг.
c© А. Т. Асанова, 2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4 435
436 А. Т. АСАНОВА
дифференцируемы по t на Ω и [0, T ] соответственно, (n× n)-матрица M(t, x) и n-вектор-
функция ϕ(x) непрерывно дифференцируемы по x на Ω и [0, ω] соответственно, 0 < a ≤
≤ ω, 0 < b ≤ T.
Пусть C (Ω, Rn) — пространство функций u : Ω → Rn, непрерывных на Ω, с нормой
‖u‖0 = max(t,x)∈Ω ‖u(t, x)‖, ‖u(t, x)‖ = maxi=1,n |ui(t, x)|.
Функция u(t, x) ∈ C (Ω, Rn) , имеющая частные производные
∂u(t, x)
∂x
∈ C (Ω, Rn) ,
∂u(t, x)
∂t
∈ C (Ω, Rn) ,
∂2u(t, x)
∂t∂x
∈ C (Ω, Rn) , называется классическим решением задачи
(1) – (3), если она удовлетворяет системе уравнений (1) и интегральным условиям
(2), (3).
Математическое моделирование различных физических процессов приводит к нело-
кальным задачам для систем гиперболических уравнений. Задачи с интегральными усло-
виями возникают при исследовании процессов распространения тепла, физики плазмы,
технологии очистки кремниевых руд, влагопереноса в капиллярно-пористых средах и др.
[1 – 9]. Некоторые классы нелокальных краевых задач с интегральными условиями для
уравнений гиперболического типа исследованы в работах [3 – 8, 10 – 18]. Получены усло-
вия разрешимости рассматриваемых задач в различных терминах. Нелокальные задачи
с интегральными условиями для системы гиперболических уравнений относятся к мало-
исследованным задачам математической физики. Можно отметить только работы [4, 10,
11, 17], в которых изучены вопросы однозначной разрешимости нелокальных задач с ин-
тегральными условиями для системы гиперболических уравнений со смешанной произ-
водной. Данная постановка задачи рассматривается впервые.
Цель работы — построить алгоритмы нахождения решения задачи (1) – (3), а также
установить условия существования и единственности классического решения этой за-
дачи.
В пункте 1 приведена схема применяемого метода [20, 21]. Путем введения новых не-
известных функций, как линейной комбинации значений решения на характеристиках,
задача (1) – (3) сводится к эквивалентной задаче, состоящей из задачи Гурса для систе-
мы гиперболических уравнений с функциональными параметрами и краевых задач с ин-
тегральным условием для системы обыкновенных дифференциальных уравнений отно-
сительно введенных параметров. Строится алгоритм нахождения приближенного реше-
ния исследуемой задачи. Алгоритм состоит из двух частей: в первой части решаются две
краевые задачи с интегральным условием для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений, во второй части — задачи Гурса для системы гиперболических уравнений с па-
раметрами. Краевые задачи с интегральным условием для систем обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений интенсивно исследуются в последние годы и находят многочис-
ленные приложения в прикладных задачах [22 – 24]. В работе [22] предложен числен-
ный метод решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с нелокаль-
ным условием, задаваемым интегралом Стильтьеса, на основе решения вспомогатель-
ной краевой задачи. В работах [23, 24] предложены методы решения указанной зада-
чи путем перехода к двухточечным краевым задачам для системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, зависящих от параметра.
В пункте 2 исследованы краевые задачи с интегральным условием для систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений. Даны условия однозначной разрешимости в тер-
минах фундаментальных матриц дифференциальной части. Далее с помощью метода
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ . . . 437
параметризации [25] сформулированы условия однозначной, корректной разрешимости
краевых задач с интегральным условием в терминах исходных данных. Показана экви-
валентность условий теорем в терминах фундаментальных матриц и условий теорем в
терминах данных задачи. В пункте 3 доказана сходимость алгоритма и приведены усло-
вия однозначной разрешимости задачи (1) – (3) в терминах исходных данных.
1. Схема метода и алгоритм. Введем обозначения µ(t) = u(t, 0) − 1
2
u(0, 0), λ(x) =
= u(0, x) − 1
2
u(0, 0), ũ(t, x) — новая неизвестная функция. В задаче (1) – (3) выполним
замену искомой функции u(t, x) : u(t, x) = ũ(t, x) + µ(t) + λ(x) и перейдем к следующей
задаче:
∂2ũ
∂t∂x
= A(t, x)
∂ũ
∂x
+B(t, x)
∂ũ
∂t
+ C(t, x) ũ+A(t, x)λ̇(x)+
+B(t, x)µ̇(t) + C(t, x)λ(x) + C(t, x)µ(t) + f(t, x), (1.1)
ũ(t, 0) = 0, t ∈ [0, T ], (1.2)
ũ(0, x) = 0, x ∈ [0, ω], (1.3)
a∫
0
K(t, ξ) dξµ(t) +
a∫
0
K(t, ξ)ũ(t, ξ) dξ +
a∫
0
K(t, ξ)λ(ξ) dξ = ψ(t), t ∈ [0, T ], (1.4)
b∫
0
M(τ, x) dτλ(x) +
b∫
0
M(τ, x)ũ(τ, x) dτ +
b∫
0
M(τ, x)µ(τ) dτ = ϕ(x), x ∈ [0, ω]. (1.5)
Решением задачи (1.1) – (1.5) будем называть тройку функций (ũ(t, x), µ(t), λ(x)), где функ-
ция ũ(t, x) принадлежит C (Ω, Rn) , имеет частные производные
∂ũ(t, x)
∂x
∈ C (Ω, Rn) ,
∂ũ(t, x)
∂t
∈ C (Ω, Rn) ,
∂2ũ(t, x)
∂t∂x
∈ C (Ω, Rn) ; функции µ(t) и λ(x) непрерывно дифферен-
цируемы на [0, T ] и [0, ω] соответственно, удовлетворяют системе гиперболических урав-
нений (1.1), условиям на характеристиках (1.2), (1.3) и функциональным соотношениям
(1.4), (1.5) при µ(0) = λ(0).
Задачи (1) – (3) и (1.1) – (1.5) эквивалентны. Если функция u∗(t, x) является решением
задачи (1) – (3), то тройка функций (ũ∗(t, x), µ∗(t), λ∗(x)) , где ũ∗(t, x) = u∗(t, x) − µ∗(t) −
−λ∗(x), µ∗(t) = u∗(t, 0) − 1
2
u∗(0, 0), λ∗(x) = u∗(0, x) − 1
2
u∗(0, 0), будет решением задачи
(1.1) – (1.5). Обратное также справедливо. Если тройка функций (ũ∗∗(t, x), µ∗∗(t), λ∗∗(x))
является решением задачи (1.1) – (1.5), то функция u∗∗(t, x), определяемая равенством
u∗∗(t, x) = ũ∗∗(t, x)+µ∗∗(t)+λ∗∗(x), где u∗∗(t, 0)−1
2
u∗∗(0, 0) = µ∗∗(t), u∗∗(0, x)−1
2
u∗∗(0, 0) =
= λ∗∗(x), будет решением задачи (1) – (3).
Задача (1.1) – (1.3) при фиксированных µ(t), λ(x) является задачей Гурса относительно
функции ũ(t, x) в области Ω, а соотношения (1.4), (1.5) позволяют определить неизвест-
ные параметры µ(t), λ(x), причем функции µ(t), λ(x) удовлетворяют условию µ(0) =
= λ(0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
438 А. Т. АСАНОВА
Из соотношений (1.4) при t = 0 и (1.5) при x = 0 с учетом условий (1.2), (1.3) получаем
a∫
0
K(0, ξ) dξµ(0) +
a∫
0
K(0, ξ)λ(ξ) dξ = ψ(0), (1.6)
b∫
0
M(τ, 0) dτλ(0) +
b∫
0
M(τ, 0)µ(τ) dτ = ϕ(0). (1.7)
С учетом условия µ(0) = λ(0) отсюда следует
a∫
0
K(0, ξ) dξλ(0) +
a∫
0
K(0, ξ)λ(ξ) dξ = ψ(0), (1.8)
b∫
0
M(τ, 0) dτµ(0) +
b∫
0
M(τ, 0)µ(τ) dτ = ϕ(0). (1.9)
Продифференцировав соотношения (1.4), (1.5) по t, x соответственно, получим
a∫
0
K(t, ξ)dξ · µ̇(t) = −
a∫
0
∂K(t, ξ)
∂t
dξ · µ(t)−
a∫
0
∂K(t, ξ)
∂t
ũ(t, ξ) dξ−
−
a∫
0
K(t, ξ)
∂ũ(t, ξ)
∂t
dξ −
a∫
0
∂K(t, ξ)
∂t
λ(ξ) dξ + ψ̇(t), t ∈ [0, T ], (1.10)
b∫
0
M(τ, x) dτ · λ̇(x) = −
b∫
0
∂M(τ, x)
∂x
dτ · λ(x)−
−
b∫
0
∂M(τ, x)
∂x
ũ(τ, x) dτ −
b∫
0
M(τ, x)
∂ũ(τ, x)
∂x
dτ−
−
b∫
0
∂M(τ, x)
∂x
µ(τ) dτ + ϕ̇(x), x ∈ [0, ω]. (1.11)
Введем новые неизвестные функции ṽ(t, x) =
∂ũ(t, x)
∂x
, w̃(t, x) =
∂ũ(t, x)
∂t
и обозначения
B1(t) =
a∫
0
K(t, ξ)dξ, C1(t) =
a∫
0
∂K(t, ξ)
∂t
dξ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ . . . 439
G1(t, ũ, w̃) =
a∫
0
∂K(t, ξ)
∂t
ũ(t, ξ) dξ +
a∫
0
K(t, ξ)w̃(t, ξ) dξ, L1(t, λ) =
a∫
0
∂K(t, ξ)
∂t
λ(ξ) dξ,
B2(x) =
b∫
0
M(τ, x) dτ, C2(x) =
b∫
0
∂M(τ, x)
∂x
dτ,
G2(x, ũ, ṽ) =
b∫
0
∂M(τ, x)
∂x
ũ(τ, x) dτ +
b∫
0
M(τ, x)ṽ(τ, x) dτ, L2(x, µ) =
b∫
0
∂M(τ, x)
∂x
µ(τ) dτ.
Тогда системы (1.10) и (1.11) можно записать в виде
B1(t)µ̇(t) = −C1(t)µ(t)−G1(t, ũ, w̃)− L1(t, λ) + ψ̇(t), t ∈ [0, T ], (1.12)
B2(x)λ̇(x) = −C2(x)λ(x)−G2(x, ũ, ṽ)− L2(x, µ) + ϕ̇(x), x ∈ [0, ω]. (1.13)
Таким образом, имеем замкнутую систему уравнений (1.1) – (1.3), (1.12), (1.9), (1.13),
(1.8) для определения неизвестных ṽ(t, x), w̃(t, x), ũ(t, x), λ̇(x), λ(x), µ̇(t), µ(t).
Соотношение (1.12) вместе с (1.9) является краевой задачей с интегральным услови-
ем для системы дифференциальных уравнений относительно µ(t), а соотношение (1.12)
вместе с (1.8) — краевой задачей с интегральным условием для системы дифференциаль-
ных уравнений относительно λ(x).
Краевая задача с интегральным условием (1.12), (1.9) эквивалентна соотношению (1.4),
а краевая задача с интегральным условием (1.13), (1.8) — соотношению (1.5) при µ(0) =
= λ(0).
Если известны µ̇(t), λ̇(x), µ(t), λ(x), то из (1.1) – (1.3) находим функции ṽ(t, x), w̃(t, x),
ũ(t, x). Обратно, если известны функции ṽ(t, x), w̃(t, x), ũ(t, x), то из краевых задач (1.12),
(1.9) и (1.13), (1.8) можем найти µ̇(t), µ(t), λ̇(x), λ(x). Неизвестными являются как ṽ(t, x),
w̃(t, x), ũ(t, x), так и µ̇(t), µ(t), λ̇(x), λ(x). Поэтому для нахождения решения задачи (1.1) –
(1.5) используется итерационный метод: тройку (ũ∗(t, x), µ∗(t), λ∗(x)) определяем как пре-
дел последовательности
(
ũ(k)(t, x), µ(k)(t), λ(k)(x)
)
, k = 0, 1, 2, . . . , по следующему алго-
ритму:
0-шаг. 1. Полагая в правой части системы (1.12) ũ(t, x) = 0, w̃(t, x) = 0, λ(x) = 0, из
краевой задачи с интегральным условием (1.12), (1.9) находим начальные приближения
µ̇(0)(t), µ(0)(t), t ∈ [0, T ]. Полагая в правой части системы (1.13) ũ(t, x) = 0, ṽ(t, x) = 0,
µ(t) = 0, из краевой задачи с интегральным условием (1.13), (1.8) получаем начальные
приближения λ̇(0)(x), λ(0)(x), x ∈ [0, ω]. 2. Из задачи Гурса (1.1) – (1.3) при λ̇(x) = λ̇(0)(x),
µ̇(t) = µ̇(0)(t), λ(x) = λ(0)(x), µ(t) = µ(0)(t) находим ṽ(0)(t, x), w̃(0)(t, x), ũ(0)(t, x), (t, x) ∈
∈ Ω.
1-шаг. 1. Полагая в правой части системы (1.12) ũ(t, x) = ũ(0)(t, x), w̃(t, x) = w̃(0)(t, x),
λ(x) = λ(0)(x), из краевой задачи с интегральным условием (1.12), (1.9) получаем µ̇(1)(t),
µ(1)(t), t ∈ [0, T ]. Полагая в правой части системы (1.13) ũ(t, x) = ũ(0)(t, x), ṽ(t, x) =
= ṽ(0)(t, x), µ(t) = µ(0)(t), из краевой задачи с интегральным условием (1.13), (1.8) нахо-
дим λ̇(1)(x), λ(1)(x), x ∈ [0, ω]. 2. Из задачи Гурса (1.1) – (1.3) при λ̇(x) = λ̇(1)(x), µ̇(t) =
= µ̇(1)(t), λ(x) = λ(1)(x), µ(t) = µ(1)(t) получаем ṽ(1)(t, x), w̃(1)(t, x), ũ(1)(t, x), (t, x) ∈ Ω.
И так далее.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
440 А. Т. АСАНОВА
k-шаг. 1. Полагая в правой части системы (1.12) ũ(t, x) = ũ(k−1)(t, x), w̃(t, x) =
= w̃(k−1)(t, x), λ(x) = λ(k−1)(x), из краевой задачи с интегральным условием (1.12),
(1.9) находим µ̇(k)(t), µ(k)(t), t ∈ [0, T ]. Полагая в правой части системы (1.13) ũ(t, x) =
= ũ(k−1)(t, x), ṽ(t, x) = ṽ(k−1)(t, x), µ(t) = µ(k−1)(t), из краевой задачи с интегральным
условием (1.13), (1.8) получаем λ̇(k)(x), λ(k)(x), x ∈ [0, ω]. 2. Из задачи Гурса (1.1) – (1.3) при
λ̇(x) = λ̇(k)(x), µ̇(t) = µ̇(k)(t), λ(x) = λ(k)(x), µ(t) = µ(k)(t) находим ṽ(k)(t, x), w̃(k)(t, x),
ũ(k)(t, x), (t, x) ∈ Ω, k = 1, 2, . . . .
Построенный алгоритм состоит из двух частей: в первой части решаются краевые
задачи с интегральным условием для систем обыкновенных дифференциальных уравне-
ний (1.12), (1.9) и (1.13), (1.8), а во второй части — задача Гурса для системы гиперболиче-
ских уравнений с функциональными параметрами. Каждая из частей алгоритма требует
отдельного рассмотрения.
2. Краевая задача с интегральным условием для системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. Рассмотрим две краевые задачи с интегральным условием для сис-
тем обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида:
µ̇(t) = A1(t)µ(t) + g1(t), t ∈ [0, T ], (2.1)
b∫
0
M(τ, 0) dτµ(0) +
b∫
0
M(τ, 0)µ(τ) dτ = ϕ(0), (2.2)
где (n×n)-матрица A1(t) и n-вектор-функция g1(t) непрерывны на [0, T ], (n×n)-матрица
M(t, x) непрерывна на Ω, ϕ(0) — постоянный вектор, 0 < b ≤ T ;
функция µ(t) ∈ C ([0, T ], Rn) , имеющая производную µ̇(t) ∈ C ([0, T ], Rn) , называется
решением задачи (2.1), (2.2), если она удовлетворяет системе обыкновенных дифферен-
циальных уравнений (2.1) и краевому условию (2.2);
и
λ̇(x) = A2(x)λ(x) + g2(x), x ∈ [0, ω], (2.3)
a∫
0
K(0, ξ) dξ λ(0) +
a∫
0
K(0, ξ)λ(ξ) dξ = ψ(0), (2.4)
где (n×n)-матрицаA2(x) и n-вектор-функция g2(x) непрерывны на [0, ω], (n×n)-матрица
K(t, x) непрерывна на Ω, ψ(0) — постоянный вектор, 0 < a ≤ ω.
Функция λ(x) ∈ C ([0, ω], Rn) , имеющая производную λ̇(x) ∈ C ([0, ω], Rn) , называ-
ется решением задачи (2.3), (2.4), если она удовлетворяет системе обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (2.3) и краевому условию (2.4).
Как было отмечено выше, краевые задачи с нелокальным условием в виде интеграла
Стильтьеса для системы обыкновенных дифференциальных уравнений исследовались в
работах [22 – 24]. Результаты указанных работ можно применить для задач (2.1), (2.2) и
(2.3), (2.4) при условии, что
∫ a
0
K(0, ξ) dξ = 0 и
∫ b
0
M(τ, 0) dτ = 0 соответственно.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ . . . 441
Как известно, решение неоднородной системы (2.1) имеет вид [26, с. 148]
µ(t) = U1(t, 0)µ(0) +
t∫
0
U1(t, s)g1(s) ds, (2.5)
где U1(t, 0) — фундаментальная матрица решений однородной системы µ̇(t) = A1(t)µ(t)
и U1(0, 0) = I (I — единичная матрица размерности n). Подставляя выражение (2.5) при
соответствующих значениях в (2.2), получаем
b∫
0
M(τ, 0)[I + U1(τ, 0)] dτµ(0) +
b∫
0
M(τ, 0)
τ∫
0
U1(τ, s)g1(s) ds dτ = ϕ(0). (2.6)
При условии, что матрица Q1,∗ =
∫ b
0
M(τ, 0)[I + U1(τ, 0)] dτ обратима, из (2.6) можно
однозначно определить µ(0):
µ(0) = [Q1,∗]
−1
ϕ(0)−
b∫
0
M(τ, 0)
τ∫
0
U1(τ, s)g1(s) ds dτ
. (2.7)
Таким образом, при выполнении условия detQ1,∗ 6= 0 единственное решение задачи
(2.1), (2.2) имеет вид
µ(t) = U1(t, 0)[Q1,∗]
−1
ϕ(0)−
b∫
0
M(τ, 0)
τ∫
0
U1(τ, s)g1(s) ds dτ
+
+
t∫
0
U1(t, s)g1(s) ds. (2.8)
Аналогично, решение неоднородной системы (2.3) имеет вид
λ(x) = U2(x, 0)λ(0) +
x∫
0
U2(x, ξ)g2(ξ) dξ, (2.9)
где U2(x, 0) — фундаментальная матрица решений однородной системы λ̇(x) = A2(x)λ(x)
и U2(0, 0) = I. Подставляя выражение (2.9) при соответствующих значениях в (2.4), по-
лучаем
a∫
0
K(0, ξ)[I + U2(ξ, 0)] dξλ(0) +
a∫
0
K(0, ξ)
ξ∫
0
U2(ξ, ξ1)g2(ξ1) dξ1 dξ = ψ(0). (2.10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
442 А. Т. АСАНОВА
Предположим, что матрицаQ2,∗ =
∫ a
0
K(0, ξ)[I+U2(ξ, 0)] dξ обратима. Тогда из (2.10)
можем однозначно определить λ(0):
λ(0) = [Q2,∗]
−1
ψ(0)−
a∫
0
K(0, ξ)
ξ∫
0
U2(ξ, ξ1)g2(ξ1) dξ1 dξ
. (2.11)
Таким образом, при выполнении условия detQ2,∗ 6= 0 единственное решение задачи
(2.3), (2.4) имеет вид
λ(x) = U2(x, 0)[Q2,∗]
−1
ψ(0)−
a∫
0
K(0, ξ)
ξ∫
0
U2(ξ, ξ1)g2(ξ1) dξ1 dξ
+
+
x∫
0
U2(x, ξ)g2(ξ) dξ. (2.12)
Теорема 2.1. Пусть матрицаQ1,∗ =
∫ b
0
M(τ, 0)[I+U1(τ, 0)]dτ обратима. Тогда задача
(2.1), (2.2) имеет единственное решение, представимое в виде (2.8).
Теорема 2.2. Пусть матрицаQ2,∗ =
∫ a
0
K(0, ξ)[I+U2(ξ, 0)]dξ обратима. Тогда задача
(2.3), (2.4) имеет единственное решение, представимое в виде (2.12).
Поскольку фундаментальные матрицы U1(t, 0) и U2(x, 0) можно построить лишь в не-
которых случаях, проверка условий теорем 2.1 и 2.2 достаточно затруднительна. Поэто-
му вопросы нахождения условий однозначной разрешимости в терминах данных задач
особенно актуальны.
Условия однозначной корректной разрешимости семейства краевых задач с инте-
гральным условием для системы дифференциальных уравнений установлены в работе
[17] методом параметризации [25] в случае b = T (или аналогично в случае a = ω).
Метод параметризации был предложен для исследования и решения двухточечной
краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе
этого метода были получены необходимые и достаточные условия однозначной кор-
ректной разрешимости рассматриваемой задачи в терминах исходных данных, построе-
ны алгоритмы нахождения решения исследуемой задачи и доказана их сходимость. Суть
метода заключается в сведении исследуемой задачи к эквивалентной задаче на подынтер-
валах [tr−1, tr) (или [xr−1, xr)), r = 1, N, и введении дополнительных параметров как зна-
чений искомой функции в начальных точках tr−1 (или xr−1). Здесь
N⋃
r=1
[tr−1, tr) = [0, T ),
t0 = 0 < t1 < . . . < tN = T
(
или
N⋃
r=1
[xr−1, xr) = [0, ω), x0 = 0 < x1 < . . . < xN = ω
)
.
Свойства решения рассматриваемой задачи переходят в свойства введенных параметров.
Эквивалентная задача состоит из задач Коши для системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений с параметрами на [tr−1, tr) (или [xr−1, xr)) из системы алгебраических
уравнений относительно параметров.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ . . . 443
Приведем условия однозначной разрешимости задач (2.1), (2.2) и (2.3), (2.4) при от-
сутствии разбиения промежутков [0, T ] и [0, ω] соответственно.
Пусть
D1,ν(t) = I +
t∫
0
A1(τ1)dτ1 +
t∫
0
A1(τ1)
τ1∫
0
A1(τ2) dτ2 dτ1 + . . .
. . .+
t∫
0
A1(τ1) . . .
τν−2∫
0
A1(τν−1)
τν−1∫
0
A1(τν) dτν . . . dτ1, ν ∈ N. (2.13)
Достаточные условия однозначной разрешимости задачи (2.1), (2.2), а также оценку
решения устанавливает следующая теорема.
Теорема 2.3. Пусть при некотором ν, ν ∈ N,матрицаQ1,ν =
∫ b
0
M(τ, 0)[I+D1,ν(τ)] dτ
обратима и выполняются неравенства:
i)
∥∥[Q1,ν ]−1
∥∥ ≤ γ1,ν , где γ1,ν — положительная постоянная;
ii) q1,ν = γ1,νbmaxt∈[0,b] ‖M(t, 0)‖
[
eα1b −
∑ν
j=0
[α1b]
j
j!
]
< 1, где α1 = maxt∈[0,T ] ‖A1(t)‖.
Tогда задача (2.1), (2.2) имеет единственное решение µ∗(t) ∈ C ([0, T ], Rn) и справед-
лива оценка
max
t∈[0,T ]
‖µ∗(t)‖ ≤ K(1, ν) max
(
max
t∈[0,T ]
‖g1(t)‖, ‖ϕ(0)‖
)
, (2.14)
где
K(1, ν) = K1(1, ν) +K2(1, ν),
K1(1, ν) =
γ1,ν
1− q1,ν
b max
t∈[0,b]
‖M(t, 0)‖ [α1b]
ν
ν!
K0(1, ν)+
+ γ1,ν
1 + b2 max
t∈[0,b]
‖M(t, 0)‖
ν−1∑
j=0
[α1b]
j
j!
,
K2(1, ν) =
{[
eα1T − 1
] γ1,ν
1− q1,ν
b max
t∈[0,b]
‖M(t, 0)‖ [α1b]
ν
ν!
+ 1
}
K0(1, ν),
K0(1, ν) =
[
eα1T − 1
]
γ1,ν
1 + b2 max
t∈[0,b]
‖M(t, 0)‖
ν−1∑
j=0
[α1b]
j
j!
+ Teα1T .
Величина K(1, ν) в неравенстве (2.14) ограничена при фиксированном ν ∈ N и не
зависит от функций g1(t), ϕ(0). Поэтому при условиях теоремы 2.3 краевая задача с ин-
тегральным условием (2.1), (2.2) корректно разрешима.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
444 А. Т. АСАНОВА
Аналогично, введем обозначение
D2,υ(x) = I +
x∫
0
A2(ξ1) dξ1 +
x∫
0
A2(ξ1)
ξ1∫
0
A2(ξ2) dξ2 dξ1 + . . .
. . .+
x∫
0
A2(ξ1) . . .
ξυ−2∫
0
A2(ξυ−1)
ξυ−1∫
0
A2(ξυ) dξυ . . . dξ1, υ ∈ N. (2.15)
Для краевой задачи с интегральным условием (2.3), (2.4) справедлива следующая те-
орема.
Теорема 2.4. Пусть при некотором υ, υ ∈ N,матрицаQ2,υ =
∫ a
0
K(0, ξ)[I+D2,υ(ξ)] dξ
обратима и выполняются неравенства:
i)
∥∥[Q2,υ]−1
∥∥ ≤ γ2,υ, где γ2,υ — положительная постоянная;
ii) q2,υ = γ2,υ amaxx∈[0,a] ‖K(0, x)‖
[
eα2a −
∑υ
j=0
[α2a]j
j!
]
< 1, гдеα2 = maxx∈[0,ω] ‖A2(x)‖.
Tогда задача (2.3), (2.4) имеет единственное решение λ∗(x) ∈ C ([0, ω], Rn) и справед-
лива оценка
max
x∈[0,ω]
‖λ∗(x)‖ ≤ K(2, υ) max
(
max
x∈[0,ω]
‖g2(x)‖, ‖ψ(0)‖
)
, (2.16)
где
K(2, υ) = K1(2, υ) +K2(2, υ),
K1(2, υ) =
γ2,υ
1− q2,υ
b max
x∈[0,a]
‖K(0, x)‖ [α2a]υ
υ!
K0(2, υ)+
+ γ2,υ
1 + a2 max
x∈[0,a]
‖K(0, x)‖
υ−1∑
j=0
[α2a]j
j!
,
K2(2, υ) =
{
[eα2ω − 1]
γ2,υ
1− q2,υ
a max
x∈[0,a]
‖K(0, x)‖ [α2a]υ
υ!
+ 1
}
K0(2, υ),
K0(2, υ) = [eα2ω − 1] γ2,υ
1 + a2 max
x∈[0,a]
‖K(0, x)‖
υ−1∑
j=0
[α2a]j
j!
+ ωeα2ω.
Величина K(2, υ) в неравенстве (2.16) ограничена при фиксированном υ ∈ N и не
зависит от функций g2(x), ψ(0). Поэтому при условиях теоремы 2.4 краевая задача с ин-
тегральным условием (2.3), (2.4) будет также корректно разрешима.
Доказательства теорем 2.3 и 2.4 проводятся аналогично доказательству теоремы 1 из
[25] и теоремы 2 из [17] с учетом специфики рассматриваемой задачи и приведенного
алгоритма.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ . . . 445
При ν = υ = 1 матрицы Q1,ν и Q2,υ имеют вид
Q1,1 =
b∫
0
M(τ, 0)
2I +
τ∫
0
A1(τ1) dτ1
dτ, Q2,1 =
a∫
0
K(0, ξ)
2I +
ξ∫
0
A2(ξ1) dξ1
dξ.
Отметим, что фундаментальные матрицы U1(t, 0), U2(x, 0) и матрицы D1,ν(t), D2,υ(x)
взаимосвязаны [26, с. 145]. Предположения относительно матриц A1(t) и A2(x), а также
представления матриц D1,ν(t), D2,υ(x) позволяют перейти к пределу при ν → ∞ в соот-
ношении (2.13) и при υ → ∞ в соотношении (2.15).
Тогда получим U1(t, 0) = limν→∞D1,ν(t), U2(x, 0) = limυ→∞D2,υ(x). Отсюда следует
Q1,∗ =
b∫
0
M(τ, 0)[I + U1(τ, 0)] dτ = lim
ν→∞
b∫
0
M(τ, 0)[I +D1,ν(τ)] dτ = lim
ν→∞
Q1,ν ,
Q2,∗ =
a∫
0
K(0, ξ)[I + U2(ξ, 0)] dξ = lim
υ→∞
a∫
0
K(0, ξ)[I +D2,υ(ξ)] dξ = lim
υ→∞
Q2,υ.
Условия i), ii) теоремы 2.3 эквивалентны условию теоремы 2.1, а условия i), ii) теоре-
мы 2.4 — условию теоремы 2.2, т. е. обеспечивают обратимость матриц Q1,∗ и Q2,∗ со-
ответственно. Таким образом, теоремы 2.3 и 2.4 дают коэффициентные условия одно-
значной разрешимости краевых задач с интегральным условием (2.1), (2.2) и (2.3), (2.4)
соответственно, а выполнение оценок (2.14) и (2.16) — корректную разрешимость ука-
занных задач.
3. Сходимость алгоритма и основной результат. В пункте 1 был построен алгоритм
нахождения решения задачи (1.1) – (1.5), эквивалентной задаче (1) – (3). Для формулиров-
ки основного результата, который дает условия сходимости предложенного алгоритма,
приведем некоторые предположения и обозначения.
Предположим, что (n× n)-матрица B1(t) =
∫ a
0
K(t, ξ) dξ обратима для всех t ∈ [0, T ],
а (n× n)-матрица B2(x) =
∫ b
0
M(τ, x)dτ — для всех x ∈ [0, ω].
Введем обозначения
A1(t) = −[B1(t)]−1C1(t), A2(x) = −[B2(x)]−1C2(x),
α = max
(t,x)∈Ω
‖A(t, x)‖, β = max
(t,x)∈Ω
‖B(t, x)‖, χ = max
(t,x)∈Ω
‖C(t, x)‖, H = α+ β + χ,
%1 = max
(t,x)∈Ω
‖K(t, x)‖, %2 = max
(t,x)∈Ω
∥∥∥∥∂K(t, x)
∂t
∥∥∥∥ ,
σ1 = max
(t,x)∈Ω
‖M(t, x)‖, σ2 = max
(t,x)∈Ω
∥∥∥∥∂M(t, x)
∂x
∥∥∥∥ ,
δ1 = max
t∈[0,T ]
∥∥∥[B1(t)]−1
∥∥∥ , δ2 = max
x∈[0,ω]
∥∥∥[B2(x)]−1
∥∥∥ ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
446 А. Т. АСАНОВА
S1(a) = aδ1
{
(%1 + %2)H max(T, ω, Tω)
[
1 + eH(T+ω)
]
+ %1
}
,
S2(b) = bδ2
{
(σ1 + σ2)H max(T, ω, Tω)
[
1 + eH(T+ω)
]
+ σ1
}
.
В пункте 2 установлены условия однозначной разрешимости краевых задач с инте-
гральными условиями (2.1), (2.2) и (2.3), (2.4). При фиксированных ṽ(t, x), w̃(t, x), ũ(t, x)
на каждом шаге алгоритма будут решаться краевые задачи с интегральными условиями
(1.12), (1.9) и (1.13), (1.8). Кроме того, в задаче (1.12), (1.9) считается известным также λ(x),
а в задаче (1.13), (1.8) — µ(t). При фиксированных λ̇(x), µ̇(t), λ(x), µ(t) будет решаться
задача Гурса (1.1) – (1.3).
Следующее утверждение дает условия сходимости алгоритма, одновременно обеспе-
чивающие существование единственного решения задачи (1) – (3).
Теорема 3.1. Пусть:
1) (n×n)-матрицы A(t, x), B(t, x), C(t, x) и вектор-функция f(t, x) непрерывны на Ω;
2) (n × n)-матрица K(t, x) и n-вектор-функция ψ(t) непрерывно дифференцируемы
по t на Ω и [0, T ] соответственно; (n × n)-матрица M(t, x) и n-вектор-функция ϕ(x)
непрерывно дифференцируемы по x на Ω и [0, ω] соответственно;
3) (n×n)-матрица B1(t) обратима для всех t ∈ [0, T ], а (n×n)-матрица B2(x) — для
всех x ∈ [0, ω];
4) при некоторых ν, ν ∈ N, υ, υ ∈ N, матрицы Q1,ν =
∫ b
0
M(τ, 0)[2I + D1,ν(τ)] dτ,
Q2,υ =
∫ a
0
K(0, ξ)[2I + D2,υ(ξ)] dξ обратимы и выполняются неравенства i), ii) теорем
2.3 и 2.4 соответственно;
5) имеет место неравенство
δ = max (K(1, ν)S1(a) +K(2, υ)S2(b), (α1K(1, ν) + 1)S1(a), (α2K(2, υ) + 1)S2(b)) < 1.
Тогда задача (1) – (3) имеет единственное классическое решение.
Доказательство. Пусть выполнены условия 1 – 3 теоремы 3.1. Используем 0-шаг алго-
ритма и рассмотрим краевые задачи с интегральным условием
µ̇(t) = A1(t)µ(t)− [B1(t)]−1ψ̇(t), t ∈ [0, T ], (3.1)
b∫
0
M(τ, 0)dτµ(0) +
b∫
0
M(τ, 0)µ(τ)dτ = ϕ(0), (3.2)
λ̇(x) = A2(x)λ(x)− [B2(x)]−1ϕ̇(x), x ∈ [0, ω], (3.3)
a∫
0
K(0, ξ) dξλ(0) +
a∫
0
K(0, ξ)λ(ξ) dξ = ψ(0). (3.4)
Из выполнения условия 4, которое включает условия теорем 2.3 и 2.4, следует однознач-
ная разрешимость задач (3.1), (3.2) и (3.3), (3.4). Нулевые приближения µ(0)(t) и λ(0)(x)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ . . . 447
находим из краевых задач (3.1), (3.2) и (3.3), (3.4). Тогда аналогично оценкам (2.15), (2.16)
для функций µ(0)(t), λ(0)(x) и их производных µ̇(0)(t), λ̇(0)(x) будут справедливы оценки
max
t∈[0,T ]
∥∥∥µ(0)(t)
∥∥∥ ≤ K(1, ν) max
(
max
t∈[0,T ]
∥∥∥[B1(t)]−1ψ̇(t)
∥∥∥ , ‖ϕ(0)‖
)
,
max
t∈[0,T ]
∥∥∥µ̇(0)(t)
∥∥∥ ≤ [α1K(1, ν) + 1] max
(
max
t∈[0,T ]
∥∥∥[B1(t)]−1ψ̇(t)
∥∥∥ , ‖ϕ(0)‖
)
,
max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ(0)(x)
∥∥∥ ≤ K(2, υ) max
(
max
x∈[0,ω]
∥∥[B2(x)]−1F1(x)
∥∥ , ‖ψ(0)‖
)
,
max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ̇(0)(x)
∥∥∥ ≤ (α2K(2, υ) + 1) max
(
max
x∈[0,ω]
∥∥[B2(x)]−1ϕ̇(x)
∥∥ , ‖ψ(0)‖
)
.
Решая задачу Гурса (1.1) – (1.3) при найденных значениях параметров, находим ṽ(0)(t, x),
w̃(0)(t, x), ũ(0)(t, x) для всех (t, x) ∈ Ω. В этом случае выполняются неравенства∥∥∥ṽ(0)(t, x)
∥∥∥ ≤ max(T, ω, Tω)
[
1 + eH(T+ω)
]
max
(t,x)∈Ω
‖f̃(t, x)‖,
∥∥∥w̃(0)(t, x)
∥∥∥ ≤ max(T, ω, Tω)
[
1 + eH(T+ω)
]
max
(t,x)∈Ω
‖f̃(t, x)‖,
∥∥∥ũ(0)(t, x)
∥∥∥ ≤ max(T, ω, Tω)
[
1 + eH(T+ω)
]
max
(t,x)∈Ω
‖f̃(t, x)‖,
где
f̃(t, x) = A(t, x)λ̇(0)(x) +B(t, x)µ̇(0)(t) + C(t, x)
[
λ(0)(x) + µ(0)(t)
]
+ f(t, x).
Последовательно из k-го шага алгоритма определяем функции µ(k)(t), λ(k)(x), µ̇(k)(t),
λ̇(k)(x), ṽ(k)(t, x), w̃(k)(t, x), ũ(k)(t, x), а из (k + 1)-го шага — µ(k+1)(t), λ(k+1)(x), µ̇(k+1)(t),
λ̇(k+1)(x), ṽ(k+1)(t, x), w̃(k+1)(t, x), ũ(k+1)(t, x), k = 1, 2, . . . . Оценивая соответствующие
разности последовательных приближений, получаем
max
t∈[0,T ]
∥∥∥µ(k+1)(t)− µ(k)(t)
∥∥∥ ≤ K(1, ν) max
t∈[0,T ]
∥∥[B1(t)]−1
∥∥ [∥∥∥L1
(
t, λ(k) − λ(k−1)
)∥∥∥+
+
∥∥∥G1
(
t, ũ(k) − ũ(k−1), w̃(k) − w̃(k−1)
)∥∥∥] , (3.5)
max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ(k+1)(x)− λ(k)(x)
∥∥∥ ≤ K(2, υ) max
x∈[0,ω]
∥∥[B2(x)]−1
∥∥ [∥∥∥L2
(
x, µ(k) − µ(k−1)
)∥∥∥+
+
∥∥∥G2
(
x, ũ(k) − ũ(k−1), ṽ(k) − ṽ(k−1)
)∥∥∥] , (3.6)
max
t∈[0,T ]
∥∥∥µ̇(k+1)(t)− µ̇(k)(t)
∥∥∥ ≤ [α1K(1, ν) + 1] max
t∈[0,T ]
∥∥[B1(t)]−1
∥∥ [∥∥∥L1(t, λ(k) − λ(k−1))
∥∥∥+
+
∥∥∥G1
(
t, ũ(k) − ũ(k−1), w̃(k) − w̃(k−1)
)∥∥∥] , (3.7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
448 А. Т. АСАНОВА
max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ̇(k+1)(x)− λ̇(k)(x)
∥∥∥ ≤ [α2K(2, υ) + 1] max
x∈[0,ω]
∥∥[B2(x)]−1
∥∥ [∥∥∥L2(x, µ(k) − µ(k−1))
∥∥∥+
+
∥∥∥G2
(
x, ũ(k) − ũ(k−1), ṽ(k) − ṽ(k−1)
)∥∥∥] , (3.8)
∥∥∥ṽ(k+1)(t, x)− ṽ(k)(t, x)
∥∥∥ ≤ max(T, ω, Tω)
[
1 + eH(T+ω)
]{
α max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ̇(k+1)(x)− λ̇(k)(x)
∥∥∥+
+ β max
t∈[0,T ]
∥∥∥µ̇(k+1)(t)− µ̇(k)(t)
∥∥∥+ χ
[
max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ(k+1)(x)− λ(k)(x)
∥∥∥+
+ max
t∈[0,T ]
∥∥∥µ(k+1)(t)− µ(k)(t)
∥∥∥]} , (3.9)
∥∥∥w̃(k+1)(t, x)− w̃(k)(t, x)
∥∥∥ ≤ max(T, ω, Tω)
[
1 + eH(T+ω)
]{
α max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ̇(k+1)(x)− λ̇(k)(x)
∥∥∥+
+ β max
t∈[0,T ]
∥∥∥µ̇(k+1)(t)− µ̇(k)(t)
∥∥∥+ χ
[
max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ(k+1)(x)− λ(k)(x)
∥∥∥+
+ max
t∈[0,T ]
∥∥∥µ(k+1)(t)− µ(k)(t)
∥∥∥]} , (3.10)
∥∥∥ũ(k+1)(t, x)− ũ(k)(t, x)
∥∥∥ ≤ max(T, ω, Tω)
[
1 + eH(T+ω)
]{
α max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ̇(k+1)(x)− λ̇(k)(x)
∥∥∥+
+ β max
t∈[0,T ]
∥∥∥µ̇(k+1)(t)− µ̇(k)(t)
∥∥∥+ χ
[
max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ(k+1)(x)− λ(k)(x)
∥∥∥+
+ max
t∈[0,T ]
∥∥∥µ(k+1)(t)− µ(k)(t)
∥∥∥]} . (3.11)
Пусть
∆k+1 = max
(
max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ(k+1)(x)− λ(k)(x)
∥∥∥+ max
t∈[0,T ]
∥∥∥µ(k+1)(t)− µ(k)(t)
∥∥∥ ,
max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ̇(k+1)(x)− λ̇(k)(x)
∥∥∥ , max
t∈[0,T ]
∥∥∥µ̇(k+1)(t)− µ̇(k)(t)
∥∥∥) .
Тогда из соотношений (3.5) – (3.8) с учетом обозначений и оценок (3.9) – (3.11) получа-
ем основное неравенство
∆k+1 ≤ δ∆k. (3.12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ . . . 449
Из условия 5 теоремы следует сходимость последовательности ∆k при k → ∞ к ∆∗. Это
дает равномерную сходимость последовательностей λ(k)(x), λ̇(k)(x), µ(k)(t), µ̇(k)(t) при
k → ∞ соответственно к λ∗(x), λ̇∗(x), µ∗(t), µ̇∗(t). Функции λ∗(x), µ∗(t) являются непре-
рывными и непрерывно дифференцируемыми на [0, ω], [0, T ] соответственно. На основе
оценок (3.9) – (3.11) установим равномерную сходимость последовательностей ṽ(k)(t, x),
w̃(k)(t, x), ũ(k)(t, x) относительно (t, x) ∈ Ω к функциям ṽ∗(t, x), w̃∗(t, x), ũ∗(t, x) соответ-
ственно. Очевидно, что функции ũ∗(t, x), ṽ∗(t, x), w̃∗(t, x) являются непрерывными на Ω.
Записывая задачи, которые решаем на (k + 1)-м шаге алгоритма, и переходя к пределу
k → ∞, убеждаемся, что функции ũ∗(t, x), λ∗(x), µ∗(t) вместе с производными удовлетво-
ряют задаче Гурса (1.1) – (1.3), краевым задачам с интегральными условиями (1.12), (1.9)
и (1.13), (1.8). Осуществим обратный переход от задачи (1.12), (1.9) к соотношению (1.4),
а от задачи (1.13), (1.8) к соотношению (1.5). Тогда тройка функций (ũ∗(t, x), λ∗(x), µ∗(t))
является решением задачи (1.1) – (1.5).
Докажем единственность решения задачи (1.1) – (1.5). Пусть существует два решения:
тройки функций (ũ∗(t, x), λ∗(x), µ∗(t)) и (ũ∗∗(t, x), λ∗∗(x), µ∗∗(t)) . Обозначим
∆̃ = max
(
max
x∈[0,ω]
‖λ∗(x)− λ∗∗(x)‖+ max
t∈[0,T ]
‖µ∗(t)− µ∗∗(t)‖ ,
max
x∈[0,ω]
∥∥∥λ̇∗(x)− λ̇∗∗(x)
∥∥∥ , max
t∈[0,T ]
‖µ̇∗(t)− µ̇∗∗(t)‖
)
.
Проведя вычисления аналогично (3.5) – (3.11), получим
∆̃ ≤ δ∆̃. (3.13)
По условию 5 теоремы δ < 1. Тогда неравенство (3.13) имеет место только при ∆̃ ≡ 0,
откуда получаем λ∗(x) = λ∗∗(x), µ∗(t) = µ∗∗(t) и ũ∗(t, x) = ũ∗∗(t, x).
Таким образом, решение задачи (1.1) – (1.5) единственно.
Из эквивалентности задач (1) – (3) и (1.1) – (1.5) следует существование единственного
решения задачи (1) – (3) — функции u∗(t, x), определяемой равенством
u∗(t, x) = ũ∗(t, x) + λ∗(x) + µ∗(t).
Теорема 3.1 доказана.
Литература
1. Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных
уравнений и его приложении к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравне-
ния. — 1982. — 18, № 1. — C. 72 – 81.
2. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными. — Киев: Наук. думка, 1984. — 264 c.
3. Нахушева З. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных // Дифференц.
уравнения. — 1986. — 22, № 1. — C. 171 – 174.
4. Жестков С. В. О задаче Гурса с интегральными краевыми условиями // Укр. мат. журн. — 1990. — 42,
№ 1. — C. 132 – 135.
5. Kiguradze T. Some boundary value problems for systems of linear partial differential equations of hyperbolic
type // Mem. Different. Equat. and Math. Phys. — 1994. — 1. — P. 1 – 144.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
450 А. Т. АСАНОВА
6. Голубева Н. Д., Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче с интегральными условиями // Мат.
заметки. — 1996. — 59, № 3. — C. 171 – 174.
7. Bouziani A. Solution forte d’un probleme mixte avec conditions non locales pour une classe d’equations
hyperboliques // Bull. CI. Sci. Acad. Roy. Belg. — 1997. — 8. — P. 53 – 70.
8. Пулькина Л. С. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гипербо-
лического уравнения // Дифференц. уравнения. — 2000. — 36, № 2. — C. 279 – 280.
9. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. — M.: Наука, 2006. —
287 с.
10. Асанова А. Т. О нелокальной задаче с интегральным смещением для систем гиперболических урав-
нений со смешанной производной // Мат. журн. — 2008. — 8, № 1. — C. 9 – 16.
11. Ткач Б. П., Урманчева Л. Б. Численно-аналитический метод отыскания решений систем с распреде-
ленными параметрами с интегральным условием // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 1. — C. 110 –
119.
12. Пулькина Л. С., Кечина О. М. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического
уравнения в характеристическом прямоугольнике // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. —
2009. — 68, № 2. — C. 80 – 88.
13. Сабитова Ю. К. Нелокальные начально-граничные задачи для вырождающегося гиперболического
уравнения // Изв. вузов. Математика. — 2009. — № 12. — C. 49 – 58.
14. Кечина О. М. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с условиями, заданными внутри
характеристического прямоугольника // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. — 2009. — 72,
№ 6. — C. 50 – 56.
15. Уткина Е. А. О единственности решения полуинтегральной задачи для одного уравнения четвертого
порядка // Вестн. Самар. гос. ун-та. Естественнонауч. сер. — 2010. — 78, № 4. — C. 98 – 102.
16. Сабитов К. Б. Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным инте-
гральным условием // Дифференц. уравнения. — 2010. — 46, № 10. — C. 1468 – 1478.
17. Asanova A. T., Dzhumabaev D. S. Well-posedness of nonlocal boundary-value problems with integral condi-
tion for the system of hyperbolic equations // J. Math. Anal. and Appl. — 2013. — 402, № 1. — P. 167 – 178.
18. Моисеев Е. И., Корзюк В. И., Козловская И. С. Классическое решение задачи с интегральным усло-
вием для одномерного волнового уравнения // Дифференц. уравнения. — 2014. — 50, № 10. — C. 1373 –
1385.
19. Сабитова Ю. К. Краевая задача с нелокальным интегральным условием для уравнений смешанного
типа с вырождением на переходной линии // Мат. заметки. — 2015. — 98, № 3. — C. 393 – 406.
20. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Однозначная разрешимость краевой задачи с данными на характе-
ристиках для систем гиперболических уравнений // Журн. вычислит. математики и мат. физики. —
2002. — 42, № 11. — C. 1673 – 1685.
21. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи для систем
гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39, № 10. — C. 1343 – 1354.
22. Абрамов А. А., Юхно Л. Ф. Нелинейная спектральная задача для системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений с нелокальным условием // Журн. вычислит. математики и мат. физики. —
2012. — 52, № 2. — C. 231 – 236.
23. Абрамов А. А., Юхно Л. Ф. Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравне-
ний с избыточными условиями // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2014. — 54, № 4. —
C. 585 – 590.
24. Абрамов А. А., Юхно Л. Ф. Метод решения нелокальной задачи для системы линейных дифференци-
альных уравнений // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2014. — 54, № 11. — C. 1752 – 1755.
25. Джумабаев Д. С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного
дифференциального уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 1989. — 29, № 1. —
C. 50 – 66.
26. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 536 c.
Получено 19.12.16,
после доработки — 01.11.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
|