Схеми повного усереднення в задачі оптимального керування функціонально-диференціальною системою
Для нелинейных управляемых функционально-дифференциальных систем обоснована возможность применения метода усреднения на конечном промежутке без условия асимптотического постоянства управления, предложен алгоритм построения соответствующих управлений исходной и усредненной систем....
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177333 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Схеми повного усереднення в задачі оптимального керування функціонально-диференціальною системою / О.Д. Кічмаренко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 358-367 — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177333 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773332021-02-15T01:27:03Z Схеми повного усереднення в задачі оптимального керування функціонально-диференціальною системою Кічмаренко, О.Д. Для нелинейных управляемых функционально-дифференциальных систем обоснована возможность применения метода усреднения на конечном промежутке без условия асимптотического постоянства управления, предложен алгоритм построения соответствующих управлений исходной и усредненной систем. For nonlinear controlled functional-differential systems, the possibility of applying the averaging method on a finite interval without the condition of asymptotic control constancy is proved and an algorithm for constructing the corresponding controls over the original and averaged systems is proposed. 2018 Article Схеми повного усереднення в задачі оптимального керування функціонально-диференціальною системою / О.Д. Кічмаренко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 358-367 — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177333 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Для нелинейных управляемых функционально-дифференциальных систем обоснована возможность применения метода усреднения на конечном промежутке без условия асимптотического постоянства управления, предложен алгоритм построения соответствующих управлений исходной и усредненной систем. |
| format |
Article |
| author |
Кічмаренко, О.Д. |
| spellingShingle |
Кічмаренко, О.Д. Схеми повного усереднення в задачі оптимального керування функціонально-диференціальною системою Нелінійні коливання |
| author_facet |
Кічмаренко, О.Д. |
| author_sort |
Кічмаренко, О.Д. |
| title |
Схеми повного усереднення в задачі оптимального керування функціонально-диференціальною системою |
| title_short |
Схеми повного усереднення в задачі оптимального керування функціонально-диференціальною системою |
| title_full |
Схеми повного усереднення в задачі оптимального керування функціонально-диференціальною системою |
| title_fullStr |
Схеми повного усереднення в задачі оптимального керування функціонально-диференціальною системою |
| title_full_unstemmed |
Схеми повного усереднення в задачі оптимального керування функціонально-диференціальною системою |
| title_sort |
схеми повного усереднення в задачі оптимального керування функціонально-диференціальною системою |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177333 |
| citation_txt |
Схеми повного усереднення в задачі оптимального керування функціонально-диференціальною системою / О.Д. Кічмаренко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 358-367 — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kíčmarenkood shemipovnogouserednennâvzadačíoptimalʹnogokeruvannâfunkcíonalʹnodiferencíalʹnoûsistemoû |
| first_indexed |
2025-07-15T15:23:02Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:23:02Z |
| _version_ |
1837726939885862912 |
| fulltext |
УДК 517.9
СХЕМИ ПОВНОГО УСЕРЕДНЕННЯ
В ЗАДАЧI ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОЮ СИСТЕМОЮ
О. Д. Кiчмаренко
Одес. нац. ун-т iм. I. I. Мечникова,
вул. Дворянська, 2, Одеса, 65000, Україна
e-mail: olga.kichmarenko@gmail.com
For nonlinear controlled functional-differential systems, the possibility of applying the averaging method
on a finite interval without the condition of asymptotic control constancy is proved and an algorithm for
constructing the corresponding controls over the original and averaged systems is proposed.
Для нелинейных управляемых функционально-дифференциальных систем обоснована возмож-
ность применения метода усреднения на конечном промежутке без условия асимптотического
постоянства управления, предложен алгоритм построения соответствующих управлений исходной
и усредненной систем.
1. Вступ. Строге обґрунтування методу усереднення отримано в роботах Н. М. Крилова,
М. М. Боголюбова [1]. Фундаментальнi розробки рiзних алгоритмiв методу усереднення
i розширення систем рiвнянь, для яких можна застосувати метод, одержано в роботах
М. М. Боголюбова, Ю. О. Митропольського [2], А. М. Самойленка [3], О. М. Фiлатова,
М. М. Хапаєва [4, 5] та iн. Обґрунтування методу усереднення для диференцiальних рiв-
нянь iз запiзненням запропоновано в [6], а також у [7, 8], для диференцiальних рiвнянь iз
максимумом — у [9 – 12]. Подальше узагальнення методу усереднення на функцiонально-
диференцiальнi рiвняння можна знайти, наприклад, у роботах J. Hale [13, 14] та B. Lehman,
S. Weibel [15]. Застосування методу усереднення для дослiдження задач оптимального
керування запропонував М. М. Моiсеєв [16]. Один iз пiдходiв — усереднення крайової
задачi принципу максимуму Л. С. Понтрягiна. При цьому виникають суттєвi труднощi,
пов’язанi з розривнiстю функцiї правої частини диференцiальних рiвнянь крайової задачi.
Принципово iнший пiдхiд у використаннi методу усереднення ґрунтується на безпосере-
дньому усередненнi рiвнянь керованого руху. Цей метод ставить у вiдповiднiсть точнiй
задачi оптимального керування бiльш просту задачу оптимального керування, розв’яза-
ння якої можна проводити будь-яким чисельним методом. В. О. Плотнiков [17] перенiс
згаданий метод на загальний випадок вимiрних керувань i обґрунтував його, розробив-
ши метод усереднення диференцiальних включень. Застосування методу усереднення до
функцiонально-диференцiальних систем з асимптотично сталим керуванням запропоно-
вано в [18].
Мета даної роботи — довести можливiсть застосування методу усереднення на скiн-
ченному промiжку для функцiонально-диференцiальних систем з керуванням, яке входить
нелiнiйно та без умови асимптотичної сталостi керування.
2. Необхiднi позначення i постановка задачi. Введемо необхiднi в подальшому позна-
чення та функцiональнi простори. Оберемо дiйсне число h ≥ 0 та зафiксуємо його. По-
значимо через Cn ([−h, 0];Rn) банахiв простiр неперервних визначених на [−h, 0] вектор-
© О. Д. Кiчмаренко, 2018.
358 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
СХЕМИ ПОВНОГО УСЕРЕДНЕННЯ В ЗАДАЧI ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 359
функцiй, якi дiють у простiр Rn, з рiвномiрною метрикою ‖ϕ‖C = maxθ∈[−h;0] |ϕ(θ)|, де
| · | — норма в Rn, при цьому через ‖ · ‖ будемо позначати норму матрицi, узгоджену з
нормою вектора.
Нехай x ∈ Cn ([0,∞) ;Rn) , початкова функцiя ϕ належить Cn ([−h, 0];Rn) при деякому
h ≥ 0. Якщо x(0) = ϕ(0), то функцiя
x(t, ϕ) =
ϕ(t), t ∈ [−h, 0],
x(t), t ≥ 0,
(1)
є неперервною.
Стандартним чином введемо елемент xt(ϕ) ∈ Cn ([−h, 0];Rn) для кожного t ≥ 0 при
θ ∈ [−h, 0] як xt(ϕ) = x(t+ θ, ϕ). Надалi використовуватимемо xt замiсть xt(ϕ).
Будемо говорити, що функцiя x(t) є розв’язком початкової задачi
dx
dt
= f(t, xt), x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], ϕ ∈ Cn, (2)
на [0,∞), якщо для кожного t ≥ 0 функцiя x(t, ϕ) з (1) задовольняє спiввiдношення
x(t, ϕ) = ϕ(0) +
t∫
0
f(s, xs(ϕ))ds. (3)
Розглянемо задачу оптимального керування системою, яка описується функцiонально-
диференцiальним рiвнянням вигляду
dx
dt
= ε [f(t, xt) +A(x(t))ψ(t, u)] , x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (4)
з критерiєм якостi
Jε[u] = Φ
(
x
(
Lε−1, u
))
→ inf, (5)
де t ≥ 0, x — n-вимiрний фазовий вектор, ε > 0 — малий параметр, f : R+ × Cn → Rn,
A : Rn → Rn×m, ψ : R+ × U → Rm, вектор керування u(t) ∈ U, U ∈ comp (Rr) , L > 0 —
деяка константа.
Керування u(t) вважається допустимим для задачi (4), (5), якщо виконуються такi
умови:
А1) функцiя u(t) є локально iнтегровною при t ≥ 0 ;
А2) u(t) ∈ U для t ≥ 0.
Через x(t, u) позначимо розв’язок рiвняння (4) при фiксованому допустимому керуван-
нi u(t).
Розв’язком задачi (4), (5) є пара (x∗(t), u∗(t)), якщо u∗(t) — допустиме керування та
Jε[u
∗] = infu∈U Jε[u], а x∗(t) — траєкторiя, що вiдповiдає керуванню u∗(t).
3. Усередненняфункцiонально-диференцiальних рiвнянь,щомiстять керування. Усеред-
нену керовану систему, яка вiдповiдатиме вихiднiй системi (4), побудуємо у такий спосiб.
Для кожного елемента ϕ ∈ Cn через ϕ̄ ∈ Cn позначимо такий, що ϕ̄(t) = ϕ(0) при
t ∈ [−h, 0]. За вiдображенням f(t, ϕ) : R+ × Cn → Rn будуємо вiдображення f̃(t, x) : R+ ×
× Rn → Rn таким чином. Для кожного x ∈ Rn розглянемо елемент ϕ ∈ Cn такий, що
ϕ(0) = x. Тодi f̃(t, x) = f(t, ϕ̄). Очевидно, що f̃ є вже скiнченновимiрним вiдображенням.
Нехай виконана така умова:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
360 О. Д. КIЧМАРЕНКО
В1) рiвномiрно за x ∈ Rn iснує границя
lim
T→∞
1
T
T∫
0
f̃(t, x)dt = f(x). (6)
Тодi функцiонально-диференцiальному рiвнянню (4) поставимо у вiдповiднiсть усере-
днене рiвняння
dy
dt
=
[
f(y(t)) +A(y(t))v
]
, y(0) = ϕ(0), (7)
де
v ∈ V = lim
T→∞
1
T
T∫
0
ψ(t, U)dt, (8)
v — новий вектор керування, iнтеграл у (8) розумiємо в сенсi Аумана [19], збiжнiсть — у
сенсi метрики Хаусдорфа.
Для системи (7) розглянемо задачу оптимального керування з критерiєм якостi
J̄ε[v] = Φ
(
y(Lε−1, v)
)
→ inf . (9)
Керування v(εt) вважається допустимим для задачi (7), (9), якщо виконуються такi умови:
А3) функцiя v(εt) є локально iнтегровною при t ≥ 0 ;
А4) v(εt) ∈ V для t ≥ 0.
Через y(t, v) позначимо розв’язок рiвняння (7) прифiксованому допустимому керуваннi
v(εt).
Аналогiчно будемо розумiти (y∗(εt), v∗(εt)) як розв’язок задачi (7), (9), якщо v∗(εt) —
допустиме керування та J̄ε [v∗] = inf
v∈V
Jε[v], а y∗(εt) —траєкторiя, що вiдповiдає керуванню
v∗(εt).
Зауважимо,що (7)—це звичайне диференцiальне рiвняння при допустимому керуваннi
v(εt).
Основним результатом даної роботи є обґрунтування чисельно-асимптотичного мето-
ду розв’язання задачi оптимального керування функцiонально-диференцiальною систе-
мою (4), (5) шляхом розв’язання усередненої задачi оптимального керування системою,
яка описується звичайними диференцiальними рiвняннями (7), (9).
Нехай далi виконуються такi умови:
В2) вiдображення f(t, ϕ) : R+ × Cn → Rn неперервне за сукупнiстю змiнних;
В3) вiдображення f(t, ϕ) : R+ × Cn → Rn задовольняє умову Лiпшиця по ϕ з кон-
стантою λ, тобто iснує константа λ > 0 така, що для довiльних ϕ1, ϕ2 ∈ Cn виконується
нерiвнiсть
|f(t, ϕ1)− f(t, ϕ2)| ≤ λ‖ϕ1 − ϕ2‖C ;
В4) iснує константа M > 0 така, що |f(t, 0)| ≤M ;
В5) матричнозначна функцiя A(x) рiвномiрно обмежена константою M i задовольняє
умову Лiпшиця з константою λ ;
В6) функцiя ψ(t, u) неперервна по t та u i обмежена константою M1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
СХЕМИ ПОВНОГО УСЕРЕДНЕННЯ В ЗАДАЧI ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 361
Встановимо вiдповiднiсть мiж функцiями керування u(t) ∈ U точної задачi (4) та
функцiями керування v(εt) ∈ V усередненої задачi (7) за таким алгоритмом:
1. Кожному допустимому керуванню v(τ) ∈ V, τ = εt, поставимо у вiдповiднiсть
керування u(t) ∈ U таким чином:
а) обчислюємо точки vi =
1
T1
∫ (i+1)T1
iT1
v(τ) dτ, де T1 — довiльна константа;
б) будуємо керування u(t) = {ui(t), iT1 ≤ t < (i+ 1)T1, i = 0, 1, . . .}, де ui(t) знаходи-
мо з умови
min
u∈U
∥∥∥∥∥∥∥
1
T1
(i+1)T1∫
iT1
ψ(t, u)dt− vi
∥∥∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥∥∥
1
T1
(i+1)T1∫
iT1
ψ(t, ui)dt− vi
∥∥∥∥∥∥∥ . (10)
2. Керуванню u(t) ∈ U ставимо у вiдповiднiсть v(τ) ∈ V у такий спосiб:
а) обчислюємо wi =
1
T1
∫ (i+1)T1
iT1
ψ(t, ui(t))dt ;
б) будуємо керування v(εt) = {vi, iT1 ≤ t < (i+ 1)T1, i = 0, 1, . . .} , де vi визначаємо з
умови
min
v∈V
‖wi − v‖ = ‖wi − vi‖. (11)
Знаходження керування ui(t) в (10) можливе не завжди, але умова рiвномiрної обме-
женостi функцiї ψ(t, u) гарантує iснування розв’язку задачi мiнiмiзацiї (10). Дiйсно, з
рiвномiрної обмеженостi функцiї ψ(t, u) випливає iнтегральна обмеженiсть вiдображення
ψ(t, U), а тому опуклiсть i компактнiсть множини точок 1
T1
(i+1)T1∫
iT1
ψ(t, ui)dt
∣∣∣∣∣∣∣ui ∈ U
,
що є наслiдком узагальнення теореми Ляпунова [20]. Отже, iснує точка цiєї множини,
найближча до vi, тобто iснує керування ui(t) в (10).
Таким чином, для будь-якого допустимого керування v(τ) ∈ V усередненої системи
iснує ступiнчасте керування u(t) вихiдної системи i, навпаки, для будь-якого допустимого
керування u(t) ∈ U вихiдної системи iснує ступiнчасте керування усередненої системи
v(τ) ∈ V.
Наступна теорема узагальнює метод усереднення для функцiонально-диференцiальних
рiвнянь, коли їх права частина залежить вiд функцiональних параметрiв.
Теорема 3.1. Нехай в областi Q = {t ≥ 0, ϕ ∈ Cn, x ∈ Rn, u ∈ U ⊂ comp (Rr)} виконанi
умови В1) – В6).
Тодi для довiльних η > 0 i L > 0 iснує ε0(η, L) > 0 таке, що для будь-яких ε ∈ (0, ε0] i
t ∈
[
0, Lε−1
]
справедливi такi твердження:
1) розв’язки x(t, u) i y(εt, v) задач (4) i (7) визначенi на t ∈
[
0, Lε−1
]
;
2) для будь-якого допустимого керування u(t) ∈ U системи (4) iснує керування v(εt)
системи (7) таке, що
|x (t)− y (εt)| ≤ η, (12)
де x(t) — розв’язок системи (4) з керуванням u(t), y(εt) — розв’язок системи (7) з керува-
нням v(εt) i x(0) = y(0) = ϕ(0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
362 О. Д. КIЧМАРЕНКО
3) для будь-якого допустимого керування v(εt) ∈ V системи (7) iснує керування u(t)
системи (4) таке, що справедлива оцiнка (12).
Доведення. Для доведення першого твердження теореми зауважимо, що за умова-
ми В2) – В4) функцiя правої частини вихiдного рiвняння (4) є неперервною за сукупнiстю
змiнних, задовольняє умову Лiпшиця та обмежена, а отже, й функцiя правої частини усе-
редненої системи (7) є обмеженою та задовольняє умову Лiпшиця i умову лiнiйного росту,
а тому при фiксованих допустимих керуваннях u(t) i v(εt) розв’язки задач (4) i (7) iснують,
єдинi i необмежено продовжуванi вправо.
Доведемо твердження 2. Нехай u(t) —деяке допустиме керування системи (4), а x(t) —
вiдповiдна йому траєкторiя, визначена для всiх t ∈
[
0, Lε−1
]
, v(εt) —керування усередне-
ної системи (7), побудоване за алгоритмом (11), а y(εt) — вiдповiдна йому траєкторiя.
Переходячи вiд (4) i (7) до вiдповiдних iнтегральних зображень на t ∈
[
0, Lε−1
]
, отри-
муємо нерiвнiсть
|x(t)− y(εt)| ≤ ε
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
[f(s, xs)− f(s, y(εs))] ds
∣∣∣∣∣∣+ ε
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
[
f̃(s, y(εs))− f(y(εs))
]
ds
∣∣∣∣∣∣+
+ ε
t∫
0
‖A(x(s))−A(y(εs))‖ |ψ(s, u(s))| ds+
+ ε
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
A(y(εs)) [ψ(s, u(s)− v(εs)] ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ ελ
t∫
0
‖xs − y(εs)‖Cnds+ ε
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
[
f̃(s, y(εs))− f(y(εs))
]
ds
∣∣∣∣∣∣+
+ ελM1
t∫
0
|x(s)− y(εs)|ds+ ε
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
A(y(εs)) [ψ(s, u(s)− v(εs)] ds
∣∣∣∣∣∣ . (13)
За означенням
‖xs − y(εs)‖Cn = max
θ∈[−h;0]
|x(s+ θ)− y(εs)| ≤ max
θ∈[−h;s]
|x(s+ θ)− y(εs)| = δ(s).
З (13), застосовуючи лему Гронуолла – Беллмана, одержуємо нерiвнiсть
δ(t) ≤ βeλ(1+M1)L, (14)
де
β = ε
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
[
f̃(s, y(εs))− f(y(εs))
]
ds
∣∣∣∣∣∣+ ε
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
A(y(εs)) [ψ(s, u(s)− v(εs)]ds
∣∣∣∣∣∣ . (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
СХЕМИ ПОВНОГО УСЕРЕДНЕННЯ В ЗАДАЧI ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 363
Оцiнимо перший доданок у (15). Для цього подiлимо iнтервал [0, Lε−1] на m рiвних
частин точками ti =
iL
εm
, i = 0, 1, 2, . . . ,m−1. Нехай t ∈ [tk, tk+1) для деякого k ∈ [0,m−1].
Тодi маємо
ε
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
[
f̃(s, y(εs))− f(y(εs))
]
ds
∣∣∣∣∣∣ ≤ ε
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
∣∣∣f̃(s, y(εs))− f̃(s, y(εti))
∣∣∣ ds+
+
ti+1∫
ti
∣∣f(y(εs))− f(y(εti))
∣∣ ds+
ti+1∫
ti
∣∣∣f̃(s, y(εti))− f(y(εti))
∣∣∣ ds
+
+ ε
t∫
tk
∣∣∣f̃(s, y(εs))− f̃(s, y(εtk))
∣∣∣ ds+
t∫
tk
∣∣f(y(εs))− f(y(εtk))
∣∣ ds+
+
t∫
tk
∣∣∣f̃(s, y(εtk))− f(y(εtk))
∣∣∣ ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
2λ
ti+1∫
ti
|y(εs)− y(εti)| ds+
L
εm
F
(
L
εm
)+
+ ε
2λ
t∫
tk
|y(εs)− y(εtk)| ds+
L
εm
F
(
L
εm
) ≤
≤ 2ελM(1 +M1)L+ LF
(
L
εm
)
+ 2λM(1 +M1)
L
m
+
L
m
F
(
L
εm
)
. (16)
Зауважимо,що для отримання оцiнки (16) ми використали умовиВ3) i В4), причому цiж
умови будуть виконуватися i для функцiї правої частини усередненої системи. Окрiм того,
оскiльки в (6) збiжнiсть рiвномiрна, то iснує спадна функцiя F (T ) така, що lim
T→∞
T = 0, а
тому доданки з (15) можна оцiнити так:
ti+1∫
ti
∣∣∣f̃(s, y(εti))− f(y(εti))
∣∣∣ ds ≤ L
εm
F
(
L
εm
)
.
Тепер оцiнимо другий доданок у (15), скориставшись розбиттям iнтервала [0, Lε−1] на
m рiвних частин:
ε
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
A(y(εs)) [ψ(s, u(s))− v(εs)] ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
364 О. Д. КIЧМАРЕНКО
≤ ε
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
|A(y(εs))−A(y(εti))| |ψ(s, u(s))− v(εs)| ds+
+ ε
k−1∑
i=0
∣∣∣∣∣∣
ti+1∫
ti
A(y(εti)) [ψ(s, u(s))− v(εs)] ds
∣∣∣∣∣∣+
+ ε
∣∣∣∣∣∣
t∫
tk
A(y(εs)) [ψ(s, u(s))− v(εs)] ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 2M1L
(
λ+M +
M
m
)
. (17)
Тодi, в (15) i в (14) вiдповiдно маємо:
δ(t) ≤
[
2ελM(1 +M1)L+ LF
(
L
εm
)
+ 2λM(1 +M1)
L
m
+
+
L
m
F
(
L
εm
)
+ 2M1L
(
λ+M +
M
m
)]
eλ(1+M1)L =
= ς(m, ε). (18)
Вiдповiдним вибором достатньо великого m i достатньо малого ε величина ς(m, ε)
може бути зроблена як завгодно малою. Тому оцiнка (12) є справедливою для довiльного
η > 0.
Теорему 3.1 доведено.
Зауважимо, що оцiнка (12) є рiвномiрною за всiма u i v та ϕ(0), тобто ε0 не залежить
вiд керувань u i v та вiд початкової функцiї.
4. Чисельно-асимптотичний метод розв’язання задачi оптимального керування функцiо-
нально-диференцiальною системою. Розглянемо задачi оптимального керування (4), (5) i
(7), (9) та встановимо зв’язок мiж ними. Для керувань вихiдної i усередненої систем у п. 3
розроблено алгоритми вiдповiдностi.
Припустимо, що виконуються такi умови:
С1) функцiя Φ(·) : Rn → R задовольняє умову Лiпшиця з константою µ;
С2) задача (4), (5) має розв’язок; через u∗ позначимо оптимальне керування цiєї задачi.
Зауважимо, що множина (8) допустимих керувань усередненої системи (7) є опуклим
компактом, тодi й множина досяжностi усередненої системи (7) є компактною [21], а
отже, задача (7), (9) має розв’язок. Позначимо через v∗ оптимальне керування усередненої
задачi (7), (9).
Близькiсть розв’язкiв вихiдної функцiонально-диференцiальної системи й усередненої,
яка описується звичайними диференцiальними рiвняннями, встановлено в теоремi 3.1. Для
оцiнки близькостi значень термiнальних критерiїв якостi вихiдної й усередненої задач на
вiдповiдних керуваннях доведемо наступнi леми.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
СХЕМИ ПОВНОГО УСЕРЕДНЕННЯ В ЗАДАЧI ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 365
Лема 4.1. Нехай виконуються умови С1), С2) та iснує допустиме керування v0 ∈ V таке,
що вiдповiдна йому траєкторiя y(t) близька до оптимальної траєкторiї x∗(t) задачi (4), (5),
а саме, для деякого малого η1 > 0 при t ∈ [t0, T ] виконується |x∗(t)− y(t)| < η1.
Тодi
∣∣J [u∗]− J̄ [v∗]
∣∣ < µη1.
Доведення. Нехай, наприклад, J [u∗] 6 J̄ [v∗]. З умови С1) i вибору керування v0 маємо∣∣J [u∗]− J̄ [v0]
∣∣ = |Φ(x∗(T ))− Φ(y(T ))| ≤ µ |x∗(T )− y(T )| ≤ µη1,
тобто
J [u∗] ≥ J̄ [v0]− µη1. (19)
Оскiльки v∗ — оптимальне керування задачi (7), (9), то
J̄ [v∗] ≤ J̄ [v0]. (20)
З (19) i (20) отримаємо J̄ [v0] ≥ J̄ [v∗] ≥ J [u∗] ≥ J̄ [v0]−µη1 та, вiднiмаючи J̄ [v∗] з останньої
нерiвностi, маємо J [u∗]− J̄ [v∗] ≥ J̄ [v0]− J̄ [v∗]− µη1.
Тодi з (20) виконується нерiвнiсть J [u∗] − J̄ [v∗] ≥ −µη1. Але за припущенням J [u∗] −
− J̄ [v∗] ≤ 0 < µη1. Отже, −µη ≤ J [u∗]− J̄ [v∗] < µη1.
Лему 4.1 доведено.
Лема 4.2. Нехай виконується умова С1) та iснує таке керування u0 для задачi (4), (5),
що вiдповiдна йому траєкторiя x(t) є близькою до оптимальної траєкторiї y∗(t) задачi (7),
(9), тобто для малого η2 > 0 виконується |x(t)− y∗(t)| < η2 при t ∈ [t0, T ].
Тодi
∣∣J [u∗]− J̄ [v∗]
∣∣ < µη2.
Доведення. Нехай J [u∗] > J̄ [v∗]. Як i при доведеннi леми 4.1, маємо
J [u0] ≥ J [u∗] > J̄ [v∗] ≥ J [u0]− µη2.
Вiднiмаючи J [u∗] з останньої нерiвностi, одержуємо
J̄ [v∗]− J [u∗] ≥ J [u0]− J [u∗]− µη2.
Тодi є справедливою нерiвнiсть J̄ [v∗]−J [u∗] ≥ −µη2, або J [u∗]−J̄ [v∗] ≤ µη2. Але за умовою
леми J [u∗]− J̄ [v∗] > 0 > −µη2. Отже, −µη < J [u∗]− J̄ [v∗] ≤ µη2.
Лему 4.2 доведено.
Лема 4.3. Нехай одночасно iснують u0 — допустиме керування для задачi (4), (5) таке,
що вiдповiдна йому траєкторiя x(t) є близькою до оптимальної траєкторiї y∗(t) задачi (7),
(9), тобто для малого η2 > 0 виконується |x(t) − y∗(t)| < η2 при t ∈ [t0, T ], i v0 —
допустиме керування для задачi (7), (9) таке, що вiдповiдна йому траєкторiя y(t) близька до
оптимальної траєкторiї x∗(t) задачi (4), (5), а саме для деякого малого η1 > 0 виконується
|x∗(t)− y(t)| < η1 при t ∈ [t0, T ].
Тодi справедливi спiввiдношення∣∣J [u∗]− J̄ [v∗]
∣∣ < µη3,
J [u0]− J [u∗] 6 ση3,
J̄ [v0]− J̄ [v∗] 6 ση3,
де η3 = max {η1, η2} .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
366 О. Д. КIЧМАРЕНКО
Доведення. З двох оптимальних значень функцiоналiв вихiдної й усередненої задач
J [u∗] i J̄ [v∗] одна обов’язково бiльша (або дорiвнює) за iншу, тому виконується або лема
4.1, або лема 4.2 та нерiвнiсть
∣∣J [u∗]− J̄ [v∗]
∣∣ < µη3. Тому
J
[
u0
]
− J [u∗] = J
[
u0
]
− J̄ [v∗] + J̄ [v∗]− J [u∗] ≤
≤
∣∣J [u0]− J̄ [v∗]
∣∣+
∣∣J̄ [v∗]− J [u∗]
∣∣ ≤ µη2 + µη3 < ση3,
де σ = 2µ. Остання нерiвнiсть у лемi доводиться аналогiчно.
Лему 4.3 доведено.
Наступна теорема доводить основний результат — близькiсть термiнальних критерiїв
якостi вихiдної й усередненої задач на вiдповiдних керуваннях.
Теорема 4.1. Нехай в областi Q = {t ≥ 0, ϕ ∈ Cn, x ∈ Rn, u ∈ U ⊂ comp (Rr)} виконую-
ться умови теореми 3.1, умови С1) та С2). Тодi для будь-яких η > 0 i L > 0 iснує таке
ε0(η, L) > 0, що для 0 < ε < ε0 i t0 ≤ t ≤ Lε−1 виконуються нерiвностi∣∣J [u∗]− J̄ [v∗]
∣∣ < η,
J [uv∗ ]− J [u∗] < η,
J̄ [vu∗ ]− J̄ [v∗] < η,
де uv∗ — побудоване за алгоритмом керування системи (4), яке вiдповiдає оптимальному
керуванню v∗ задачi (7), (9), а vu∗ — побудоване за алгоритмом керування системи (7), яке
вiдповiдає оптимальному керуванню u∗ задачi (4), (5).
Доведення. Зауважимо, що алгоритм методу усереднення дозволяє побудувати у вiд-
повiднiсть керуванню v∗ задачi (7), (9) таке допустиме керування uv∗ задачi (4), (5), що
вiдповiднi траєкторiї будуть близькими: |x (t, uv∗)− y∗ (t, v∗)| < η. Позначимо через ε1
значення малого параметра ε0, для якого за теоремою 3.1 виконується остання нерiвнiсть.
Цей же алгоритм дозволяє побудувати у вiдповiднiсть керуванню u∗ задачi (4), (5) таке
допустиме керування vu∗ задачi (7), (9), що iснує значення малого параметра ε2, при якому
вiдповiднi траєкторiї будуть близькими: |x∗ (t, u∗)− y (t, vu∗)| < η. Застосовуючи лему 4.3,
отримуємо нерiвностi теореми.
Теорему 4.1 доведено.
Отже, керування uv∗ є асимптотично оптимальнимдля точної задачi (4), (5), а керування
vu∗ — асимптотично оптимальним для усередненої задачi (7), (9).
Таким чином, ми завершили обґрунтування чисельно-асимптотичного методу розв’я-
зання задачi оптимального керування функцiонально-диференцiальною системою (4), (5),
реалiзацiя якого здiйснюється так:
1. Для керованої функцiонально-диференцiальної системи (4) будуємо усереднену сис-
тему (7).
2. Будуємо множину допустимих керувань V усередненої системи (7) за формулою (8).
3. Розв’язуємо усереднену задачу оптимального керування (7), (9).
4. За оптимальним керуванням v∗ усередненої задачi (7), (9) з використанням алго-
ритму вiдповiдностi керувань будуємо асимптотично оптимальне керування uv∗ вихiдної
задачi (4), (5).
5. Будуємо траєкторiю x(t, uv∗) вихiдної системи (4), яка вiдповiдає керуванню uv∗ .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
СХЕМИ ПОВНОГО УСЕРЕДНЕННЯ В ЗАДАЧI ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 367
6. Для асимптотично оптимального керування uv∗ знаходимо значення функцiоналу
якостi (5), яке згiдно з теоремою 4.1 вiдрiзняється вiд оптимального значення на малу
величину η.
Лiтература
1. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. – К.: Изд-во АН УССР, 1937. – 363 с.
2. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.:
Наука, 1974. – 503 с.
3. Самойленко А. М., Мустафаев Х. З. О принципе усреднения для одного класса систем дифференциаль-
ных уравнений с отклоняющимся аргументом // Асимптотические методы и их применение в задачах
математической физики. – К.: Ин-т математики АН УССР, 1990. – С. 104 – 107.
4. Филатов О. П., Хапаев М. М. Усреднение систем дифференциальных включений. – М.: Изд-во Моск.
ун-та, 1988. – 160 с.
5. Хапаев М. М. О методе усреднения и некоторых задачах, связанных с усреднением // Дифференц. урав-
нения. – 1966. – 11, № 5. – С. 600 – 608.
6. Халанай А. Метод усреднения для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
// Rev. math. pures et appl. Acad. RpR. – 1959. – 4, № 3. – P. 467 – 483.
7. Фодчук В. И. О непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим
аргументом от параметра // Укр. мат. журн. – 1964. – 16, № 2. – С. 273 – 279.
8. Фодчук В. И. О построении асимптотических решений для нестационарных дифференциальных уравне-
ний с запаздывающим аргументом и малым параметром // Укр. мат. журн. – 1962. – 14, № 4. – С. 435 – 440.
9. Bainov D. D., Hristova S. G. Differential equations with maxima // Chapman & Hall/CRC Pure and Appl. Math.
– 2011. – 291. – 312 p.
10. Plotnikov V. A., Kichmarenko O. D. A note on the averaging method for differential equations with maxima //
Iran. J. Optim. – 2009. – 1, № 2. – P. 132 – 140.
11. Kichmarenko O. D., Sapozhnikova K. Yu. Full averaging scheme for differential equation with maximum //
Contemp. Anal. Appl. Math. – 2015. – 3, № 1. – P. 113 – 122.
12. Dashkovskiy S., Hristova S., Kichmarenko O., Sapozhnikova K. Behavior of the solution to the systems with
maximum // Proc. 20th IFAC World Congr. – 2017. – P. 13467 – 13472.
13. Hale J. Introduction to functional differential equations. – New York: Springer, 1966.
14. Hale J. K., Verduyn Lunel S. M. Averaging in infinite dimensions // J. Integral Equations Appl. – 1990. – 2, № 4.
– P. 463 – 494.
15. Lehman B., Weibel S. Fundamental theorems of averaging for functional differential equations // J. Differential
Equations. – 1999. – 152. – P. 160 – 190.
16. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. – М.: Наука, 1981. – 400 с.
17. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. – Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. – 188 с.
18. Кравець В. I., Ковальчук Т. В., Могильова В. В., Станжицький О. М. Застосування методу усереднення до
задач оптимального керування функцiонально-диференцiальними рiвняннями // Укр. мат. журн. – 2018. –
70, № 2. – С. 206 – 216.
19. Aumann R. J. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. Appl. – 1965. – 12, № 1. – P. 1 – 12.
20. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1974. – 85 с.
21. Lee E. B., Markus L. Foundations of optimal control theory. – Malabar (FL): Krieger Pub. Co., 1986. – 586 p.
Получено 04.04.18
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
|