Асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями
Встановлюються умови iснування й асимптотичнi при t ↑ ω (ω ≤ +∞) зображення одного класу монотонних розв’язкiв диференцiального рiвняння другого порядку з правильно та швидко змiнними нелiнiйностями....
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177331 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями / В.М. Евтухов, Н.П. Колун // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 323-346 — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177331 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773312021-02-15T01:26:52Z Асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями Евтухов, В.М. Колун, Н.П. Встановлюються умови iснування й асимптотичнi при t ↑ ω (ω ≤ +∞) зображення одного класу монотонних розв’язкiв диференцiального рiвняння другого порядку з правильно та швидко змiнними нелiнiйностями. The conditions of the existence and asymptotic representations as t ↑ ω (ω ≤ +∞) for a class of monotone solutions of the second-order differential equations with regularly and rapidly varying nonlinearities are established. 2018 Article Асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями / В.М. Евтухов, Н.П. Колун // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 323-346 — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177331 517.925 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлюються умови iснування й асимптотичнi при t ↑ ω (ω ≤ +∞) зображення одного класу монотонних розв’язкiв диференцiального рiвняння другого порядку з правильно та швидко змiнними нелiнiйностями. |
| format |
Article |
| author |
Евтухов, В.М. Колун, Н.П. |
| spellingShingle |
Евтухов, В.М. Колун, Н.П. Асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями Нелінійні коливання |
| author_facet |
Евтухов, В.М. Колун, Н.П. |
| author_sort |
Евтухов, В.М. |
| title |
Асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| title_short |
Асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| title_full |
Асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| title_fullStr |
Асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| title_full_unstemmed |
Асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| title_sort |
асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177331 |
| citation_txt |
Асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями / В.М. Евтухов, Н.П. Колун // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 323-346 — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT evtuhovvm asimptotikarešenijdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaspravilʹnoibystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT kolunnp asimptotikarešenijdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaspravilʹnoibystromenâûŝimisânelinejnostâmi |
| first_indexed |
2025-07-15T15:22:54Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:22:54Z |
| _version_ |
1837726931223576576 |
| fulltext |
УДК 517.925
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА С ПРАВИЛЬНО И БЫСТРО МЕНЯЮЩИМИСЯ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
В. М. Евтухов
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
ул. Дворянская, 2, г. Одесса, 65026, Украина
e-mail: emden@farlep.net
Н. П. Колун
Военная академия
Фонтанская дорога, 10, г. Одесса, 65009, Украина
e-mail: nataliiakolun@ukr.net
The conditions of the existence and asymptotic representations as t ↑ ω (ω ≤ +∞) for a class of monotone
solutions of the second-order differential equations with regularly and rapidly varying nonlinearities are
established.
Встановлюються умови iснування й асимптотичнi при t ↑ ω (ω ≤ +∞) зображення одного класу
монотонних розв’язкiв диференцiального рiвняння другого порядку з правильно та швидко змiн-
ними нелiнiйностями.
1. Введение. Рассматривается дифференциальное уравнение
y′′ =
m∑
i=1
αipi(t)ϕi(y), (1.1)
в котором αi ∈ {−1, 1}, i = 1,m, pi : [a, ω[→ ]0,+∞[, i = 1,m, — непрерывные функции,
−∞ < a < ω ≤ +∞; ϕi : ∆Y0 →]0,+∞[, i = 1,m, где ∆Y0 —односторонняя окрестность Y0,
Y0 равно либо нулю, либо ±∞, непрерывные функции при i = 1, l и дважды непрерывно
дифференцируемые при i = l + 1,m такие, что
lim
y→Y0
y∈∆Y0
ϕi(λy)
ϕi(y)
= λσi , i = 1, l для любого λ > 0, (1.2)
ϕ′i(y) 6= 0 при y ∈ ∆Y0 ,
(1.3)
lim
y→Y0
y∈∆Y0
ϕi(y) ∈ {0,+∞}, lim
y→Y0
y∈∆Y0
ϕ′′i (y)ϕi(y)
ϕ′2i (y)
= 1, i = l + 1,m.
Из условий (1.2) и (1.3) следует, что при i ∈ {1, . . . , l} каждая из функций ϕi является
правильно меняющейся при y → Y0 функцией порядка σi, а при i ∈ {l+ 1, . . . ,m} каждая
из функций ϕi и ее производная первого порядка являются быстро меняющимися при
y → Y0 функциями (см. монографию В. Марича [1, с. 2 – 4] (введение)).
В силу определения правильно меняющейся функции справедливы представления вида
ϕi(y) = |y|σiLi(y), i = 1, l, (1.4)
© В. М. Евтухов, Н. П. Колун, 2018.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3 323
324 В. М. ЕВТУХОВ, Н. П. КОЛУН
где Li, i = 1, l, — медленно меняющиеся функции при y → Y0, т. е. такие, что
lim
y→Y0
y∈∆Y0
Li(λy)
Li(y)
= 1 для любого λ > 0, i = 1, l.
Из (1.3) непосредственно вытекают предельные соотношения
lim
y→Y0
y∈∆Y0
yϕ′i(y)
ϕi(y)
= ±∞, i = l + 1,m. (1.5)
Определение 1.1. Решение y уравнения (1.1) называется Pω(Y0, λ0)-решением, где −∞ ≤
≤ λ0 ≤ +∞, если оно определено на промежутке [t0, ω[⊂ [a, ω[ и удовлетворяет условиям
lim
t↑ω
y(t) = Y0, lim
t↑ω
y′(t) =
либо 0,
либо ±∞,
lim
t↑ω
y′2(t)
y′′(t)y(t)
= λ0. (1.6)
Известны результаты об асимптотическом поведении Pω(Y0, λ0)-решений дифферен-
циального уравнения (1.1) в случае, когда в правой части уравнения (1.1) стоит одно
слагаемое с правильно или быстро меняющейся нелинейностью (см. работы [2, 3] и работу
А. Г. Черниковой [4]). Также исследовался случай l = m, когда все нелинейности в правой
части дифференциального уравнения (1.1) являются правильно меняющимися функциями
(см., например, работы [5, 6]). Общий же случай, когда в правой части уравнения (1.1)
кроме слагаемых с правильно меняющимися нелинейностями присутствуют слагаемые с
быстро меняющимися нелинейностями, до настоящего времени не исследовался.
В данной работе при λ0 ∈ R\{0; 1} устанавливаются условия существования Pω(Y0, λ0)-
решенийдифференциального уравнения (1.1), а также асимптотическиепри t ↑ ω представ-
ления для таких решений и их производных первого порядка в случае, когда l < m и для
некоторого s ∈ {l + 1, . . . ,m}
lim
t↑ω
pi(t)ϕi(y(t))
ps(t)ϕs(y(t))
= 0 при i ∈ {1, . . . ,m} \ {s}, (1.7)
т. е. когда на каждом таком решении y уравнения (1.1) правая часть уравнения эквива-
лентна при t ↑ ω одному слагаемому с быстро меняющейся нелинейностью.
2. Некоторые вспомогательные утверждения. Вдальнейшем, не ограничивая общности,
будем считать, что
∆Y0 = ∆Y0(b), ∆Y0(b) =
[b, Y0[, если ∆Y0 — левая окрестность Y0,
]Y0, b], если ∆Y0 — правая окрестность Y0,
(2.1)
и число b удовлетворяет неравенствам
|b| < 1 при Y0 = 0 и b > 1 (b < −1) при Y0 = +∞ (Y0 = −∞).
При доказательстве основных результатов понадобятся некоторые свойства дважды не-
прерывно дифференцируемой функции f : ∆Y0(b)→ ]0,+∞[, удовлетворяющей условиям
f ′(y) 6= 0 при y ∈ ∆Y0(b), lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
f(y) ∈ {0,+∞}, lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
f ′′(y)f(y)
f ′2(y)
= 1. (2.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 325
Перед тем как сформулировать эти свойства, введем следующие обозначения:
Z0 = lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
f(y) =
либо 0,
либо +∞,
∆Z0(c0) =
либо [c0, Z0[,
либо ]Z0, c0],
c0 = f(b).
В работе А. Г. Черниковой [4] показано, что для каждой дважды непрерывно диффе-
ренцируемой функции f : ∆Y0(b)→ ]0,+∞[, удовлетворяющей условиям (2.2), существует
функция g : ∆Y0(b)→ R, которая называется дополняющей для f, такая, что
lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
f(y + ug(y))
f(y)
= eu для любого u ∈ R. (2.3)
Кроме того, установлены следующие леммы.
Лемма 2.1. Если дважды непрерывно дифференцируемая функция f : ∆Y0(b) → ]0,+∞[
удовлетворяет условиям (2.2) и имеет дополняющую функцию g, то для любой функции
u : ∆Y0(b)→ R такой что
lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
u(y) = u0 ∈ R, lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
f(y + u(y)g(y)) = Z0,
имеет место предельное соотношение
lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
f(y + u(y)g(y))
f(y)
= euo .
Более того, функция g определяется однозначно с точностью до эквивалентных при y → Y0
функций. В качестве функции g может быть выбрана, например, одна из следующих:∫ y
Y
(∫ t
Y
f(u)du
)
dt∫ y
Y
f(x)dx
∼
∫ y
Y
f(x)dx
f(y)
∼ f(y)
f ′(y)
∼ f ′(y)
f ′′(y)
при y → Y0,
где
Y =
b, если Z0 = +∞,
Y0, если Z0 = 0.
Лемма 2.2. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая функция f : ∆Y0(b)→ ]0,+∞[
удовлетворяет условиям (2.2) и имеет дополняющую функцию g. Тогда для нее существу-
ет непрерывная строго монотонная обратная функция f−1 : ∆Z0(c0) → ∆Y0(b), которая
является медленно меняющейся при z → Z0 и удовлетворяет предельному соотношению
lim
z→Z0
z∈∆Z0
(c0)
f−1(λz)− f−1(z)
g(f−1(z))
= lnλ при любом λ > 0.
Более того, для любого Λ > 1 данное предельное соотношение выполняется равномерно по λ ∈
∈ [1/Λ,Λ] .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
326 В. М. ЕВТУХОВ, Н. П. КОЛУН
В дальнейшем также потребуется еще одно вспомогательное утверждение об априор-
ных асимптотических свойствах Pω(Y0, λ0)-решений уравнения (1.1).
Введем функцию πω : [a, ω[−→ R, полагая
πω(t) =
t, если ω = +∞,
t− ω, если ω < +∞,
β = signπω(t).
Лемма 2.3. Если λ0 ∈ R\{0; 1}, то для каждого Pω(Y0, λ0)-решения уравнения (1.1) име-
ют место асимптотические соотношения
πω(t)y′(t)
y(t)
=
λ0
λ0 − 1
[1 + o(1)],
πω(t)y′′(t)
y′(t)
=
1 + o(1)
λ0 − 1
при t ↑ ω. (2.4)
Справедливость этого утверждениянепосредственно вытекает из работы [7] (см. следст-
вие 10.1).
3. Основные результаты. Прежде всего введем необходимые для дальнейшего изложе-
ния вспомогательные обозначения. Будем считать, что область определения функций ϕi,
i = 1,m, определяется формулой (2.1). Далее, положим
µi = signϕ′i(y), i = l + 1,m, ν0 = sign b, ν1 =
1, если ∆Y0(b) = [b, Y0[,
−1, если ∆Y0(b) = ]Y0, b].
Учитывая определение Pω(Y0, λ0)-решения дифференциального уравнения (1.1), заметим,
что числа ν0 и ν1 определяют знаки любого Pω(Y0, λ0)-решения и его первой производной
(соответственно) в некоторой левой окрестности ω. Ясно, что условия
ν0ν1 < 0, если Y0 = 0, ν0ν1 > 0, если Y0 = ±∞, (3.1)
являются необходимыми для наличия Pω(Y0, λ0)-решений. Если же для таких решений
уравнения (1.1), кроме того, выполняются условия (1.7), то sign y′′(t) = αs в некоторой
левой окрестности ω, и при этом
ν1αs < 0, если lim
t↑ω
y′(t) = 0, ν1αs > 0, если lim
t↑ω
y′(t) = ±∞. (3.2)
Введем функции
Hi(y) =
y∫
Bi
dx
ϕi(x)
, в которых Bi =
b, если
∫ Y0
b
dy
ϕi(y)
= ±∞,
Y0, если
∫ Y0
b
dy
ϕi(y)
= const,
i = l + 1,m.
Отметим некоторые свойства функций Hi, i = l + 1,m. Так как для каждого i ∈ {l +
+ 1, . . . ,m} H ′i(y) =
1
ϕi(y)
> 0 при y ∈ ∆Y0(b), то Hi — возрастающая на ∆Y0(b) , а также
существует обратная функция H−1i : ∆Zi(ci) → ∆Y0(b), где ввиду второго из условий (1.3)
и возрастания H−1i
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 327
Zi = lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
Hi(y) =
либо 0,
либо +∞,
∆Zi(ci) =
[ci, Zi[, если ∆Y0(b) = [b, Y0[,
]Zi, ci], если ∆Y0(b) = ]Y0, b],
ci = Hi(b).
(3.3)
В силу правила Лопиталя в форме Штольца и последнего из условий (1.3) имеем
lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
Hi(y)
1
ϕ′i(y)
= lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
1
ϕi(y)
− ϕ
′′
i (y)
ϕ′2i (y)
= − lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
ϕ′2(y)
ϕ′′i (y)ϕi(y)
= −1.
А значит,
Hi(y) ∼ − 1
ϕ′i(y)
при y → Y0 и signHi(y) = −µi при y ∈ ∆Y0(b). (3.4)
Из первого из этих соотношений также следует, что
H ′i(y)
Hi(y)
=
1
ϕi(y)
Hi(y)
∼ −ϕ
′
i(y)
ϕi(y)
,
H ′′i (y)Hi(y)
H ′2i (y)
=
−ϕ
′
i(y)
ϕ2
i (y)
Hi(y)
1
ϕ2
i (y)
∼ 1 при y → Y0. (3.5)
Поэтому каждая из функций Hi, i ∈ {l+ 1, . . . ,m}, удовлетворяет условиям леммы 2.1, со-
гласно которой в качестве дополняющей функции для каждой функции Hi соответственно
может быть выбрана одна из эквивалентных функций
H ′i(y)
H ′′i (y)
∼ Hi(y)
H ′i(y)
∼ −ϕi(y)
ϕ′i(y)
при y → Y0. (3.6)
В дальнейшем понадобятся также обозначения
Ji(t) =
t∫
Ai
πω(τ)p0i(τ)dτ, Ai =
a, если
∫ ω
a
πω(τ)p0i(τ)dτ = ±∞,
ω, если
∫ ω
a
πω(τ)p0i(τ)dτ = const,
qi(t) =
αi(λ0 − 1)π2ω(t)p0i(t)ϕi
(
H−1i (αi (λ0 − 1) Ji(t))
)
H−1i (αi(λ0 − 1)Ji(t))
,
Gi(t) =
yϕ′i(y)
ϕi(y)
∣∣∣∣∣
y=H−1
i (αi(λ0−1)Ji(t))
, Φi(t) =
y
(
ϕ′i(y)
ϕi(y)
)′
ϕ′i(y)
ϕi(y)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y=H−1
i (αi(λ0−1)Ji(t))
, i = l + 1,m,
в которых p0i : [a, ω[→]0,+∞[ — такие непрерывно дифференцируемые функции, что
p0i(t) ∼ pi(t) при t ↑ ω.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
328 В. М. ЕВТУХОВ, Н. П. КОЛУН
Теорема 3.1. Пусть λ0 ∈ R\{0; 1}, для некоторого s ∈ {l + 1, . . . ,m} функция ps пред-
ставима в виде
ps(t) = p0s(t)[1 + rs(t)], где lim
t↑ω
rs(t) = 0, (3.7)
p0s : [a, ω[→]0,+∞[ — непрерывно дифференцируемая функция, rs : [a, ω[→]− 1,+∞[ — не-
прерывная функция, и справедливы условия
ϕs(y)ϕ′i(y)
ϕ′s(y)ϕi(y)
= O(1) при y → Y0 (y ∈ ∆Y0(b)) для любого i ∈ {l + 1, . . . ,m}. (3.8)
Тогда для существования у дифференциального уравнения (1.1) Pω(Y0, λ0)-решений, удовлет-
воряющих условиям (1.7), необходимо, чтобы выполнялись неравенства
αsν0λ0 > 0, αsµs(λ0 − 1)Js(t) < 0 при t ∈ ]a, ω[, (3.9)
а также условия
αs(λ0 − 1) lim
t↑ω
Js(t) = Zs, lim
t↑ω
πω(t)J ′s(t)
Js(t)
= ±∞, lim
t↑ω
qs(t) =
λ0
λ0 − 1
, (3.10)
lim
t↑ω
pi(t)ϕi
(
H−1s (αs (λ0 − 1) Js(t))
)
ps(t)ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) = 0 при любом i ∈ {1, . . . ,m} \ {s}. (3.11)
Более того, для каждого такого решения имеют место асимптотические представления
y(t) = H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
[
1 +
o(1)
Gs(t)
]
при t ↑ ω, (3.12)
y′(t) =
λ0H
−1
s (αs(λ0 − 1)Js(t))
(λ0 − 1)πω(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.13)
Доказательство. Пусть y : [t0, ω[→ R — произвольное Pω(Y0, λ0)-решение дифферен-
циального уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям (1.7). Тогда в силу (1.1), (1.7) и (3.7)
y′′(t) = αsp0s(t)ϕs(y(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.14)
Из этого соотношения ясно, что данное решение и его производные первого и второго
порядков сохраняют знаки на некотором промежутке [t1, ω[⊂ [t0, ω[, причем
sign y(t) = ν0, sign y′(t) = ν1, sign y′′(t) = αs.
Согласно лемме 2.3
ν0ν1 = sign [λ0(λ0 − 1)πω(t)], ν1αs = sign [(λ0 − 1)πω(t)] при t ∈ ]a, ω[,
откуда, в частности, следует первое из неравенств (3.9). Кроме того, из (3.14) с учетом
второго из соотношений (2.4) леммы 2.3 следует
y′(t)
ϕs(y(t))
= αs(λ0 − 1)πω(t)p0s(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 329
Интегрируя это соотношение на промежутке от t1 до t (t ∈ ]t1, ω[), получаем
y(t)∫
y(t1)
dx
ϕs(x)
= αs(λ0 − 1)
t∫
t1
πω(τ)p0s(τ)[1 + o(1)] dτ при t ↑ ω. (3.16)
Поскольку в силу первого из условий (1.6) lim
t↑ω
y(t) = Y0, то из (3.16) ясно, что несобствен-
ные интегралы
Y0∫
y(t1)
dx
ϕs(x)
и
ω∫
t1
πω(τ)p0s(τ) dτ
сходятся или расходятся одновременно. Ввиду этого факта и выбора пределов интегри-
рования As и Bs в функциях Js и Hs соотношение (3.16) может быть записано в виде
Hs(y(t)) = αs(λ0 − 1)Js(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.17)
Отсюда с учетом второго из условий (3.4) следует, что справедливо второе из нера-
венств (3.9). В силу же первого из условий (3.4) из (3.15) и (3.17) вытекает, что
y′(t)ϕ′s(y(t))
ϕs(y(t))
= −πω(t)p0s(t)
Js(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω,
и поэтому ввиду первого из асимптотических соотношений (2.4)
y(t)ϕ′s(y(t))
ϕs(y(t))
= −(λ0 − 1)π2ω(t)p0s(t)
λ0Js(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Из данного соотношения в силу (1.5) и определения Pω(Y0, λ0)-решения непосредственно
следует справедливость второго из предельных условий (3.10).
Теперь из (3.17) находим, что
y(t) = H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)[1 + o(1)]) при t ↑ ω. (3.18)
Функция Hs, как было установлено ранее, удовлетворяет условиям леммы 2.1 и в качестве
ее дополняющей функции может быть выбрана функция gs(y) = −ϕs(y)
ϕ′s(y)
. Кроме того,
с учетом условий αs(λ0 − 1) lim
t↑ω
Js(t) = Zs и αs(λ0 − 1)Js(t) ∈ ∆Zs(cs) при t ∈ [t1, ω[,
вытекающих из (3.17) и (3.3), существует t2 ∈ [t1, ω[ такое, что функция z(t) = αs(λ0 −
− 1)Js(t)[1 + o(1)] такова, что
lim
t↑ω
z(t) = Zs и z(t) ∈ ∆Zs(cs) при t ∈ [t2, ω[. (3.19)
Тогда, ввиду (3.19), согласно лемме 2.2 имеем
lim
t↑ω
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)[1 + o(1)])−H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
−
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
330 В. М. ЕВТУХОВ, Н. П. КОЛУН
= lim
z→Zs
z∈∆Zs
(cs)
H−1s (z(1 + o(1)))−H−1s (z)
−ϕs(z)
ϕ′s(z)
= 0,
откуда следует, что
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)[1 + o(1)]) = H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))+
+
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) o(1) при t ↑ ω.
В силу этого соотношения из (3.18) получаем асимптотическое представление (3.12). Если
же учесть, что
lim
t↑ω
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))ϕ
′
s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) = lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
yϕ′s(y)
ϕs(y)
= ±∞,
то (3.12) может быть записано в виде
y(t) = H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω, (3.20)
и поэтому ввиду первого из асимптотических соотношений (2.4) имеет место асимптоти-
ческое представление (3.13).
Далее, поскольку функция ϕs удовлетворяет условиям леммы 2.1 и в качестве ее допол-
няющей функции может быть выбрана функция gs(y) =
ϕs(y)
ϕ′s(y)
, то на основании леммы 2.1
с учетом условий lim
t↑ω
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) = Y0 и H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) ∈ ∆Y0(b) при
t ∈ [t2, ω[ получаем
lim
t↑ω
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs(H
−1
s (αs(λ0 − 1)Js(t)))
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) o(1)
)
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) =
= lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
ϕs
(
y +
ϕs(y)
ϕ′s(y)
o(1)
)
ϕs(y)
= 1.
Поэтому
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s(H
−1
s (αs(λ0 − 1)Js(t)))
o(1)
)
=
= ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
[1 + o(1)] при t ↑ ω,
откуда с учетом (3.12) имеем
ϕs(y(t)) = ϕs(H
−1
s (αs(λ0 − 1)Js(t)))[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.21)
Из (3.14) и (3.21) следует, что
y′′(t) = αsp0s(t)ϕs(H
−1
s (αs(λ0 − 1)Js(t)))[1 + o(1)] при t ↑ ω.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 331
В силу этого представления и (3.13)
πω(t)y′′(t)
y′(t)
=
αs(λ0 − 1)π2ω(t)p0s(t)ϕs(H
−1
s (αs(λ0 − 1)Js(t)))
λ0H
−1
s (αs(λ0 − 1)Js(t))
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Отсюда с учетом второго из асимптотических соотношений (2.4) вытекает справедливость
третьего из условий (3.10).
Остается лишь установить справедливость условий (3.11).
Поскольку функции ϕi, i = 1, l, являются правильно меняющимися при y → Y0, H
−1
s
является медленно меняющейся при z → Zs как обратная от быстро меняющейся функции
Hs, а функция z(t) = αs(λ0 − 1)Js(t)[1 + o(1)] удовлетворяет условиям (3.19), то
ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)[1 + o(1)])
)
=
= ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
[1 + o(1)] при t ↑ ω, i = 1, l. (3.22)
Еслиже i ∈ {l+1, . . . ,m}\{s}, то каждая из функций ϕi удовлетворяет условиям леммы 2.1
и в качестве их дополняющих функций могут быть выбраны соответственно функции
gi(y) =
ϕi(y)
ϕ′i(y)
. Тогда на основании леммы 2.1 с учетом условий lim
t↑ω
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) =
= Y0, H
−1
s (αs(λ0 − 1)Js(t)) ∈ ∆Y0(b) при t ∈ [t2, ω[ и (3.8) получаем
lim
t↑ω
ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) o(1)
)
ϕi(H
−1
s (αs(λ0 − 1)Js(t)))
=
= lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
ϕi
(
y + gi(y)
ϕ′i(y)ϕs(y)
ϕi(y)ϕ′s(y)
o(1)
)
ϕi(y)
=
= lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
ϕi (y + gi(y)O(1) o(1))
ϕi(y)
= lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
ϕi (y + gi(y) o(1))
ϕi(y)
= 1.
Поэтому при i ∈ {l + 1, . . . ,m} \ {s}
ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)o(1)
)
=
= ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
[1 + o(1)] при t ↑ ω,
откуда с учетом (1.5), (3.20) и (3.21) имеем
ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)[1 + o(1)])
)
=
= ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
[1 + o(1)] при t ↑ ω, i = l + 1,m. (3.23)
Из (3.18), (3.22) и (3.23) находим
lim
t↑ω
pi(t)ϕi(y(t))
ps(t)ϕs(y(t))
= lim
t↑ω
pi(t)ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
[1 + o(1)]
ps(t)ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
[1 + o(1)]
=
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
332 В. М. ЕВТУХОВ, Н. П. КОЛУН
= lim
t↑ω
pi(t)ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ps(t)ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) , i = 1,m.
Из последнего равенства и (1.7) следует справедливость условий (3.11).
Теорема 3.1 доказана.
Замечание 3.1. Теорема 3.1 остается справедливой без предположения, что ps(t) ∼
∼ p0s(t) при t ↑ ω с заменой в условиях (3.9) – (3.13) функций Js, qs и Gs соответственно
на функции
J1s(t) =
t∫
As
πω(τ)ps(τ) dτ,
q1s(t) =
αs(λ0 − 1)π2ω(t)ps(t)ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)J1s(t))
)
H−1s (αs(λ0 − 1)J1s(t))
,
G1s(t) =
H−1s (αs(λ0 − 1)J1s(t))ϕ
′
s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)J1s(t))
)
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)J1s(t))
) .
При установлении следующего результата наряду с введенными ранее будем использо-
вать также обозначение
ψi(t) =
t∫
t0
|Gi(τ)|1/2 dτ
πω(τ)
, i = l + 1,m,
где t0 — некоторое число из промежутка [a, ω[.
Теорема 3.2. Пусть λ0 ∈ R \ {0; 1}, для некоторого s ∈ {l + 1, . . . ,m} функция ps
представима в виде (3.7), выполняются условия (3.8) – (3.11) и существуют конечные или
равные ±∞ пределы
γs = lim
t↑ω
Φs(t), lim
t↑ω
πω(t)q′s(t), lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
(
ϕ′s(y)
ϕs(y)
)′
(
ϕ′s(y)
ϕs(y)
)2
√∣∣∣∣yϕ′s(y)
ϕs(y)
∣∣∣∣, lim
t↑ω
ψs(t)ψ
′′
s (t)
ψ′2s (t)
.
(3.24)
Тогда:
1) если αsµs = 1, то у дифференциального уравнения (1.1) существует однопараметри-
ческое семейство Pω(Y0, λ0)-решений с представлениями вида
y(t) = H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
[
1 +
o(1)
Gs(t)
]
при t ↑ ω, (3.25)
y′(t) =
λ0H
−1
s (αs(λ0 − 1)Js(t))
(λ0 − 1)πω(t)
[
λ0 − 1
λ0
qs(t) + |Gs(t)|−1/2 o(1)
]
при t ↑ ω; (3.26)
2) если αsµs = −1 и выполняются условия
γs 6= lim
λ→λ0
(λ− 1)(2− 3λ)
λ(5λ− 4)
, lim
t↑ω
ψs(t)
[
qs(t)[1 + rs(t)]−
λ0
λ0 − 1
]
= 0, (3.27)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 333
lim
t↑ω
ψ2
s(t)
[(
λ0
λ0 − 1
− qs(t)
)
qs(t) +
qs(t)rs(t)
λ0 − 1
− πω(t)q′s(t)
]
= 0, (3.28)
lim
t↑ω
ψ2
s(t)
m∑
i=1
i 6=s
pi(t)ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ps(t)ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) = 0, (3.29)
то у дифференциального уравнения (1.1) существуют Pω(Y0, λ0)-решения, допускающие при
t ↑ ω асимптотические представления
y(t) = H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
[
1 +
o(1)
ψs(t)Gs(t)
]
, (3.30)
y′(t) =
λ0H
−1
s (αs(λ0 − 1)Js(t))
(λ0 − 1)πω(t)
[
λ0 − 1
λ0
qs(t) +
o(1)
ψs(t)|Gs(t)|1/2
]
, (3.31)
причем таких решений существует двупараметрическое семейство в случае, когда
β
(
λ20(5γs + 3) + λ0(−4γs − 5) + 2
)
< 0 при γs = const,
4
5
< λ0 < 1 при γs = ±∞.
(3.32)
Доказательство. Сначала с учетом существование конечных или равных ±∞ пределов
(3.24) покажем, что
lim
t↑ω
πω(t)q′s(t) = 0 и lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
(
ϕ′s(y)
ϕs(y)
)′
(
ϕ′s(y)
ϕs(y)
)2
√∣∣∣∣yϕ′s(y)
ϕs(y)
∣∣∣∣ = 0. (3.33)
Действительно, если бы первый из этих пределов был отличен от нуля, то имели бы равен-
ство
q′s(t) =
γ(t)
πω(t)
, (3.34)
где функция γ непрерывна на некотором промежутке [t0, ω[⊂]a, ω[ и такова, что
lim
t↑ω
γ(t) =
либо const 6= 0,
либо ±∞.
Поскольку это предельное соотношение имеет место и
t∫
t0
dτ
πω(τ)
= ln
∣∣∣∣ πω(t)
πω(t0)
∣∣∣∣→ ±∞ при t ↑ ω,
то, проинтегрировав (3.34) на промежутке от t0 до t, получили бы, что
qs(t)→ ±∞ при t ↑ ω.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
334 В. М. ЕВТУХОВ, Н. П. КОЛУН
Однако этого быть не может, так как выполняется третье из условий (3.10).
Далее, установим справедливость второго из предельных соотношений (3.33). Допустим
противное. Тогда имеет место соотношение(
ϕ′s(y)
ϕs(y)
)′
∣∣∣∣ϕ′s(y)
ϕs(y)
∣∣∣∣3/2
=
z(y)
|y|1/2
,
где функция z : ∆Y0(b) −→ R непрерывна и такова, что
lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
z(y) =
либо c = const 6= 0,
либо ±∞.
(3.35)
Интегрируя это соотношение на промежутке от b до y, получаем
−2µs
∣∣∣∣ϕ′s(y)
ϕs(y)
∣∣∣∣−1/2 = c0 +
y∫
b
z(x)
|x|1/2
dx, (3.36)
где c0 — некоторая постоянная.
Если
∫ Y0
b
z(x) dx
|x|1/2
= ±∞, то отсюда после деления на |y|1/2 будем иметь
−2µs
∣∣∣∣yϕ′s(y)
ϕs(y)
∣∣∣∣−1/2 =
∫ y
b
z(x) dx
|x|1/2
|y|1/2
[1 + o(1)] при y → Y0.
Здесь выражение, стоящее слева, в силу (1.5) стремится к нулю при y → Y0, а справа — в
силу условия (3.35) либо к отличной от нуля постоянной, либо к ±∞, поскольку согласно
правилу Лопиталя в форме Штольца имеем
lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
∫ y
b
z(x) dx
|x|1/2
|y|1/2
= 2µs lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
z(y),
чего быть не может.
Если же
∫ Y0
b
z(x) dx
|x|1/2
сходится, что возможно лишь в случае, когда Y0 = 0, то перепи-
шем (3.36) в виде
−2µs
∣∣∣∣ϕ′s(y)
ϕs(y)
∣∣∣∣−1/2 = c1 +
y∫
0
z(x) dx
|x|1/2
,
где c1 = c0 +
∫ 0
b
z(x) dx
|x|1/2
. Докажем, что здесь c1 = 0. В самом деле, если c1 6= 0, то из
данного соотношения следует, что
ϕ′s(y)
ϕs(y)
=
4µs
c21
+ o(1) при y → 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 335
Отсюда в результате интегрирования на промежутке от b до y получаем
ln |ϕs(y)| = const + o(1) при y → 0,
что противоречит второму из условий (1.3). Значит, c1 = 0 и поэтому имеем
−2µs
∣∣∣∣ϕ′s(y)
ϕs(y)
∣∣∣∣−1/2 =
y∫
0
z(x) dx
|x|1/2
.
Разделяя обе части этого равенства на |y|1/2, замечаем, что левая часть полученного со-
отношения в силу условий (1.5) стремится к нулю при y → 0, а правая — в силу правила
Лопиталя и (3.35) либо к отличной от нуля постоянной, либо к ±∞.
Полученные в каждом из двух возможных случаев противоречия приводят к выводу,
что второе из предельных соотношений (3.33) также справедливо.
Применяя к уравнению (1.1) преобразование
y(t) = H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
[
1 +
y1(t)
Gs(t)
]
,
y′(t) =
λ0
(λ0 − 1)πω(t)
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) [1 + y2(t)],
(3.37)
получаем систему дифференциальных уравнений
y′1 =
Gs(t)
πω(t)
[
λ0
λ0 − 1
− qs(t) + hs(t)y1 +
λ0
λ0 − 1
y2
]
,
y′2 =
1
πω(t)
[
1− λ0 − 1
λ0
qs(t) +
qs(t)rs(t)
λ0
+
qs(t)(1 + rs(t))
λ0
y1 + (1− qs(t)) y2+
+
qs(t)(1 + rs(t))
λ0
R(t, y1) +
qs(t)(1 + rs(t))
λ0
(1 + y1 +R(t, y1))R1(t, y1)
]
,
(3.38)
в которой
hs(t) = qs(t)
(
ϕ′s(y)
ϕs(y)
)′
(
ϕ′s(y)
ϕs(y)
)2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y=H−1
s (α0(λ0−1)Js(t))
,
R(t, y1) =
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1)
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) − 1− y1,
R1(t, y1) =
m∑
i=1
i 6=s
αipi(t)ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1)
αsps(t)ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
336 В. М. ЕВТУХОВ, Н. П. КОЛУН
В этой системе в силу условий (1.3), (1.5), (3.9) и (3.10)
lim
t↑ω
qs(t) =
λ0
λ0 − 1
, lim
t↑ω
hs(t) = 0, lim
t↑ω
Gs(t) = ±∞. (3.39)
Систему уравнений (3.38) рассмотрим на множестве
Ω = [t0, ω[ ×D1 ×D2, где Di = {yi : |yi| ≤ 1}, i = 1, 2,
и число t0 ∈ [a, ω[ выбрано с учетом условий (3.9), (3.10), (3.3), (3.4) и (1.5) таким образом,
что
αs(λ0 − 1)Js(t) ∈ ∆Zs(cs) при t ∈ [t0, ω[,
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1 ∈ ∆Y0(b)
при t ∈ [t0, ω[ и |y1| ≤ 1.
На данном множестве правые части системы дифференциальных уравнений (3.38) непре-
рывны и функция R имеет на множестве [t0, ω[ ×D1 непрерывные частные производные
до второго порядка включительно по переменной y1. При этом имеем
R′y1
(t, y1) =
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) − 1.
Здесь ϕ′s удовлетворяет всем условиям лемм 2.1, 2.2 и в качестве дополняющей может быть
выбрана функция g(y) =
ϕs(y)
ϕ′s(y)
. Поэтому
lim
t↑ω
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) =
= lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
ϕ′s
(
y + y1
ϕs(y)
ϕ′s(y)
)
ϕ′s(y)
= ey1 .
Ввиду этого предельного соотношения и леммы 2.3 имеем
R′y1
(t, y1) = ey1 [1 + r(t, y1)]− 1,
где lim
t↑ω
r(t, y1) = 0 равномерно по y1 ∈ [−1, 1]. Значит, для любого ε > 0 существуют
t1 ∈ ]t0, ω[ и δ > 0 такие, что∣∣R′y1
(t, y1)
∣∣ ≤ ε при t ∈ [t1, ω[ и y1 ∈ D1δ = {y1 : |y1| ≤ δ ≤ 1}.
Отсюда следует, чтофункция R намножестве [t1, ω[×D1δ удовлетворяет условиюЛипшица
по переменной y1 с постоянной Липшица ε, из которого в силу тождества R(t, 0) ≡ 0
вытекает оценка
|R(t, y1)| ≤ ε|y1| при t ∈ [t1, ω[ и y1 ∈ D1δ. (3.40)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 337
Если же при фиксированном t ∈ [t0, ω[ функцию R разложить по формуле Маклорена
с остаточным членом в форме Лагранжа до членов второго порядка, то получим
R(t, y1) =
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′2s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)×
× ϕ′′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)ξ)y21, (3.41)
где |ξ| < |y1|. Здесь в силу последнего из условий (1.3)
ϕ′′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)ξ) =
=
ϕ′2s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)ξ)
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)ξ)
[
1 + r1(t, y1)
]
,
где limt↑ω r1(t, y1) = 0 равномерно по y1 ∈ D1. Поэтому, учитывая, что функции ϕs, ϕ
′
s
удовлетворяют условиям лемм 2.1, 2.2 с дополняющей функцией g(y) =
ϕs(y)
ϕ′s(y)
, имеем
ϕ′′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) ξ) =
=
ϕ′2s (
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) eξ[1 + r2(t, y1)],
где limt↑ω r2(t, y1) = 0 равномерно по y1 ∈ D1. Значит, (3.41) может быть записано в виде
R(t, y1) = eξ[1 + r1(t, y1)][1 + r2(t, y1)]y
2
1.
Отсюда ясно, что для любого ε > 0 существуют δ > 0 и t1 ∈ ]t0, ω[ такие, что
|R(t, y1)| ≤ (1 + ε)|y1|2 при t ∈ [t1, ω[ и y1 ∈ D1δ = {y1 : |y1| ≤ δ}. (3.42)
Таким образом, фиксируя ε, можно подобрать число δ > 0 и t1 ∈ [t0, ω[ так, чтобы
одновременно выполнялись неравенства (3.40) и (3.42).
Кроме того, покажем, что функция R1(t, y1) такова, что
lim
t↑ω
R1(t, y1) = 0 равномерно по y1 ∈ D1δ. (3.43)
Так как функции ϕi при i ∈ {1, . . . , l} являются правильно меняющимися при y →
→ Y0 (y ∈ ∆Y0(b)) порядков σi, то в силу представлений (1.4) с учетом свойств медленно
меняющихся функций и последнего из условий (3.39) имеем
ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) y1) =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
338 В. М. ЕВТУХОВ, Н. П. КОЛУН
= ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
[
1 +
y1
Gs(t)
])
=
=
∣∣∣∣H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
[
1 +
y1
Gs(t)
]∣∣∣∣σi Li(H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
[
1 +
y1
Gs(t)
])
=
=
∣∣∣∣H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
[
1 +
y1
Gs(t)
]∣∣∣∣σi Li (H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
(1 + ri(t, y1)) =
= ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) [
1 +
y1
Gs(t)
]σi
(1 + ri(t, y1)), i = 1, l, (3.44)
где функции ri(t, y1) таковы, что
lim
t↑ω
ri(t, y1) = 0 равномерно по y1 ∈ D1δ. (3.45)
Поскольку функция ϕs удовлетворяет условиям (2.2) и в качестве ее дополняющей
функции можно выбрать функцию gs(y) =
ϕs(y)
ϕ′s(y)
, то на основании (2.3) получаем
lim
t↑ω
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1)
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) =
= lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
ϕs
(
y +
ϕs(y)
ϕ′s(y)
y1
)
ϕs(y)
= ey1 .
Поэтому
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) y1) =
= ey1ϕs(H
−1
s (αs(λ0 − 1)Js(t)))[1 + rs(t, y1)] при t ↑ ω, (3.46)
где функция rs(t, y1) такова, что
lim
t↑ω
rs(t, y1) = 0 равномерно по y1 ∈ D1δ. (3.47)
В силу (1.5), (3.11), (3.44) – (3.47) имеем
lim
t↑ω
l∑
i=1
αipi(t)ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1)
αsps(t)ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1) =
= lim
t↑ω
l∑
i=1
αipi(t)ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) [
1 +
y1
Gs(t)
]σi
(1 + ri(t, y1))
αsps(t)ey1ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
(1 + rs(t, y1))
= 0 (3.48)
равномерно по y1 ∈ D1δ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 339
Если же i ∈ {l+ 1, . . . ,m} \ {s}, то в силу выполнения условий (3.8) для любого Ci > 1
существует t2i ∈ [t1, ω[ такое, что при t ∈ [t2i, ω[ ввиду монотонности функции ϕi на
промежутке ∆Y0(b)
ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))−
ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′i
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) Ci|y1|) ≤
≤ ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) y1) ≤
≤ ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′i
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
) Ci|y1|) . (3.49)
Так как функция ϕi, i = l + 1,m, удовлетворяет условиям (2.2) и имеет дополняющую
функцию вида gi(y) =
ϕi(y)
ϕ′i(y)
, то переходя в неравенстве (3.49) к пределу при t ↑ ω, с учетом
(2.3) получаем
e−Ci|y1| lim
t↑ω
ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
≤
≤ lim
t↑ω
ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1) ≤
≤ eCi|y1| lim
t↑ω
ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
. (3.50)
В силу (3.46) и (3.50) для каждого i ∈ {l + 1, . . . ,m} \ {s} имеем
lim
t↑ω
pi(t)e
−Ci|y1|ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ps(t)ey1ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
(1 + rs(t, y1))
≤
≤ lim
t↑ω
pi(t)ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1)
ps(t)ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1) ≤
≤ lim
t↑ω
pi(t)e
Ci|y1|ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ps(t)ey1ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
(1 + rs(t, y1))
,
откуда с учетом (3.11) и (3.47) вытекает, что
lim
t↑ω
m∑
i=l+1
i 6=s
αipi(t)ϕi
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1)
αsps(t)ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t)) +
ϕs
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)
ϕ′s
(
H−1s (αs(λ0 − 1)Js(t))
)y1) = 0
равномерно по y1 ∈ D1δ.
Из последнего соотношения и (3.48) следует справедливость (3.43).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
340 В. М. ЕВТУХОВ, Н. П. КОЛУН
С помощью дополнительных преобразований приведем систему (3.38) к виду, допус-
кающему применение результатов из работ [8] и [9].
Для того чтобы убрать в первом уравнении неоднородное слагаемое, применим к си-
стеме (3.38) преобразование
y1(t) = x1(t), y2(t) = −1 +
λ0 − 1
λ0
qs(t) + x2(t). (3.51)
В результате получаем систему дифференциальных уравнений
x′1 =
Gs(t)
πω(t)
[
hs(t)x1 +
λ0
λ0 − 1
x2
]
,
x′2 =
1
πω(t)
[(
1− λ0 − 1
λ0
)
qs(t) +
qs(t)rs(t)
λ0
− λ0 − 1
λ0
πω(t)q′0s(t)+
+
qs(t)(1 + rs(t))
λ0
x1 + (1− qs(t))x2 +
qs(t)(1 + rs(t))
λ0
R(t, x1)+
+
qs(t)(1 + rs(t))
λ0
(1 + x1 +R(t, x1))R1(t, x1)
]
.
(3.52)
Далее, для того чтобы “уравнять” коэффициенты при линейных частях в первом и
втором уравнениях системы, применим к системе (3.52) дополнительное преобразование
x1(t) = v1(t), x2(t) = |Gs(t)|−1/2v2(t), (3.53)
в результате чего имеем систему дифференциальных уравнений
v′1 =
|Gs(t)|1/2
πω(t)
[c11(t)v1 + c12(t)v2],
v′2 =
|Gs(t)|1/2
πω(t)
[q(t) + f(t, v1) + c21(t)v1 + c22(t)v2 + V (t, v1)],
(3.54)
в которой
q(t) =
(
1− λ0 − 1
λ0
qs(t)
)
qs(t) +
qs(t)rs(t)
λ0
− λ0 − 1
λ0
πω(t)q′s(t),
c11(t) = hs(t)|Gs(t)|1/2signGs(t), c12(t) =
λ0
λ0 − 1
signGs(t),
c21(t) =
qs(t)[1 + rs(t)]
λ0
, c22(t) = |Gs(t)|−1/2
[
1− qs(t)
2
+
1
2
Gs(t)qs(t)hs(t)
]
,
f(t, v1) =
qs(t)[1 + rs(t)]
λ0
(1 + v1 +R(t, v1))R1(t, v1), V (t, v1) =
qs(t)[1 + rs(t)]
λ0
R(t, v1).
Система (3.54) допускает применение результатов из работ [8, 9]. Правые части этой
системы непрерывны на множестве
Ω1 =
{
(t, v1, v2) ∈ R3 : t ∈ [t1, ω[, v1, v2 ∈ [−δ, δ]
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 341
В силу (3.43), (3.40), замены y1 на v1, первого из условий (3.39) и второго из усло-
вий (3.7) получаем
lim
t↑ω
f(t, v1) = 0 равномерно по v1 ∈ [−δ, δ],
lim
v1→0
V (t, v1)
|v1|
= 0 равномерно по t ∈ [t1, ω[.
Кроме того, ввиду условий (3.39), (3.33) и второго из условий (3.7)
lim
t↑ω
q(t) = 0, lim
t↑ω
c11(t) = 0, c12(t) ≡
ν0µsλ0
λ0 − 1
, lim
t↑ω
c21(t) =
1
λ0 − 1
,
lim
t↑ω
c22(t) = 0,
ω∫
t1
|Gs(τ)|1/2
πω(τ)
dτ = ±∞.
Отсюда, в частности, следует, что предельная матрица коэффициентов, стоящих при v1 и
v2 в квадратных скобках системы (3.54), имеет вид
C =
0
ν0µsλ0
λ0 − 1
1
λ0 − 1
0
и ее характеристическим уравнением является многочлен вида
ρ2 − ν0µsλ0
(λ0 − 1)2
= 0. (3.55)
Здесь в силу первого из неравенств (3.9) sign (ν0µsλ0) = αsµs.
Допустим сначала, что αsµs = 1. В этом случае алгебраическое уравнение (3.55) имеет
вещественные корни разных знаков. Тем самым показано, что для системы дифферен-
циальных уравнений (3.54) выполнены все условия теоремы 2.2 из работы [9]. Согласно
этой теореме система дифференциальных уравнений (3.54) имеет однопараметрическое
семейство исчезающих при t ↑ ω решений (v1, v2) : [t∗, ω[→ R2 (t∗ ∈ [t1, ω[). Каждому из
них в силу замен (3.37), (3.51) и (3.53) соответствует решение y : [t∗, ω[ → R дифферен-
циального уравнения (1.1), допускающее асимптотические представления (3.25) и (3.26).
При этом с использованием условий (1.3), (3.10) и (3.33) нетрудно убедиться в том, что
любое из этих решений уравнения (1.1) является Pω(Y0, λ0)-решением.
Таким образом, справедливость первого утверждения теоремы установлена.
Пусть теперь αsµs = −1. В этом случае алгебраическое уравнение (3.55) имеет чисто
мнимые корни и систему (3.54) необходимо привести с помощью некоторых преобразова-
ний к виду, допускающему использование теорем из работ [8, 9].
Применяя к системе (3.54) преобразование
v1(t) = u1(t), v2(t) = α(t)u1(t) + u2(t), (3.56)
где
α(t) =
(λ0 − 2)(λ0 − γsλ0 − 1)
4λ0(λ0 − 1)
|Gs(t)|−1/2 signGs(t) при γs = const,
2− λ0
2λ0
ψ−1s (t) signGs(t) при γs = ±∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
342 В. М. ЕВТУХОВ, Н. П. КОЛУН
получаем систему дифференциальных уравнений вида
u′1 =
|Gs(t)|1/2
πω(t)
[c̃11(t)u1 + c̃12(t)u2],
u′2 =
|Gs(t)|1/2
πω(t)
[q(t) + f(t, u1) + c̃21(t)u1 + c̃22(t)u2 + V (t, u1)],
(3.57)
где
c̃11(t) = c11(t) + α(t)c12(t), c̃12(t) = c12(t),
c̃21(t) = c21(t) + α(t)(c22(t)− c11(t))− α2(t)c12(t)−
πω(t)α′(t)
|Gs(t)|1/2
,
c̃22(t) = c22(t)− α(t)c12(t).
Обратим внимание, что в двух частных случаях, когда λ0 = 2 и γs =
λ0 − 1
λ0
, систе-
ма (3.57) совпадает с системой (3.54).
Далее, применяя к системе (3.57) последовательно три преобразования
u1(t) = ū1(τ), u2(t) = ū2(τ), τ = |ψs(t)|, (3.58)
(
ū1(τ)
ū2(τ)
)
=
cos
β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ − sin
β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ
1√
|λ0|
sin
β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ
1√
|λ0|
cos
β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ
(
ω1(τ)
ω2(τ)
)
, (3.59)
ωi(τ) =
zi(τ)
τ
, i = 1, 2, (3.60)
получаем систему дифференциальных уравнений вида
z′i = p(τ)zi + g(τ)
2∑
m=1
Zim(τ, z1, z2), i = 1, 2, (3.61)
в которой
p(τ) =
β
2
(c̃11(t(τ)) + c̃22(t(τ))) +
1
τ
, g(τ) =
1
τ
,
Z11(τ, z1, z2) = ξ1(t(τ)) + ξ2(t(τ))z1 + (ξ3(t(τ)) + ξ4(t(τ)))z2+
+ β
√
|λ0|τ2 sin
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τf
(
t(τ),
z1
τ
cos
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ − z2
τ
sin
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ
)
,
Z21(τ, z1, z2) = ξ5(t(τ)) + (ξ4(t(τ))− ξ3(t(τ)))z1 − ξ2(t(τ))z2+
+ β
√
|λ0|τ2 cos
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τf
(
t(τ),
z1
τ
cos
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ − z2
τ
sin
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 343
Z12(τ, z1, z2) = β
√
|λ0|τ2 sin
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τV
(
t(τ),
z1
τ
cos
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ − z2
τ
sin
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ
)
,
Z22(τ, z1, z2) = β
√
|λ0|τ2 cos
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τV
(
t(τ),
z1
τ
cos
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ − z2
τ
sin
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ
)
,
где
ξ1(t(τ)) = β
√
|λ0|τ2q(t(τ)) sin
β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ,
ξ2(t(τ)) =
βτ
2
(c̃11(t(τ)− c̃22(t(τ))) cos
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ+
+
βτ
2
(
c̃12(t(τ))√
|λ0|
+
√
|λ0|c̃21(t(τ))
)
sin
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ,
ξ3(t(τ)) =
βτ
2
(
c̃12(t(τ))√
|λ0|
−
√
|λ0|c̃21(t(τ)) +
2
√
|λ0|
λ0 − 1
)
,
ξ4(t(τ)) =
βτ
2
(
c̃12(t(τ))√
|λ0|
+
√
|λ0|c̃21(t(τ))
)
cos
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ−
− βτ
2
(c̃11(t(τ)− c̃22(t(τ))) sin
2β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ,
ξ5(t(τ)) = β
√
|λ0|τ2q(t(τ)) cos
β
√
|λ0|
λ0 − 1
τ,
t = t(τ) — функция, обратная для τ(t) из (3.58).
Теперь заметим, что в системе (3.61) функции Zij , i, j = 1, 2, непрерывны на множестве
[τ0,+∞[ ×R2
0, где R2
0 — некоторая окрестность точки (0, 0), и удовлетворяют условиям
Zi2(τ, 0, 0) ≡ 0, i = 1, 2, на промежутке [τ0,+∞[,
lim
τ→+∞
Zi1(τ, z1, z2) = 0, i = 1, 2, равномерно по z1, z2 ∈ [−δ, δ],
lim
|z1|+|z2|→0
Zi2(τ, z1, z2)
|z1|+ |z2|
= 0, i = 1, 2, равномерно по τ ∈ [τ0,+∞[.
Кроме того, выполняются условия
p(τ) 6= 0 при τ ∈ [τ0,+∞[,
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
τ0
p(τ) dτ
∣∣∣∣∣∣ = +∞,
lim sup
τ→+∞
|g(τ)/p(τ)| < +∞.
Поэтому для системы (3.61) выполнены все условия теоремы 1.2 из работы [9]. Согласно
этой теореме система дифференциальных уравнений (3.61) имеет хотя бы одно решение
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
344 В. М. ЕВТУХОВ, Н. П. КОЛУН
(z1, z2) : [τ1,+∞[→ R2 (τ1 ≥ τ0), стремящееся к нулю при τ → +∞, причем, если выполня-
ются условия (3.32), то таких решений существует целое двухпараметрическое семейство.
Каждому такому решению системы (3.61) в силу замен (3.37), (3.51), (3.53), (3.56) – (3.60)
соответствует решение y : [t2, ω[→ R (t2 ∈ [a, ω[) дифференциального уравнения (1.1) с
асимптотическими представлениями (3.30), (3.31).
Теорема 3.2 доказана.
Замечание 3.2. В случае, когда αsµs = 1, требование существования первого и по-
следнего из пределов (3.24) является лишним. Если же αsµs = −1, то существование
последнего из пределов (3.24) необходимо лишь при γs = ±∞.
Замечание 3.3. В случае, когда αsµs = −1 и γs = lim
λ→λ0
(λ− 1)(2− 3λ)
λ(5λ− 4)
, вопрос о суще-
ствовании и количестве решений дифференциального уравнения (1.1) может быть решен
при некоторых ограничениях на нелинейность ϕs путем применения к системе (3.57) из
доказательства теоремы 3.2 дополнительных преобразований (3.58), (3.59) и
wi(τ) =
zi(τ)
τ ln τ
, i = 1, 2.
4. Пример. В качестве примера, иллюстрирующего полученные в данной работе ре-
зультаты, рассмотрим дифференциальное уравнение вида
y′′ = α1p1(t)|y|σ1 + α2p2(t)e
σ2y, (4.1)
в котором αi ∈ {−1, 1}, i = 1, 2, σ1 ∈ R, σ2 ∈ R \ {0}, p1 : [a, ω[→]0,+∞[ — непрерывная
функция, p2 : [a, ω[→]0,+∞[ — непрерывно дифференцируемая функция, −∞ < a < ω ≤
≤ +∞, и опишем асимптотические свойства Pω(Y0, λ0)-решений в случае, когда Y0 = ±∞
и λ0 ∈ R \ {0, 1}, т. е. когда
βλ0(λ0 − 1) > 0, где β = signπω(t). (4.2)
Для данного уравнения имеем
ϕ1(y) = |y|σ1 , ϕ2(y) = eσ2y, H2(y) = − 1
σ2
e−σ2y + C,
C =
1
σ2
e−σ2b, если ν0σ2 < 0,
0, если ν0σ2 > 0,
H−12 (α2(λ0 − 1)J12(t)) = ln(σ2C − α2σ2(λ0 − 1)J12(t))
−1/σ2 ,
G2(t) = ln(σ2C − α2σ2(λ0 − 1)J12(t))
−1, Φ2(t) = 0,
ψ2(t) =
t∫
t0
| ln(σ2C − α2σ2(λ0 − 1)J12(τ))|1/2 dτ
πω(τ)
,
где t0 — некоторое число из промежутка [a, ω[, а J12 определяется первой формулой из
замечания 3.1 при s = 2.
Из теорем 3.1 и 3.2 имеем
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 345
Следствие 4.1. Пусть λ0 ∈ R \ {0, 1}. Для существования у дифференциального уравне-
ния (4.1) Pω(±∞, λ0)-решений, удовлетворяющих условию
lim
t↑ω
p1(t)|y(t)|σ1
p2(t)eσ2y(t)
= 0,
необходимо, чтобы наряду с (4.2) выполнялись неравенства
α2ν0λ0 > 0, α2σ2(λ0 − 1)J12(t) < 0 при t ∈ ]a, ω[, (4.3)
а также условия
α2(λ0 − 1) lim
t↑ω
J12(t) = Z2, lim
t↑ω
πω(t)J ′12(t)
J12(t) ln |J12(t)|
= − λ0
λ0 − 1
, (4.4)
lim
t↑ω
π2ω(t)p1(t)
|ln |J12(t)||1−σ1
= 0, lim
t↑ω
πω(t)p′2(t)
p2(t)
= ±∞. (4.5)
Более того, для каждого такого решения имеют место асимптотические представления
y(t) = − 1
σ2
ln |σ2(1− λ0)J12(t)|+ o(1) при t ↑ ω,
y′(t) =
λ0 ln |σ2(1− λ0)J12(t)|
σ2(1− λ0)πω(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Следствие 4.2. Пусть λ0 ∈ R \ {0; 1} и выполняются условия (4.2) – (4.5). Тогда:
1) если α2σ2 > 0, то у дифференциального уравнения (4.1) существует однопарамет-
рическое семейство Pω(±∞, λ0)-решений с представлениями вида
y(t) = − 1
σ2
ln |σ2(1− λ0)J12(t)|+ o(1) при t ↑ ω,
y′(t) =
α2(λ0 − 1)πω(t)p2(t)
σ2C − α2σ2(λ0 − 1)J12(t)
+
| ln |σ2(1− λ0)J12(t)||1/2
πω(t)
o(1) при t ↑ ω;
2) если α2σ2 < 0 и выполняются условия
lim
t↑ω
ψ2(t)
[
α2(λ0 − 1)π2ω(t)p2(t)
(σ2C − α2σ2(λ0 − 1)J12(t)) ln(σ2C − α2σ2(λ0 − 1)J12(t))−1/σ2
− λ0
λ0 − 1
]
= 0,
(4.6)
λ0 6=
2
3
, lim
t↑ω
ψ2
2(t)
πω(t)J ′12(t)
J12(t)−
α2C
λ0 − 1
− πω(t)p′2(t)
p2(t)
+
2− λ0
λ0 − 1
= 0, (4.7)
lim
t↑ω
p1(t)π
2
ω(t)ψ2
2(t)
|ln |J12(t)||1−σ1
= 0, (4.8)
то у дифференциального уравнения (4.1) существуют Pω(±∞, λ0)-решения, допускающие
при t ↑ ω асимптотические представления
y(t) = − 1
σ2
ln |σ2(λ0 − 1)J12(t)|+
o(1)
ψ2(t)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
346 В. М. ЕВТУХОВ, Н. П. КОЛУН
y′(t) =
α2(λ0 − 1)πω(t)p2(t)
σ2C − α2σ2(λ0 − 1)J12(t)
+
| ln |σ2(1− λ0)J12(t)||1/2
πω(t)ψ2(t)
o(1),
причем таких решений существует двупараметрическое семейство в случае, когда
λ0 ∈ (0, 2/3).
В частном случае, когда
p2(t) =
α2c1λ0
(λ0 − 1)2
|πω(t)|
2−λ0
λ0−1
exp
{
σ2c1(|πω(t)|
λ0
λ0−1 + c0)
} ,
где c0 ∈ R, c1 ∈ R \ {0}, sign c1 = ν0, условия (4.2) – (4.4), второе из условий (4.5) – (4.7)
заведомо выполнены. При этом, если функция p1 при α2σ2 > 0 удовлетворяет первому из
условий (4.5), а при α2σ2 < 0 —(4.8), то у дифференциального уравнения (4.1) существуют
Pω(±∞, λ0)-решения, допускающие при t ↑ ω асимптотические представления
y(t) = c1
(
|πω(t)|
λ0
λ0−1 + c0
)[
1 +
o(1)
G2(t)ψ2(t)
]
,
y′(t) =
c1
(
|πω(t)|
λ0
λ0−1 + c0
)
πω(t)
λ0
λ0 − 1
1
1 + c0|πω(t)|−
λ0
λ0−1
+
o(1)
|G2(t)|1/2 ψ2(t)
,
причем, если λ0 ∈ (0, 2/3), то таких решений существует двухпараметрическое семейство.
Выводы. В настоящей работе впервые для уравнения (1.1) при λ0 ∈ R \ {0, 1} уста-
новлены условия существования Pω(Y0, λ0)-решений в случае, когда главным является
слагаемое с быстро меняющейся нелинейностью. Также найдены асимптотические пред-
ставления при t ↑ ω, ω ≤ +∞, для таких решений и их производных первого порядка и
выяснен вопрос об их количестве.
Литература
1. Marič V. Regular variation and differential equations // Lect. Notes Math. – 2000. – 1726. – 128 p.
2. Евтухов В. М., Кириллова Л. А. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений
второго порядка // Дифференц. уравнения. – 2005. – 41, № 8. – С. 1053 – 1061.
3. Евтухов В. М., Харьков В. М. Асимптотические представления решений существенно нелинейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. – 2007. – 43, № 9. – С. 1311 – 1323.
4. Черникова А. Г. Асимптотика быстро изменяющихся решений дифференциальных уравнений второго
порядка с быстро меняющейся нелинейностью // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика i механiка. – 2015. –
20, № 2. – С. 56 – 68.
5. Евтухов В. М., Касьянова В. А. Асимптотическое поведение неограниченных решений нелинейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка. I // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 3. – С. 338 – 355.
6. Евтухов В. М., Касьянова В. А. Асимптотическое поведение неограниченных решений нелинейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка. II // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 7. – С. 901 – 921.
7. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. – Одесса, 1997. – 295 с.
8. Евтухов В. М. Об исчезающих на бесконечности решениях неавтономных систем квазилинейных диф-
ференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 4. – С. 441 – 452.
9. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений у ве-
щественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. –
2010. – 62, № 1. – С. 52 – 80.
Получено 19.12.17,
после доработки — 25.05.18
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
|