Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та нефіксованими моментами імпульсної дії
Встановлено умови iснування та асимптотичної стiйкостi строго додатних кусково-неперервних майже перiодичних розв’язкiв систем диференцiальних рiвнянь Лотки – Вольтерра з дифузiєю та нефiксованими моментами iмпульсної дiї....
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177330 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та нефіксованими моментами імпульсної дії / А.В. Дворник, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 305-322 — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177330 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773302021-02-15T01:27:12Z Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та нефіксованими моментами імпульсної дії Дворник, А.В. Ткаченко, В.І. Встановлено умови iснування та асимптотичної стiйкостi строго додатних кусково-неперервних майже перiодичних розв’язкiв систем диференцiальних рiвнянь Лотки – Вольтерра з дифузiєю та нефiксованими моментами iмпульсної дiї. We study the existence and asymptotic stability of strongly positive piecewise continuous almost periodic solutions for Lotka – Volterra systems of differential equations with diffusion and non-fixed moments of impulsive action. 2018 Article Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та нефіксованими моментами імпульсної дії / А.В. Дворник, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 305-322 — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177330 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Встановлено умови iснування та асимптотичної стiйкостi строго додатних кусково-неперервних майже перiодичних розв’язкiв систем диференцiальних рiвнянь Лотки – Вольтерра з дифузiєю та нефiксованими моментами iмпульсної дiї. |
| format |
Article |
| author |
Дворник, А.В. Ткаченко, В.І. |
| spellingShingle |
Дворник, А.В. Ткаченко, В.І. Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та нефіксованими моментами імпульсної дії Нелінійні коливання |
| author_facet |
Дворник, А.В. Ткаченко, В.І. |
| author_sort |
Дворник, А.В. |
| title |
Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_short |
Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_full |
Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_fullStr |
Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_full_unstemmed |
Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_sort |
майже періодичні розв’язки систем лотки – вольтерра з дифузією та нефіксованими моментами імпульсної дії |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177330 |
| citation_txt |
Майже періодичні розв’язки систем Лотки – Вольтерра з дифузією та нефіксованими моментами імпульсної дії / А.В. Дворник, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 305-322 — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT dvornikav majžeperíodičnírozvâzkisistemlotkivolʹterrazdifuzíêûtanefíksovanimimomentamiímpulʹsnoídíí AT tkačenkoví majžeperíodičnírozvâzkisistemlotkivolʹterrazdifuzíêûtanefíksovanimimomentamiímpulʹsnoídíí |
| first_indexed |
2025-07-15T15:22:49Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:22:49Z |
| _version_ |
1837726926762934272 |
| fulltext |
УДК 517.9
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ–ВОЛЬТЕРРА
З ДИФУЗIЄЮ ТА НЕФIКСОВАНИМИМОМЕНТАМИ IМПУЛЬСНОЇ ДIЇ
А. В. Дворник, В. I. Ткаченко
Iн-т математики НАН України
вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01004, Україна
e-mail: a.dvornyk@gmail.com
vitk@imath.kiev.ua
We study the existence and asymptotic stability of strongly positive piecewise continuous almost periodic
solutions for Lotka –Volterra systems of differential equations with diffusion and non-fixed moments of
impulsive action.
Встановлено умови iснування та асимптотичної стiйкостi строго додатних кусково-неперервних
майже перiодичних розв’язкiв систем диференцiальних рiвнянь Лотки –Вольтерра з дифузiєю та
нефiксованими моментами iмпульсної дiї.
1. Вступ. Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь Лотки –Вольтерра з дифузiєю
∂u(t, x)
∂t
= µ1∆u(t, x) + u(t, x) (a1(t, x)− b1(t, x)u(t, x)− c1(t, x)v(t, x)) , (1)
∂v(t, x)
∂t
= µ2∆v(t, x) + v(t, x) (a2(t, x)− b2(t, x)u(t, x)− c2(t, x)v(t, x)) , (2)
x ∈ Ω, t 6= τk
(
u(t, .), v(t, .)
)
, з крайовими умовами Неймана
∂u(t, x)
∂n
∣∣∣∣
∂Ω
= 0,
∂v(t, x)
∂n
∣∣∣∣
∂Ω
= 0, (3)
та iмпульсною дiєю у нефiксованi моменти часу
u(t+ 0, x)− u(t, x) = d1ku(t, x) + q1k, (4)
v(t+ 0, x)− v(t, x) = d2kv(t, x) + q2k, t = τk
(
u(t, .), v(t, .)
)
, k ∈ Z, (5)
де Ω ⊂ Rn — обмежена область з гладкою границею ∂Ω, Ω̄ = Ω ∪ ∂Ω, ∂/∂n — похiдна
вздовж зовнiшньої нормалi, ∆u = ∂2u/∂x2
1 + . . . + ∂2u/∂x2
n. Iмпульсна дiя вiдбувається
в моменти часу t = τk
(
u(t, .), v(t, .)
)
, якi залежать вiд розв’язкiв. Цi моменти рiвномiрно
вiддiленi один вiд iншого.
Система (1) – (5) описує взаємодiю двох бiологiчних видiв, якi нерiвномiрно розподiленi
у просторi i зазнають короткочасного зовнiшнього впливу в моменти часу τk. Функцiї
u(t, x) i v(t, x) визначають щiльнiсть двох бiологiчних видiв у момент часу t i просторовiй
точцi x. Виходячи з бiологiчної iнтерпретацiї, цi функцiї невiд’ємнi. Додатнi сталi µ1 i
µ2 є коефiцiєнтами дифузiї вiдповiдно першого i другого виду. Логiстичнi вирази u(a1 −
− b1u) i v(a2− c2v) характеризують вiдтворення першого та другого видiв. Члени c1v i b2u
показують гальмiвний вплив другого виду на перший та першого виду на другий вiдповiдно.
Зазначимо роботи [1 – 5], присвяченi дослiдженню систем з iмпульсами та дифузiєю, якi
описують еволюцiю бiологiчних видiв.
© А. В. Дворник, В. I. Ткаченко, 2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3 305
306 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Усистеми рiвнянь з нефiксованимимоментами iмпульсної дiї розв’язки, якi мають рiзнi
початковi значення, мають i рiзнi точки розривiв. Також у таких системах може з’являтися
так званий феномен биття: розв’язок може перетинати поверхню t = τk(u, v) кiлька разiв
чи навiть нескiнченну кiлькiсть разiв [6, 7].
Останнiм часом активно вивчаються майже перiодичнi розв’язки рiзних класiв систем
iз iмпульсною дiєю (див., наприклад, [8 – 16]).
Метою даної роботи є знаходження умов iснування та стiйкостi строго додатного
кусково-неперервного майже перiодичного розв’язку системи рiвнянь (1) – (5). Ми викори-
стовуємо концепцiю кусково-неперервних майже перiодичних функцiй у сенсi робiт [6, 17].
Слiдуючи iдеям робiт [10, 18], поряд iз системою з нефiксованими моментами iмпульсної
дiї (1) – (5) ми розглянемо множину систем iз iмпульсною дiєю у фiксованi моменти часу.
Для кожної з таких систем у [19] побудовано строго додатнозначнi кусково-неперервнi
майже перiодичнi розв’язки. Далi, використовуючи цi майже перiодичнi розв’язки, буде
побудовано деяке вiдображення у просторi майже перiодичних послiдовностей зi значен-
нями у просторi функцiй, означених на Ω. Нерухома точка цього вiдображення вiдповiдає
майже перiодичному розв’язку системи (1) – (5). Також ми дослiдимо стiйкiсть отрима-
ного майже перiодичного розв’язку. З робiт [9, 20] будемо використовувати означення
стiйкостi для розв’язкiв системи з нефiксованими моментами iмпульсної дiї, де враховано
вiдмiннiсть точок розриву рiзних розв’язкiв системи рiвнянь.
2. Основнi означення та попереднi результати. Нехай R та Z — множини дiйсних i
цiлих чисел вiдповiдно. Позначимо через ‖.‖ норму в Rn чи вiдповiдну норму в просторi
матриць, а через ‖.‖C —норму простору C(Ω̄) неперервних функцiй на Ω̄. Для обмеженої
функцiї g(t, x) позначимо
gL = inf
t,x
g(t, x), gM = sup
t,x
g(t, x).
Нехай X — банахiв простiр з нормою ‖.‖X . Будемо розглядати простiр PC(J,X),
J ⊂ R, усiх обмежених кусково-неперервних функцiй z : J → X таких, що:
а) множина {τj ∈ J : τj+1 > τj , j ∈ Z} моментiв розривiв функцiї z не має скiнченних
граничних точок;
б) функцiя z(t) є неперервною злiва: z(τj−0) = z(τj), та iснує limt→τj+0 z(t) = z(τj+0).
Будемо використовувати норму ‖z‖PC = supt∈J ‖z(t)‖X у просторi PC(J,X).
Означення 1. Цiле число p називається ε-майже перiодом послiдовностi {xk}, xk ∈ X,
якщо
‖xk+p − xk‖X < ε (6)
для всiх k ∈ Z. Послiдовнiсть {xk} називається майже перiодичною, якщо для кожного ε > 0
iснує вiдносно щiльна множина її ε-майже перiодiв, тобто для кожного ε > 0 iснує l > 0
таке, що на кожному iнтервалi дiйсної осi довжини l iснує цiле число p, яке задовольняє (6)
для всiх k ∈ Z.
Означення 2. Строго зростаюча послiдовнiсть {τk} дiйсних чисел має рiвномiрно майже
перiодичнi послiдовностi рiзниць, якщо для довiльного додатного ε iснує вiдносно щiльна
множина ε-майже перiодiв, спiльних для всiх послiдовностей {τ jk}, де τ
j
k = τk+j − τk, j ∈ Z.
Як показано в [21], послiдовнiсть {τk} має рiвномiрно майже перiодичнi послiдовностi
рiзниць тодi i тiльки тодi, коли τk = ak + ck, де {ck} — майже перiодична послiдовнiсть,
a — додатне число.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ–ВОЛЬТЕРРА . . . 307
За лемою 22 з роботи [6, с. 192], для послiдовностi {τj} з рiвномiрно майже перiодич-
ними послiдовностями рiзниць iснує границя
lim
T→∞
i(t, t+ T )
T
= q
рiвномiрно вiдносно t ∈ R, де i(s, t) — число точок τk з iнтервалу (s, t).
Означення 3. Неперервна функцiя ψ : R → X майже перiодична за Бором, якщо для
довiльного ε > 0 iснує вiдносно щiльна множина Γ ε-майже перiодiв таких, що коли τ ∈ Γ,
тодi ‖ψ(t+ τ)− ψ(t)‖X < ε для всiх t ∈ R.
Означення 4 [6]. Функцiя ϕ ∈ PC(R, X) називається w -майже перiодичною, якщо:
а) строго зростаюча послiдовнiсть {τk} моментiв розриву функцiї ϕ(t) має рiвномiрно
майже перiодичнi послiдовностi рiзниць;
б) для довiльного ε > 0 iснує додатне число δ = δ(ε) таке, що колиточки t′ i t′′ належать
одному iнтервалу неперервностi та |t′ − t′′| < δ, тодi ‖ϕ(t′)− ϕ(t′′)‖X < ε;
в) для довiльного ε > 0 iснує вiдносно щiльна множина Γ ε-майже перiодiв таких, що
коли τ ∈ Γ, тодi ‖ϕ(t+ τ)−ϕ(t)‖X < ε для всiх t ∈ R, якi задовольняють умову |t− τk| ≥ ε,
k ∈ Z.
Будемо розглядати систему (1) – (5) з такими умовами:
H1 ) Додатнозначнi обмеженi функцiї ai(t, x), bi(t, x) i ci(t, x), i = 1, 2, неперервно
диференцiйовнi по t ∈ R i x ∈ Ω та майже перiодичнi за Бором по t рiвномiрно по x ∈ Ω.
H2 ) Позначимо Uρ = {u ∈ C(Ω̄) : ‖u‖C ≤ ρ, u(x) ≥ 0, x ∈ Ω̄}, де ρ — деяке додатне
число. Припустимо, що поверхнi iмпульсiв мають вигляд
τj(u, v) = θj + rj
∫
Ω
(
u2(ξ) + v2(ξ)
)
dξ,
де строго зростаюча послiдовнiсть дiйсних чисел {θj} має рiвномiрно майже перiодичнi
послiдовностi рiзниць, а послiдовнiсть {rj} майже перiодична. Крiм того, iснують сталi
Θ̃ > θ̃ > 0 i Θ > θ > 0 такi, що виконуються нерiвностi Θ̃ ≥ θj − θj−1 ≥ θ̃, j ∈ Z, i
Θ = Θ̃ + 2rρ2|Ω| ≥ τj(u, v)− τj−1(u, v) ≥ θ = θ̃ − 2rρ2|Ω| > 0 (7)
для всiх u, v ∈ Uρ, j ∈ Z. Тут r = supj |rj |, |Ω| — мiра множини Ω.
H3 ) Виконуються нерiвностi dik > −1, qik ≥ 0, i = 1, 2, k ∈ Z, i послiдовностi дiйсних
чисел {d1k}, {d2k}, {q1k}, {q2k} майже перiодичнi. Позначимо d = supik |dik|, q = supik qik.
Вектор-функцiя (u(t, x), v(t, x)) є класичним розв’язком системи без iмпульсiв (1) – (3),
якщо вона двiчi неперервно диференцiйовна по x ∈ Ω, неперервно диференцiйовна по
x ∈ Ω̄, неперервно диференцiйовна по t > 0 i задовольняє систему (1), (2) та крайовi
умови (3).
Означення 5. Вектор-функцiя (u, v) : Ω × [t0, t0 + α] → R2, де α > 0, є розв’язком
iмпульсної системи (1) – (5), якщо виконуються такi умови:
а) множина T = {t ∈ [t0, t0 + α], t = τk(u(t, .), v(t, .)) для деякого k} точок iмпульсної
дiї скiнченна (можливо, порожня);
б) при t 6∈ T функцiя (u, v) є класичним розв’язком системи без iмпульсiв (1) – (3);
в) для t ∈ T функцiя (u, v) задовольняє умови (4), (5).
Якщо додатково функцiя (u, v) задовольняє умову
u(t0, x) = u0(x), v(t0, x) = v0(x), (8)
то вона є розв’язком початкової задачi (1) – (5), (8).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
308 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Перепишемо систему (1) – (5) у абстрактнiй формi. Позначимо w = (u, v) ∈ Lp(Ω) ×
×Lp(Ω) = X, де p > n — натуральне число. Норму в просторi X = Lp(Ω)×Lp(Ω) будемо
позначати ‖.‖0.
Запишемо систему (1) – (5), (8) у виглядi
dw
dt
+A1w = F (t, w), t 6= τj(w(t)), (9)
w(t+ 0) = w(t) +Gj(w(t)), t = τj(w(t)), j ∈ Z, (10)
w(0) = w0, (11)
де
A1 =
(
−µ1∆ + β 0
0 −µ2∆ + β
)
F (t, w) =
(
u(a1(t, .) + β − b1(t, .)u− c1(t, .)v)
v(a2(t, .) + β − b2(t, .)u− c2(t, .)v)
)
Gj(w(τ)) =
(
d1ju(τ, .) + q1j
d2jv(τ, .) + q2j
)
= Djw(τ) +Qj ,
β — деяке додатне число. Легко бачити, що d = supj ‖Dj‖, q = supj ‖Qj‖.
Оператор A1 має область означення
D(A1) =
{
ξ = (ξ1, ξ2) : ξi ∈W 2,p(Ω),
∂ξi
∂n
∣∣∣∣
∂Ω
= 0, i = 1, 2
}
,
де W 2,p(Ω) — простiр Соболєва функцiй з Lp(Ω), якi мають двi узагальненi похiднi.
Оператор A1 секторiальний з Re ξ ≥ β для ξ ∈ σ(A1), де σ(A1) — спектр оператора A1.
Для оператора A1 означаються степенi Aα1 , α ≥ 0, та вiдповiднi їм областi означення
Xα = D (Aα1 ) з нормою ‖z‖α = ‖Aα1 z‖0 [22]. Оператор (−A1) є генератором аналiтичної
напiвгрупи e−A1t, для якої виконуються рiвнiсть e−A1tAα1 z = Aα1 e
−A1tz, де z ∈ Xα, t > 0 i
нерiвностi [22] ∥∥Aα1 e−A1t
∥∥
0
≤ Cαt−αe−βt, t > 0, α > 0, (12)∥∥(e−A1t − I
)
z
∥∥
0
≤ 1
α
C1−αt
α ‖Aα1 z‖0 , t > 0, α ∈ (0, 1], z ∈ Xα,
де Cα > 0 обмежена при α→ 0 + . Також виконується нерiвнiсть ‖z‖0 ≤ L0‖z‖α з деякою
сталою L0 > 0 для z ∈ Xα.
Пiд нерiвнiстю w0 ≥ 0 для w0 = (u0, v0) ∈ X розумiємо u0(x) ≥ 0, v0(x) ≥ 0 для майже
всiх x ∈ Ω.
Виберемо α таким, що
2α− n
p
≥ ν > 0, α < 1. (13)
Аналогiчно до [23] показуємо, що коли початкова функцiя задовольняє умову w0 ∈ Xα,
w0 ≥ 0, тодi задача без iмпульсiв (1) – (3), (8)має єдинийкласичнийрозв’язок (u(t, x), v(t, x)),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ–ВОЛЬТЕРРА . . . 309
який iснує для всiх t > 0. При виконаннi нерiвностей (13) простiр Xα неперервно вкла-
дений у Cν . Тому якщо w ∈ Xα, ‖w‖α ≤ ρ1 для деякого ρ1 > 0, то w = (u, v) ∈ Cν i
‖w‖C = max{‖u‖C , ‖v‖C} ≤ ρ.
Розв’язок початкової задачi (11) рiвняння (9), (10) задовольняє iнтегральне рiвняння
w(t, w0) = e−A1tw0 +
t∫
0
e−A1(t−s)F (s, w(s))ds+
∑
0<τj<t
e−A1(t−τj)Gj(w(τj)). (14)
Означення 6. Розв’язок w0(t) рiвняння (9), (10), означений для всiх t ≥ t0, τj(w0(t0)) 6= t0,
j ∈ Z, називається стiйким за Ляпуновим у просторi Xα, якщо для довiльних ε > 0 i
η > 0 iснує δ = δ(ε, η) таке, що iнший довiльний розв’язок w(t) з початковою умовою
‖w0(t0)− w(t0)‖α < δ задовольняє нерiвнiсть
∥∥w0(t)− w(t)
∥∥
α
< ε для всiх t ≥ t0 таких, що∣∣t− τ0
j
∣∣ > η, де τ0
j —точки, в яких розв’язок w0(t) перетинає поверхнi t = τj(w), j ∈ Z.
Розв’язок w0(t) називається асимптотично стiйким, якщо вiн стiйкий i iснує δ0 > 0
таке, що для кожних ε > 0, η > 0, iснує T = T (ε, η) > 0 таке, що для будь-якого iншого
розв’язку w(t) системи з початковими значеннями ‖w0(t0) − w(t0)‖α < δ0 виконується
нерiвнiсть ‖w0(t)− w(t)‖ < ε для t ≥ t0 + T i
∣∣t− τ0
j
∣∣ > η.
При дослiдженнi стiйкостi розв’язкiв iмпульсних еволюцiйних рiвнянь будемо викори-
стовувати таку версiю узагальненої нерiвностi Гронуолла [20, 22].
Лема 1. Нехай a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, b > 0, α, β ∈ [0, 1), Q ∈ (0,∞) i локально iнтегровна на
0 ≤ t ≤ Q невiд’ємна функцiя y(t) задовольняє на цьому iнтервалi нерiвнiсть
y(t) ≤ a1 + a2t
−α + b
t∫
0
(t− s)−βy(s) ds.
Тодi iснує додатна стала C̃ = C̃(β, b,Q) <∞ така, що
y(t) ≤
(
a1 +
a2
(1− α)tα
)
C̃(β, b,Q) ≤
(
a1 +
a2
tα
)
C̃1,
де C̃1 = C̃(β, b,Q)/(1− α).
3. Система з фiксованими моментами iмпульсiв. Розглянемо систему Лотки –Вольтер-
ра (1) – (3) з iмпульсною дiєю у фiксованi моменти iмпульсної дiї θk, k ∈ Z :
u(θk + 0, x)− u(θk, x) = d1ku(θk, x) + q1k, (15)
v(θk + 0, x)− v(θk, x) = d2kv(θk, x) + q2k, k ∈ Z. (16)
Означення 7. Система називається перманентною, якщо iснують додатнi сталi m0
i M0 такi, що для кожного розв’язку системи з невiд’ємними початковими функцiями
u0(x) 6≡ 0, v0(x) 6≡ 0 iснує t̄ = t̄(u0, v0) таке, що
m0 ≤ u(t, x) ≤M0, m0 ≤ v(t, x) ≤M0
для x ∈ Ω̄, t ≥ t̄.
У роботi [19] доведено такi умови перманентностi.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
310 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Лема 2. Для кожного розв’язку системи (1) – (3), (15) – (16) з невiд’ємними початковими
функцiями (u0(x), v0(x)) iснує t̄ = t̄(u0, v0) таке, що
u(t, x) ≤M0, v(t, x) ≤M0, x ∈ Ω̄, t ≥ t̄,
де
M0 = max{A,A(1 + d) + q}, A =
aM
bL
(
1− e−aMθ
) ,
aM = max
(
aM1 , aM2
)
, bL = min
(
bL1 , c
L
2
)
.
Лема 3. Нехай виконується одна з умов:
(a1 ) виконуються нерiвностi
aL1 − cM1 M0 + σ1 > 0, aL2 − bM2 M0 + σ2 > 0,
де
σi = lim
T→∞
1
T
∑
s≤θj<s+T
ln(1 + dij) = lim
T→∞
∑
s≤θj<s+T
ln(1 + dij)
i(s, s+ T )
lim
T→∞
i(s, s+ T )
T
,
i(t, t+ T ) — число точок θk з iнтервалу (t, t+ T );
(a2 ) виконується нерiвнiсть q0 = infij qij > 0.
Тодi iснує m0 > 0 таке, що для кожного розв’язку системи (1) – (3), (15) – (16) з невiд’єм-
ними початковими функцiями (u0(x), v0(x)), u0(x) 6≡ 0, v0(x) 6≡ 0, iснує t̄ = t̄(u0, v0) таке,
що
u(t, x) ≥ m0, v(t, x) ≥ m0, x ∈ Ω̄, t ≥ t̄.
Для системи з фiксованими моментами iмпульсної дiї t = θk, k ∈ Z, у роботi [19]
доведено таку теорему.
Теорема 1. Нехай для системи (1) – (3), (15) – (16) виконуються умови H1 –H3 (при
rj ≡ 0, j ∈ Z) i:
1) система перманентна: iснують додатнi сталi m0 i M0 такi, що кожний розв’язок з
невiд’ємними не рiвними тотожно нулю початковими функцiями (u0(x), v0(x)), починаючи
з деякого моменту часу t̄ = t̄(u0, v0), залишається в множинi
E0 = {(u, v) : m0 ≤ u ≤M0, m0 ≤ v ≤M0},
2) має мiсце нерiвнiсть
aM −
(
2bL + cL
)
m0 + cMM0 + σ < 0, σ = max{σ1, σ2}, (17)
де
aM = max
(
aM1 , aM2
)
, bL = min
(
bL1 , c
L
2
)
, cL = min
(
cL1 , b
L
2
)
, cM = max
(
cM1 , bM2
)
,
σi = lim
T→∞
1
T
∑
0<θj<T
ln(1 + dij), i = 1, 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ–ВОЛЬТЕРРА . . . 311
Тодi розв’язки системи з початковими функцiями зi значеннями у множинi E0 рiвномiрно
асимптотично стiйкi. Для двох розв’язкiв (u1(t, x), v1(t, x)) i (u2(t, x), v2(t, x)), якi мають
значення в множинi E0, виконується нерiвнiсть
sup
x
(
|u1(t, x)− u2(t, x)|+ |v1(t, x)− v2(t, x)|
)
≤
≤M1e
−β1(t−t0) sup
x
(
|u1(t0, x)− u2(t0, x)|+ |v1(t0, x)− v2(t0, x)|
)
(18)
з деякими додатними сталими M1 i β1.
Система має єдиний асимптотично стiйкий кусково-неперервний w -майже перiодичний
розв’язок зi значеннями у множинi E0.
За означенням норми в просторi Xα з формули (14) отримуємо
‖w(t, w0)‖α ≤
∥∥e−A1(t−t0)
∥∥
0
‖w0‖α +
t∫
t0
∥∥∥Aα1 e−A1(t−s)F (s, w(s))
∥∥∥
0
ds+
+
∑
t0<θj<t
∥∥∥Aα1 e−A1(t−θj)(Djw(θj) +Qj)
∥∥∥
0
.
Розв’язок w(t, w0) з w0 = (u0, v0) ∈ Xα, ‖w0‖C = max{‖u0‖C , ‖v0‖C} ≤ M0 за лемою 2
обмежений у рiвномiрнiй нормi ‖w(t, w0)‖C ≤M0, t ≥ t0. Покажемо, що вiн обмежений i в
Xα -нормi. Для t ∈ [θk−θ/2, θk] виконується (t−θj)−1 ≤ 2/θ, j < k. З останньої нерiвностi
i (12) отримуємо оцiнку для t ∈ [θk − θ/2, θk] :
‖w(t, w0)‖α ≤ C0e
−β(t−t0)‖w0‖α + CαF0
t∫
t0
e−β(t−s)(t− s)−αds+
+ Cα(dM0 + q)(2/θ)α
∑
t0<θj<t
e−β(t−θj) ≤ Ñ0,
де F0 = supt∈R,‖w‖C≤ρ ‖F (s, w)‖0.
Отже, ‖w(θj , w0)‖α ≤ Ñ0 для всiх натуральних j. З (10) отримуємо ‖w(θj + 0, w0)‖α ≤
≤ dÑ0 + q. Звiдси випливає ‖w(t, w0)‖α ≤ Ñ1, t ≥ t0, з деякою додатною сталою Ñ1. З
обмеженостi множини у просторi Xβ випливає її компактнiсть у просторi Xα, α < β.
Тому траєкторiї w(t) передкомпактнi в Xα, α > 0.
Отже, iснує таке ρ1 > 0, що ‖w‖α ≤ ρ1 для всiх w ∈ C(Ω) ∩Xα з ‖w‖C ≤ ρ.
Тепер оцiнимо розв’язок у нормi ‖.‖1. Скористаємося такими оцiнками. З [22] (Theo-
rem 3.5.2) випливає, що для кожного µ ∈ [0, 1) iснує додатна стала K̃2, яка не залежить вiд
w0 = w(θj + 0), ‖w0‖α ≤ ρ1, така, що∥∥∥∥ ddsw(s, w0)
∥∥∥∥
µ
≤ K̃2(s− θj)α−µ−1, s ∈ (θj , θj+1], j ∈ Z.
Вiдповiдно для s ∈ [θj + θ/2, θj+1] виконується нерiвнiсть∥∥∥∥dw(s, w0)
ds
∥∥∥∥
α
≤ 2K̃2
θ
. (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
312 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
З (9) отримуємо
‖w(θj , w0)‖1 = ‖A1w(θj , w0)‖0 ≤
≤
∥∥∥∥dw(θj , w0)
dt
∥∥∥∥
0
+ sup
t∈R,‖w‖C≤ρ
‖F (t, w)‖ ≤ 2K̃2
θ
+ F0 = Ñ2. (20)
4. Майже перiодичнi розв’язки системи з нефiксованими iмпульсами.
Теорема 2. Нехай виконуються умови H1 –H3, а також:
– система з фiксованими моментами iмпульсної дiї (1) – (5) при rj ≡ 0, j ∈ Z, задовольняє
умови леми 3 i теореми 1 та виконується нерiвнiсть ρ ≥M0;
– для кожного k ∈ Z виконується одна з умов
rk ≤ 0, djk ≥ 0, qjk ≥ 0, j = 1, 2, (21)
rk ≥ 0, djk ≤ 0, qjk = 0, j = 1, 2. (22)
Тодi при достатньо малому r = supj |rj | система рiвнянь з нефiксованими моментами
iмпульсної дiї (1) – (5) має в областi Uρ × Uρ єдиний додатнозначний кусково-неперервний
w -майже перiодичний розв’язок w∗(t).
Для кожного t0 ∈ ∪j∈Z(θj , θj + θ/2] як початкової точки w -майже перiодичний розв’язок
w∗(t) асимптотично стiйкий.
Доведення. 1. Розглянемомайже перiодичну послiдовнiсть yk(x) = (uk(x), vk(x)) функ-
цiй ‖uk(x)‖C ≤ ρ, ‖vk(x)‖C ≤ ρ, k ∈ Z. Тодi числова послiдовнiсть {τk(yk)} має рiвно-
мiрно майже перiодичнi послiдовностi рiзниць i задовольняє умову роздiленостi (7), а
система (1) – (3) з iмпульсною дiєю
u(τk(yk) + 0, x)− u(τk(yk), x) = d1ku(τk(yk), x) + q1k,
v(τk(yk) + 0, x)− v(τk(yk), x) = d2kv(τk(yk), x) + q2k, k ∈ Z,
уфiксованi моменти часу t = τk(yk) задовольняє умови лем 2 i 3. Тому система перманентна
з деякими додатними сталими m0 i M0. З доведень лем 2 i 3 випливає, що сталi m0 i M0
можна вибрати однаковими для всiх послiдовностей {yk} зi значеннями в Uρ × Uρ.
При досить малому r = supk |rk| для всiх таких y = {yk} виконується також i нерiв-
нiсть (17). Тому за теоремою 1 для кожного такого y = {yk} система має єдиний додат-
нозначний кусково-неперервний w -майже перiодичний розв’язок (u∗(t, x, y), v∗(t, x, y)) та-
кий, що u∗(t, x, y) ∈ E0, v
∗(t, x, y) ∈ E0 для всiх t ∈ R, x ∈ Ω.
Позначимо через M множину майже перiодичних послiдовностей {wk}k∈Z, де wk =
= (uk, vk), wk ∈ D(A1), uk, vk ∈ E0. Будемо позначати норму ‖w‖M = supk ‖wk‖α елемен-
та w ∈M.
Для y = {yj} ∈M розглянемо рiвняння з фiксованими моментами iмпульсної дiї
dw
dt
+A1w = F (t, w), w(τ1
k + 0) = (I +Dk)w(τ1
k ) +Qk, (23)
де послiдовнiсть τ1
k = τk(yk), k ∈ Z, має рiвномiрно майже перiодичнi послiдовностi
рiзниць. За теоремою 1 рiвняння (23) має рiвномiрно асимптотично стiйкий w -майже
перiодичний розв’язок w∗(t, y). Крiм того, w∗(t, y)(x) = (u∗(t, x, y), v∗(t, x, y)) ∈ E0 × E0.
Послiдовнiсть S(y) = {w∗(τj(yj), y)} , j ∈ Z, майже перiодична i, за побудовою, S(y) ∈M.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ–ВОЛЬТЕРРА . . . 313
Легко бачити, що w∗(., y∗) : R→ Xα є шуканим w -майже перiодичним розв’язком рiвнян-
ня (9) – (10) тодi i тiльки тодi, коли вiдсутнi биття (кожну поверхню iмпульсiв розв’язок
перетинає не бiльше одного разу) i
w∗
(
τj(y
∗
j ), y
∗) = y∗j , j ∈ Z,
тобто S(y∗) = y∗. Покажемо, що при досить малому r = supj |rj | вiдображення S : M→M
є вiдображенням стиску.
Виберемо двi послiдовностi y = {yk}, yk = (yk1, yk2) i z = {zk}, zk = (zk1, zk2), з
множини M i побудуємо зростаючi послiдовностi дiйсних чисел τ1
k = τk(yk) i τ2
k = τk(zk),
k ∈ Z. Послiдовностi
{
τ1
k
}
i
{
τ2
k
}
мають рiвномiрно майже перiодичнi послiдовностi
рiзниць. Будемо позначати τ ′k = min
{
τ1
k , τ
2
k
}
, τ ′′k = max
{
τ1
k , τ
2
k
}
.
Оцiнимо
∣∣τ2
k − τ1
k
∣∣ . З умови H2 випливає
∣∣τ2
k − τ1
k
∣∣ = |τk(zk)− τk(yk)| ≤ |rk|
∣∣∣∣∣∣
∫
Ω
(
y2
k1(x) + y2
k2(x)
)
dx−
∫
Ω
(
z2
k1(x) + z2
k2(x)
)
dx
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ |rk|
∫
Ω
|(yk1(x)− zk1(x))(yk1(x) + zk1(x))| dx+
+ |rk|
∫
Ω
|(yk2(x)− zk2(x))(yk2(x) + zk2(x))| dx ≤
≤ |rk| (‖yk1 − zk1‖0‖yk1 + zk1‖Lq + ‖yk2 − zk2‖0‖yk2 + zk2‖Lq) ≤
≤ 4|rk|ρ|Ω|1/q‖yk − zk‖0 ≤ 4|rk|ρL0|Ω|1/q‖yk − zk‖α = rN1‖y − z‖M (24)
з деякою сталою N1, яка не залежить вiд k i y, z. Через |Ω| позначено мiру множини Ω,
1/p+ 1/q = 1.
Поряд iз (23) розглянемо рiвняння
dw
dt
+A1w = F (t, w), w(τ2
k + 0) = (I +Dk)w
(
τ2
k
)
+Qk. (25)
Рiвняння з фiксованимимоментами iмпульсної дiї (23) i (25) мають рiвномiрно асимптотич-
но стiйкi w -майже перiодичнi розв’язки w∗(t, y) = (u∗1, v
∗
1) i w∗(t, z) = (u∗2, v
∗
2) вiдповiдно.
Оцiнимо
‖S(y)− S(z)‖M = sup
j
‖w∗(τj(yj), y)− w∗(τj(zj), z)‖α .
Рiзниця w∗(t, y)− w∗(t, z) задовольняє рiвняння
dw
dt
+ (A1 + Ã(t))w = 0, (26)
w(τ1
k + 0) = (I +Dk)w(τ1
k ) +Dkw
∗(τ1
k , z) +Qk,
w(τ2
k + 0) = w
(
τ2
k
)
−Dkw
∗(τ2
k , z)−Qk, (27)
де
Ã(t) =
(
a1 + β − b1 (u∗1 + u∗2)− c1v
∗
1 −c1u
∗
2
−b2v∗2 a2 + β − c2 (v∗1 + v∗2)− b2u∗1
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
314 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Позначимо через V (t, s), t ≥ s, еволюцiйний оператор лiнiйного однорiдного рiвняння
без iмпульсiв (26). За теоремою 7.1.3 з [22] еволюцiйний оператор V (t, s) на iнтервалi
[t0, t1] задовольняє оцiнки
‖V (t, τ)x‖γ ≤
K̃1
1− γ
(t− τ)(γ1−γ)−‖x‖γ1 , γ < 1, (γ1 − γ)− = min{γ1 − γ, 0}, (28)
‖V (t, τ)x− x‖γ ≤
K̃1
(1− γ)γ1
(t− τ)γ1‖x‖γ+γ1 , γ1 > 0, γ + γ1 ≤ 1, (29)
де стала K̃1 залежить тiльки вiд A1, α, Q ≥ t1− t0 i sup Ã(t). Рiвняння з iмпульсною дiєю
dw
dt
+
(
A1 + Ã(t)
)
w = 0, w(τ1
k + 0) = (I +Dk)w(τ1
k ), k ∈ Z, (30)
має еволюцiйний оператор
U(t, s) = V
(
t, τ1
k
)
(I +Dk)V
(
τ1
k , τ
1
k−1
)
. . . (I +Dm)V
(
τ1
m, s
)
для τ1
m−1 < s ≤ τ1
m < . . . < τ1
k < t ≤ τ1
k+1.
Оператор U(t, s) задовольняє оцiнку
‖U(t, s)w‖0 ≤M1e
−β1(t−s)‖w‖0, t ≥ s. (31)
Для доведення розглянемо ненульовий розв’язок w(t) = U(t, t0)w0 рiвняння (30). Аналогiч-
но [9] показуємо, що функцiя Ap(t) = ‖w(t)‖pLp(Ω) задовольняє оцiнки
Ap(t) ≤ Ap(τ1
j−1 + 0) exp
{
p
(
aM − (2bL + cL)m0 + cMM0
)
(t− τ1
j−1)
}
, t ∈ (τ1
j−1, τ
1
j ],
Ap(τ1
j + 0) ≤ max{(1 + d1j)
p, (1 + d2j)
p}Ap(τ1
j ) = Kp
jAp(τ
1
j ).
Як наслiдок отримуємо
Ap(t) ≤
∏
t0≤τ1j <t
Kp
j e
p(aM−(2bL+cL)m0+cMM0)(t−t0)Ap(τ0).
При виконаннi нерiвностi (17) випливає експоненцiальна оцiнка з показником
β1 < −(aM − (2bL + cL)m0 + cMM0 + σ)
у всiх просторах Lp(Ω) з p > 1 i як наслiдок оцiнка в sup-нормi. Додатну сталу β в
означеннi оператора A1 вибираємо з умови β < β1.
З нерiвностей (28) i (31) отримуємо оцiнку для t ∈ (τ1
m, τ
1
m+1] у нормах iнтерполяцiйних
просторiв Xγ :
‖U(t, t0)w0‖γ ≤M2(t− τm)(γ1−γ)−e−β1(t−t0)‖w0‖γ1 , (32)
де γ < 1, (γ1 − γ)− = min{γ1 − γ, 0}, M2 — додатна стала.
Тому рiвняння (26) – (27) має єдиний обмежений на осi розв’язок, який спiвпадає з
w∗(t, y)− w∗(t, z) i задовольняє рiвнiсть
w∗(t, y)− w∗(t, z) =
∑
τ1j <t
U(t, τ1
j + 0)
(
Djw
∗ (τ1
j , z
)
+Qj
)
−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ–ВОЛЬТЕРРА . . . 315
−
∑
τ2j <t
U(t, τ2
j + 0)
(
Djw
∗ (τ2
j , z
)
+Qj
)
. (33)
Нехай t ∈
(
τ ′′m, τ
′
m+1
]
для деякого m ∈ Z. Розглянемо рiзницю
Jj(t) = U
(
t, τ1
j + 0
) (
Djw
∗(τ1
j , z) +Qj
)
− U
(
t, τ2
j + 0
) (
Djw
∗(τ2
j , z) +Qj
)
для j ≤ m. Якщо τ1
j < τ2
j , то
Jj(t) = U
(
t, τ2
j
) (
V
(
τ2
j , τ
1
j + 0
) (
Djw
∗(τ1
j , z) +Qj
)
−Djw
∗(τ2
j , z)−Qj
)
=
= U
(
t, τ2
j
) (
V
(
τ2
j , τ
1
j + 0
)
Dj
(
w∗(τ1
j , z)− w∗(τ2
j , z)
)
+
+
(
V
(
τ2
j , τ
1
j + 0
)
− I
) (
Djw
∗(τ2
j , z) +Qj
))
.
З (19) i (24) випливає оцiнка
∥∥w∗(τ1
j , z)− w∗(τ2
j , z)
∥∥
α
=
∥∥∥∥∥∥∥∥
τ2j∫
τ1j
d
ds
w∗(s, z)ds
∥∥∥∥∥∥∥∥
α
≤
≤ 2K̃2
θ
∣∣τ1
j − τ2
j
∣∣ ≤ 2rN1K̃2
θ
‖y − z‖M. (34)
Тому
‖Jj(τ ′m+1)‖α ≤
rN1M2K̃1
θ
e−β1(τ ′m+1−τ2j )
(
2dK̃2
θ
+ dÑ2 + βq
)
‖y − z‖M. (35)
Якщо τ1
j > τ2
j , то
Jj(t) = U
(
t, τ1
j + 0
) (
Djw
∗(τ1
j , z) +Qj − (I +Dj)V (τ1
j , τ
2
j )
(
Djw
∗(τ2
j , z) +Qj
))
=
= U(t, τ1
j + 0)
(
Djw
∗(τ1
j , z)−Djw
∗(τ2
j + 0, z)+
+ (I +Dj)(I − V (τ1
j , τ
2
j ))(Djw
∗(τ2
j , z) +Qj)
)
.
Отримуємо
‖Jj(τ ′m+1)‖α ≤
rN1M2
θ
e−β1(τ ′m+1−τ1j )
(
2dK̃2
θ
+ (1 + d)K̃1(dÑ2 + βq)
)
‖y − z‖M. (36)
З (33), (35) i (36) отримуємо
∥∥w∗(τ ′m, z)− w∗(τ ′m, y)
∥∥
α
≤ rK̃4
1− e−β1θ
‖y − z‖M
i, враховуючи (34),
∥∥w∗(τ2
m, z)− w∗(τ1
m, y)
∥∥
α
≤ r‖y − z‖M
(
K̃4
1− e−β1θ
+
2K̃2N1
θ
)
= rK̃5‖y − z‖M
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
316 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
з деякимидодатними сталими K̃4 i K̃5, якi не залежать вiд y i z. При rK̃5 < 1 вiдображення
S(z) є вiдображенням стиску. Воно має нерухому точку w∗.
2. Перевiримо, що у множинi Uρ×Uρ розв’язки w(t) з початковими значеннями (t0, w0),
якi належать множинi
W+
j−1 = {(t, w) : w ∈ Uρ × Uρ, t ∈ (τj−1(w), τj−1(w) + θ/2]} ,
не мають биття з поверхнею t = τj(u, v), j ∈ Z.
Припустимо вiд супротивного, що розв’язок w(t) перетинає поверхню t = τj(u, v)
у двох точках t1j i t2j , t1j < t2j . Позначимо w(t1j ) = w1, w(t2j ) = w2. Тодi w(t1j + 0) =
= w1 +Gj = w1 +Djw1 +Qj , τj(w1) = t1j , τj(w2) = t2j , i
w2 = e−A1(t2j−t1j )(w1 +Gj) +
t2j∫
t1j
e−A1(t2j−s)F (s, w(s)) ds.
Останню рiвнiсть розглядаємо при p = 2, тобто у просторi L2(Ω)× L2(Ω).
Множачи рiвняння (1) на u(t, x) та iнтегруючи, отримуємо
d
dt
1
2
∫
Ω
u2dx
= µ1
∫
Ω
u∆udx+
∫
Ω
u2 (a1 − b1u− c1v) dx.
Тому для невiд’ємних розв’язкiв виконується нерiвнiсть
d
dt
1
2
∫
Ω
u2dx
≤ aM ∫
Ω
u2dx.
Як наслiдок отримуємо
‖w(t)‖L2(Ω) ≤ eã(t−t0)‖w0‖L2(Ω), t ≥ 0,
де ã =
√
2aM , aM = max
{
aM1 , aM2
}
. Вiдповiдно ‖w2‖L2(Ω) ≤ eã(t2j−t1j )(‖w1‖L2(Ω)+‖Gj‖L2(Ω)).
Рiзниця t2j − t1j задовольняє рiвнiсть
t2j − t1j = τj(w2)− τj(w1) = τj(w2)− τj
(
e−A1(t2j−t1j)(w1 +Djw1 +Qj)
)
+
+ τj
(
e−A1(t2j−t1j )(w1 +Djw1 +Qj)
)
− τj
(
e−A1(t2j−t1j )(w1 +Djw1)
)
+
+ τj
(
e−A1(t2j−t1j )(w1 +Djw1)
)
− τj(w1 +Djw1) + τj(wj +Djw1)− τj(w1). (37)
Позначимо w̃ = e−A1(t2j−t1j )(w1 +Gj).
Оцiнимо першу рiзницю в (37). Аналогiчно (24) отримуємо∣∣τj(w2)− τj(w̃)
∣∣ ≤ |rj |∫
Ω
(
‖w2(x)‖2 − ‖w̃(x)‖2
)
dx ≤ 4rρ|Ω|1/2‖w2 − w̃‖L2(Ω) =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ–ВОЛЬТЕРРА . . . 317
= 4rρ|Ω|1/2
∥∥∥∥∥∥∥∥
t2j∫
t1j
e−A1(t2j−s)F (s, w(s))ds
∥∥∥∥∥∥∥∥
L2(Ω)
≤
≤ 4rρ|Ω|1/2F0M1
∣∣t2j − t1j ∣∣ = rη1
∣∣t2j − t1j ∣∣ ,
де F0 = supt∈R,w∈Uρ×Uρ ‖F (t, w)‖C(Ω).
Якщо w1 ∈ D(A1) ∩ (Uρ × Uρ), то∣∣∣τj(e−A1(t2j−t1j )w1
)
− τj(w1)
∣∣∣ ≤ |rj |∫
Ω
(∥∥∥e−A1(t2j−t1j)w1
∥∥∥2
− ‖w1‖2
)
dx ≤
≤ 4rρ|Ω|1/2
∥∥∥e−A1(t2j−t1j)w1 − w1
∥∥∥
L2(Ω)
≤
≤ 4rρ|Ω|1/2C0
∣∣t2j − t1j ∣∣ ‖Aw1‖0 ≤ 4rρ|Ω|1/2C0Ñ2
∣∣t2j − t1j ∣∣ = rη2
∣∣t2j − t1j ∣∣ .
Позначимо через λn i φn, n = 1, 2, . . . , власнi значення i вiдповiднi власнi функцiї
оператора A1. Тодi [e−A1tu](x) =
∑∞
k=1
e−λkt(u, φk)φk(x) i ‖e−A1tu‖L2 ≤ e−βt‖u‖L2 .
При умовi (21) виконується
τj
(
e−A1(t2j−t1j )(w1 +Djw1 +Qj)
)
− τj
(
e−A1(t2j−t1j )(w1 +Djw1)
)
≤ 0,
τj(w1 +Djw1)− τj(w1) ≤ 0.
При досить малому r = supj |rj | маємо r(η1 + η2) < 1, а тому
0 <
(
t2j − t1j
)
(1− r(η1 + η2)) ≤ τj(wj +Djw1)− τj(w1)+
+ τj
(
e−A1(t2j−t1j)(w1 +Djw1 +Qj)
)
− τj(e−A1(t2j−t1j)(w1 +Djw1)) ≤ 0.
Отримуємо суперечнiсть. При виконаннi умов (22) отримуємо
τj
(
e−A1(t2j−t1j)(w1 +Djw1)
)
− τj(w1 +Djw1) =
= rj
(∥∥∥e−A1(t2j−t1j)(w1 +Djw1)
∥∥∥2
L2(Ω)
− ‖w1 +Djw1‖2L2(Ω)
)
≤ 0,
τj(w1 +Djw1)− τj(w1) ≤ 0,
тому 0 < (t2j − t1j )(1− rjη1) < 0. Суперечнiсть.
3. Тепер покажемо асимптотичну стiйкiсть розв’язку w∗(t) з початковою точкою t0
з множини ∪j∈Z(τ̃0
j , τ̃
0
j + θ/2], де τ̃0
j = τj(w
∗(τ̃0
j )) — моменти перетину розв’язку w∗(t) з
поверхнями τj(w). Не зменшуючи загальностi, вважаємо, що t0 ∈ (τ̃0
0 , τ̃
0
0 +θ/2]. Розглянемо
iнший розв’язок рiвняння w(t) з початковим значенням w0 з деякого околу точки w∗(t0)
такий, що w0 ∈W+
0 . За п. 2 доведення розв’язок w(t) не має биття з поверхнями iмпульсiв.
Виконаємо у рiвняннi (9), (10) замiну змiнних w = w∗+z. Тодi z(t) задовольняє рiвняння
dz
dt
+ (A1 + Ã1(t))z = F̃ (t, z)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
318 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
та рiзницевi спiввiдношення у точках перетину розв’язкiв w∗(t) i w(t) = w∗(t) + z(t) з
поверхнями τj(w), j ∈ Z :
z
(
τ̃0
j + 0
)
= (I +Dj)z(τ̃
0
j )−Dj(z(τ̃
0
j ) + w∗(τ̃0
j ))−Qj , (38)
z(τ̃1
j + 0) = z(τ̃1
j ) +Dj(z(τ̃
1
j ) + w∗(τ̃1
j )) +Qj ,
де τ̃0
j = τj(w
∗(τ̃0
j )), τ̃1
j = τj
(
w∗(τ̃1
j ) + z(τ̃1
j )
)
,
Ã1(t) =
(
a1 + β − 2b1u
∗ − c1v
∗ −c1u
∗
−b2v∗ a2 + β − 2c2v
∗ − b2u∗
)
F̃ (t, z) =
(
−u(b1(t, .)u+ c1(t, .)v)
−v(b2(t, .)u+ c2(t, .)v)
)
, w∗ =
(
u∗
v∗
)
, z =
(
u
v
)
.
Легко перевiрити, що iснує неспадна функцiя Kξ, 0 ≤ ξ ≤ ρ1, така, що Kξ → 0 при
ξ → 0 i рiвномiрно по t ∈ R
‖F̃ (t, z)‖0 ≤ Kξ‖z‖α, ‖z‖α ≤ ξ. (39)
Тому supt∈R,‖z‖α≤ρ1 ‖F̃ (t, z)‖ ≤ Kρ1ρ1 = F̃0.
Позначимо через Ṽ (t, s) еволюцiйний оператор лiнiйного однорiдного рiвняння
dw
dt
+ (A1 + Ã1(t))w = 0, (40)
а через Ũ(t, s) — еволюцiйний оператор рiвняння (40) з iмпульсною дiєю (38) у точках
τ̃0
j . Аналогiчно до рiвняння (30) показуємо експоненцiальну стiйкiсть рiвняння (40) з iм-
пульсною дiєю (38). Для спрощення запису вважаємо, що еволюцiйний оператор Ũ(t, s)
задовольняє нерiвнiсть (31) з тими ж сталими M1 та β1. Так само вважаємо, що Ṽ (t, s)
задовольняє оцiнки (28) i (29) з тiєю ж сталою K̃1.
Розв’язок z(t) задовольняє iнтегральне рiвняння
z(t) = Ũ(t, t0)z0 +
t∫
t0
Ũ(t, s)F̃ (s, z(s)) ds−
∑
t0<τ̃0j <t
Ũ
(
t, τ̃0
j
) (
Dj
(
z
(
τ̃0
j
)
+ w∗(τ̃0
j )
)
+Qj
)
+
+
∑
t0<τ̃1j <t
Ũ
(
t, τ̃1
j
) (
Dj
(
z
(
τ̃1
j
)
+ w∗
(
τ̃1
j
))
+Qj
)
.
Позначимо
J = ∪jJj , Jj =
(
max{τ̃0
j−1, τ̃
1
j−1},min{τ̃0
j , τ̃
1
j }
]
=
(
τ̃ ′′j−1, τ̃
′
j
]
.
Для t ∈
(
τ̃ ′′i , τ̃
′
i+1
]
маємо
‖z(t)‖α ≤ ‖Ũ(t, t0)z0‖α +
τ̃ ′1∫
t0
‖Ũ(t, s)F̃ (s, z(s))‖α ds+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ–ВОЛЬТЕРРА . . . 319
+
i−1∑
j=1
τ̃ ′j+1∫
τ̃ ′′j
‖Ũ(t, s)F̃ (s, z(s))‖α ds+
i∑
j=1
τ̃ ′′j∫
τ̃ ′j
‖Ũ(t, s)F̃ (s, z(s))‖α ds+
+
t∫
τ̃ ′′i
‖Ũ(t, s)F̃ (s, z(s))‖αds+
i∑
j=1
‖Ũ(t, τ̃0
1 )(Dj(z(τ̃
0
1 ) + w∗(τ̃0
1 )) +Q1)−
+ Ũ
(
t, τ̃1
j
) (
Dj
(
z
(
τ̃1
1
)
+ w∗
(
τ̃1
1
))
+Qj
)
‖α.
На iнтервалi без iмпульсiв розв’язок z(t) задовольняє нерiвнiсть
‖z(t)‖α ≤ ‖Ũ(t, t1)z(t1)‖α +
t∫
t1
‖AαŨ(t, s)F̃ (s, z(s))‖ds ≤
≤M1e
−β1(t−t1)‖z(t1)‖α +
t∫
t1
M2Kρ1e
−β1(t−s)
(t− s)α
‖z(s)‖α ds.
Тодi за лемою 1 на iнтервалi [t0, τ̃
′
1] розв’язок z(t) задовольняє оцiнку
‖z(t)‖α ≤M1C̃1e
−β1(t−t0)‖z0‖α, t ∈
[
t0, τ̃
′
1
]
. (41)
Покажемо, що при достатньо малому r = infj |rj | рiзниця
∣∣∣τ̃1
j − τ̃0
j
∣∣∣ оцiнюється через
z(τ̃ ′j) так: ∣∣τ̃0
j − τ̃1
j
∣∣ ≤ 4rρ|Ω|1/qL0
1− 8rρ|Ω|1/qL0K̃2θ−1
∥∥z(τ̃ ′j)∥∥α = K̃6r
∥∥z(τ̃ ′j)∥∥α . (42)
Припустимо, що τ̃0
j ≥ τ̃1
j = τ̃ ′j . Тодi, використовуючи (24) i (19), отримуємо
|τ̃1
j − τ̃0
j | ≤ |rk|
∣∣∣∣∣∣
∫
Ω
‖w∗(τ̃1
j )(x) + z(τ̃1
j )(x)‖2dx−
∫
Ω
‖w∗(τ̃0
j )(x)‖2dx
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 4rρ|Ω|1/qL0‖w∗(τ̃1
j ) + z(τ̃1
j )− w∗(τ̃0
j )‖α ≤
≤ 4rρ|Ω|1/qL0
‖z(τ̃1
j )‖α +
∥∥∥∥∥∥∥∥
τ̃0j∫
τ̃1j
d
dξ
w∗(ξ) dξ
∥∥∥∥∥∥∥∥
α
≤
≤ 4rρ|Ω|1/qL0
(
‖z(τ̃1
j )‖α +
2K̃2
θ
|τ̃0
j − τ̃1
j |
)
.
Якщо τ̃1
j ≥ τ̃0
j = τ̃ ′j , то
|τ̃1
j − τ̃0
j | ≤ |rk|
∣∣∣∣∣∣
∫
Ω
‖w∗(τ̃1
j ) + z(τ̃1
j )‖2dx−
∫
Ω
‖w∗(τ̃0
j )‖2dx
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 4rρ|Ω|1/qL0
∥∥w∗(τ̃1
j ) + z(τ̃1
j )− w∗(τ̃0
j )− z(τ̃0
j ) + z(τ̃0
j )
∥∥
α
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
320 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
≤ 4rρ|Ω|1/qL0
(
‖z(τ̃0
j )‖α +
2K̃2
θ
∣∣τ̃0
j − τ̃1
j
∣∣ ).
Для t ∈ (τ̃ ′′1 , τ̃
′
2] справедлива оцiнка
‖z(t)‖α ≤ ‖Ũ(t, t0)z0‖α + ‖Ũ(t, τ̃ ′′1 )‖α
τ̃ ′1∫
t0
∥∥∥Ũ(τ̃ ′′1 , s)F̃ (s, z(s))
∥∥∥
0
ds+
+
t∫
τ̃ ′′1
∥∥∥Ũ(t, s)F̃ (s, z(s))
∥∥∥
α
ds+ ‖Ũ(t, τ̃ ′′1 )‖α
τ̃ ′′1∫
τ̃ ′1
∥∥∥Ũ(τ̃ ′′1 , s)F̃ (s, z(s))
∥∥∥
0
ds+
+
∥∥∥Ũ(t, τ̃0
1 + 0)(D1(z(τ̃0
1 )+w∗(τ̃0
1 )) +Q1)−Ũ(t, τ̃1
1 )(D1(z(τ̃1
1 ) + w∗(τ̃1
1 )) +Q1)
∥∥∥
α
=
= i1 + i2 + i3 +4 +i5. (43)
Спочатку оцiнимо останнiй доданок. Якщо τ̃0
1 < τ̃1
1 , то
i5 =
∥∥∥Ũ(t, τ̃0
1 + 0)(D1(z(τ̃0
1 ) + w∗(τ̃0
1 )) +Q1)− Ũ(t, τ̃1
1 )(D1(z(τ̃1
1 ) + w∗(τ̃1
1 )) +Q1)
∥∥∥
α
=
=
∥∥∥Ũ(t, τ̃1
1 )
(
(D1(z(τ̃1
1 ) + w∗(τ̃1
1 )) +Q1 − Ũ(τ̃1
1 , τ̃
0
1 + 0)(D1(z(τ̃0
1 ) + w∗(τ̃0
1 )) +Q1)
)∥∥∥
α
=
=
∥∥∥∥∥∥∥Ũ(t, τ̃1
1 )
D1(U(τ̃1
1 , τ̃
0
1 + 0)− I)w(τ̃0
1 )− (U(τ̃1
1 , τ̃
0
1 + 0)− I)D1w(τ̃0
1 )+
+ (I − U(τ̃1
1 , τ̃
0
1 + 0))Q1 +D1
τ̃11∫
τ̃01
Ũ(τ̃1
1 , s)F̃ (s, w(s))ds
∥∥∥∥∥∥∥
α
. (44)
Якщо τ̃0
1 > τ̃1
1 , то
i5 =
∥∥∥Ũ(t, τ̃0
1 + 0)(D1(z(τ̃0
1 ) + w∗(τ̃0
1 )) +Q1)− Ũ(t, τ̃1
1 )(D1(z(τ̃1
1 ) + w∗(τ̃1
1 )) +Q1)
∥∥∥
α
=
=
∥∥∥Ũ(t, τ̃0
1 + 0)
(
D1w(τ̃0
1 ) +Q1 − Ũ(τ̃0
1 + 0, τ̃1
1 )(D1w(τ̃1
1 ) +Q1)
)∥∥∥
α
=
=
∥∥∥∥∥∥∥Ũ(t, τ̃0
1 + 0)
D1(U(τ̃0
1 , τ̃
1
1 )− I)w(τ̃1
1 )− (U(τ̃0
1 , τ̃
1
1 )− I)D1w(τ̃1
1 )+
+(I − U(τ̃0
1 + 0, τ̃1
1 ))Q1 +D1
τ̃01∫
τ̃11
Ũ(τ̃0
1 , s)F̃ (s, w(s))ds
∥∥∥∥∥∥∥
α
. (45)
Застосовуючи нерiвностi (28), (29), (32) i (42), з (44) i (45) отримуємо оцiнку
i4 + i5 ≤M2e
−β1(t−τ̃ ′′1 ) τ̃ ′′1 − τ̃ ′1
(t− τ̃ ′′1 )α
(
2dK̃1Ñ2 + K̃1βq) + dF̃0M2
)
≤
≤ rM2K̃6e
−β1(t−τ̃ ′′1 )
(
2dK̃1Ñ2 + βqK̃1 + dF̃0M2
) ‖z (τ̃ ′1)‖α
(t− τ̃ ′′1 )α
=
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛОТКИ–ВОЛЬТЕРРА . . . 321
= rP1e
−β1(t−τ̃ ′′1 ) ‖z (τ̃ ′1)‖α
(t− τ̃ ′′1 )α
. (46)
Припускаючи,що ‖z(t)‖α ≤ ξ при t ∈ [t0, τ̃
′
1] , i враховуючи (32), (39) i (46), переписуємо
оцiнку (43) у виглядi
‖z(t)‖α ≤M1e
−β1(t−t0)‖z0‖α
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ rP2)
(t− τ̃ ′′1 )α
)
+
+
t∫
τ̃ ′′1
M2Kρ1‖z(s)‖αe−β1(t−s)
(t− s)α
ds,
де
P2 = P1e
β1 supj |τ̃ ′′j −τ̃ ′j |, Q̃ = max
j
{
1, (τ̃ ′j+1 − τ̃ ′′j )
}
.
Позначимо також θ̃ = minj
{
1, (τ̃ ′j+1 − τ̃ ′′j )
}
. З урахуванням перманентностi ‖z‖α ≤ ρ1,
t ≥ t0. За лемою 1 отримуємо
‖z(t)‖α ≤M1C̃1e
−β1(t−t0)‖z0‖α
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ rP2)
(t− τ̃ ′′1 )α
)
, t ∈
(
τ ′′1 , τ
′
2
]
. (47)
Припустимо, що при t ∈ [t0, τ̃
′
i ] розв’язок w(t) задовольняє нерiвнiсть ‖w(t)‖α ≤ ρ1 так,
що ‖z(t)‖α = ‖w(t)− w0(t)‖α ≤ ξ для t ∈ ∪ij=1Jj з деяким ξ > 0.
Аналогiчно до [20] за методом математичної iндукцiї доводимо, що для t ∈
(
τ̃ ′′i , τ̃
′
i+1
]
,
i = 1, 2, . . . ,
‖z(t)‖α ≤M1C̃1‖z0‖αe−β1(t−t0)
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ rP2)
(t− τ̃ ′′i )α
)
Ai−1
ξ,r ,
де
Aξ,r =
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ rP2)
(1− α)θ̃α
)
.
За формулою (41) якщо ‖z0‖α ≤ δ = ε/(M1C̃1), то ‖z(t)‖α ≤ ε при t ∈ [t0, τ̃
′
1] .
За формулою (47) розв’язок z(t) задовольняє нерiвнiсть ‖z(t)‖α < ε на iнтервалi t ∈
∈ [τ̃ ′′1 + η, τ̃ ′2] , якщо
‖z0‖α ≤
ε
M1C̃1
(
1 +
C̃1(M2KεQ̃+ rP2)
ηα
)−1
. (48)
Оскiльки Kξ → 0 при ξ → 0, то при досить малих ξ > 0 i r > 0 справедлива нерiвнiсть
Aξ,re−β1θ < 1 i
e−β1(τ̃
′
i−t0)Ai−1
ξ,r → 0, i→∞. (49)
Отже, для довiльних фiксованих ε > 0 i η > 0, якщо початкове значення задовольняє
умову (48) i виконується нерiвнiсть Aε,re−β1θ < 1, то ‖z(t)‖α < ε для всiх t ∈
[
τ̃ ′′i + η, τ̃ ′i+1
]
,
i = 1, 2, . . . . Це й доводить стiйкiсть.
Виберемо ε0 > 0 i r0 > 0 такими, що Aε0,r0e
−β1θ < 1. Тодi при r ≤ r0, виходячи
з (49), для кожних додатних ε ≤ ε0 i η iснує таке натуральне i0, що при всiх i ≥ i0 i
t ∈ [τ̃ ′′i + η, τ̃ ′i+1] виконується ‖z(t)‖α < ε. Отже, w -майже перiодичний розв’язок w∗(t)
асимптотично стiйкий.
Теорему 2 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
322 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Лiтература
1. Akhmet M. U., Beklioglu M., Ergenc T., Tkachenko V. I. An impulsive ratio-dependent predator-prey system with
diffusion // Nonlinear Anal. Real World Appl. – 2006. – 7, № 5. – P. 1255 – 1267.
2. Dvirnyj A. I., Slyn’ko V. I. Stability in terms of two measures for a class of semilinear impulsive parabolic
equations // Sbornik: Mathematics. – 2013. – 204, № 4. – P. 485 – 507.
3. Li C., Guo X., He D. An impulsive diffusion predator-prey system in three-species with Beddington –DeAngelis
response // J. Appl. Math. Comput. – 2013. – 43, № 1 – 2. – P. 235 – 248.
4. Rogovchenko Y. V. Nonlinear impulse evolution systems and applications to population models // J. Math. Anal.
Appl. – 1997. – 207, № 2. – P. 300 – 315.
5. Струк О. О., Ткаченко В. I. Про системи Лотки –Вольтерри з дифузiєю та iмпульсною дiєю // Укр. мат.
журн. – 2002. – 54, № 4. – С. 514 – 526.
6. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – К.: Вища
шк., 1987. – 288 c.
7. Перестюк Н. А., Самойленко А. М., Трофимчук С. И. Обобщенные решения импульсных систем и явление
биений // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 5. – С. 657 – 663.
8. Akhmetov M. U., Perestyuk N. A. Periodic and almost periodic solutions of strongly nonlinear impulse systems //
J. Appl. Math. Mech. – 1992. – 56, № 6. – P. 829 – 837.
9. Дворник А. В., Ткаченко В. I. Майже перiодичнi розв’язки систем iз запiзненням та нефiксованими
моментами iмпульсної дiї // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 11. – С. 1450 – 1466.
10. Hakl R., Pinto M., Tkachenko V., Trofimchuk S. Almost periodic evolution systems with impulse action at
state-dependent moments // J. Math. Anal. Appl. – 2017. – 46, № 1. – P. 1030 – 1045.
11. He M., Chen F., Li Z. Almost periodic solution of an impulsive differential equation model of plankton
allelopathy // Nonlinear Anal. Real World Appl. – 2010. – 11, № 4. – P. 2296 – 2301.
12. Henriquez H. R., De Andrade B., Rabelo M. Existence of almost periodic solutions for a class of abstract
impulsive differential equations // ISRN Math. Anal. – 2011. – Article ID 632687. – 21 p.
13. Pinto M., Robledo G. Existence and stability of almost periodic solutions in impulsive neural network models //
Appl. Math. Comput. – 2010. – 217, № 8. – P. 4167 – 4177.
14. Samoilenko A. M., Trofimchuk S. I. Almost periodic impulsive systems // Differ. Equ. – 1993. – 29. – № 4. –
P. 684 – 691.
15. Stamov G. T. Almost periodic solutions of impulsive differential equations // Lect. Notes Math. – 2012. – 2047. –
XX + 217 p.
16. Tkachenko V. Almost periodic solutions of parabolic type equations with impulsive action // Funct. Differ. Equ. –
2014. – 21, № 3-4. – P. 155 – 169.
17. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. – М.: Мир, 1971. – 310 с.
18. Tkachenko V. Almost periodic solutions of evolution differential equations with impulsive action // Mathematical
Modeling and Applications in Nonlinear Dynamics. – New York: Springer, 2016. – P. 161 – 205.
19. Дворник А. В., Струк О. О., Ткаченко В. I. Майже перiодичнi розв’язки систем Лотки –Вольтерра з
дифузiєю та iмпульсною дiєю // Укр. мат. журн. – 2018. – 70, № 2. – С. 177 – 192.
20. Dvornyk A. V., Tkachenko V. I. On the stability of solutions of evolution equations with nonfixed moments of
impulse action // J. Math. Sci. (N.Y.) – 2017. – 220, № 4. – P. 425 – 439.
21. Самойленко А. М., Трофимчук С. И. Неограниченные функции с почти периодическими разностями //
Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 10. – С. 1306 – 1309.
22. Henry D. Geometric theory of semilinear parabolic equations // Lect. Notes Math. – 1981. – 840. – IV + 348 p.
23. Alikakos N. D. An application of the invariance principle to reaction-diffusion equations // J. Differential
Equations. – 1979. – 33, № 2. – P. 201 – 225.
Одержано 11.05.2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
|