Розв'язність еліптичних задач в областях з конічною точкою
Доведено розв’язнiсть задачi Дiрiхле для квазiлiнiйного елiптичного нерозбiжного рiвняння другого порядку в обмеженiй областi з канонiчною точкою.
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177879 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Розв'язність еліптичних задач в областях з конічною точкою / О.В. Коваленко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 216-223. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177879 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1778792021-02-18T01:28:47Z Розв'язність еліптичних задач в областях з конічною точкою Коваленко, О.В. Доведено розв’язнiсть задачi Дiрiхле для квазiлiнiйного елiптичного нерозбiжного рiвняння другого порядку в обмеженiй областi з канонiчною точкою. Solvability of the Dirichlet problem for the quasilinear elliptic nondivergent equation of the second order in the bounded domain with the conical point is proved. 2005 Article Розв'язність еліптичних задач в областях з конічною точкою / О.В. Коваленко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 216-223. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177879 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Доведено розв’язнiсть задачi Дiрiхле для квазiлiнiйного елiптичного нерозбiжного рiвняння другого порядку в обмеженiй областi з канонiчною точкою. |
| format |
Article |
| author |
Коваленко, О.В. |
| spellingShingle |
Коваленко, О.В. Розв'язність еліптичних задач в областях з конічною точкою Нелінійні коливання |
| author_facet |
Коваленко, О.В. |
| author_sort |
Коваленко, О.В. |
| title |
Розв'язність еліптичних задач в областях з конічною точкою |
| title_short |
Розв'язність еліптичних задач в областях з конічною точкою |
| title_full |
Розв'язність еліптичних задач в областях з конічною точкою |
| title_fullStr |
Розв'язність еліптичних задач в областях з конічною точкою |
| title_full_unstemmed |
Розв'язність еліптичних задач в областях з конічною точкою |
| title_sort |
розв'язність еліптичних задач в областях з конічною точкою |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177879 |
| citation_txt |
Розв'язність еліптичних задач в областях з конічною точкою / О.В. Коваленко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 216-223. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kovalenkoov rozvâznístʹelíptičnihzadačvoblastâhzkoníčnoûtočkoû |
| first_indexed |
2025-07-15T16:06:40Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:06:40Z |
| _version_ |
1837729685343043584 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЕЛIПТИЧНИХ ЗАДАЧ
В ОБЛАСТЯХ З КОНIЧНОЮ ТОЧКОЮ
О. В. Коваленко
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
e-mail: kov@univ.kiev.ua
Solvability of the Dirichlet problem for the quasilinear elliptic nondivergent equation of the second order
in the bounded domain with the conical point is proved.
Доведено розв’язнiсть задачi Дiрiхле для квазiлiнiйного елiптичного нерозбiжного рiвняння дру-
гого порядку в обмеженiй областi з канонiчною точкою.
1. Вступ. У данiй роботi дослiджується питання iснування розв’язкiв задачi Дiрiхле для
квазiлiнiйних елiптичних недивергентних рiвнянь другого порядку в областi, межа якої
мiстить конiчну точку, причому розглядається випадок, коли коефiцiєнти при старших
похiдних не залежать вiд градiєнта невiдомої функцiї. Розв’язнiсть задачi дослiджується
у вагових соболєвських просторах функцiй, що мають достатню кiлькiсть похiдних, при
умовi, що коефiцiєнти рiвняння є достатньо гладкими.
У роботi [1] отримано розв’язнiсть такої задачi у випадку залежностi коефiцiєнтiв при
старших похiдних вiд похiдних невiдомої функцiї, але при додатковому припущеннi на
область, а саме: iснує таке додатне число d, що
G ∩Bd(0) ⊂ {xn > 0}.
У данiй роботi задача розглядається для бiльш широкого класу областей, i ця умова може
не виконуватися.
2. Позначення та основнi поняття. Нехай G ⊂ Rn, n > 2, — обмежена область iз
межею ∂G, яка гладка скрiзь, крiм початку координат O ∈ ∂G. Крiм того, нехай в околi
O межа ∂G збiгається з поверхнею конуса G0 з вершиною в точцi O.
Введемо такi позначення: Gb
a = G ∩ {x : a < |x| < b}, λ = λ(G) — найменше додатне
власне число задачi
4ωϕ + λ(λ + n− 2)ϕ = 0, ω ∈ Ω ⊂ Sn−1,
ϕ(ω) = 0, ω ∈ ∂Ω,
де 4ω — оператор Лапласа – Бельтрамi на одиничнiй сферi, а Ω — область, що вирiза-
ється конусом на одиничнiй сферi, з гладкою межею ∂Ω.
Будемо використовувати такi функцiональнi простори: V k
p,β(G) — ваговий соболєв-
ський простiр iз нормою ‖u‖ =
(∫
G
∑
|α|≤k
rp(β
2
−k+|α|) |Dαu|p dx
) 1
p
, W k(G) — простiр k разiв
c© О. В. Коваленко, 2005
216 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЕЛIПТИЧНИХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ З КОНIЧНОЮ ТОЧКОЮ 217
слабко диференцiйовних функцiй в G, Lp,k(G) — ваговий простiр iз нормою
‖u‖ =
∫
G
|x|k|u|pdx
1
p
,
Ct
k(G) — ваговий функцiональний простiр iз нормою
‖u‖ = max
x∈G
∑
|α|6t
rk−t+|α| |Dαu| .
Через W 2
q (G\O) позначимо множину функцiй, для яких скiнченними є iнтеграли
∫
{|x|>ε}
T
G
∑
|α|62
|Dαu|q
dx < ∞ ∀ ε > 0.
3. Апрiорнi оцiнки розв’язкiв лiнiйних задач. Розглянемо задачу Дiрiхле для лiнiйного
елiптичного рiвняння
n∑
i,j=1
aij(x)
∂2u(x)
∂xi∂xj
+
n∑
i=1
ai(x)
∂u(x)
∂xi
+ a(x)u(x) = f(x), x ∈ G, u
∣∣∣
∂G
= 0. (1)
Припустимо, що коефiцiєнти рiвняння задовольняють наступнi умови:
а) умову рiвномiрної елiптичностi з деякими константами ν, µ > 0:
νξ2 6 aij(x)ξiξj 6 µξ2 ∀x ∈ G, ∀ξ ∈ Rn;
б) коефiцiєнти aij , ai, a належать W t
q (G), t > 1, де q > n при t = 1 i q > n при t > 2.
Лема 1. Нехай u ∈ W t+2(G)
⋂
W 2
q (G\O)
⋂
L
q, qδ
2
(G) — розв’язок задачi (1) i виконано
припущення а), б); крiм того, f ∈ V t
q,2t+4+δ(G). Тодi виконується нерiвнiсть
‖u‖V t+2
q,2t+4+δ(G) 6 C
(
‖f‖V t
q,2t+4+δ(G) + ‖u‖L
q,
qδ
2
(G)
)
.
Доведення. Розглянемо двi множини: G4ρ
ρ i G3ρ
2ρ, ρ > 0, i виконаємо перетворення ко-
ординат x = ρx′. Тодi функцiя v(x′) = u(ρx′) задовольняє в G4
1 рiвняння
aij(ρx′)
∂2v
∂x′i∂x′j
+ ρai(ρx′)
∂v
∂x′i
+ ρ2a(ρx′)v = ρ2f(ρx′).
Iз теорiї елiптичних задач у гладких областях [2] випливає
‖v‖q
W t+2
q (G3
2)
6 C1
(
‖ρ2f(ρx′)‖q
W t
q (G4
1)
+ ‖v‖q
L2(G4
1)
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
218 О. В. КОВАЛЕНКО
Повернувшись до координат x, отримаємо
∫
G3ρ
2ρ
∑
|β|6t+2
ρq|β|
∣∣∣Dβu
∣∣∣q dx 6 C1
∫
G4ρ
ρ
∑
|β|6t
ρq(2+|β|)
∣∣∣Dβf
∣∣∣q dx +
∫
G4ρ
ρ
|u|qdx
.
Домножимо обидвi частини рiвняння на ρ−q(t+2)+q(t+2+ δ
2
) i врахуємо, що на G4ρ
ρ ρ ∼ |x|.
Тодi ∫
G3ρ
2ρ
∑
|β|≤t+2
rq( 2t+4+δ
2
−(t+2)+|β|)
∣∣∣Dβu
∣∣∣q dx ≤
≤ C2
∫
G4ρ
ρ
∑
|β|≤t
rq( 2t+4+δ
2
−t+|β|)
∣∣∣Dβf
∣∣∣q dx +
∫
G4ρ
ρ
r
qδ
2 |u|qdx
. (2)
Тепер пiдсумуємо нерiвностi (2) при ρ =
3
2
,
3ε
4
, . . . ,
3N−1ε
2N−1
. Отримаємо
∫
Gε
∑
|β|≤t+2
rq( 2t+4+δ
2
−(t+2)+|β|)
∣∣∣Dβu
∣∣∣q dx ≤
≤ C3
∫
G ε
2
∑
|β|6t
rq( 2t+4+δ
2
−t+|β|)
∣∣∣Dβf
∣∣∣q dx +
∫
G ε
2
r
qδ
2 |u|qdx
≤
≤ C3
(
‖f‖q
V t
q, 2t+4+δ(G)
+ ‖u‖q
L
q,
qδ
2
(G)
)
.
Скориставшись теоремою Фату i перейшовши до границi при ε → 0, отримаємо тверджен-
ня леми.
Таким же чином можна довести аналогiчне твердження для рiвняння з неперервними
коефiцiєнтами.
Лема 2. Нехай u ∈ W 2(G)
⋂
W 2
q (G\O)
⋂
L
q, qδ
2
(G), q ≥ 1, — розв’язок задачi (1) i вико-
нується припущення а); коефiцiєнти рiвняння aij(x), ai(x), a(x) є неперервними функцiя-
ми в G. Крiм того, f належить простору V 0
q,4+δ(G). Тодi u ∈ V 2
q,4+δ(G) i виконується
нерiвнiсть
‖u‖V 2
q,4+δ(G) ≤ C
(
‖f‖V 0
q,4+δ(G) + ‖u‖L
q,
qδ
2
(G)
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЕЛIПТИЧНИХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ З КОНIЧНОЮ ТОЧКОЮ 219
4. Апрiорнi оцiнки розв’язку квазiлiнiйної задачi. Будемо дослiджувати задачу Дiрiхле
для квазiлiнiйного рiвняння, що має вигляд
aij(x, u(x))
∂2u(x)
∂xi∂xj
+ a(x, u(x), ux(x)) = 0, x ∈ G, (3)
u = 0, x ∈ ∂G. (4)
Пiд розв’язком цiєї задачi будемо розумiти функцiю з простору V k
2,β(G), де k > 2 +
n
2
,
2k − n − 2λ < β < 2k − n, β > −2. Сформулюємо умови на коефiцiєнти, якi будемо
використовувати далi:
а) aij(0, 0) = δij , де δij — символ Кронекера;
б) iснують невiд’ємнi монотонно зростаючi неперервнi за Дiнi в нулi функцiї Aij(t), i,
j = 1, n, якi визначенi при t > 0 i lim
t→0+
Aij(t) = 0 такi, що
|aij(x, ζ)− aij(0, 0)| ≤ Aij(|x|) ∀x ∈ G, ∀ζ ∈ R;
в) iснують додатнi константи ν, µ, що не залежать вiд u, такi, що:
νξ2 ≤ aij(x, u)ξiξj ≤ µξ2 ∀x ∈ G, ∀u ∈ R, ∀ξ ∈ Rn;
г) функцiї aij(x, ζ), a(x, ζ) є неперервно диференцiйовними по всiх своїх аргументах
k−2 разiв, причому iснують додатнi константи C4, C5 такi, що для будь-яких γ, η |γ|+|η| ≤
≤ k − 2, ∣∣∣Dγ
xD
η
ζ aij(x, ζ)
∣∣∣ ≤ C4 rϑ1|η|+ϑ4 , i, j = 1, n, (5)∣∣∣Dγ
xD
η
ζ a(x, ζ)
∣∣∣ ≤ C5 rϑ2|η|+ϑ3 . (6)
Зауваження 1. Позначимо f(x) := −a(x, u(x), ux(x)), aij(x) := aij(x, u(x)). Тодi кожен
розв’язок задачi (3), (4) можна розглядати як розв’язок лiнiйної задачi
aij(x)
∂2u(x)
∂xi∂xj
= f(x), x ∈ G,
u = 0, x ∈ ∂G.
Зауваження 2. За умови, що ϑ3 > −1, функцiя f належить простору Ln(G). Крiм того,
з умови k > 2 +
n
2
випливає, що V k
2,β(G) ⊂ W 2
n,loc(G), а вкладення V k
2,β(G) ⊂ C(G) є
справедливим за умови β < 2k − n. Таким чином, враховуючи зауваження 1, з принципу
максимуму А. Д. Александрова [3, c. 209] випливає, що при виконаннi умови (6) з ϑ3 > −1
вiрною є оцiнка
sup
x∈G
|u(x)| ≤ C6,
де C6 не залежить вiд u.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
220 О. В. КОВАЛЕНКО
Враховуючи зауваження 2, як наслiдок з теореми 3 [4] можна одержати наступне твер-
дження.
Лема 3. Нехай u(x) — розв’язок задачi (3), (4) i виконуються умови a) – в), а умова
г) лише для коефiцiєнта a(x, ζ) з ϑ3 > max{−1, λ − 2}. Крiм того, коефiцiєнти aij є
неперервними на G× R. Тодi iснує d > 0 таке, що виконується оцiнка
|u(x)| ≤ C7|x|λ ∀x ∈ Gd
0,
де C7 не залежить вiд u.
Для доведення леми потрiбно перевiрити умови теореми 3 з [4] i зауважити, що стала
C з цiєї теореми не залежить вiд u, а залежить лише вiд величини sup
G
|u|, яку ми можемо
оцiнити згiдно з зауваженням 2.
Використовуючи зауваження 2, лему 3, а також ваговi оцiнки розв’язкiв лiнiйних за-
дач, можна довести обмеженiсть розв’язку за ваговою нормою.
Теорема 1. Нехай u(x) — розв’язок задачi (3), (4) i виконуються умови a) – г). При
цьому на параметри ϑi, i = 1, 2, 3, 4, накладаються такi обмеження:
1) ϑ1 > −λ− 1 +
[
k
2
]
, −1 < ϑ4 6 0, ϑ1 + ϑ4 > −λ− 3 + k;
2) ϑ2 > −λ − 1 +
[
k + 1
2
]
, ϑ3 > max{−1, λ − 2} (позначення [·] означає цiлу частину
числа);
3) ϑ2 + ϑ3 > −1, ϑ2 + ϑ3 > −λ− β
2
+ k − 2.
Тодi виконується оцiнка
‖u‖V k
2,β
≤ C8,
де C8 не залежить вiд u.
Доведення. Перевiримо виконання умов леми 2. Вкладення V k
2,β(G) ⊂ C(G) i умова
aij ∈ C(G) гарантують неперервнiсть коефiцiєнтiв aij в G. Далi будемо вважати, що q >
> n i є достатньо близьким до n. Iз вкладення соболєвських просторiв W k
2 ⊂ W 2
q випли-
ває, що u ∈ W 2
q (G\O). Аналогiчно, параметр δ будемо вибирати достатньо близьким до
числа −λ− 1 за умови δ > −λ− 1. Тепер за допомогою леми 3, врахувавши зауваження 2
i те, що при такому виборi q, δ виконується q
(
λ +
δ
2
)
+ n > 0, доведемо, що u належить
L
q, qδ
2
(G): ∫
G
r
qδ
2 |u|qdx ≤
∫
Gd
0
r
qδ
2 Cq
7rλqdx +
∫
Gd
r
qδ
2 |u|qdx ≤ C9.
З умови г) i нерiвностi q
(
2 +
δ
2
+ ϑ3
)
+ n > 0 випливає
∫
G
rq 4+δ
2 |a(x, u, ux)|qdx ≤ C10
∫
G
rq(2+ δ
2
+ϑ3)dx ≤ C11, f ∈ V 0
q,4+δ(G).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЕЛIПТИЧНИХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ З КОНIЧНОЮ ТОЧКОЮ 221
Зазначимо, що сталi C10, C11 не залежать вiд u. Таким чином, виконуються всi умови
леми 2, з якої випливає
‖u‖V 2
q,4+δ
(G) ≤ C12, (7)
де C12 не залежить вiд u.
Далi застосуємо метод математичної iндукцiї. Припустимо, що оцiнка
‖u‖V t+1
q,2t+2+δ(G) ≤ C13 (8)
є вiрною при деякому t, 1 ≤ t ≤ k − 3. Оскiльки виконується обмежене вкладення
V t+1
q,2t+2+δ(G) у ваговий простiр Ct
t+1+ δ
2
(
G
)
[5] (лема 3), то iснує стала C14 така, що
∀ α, |α| ≤ t : sup
G
|Dαu| ≤ C14r
−1− δ
2
−|α|. (9)
Доведемо за допомогою леми 1 оцiнку
‖u‖V t+2
q,2t+4+δ(G) ≤ C15. (10)
Покажемо, що aij ∈ W t
q (G). Зважаючи на формулу диференцiювання складеної функцiї
i (5), маємо ∫
G
∑
|α|≤t
|Dαaij |qdx ≤ const
∑ ∫
G
rϑ4q
∣∣∣rϑ1Dm1u
∣∣∣q . . .
∣∣∣rϑ1Dmt̂u
∣∣∣q dx.
У кожному доданку цiєї суми може бути не бiльше одного множника з похiдною вiд u по-
рядку вищого за
[
t
2
]
. Спочатку оцiнимо множники з похiдними до порядку
[
t
2
]
включно
за нерiвнiстю (9). Оскiльки
δ
2
≤ ϑ1 − 1−
[
k − 3
2
]
, то виконується нерiвнiсть
∣∣rϑ1Dmiu
∣∣ ≤
≤ const. Потiм доданки, якi мiстять множник iз похiдною вищого порядку, оцiнимо за не-
рiвнiстю (8), використавши обмеження 1 на параметри ϑ1, ϑ4. Таким чином, aij ∈ W t
q (G),
причому aij обмеженi за нормою сталою, яка не залежить вiд u.
Доведемо тепер, що f ∈ V t
q,2t+4+δ(G). Iз формули диференцiювання складеної функцiї
i (6) маємо
‖f‖q
V t
q,2t+4+δ(G)
=
∫
G
∑
|α|≤t
rq(2+ δ
2
+|α|)|Dαa(x, u, ux)|qdx ≤
≤ const
∑ ∫
G
rq(2+ δ
2
+|α|)rϑ3q
∣∣∣rϑ2Dm1u
∣∣∣q . . .
∣∣∣rϑ2Dmt̂u
∣∣∣q dx.
Оскiльки a(x, u, ux) залежить також вiд градiєнта, то в кожному доданку цiєї суми може
бути не бiльше одного множника з похiдною вiд u порядку вищого за
[
t + 1
2
]
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
222 О. В. КОВАЛЕНКО
Спочатку оцiнимо множники з похiдними до порядку
[
t + 1
2
]
включно за нерiвнiстю
(9). З умов на параметр ϑ2 випливає, що виконується нерiвнiсть
∣∣rϑ2Dmiu
∣∣ ≤ const. По-
тiм доданки, якi мiстять множник iз похiдною вищого порядку, оцiнимо за нерiвнiстю
(8), врахувавши обмеження 3 на параметри ϑ2, ϑ3 i те, що mi ≤ |α| + 1. Якщо дода-
нок не мiстить похiдних вищих порядкiв, то його можна оцiнити, оскiльки q, δ такi, що
q
(
2 +
δ
2
+ ϑ3
)
+ n > 0.
Таким чином, функцiя f ∈ V t
q,2t+4+δ(G), причому вона обмежена за нормою сталою,
яка не залежить вiд u. Всi умови леми 1 виконано, отже, виконується оцiнка (10). Тодi за
iндукцiєю з оцiнки (7) випливає оцiнка
‖u‖V k−1
q,2k−2+δ(G) ≤ const.
Таким же чином можна довести, що aij ∈ W k−2
2 (G), а f ∈ V k−2
2,β (G). Тодi з [5] (лема 2)
випливає
‖u‖V k
2,β
≤ C8,
де C8 не залежить вiд u.
Зауваження 3. Можна довести оцiнку, аналогiчну встановленiй у теоремi 1, для розв’яз-
кiв з простору V k
p,β, де 2 ≤ p ≤ n. Для цього потрiбно замiсть леми 2 з [5] на останньому
кроцi доведення ще раз використати лему 1.
5. Розв’язнiсть квазiлiнiйних задач в областях iз конiчною точкою. Позначимо через
X пiдпростiр простору V k
2,β(G), де k > 2 + n, 2k − n − 2λ < β < 2k − n, β > −2, який
складається з функцiй, що дорiвнюють нулю на межi областi. Введемо функцiю
Ft(x, u, ux, uxx) = taij(x, u)uxixj + ta(x, ux, uxx) + (1− t)4u, t ∈ [0; 1].
Iз теореми 1 випливає iснування додатної сталої K ′′ такої, що для t ∈ [0; 1] i u ∈
∈ V k
2,β(G) з
Ft(x, u, ux, uxx) = 0, x ∈ G, u(x) = 0, x ∈ ∂G,
випливає оцiнка
‖u‖V k
2,β
≤ K ′′.
Застосовуючи принцип максимуму А. Д. Александрова, можна отримати наступне твер-
дження.
Лема 4. Для довiльної функцiї v ∈ X iснує стала K ′, яка може залежати вiд v, така,
що задача
Lt(v)u + K ′u = 0, x ∈ G, u(x) = 0, x ∈ ∂G,
де
Lt(v)u :=
∑
|β|≤2
Ft,β(x, v, vx, vxx)Dβu(x), Ft,β(x, ξ) =
∂Ft(x, ξ)
∂ξβ
,
має лише нульовий розв’язок.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЕЛIПТИЧНИХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ З КОНIЧНОЮ ТОЧКОЮ 223
Сформулюємо тепер теорему про розв’язнiсть задачi (3), (4).
Теорема 2. Нехай функцiї aij(x, ζ), a(x, ζ) є неперервно диференцiйовними по всiх своїх
аргументах k − 1 разiв; виконано умови на коефiцiєнти а) – в), а умови (5), (6) викону-
ються для похiдних, для яких |γ| + |η| ≤ k − 1. При цьому параметри ϑi, i = 1, 2, 3, 4,
є сталими, що залежать вiд λ, k, β, n, зокрема, вони задовольняють умови теореми 1.
Тодi задача (3), (4) має принаймнi один розв’язок у просторi X .
Доведення цiєї теореми є технiчно складним i громiздким, тому наведемо тiльки схему
доведення. Iдея доведення полягає в зведеннi диференцiального рiвняння до операторно-
го. Введемо сiм’ю операторiв At : X → X∗, t ∈ [0; 1], якi визначаються за формулою
〈Atu, ϕ〉 =
(
Ft(x, u, ux, uxx), Lt(u)ϕ + K ′ϕ
)
V k−2
2,β (G)
, ϕ ∈ X,
де (·, ·)V k−2
2,β (G) — скалярний добуток у просторi V k−2
2,β (G):
(u, v)V k−2
2,β (G) =
∫
G
∑
|β|≤k−2
rβ−2(k−2−|α|)DαuDαvdx.
Можна показати, що задача (3), (4) еквiвалентна рiвнянню A1u = 0. При кожному
t ∈ [0; 1] оператор At є обмеженим, неперервним. Крiм того, A1 задовольняє умову α(X)
з [2], тобто для довiльної послiдовностi {um} ⊂ X , що задовольняє умови
um ⇀ u0 ∈ X, limm→∞〈A1um, um − u0〉 6 0,
виконується um → u0.
Для доведення розв’язностi скористаємося теоремою 7.1 [2, c. 79]. В якостi областi D
з теореми 7.1 вiзьмемо кулю радiуса R = K ′′ + 1. Очевидно, що A0(−u) = −A0(u), тодi
Deg(A0, BR, 0) — непарне число [2, c. 65]. Можна також довести, що сiм’я операторiв At
задовольняє умову α
(t)
0 (∂D). Вибiр радiуса R гарантує виконання нерiвностi Atu 6= 0 при
t ∈ [0; 1], u ∈ ∂BR.
Тодi розв’язнiсть задачi (3), (4) є наслiдком теореми 7.1.
6. Висновки. Отже, в данiй роботi отримано апрiорнi оцiнки розв’язкiв лiнiйних та
квазiлiнiйних елiптичних задач. За допомогою цих оцiнок, використовуючи теорiю сту-
пеня вiдображень, отримано розв’язнiсть квазiлiнiйної задачi. Цiкавим є питання узагаль-
нення такого результату на випадок, коли коефiцiєнти при старших похiдних залежать
вiд градiєнта невiдомої функцiї.
1. Джафаров Р. М. Нелинейная задача Дирихле в областях с угловыми и коническими точками: Дис. ...
канд. физ.-мат. наук. — Донецк, 1999. — 148 с.
2. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. — М.: Наука,
1990. — 448 с.
3. Гилбарг Д., Трудингер Н. С. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными
второго порядка. — М.: Наука, 1989. — 464 с.
4. Борсук М. В. Неулучшаемые оценки решений задачи Дирихле для линейных эллиптических недивер-
гентных уравнений второго порядка в окрестности конической точки границы // Мат. сб. — 1991. —
182, № 10. — С. 1446 – 1462.
5. Джафаров Р. М. Априорные оценки решения квазилинейной задачи Дирихле в области с конической
точкой // Допов. НАН України. — 1999. — № 6. — С. 12 – 18.
Одержано 28.03.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
|