Про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу

Наведено умови, при яких глобальними розв’язками лiнiйних рiзницевих рiвнянь з аргументом, що вiдхиляється, є розв’язки звичайних рiзницевих рiвнянь

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Клопотюк, Л. М., Могильова, В. В., Місяць, О. О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2005
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177388
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу / Л. М. Клопотюк, В. В. Могильова, О. О. Місяць // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 29-45. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177388
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1773882021-02-16T01:26:23Z Про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу Клопотюк, Л. М. Могильова, В. В. Місяць, О. О. Наведено умови, при яких глобальними розв’язками лiнiйних рiзницевих рiвнянь з аргументом, що вiдхиляється, є розв’язки звичайних рiзницевих рiвнянь We present conditions under which global solutions of linear difference equations with deviating argument are solutions of ordinary difference equations 2005 Article Про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу / Л. М. Клопотюк, В. В. Могильова, О. О. Місяць // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 29-45. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177388 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Наведено умови, при яких глобальними розв’язками лiнiйних рiзницевих рiвнянь з аргументом, що вiдхиляється, є розв’язки звичайних рiзницевих рiвнянь
format	Article
author	Клопотюк, Л. М. Могильова, В. В. Місяць, О. О.
spellingShingle	Клопотюк, Л. М. Могильова, В. В. Місяць, О. О. Про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу Нелінійні коливання
author_facet	Клопотюк, Л. М. Могильова, В. В. Місяць, О. О.
author_sort	Клопотюк, Л. М.
title	Про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу
title_short	Про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу
title_full	Про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу
title_fullStr	Про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу
title_full_unstemmed	Про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу
title_sort	про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177388
citation_txt	Про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу / Л. М. Клопотюк, В. В. Могильова, О. О. Місяць // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 29-45. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT klopotûklm proglobalʹnírozvâzkilíníjnihríznicevihrívnânʹzvídhilennâmargumentu AT mogilʹovavv proglobalʹnírozvâzkilíníjnihríznicevihrívnânʹzvídhilennâmargumentu AT mísâcʹoo proglobalʹnírozvâzkilíníjnihríznicevihrívnânʹzvídhilennâmargumentu
first_indexed	2025-07-15T15:30:10Z
last_indexed	2025-07-15T15:30:10Z
_version_	1837727388815851520
fulltext	УДК 517. 9 ПРО ГЛОБАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ Л. М. Клопотюк Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64 В. В. Могильова Нац. техн. ун-т України „КПI” Україна, 02057, Київ, пр. Перемоги, 37 О. О. Мiсяць Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64 We present conditions under which global solutions of linear difference equations with deviating argument are solutions of ordinary difference equations. Наведено умови, при яких глобальними розв’язками лiнiйних рiзницевих рiвнянь з аргу- ментом, що вiдхиляється, є розв’язки звичайних рiзницевих рiвнянь. 1. Постановка задачi. Дану роботу присвячено питанню iснування двостороннiх глобаль- них розв’язкiв лiнiйних рiзницевих рiвнянь з вiдхиленням аргументу вигляду: xn+1 = Anxn + Bnxn+p + fn ∀n ∈ Z, p = const, (1) де xn, fn — вектори з простору Rd, An, Bn — (d× d)-вимiрнi матрицi, n — цiлi числа i p — фiксоване цiле число. В залежностi вiд знаку p дане рiвняння може бути як рiвнянням iз запiзненням, так i рiвнянням з упередженням. Глобальним розв’язком такого рiвняння назвемо функцiю xn, яка при кожному цiлому n задовольняє спiввiдношення (1). Оскiльки дане рiвняння може бути як з упередженням, так i з запiзненням, то проблема вiдшукання його глобальних розв’язкiв є нетривiальною. Для розв’язання цiєї задачi будемо наслiдувати iдеї роботи [1], в якiй аналогiчна проблема розглядається для диференцiальних рiвнянь з аргументом, що вiдхиляється. Вiдмiтимо, що питанню односторонньої продовжуваностi розв’язкiв рiзницевих рiв- нянь присвячено багато робiт. З цього приводу вiдзначимо роботи [2, 3], що мiстять де- тальну бiблiографiю. Щодо двосторонньої продовжуваностi розв’язкiв таких рiвнянь, то це питання ще досить мало вивчене. Можна вказати, наприклад, роботи Ю. В. Теплiнсько- го та його учнiв [4, 5], в яких дане питання розв’язувалося в контекстi побудови перiо- дичних розв’язкiв та тороїдальних многовидiв таких рiвнянь. c© Л. М. Клопотюк, В. В. Могильова, О. О. Мiсяць, 2005 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 29 30 Л. М. КЛОПОТЮК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. О. МIСЯЦЬ У данiй роботi проблема глобальних розв’язкiв вирiшується через побудову для рiв- няння (1) рiзницевого рiвняння xn+1 = Cnxn + gn, det Cn 6= 0, (2) що є рiвнянням без вiдхилення, всi глобальнi розв’язки якого були б розв’язками рiвняння (1). Зауважимо, що для рiвняння (2) питання побудови його глобальних розв’язкiв розв’я- зується значно простiше, нiж для рiвняння (1). Так, продовжуванiсть розв’язкiв вправо тривiально випливає з самого вигляду рiвняння, для однозначної ж продовжуваностi їх влiво достатньо вимагати невиродженостi матриць Cn, тобто щоб det Cn 6= 0. Спочатку знайдемо для Cn та gn рiвняння вигляду Cn = An + BnXn+p, (3) gn = Bn n+p−1∑ ν=l Ωn+p ν+1gν + fn ∀n ∈ Z, p = const, (4) а потiм доведемо основну теорему про їх розв’язнiсть. Теорема 1. Нехай A, B, f визначенi та обмеженi на Z, задовольняють нерiвностi ‖ An ‖≤ α, ‖ Bn ‖≤ β, ‖ fn ‖≤ 1, n ∈ Z, i такi, що e(α+1)\|p+1\|+1 < 1. Тодi iснують визначенi та обмеженi на Z розв’язки C, g рiвнянь (3), (4), що задоволь- няють нерiвностi ‖ Cn ‖≤ M, ‖ gn ‖≤ M1, n ∈ Z, де M, M1 — деякi сталi, що залежать вiд \|p\|, β, α. Наступна теорема встановлює властивостi розв’язкiв рiвнянь (3), (4), аналогiчнi вла- стивостям функцiй A, B, f . Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1, а A, B, f є перiодичними, квазiпе- рiодичними або майже перiодичними послiдовностями. Тодi перiодичними, квазiперiо- дичними або майже перiодичними є розв’язки C, g рiвнянь (3), (4). 2. Деякi допомiжнi твердження. Для доведення анонсованих вище результатiв нам зна- добляться двi леми. Перша лема стосується оцiнки сум вигляду Sk(n) = 1k + 2k + 3k + . . . + nk. (5) Лема 1. Справжується оцiнка Sk−1(n) ≤ (n + 1)k k . (6) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 ПРО ГЛОБАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ 31 Доведення. Маємо (a + 1)k = ak + k · ak−1 + C2 k · ak−2 + . . . + k · a + 1, 2k = 1k + k · 1k−1 + C2 k · 1k−2 + . . . + k · 1 + 1, 3k = 2k + k · 2k−1 + C2 k · 2k−2 + . . . + k · 2 + 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nk = (n− 1)k + k · (n− 1)k−1 + C2 k · (n− 1)k−2 + . . . + k · (n− 1) + 1, (n + 1)k = nk + k · nk−1 + C2 k · nk−2 + . . . + k · n + 1. Позначимо Sk(n) = 1k + 2k + 3k + . . . + nk, Sk−1(n) = 1k−1 + 2k−1 + 3k−1 + . . . + nk−1, Sk−2(n) = 1k−2 + 2k−2 + 3k−2 + . . . + nk−2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Тепер додамо рiвняння по стовпчиках. Пiсля скорочення дiстанемо (n + 1)k = k · Sk−1(n) + C2 k · Sk−2(n) + . . . + k · S1(n) + n + 1, k · Sk−1(n) = (n + 1)k − C2 k · Sk−2(n)− . . .− n− 1, Sk−1(n) = (n + 1)k − C2 k · Sk−2(n)− . . .− n− 1 k . Оскiльки S1(n) > 0, S2(n) > 0, . . . , Sk−2(n) > 0, то Sk−1(n) ≤ (n + 1)k k , що й потрiбно було довести. Наступна лема стосується вигляду матрицанта лiнiйного рiвняння xn+1 = xn + Dnxn. (7) Лема 2. Матрицант Ωn 0 рiвняння (7) має вигляд Ωn 0 = E + n−1∑ k=0 Dk + n−1∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 + n−1∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 k1−1∑ k2=0 Dk2 + . . . , (8) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 32 Л. М. КЛОПОТЮК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. О. МIСЯЦЬ i загальний розв’язок даного рiвняння подається формулою xn = Ωn 0x0, (9) причому n−1∑ k=0 Dk = 0. (10) Доведення. Спочатку доведемо збiжнiсть ряду (8). Оцiнимо кожну суму окремо. Для кожного фiксованого n маємо оцiнки∥∥∥∥∥ n−1∑ k=0 Dk ∥∥∥∥∥ ≤ A n + 1 1 , де A = max{‖D0‖, ‖D1‖, . . . , ‖Dn−1‖}, i∥∥∥∥∥∥ n−1∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 ∥∥∥∥∥∥ ≤ A2 n−1∑ k=0  k−1∑ k1=0 1  = A2 n−1∑ k=0 k ≤ A2 (n + 1)2 1 · 2 , ∥∥∥∥∥∥ n−1∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 k1−1∑ k2=0 Dk2 ∥∥∥∥∥∥ ≤ A3 n−1∑ k=0 (k + 1)2 2 = 1 2 A3 n−1∑ k=0 (k + 1)2 ≤ ≤ A3 (n + 1)3 1 · 2 · 3 = A3 (n + 1)3 3! . Остання оцiнка випливає з леми 1. Аналогiчно n−1∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 k1−1∑ k2=0 Dk2 k2−1∑ k3=0 Dk3 ≤ A4 n−1∑ k=0 (k + 1)3 2 · 3 = = 1 2 · 3 A4 n−1∑ k=0 (k + 1)3 ≤ A4 (n + 1)4 1 · 2 · 3 · 4 = A4 (n + 1)4 4! . За методом математичної iндукцiї знаходимо∥∥∥∥∥∥ n−1∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 k1−1∑ k2=0 Dk2 . . . kk−2−1∑ kk−1=0 Dkk−1 ∥∥∥∥∥∥ ≤ Ak (n + 1)k k! . Очевидно, що ряд ∞∑ k=1 Ak (n + 1)k k! ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 ПРО ГЛОБАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ 33 є збiжним, а отже, збiгається i ряд (8), що й потрiбно було довести. Тепер покажемо, що формула (9) задає розв’язок рiвняння (7). Маємо xn+1 = Ωn+1 0 x0 = E + n∑ k=0 Dk + n∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 + n∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 k1−1∑ k2=0 Dk2 + . . . x0 = = E + Dn + n−1∑ k=0 Dk + Dn n−1∑ k1=0 Dk1 + n−1∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1+ + Dn n−1∑ k1=0 Dk1 k1−1∑ k2=0 Dk2 + n−1∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 k1−1∑ k2=0 Dk2 + . . . x0 = = E + n−1∑ k=0 Dk + n−1∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 + n−1∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 k1−1∑ k2=0 Dk2 + . . . x0+ + Dn E + n−1∑ k1=0 Dk1 + n−1∑ k1=0 Dk1 k1−1∑ k2=0 Dk2 + n−1∑ k1=0 Dk1 k1−1∑ k2=0 Dk2 k2−1∑ k3=0 Dk3 + . . . x0 = = Ωn 0x0 + DnΩn 0x0 = xn + Dnxn. 3. Виведення рiвнянь (3), (4). Розглянемо рiзницеве рiвняння xn+1 = Cnxn + gn у припущеннi, що Cn — (d × d)-вимiрна матриця, а gn — d-вимiрна вектор-функцiя такi, що ‖Cn‖ ≤ M, ‖gn‖ ≤ M1, n ∈ Z. Згiдно з [2] загальний його розв’язок має вигляд xn = Ωn 0x0 + n−1∑ ν=0 Ωn ν+1gν ∀n ∈ Z, або бiльш загальнiше xn = Ωn l x0 + n−1∑ ν=l Ωn ν+1gν ∀n, l ∈ Z (при l = n ⇒ Ωn l = E). Ця ж сама функцiя буде розв’язком рiвняння xn+1 = Anxn + Bnxn+p + fn ∀n ∈ Z, p = const, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 34 Л. М. КЛОПОТЮК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. О. МIСЯЦЬ якщо xn+1 = Cn ( Ωn l x0 + n−1∑ ν=l Ωn ν+1gν ) + gn = = An ( Ωn l x0 + n−1∑ ν=l Ωn ν+1gν ) + Bn ( Ωn+p l x0 + n+p−1∑ ν=l Ωn+p ν+1gν ) + fn, n ∈ Z, p = const. Покладемо x0 = 0 : Cn n−1∑ ν=l Ωn ν+1gν + gn = An n−1∑ ν=l Ωn ν+1gν + Bn n+p−1∑ ν=l Ωn+p ν+1gν + fn, тодi CnΩn l = AnΩn l + BnΩn+p l , а при l = n Cn = An + BnΩn+p n , n ∈ Z. Пiдставимо отриманий вираз для Cn у рiвняння Cn n−1∑ ν=l Ωn ν+1gν + gn = An n−1∑ ν=l Ωn ν+1gν + Bn n+p−1∑ ν=l Ωn+p ν+1gν + fn. В результатi отримаємо An n−1∑ ν=l Ωn ν+1gν + Bn n−1∑ ν=l Ωn ν+1Ω n+p n gν + gn = An n−1∑ ν=l Ωn ν+1gν + Bn n+p−1∑ ν=l Ωn+p ν+1gν + fn. Пiсля скорочення перших доданкiв, враховуючи властивiсть матрицанта Ωn ν+1Ω n+p n = Ωn+p ν+1(C), остаточно отримуємо вираз для gn : gn = Bn n+p−1∑ ν=n Ωn+p ν+1gν + fn. Отже, якщо будь-який розв’язок рiвняння xn+1 = Cnxn + gn ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 ПРО ГЛОБАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ 35 є глобальним (∀n ∈ Z) розв’язком рiвняння xn+1 = Anxn + Bnxn+p + fn, то матриця Cn задовольняє рiвняння Cn = An + BnΩn+p n (C), а функцiя gn — рiвняння gn = Bn n+p−1∑ ν=l Ωn+p ν+1gν + fn ∀n ∈ Z, p = const. Очевидним є i зворотний висновок: якщо обмеженi функцiї ‖Cn‖ ≤ M ‖gn‖ ≤ M1 задовольняють наведенi вище рiвняння, то функцiя xn = Ωn l x0 + n−1∑ ν=l Ωn ν+1gν є глобальним розв’язком рiвняння xn+1 = Anxn + Bnxn+p + fn, n ∈ Z. 4. Доведення теореми 1. Розглянемо рiвняння Cn = An + BnΩn+p n (C). Судячи з вигляду цього рiвняння, не втрачаючи загальностi, можемо шукати розв’язок у виглядi C = A + BY. Отримаємо An + BnYn = An + BnΩn+p n (A + BY ), BnYn −BnΩn+p n (A + BY ) = 0, Bn(Yn − Ωn+p n (A + BY )) = 0, Yn = Ωn+p n (A + BY ) + B0 n, (11) де BnB0 n = 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 36 Л. М. КЛОПОТЮК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. О. МIСЯЦЬ Вiдносно змiнної Z = Y −B0 (Y = Z + B0) рiвняння (11) набере вигляду Zn = Ωn+p n (A + BZ). Пiдставимо Z у вираз для C: C = A + BY = A + B(Z + B0) = A + BZ. Ця замiна переводить початкове рiвняння Cn = An + BnΩn+p n (C) до вигляду An + BnZn = An + BnΩn+p n (A+BZ). Зокрема, воно справджується, якщо Zn = Ωn+p n (A+BZ), розв’язки цього рiвняння є обмеженими функцiями. Визначимо оператор S: SZn = Ωn+p n (A + BZ − E) на просторi C(m) (d× d)-вимiрних матриць Zn, заданих та обмежених на Z i таких, що ‖Z‖0 = sup n∈Z ‖Zn‖ ≤ m. Для SZn має мiсце оцiнка ‖SZ‖0 ≤ sup n∈Z Ωn+p n (‖A‖+ ‖B‖m + ‖E‖) ≤ e(p+1)(α+βm+1). Щоб показати правильнiсть цiєї оцiнки, оцiнимо кожен член даного ряду для ‖SZ‖0 , по- значивши P = ‖A‖+ ‖B‖m + ‖E‖: n+p−1∑ k=n (P ) ≤ (α + βm + 1) p + 1 1 , n+p−1∑ k=n (P ) k−1∑ k1=n (P ) ≤ (α + βm + 1)2 n+p−1∑ k=n k−1∑ k1=n 1 ≤ (α + βm + 1)2 (n + 1)2 1 · 2 , n+p−1∑ k=n (P ) k−1∑ k1=n (P ) k1−1∑ k2=n (P ) ≤ (α + βm + 1)3 n+p−1∑ k=n k−1∑ k1=n k1−1∑ k2=n 1 ≤ (α + βm + 1)3 (n + 1)3 1 · 2 · 3 . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 ПРО ГЛОБАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ 37 За методом математичної iндукцiї для N -го члена буде справедливою оцiнка n+p−1∑ k=n (P ) k−1∑ k1=n (P ) k1−1∑ k2=n (P ) . . . kN−2−1∑ kN−1=n (P ) ≤ (α + βm + 1)N n+p−1∑ k=n k−1∑ k1=n k1−1∑ k2=n . . . kN−2−1∑ kN−1=n 1 ≤ ≤ (α + βm + 1)N (n + 1)N 1 · 2 · 3 . . . N , тобто ‖SZ‖0 ≤ ∞∑ N=0 (α + βm + 1)N (n + 1)N 1 · 2 · 3 . . . N ≤ e(p+1)(α+βm+1). Отже, якщо виконується нерiвнiсть e(p+1)(α+βm+1) ≤ m, то оператор S переводить простiр C(m) в себе. Оцiнимо рiзницю SZ1 n − SZ2 n для матриць Z1 n та Z2 n. Позначимо P 1 n = An + BnZ1 n − E, P 2 n = An + BnZ2 n − E та розглянемо рiзницю Ωn+p n (P 1 n)− Ωn+p n (P 2 n). Тодi n+p−1∑ k=n ‖Bk‖ ∥∥Z1 k − Z2 k ∥∥ ≤ pβ ∥∥Z1 − Z2 ∥∥ 0 , ∥∥∥∥∥ n+p−1∑ k=n P 1 k k−1∑ k1=n P 1 k1 − n+p−1∑ k=n P 2 k k−1∑ k1=n P 2 k1 ∥∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥∥∥ n+p−1∑ k=n P 1 k k−1∑ k1=n P 1 k1 − − n+p−1∑ k=n P 1 k k−1∑ k1=n P 2 k1 + n+p−1∑ k=n P 1 k k−1∑ k1=n P 2 k1 − n+p−1∑ k=n P 2 k k−1∑ k1=n P 2 k1 ∥∥∥∥∥ ⇒ ⇒ ∥∥∥∥∥ n+p−1∑ k=n P 1 k k−1∑ k1=n ∥∥P 1 k1 − P 2 k1 ∥∥+ n+p−1∑ k=n ∥∥P 1 k − P 2 k ∥∥ k−1∑ k1=n P 2 k1 ∥∥∥∥∥ ≤ ≤ 2 (α + βm + 1) β ∥∥Z1 − Z2 ∥∥ 0 n+p−1∑ k=n k ≤ ≤ 2β (α + βm + 1) (p + 1)2 2 ∥∥Z1 − Z2 ∥∥ 0 . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 38 Л. М. КЛОПОТЮК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. О. МIСЯЦЬ Аналогiчно∥∥∥∥∥ n+p−1∑ k=n P 1 k k−1∑ k1=n P 1 k1 k1−1∑ k2=n P 1 k2 − n+p−1∑ k=n P 2 k k−1∑ k1=n P 2 k1 k1−1∑ k2=n P 2 k2 ∥∥∥∥∥ ≤ ≤ 3(α + βm + 1)2β (p + 1)3 2 · 3 ∥∥Z1 − Z2 ∥∥ 0 . За методом математичної iндукцiї на N -му кроцi будемо мати∥∥∥∥∥ n+p−1∑ k=n P 1 k k−1∑ k1=n P 1 k1 kN−1−1∑ kN=n P 1 kN − n+p−1∑ k=n P 2 k k−1∑ k1=n P 2 k1 . . . kN−1−1∑ kN=n P 2 k2 ∥∥∥∥∥ ≤ ≤ N(α + βm + 1)N−1β (p + 1)N 2 · 3 · · ·N ∥∥Z1 − Z2 ∥∥ 0 . Отже, для шуканої рiзницi справджується оцiнка ∥∥SZ1 n − SZ2 n ∥∥ ≤ ∞∑ N=0 β\|p + 1\|(α + βm + 1)N−1(p + 1)N−1 (N − 1)! ∥∥Z1 − Z2 ∥∥ 0 ≤ ≤ β\|p + 1\|e\|p+1\|(α+βm+1) ∥∥Z1 − Z2 ∥∥ 0 . Якщо виконується нерiвнiсть β\|p + 1\|e\|p+1\|(α+βm+1) < 1, то оператор S є стискуючим. Будемо вимагати одночасного виконання нерiвностей e\|p+1\|(α+βm+1) ≤ m та β\|p + 1\|e\|p+1\|(α+βm+1) < 1. Розв’яжемо рiвняння e(p+1)(α+βm+1) = m. Якщо e(α+1)\|p+1\|+1 < 1, то це рiвняння має два розв’язки m− e\|p+1\|(α+βm+1) > 0 в точцi m = 1 β(p + 1) . Умова 1 β(p + 1) − e(α+1)(p+1)+1 > 0 вказує на наявнiсть двох точок перетину. Тодi e(α+1)(p+1)+1 < 1 β(p + 1) ⇒ β(p + 1)e(α+1)(p+1)+1 < 1. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 ПРО ГЛОБАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ 39 Отже, для m1 ≤ m < 1 β(p + 1) нерiвностi e(p+1)(α+βm+1) ≤ m i β(p + 1)e(p+1)(α+βm+1) < 1 виконуються одночасно, i для таких m оператор SZn = Ωn+p n (An + BnZn − E) вiдображає простiр C(m) в себе i є стискуючим. Простiр C(m) вiдносно норми ‖·‖0 = sup n∈Z ‖·‖ є повним нормованим простором. Отже, оператор S має в C(m) єдину нерухому точку. Вона i є єдиним розв’язком рiвняння Zn = Ωn+p n (An + BnZn − E) . Тепер розглянемо рiвняння gn = Bn n+p−1∑ v=n Ωn+p ν+1(C)gv + fn ∀n ∈ Z, p = const. Виконавши в ньому замiну змiнних g = f + Bz, отримаємо вiдносно змiнної z рiвняння fn + Bnzn = Bn n+p−1∑ v=n Ωn+p ν+1(fv + Bvzv) + fn. Зокрема, воно справджується, якщо zn = n+p−1∑ v=n Ωn+p ν+1fv + n+p−1∑ v=n Ωn+p ν+1Bvzv. Виконаємо замiну k = ν − n : zn = p−1∑ k=0 Ωn+p k+n+1(C)fk+n + p−1∑ k=0 Ωn+p k+n+1(C)Bk+nzk+n. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 40 Л. М. КЛОПОТЮК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. О. МIСЯЦЬ На просторi C(M) функцiй z = zn, заданих та обмежених на Z i таких, що ‖zn‖0 = sup n∈Z ‖zn‖ ≤ M, задамо оператор S1 : S1zn = p−1∑ k=0 Ωn+p k+n+1(C)fn+k + p−1∑ k=0 Ωn+p k+n+1(C)Bn+kzn+k. Для S1 справедливою є оцiнка (враховуючи, що ‖fn‖ ≤ 1): ‖S1z‖ ≤ p−1∑ k=0 ∥∥∥Ωn+p k+n+1(C) ∥∥∥ ‖fk+n‖+ + p−1∑ k=0 ∥∥∥Ωn+p k+n+1(C) ∥∥∥ ‖Bk+n‖ ‖zk+n‖ ≤ ≤ \|p\|e(α+βm+1)(p−k−1) · 1 + \|p\|e(α+βm+1)(p−k−1)βM ≤ ≤ \|p\|e(α+βm+1)\|p\|(1 + βM). Оцiнимо рiзницю, як це було показано вище: ‖S1z1 − S1z‖ = ∥∥∥∥∥ p−1∑ k=0 ∥∥∥Ωn+p k+n+1(C) ∥∥∥ ‖fk+n‖+ p−1∑ k=0 ∥∥∥Ωn+p k+n+1(C) ∥∥∥ ‖Bk+n‖ ‖zk+n‖ ∥∥∥∥∥ ≤ ≤ \|p\|βe(α+βm+1)\|p\| ‖z1 − z‖0 , де z та z1 — довiльнi функцiї з C(M). Якщо виконується нерiвнiсть \|p\|βe(α+βm+1)\|p\| ≤ 1, то при M, що задовольняють нерiвнiсть \|p\|e(α+βm+1)\|p\|(1 + βM) ≤ M ⇒ M ≥ \|p\|e(α+βm+1)\|p\| 1− \|p\|βe(α+βm+1)\|p\| , оператор S1 є стискуючим, оскiльки вiдображає C(M) в себе. Простiр C(M) вiдносно норми є повним нормованим простором. Цього досить, щоб оператор S1 мав в C(M) єди- ну нерухому точку. Вона i є єдиним в C(M) розв’язком рiвняння zn = p−1∑ k=0 Ωn+p k+n+1(C)fn+k + p−1∑ k=0 Ωn+p n+k+1(C)Bn+kzn+k. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 ПРО ГЛОБАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ 41 5. Доведення теореми 2. Доведемо спочатку наступне твердження. Лема 3. Нехай виконуються умови теореми 1 i знайдеться послiдовнiсть pk ∈ Z, k = 1, 2, . . . , така, що Ak = (An+pk , n ∈ Z), Bk = (Bn+pk , n ∈ Z), Ck = (Cn+pk , n ∈ Z), fk = (fn+pk , n ∈ Z), gk = (gn+pk , n ∈ Z), lim k→∞ (‖Ak −A‖0 + ‖Bk −B‖0 + ‖fk − f‖0) = 0. Тодi розв’язки C, g рiвнянь (3), (4) задовольняють умову lim k→∞ (‖Ck − C‖0 + ‖gk − g‖0) = 0. (12) Для доведення леми достатньо встановити спiввiдношення вигляду (12) для розв’язкiв рiвнянь Zn = Ωn+p n (A + BZ) та zn = p−1∑ k=0 Ωn+p k+n+1(C)fk+n + p−1∑ k=0 Ωn+p k+n+1(C)Bk+nzk+n. Для ряду Ωn 0 = E + n−1∑ k=0 Dk + n−1∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 + n−1∑ k=0 Dk k−1∑ k1=0 Dk1 k1−1∑ k2=0 Dk2 + . . . введемо позначення Ωl n(C) = Ωl n(Cs) та розглянемо рiзницю Zn+pk − Zn = Ωn+p+pk n+pk (As + BsZs)− Ωn+p n (As + BsZs) = = Ωp 0(As+pk+n + Bs+pk+nZs+pk+n)− Ωp 0(As+n + Bs+nZs+n) = = Ωp 0(As+pk+n + Bs+pk+nZs+pk+n) + Ωp 0(As+n + Bs+pk+nZs+pk+n)− − Ωp 0(As+n + Bs+pk+nZs+pk+n)− Ωp 0(As+n + Bs+nZs+pk+n)+ + Ωp 0(As+n + Bs+nZs+pk+n)− Ωp 0(As+n + Bs+nZs+n). Але для обмежених на Z матриць ‖P‖0 ≤ M, ‖Q‖0 ≤ M ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 42 Л. М. КЛОПОТЮК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. О. МIСЯЦЬ згiдно з ∥∥SZ1 n − SZ2 n ∥∥ ≤ ∞∑ N=0 β\|p + 1\|(α + βm + 1)N−1(p + 1)N−1 (N − 1)! ∥∥Z1 − Z2 ∥∥ 0 ≤ ≤ β\|p + 1\|e\|p+1\|(α+βm+1) ∥∥Z1 − Z2 ∥∥ 0 справджується ‖Ωp 0Pn+p − Ωp 0Qn+p‖ ≤ \|p + 1\| ( 1 + M(p + 1) + M2(p + 1)2 2! + M3(p + 1)3 3! + . . . ) ‖Z1 − Z‖0 = = \|p + 1\|eM \|p+1\|‖Z1 − Z‖0, n ∈ Z. Отже, ‖Zn+pk − Zn‖0 = ‖[Ωp 0 (As+pk+n + Bs+pk+nZs+pk+n − E) − − Ωp 0 (As+n + Bs+pk+nZs+pk+n − E)]+ + [Ωp 0 (As+n + Bs+pk+nZs+pk+n − E)− Ωp 0 (As+n + Bs+nZs+pk+n − E)]+ + [Ωp 0 (As+n + Bs+nZs+pk+n − E)− Ωp 0 (As+n + Bs+nZs+n − E)] ‖ ≤ ≤ \|p + 1\|e\|p+1\|(α+βm+1) ‖An+pk −An‖0 + + \|p + 1\|e\|p+1\|(α+βm+1)m ‖Bn+pk −Bn‖0 + β\|p + 1\|e\|p+1\|(α+βm+1)‖Zn+pk − Zn‖0 ≤ ≤ \|p + 1\|e\|p+1\|(α+βm+1) (‖An+pk −An‖0 + + m ‖Bn+pk −Bn‖0 + β ‖Zn+pk − Zn‖0 ) . Оскiльки β\|p + 1\|e\|p+1\|(α+βm+1) < 1, то ‖Zn+pk − Zn‖0 ≤ \|p + 1\|e\|p+1\|(α+βm+1) 1− \|p + 1\|βe\|p+1\|(α+βm+1) (‖An+pk −An‖0 + m‖Bn+pk −Bn‖0) , або lim k→∞ ‖Zn+pk − Zn‖0 = 0. Ця рiвнiсть доводить, що lim k→∞ ‖Cn+pk − Cn‖0 = 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 ПРО ГЛОБАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ 43 Розглянемо рiзницю zn+pk − zn для розв’язку рiвняння zn = p−1∑ s=0 Ωn+p s+n+1(C)fs+n + p−1∑ s=0 Ωn+p s+n+1(C)Bs+nzs+n. З припущень леми 3 випливає ‖zn+pk − zn‖ ≤ p−1∑ s=0 ∥∥∥Ωn+pk+p s+n+pk+1(C)− Ωn+p s+n+1(C) ∥∥∥ ‖fs+n+pk ‖+ + p−1∑ s=0 ∥∥∥Ωn+p s+n+1(C) ∥∥∥ ‖fs+n+pk − fs+n‖+ + p−1∑ s=0 ∥∥∥Ωn+pk+p s+n+pk+1(C)− Ωn+p s+n+1(C) ∥∥∥ ‖Bs+n+pk ‖ ‖zs+n+pk ‖+ + p−1∑ s=0 ∥∥∥Ωn+p s+n+1(C) ∥∥∥ ‖Bs+n‖ ‖zs+n+pk − zs+n‖ ≤ ≤ p−1∑ s=0 ∥∥∥Ωn+pk+p s+n+pk+1(C)− Ωn+p s+n+1(C) ∥∥∥+ \|p\|e\|p\|(α+βm+1) ‖fs+n+pk − fs+n‖0 + + p−1∑ s=0 ∥∥∥Ωn+pk+p s+n+pk+1(C)− Ωn+p s+n+1(C) ∥∥∥βM+ + \|p\|e\|p\|(α+βm+1)M ‖Bs+n+pk −Bs+n‖+ \|p\|e\|p\|(α+βm+1) ‖zs+n+pk − zs+n‖0 . Виконаємо замiну i ∈ [s + n + pk + 1;n + pk + p], j = i− (n + pk) ⇒ i = j + (n + pk), i = s + n + pk + 1 ⇒ j = s + 1, i = n + pk + p ⇒ j = p, ⇒ j ∈ [s + 1; p]. Отже, Ωn+pk+p s+n+pk+1(Ci) = Ωp s+1(Cj+n+pk ). Аналогiчно Ωn+p s+n+1(Ci) = Ωp s+1(Cj+n). У подальших мiркуваннях скористаємося наступними властивостями: ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 44 Л. М. КЛОПОТЮК, В. В. МОГИЛЬОВА, О. О. МIСЯЦЬ 1) для довiльних матриць P, Q ‖Ωp s+1(P )− Ωp s+1(Q)‖ ≤ \|p− s\| ( 1 + M \|p− s\|+ 1 2 (M \|p− s\|)2 + . . . ) ‖P −Q‖ = = \|p− s\|eM \|p−s\|‖P −Q‖; 2) ‖Ωp s+1(Cj + pk + n)‖ ≤ e\|p−s\|(α+βm+1). Остаточно для довiльного n ∈ Z отримаємо ‖zn+p − zn‖ ≤ ∥∥∥∥∥ p−1∑ s=0 Ωp s+1(Cj+pk+n)fs+pk+n − p−1∑ s=0 Ωp s+1(Cj+n)fs+n ∥∥∥∥∥+ + ∥∥∥∥∥ p−1∑ s=0 Ωp s+1(Cj+pk+n)Bs+pk+nzs+pk+n − p−1∑ s=0 Ωp s+1(Cj+n)Bs+nzs+n ∥∥∥∥∥ ≤ ≤ \|p\|e\|p\|(α+βm+1)‖fk − f‖0 + \|p\|2eM \|p\|‖Ck − C‖0+ + \|p\|βe\|p\|(α+βm+1)‖zk − z‖0+ + \|p\|Me\|p\|(α+βm+1)‖Bk −B‖0 + \|p\|eM \|p\|‖Ck − C‖0. Тому можемо перейти до супремуму в лiвiй частинi нерiвностi: ‖zk − z‖0 ≤ \|p\|e\|p\|(α+βm+1)‖fk − f‖0 + \|p\|2eM \|p\|‖Ck − C‖0+ + \|p\|βe\|p\|(α+βm+1)‖zk − z‖0 + \|p\|Me\|p\|(α+βm+1)‖Bk −B‖0+ + \|p\|MeM \|p\|‖Ck − C‖0. Звiдси ‖zk − z‖0 ≤ ( \|p\|e\|p\|(α+βm+1)‖fk − f‖0 − f‖0 + \|p\|2eM \|p\|‖Ck − C‖0 + + \|p\|Me\|p\|(α+βm+1)‖Bk −B‖0 + \|p\|eM \|p\|‖Ck − C‖0 ) . З останньої нерiвностi з урахуванням того, що lim k→∞ ‖Ck − C‖0 = 0 та lim k→∞ (‖Ak −A‖0 + ‖Bk −B‖0 + ‖fk − f‖0) = 0, отримуємо lim k→∞ ‖zk − z‖0 = 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 ПРО ГЛОБАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ 45 Отже, lim k→∞ ‖gk − g‖0 = 0, що й доводить лему. З доведеної леми та означення майже перiодичної функцiї випливає справедливiсть теореми 2 для майже перiодичних функцiй A, B, f . 6. Висновок. У данiй роботi розроблено алгоритм побудови двостороннiх розв’язкiв рiзницевих рiвнянь з аргументом, який вiдхиляється, що зводить дану задачу до задачi побудови таких розв’язкiв для звичайних рiзницевих рiвнянь, i наведено його обґрунту- вання. 1. Самойленко А. М. Об одной задаче исследования глобальных решений линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Укр. мат. журн. — 2003. — 55, № 5. — C. 631 – 640. 2. Мартинюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений / Под ред. Ю. А. Митрополь- ского. — Киев: Наук. думка, 1972. — 246 с. 3. Халанай О., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. — М.: Мир, 1971. — 310 с. 4. Теплiнський Ю. В., Марчук Н. А. Про диференцiйовнiсть у сенсi Фреше iнварiантних торiв зчисленних систем рiзницевих рiвнянь, визначених на нескiнченновимiрних торах // Укр. мат. журн. — 2003. — 55, № 1. — C. 75 – 91. 5. Теплинский Ю. В., Семинишина И. В. О периодических решениях разностных уравнений в бесконеч- номерных пространствах // Нелiнiйнi коливання. — 2000. — 3, № 3. — C. 414 – 429. Одержано 30.12.2004 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1

Про глобальні розв'язки лінійних різницевих рівнянь з відхиленням аргументу

Репозитарії

Схожі ресурси