Системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану
Дослiджується стiйкiсть синхронiзованого стану у системах зв’язаних одновимiрних кусковолiнiйних вiдображень, що за структурою зв’язкiв мiстять центральний елемент, тобто елемент, який взаємодiє з кожним iншим, периферiйним, елементом системи. Розглядаються системи двох типiв: при наявностi та вiдсу...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | English |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177396 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану / I.В. Омельченко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 46-60. — Бібліогр.: 27 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177396 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773962021-02-16T01:26:03Z Системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану Омельченко, I.В. Дослiджується стiйкiсть синхронiзованого стану у системах зв’язаних одновимiрних кусковолiнiйних вiдображень, що за структурою зв’язкiв мiстять центральний елемент, тобто елемент, який взаємодiє з кожним iншим, периферiйним, елементом системи. Розглядаються системи двох типiв: при наявностi та вiдсутностi взаємодiї мiж периферiйними елементами системи. Отримано умови сильної та слабкої стiйкостi синхронiзованого стану у розглянутих системах. We study stability of the synchronized state in the systems of coupled one-dimensional piecewise linear maps which include a central element interacting with every other, peripheral, element of the system. Two types of systems are considered: when the peripheral elements interact with each other and when there is no such an interaction. We find conditions for strong and weak stability of the synchronized state in considered systems. 2005 Article Системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану / I.В. Омельченко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 46-60. — Бібліогр.: 27 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177396 517.9 en Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
English |
| description |
Дослiджується стiйкiсть синхронiзованого стану у системах зв’язаних одновимiрних кусковолiнiйних вiдображень, що за структурою зв’язкiв мiстять центральний елемент, тобто елемент, який взаємодiє з кожним iншим, периферiйним, елементом системи. Розглядаються системи двох типiв: при наявностi та вiдсутностi взаємодiї мiж периферiйними елементами системи. Отримано умови сильної та слабкої стiйкостi синхронiзованого стану у розглянутих системах. |
| format |
Article |
| author |
Омельченко, I.В. |
| spellingShingle |
Омельченко, I.В. Системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану Нелінійні коливання |
| author_facet |
Омельченко, I.В. |
| author_sort |
Омельченко, I.В. |
| title |
Системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану |
| title_short |
Системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану |
| title_full |
Системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану |
| title_fullStr |
Системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану |
| title_full_unstemmed |
Системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану |
| title_sort |
системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177396 |
| citation_txt |
Системи зв'язаних кусково-лінійних відображень з центральним елементом: стійкість синхронізованого стану / I.В. Омельченко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 46-60. — Бібліогр.: 27 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT omelʹčenkoiv sistemizvâzanihkuskovolíníjnihvídobraženʹzcentralʹnimelementomstíjkístʹsinhronízovanogostanu |
| first_indexed |
2025-07-15T15:30:42Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:30:42Z |
| _version_ |
1837727422993137664 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
СИСТЕМИ ЗВ’ЯЗАНИХ КУСКОВО-ЛIНIЙНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ
З ЦЕНТРАЛЬНИМ ЕЛЕМЕНТОМ: СТIЙКIСТЬ СИНХРОНIЗОВАНОГО
СТАНУ
I. В. Омельченко
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
We study stability of the synchronized state in the systems of coupled one-dimensional piecewise linear
maps which include a central element interacting with every other, peripheral, element of the system. Two
types of systems are considered: when the peripheral elements interact with each other and when there is no
such an interaction. We find conditions for strong and weak stability of the synchronized state in considered
systems.
Дослiджується стiйкiсть синхронiзованого стану у системах зв’язаних одновимiрних кусково-
лiнiйних вiдображень, що за структурою зв’язкiв мiстять центральний елемент, тобто еле-
мент, який взаємодiє з кожним iншим, периферiйним, елементом системи. Розглядаються сис-
теми двох типiв: при наявностi та вiдсутностi взаємодiї мiж периферiйними елементами сис-
теми. Отримано умови сильної та слабкої стiйкостi синхронiзованого стану у розглянутих
системах.
1. Вступ. Багато математичних моделей, що виникають у технiцi [1], бiологiї [2, 3], меди-
цинi [4] та соцiальних науках [5], описуються як системи зв’язаних нелiнiйних осциляторiв
або вiдображень. Залежно вiд типу та кiлькостi елементiв у системi, сили зв’язку мiж ни-
ми, початкових умов динамiка таких систем може бути як перiодичною, так i хаотичною.
При цьому важливим проявом колективної поведiнки елементiв є стани повної або час-
ткової синхронiзацiї, коли всi елементи системи або певна їх частина з часом ведуть себе
однаково. Зрозумiло, що встановлення умов реалiзацiї цих станiв та дослiдження їх стiй-
костi має важливе значення для практичних застосувань.
Вiдомо [6], що стан повної синхронiзацiї може досягатись лише у системi, що скла-
дається з iдентичних елементiв. Якщо ж взаємодiючi вiдображення або осцилятори не
однотипнi, то у системах можливе виникнення станiв часткової [7] або фазової [8] синхро-
нiзацiї. Ряд практичних застосувань приводить до оберненої задачi: встановлення умов
десинхронiзацiї у системах взаємодiючих однотипних елементiв [9].
Синхронiзацiйнi властивостi взаємодiючих осциляторiв або вiдображень залежать не
лише вiд типу елементiв системи, а й вiд топологiчної структури зв’язкiв у нiй. Тому в
останнi роки iнтенсивно дослiджується вплив структури зв’язкiв у системi на iснування
та стiйкiсть синхронiзованих станiв у нiй [10]. Виникнення моделей типу „свiт тiсний”
(small-world) [11] призвело до ще бiльшого пiдвищення уваги до цього питання. У сис-
темах типу „свiт тiсний” поєднуються регулярнi зв’язки (наприклад, глобальнi зв’язки у
групi, або зв’язки лише мiж сусiднiми елементами) та певним чином вибранi зв’язки мiж
рiзними групами або вiддаленими елементами системи, внаслiдок чого досягнення ста-
нiв синхронiзацiї у системi стає значно ефективнiшим. Крiм цього, зазначенi структури є
дуже близькими до будови багатьох бiологiчних та соцiальних систем [5].
c© I. В. Омельченко, 2005
46 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
СИСТЕМИ ЗВ’ЯЗАНИХ КУСКОВО–ЛIНIЙНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ . . . 47
У данiй роботi запропоновано два типи структур зв’язкiв у системах взаємодiючих вiд-
ображень, що мiстять центральний елемент, тобто елемент, що безпосередньо взаємодiє
з кожним з решти елементiв системи, якi назвемо периферiйними. Метою роботи є дос-
лiдження стiйкостi повнiстю синхронiзованого стану у цих системах, а саме визначення
умов для рiзних типiв стiйкостi та нестiйкостi.
Нагадаємо спочатку основнi означення. Нехай систему рiзницевих рiвнянь
ut+1 = F (ut), ut = (ut
1, . . . , u
t
M ), t = 0, 1, 2, . . . , (1)
задано за допомогою M -вимiрного вiдображення F : RM → RM .
Говорять, що у цiй системi має мiсце стан повної синхронiзацiї, якщо
ut
i = ut
j
для всiх i, j ∈ Z+
M = {1, 2, . . . ,M} i для всiх t ∈ Z+.
При повнiй синхронiзацiї поведiнка розв’язку системи (1) з часом реалiзується на дiа-
гоналi M -вимiрного фазового простору
DM = {u ∈ RM |ui = uj ∀i, j ∈ Z+
M}.
Нехай AD ⊂ DM — деяка пiдмножина з цiєї дiагоналi, iнварiантна вiдносно вiдобра-
ження F , тобто F (AD) ⊆ AD.
Означення 1. Множину AD називають сильно (асимптотично) стiйкою, якщо для
будь-якого її околу U(AD) ⊂ RM iснує iнший окiл V (AD) ⊂ RM , такий що для всiх
u ∈ V (AD) виконується:
1) Fn(u) ∈ U(AD) для всiх n ∈ N;
2) ρ(Fn(u), AD) → 0 для n → ∞, де ρ(·, ·) — вiдстань мiж точкою та множиною
в RM .
Областю притягування множини AD називається множина
B(AD) = {u ∈ RM |ω(u, F ) ⊂ AD},
де через ω(u, F ) =
⋂
n∈N
{F k(u) : k > n} позначено ω-граничну множину траєкторiї вi-
дображення F з початковою умовою u ∈ RM .
Множиною прообразiв AD називається множина Pre(AD) =
{
u ∈ RM | ∃ n ∈ N :
Fn(u) ∈ AD
}
. Очевидно, що Pre(AD) ⊆ B(AD).
Означення 2. Множина AD називається сильно (асимптотично) нестiйкою, якщо
B(AD) = Pre (AD), тобто множина AD притягує лише свої прообрази.
Означення 3. Множина AD називається слабко стiйкою (стiйкою за Мiлнором [12]),
якщо її область притягування B(AD) має додатну мiру Лебега в RM .
Множина AD називається слабко нестiйкою (нестiйкою за Мiлнором) у протилеж-
ному випадку, тобто якщо mes B(AD) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
48 I. В. ОМЕЛЬЧЕНКО
2. Система вiдображень, що взаємодiють через зв’язок iз центральним елементом.
Розглянемо (N + 1)-вимiрну систему зв’язаних вiдображень вигляду
xt+1
i = (1− ε)f(xt
i) + εf(zt), i = 1, . . . , N,
(2)
zt+1 = (1− ε)f(zt) +
ε
N
N∑
j=1
f(xt
j),
де (x1, . . . , xN , z) ∈ RN+1, а t = 0, 1, . . . — дискретний час.
Система (2) складається з групи N iдентичних невзаємодiючих елементiв xi та цен-
трального елемента z, що взаємодiє з кожним з елементiв xi з однаковою силою зв’язку.
Сила цього зв’язку задається параметром ε.
Виберемо одновимiрне вiдображення f : R → R у виглядi
f(x) = fl,p(x) =
lx + 1− l − l
p
, x ≤ 1 +
1
p
,
px− p, x > 1 +
1
p
,
(3)
де p < −1, 0 < l <
p
p + 1
. Такi кусково-лiнiйнi вiдображення мають широке застосування
у технiцi, теорiї електронних приладiв та iнженерiї. Вiдомо [13, 14], що в залежностi вiд
значень параметрiв l та p поведiнка траєкторiй вiдображення (3) може бути перiодичною
або хаотичною. При цьому слiд зазначити, що в бiльшостi випадкiв динамiка кусково-
лiнiйних вiдображень суттєво вiдрiзняється вiд динамiки гладких вiдображень [15].
Для подальшого розгляду корисними будуть наступнi двi леми, доведенi у роботi [16],
з використанням результатiв з [17].
Лема 1. Для одновимiрного вiдображення fl,p, де p < −1 i 0 < l <
p
p + 1
, максимально
можливий перiод циклу дорiвнює
k = k(l, p) =
[
2− ln (l + p(l − 1))
ln l
]
, (4)
де [ · ] — цiла частина дiйсного числа.
Лема 2. Для одновимiрного вiдображення fl,p, де p < −1 i 0 < l <
p
p + 1
, найбiльш
нестiйким серед усiх iснуючих циклiв (тобто циклом iз найбiльшим мультиплiкато-
ром) є:
цикл максимального перiоду k, якщо l > |p|;
нерухома точка вiдображення fl,p, якщо l < |p|.
Вiдповiдно, найбiльш стiйким серед усiх iснуючих циклiв (тобто циклом iз найменшим
мультиплiкатором) є:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
СИСТЕМИ ЗВ’ЯЗАНИХ КУСКОВО–ЛIНIЙНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ . . . 49
нерухома точка вiдображення fl,p, якщо l > |p|;
цикл максимального перiоду k, якщо l < |p|.
Якщо у системi (2) має мiсце стан повної синхронiзацiї, то всi змiннi xi, i = 1, . . . , N,
та z з часом характеризуються однаковою поведiнкою, тобто
xt
1 = . . . = xt
N = zt, t → ∞.
Отже, у станi повної синхронiзацiї динамiка системи (2) звужується на дiагональ DN+1 =
= {u ∈ RN+1|u1 = . . . = uN+1} розглядуваного (N + 1)-вимiрного фазового простору i
визначається одновимiрним вiдображенням fl,p(x).
Нехай AD ⊂ DN+1 — довiльна пiдмножина дiагоналi фазового простору, iнварiантна
пiд дiєю вiдображення, визначеного системою (2). Оскiльки на цiй множинi реалiзується
динамiка системи у синхронiзованому станi, будемо називати AD синхронiзуючою мно-
жиною.
Стiйкiсть синхронiзуючої множини очевидним чином залежить вiд значень трьох па-
раметрiв: параметрiв l i p, якi є кутовими коефiцiєнтами лiнiйних частин одновимiрного
вiдображення f = fl,p, та параметра зв’язку ε. Нижче, у даному пунктi, отримано спiввiд-
ношення мiж цими параметрами, якi гарантують рiзнi типи стiйкостi (нестiйкостi) син-
хронiзуючої множини AD.
Нехай x := x1 = ... = xN = z, тодi для довiльної кiлькостi N периферiйних елементiв
у системi (2) її якобiан має три рiзних власних значення:
ν‖ = f ′(x), ν⊥,1 = (1− 2ε)f ′(x), ν⊥,2 = (1− ε)f ′(x), (5)
причому власне значення ν⊥,2 має кратнiсть N − 1. Власнi значення ν⊥,1 та ν⊥,2 є транс-
версальними, тому що вiдповiднi їм власнi вектори є ортогональними до синхронiзую-
чого многовиду DN+1. Зауважимо, що трансверсальнi власнi вектори, якi вiдповiдають
власним значенням ν⊥,1 та ν⊥,2, не залежать вiд координат точок на дiагоналi, тому не-
обхiдною i достатньою умовою сильної стiйкостi синхронiзуючої множини на дiагоналi
DN+1 є стiйкiсть всiх траєкторiй, якi належать цiй множинi, в трансверсальних до дiаго-
налi напрямках.
Як показано в роботах [18, 19], синхронiзуюча множина втрачає сильну стiйкiсть че-
рез бiфуркацiю розрiдження, коли найбiльш нестiйкий перiодичний цикл одновимiрного
вiдображення втрачає стiйкiсть у трансверсальному напрямку. Перехiд до сильної нестiй-
костi вiдбувається при втратi трансверсальної стiйкостi найбiльш стiйкого перiодичного
циклу одновимiрного вiдображення [20].
З огляду на лему 2 зручно окремо розглянути два випадки для спiввiдношення па-
раметрiв одновимiрного вiдображення fl,p. При цьому слiд зазначити, що з урахуванням
нерiвностi 0 < l <
p
p + 1
ситуацiя l > |p| є можливою лише при −2 < p < −1.
Теорема 1. Нехай iндивiдуальне одновимiрне вiдображення у системi (2) має фор-
му fl,p, де −2 < p < −1 i |p| < l <
p
p + 1
. Тодi:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
50 I. В. ОМЕЛЬЧЕНКО
1) якщо lk−1|p| < 3k, то синхронiзуюча множина AD є сильно стiйкою при
ε ∈
(
1−
(
1
lk−1|p|
)1/k
,
1
2
+
1
2
(
1
lk−1|p|
)1/k
)
;
2) якщо lk−1|p| > 3k, то синхронiзуюча множина AD не може бути сильно стiйкою
при жодному значеннi параметра ε;
3) синхронiзуюча множина AD є сильно нестiйкою при
ε ∈
(
−∞,
1
2
− 1
2|p|
)⋃(
1 +
1
|p|
,+∞
)
.
Доведення. Оскiльки l > |p|, то найбiльш нестiйким циклом одновимiрного вiдобра-
ження fl,p є цикл Bk = {β1, . . . , βk} максимально можливого перiоду k (див. леми 1 i 2).
Даний цикл, що реалiзується на дiагоналi DN+1, є стiйким у всiх трансверсальних до дiа-
гоналi напрямках, якщо всi його трансверсальнi мультиплiкатори ν⊥,i(Bk) = ν⊥,i(β1) . . .
. . . ν⊥,i(βk), i = 1, 2, за модулем меншi за одиницю. З цих умов отримуємо, що стан повної
синхронiзацiї у системi (2) є сильно стiйким, якщо виконуються нерiвностi
|lk−1p(1− ε)k| < 1, |lk−1p(1− 2ε)k| < 1.
Цi нерiвностi визначають непорожню множину
ε ∈
(
1−
(
1
lk−1|p|
)1/k
,
1
2
+
1
2
(
1
lk−1|p|
)1/k
)
,
тiльки якщо параметри l та p одновимiрного вiдображення задовольняють нерiвнiсть
1−
(
1
lk−1|p|
)1/k
<
1
2
+
1
2
(
1
lk−1|p|
)1/k
,
тобто lk−1|p| < 3k.
Якщо ж lk−1|p| > 3k, то для будь-якого значення параметра зв’язку ε принаймнi один
з трансверсальних мультиплiкаторiв за модулем бiльший за одиницю. Отже, в цьому ви-
падку синхронiзуюча множина AD не є сильно стiйкою.
Перехiд до сильної нестiйкостi стану повної синхронiзацiї вiдбувається при втратi
трансверсальної стiйкостi найбiльш стiйкого циклу одновимiрного вiдображення, що ре-
алiзується на дiагоналi DN+1. На пiдставi леми 2 при l > |p| найбiльш стiйким циклом
одновимiрного вiдображення є його нерухома точка. Вона є нестiйкою у трансверсаль-
них напрямках, якщо виконуються нерiвностi
|pk(1− ε)k| > 1, |pk(1− 2ε)k| > 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
СИСТЕМИ ЗВ’ЯЗАНИХ КУСКОВО–ЛIНIЙНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ . . . 51
З останнiх умов отримуємо параметричну область сильної нестiйкостi повнiстю синхро-
нiзованого стану у системi (2):
ε ∈
(
−∞,
1
2
− 1
2|p|
)⋃(
1 +
1
|p|
,+∞
)
.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай iндивiдуальне одновимiрне вiдображення у системi (2) має форму
fl,p, де p < −1 i 0 < l < |p|. Тодi:
1) якщо |p| < 3, то синхронiзуюча множина AD є сильно стiйкою при
ε ∈
(
1− 1
|p|
,
1
2
+
1
2|p|
)
;
2) якщо |p| > 3, то синхронiзуюча множина AD не може бути сильно стiйкою при
жодному значеннi параметра ε;
3) якщо lk−1|p| > 1, то синхронiзуюча множина AD є сильно нестiйкою при
ε ∈
(
−∞,
1
2
− 1
2
(
1
lk−1|p|
)1/k
)⋃(
1 +
(
1
lk−1|p|
)1/k
,+∞
)
;
4) якщо lk−1|p| ≤ 1, то синхронiзуюча множина AD є сильно нестiйкою при
ε ∈
(
−∞, 1−
(
1
lk−1|p|
)1/k
)⋃(
1 +
(
1
lk−1|p|
)1/k
,+∞
)
.
Доведення. Якщо параметри iндивiдуального одновимiрного вiдображення fl,p задо-
вольняють умову l < |p|, то найбiльш нестiйким циклом одновимiрного вiдображення fl,p
є його нерухома точка (див. лему 2). Вона є стiйкою у трансверсальних до дiагоналi DN+1
напрямках, якщо всi її трансверсальнi мультиплiкатори задовольняють умови
|pk(1− ε)k| < 1, |pk(1− 2ε)k| < 1.
Останнi нерiвностi визначають непорожню параметричну множину
ε ∈
(
1− 1
|p|
,
1
2
+
1
2|p|
)
,
тiльки якщо 1− 1
|p|
<
1
2
+
1
2|p|
, тобто |p| < 3.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
52 I. В. ОМЕЛЬЧЕНКО
Якщо |p| > 3, то для будь-якого значення параметра зв’язку ε модуль хоча б одного з
трансверсальних мультиплiкаторiв перевищує одиницю. Отже, синхронiзуюча множина
AD не може бути сильно стiйкою.
На пiдставi лем 1 та 2 маємо, що при l < |p| найбiльш стiйким циклом одновимiрного
вiдображення fl,p є його цикл максимально можливого перiоду k. Цей цикл, що реалi-
зується на дiагоналi DN+1 фазового простору системи, є нестiйким у трансверсальних
напрямках, якщо виконуються нерiвностi
|lk−1p(1− ε)k| > 1, |lk−1p(1− 2ε)k| > 1.
Останнi умови визначають область сильної нестiйкостi синхронiзуючої множини AD. А
саме, якщо lk−1|p| > 1, то синхронiзуюча множина AD є сильно нестiйкою при
ε ∈
(
−∞,
1
2
− 1
2
(
1
lk−1|p|
)1/k
)⋃(
1 +
(
1
lk−1|p|
)1/k
,+∞
)
.
Якщо ж виконується нерiвнiсть lk−1|p| ≤ 1, то синхронiзуюча множина AD є сильно не-
стiйкою при
ε ∈
(
−∞, 1−
(
1
lk−1|p|
)1/k
)⋃(
1 +
(
1
lk−1|p|
)1/k
,+∞
)
.
Теорему 2 доведено.
Зауваження 1. Якщо параметри одновимiрного iндивiдуального вiдображення fl,p у
системi (2) задовольняють умову l = |p|, то для визначення областей сильної стiйкостi та
сильної нестiйкостi синхронiзуючої множини AD можна скористатись як теоремою 1, так
i теоремою 2, якi при l = |p| дають еквiвалентнi результати.
Припустимо, що одновимiрне вiдображення fl,p характеризується хаотичною пове-
дiнкою на iнтервалi [0, 1]. Тодi за теоремою Ласоти та Йорка [21] для вiдображення fl,p
iснує єдина ймовiрнiсна iнварiантна мiра µ = µl,p, що визначає розподiл траєкторiй вiд-
ображення на множинi значень аргументу. Нехай m = µl,p
({
x ∈
[
1 +
1
p
, 1
]})
, тобто
m =
∫ 1
1+ 1
p
ρ(x)dx, де ρ(x) — функцiя щiльностi ймовiрнiсної iнварiантної мiри µl,p.
Теорема 3. Нехай iндивiдуальне одновимiрне вiдображення у системi (2) має форму
fl,p, де p < −1, 0 < l <
p
p + 1
. Тодi:
1) якщо l1−m|p|m < 3, то синхронiзуюча множина AD є слабко стiйкою при
ε ∈
(
1− 1
l1−m|p|m
,
1
2
+
1
2l1−m|p|m
)
та слабко нестiйкою при
ε ∈
(
−∞, 1− 1
l1−m|p|m
)⋃(
1
2
+
1
2l1−m|p|m
, +∞
)
;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
СИСТЕМИ ЗВ’ЯЗАНИХ КУСКОВО–ЛIНIЙНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ . . . 53
2) якщо l1−m|p|m > 3, то синхронiзуюча множина AD є слабко нестiйкою для всiх
значень параметра зв’язку ε.
Доведення. Нехай у системi (2) має мiсце стан повної синхронiзацiї. Динамiка системи
при цьому звужується на дiагональ DN+1 фазового простору системи i керується однови-
мiрним iндивiдуальним вiдображенням fl,p. Визначимо трансверсальнi показники Ляпу-
нова [22, 23]
λ⊥,j = lim
K→∞
1
K
K∑
i=1
ln |ν⊥,j(xi)|, j = 1, 2, (6)
де ν⊥,j — трансверсальнi власнi значення (див. формулу (5). Перехiд вiд слабкої стiйкостi
синхронiзуючої множини до слабкої нестiйкостi вiдбувається, коли показник Ляпунова
вiдображення, що визначає динамiку системи, стає позитивним.
Нехай {fn
l,p(x)}n=0,1,... — траєкторiя одновимiрного кусково-лiнiйного вiдображення
fl,p. Припустимо, що мiра µ розподiлу точок траєкторiї на промiжку [0, 1] нам вiдома.
Оскiльки m є мiрою iнтервалу
[
1 +
1
p
, 1
]
, то мiра iнтервалу
[
0, 1 +
1
p
]
дорiвнює 1 − m.
Згiдно з теоремою Бiркгофа – Хiнчина [24] границi (6) iснують для майже всiх початко-
вих умов, за винятком множини мiри нуль, i визначаються таким чином:
λ⊥,1 =
1∫
0
ln |f ′l,p(x)(1− ε)|dµ(x) = ln |(l(1− ε))1−m(p(1− ε))m|,
λ⊥,2 =
1∫
0
ln |f ′l,p(x)(1− 2ε)|dµ(x) = ln |(l(1− 2ε))1−m(p(1− 2ε))m|.
Синхронiзуюча множина є слабко стiйкою, якщо виконуються умови λ⊥,1 < 0, λ⊥,2 <
< 0. Двi останнi нерiвностi визначають непорожню параметричну множину
ε ∈
(
1− 1
l1−m|p|m
,
1
2
+
1
2l1−m|p|m
)
,
тiльки якщо виконується нерiвнiсть 1 − 1
l1−m|p|m
<
1
2
+
1
2l1−m|p|m
, тобто l1−m|p|m < 3.
Областю слабкої нестiйкостi при цьому, вiдповiдно, буде
ε ∈
(
−∞, 1− 1
l1−m|p|m
)⋃(
1
2
+
1
2l1−m|p|m
, +∞
)
.
Якщо l1−m|p|m > 3, то для довiльного значення параметра ε принаймнi один транс-
версальний показник Ляпунова є додатним, отже, синхронiзуюча множина AD є слабко
нестiйкою для всiх значень параметра ε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
54 I. В. ОМЕЛЬЧЕНКО
3. Система вiдображень з центральним елементом та взаємодiєю мiж периферiйними
елементами. Розглянемо тепер систему зв’язаних вiдображень з центральним елементом,
у якiй периферiйнi елементи також взаємодiють. Нехай ця система має вигляд
xt+1
i = (1− ε)f(xt
i) +
ε
N + 1
N∑
j=1
f(xt
j) + f(zt)
,
yt+1
i = (1− ε)f(yt
i) +
ε
N + 1
N∑
j=1
f(yt
j) + f(zt)
, i = 1, . . . , N, (7)
zt+1 = (1− ε)f(zt) +
ε
2N
N∑
j=1
(f(xt
j) + f(yt
j)),
де {xi}N
i=1 та {yi}N
i=1 — двi однаковi групи з N глобально зв’язаних елементiв кожна. Цент-
ральний елемент z взаємодiє з кожним iз 2N периферiйних елементiв. Сила взаємодiї мiж
елементами системи визначається параметром ε. Як i для попередньої системи, iндивiду-
альне одновимiрне вiдображення виберемо у формi (3).
Зауважимо, що структура зв’язкiв системи (7) є модельною при дослiдженнi динамiки
нейронiв головного мозку [25 – 27].
Нехай у системi (7) має мiсце стан повної синхронiзацiї:
x1 = . . . = xN = y1 = . . . = yN = z.
Тодi динамiка (2N + 1)-вимiрної системи (7) звужується на головну дiагональ D2N+1 фа-
зового простору системи.
Позначимо x := x1 = . . . = xN = y1 = . . . = yN = z, тодi якобiан системи (7) має
чотири рiзних власних значення:
ν‖ = f ′(x), ν⊥,1 =
(
1− ε
N + 1
)
f ′(x),
ν⊥,2 =
(
1− (N + 2)ε
N + 1
)
f ′(x), ν⊥,3 = (1− ε) f ′(x),
причому ν⊥,3 має кратнiсть 2N − 2. Власнi значення ν⊥,i, i = 1, 2, 3, є трансверсальними,
оскiльки вiдповiднi їм власнi вектори є ортогональними до синхронiзуючого многовиду
— дiагоналi D2N+1.
Знайдемо параметричнi областi сильної та слабкої стiйкостi (нестiйкостi) синхронiзу-
ючої множини AD ⊂ D2N+1. Як i в попередньому пунктi, виходячи з леми 2, розглянемо
окремо два випадки для спiввiдношення параметрiв одновимiрного вiдображення fl,p.
Теорема 4. Нехай iндивiдуальне одновимiрне вiдображення у системi (7) має форму
fl,p, де −2 < p < −1 i |p| < l <
p
p + 1
. Тодi:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
СИСТЕМИ ЗВ’ЯЗАНИХ КУСКОВО–ЛIНIЙНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ . . . 55
1) якщо lk−1|p| <
(
N + 3
N + 1
)k
, то синхронiзуюча множина AD є сильно стiйкою при
ε ∈
(
(N + 1)
(
1−
(
1
lk−1|p|
)1/k
)
,
N + 1
N + 2
(
1 +
(
1
lk−1|p|
)1/k
))
;
2) якщо lk−1|p| >
(
N + 3
N + 1
)k
, то синхронiзуюча множина AD не може бути сильно
стiйкою при жодному значеннi параметра ε;
3) синхронiзуюча множина AD є сильно нестiйкою при
ε ∈
(
−∞,
N + 1
N + 2
(
1− 1
|p|
))⋃(
(N + 1)
(
1 +
1
|p|
)
,+∞
)
.
Доведення. Якщо параметри одновимiрного iндивiдуального вiдображення задоволь-
няють умову l > |p|, то згiдно з лемами 1 та 2 найбiльш нестiйким циклом одновимiрного
вiдображення є цикл максимально можливого iснуючого перiоду k. Даний цикл однови-
мiрного вiдображення, що реалiзується на дiагоналi D2N+1, є стiйким у трансверсальних
до дiагоналi напрямках, якщо всi його трансверсальнi мультиплiкатори задовольняють
умови
|lk−1p(1− ε)k| < 1,
∣∣∣∣∣lk−1p
(
1− ε
N + 1
)k
∣∣∣∣∣ < 1,
∣∣∣∣∣lk−1p
(
1− (N + 2)ε
N + 1
)k
∣∣∣∣∣ < 1.
Цi нерiвностi визначають непорожню параметричну множину
ε ∈
(
(N + 1)
(
1−
(
1
lk−1|p|
)1/k
)
,
N + 1
N + 2
(
1 +
(
1
lk−1|p|
)1/k
))
,
якщо виконується умова lk−1|p| <
(
N + 3
N + 1
)k
.
Якщо ж lk−1|p| >
(
N + 3
N + 1
)k
, то для довiльного значення ε модуль принаймнi одного
з трансверсальних мультиплiкаторiв бiльший за одиницю, тому при жодному значеннi
параметра ε синхронiзуюча множина AD не може бути сильно стiйкою.
З леми 2 маємо, що при l > |p| найбiльш стiйким циклом одновимiрного вiдобра-
ження fl,p є його нерухома точка. Вона є трансверсально нестiйкою, якщо всi її трансвер-
сальнi мультиплiкатори за модулем бiльшi за одиницю. З таких умов отримуємо парамет-
ричну область сильної нестiйкостi синхронiзуючої множини AD:
ε ∈
(
−∞,
N + 1
N + 2
(
1− 1
|p|
))⋃(
(N + 1)
(
1 +
1
|p|
)
,+∞
)
.
Теорему 4 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
56 I. В. ОМЕЛЬЧЕНКО
Наслiдок 1. Нехай параметри l та p одновимiрного вiдображення fl,p зафiксовано
так, що −2 < p < −1, |p| < l <
p
p + 1
. Тодi iснує критичне значення розмiрностi
системи (7):
N1
cr =
3− (lk−1|p|)1/k
(lk−1|p|)1/k − 1
.
А саме, якщо у системi (7) N < N1
cr, то iснує непорожня параметрична область сильної
стiйкостi стану повної синхронiзацiї. Якщо ж N > N1
cr, то стан повної синхронiзацiї у
системi (7) не може бути сильно стiйким.
Теорема 5. Нехай iндивiдуальне одновимiрне вiдображення у системi (7) має форму
fl,p, де p < −1 i l < |p|. Тодi:
1) якщо |p| <
N + 3
N + 1
, то синхронiзуюча множина AD є сильно стiйкою при
ε ∈
(
(N + 1)
(
1− 1
|p|
)
,
N + 1
N + 2
(
1 +
1
|p|
))
;
2) якщо |p| >
N + 3
N + 1
, то синхронiзуюча множина AD не може бути сильно стiйкою
при жодному значеннi параметра ε;
3) якщо lk−1|p| > 1, то синхронiзуюча множина AD є сильно нестiйкою при
ε ∈
(
−∞,
N + 1
N + 2
(
1−
(
1
lk−1|p|
)1/k
))⋃(
(N + 1)
(
1 +
(
1
lk−1|p|
)1/k
)
, +∞
)
;
4) якщо lk−1|p| ≤ 1, то синхронiзуюча множина AD є сильно нестiйкою при
ε ∈
(
−∞, (N + 1)
(
1−
(
1
lk−1|p|
)1/k
))⋃(
(N + 1)
(
1 +
(
1
lk−1|p|
)1/k
)
, +∞
)
.
Доведення проведемо аналогiчно доведенню теореми 2. З умови, що всi трансверсаль-
нi мультиплiкатори найбiльш нестiйкого циклу одновимiрного вiдображення за модулем
меншi за одиницю, отримуємо область сильної стiйкостi синхронiзуючої множини AD:
ε ∈
(
(N + 1)
(
1− 1
|p|
)
,
N + 1
N + 2
(
1 +
1
|p|
))
.
Отримана область є непорожньою, лише якщо |p| <
N + 3
N + 1
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
СИСТЕМИ ЗВ’ЯЗАНИХ КУСКОВО–ЛIНIЙНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ . . . 57
Якщо ж |p| >
N + 3
N + 1
, то для довiльного значення параметра ε принаймнi один з транс-
версальних мультиплiкаторiв за модулем бiльший за одиницю, i тому для жодного значен-
ня ε синхронiзуюча множина не може бути сильно стiйкою.
Область сильної нестiйкостi синхронiзуючої множини AD при l < |p| визначається,
як i в попереднiх випадках. Якщо lk−1|p| > 1, то синхронiзуюча множина AD є сильно
нестiйкою при
ε ∈
(
−∞,
N + 1
N + 2
(
1−
(
1
lk−1|p|
)1/k
))⋃(
(N + 1)
(
1 +
(
1
lk−1|p|
)1/k
)
, +∞
)
.
Якщо ж lk−1|p| ≤ 1, то областю сильної нестiйкостi є
ε ∈
(
−∞, (N + 1)
(
1−
(
1
lk−1|p|
)1/k
))⋃(
(N + 1)
(
1 +
(
1
lk−1|p|
)1/k
)
, +∞
)
.
Теорему 5 доведено.
Наслiдок 2. Нехай параметри l та p одновимiрного вiдображення fl,p зафiксовано
так, що p < −1, l < |p|. Тодi iснує критичне значення розмiрностi системи (7):
N2
cr =
3− |p|
|p| − 1
.
А саме, якщо у системi (7) N < N2
cr, то iснує непорожня параметрична область сильної
стiйкостi стану повної синхронiзацiї. Якщо ж N > N2
cr, то стан повної синхронiзацiї у
системi (7) не може бути сильно стiйким.
Зауваження 2. Якщо параметри одновимiрного iндивiдуального вiдображення fl,p у
системi (7) задовольняють умову l = |p|, то для визначення областей сильної стiйкостi та
сильної нестiйкостi синхронiзуючої множини AD можна скористатись як теоремою 4, так
i теоремою 5, якi при l = |p| дають еквiвалентнi результати.
Теорема 6. Нехай iндивiдуальне одновимiрне вiдображення у системi (7) має форму
fl,p, де p < −1, 0 < l <
p
p + 1
. Тодi:
1) якщо l1−m|p|m <
N + 3
N + 1
, то синхронiзуюча множина AD є слабко стiйкою при
ε ∈
(
(N + 1)
(
1− 1
l1−m|p|m
)
,
N + 1
N + 2
(
1 +
1
l1−m|p|m
))
,
та слабко нестiйкою при
ε ∈
(
−∞, (N + 1)
(
1− 1
l1−m|p|m
))⋃(
N + 1
N + 2
(
1 +
1
l1−m|p|m
)
, +∞
)
,
де m — мiра iнтервалу
[
1 +
1
p
, 1
]
, визначена у попередньому пунктi;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
58 I. В. ОМЕЛЬЧЕНКО
2) якщо l1−m|p|m >
N + 3
N + 1
, то синхронiзуюча множина AD є слабко нестiйкою для
всiх значень параметра зв’язку ε.
Доведення є аналогiчним доведенню теореми 3 з урахуванням того, що в даному ви-
падку маємо три рiзних трансверсальних показники Ляпунова:
λ⊥,1 = ln
∣∣∣∣∣
(
l
(
1− ε
N + 1
))1−m(
p
(
1− ε
N + 1
))m
∣∣∣∣∣ ,
λ⊥,2 = ln
∣∣∣∣∣
(
l
(
1− N + 2
N + 1
ε
))1−m(
p
(
1− N + 2
N + 1
ε
))m
∣∣∣∣∣ ,
λ⊥,3 = ln |(l(1− ε))1−m(p(1− ε))m|.
З умови, що всi трансверсальнi показники Ляпунова вiд’ємнi, отримуємо параметричну
область слабкої стiйкостi синхронiзуючої множини AD:
ε ∈
(
(N + 1)
(
1− 1
l1−m|p|m
)
,
N + 1
N + 2
(
1 +
1
l1−m|p|m
))
.
Отримана область буде непорожньою, якщо виконується умова l1−m|p|m <
N + 3
N + 1
.
Параметричною областю слабкої нестiйкостi у цьому випадку, вiдповiдно, буде
ε ∈
(
−∞, (N + 1)
(
1− 1
l1−m|p|m
))⋃(
N + 1
N + 2
(
1 +
1
l1−m|p|m
)
, +∞
)
.
Якщо виконується умова l1−m|p|m >
N + 3
N + 1
, то для будь-якого значення параметра ε
принаймнi один iз трансверсальних показникiв Ляпунова буде додатним, тобто синхронi-
зуюча множина AD є слабко нестiйкою при всiх значеннях параметра ε.
Теорему 6 доведено.
Наслiдок 3. Нехай параметри l та p одновимiрного вiдображення fl,p зафiксовано
так, що p < −1, 0 < l <
p
p + 1
, i m — мiра iнтервалу
[
1 +
1
p
, 1
]
. Тодi iснує критичне
значення розмiрностi системи (7):
N3
cr =
3− l1−m|p|m
l1−m|p|m − 1
.
А саме, якщо у системi (7) N < N3
cr, то iснує непорожня параметрична область слабкої
стiйкостi стану повної синхронiзацiї. Якщо ж N > N3
cr, то стан повної синхронiзацiї у
системi (7) слабко нестiйкий для довiльного значення параметра зв’язку ε.
Вiдзначимо основну вiдмiннiсть мiж результатами, отриманими для систем (2) та (7).
Вона полягає в тому, що межi областей стiйкостi та нестiйкостi повнiстю синхронiзова-
ного стану у випадку системи (2) залежать лише вiд значень параметрiв l та p iндивiду-
ального одновимiрного вiдображення fl,p, а у випадку системи (7) є також залежнiсть вiд
розмiрностi системи.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
СИСТЕМИ ЗВ’ЯЗАНИХ КУСКОВО–ЛIНIЙНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ . . . 59
Наведемо деякi приклади. Припустимо, що у системi (7) для параметрiв одновимiрно-
го вiдображення fl,p вибрано значення: p = −1, 1, l = 2. Тодi сильно стiйкий повнiстю
синхронiзований стан у системi є можливим, лише якщо кiлькiсть вiдображень у кожнiй
глобально зв’язанiй групi N < 3. Якщо параметри одновимiрного вiдображення такi:
p = −1, 2, l = 1, 5, то реалiзацiя сильно стiйкого повнiстю синхронiзованого стану є мож-
ливою для N < 4. У випадку l < |p|, якщо значення параметра p прямує до −1, сильно
стiйкий синхронiзований стан у системi (7) може бути реалiзований для довiльно великих
розмiрностей системи.
4. Висновки. У данiй роботi запропоновано два нових структурних типи систем вза-
ємодiючих вiдображень, яким властива наявнiсть так званого центрального елемента,
що взаємодiє безпосередньо з усiма iншими елементами у системi. Показано, що запро-
понована структура зв’язкiв дозволяє iснування стану повної синхронiзацiї. Дослiджено
стiйкiсть такого стану. У системi (2) межi областей стiйкостi не залежать вiд кiлькостi
периферiйних елементiв, тобто встановлення у системi стiйкого синхронiзованого стану
можливе для як завгодно великої кiлькостi однотипних елементiв, якi взаємодiють лише
через зв’язки з центральним елементом.
У системi (7) областi стiйкостi повнiстю синхронiзованого стану залежать вiд числа
вiдображень i звужуються при збiльшеннi розмiру системи. Залежно вiд значень парамет-
рiв iндивiдуального одновимiрного вiдображення iснують критичнi значення розмiрностi
системи, при перевищеннi яких стiйкий синхронiзований стан не може бути реалiзований
у системi. Таким чином, бiльша кiлькiсть зв’язкiв у системi (7), порiвняно з системою (2),
не приводить до збiльшення розмiру областей стiйкостi синхронiзованого стану.
Завдяки тому, що iндивiдуальне вiдображення вибрано у формi кусково-лiнiйного (3),
межi областей стiйкостi у просторi параметрiв знайдено аналiтично. У загальному випад-
ку для гладких одновимiрних вiдображень межi областей стiйкостi можна знайти лише
шляхом використання числових методiв.
1. Wiesenfeld K., Colet P., and Strogatz S. H. Synchronization transition in a disordered Josephson series array
// Phys. Rev. Lett. — 1999. — 76. — P. 404 – 407.
2. Kaneko K. Relevance of dynamic clustering to biological networks // Physica D. — 1994. — 75. — P. 55 – 73.
3. Winfree A. T. Biological rythms and the behavior of population of coupled oscillators// J. Theor. Biol. – 1967.
— 16. — P. 15 – 42.
4. Tass P. A. Effective desynchronization with a stimulation technique based on soft phase resetting // Europhys.
Lett. — 2002. — 57, № 2. — P. 164 – 170.
5. Strogatz S. H. Exploring complex networks // Nature. — 2001. — 410. — P. 268 – 276.
6. Fujisaka H., Yamada T. Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator system // Prog. Theor.
Phys. — 1983. — 69. — P. 32 – 46.
7. Kaneko K. Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in a network of chaotic elements
// Physica D. — 1990. — 41. — P. 137 – 172.
8. Osipov G. V., Pikovsky A. S., and Kurths J. Phase synchronization of chaotic rotators // Phys. Rev. Lett. —
2002. — 88. — P. 1 – 4.
9. Popovych O., Maistrenko Yu., and Mosekilde E. Loss of coherence in a system of globally coupled maps //
Phys. Rev. E. — 2001. — 64. — P. 1 – 11.
10. Belykh V. N., Belykh I. V., and Hasler M. Connection grapf stability method for synchronized coupled chaotic
systems // Physica D. — 2004. — 195. — P. 159 – 187.
11. Watts D. J., Strogatz S. H. Collective dynamics of ”small-world” networks // Nature. — 1998. – 393. — P. 440 –
442.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
60 I. В. ОМЕЛЬЧЕНКО
12. Milnor J. On the concept of attractor // Communs Math. Phys. — 1985. — 99. — P. 177 – 195.
13. Maistrenko Yu. L., Maistrenko V. L., and Popovych S. I. On ”unimodal-bimodal” bifurcation in a family of
piecewise linear maps // Nonlinear Oscillations. — 1998. — 2, № 1. — P. 29 – 38.
14. Maistrenko Yu. L., Maistrenko V. L., and Vikul S. I. On period-adding sequences of attracting cycles in pi-
ecewise linear maps // Chaos. — 1998. — 9. — P. 67 – 75.
15. Maistrenko Yu. L., Maistrenko V. L., and Vikul S. I. Bifurcations of attracting cycles of piecewise linear interval
maps // J. Techn. Phys. — 1996. — 37. — P. 367 – 370.
16. Matskiv I. V. Stability of synchronized and clustered states in coupled piecewise linear maps // Nonlinear
Oscillations. — 2004. — 7, № 2. — P. 217 – 228.
17. Майстренко В. Л., Майстренко Ю. Л., Сушко И. М. Аттракторы кусочно-линейных отображений
прямой и плоскости. — Киев, 1992. — 52 с. — (Препринт / НАН Украины. Ин-т математики).
18. Ott E., Sommerer J. C. Blowout bifurcations: the occurence of riddled basins and on-off intermittency // Phys.
Lett. A. — 1994. — 188. — P. 39 – 47.
19. Maistrenko Yu. L., Maistrenko V. L., Popovich A., and Mosekilde E. Transverse instability and riddled basins
on a system of two coupled logistic maps // Phys. Rev. E. — 1998. — 57. — P. 2713 – 2724.
20. Hunt D. R., Ott E. Optimal periodic orbits of chaotic systems // Phys. Rev. Lett. — 1996. — 76. — P. 2254 –
2257.
21. Lasota A., Yorke J. On the existence of invariant measure for piecewise monotonic transformations // Trans.
Amer. Math. Soc. — 1973. — 182. — P. 481 – 488.
22. Oseledec V. I. A multiplicative ergodic theorem. Lyapunov characteristic numbers for dynamical systems //
Trans. Moscow Math. Soc. — 1968. — 19. — P. 197 – 221.
23. Wolf A. Quantifying chaos with Lyapunov exponents // Chaos / Ed. A.V. Holden. — Manchester: Manchester
Univ. Press, 1986. — P. 273 – 290.
24. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. — М.: Наука, 1980. — 384 с.
25. Kazanovich Y. B., Borisyuk R. M. Object selection by an oscillatory neural network // BioSystems. — 2002.
— 67. — P. 103 – 111.
26. Kazanovich Y. B., Borisyuk R. M. Dynamics of neural networks with a central element // Neural Networks.
— 1999. — 12. — P. 441 – 454.
27. Borisyuk R. M., Kazanovich Y. B. Oscillatory neural network model of attention focus formation and control
// BioSystems. — 2003. — 71. — P. 29 – 38.
Одержано 01.02.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
|