Об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177393 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 3-8. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177393 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773932021-02-16T01:26:13Z Об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений Бельский, Д.В. 2005 Article Об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 3-8. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177393 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| format |
Article |
| author |
Бельский, Д.В. |
| spellingShingle |
Бельский, Д.В. Об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бельский, Д.В. |
| author_sort |
Бельский, Д.В. |
| title |
Об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений |
| title_short |
Об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений |
| title_full |
Об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений |
| title_sort |
об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177393 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 3-8. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT belʹskijdv obasimptotičeskihsvojstvahnepreryvnodifferenciruemyhrešenijkvazilinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-15T15:30:30Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:30:30Z |
| _version_ |
1837727410049515520 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНО
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Д. В. Бельский
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
We find new properties of C1[τ(1),+∞)-solutions of the quasilinear differential-functional equation
ẋ(t) = ax(t) + bx(τ(t)) + cẋ(τ(t)) + f(x(t), x(τ(t))), lim
t→+∞
τ(t) = +∞,
in a neighbourhood of the singular point t = +∞.
Встановлено новi властивостi C1[τ(1),+∞)-розв’язкiв квазiлiнiйного диференцiально-функцiо-
нального рiвняння
ẋ(t) = ax(t) + bx(τ(t)) + cẋ(τ(t)) + f(x(t), x(τ(t))), lim
t→+∞
τ(t) = +∞,
в околi особливої точки t = +∞.
В данной работе рассматривается квазилинейное дифференциально-функциональное
уравнение
ẋ(t) = ax(t) + bx(τ(t)) + cẋ(τ(t)) + f(x(t), x(τ(t))), (1)
где {a, b, c} ⊂ R; непрерывная функция f : R2 → R такова, что f(0) = 0 и для любых x,
y, x̃, ỹ, max{|x|, |y|, |x̃|, |ỹ|} ≤ σ, выполняется неравенство
|f(x, y)− f(x̃, ỹ)| ≤ δ(σ)|x− x̃|+ η(σ)|y − ỹ|. (2)
Здесь функции δ(σ), η(σ) являются определенными на [0,+∞) и такими, что δ(σ) → 0,
η(σ) → 0 при σ → 0; отклонение τ(t) является дважды непрерывно дифференцируемой
функцией на [0,+∞) и такой, что выполняются соотношения
τ(0) = 0, 0 < inf
t≥0
τ̇(t) ≤ sup
t≥0
τ̇(t) < 1. (3)
Будем исследовать свойства C1[τ(1),+∞)-решений уравнения (1).
Различные частные случаи таких уравнений изучались многими математиками, и в
настоящее время имеется ряд интересных результатов, касающихся изучения свойств их
решений. Так, в [1] достаточно полно исследованы асимптотические свойства решений
уравнения (1) при τ(t) = qt, c = 0, f ≡ 0, в [2] установлены новые свойства реше-
ний этого уравнения при τ(t) = qt, a = 0, c = 0, f ≡ 0, в [3] получены условия су-
ществования аналитических, почти периодических решений уравнения (1) при τ(t) = qt,
c© Д. В. Бельский, 2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 3
4 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
c = 0, f ≡ 0, в [4] построено представление общего решения уравнения (1) при τ(t) = qt,
|c| > 1, f ≡ 0, в [5] получен ряд новых результатов о существовании ограниченных и фи-
нитных решений уравнений с линейно преобразованным аргументом, в [6] определены
мажоранты для решений уравнения (1). Несмотря на обилие результатов, посвященных
исследованию асимптотических свойств решений широких классов дифференциально-
функциональных уравнений и их важные приложения (см. [7, 8] и приведенную в них
библиографию), многие вопросы теории дифференциально-функциональных уравнений
вида (1) изучены недостаточно. Особенно это касается исследования свойств решений
уравнения (1) в окрестности особой точки t = +∞. Поэтому главной целью данной рабо-
ты является установление новых свойств непрерывно дифференцируемых на [τ(1),+∞)
решений уравнения (1) при достаточно общих предположениях относительно коэффи-
циентов a, b, c и функции f .
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Предположим, что выполняются условия:
1) a < 0;
2) C +
B
|a|
< 1, где B
df= sup
t≥1
∣∣∣∣b + a
c
τ ′(t)
+
cτ ′′(t)
(τ ′(t))2
∣∣∣∣ , C
df= sup
t≥1
∣∣∣∣ c
τ ′(t)
∣∣∣∣ .
Тогда нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Перепишем уравнение (1) в эквивалентной интегральной форме
x(t) =
c
τ ′(t)
x(τ(t)) +
(
x(1)− c
τ ′(1)
x(τ(1))
)
ea(t−1)+
+
t∫
1
ea(t−s)
(
b + a
c
τ ′(s)
+
cτ ′′(s)
(τ ′(s))2
)
x(τ(s))ds+
+
t∫
1
ea(t−s)f(x(s), x(τ(s)))ds
и рассмотрим начальную задачу
x(t) =
c
τ ′(t)
x(τ(t)) +
(
g(1)− c
τ ′(1)
g(τ(1))
)
ea(t−1)+
+
t∫
1
ea(t−s)
(
b + a
c
τ ′(s)
+
cτ ′′(s)
(τ ′(s))2
)
x(τ(s))ds+
+
t∫
1
ea(t−s)f(x(s), x(τ(s)))ds, t > 1, (4)
x(t) = g(t), t ∈ [τ(1), 1],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ РЕШЕНИЙ . . . 5
где g(t) — некоторая функция из класса C[τ(1), 1]. Для решения этой задачи воспользу-
емся методом последовательных приближений, полагая
x0(t) = g(t), t ∈ [τ(1), 1],
x0(t) = g(1)(2− t), 1 < t < 2,
x0(t) = 0, t ≥ 2,
xm(t) =
c
τ ′(t)
xm−1(τ(t)) +
(
g(1)− c
τ ′(1)
g(τ(1))
)
ea(t−1)+
+
t∫
1
ea(t−s)
(
b + a
c
τ ′(s)
+
cτ ′′(s)
(τ ′(s))2
)
xm−1(τ(s))ds+
+
t∫
1
ea(t−s)f (xm−1(s), xm−1(τ(s))) ds, t > 1, (5)
xm(t) = g(t), t ∈ [τ(1), 1],
m ≥ 1.
Из (3) следует, что существует T ≥ 2 такое, что для любого t ≥ T τ(t) ≥ 2. Оценим
|x1(t)− x0(t)| при t ≥ T. В силу (5) имеем
|x1(t)− x0(t)| = |x1(t)| =
∣∣∣∣∣
(
g(1)− c
τ ′(1)
g(τ(1))
)
ea(t−1)+
+ eat
T∫
1
e−as
(
b + a
c
τ ′(s)
+
cτ ′′(s)
(τ ′(s))2
)
x0(τ(s))ds+
+ eat
T∫
1
e−asf (x0(s), x0(τ(s))) ds
∣∣∣∣∣ = K1e
at,
где
K1
df=
∣∣∣∣∣
(
g(1)− c
τ ′(1)
g(τ(1))
)
e−a+
+
T∫
1
e−as
(
b + a
c
τ ′(s)
+
cτ ′′(s)
(τ ′(s))2
)
x0(τ(s))ds+
+
T∫
1
e−asf (x0(s), x0(τ(s))) ds
∣∣∣∣∣.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
6 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Отсюда следует, что существует K такое, что |x1(t) − x0(t)| ≤ Keat, t ≥ τ(1). Отметим,
что параметр K зависит только от величины sup
τ(1)≤t≤1
|g(t)|. Поскольку a < 0 и функция f
имеет свойство (2), при t > 1 находим
|x2(t)− x1(t)| ≤
∣∣∣∣ c
τ ′(t)
∣∣∣∣ |x1(τ(t))− x0(τ(t))|+
+ eat
t∫
1
e−as
∣∣∣∣b + a
c
τ ′(s)
+
cτ ′′(s)
(τ ′(s))2
∣∣∣∣ |x1(τ(s))− x0(τ(s))|ds+
+ eat
t∫
1
e−as (δ(σ)|x1(s)− x0(s)|+ η(σ)|x1(τ(s))− x0(τ(s))|) ds ≤
≤
∣∣∣∣ c
τ ′(t)
∣∣∣∣Keaτ(t) + eat
t∫
1
e−as
∣∣∣∣b + a
c
τ ′(s)
+
cτ ′′(s)
(τ ′(s))2
∣∣∣∣Keaτ(s)ds+
+ eat
t∫
1
e−as
(
δ(σ)Keas + η(σ)Keaτ(s)
)
ds.
Для сокращения записей введем обозначения inf
t≥0
(
1− d
dt
(
τm(t)
)) df= wm, где
τm(t) df= τ(τ(. . . . . . (τ︸ ︷︷ ︸
m
(t)) . . .)).
Учитывая (3), нетрудно показать, что
0 < wm → 1, m → +∞. (6)
Для любого ε существует D(ε) такое, что eatt < D(ε)e(a+ε)t, t ≥ 1. В силу (3) можно
выбрать ε > 0 такое, что 1 +
ε
a
− τ̇(t) > 0 при t > 1 ⇒ (a + ε)t < aτ(t) при t > 1.
Поскольку
t∫
1
e−a(s−τ(s))ds =
t∫
1
de−a(s−τ(s))
−a(1− τ̇(s))
≤
≤ 1
|a|w1
(
e−a(t−τ(t)) − e−a(1−τ(1))
)
≤ e−a(t−τ(t))
|a|w1
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ РЕШЕНИЙ . . . 7
то
|x2(t)− x1(t)| ≤ CKeaτ(t) +
KB
|a|w1
eaτ(t)+
+ δ(σ)KD(ε)e(a+ε)t +
K
aw1
η(σ)eaτ(t) ≤
≤
(
C +
B
|a|w1
+ δ(σ)D(ε) +
η(σ)
aw1
)
Keaτ(t) df= K1Keaτ(t) при t ≥ τ(1).
Аналогично находим
|x3(t)− x2(t)| ≤
∣∣∣∣ c
τ ′(t)
∣∣∣∣ ∣∣x2(τ ′(t))− x1(τ(t))
∣∣+
+ eat
t∫
1
e−as
∣∣∣∣b + a
c
τ ′(s)
+
cτ ′′(s)
(τ ′(s))2
∣∣∣∣ |x2(τ(s))− x1(τ(s))| ds+
+ eat
t∫
1
e−as (δ(σ)|x2(s)− x1(s)|+ η(σ)|x2(τ(s))− x1(τ(s))|) ds ≤
≤
∣∣∣∣ c
τ ′(t)
∣∣∣∣K1Keaτ2(t) + eat
t∫
1
e−as
∣∣∣∣b + a
c
τ ′(s)
+
cτ ′′(s)
(τ ′(s))2
∣∣∣∣K1Keaτ2(s)ds+
+ eat
t∫
1
e−as
(
δ(σ)K1Keaτ(s) + η(σ)K1Keaτ2(s)
)
ds ≤
≤ CK1Keaτ2(t) +
K1KB
|a|w2
eaτ2(t) +
δ(σ)K1K
|a|w1
eaτ(t) +
η(σ)K1K
|a|w2
eaτ2(t) ≤
≤
[
C +
1
|a|w2
(B + η(σ)) +
δ(σ)
|a|w1
]
K1Keaτ2(t) df= K2K1Keaτ2(t), t ≥ τ(1).
Рассуждая методом математической индукции, получаем
|xm+1(t)− xm(t)| ≤ Km . . .K2K1Keaτm(t), t ≥ τ(1), m ≥ 2,
где
Km = C +
1
awm
(B + η(σ)) +
δ(σ)
|a|wm−1
.
Из (6) следует
lim
m→+∞
Km = C +
1
|a|
(B + η(σ) + δ(σ)) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
8 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Поскольку
C +
B
|a|
< 1,
при достаточно малом σ имеем lim
m→+∞
Km < 1, ряд
S(t) df= |x0(t)|+ Keat + K1Keaτ(t) + K2K1Keaτ2(t) + . . . + Km . . .K2K1Keaτm(t) + . . .
сходится равномерно при t ≥ 1 и S(t) ≤ σ при sup
1≤t
|x0(t)| ≤ sup
τ(1)≤t≤1
|g(t)| ≤ σ
2
,
K = K
(
sup
τ(1)≤t≤1
|g(t)|
)
≤ σ
2 (1 + K1 + K2K1 + . . . + Km . . .K2K1 + . . .)
.
Таким образом, для любой константы ε > 0 существует константа 0 < µ = µ(ε) ≤ ε та-
кая, что задача (4) с sup
τ(1)≤t≤1
|g(t)| ≤ µ(ε) имеет непрерывное решение x(t), для которого
выполняются оценка sup
τ(1)≤t
|x(t)| ≤ ε и равенство lim
t→+∞
x(t) = 0. Нетрудно показать, что
других решений эта задача не имеет.
Множество непрерывных решений задачи (4) для различных начальных функций {g ∈
∈ C[τ(1), 1]| sup
τ(1)≤t≤1
|g(t)| ≤ µ(ε)} включает в себя множество решений уравнения (1), ко-
торые удовлетворяют условию sup
τ(1)≤t≤1
|x(t)| ≤ µ(ε).
Теорема доказана.
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math. Soc.
— 1971. — 77. — P. 891 – 937.
2. De Bruijn N. G. The difference-differential equation F ′(x) = eαx+βF (x− 1). I, II // Ned. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A 56 – Indag. Math. — 1953. — 15. — P. 449 – 464.
3. Frederickson P. O. Series solutions for certain functional-differential equations // Lect. Notes. Math. — 1971.
— 243. — P. 249 – 254.
4. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974. — 119 c.
5. Дерфель Г. А. Вероятностный метод исследования одного класса дифференциально-функциональных
уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 10.
6. Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональ-
ных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi
коливання. — 2004. — 7, № 1. — С. 48 – 52.
7. Слюсарчук В. Ю. Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем iз пiслядiєю. — Рiвне: Вид-во УДУВГП,
2003. — 288 c.
8. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes Math. — 1980. — 809. —
267 p.
Получено 27.12.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
|