Фундаментальні розв'язки задачі Коші для інваріантних Λ(μ)-гіперболічних операторів на ріманових многовидах
Одержано аналiтичне зображення фундаментального розв’язку задачi Кошi для строго гiперболiчних за I. Г. Петровським Λ(µ) -iнварiантних гiперболiчних рiвнянь та систем рiвнянь в евклiдових просторах i на спецiальних рiманових многовидах. В основi лежать запровадженi iнтегральнi перетворення, породже...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177880 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Фундаментальні розв'язки задачі Коші для інваріантних Λ(μ)-гіперболічних операторів на ріманових многовидах / І.М. Конет // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 224-233. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177880 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1778802021-02-18T01:26:23Z Фундаментальні розв'язки задачі Коші для інваріантних Λ(μ)-гіперболічних операторів на ріманових многовидах Конет, І.М. Одержано аналiтичне зображення фундаментального розв’язку задачi Кошi для строго гiперболiчних за I. Г. Петровським Λ(µ) -iнварiантних гiперболiчних рiвнянь та систем рiвнянь в евклiдових просторах i на спецiальних рiманових многовидах. В основi лежать запровадженi iнтегральнi перетворення, породженi iнтегральним зображенням мiри Дiрака. We find an analytic representation of a fundamental solution of the Cauchy problem for I. G. Petrovsky strictly hyperbolic Λ(µ) -invariant hyperbolic equations and systems in Euclidean spaces and on special Riemannian manifolds. This is done on the basis of the introduced integral transformations generated by an integral representation of the Dirac measure. 2005 Article Фундаментальні розв'язки задачі Коші для інваріантних Λ(μ)-гіперболічних операторів на ріманових многовидах / І.М. Конет // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 224-233. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177880 517.944 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Одержано аналiтичне зображення фундаментального розв’язку задачi Кошi для строго гiперболiчних за I. Г. Петровським Λ(µ)
-iнварiантних гiперболiчних рiвнянь та систем рiвнянь в евклiдових просторах i на спецiальних рiманових многовидах. В основi лежать запровадженi iнтегральнi перетворення, породженi iнтегральним зображенням мiри Дiрака. |
| format |
Article |
| author |
Конет, І.М. |
| spellingShingle |
Конет, І.М. Фундаментальні розв'язки задачі Коші для інваріантних Λ(μ)-гіперболічних операторів на ріманових многовидах Нелінійні коливання |
| author_facet |
Конет, І.М. |
| author_sort |
Конет, І.М. |
| title |
Фундаментальні розв'язки задачі Коші для інваріантних Λ(μ)-гіперболічних операторів на ріманових многовидах |
| title_short |
Фундаментальні розв'язки задачі Коші для інваріантних Λ(μ)-гіперболічних операторів на ріманових многовидах |
| title_full |
Фундаментальні розв'язки задачі Коші для інваріантних Λ(μ)-гіперболічних операторів на ріманових многовидах |
| title_fullStr |
Фундаментальні розв'язки задачі Коші для інваріантних Λ(μ)-гіперболічних операторів на ріманових многовидах |
| title_full_unstemmed |
Фундаментальні розв'язки задачі Коші для інваріантних Λ(μ)-гіперболічних операторів на ріманових многовидах |
| title_sort |
фундаментальні розв'язки задачі коші для інваріантних λ(μ)-гіперболічних операторів на ріманових многовидах |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177880 |
| citation_txt |
Фундаментальні розв'язки задачі Коші для інваріантних Λ(μ)-гіперболічних операторів на ріманових многовидах / І.М. Конет // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 224-233. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT konetím fundamentalʹnírozvâzkizadačíkošídlâínvaríantnihlmgíperbolíčnihoperatorívnarímanovihmnogovidah |
| first_indexed |
2025-07-15T16:06:44Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:06:44Z |
| _version_ |
1837729689192366080 |
| fulltext |
УДК 517 . 944
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI
ДЛЯ IНВАРIАНТНИХ Λ(µ)-ГIПЕРБОЛIЧНИХ ОПЕРАТОРIВ
НА РIМАНОВИХ МНОГОВИДАХ
I. М. Конет
Кам’янець-Подiл. ун-т
Україна, 32300, Кам’янець-Подiльський, вул. Огiєнка, 61
e-mail: univer@kp.km.ua
We find an analytic representation of a fundamental solution of the Cauchy problem for I. G. Petrovsky
strictly hyperbolic Λ(µ)-invariant hyperbolic equations and systems in Euclidean spaces and on special
Riemannian manifolds. This is done on the basis of the introduced integral transformations generated by
an integral representation of the Dirac measure.
Одержано аналiтичне зображення фундаментального розв’язку задачi Кошi для строго гiпер-
болiчних за I. Г. Петровським Λ(µ)-iнварiантних гiперболiчних рiвнянь та систем рiвнянь в евк-
лiдових просторах i на спецiальних рiманових многовидах. В основi лежать запровадженi iнтег-
ральнi перетворення, породженi iнтегральним зображенням мiри Дiрака.
1. Iнтегральнi перетворення. В евклiдовому просторi En точок x = (x1, x2, . . . , xn) в [1]
одержано iнтегральне зображення мiри Дiрака, породжене диференцiальним операто-
ром Лапласа ∆n =
n∑
j=1
∂2/∂x2
j :
δ(x− ξ) =
ωn
(2π)n
∞∫
0
j(n−2)/2(λR)λn−1dλ, (1)
де jν(x) = 2νΓ(ν + 1)x−νJν(x)
(
2ν + 1 ≥ 0, jν(0) = 1, j′ν(0) = 0
)
— нормована функ-
цiя Бесселя 1-го роду, R(x, ξ) =
[ n∑
j=1
(xj − ξj)2
]1/2
— вiддаль мiж точками x та ξ, ωn =
= 2(π)n/2
[
Γ(n/2)
]−1
— площа одиничної сфери в En, Jν(x) — функцiя Бесселя 1-го роду,
Γ(x) — гамма-функцiя Ейлера [2].
У монографiї [3] одержано iнтегральне зображення мiри Дiрака, породжене на мно-
жинi (0,∞) узагальненим диференцiальним оператором Лежандра
Λ(µ) =
d2
dr2
+ cth r
d
dr
+
1
4
+
1
2
( µ2
1
1− ch r
+
µ2
2
1 + ch r
)
, µ1 ≥ µ2 ≥ 0,
(µ) = (µ1, µ2) :
δ(y − η) =
∞∫
0
P
(µ)
−1/2+iβ(ch y)P (µ)
−1/2+iβ(ch η)Ω(µ)(β)dβ sh η ≡
∞∫
0
ϕ(µ)(y, η, β)dβ sh η, (2)
c© I. М. Конет, 2005
224 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ IНВАРIАНТНИХ . . . 225
ν± =
1
2
(µ1± µ2), Ω(µ)(β) = 2µ1−µ2(2π2)−1βsh 2πβ
∣∣∣∣Γ(1
2
− ν+ + iβ
)∣∣∣∣2 ∣∣∣∣Γ(1
2
− ν− + iβ
)∣∣∣∣2 ,
P
(µ)
−1/2+iβ(ch y) — узагальнена приєднана функцiя Лежандра 1-го роду [4], як обмежений
на (0,∞) розв’язок узагальненого рiвняння Лежандра(
Λ(µ) + β2
)
v(y) = 0.
Використовуючи тензорний добуток узагальнених функцiй [5], можна записати iнтег-
ральне зображення мiри Дiрака, породжене в евклiдовому просторi E+
n+1 = {(x, y) : x =
= (x1, x2, . . . , xn), xj ∈ (−∞,∞), j = 1, n; y ∈ (0,∞)} диференцiальними операторами
∆n та Λ(µ):
δ(x− ξ)⊗ δ(y − η) ≡ δ(x− ξ, y − η) =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
j(n−2)/2(λR)×
× ϕµ(y, η, β)λn−1dλdβ sh η. (3)
Iнтегральне зображення мiри Дiрака (3) дає можливiсть запровадити пряме Hn,(µ) i
обернене H−1
n,(µ) iнтегральне перетворення типу Бохнера – Лежандра [6]:
Hn,(µ)[f(ξ, η)] =
∞∫
0
∫
En
f(ξ, η)j(n−2)/2(λR)P (µ)
−1/2+iβ(ch η) sh η dξdη ≡ f̃(λ, x, β), (4)
H−1
n,(µ)[f̃(λ, x, β)] =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
f̃(λ, x, β)P (µ)
−1/2+iβ(ch η)Ω(µ)(β)λn−1dλdβ ≡ f(ε, η). (5)
При цьому справджуються тотожностi
Hn,(µ)[∆nf ] = −λ2Hn,(µ)[f ], Hn,(µ)[Λ(µ)[f ]] = −β2f̃ . (6)
Розглянемо тепер рiманiв многовид
+
R
(m)
n+1= R
(m)
2 × E+
n−1, побудований у роботi [7].
Згiдно з результатами [7] визначимо функцiї
R(x, ξ) =
[
r2 + ρ2 − 2rρ cos(ϕ− ϕ0) +
n∑
k=3
(xk − ξk)2
]1/2
,
R1(x, ξ) =
[
r2 + ρ2 + 2rρ chα +
n∑
k=3
(xk − ξk)2
]1/2
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
226 I. М. КОНЕТ
Km(α, ϕ− ϕ0) =
sin π+ϕ−ϕ0
m
ch α
m − cos π+ϕ−ϕ0
m
+
sin π−(ϕ−ϕ0)
m
ch α
m − cos π−(ϕ−ϕ0)
m
,
J(ϕ− ϕ0) =
{
1, |ϕ− ϕ0| < π,
0, |ϕ− ϕ0| > π,
,
Φ(m) = j(n−2)/2(λR)J(ϕ− ϕ0)−
1
2πm
∞∫
0
j(n−2)/2(λR1)Km(α, ϕ− ϕ0)dα ≡
≡ 1
m
j(n−2)/2(λR) +
1
2π
∞∫
0
(
j(n−2)/2(λR)− j(n−2)/2(λR1)
)
Km(α, ϕ− ϕ0)dα
, (7)
Φ(∞) = j(n−2)/2(λR)J(ϕ− ϕ0)−
1
π
∞∫
0
j(n−2)/2(λR1)K(∞)(α, ϕ− ϕ0)dα =
=
1
π
∞∫
0
(
j(n−2)/2(λR)− j(n−2)/2(λR1)
)
K(∞)(α, ϕ− ϕ0)dα, (8)
K(∞) =
π + ϕ− ϕ0
α2 + (π + ϕ− ϕ0)2
+
π − (ϕ− ϕ0)
α2 + [π − (ϕ− ϕ0)]2
.
На основi одержаного в роботi [7] iнтегрального зображення мiри Дiрака в R
(m)
n та iнтег-
рального зображення (2) маємо:
1) iнтегральне зображення мiри Дiрака на рiмановiм многовидi
+
R
(m)
n+1
δ̃(ξ,η) =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
ϕ(µ)(y, η, β)Φ(m)(λ, R, ϕ− ϕ0)λn−1dλdβ; (9)
2) iнтегральне зображення мiри Дiрака на рiмановiм многовидi
+
R
(∞)
n+1
δ̃(ξ,η) ≡ δ̃(x−ξ,y−η)(sh η)−1 =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
ϕ(µ)(y, η, β)Φ(∞)(λ, R, ϕ− ϕ0)λn−1dλdβ. (10)
Iнтегральне зображення (9) мiри Дiрака дозволяє визначити пряме H
(m)
n,(µ) i обернене H
−(m)
n,(µ)
iнтегральне перетворення типу Бохнера – Шестопала на
+
R
(m)
n+1:
H
(m)
n,(µ)[g(ξ, η)] =
∞∫
0
∫
+
R
(m)
n+1
g(ξ, η)P (µ)
−1/2+iβ(ch η)Φ(m)(λ, R, ϕ− ϕ0) sh η dη dξ ≡ g̃(λ, x, β), (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ IНВАРIАНТНИХ . . . 227
H
−(m)
n,(µ) [g̃(λ, x, β)] =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
g̃(λ, x, β)P (µ)
−1/2+iβ(ch y)Ω(µ)(β)λn−1dβdλ ≡ g(x, y). (12)
При m = ∞ формули (11), (12) визначають пряме H
(∞)
n,(µ) i обернене H
−(∞)
n,(µ) iнтегральне
перетворення типу Бохнера – Шестопала на рiмановiм многовидi
+
R
(∞)
n+1 . При цьому для
m ∈ [2,∞] справджуються тотожностi
H
(m)
n,(µ) [∆n[g]] = −λ2g̃, H
(m)
n,(µ)
[
∆(µ)[g]
]
= −β2g̃. (13)
Тотожностi (13) встановлено безпосередньо на основi рiвностей
∆nj(n−2)/2(λR) = −λ2j(n−2)/2(λR),
(14)
Λ(µ)
[
P
(µ)
−1/2+iβ(ch y)
]
= −β2P
(µ)
−1/2+iβ(ch y).
Рiвностi (14) виконуються згiдно з диференцiальними рiвняннями Бесселя та Лежандра.
Запровадженi формулами (4), (5) та (11), (12) iнтегральнi перетворення називаються
iнтегральними перетвореннями з невiдокремленими змiнними.
Застосуємо наявнi iнтегральнi перетворення з невiдокремленими змiнними для побу-
дови фундаментальних розв’язкiв задачi Кошi для строго Λ(µ)-гiперболiчних за I. Г. Пет-
ровським iнварiантних щодо групи обертань O(n) навколо початку координат в En рiв-
нянь та систем рiвнянь.
2. Фундаментальнi розв’язки задачi Кошi для Λ(µ)-гiперболiчних iнварiантних рiв-
нянь. Розглянемо в E+
n+2 ≡ [0, T ]×
+
En+1 диференцiальне рiвняння
L
( ∂
∂t
,∆n,Λ(µ)
)
u ≡
∑̀
k=0
Ak
(
∆n,Λ(µ)
) ∂ku
∂tk
= 0, (15)
де A` = 1, Ak(z1, z2) зображується скрiзь збiжними рядами у просторi C2 комплексних
змiнних (z1, z2).
Означення 1. Диференцiальне рiвняння (15) називається строго Λ(µ)-гiперболiчним
за I. Г. Петровським, якщо коренi характеристичного рiвняння
P`(z,−λ2,−β2) ≡
∑̀
k=0
Ak(−λ2,−β2)zk = 0 (16)
чисто уявнi i симетричнi щодо точки z = 0, тобто zj = ±iγj(−λ2,−β2).
Iз означення випливає, що число ` = 2`1 є парним.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
228 I. М. КОНЕТ
Означення 2. Фундаментальним розв’язком задачi Кошi для рiвняння (15) назвемо
узагальнену функцiю G(t, x, ξ, y, η), яка при t > 0 задовольняє рiвняння (15) у сенсi уза-
гальнених функцiй, а при t = 0 — початковi умови
∂kG
∂tk
∣∣∣∣
t=0
=
{
0, k = 0, `− 2,
δ(ξ,η), k = `− 1.
(17)
Застосуємо до рiвняння (15) i рiвностей (17), замiнивши δ(ξ,η) на достатньо гладку
функцiю g(x, y), iнтегральний оператор Hn,(µ)за правилом (4). Згiдно з тотожностями
(14) одержимо задачу Кошi для звичайного диференцiального рiвняння:
L
(
d
dt
,−λ2,−β2
)
ũ ≡
∑̀
k=0
Ak(−λ2,−β2)
dkũ
dtk
= 0, (18)
dj ũ
dtj
∣∣∣∣
t=0
=
{
0, k = 0, `− 2,
g̃, k = `− 1.
(19)
Розглянемо функцiю
v(t,−λ2,−β2) =
1
2πi
∫
γ
eztdz
P`(z,−λ2,−β2)
, (20)
де γ — контур Жордана, що охоплює всi коренi характеристичного рiвняння (16) у z-
комплекснiй площинi.
Оскiльки
L
( d
dt
,−λ2,−β2
)
v(t,−λ2,−β2) =
∑̀
k=0
Ak(−λ2,−β2)
dkv(t,−λ2,−β2)
dtk
=
=
1
2πi
∫
γ
eztdz ≡ 0, (21)
то функцiя v(t,−λ2,−β2), визначена формулою (20), задовольняє рiвняння (18).
Далi, оскiльки
djv
dtj
∣∣∣∣
t=0
≡ 1
2πi
∫
γ
zjdz
P`(z,−λ2,−β2)
=
{
0, j = 0, `− 2,
1, j = `− 1,
(22)
то функцiя
ũ(t, λ, x, β) = v(t,−λ2,−β2)g̃(λ, x, β)
задовольняє рiвняння (18) i початковi умови (19), тобто є розв’язком задачi Кошi (18),
(19).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ IНВАРIАНТНИХ . . . 229
Застосуємо до функцiї ũ(t, x, λ, β) iнтегральний оператор H−1
n,(µ) за правилом (5). Пiсля
елементарних перетворень, вважаючи їх законними, одержимо функцiю
u(t, x, y) =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
ũ(t, λ, x, β)P (µ)
−1/2+iβ(ch y)Ω(µ)(β)λn−1dλdβ =
=
∞∫
0
∫
En
g(ξ, η)
(
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
v(t,−λ2,−β2)j(n−2)/2 (λR(x, ξ))×
× ϕ(µ)(y, η, β)λn−1dλdβ
)
sh η dξ dη ≡
∞∫
0
∫
En
g(ξ, η)G(t;x, ξ; y, η) sh η dξ dη. (23)
Справедливою є така теорема.
Теорема 1. Фундаментальний розв’язок задачi Кошi (15), (17) визначається форму-
лою
G(t;x, ξ; y, η) =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
v(t,−λ2,−β2)j(n−2)/2(λR)ϕ(µ)(y, η, β)λn−1dλ dβ. (24)
Доведення. Згiдно з тотожностями (14) i умовами на Ak одержуємо
Ak
(
∆n,Λ(µ)
)[
j(n−2)/2(λR)ϕ(µ)(y, η, β)
]
= Ak(−λ2,−β2)j(n−2)/2(λR)ϕ(µ)(y, η, β).
Тодi згiдно з тотожнiстю (21) при t > 0 безпосередньо маємо
L
(
∂
∂t
,∆n,Λ(µ)
)
G =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
(∑̀
k=0
Ak(−λ2,−β2)
dkv
dt2
)
×
× j(n−2)/2(λR)ϕ(µ)(y, η, β)λn−1dλdβ ≡ 0.
Рiвностi (17) виконуються згiдно з рiвностями (22) та iнтегральним зображенням (3)
мiри Дiрака.
За викладеною вище логiчною схемою доведено таке твердження.
Теорема 2. Фундаментальний розв’язок задачi Кошi для рiвняння (15) на рiмановiм
многовидi
+
R
(m)
n+2 визначається формулою
G(m)(t, x, ξ, y, η) =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
v(t,−λ2,−β2)Φ(m)(λ, R, ϕ− ϕ0)×
× ϕ(µ)(y, η, β)λn−1dλdβ. (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
230 I. М. КОНЕТ
Теорема 3. Фундаментальний розв’язок задачi Кошi для рiвняння (15) на рiмановiм
многовидi
+
R
(∞)
n+2 визначається формулою
G(∞)(t, x, ξ, y, η) =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
v(t,−λ2,−β2)Φ(∞)(λ, R, ϕ− ϕ0)×
× ϕ(µ)(y, η, β)λn−1dλdβ. (26)
Приклад. Розглянемо рiвняння коливань з узагальненим оператором Лежандра
∂2u
∂t2
= ∆nu + Λ(µ)[u]. (27)
Для цього рiвняння функцiя
v(t,−λ2,−β2) =
sin
√
λ2 + β2t√
λ2 + β2
.
Згiдно з формулами (24), (25) та (26) маємо:
а) класичний (звичайний) фундаментальний розв’язок задачi Кошi для рiвняння (27)
G(t, x, ξ, y, η) =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
sin
√
λ2 + β2t√
λ2 + β2
j(n−2)/2(λR)ϕ(µ)(y, η, β)λn−1dλdβ; (28)
б) m-розгалужений фундаментальний розв’язок задачi Кошi для рiвняння (27)
G(m)(t, R, y, η) =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
sin
√
λ2 + β2t√
λ2 + β2
Φ(m)(λ, R, ϕ− ϕ0)ϕ(µ)(y, η, β)λn−1dλdβ; (29)
в) нескiнченно розгалужений фундаментальний розв’язок задачi Кошi для рiвняння
(27)
G(∞)(t, R, y, η) =
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
sin
√
λ2 + β2t√
λ2 + β2
Φ(∞)(λ, R, ϕ− ϕ0)ϕ(µ)(y, η, β)λn−1dλdβ. (30)
Зауважимо, що наявнiсть фундаментального розв’язку задачi Кошi дозволяє побу-
дувати розв’язок задачi Кошi для неоднорiдного рiвняння (15) з початковими умовами
(27). При цьому потрiбно диференцiювати розбiжний iнтеграл (24) певну кiлькiсть ра-
зiв. Необхiдну регуляризацiю iнтеграла можна виконати, наприклад, так. Замiсть функцiї
v(t,−λ2,−β2) розглянемо функцiю
V (t,−λ2,−β2) =
∑ (−1)Pr
2πi
∫
γr
eztdz
zPrP`(z,−λ2,−β2)
, (31)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ IНВАРIАНТНИХ . . . 231
де контур γr охоплює лише один корiнь характеристичного рiвняння (16), а пiдсумовуван-
ня проводиться за всiма коренями цього рiвняння. Внаслiдок гiперболiчностi рiвняння
завжди можна вибрати такi цiлi числа Pr, що iнтеграли
ωn
(2π)n
∞∫
0
∞∫
0
V (t,−λ2,−β2)j(n−2)/2(λR)ϕ(µ)(y, η, β)λn−1dλdβ (32)
будуть збiжними.
Iнтегральне зображення (24) фундаментального розв’язку задачi Кошi для рiвняння
(15) набирає вигляду
G(t, R, y, η) =
ωn
(2π)n
DPr
t (−1)Pr
∞∫
0
∞∫
0
1
2πi
∫
γr
eztdz
zPrP`(z2,−λ2,−β2)
j(n−2)/2(λR)×
× ϕ(µ)(y, η, β)λn−1dλdβ.
У противному разi фундаментальний розв’язок G задачi Кошi (15), (17), визначений
формулою (24), слiд розглядати як узагальнену функцiю.
3. Фундаментальнi розв’язки задачi Кошi для Λ(µ)-гiперболiчних iнварiантних систем.
Розглянемо Λ(µ)-гiперболiчну за I. Г. Петровським iнварiантну за змiнною x = (x1, x2, . . .
. . . , xn) щодо групи обертань навколо початку координат простору En систему
A
(
∂
∂t
,Dx,Λ(µ)
)
u ≡
m∑
k=0
A(k)
(
Dx,Λ(µ)
) ∂ku
∂tk
= 0. (33)
Тут Dx =
(
∂
∂x1
,
∂
∂x2
, . . . ,
∂
∂xn
,
)
, u = (u1, u2, . . . , u`), A(k) =
{
A
(k)
ij
}`
i,j=1
, A(m) = E` —
одинична матриця розмiру `× `.
Означення 3. Система (33) називається iнварiантною по x щодо групи O(n), якщо
характеристичний многочлен системи (31) має вигляд
det A(z,−iλ,−β2) ≡
m∑̀
k=0
Φk(−λ2,−β2)zk ≡ Φ(z,−λ2,−β2), (34)
де iλ = (iλ1, iλ2, . . . , iλn), λ2 =
n∑
j=1
λ2
j , Φm` = 1.
Iнварiантна система (33) має властивiсть, яка полягає в тому, що завжди iснує єдина
диференцiальна матриця
Θ =
m(`−1)∑
k=0
Θ(k)(Dx,Λ(µ))
∂k
∂tk
, Θm(`−1) = E`−1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
232 I. М. КОНЕТ
така, що замiна u = Θv зводить систему (33) до дiагональної форми
Au = AΘv = Φ
(
∂
∂t
,∆n,Λ(µ)
)
E`v. (35)
Внаслiдок гiперболiчностi системи коренi характеристичного рiвняння
Φ(z,−λ2,−β2) = 0 (36)
при достатньо великих (λ, β) ∈ E2 справджують оцiнки∣∣∣zk(−λ2,−β2)
∣∣∣ ≥ b(λ2 + β2)µ, b ≥ b0 > 0, µ ≥ µ0 > 0.
Теорема 4. Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi в пiвпросторi [0, T ] ×
×
+
En+1 для системи (33) визначається формулою
G(t, x, ξ, y, η) = ΘG0(t, R, y, η),
де G0(t, R, y, η) — фундаментальний розв’язок задачi Кошi для гiперболiчного рiвняння
Φ
(
∂
∂t
,∆n,Λ(µ)
)
v = 0. (37)
Доведення. Безпосередньо маємо
AG = AΘG0 = Φ
(
∂
∂t
,∆n,Λ(µ)
)
G0E` ≡ 0.
Виконання умов
lim
t→+0
∂kG
∂tk
=
{
0, k = 0,m− 2,
δ(ξ,η), k = m− 1,
випливає iз (35), тотожностей
1
2πi
∫
γr
zkdz
Φ(z,−λ2,−β2)
=
{
0, k = 0,m`− 2,
1, k = m`− 1,
та iнтегрального зображення (3) мiри Дiрака.
Розглянемо випадок рiвномiрного многовиду
+
R
(m)
n+2= [0, T ]×
+
R
(m)
n+1.
Означення 4. m-Розгалуженою фундаментальною матрицею розв’язкiв задачi Кошi
G(m)(t, x, ξ, y, η) з гiперплощиною розгалуження (0, 0)×En називається така фундамен-
тальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для системи (33), яка в
+
R
(m)
n+2 визначена скрiзь,
окрiм гiперплощини розгалуження, i справджує умови:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ФУНДАМЕНТАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ IНВАРIАНТНИХ . . . 233
1) G(m)(t, x, ξ, y, η) має в
+
R
(m)
n+2 одну характеристичну особливiсть у точцi (0, ξ, η),
яка належить
+
E
(1)
n+2;
2) G(m) нескiнченно диференцiйовна в узагальненому розумiннi скрiзь, окрiм точки
(0, ξ, η) i гiперплощини розгалуження;
3)
m∑
k=1
G(m)(t, x, ξk, y, η) = G(t, x, ξ, y, η)
(
∞∑
k=−∞
G(∞)(t, x, ξk, y, η) = G(t, x, ξ, y, η)
)
, де
точка (t, ξ1, η) ≡ (t, ξ, η), точки (t, ξk, η) ∈
+
R
(m)
n+2 знаходяться на тому ж мiсцi, що й точ-
ка (t, ξ, η), але в
+
R
(k)
n+2, а G(t, x, ξ, y, η) — звичайна фундаментальна матриця розв’язкiв
задачi Кошi.
Теорема 5. Якщо G0
(m)(t, R, y, η) — m-розгалужений фундаментальний розв’язок за-
дачi Кошi для рiвняння (37), то m-розгалужена фундаментальна матриця розв’язкiв
задачi Кошi для системи (33) визначається формулою
G(m)(t, x, ξ, y, η) = Θ
(
∂
∂t
,Dx,Λ(µ)
)
G0
(m)(t, R, y, η).
Теорема 6. Якщо G0
(∞)(t, R, y, η) — нескiнченно розгалужений фундаментальний роз-
в’язок задачi Кошi для рiвняння (37), то нескiнченно розгалужена фундаментальна мат-
риця розв’язкiв задачi Кошi для системи (33) визначається формулою
G(∞)(t, x, ξ, y, η) = Θ
(
∂
∂t
,Dx,Λ(µ)
)
G0
(∞)(t, R, y, η).
Доведення проводиться за логiчною схемою роботи [8].
Зауважимо, що без залучення нових iдей одержанi в данiй роботi результати перено-
сяться на оператори вигляду A
(
t, ∂/∂t,Dx,Λ(µ)
)
.
1. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. — М.: Наука, 1965. — 328 c.
2. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1965. — Т. 1. — 296 c.
3. Конет I. М., Ленюк М. П. Iнтегральнi перетворення типу Мелера – Фока. — Чернiвцi: Прут, 2002. —
248 c.
4. Вирченко Н. А., Федотова И. А. Обобщенные функции Лежандра и их применение. — Киев, 1998. —
158 c.
5. Шварц Л. Математические методы для физических наук. — М.: Мир, 1965. — 412 c.
6. Ахиезер Н. И. Лекции об интегральных преобразованиях. — Харьков: Выща шк., 1984. — 120 c.
7. Шестопал А. Ф. Интегральные преобразования с неразделенными переменными. — Киев, 1973. —
46 c. — (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 73.6).
8. Ленюк М. П. Розгалуженi фундаментальнi розв’язки задачi Кошi для iнварiантних параболiчних рiв-
нянь i систем рiвнянь // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр.
— 1995. — Вип. 8. — C. 105 – 114.
Одержано 03.02.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
|