Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177325 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 458-464 — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177325 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773252021-02-15T01:26:25Z Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом. We establish new properties of solutions to differential-functional equation with a linearly transformed argument. 2017 Article Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 458-464 — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177325 517.929 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом. |
| format |
Article |
| author |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. |
| spellingShingle |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. |
| author_sort |
Бельский, Д.В. |
| title |
Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_short |
Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_full |
Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_fullStr |
Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_full_unstemmed |
Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_sort |
асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177325 |
| citation_txt |
Асимптотические границы решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 458-464 — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT belʹskijdv asimptotičeskiegranicyrešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom AT pelûhgp asimptotičeskiegranicyrešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom |
| first_indexed |
2025-07-15T15:22:28Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:22:28Z |
| _version_ |
1837726903977377792 |
| fulltext |
УДК 517.929
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
С ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
Д. В. Бельский, Г. П. Пелюх
Ин-т математики НАН Украины
ул. Терещенковская, 3, Киев, 01004, Украина
We establish new properties of solutions to differential-functional equation with a linearly transformed
argument.
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно
перетвореним аргументом.
В настоящей статье исследуется уравнение
x′(t) = ax(t) + bx(qt) + cx′(qt) + f(t), (1)
где a ∈ R, a 6= 0, {b, c} ⊂ C, 0 < q < 1, которое при c = 0 изучалось в [1]. В дальнейшем
числа Mi — неотрицательные постоянные.
Нам понадобится следующая лемма [1].
Лемма. Пусть:
1) µ < 0, γ > 0 и l — такое комплексное число, что |l| = eγµ;
2) W (s) — решение разностного уравнения
W (s)− lW (s+ µ) = G(s),
где G(s) — такая непрерывная функция, что
|G(s)| ≤ M1e
−βs, s ≥ s0,
для некоторых положительных величин β, s0 и |W (s)| ≤ M2 для s ∈ [s0 + µ, s0].
Тогда:
i) |W (s)| ≤ M3e
−γs, s ≥ s0, если γ < β;
ii) |W (s)| ≤ M3se
−γs, s ≥ s0, если γ = β;
iii) |W (s)| ≤ M3e
−βs, s ≥ s0, если γ > β.
Докажем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть:
1) a < 0 и bc 6= 0;
2) для параметра j ∈ N
⋃
{0} выполняется неравенство
v0
df
=
ln
(
|b|
a
)
ln q−1
≥ vmin
df
=
ln
(∣∣cqj∣∣ q−1 + |bqj+acqjq−1|
a
)
ln q−1
;
c© Д. В. Бельский, Г. П. Пелюх, 2017
458 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 459
3) функция f(t) принадлежит Cj+1[1,+∞) и f (m)(t) = O (tα−m) , t → +∞, α ∈ R,
m = 0, j + 1.
Тогда для каждого j+2 раза непрерывно дифференцируемого решения x(t) уравнения
(1) выполняются оценки:
i) если α < v0, то x(t) = O (tv0) , t → +∞;
ii) если α = v0, то x(t) = O (tv0 ln t) , t → +∞;
iii) если α > v0, то x(t) = O (tα) , t → +∞.
Доказательство. Продифференцируем уравнение (1) j раз
x(j+1)(t) = ax(j)(t) + bqjx(j)(qt) + cqjx(j+1)(qt) + f (j)(t).
Выполним замену переменных x(j)(t) = tvy(t), где v
df
=max {vmin + ε, α− j} , ε > 0 —
произвольное число:
y′(t) =
(
a− v
t
)
y(t) +
(
bqjqv +
vcqjqv−1
t
)
y(qt) + cqjqvy′(qt) + t−vf (j)(t),
y(t) = ea(t−t0)
{
y(t0)− cqjqv−1y(qt0)
}
+ cqjqv−1y(qt)+
+
t∫
t0
ea(t−s)
{(
bqjqv + acqjqv−1
)
y(qs)− v
s
y(s) +
vcqjqv−1
s
y(qs)
}
ds+
+
t∫
t0
ea(t−s)s−vf (j)(s) ds, t0 ≥ 1.
Учитывая неравенство v ≥ α− j и условия 1, 3, оцениваем |y(t)| при t0 ≤ t ≤ T :
|y(t)| ≤ ea(t−t0)
∣∣y(t0)− cqjqv−1y(qt0)∣∣+ |c|qjqv−1|y(qt)|+
+
t∫
t0
ea(t−s)
{∣∣bqjqv + acqjqv−1
∣∣ |y(qs)|+ |v|
s
|y(s)|+ |vc|q
jqv−1
s
|y(qs)|
}
ds+
+
t∫
t0
ea(t−s)
∣∣∣s−vf (j)(s)∣∣∣ ds ≤ ea(t−t0)
∣∣y(t0)− cqjqv−1y(qt0)∣∣+
+ |c|qjqv−1 sup
qt0≤u≤T
|y(u)|+
t∫
t0
ea(t−s)
{∣∣bqjqv + acqjqv−1
∣∣ sup
qt0≤u≤T
|y(u)|+
+
|v|
t0
sup
qt0≤s≤T
|y(s)|+ |vc|q
jqv−1
t0
sup
qt0≤u≤T
|y(u)|
}
ds+
M6
|a|
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
460 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
≤
∣∣y(t0)− cqjqv−1y(qt0)∣∣+ (|c|qjqv−1 + ∣∣∣∣bqja qv + cqjqv−1
∣∣∣∣+ |v|
|a|t0
+
|vc|qjqv−1
|a|t0
)
×
× sup
qt0≤u≤T
|y(u)|+ M6
|a|
≤
∣∣y(t0)− cqjqv−1y(qt0)∣∣+
+
(
|c|qjqv−1 +
∣∣∣∣bqja qv + cqjqv−1
∣∣∣∣+ |v|
|a|t0
+
|vc|qjqv−1
|a|t0
)
sup
qt0≤u≤t0
|y(u)|+
+
(
|c|qjqv−1 +
∣∣∣∣bqja qv + cqjqv−1
∣∣∣∣+ |v|
|a|t0
+
|vc|qjqv−1
|a|t0
)
sup
t0≤u≤T
|y(u)|+ M6
|a|
.
Отсюда получаем
sup
t0≤t≤T
|y(t)| ≤
∣∣y(t0)− cqjqv−1y(qt0)∣∣+
+
(
|c|qjqv−1 +
∣∣∣∣bqja qv + cqjqv−1
∣∣∣∣+ |v|
|a|t0
+
|vc|qjqv−1
|a|t0
)
sup
qt0≤u≤t0
|y(u)|+
+
(
|c|qjqv−1 +
∣∣∣∣bqja qv + cqjqv−1
∣∣∣∣+ |v|
|a|t0
+
|vc|qjqv−1
|a|t0
)
sup
t0≤u≤T
|y(u)|+ M6
|a|
.
Поскольку v > vmin, то выполняется неравенство
|c|qjqv−1 +
∣∣∣∣bqja qv + cqjqv−1
∣∣∣∣ = qv
(
|c|qjq−1 +
∣∣∣∣bqja + cqjq−1
∣∣∣∣) < 1,
и для достаточно большого t0 получаем
|c|qjqv−1 +
∣∣∣∣bqja qv + cqjqv−1
∣∣∣∣+ |v|
|a|t0
+
|vc|qjqv−1
|a|t0
< 1.
Отсюда
sup
t0≤t≤T
|y(t)| ≤
{
1− |c|qjqv−1 −
∣∣∣∣bqja qv + cqjqv−1
∣∣∣∣− |v|
|a|t0
− |vc|q
jqv−1
|a|t0
}−1
×
×
{∣∣y(t0)− cqjqv−1y(qt0)∣∣+(|c|qjqv−1 + ∣∣∣∣bqja qv + cqjqv−1
∣∣∣∣+
+
|v|
|a|t0
+
|vc|qjqv−1
|a|t0
)
sup
qt0≤u≤t0
|y(u)|+ M6
|a|
}
,
и так как T произвольно, то y(t) = O(1), t → +∞ и x(j)(t) = tvy(t) = O (tv) , t → +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 461
Выполняя в уравнении
x(j)(t) = ax(j−1)(t) + bqj−1x(j−1)(qt) + cqj−1x(j)(qt) + f (j−1)(t),
x(j−1)(t) = − b
a
qj−1x(j−1)(qt)− c
a
qj−1x(j)(qt) +
1
a
x(j)(t)− 1
a
f (j−1)(t)
df
=
df
=− b
a
qj−1x(j−1)(qt) + g(t),
замену x(j−1)(t) = tv∗y(t), где v∗ ≥ max{v, α − (j − 1)} и v∗ >
ln
(
|bqj−1|
a
)
ln q−1
=
= v0 − (j − 1), получаем y(t) = − b
a
qj−1qv∗y(qt) + t−v∗g(t). Определим вспомогатель-
ные коэффициент c1
df
=− b
a
qj−1qv∗ и неоднородность g1(t)
df
= t−v∗g(t) и оценим их согласно
выбору v∗:
|g1(t)| = O
(
tmax{v,α−(j−1)}−v∗
)
≤ M7, t → ∞,
|c1| = exp
ln
∣∣∣ bqj−1
a
∣∣∣
ln q−1
− v∗
ln q−1
< 1.
Тогда
y(t) = c1y(qt) + g1(t)
и для q−1 ≤ t ≤ T имеем
|y(t)| ≤ |c1| |y(qt)|+M7 ≤ |c1| sup
q−1≤t≤T
|y(qt)|+M7 ≤
≤ |c1| sup
1≤t≤q−1
|y(t)|+ |c1| sup
q−1≤t≤T
|y(t)|+M7.
Отсюда
sup
q−1≤t≤T
|y(t)| ≤ |c1| sup
1≤t≤q−1
|y(t)|+ |c1| sup
q−1≤t≤T
|y(t)|+M7,
sup
q−n−1≤t≤T
|y(t)| ≤ (1− |c1|)−1
(
|c1| sup
q−n≤t≤q−n−1
|y(t)|+M7
)
.
T — произвольное число, поэтому x(j−1)(t) = tv∗y(t) = O (tv∗) , t → ∞, где
v∗ = max {v0 − (j − 1) + ε,max {vmin + ε, α− j} , α− (j − 1)} =
= max {v0 − (j − 1) + ε, vmin + ε, α− (j − 1)} .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
462 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Повторяя этот процесс, убеждаемся, что
x(j−2)(t) = O
(
tmax{v0−(j−2)+ε;max{v0−(j−1)+ε,vmin+ε,α−(j−1)},α−(j−2)}
)
=
= O
(
tmax{v0−(j−2)+ε,vmin+ε,α−(j−2)}
)
, t → ∞.
Действуя так несколько раз, получаем (по условию теоремы v0 ≥ vmin)
x(t) = O
(
tmax{v0+ε,vmin+ε,α}
)
= O
(
tmax{v0+ε,α}
)
= O
(
tmax{v0,α}+ε
)
, t → ∞.
Аналогично, для производной справедлива оценка
x′(t) = O
(
tmax{v0−1+ε,α−1}
)
= O
(
tmax{v0+ε,α}−1
)
= O
(
tmax{v0,α}+ε−1
)
, t → ∞.
Определим для краткости h
df
=max{v0, α} + ε, µ = ln q и выполним в уравнении (1)
замену переменных t = es, W (s) = t−hx(t). Тогда x(t) = ehsW (s) и
W (s)−
(
bqh
−a
)
W (s+ µ) = a−1
(
hW (s) +W ′(s)− c
{
hehµW (s+ µ) + ehµW ′(s+ µ)
}
e−µ
)
×
× e−s − a−1e−hsf (es) .
Поскольку W (s) = t−hx(t) = e−hsx (es) = O(1), s → +∞, то W ′(s) = −he−hsx (es) +
+e−hsx′ (es) es = O(1), s → +∞. Пусть l df=
bqh
−a
и
G(s)
df
= a−1
(
hW (s) +W ′(s)− c
{
hehµW (s+ µ) + ehµW ′(s+ µ)
}
e−µ
)
e−s−
− a−1e−hsf (es) ,
тогда
W (s)− lW (s+ µ) = G(s),
где
|l| =
∣∣∣∣bqh−a
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ bqhbqv0
∣∣∣∣ = qh−v0 = e(h−v0)µ, |G(s)| ≤ M8e
−s +M9e
(α−h)s, s ≥ s0 > 0.
Дальнейшие рассуждения доказательства теоремы 1 дословно повторяют доказатель-
ство из [1].
Случай i): α < v0. Если v0 < α + 1, выберем h так, что v0 < h < α + 1. Тогда
|G(s)| ≤ (M8+M9)e
(α−h)s, s ≥ s0.Определим γ
df
=h−v0, β
df
=h−α. Тогда γ < β.Из леммы
получаем |W (s)| ≤ M10e
(v0−h)s, s ≥ s0, т. е. x(t) = ehsW (s) = O (tv0) , t → +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 463
Если v0 ≥ α+1, выберем h = v0+
1
2
. Тогда |G(s)| ≤ (M8+M9)e
−s, s ≥ s0. Определим
γ
df
=h − v0, β
df
=1. Тогда γ < β. Из леммы получаем |W (s)| ≤ M11e
(v0−h)s, s ≥ s0, т. е.
x(t) = O (tv0) , t → +∞.
Случай ii): α = v0. Выберем h = v0 +
1
2
. Тогда |G(s)| ≤ (M8 +M9)e
(α−h)s, s ≥ s0. Из
леммы получаем |W (s)| ≤ M12se
(v0−h)s, s ≥ s0, т. е. x(t) = O (tv0 ln t) , t → +∞.
Случай iii): α > v0. Выберем h = α +
1
2
. Тогда |G(s)| ≤ (M8 +M9)e
(α−h)s, s ≥ s0 и
γ
df
=h−v0 > β
df
=h−α.Из леммы получаем |W (s)| ≤ M13e
(α−h)s, s ≥ s0, т. е. x(t) = O (tα) ,
t → +∞.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Если a > 0 и f(t) = O (tα) , t → +∞, α ∈ R, то для каждого непрерывно
дифференцируемого решения x(t) уравнения (1) существует предел limt→∞ e
−atx(t) ∈ C.
Доказательство. Запишем уравнение (1) в виде
d
dt
{
e−atx(t)
}
= be−atx(qt) + ce−atx′(qt) + e−atf(t)
и проинтегрируем его:
e−atx(t) = e−aq
−n
x
(
q−n
)
+ cq−1
{
e−a(1−q)te−aqtx(qt)− e−aq−n(1−q)e−aq
−(n−1)
x
(
q−(n−1)
)}
+
+
(
b+ acq−1
) t∫
q−n
e−a(1−q)se−aqsx(qs) ds+
t∫
q−n
e−asf(s) ds.
Определим
sup
t∈[q−n+1,q−n]
∣∣e−atx(t)∣∣ df= Jn
и пусть q−n ≤ t ≤ q−n−1. Выберем n настолько большим, чтобы выполнялось неравен-
ство aqt > α ln t. Тогда
∣∣e−atx(t)∣∣ ≤ ∣∣∣e−aq−n
x
(
q−n
)∣∣∣+ ∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣ {e−a(1−q)t ∣∣e−aqtx(qt)∣∣+
+e−aq
−n(1−q)
∣∣∣e−aq−(n−1)
x
(
q−(n−1)
)∣∣∣}+
+
∣∣b+ acq−1
∣∣ t∫
q−n
e−a(1−q)s
∣∣e−aqsx(qs)∣∣ ds+M14
t∫
q−n
e−assα ds ≤
≤ Jn + 2
∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣ e−a(1−q)q−n
Jn +
∣∣b+ acq−1
∣∣ Jn e−a(1−q)q−n
a(1− q)
+M14
e−a(1−q)q
−n
a(1− q)
≤
≤ max {Jn,M14}
{
1 +
(
2
∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+
∣∣b+ acq−1
∣∣+ 1
a(1− q)
)
e−a(1−q)q
−n
}
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
464 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
откуда получаем неравенство
max {Jn+1,M14} ≤ max {Jn,M14}
{
1 +
(
2
∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+
∣∣b+ acq−1
∣∣+ 1
a(1− q)
)
e−a(1−q)q
−n
}
и оценку x(t) = O
(
eat
)
, t → ∞.
Тогда из тождества
e−at2x(t2)− e−at1x(t1) = cq−1
{
e−a(1−q)t2e−aqt2x(qt2)− e−a(1−q)t1e−aqt1x(qt1)
}
+
+
(
b+ acq−1
) t2∫
t1
e−a(1−q)se−aqsx(qs) ds+
t2∫
t1
e−asf(s)ds
для некоторой постоянной M такой, что
∣∣e−atx(t)∣∣ ≤ M, |f(t)| ≤ Mtα ≤ Meaqt, t ≥
≥ q−n+1, следует неравенство
∣∣e−at2x(t2)− e−at1x(t1)∣∣ ≤ (|c|q−1 {e−a(1−q)t2 + e−a(1−q)t1
}
+
+
{∣∣b+ acq−1
∣∣+ 1
} e−a(1−q)t1 − e−a(1−q)t2
a(1− q)
)
M.
Из принципа Коши следует, что существует предел limt→∞ e
−atx(t) ∈ C.
Теорема 2 доказана.
Если известно частное решение уравнения (1), то разность искомого и частного
решений будет решением однородного уравнения, свойства которого изучались в [2, 3].
Литература
1. Eng-Bin Lim. Asymptotic bounds of solutions of the functional differential equation // SIAM J. Math.
Anal. — 1978. — 9, № 5. — P. 915 – 920.
2. Бельский Д. В., Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-
функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобра-
зованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2012. — 15, № 4. — С. 466 – 493.
3. Бельский Д. В., Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональ-
ного уравнения с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2017. — 20, № 3. —
С. 291 – 302.
Получено 05.08.16,
после доработки — 26.09.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
|