Оценки некоторых функционалов для открытых множеств
Розв’язано новi екстремальнi задачi про неперетиннi областi з вiльними полюсами на променях. Отримано аналогiчнi результати для вiдкритих множин.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177881 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оценки некоторых функционалов для открытых множеств / А.К. Бахтин // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 147-153. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177881 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1778812021-02-18T01:28:48Z Оценки некоторых функционалов для открытых множеств Бахтин, А.К. Розв’язано новi екстремальнi задачi про неперетиннi областi з вiльними полюсами на променях. Отримано аналогiчнi результати для вiдкритих множин. We solve new extremal problems on nonoverlapping regions with free poles on the rays. Similar results are obtained for open sets. 2005 Article Оценки некоторых функционалов для открытых множеств / А.К. Бахтин // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 147-153. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177881 517.54 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розв’язано новi екстремальнi задачi про неперетиннi областi з вiльними полюсами на променях. Отримано аналогiчнi результати для вiдкритих множин. |
| format |
Article |
| author |
Бахтин, А.К. |
| spellingShingle |
Бахтин, А.К. Оценки некоторых функционалов для открытых множеств Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бахтин, А.К. |
| author_sort |
Бахтин, А.К. |
| title |
Оценки некоторых функционалов для открытых множеств |
| title_short |
Оценки некоторых функционалов для открытых множеств |
| title_full |
Оценки некоторых функционалов для открытых множеств |
| title_fullStr |
Оценки некоторых функционалов для открытых множеств |
| title_full_unstemmed |
Оценки некоторых функционалов для открытых множеств |
| title_sort |
оценки некоторых функционалов для открытых множеств |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177881 |
| citation_txt |
Оценки некоторых функционалов для открытых множеств / А.К. Бахтин // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 147-153. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT bahtinak ocenkinekotoryhfunkcionalovdlâotkrytyhmnožestv |
| first_indexed |
2025-07-15T16:06:48Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:06:48Z |
| _version_ |
1837729692933685248 |
| fulltext |
УДК 517. 54
ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
ДЛЯ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ
А. К. Бахтин
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
We solve new extremal problems on nonoverlapping regions with free poles on the rays. Similar results are
obtained for open sets.
Розв’язано новi екстремальнi задачi про неперетиннi областi з вiльними полюсами на променях.
Отримано аналогiчнi результати для вiдкритих множин.
В данной работе решены новые экстремальные задачи о неналегающих областях. Зада-
чи такого типа составляют известное классическое направление в геометрической тео-
рии функций комплексного переменного. Возникновение этого направления связано с
работой М. А. Лаврентьева [1]. В дальнейшем эта тематика получила развитие в работах
многих авторов (см., например, [2 – 14]).
1. Введем необходимые обозначения и определения. Пусть N, R — соответственно
множества натуральных и вещественных чисел, C — комплексная плоскость, а C = C
⋃⋃
{∞} — ее одноточечная компактификация.
Пусть R+ := (0,∞). Систему точек {ak}n
k=1 = {a1, . . . , an} , n ∈ N, n ≥ 2, ak ∈ C,
k = 1, n, будем называть лучевой, если выполнены следующие условия:
|ak| ∈ R+, k = 1, n,
(1)
0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg an < 2π.
Для любой лучевой системы точек {ak}n
k=1 положим
arg ak = θk, αk =
1
π
(θk+1 − θk) , k = 1, n, (2)
θn+1 := θ1 + 2π, αn+1 := α1, an+1 := a1.
Ясно, что
n∑
k=1
αk = 2. (3)
Для каждой лучевой системы {ak}n
k=1 определим функционал
P
(
{ak}n
k=1
)
=
n∏
k=1
χ
(∣∣∣∣ ak
ak+1
∣∣∣∣ 1
2αk
)
|ak|, (4)
c© А. К. Бахтин, 2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2 147
148 А. К. БАХТИН
где величины αk определены соотношениями (1) – (3), а χ(t) =
1
2
(
t +
1
t
)
.
Система произвольных областей {Bk}n
k=1 , Bk ⊂ C, k = 1, n, n ≥ 2, n ∈ N, называется
системой неналегающих областей, если
Bk
⋂
Bp = ∅ ∀k 6= p, k, p = 1, n. (5)
В работе [14] дано определение операции заполнения несущественных граничных
компонент произвольной системы неналегающих облас-
тей. Операция заполнения сопоставляет любой системе неналегающих областей {Bk}n
k=1
систему неналегающих областей
{
B̃k
}n
k=1
таких, что Bk ⊂ B̃k, k = 1, n, причем ка-
ждая область B̃k является конечносвязной областью без изолированных граничных то-
чек. Множество B̃k \ Bk есть объединение всех несущественных граничных компонент
области Bk, k = 1, n.
Пусть r (B, a) обозначает внутренний радиус области B ⊂ C относительно точки a ∈
∈ B [15], a cap e — логарифмическую емкость множества e. Связную компоненту открыто-
го множества B ⊂ C, содержащую точку a, будем обозначать B (a).
2. Имеют место следующие результаты.
Теорема 1. Для любого фиксированного n ∈ N, n ≥ 2, любой лучевой системы точек
{ak}n
k=1 и произвольного открытого множества B ⊂ C такого, что
{ak}n
k=1 ⊂ B и B(ak)
⋂
B(ak+1) = ∅, k = 1, n,
выполняется неравенство
n∏
k=1
r(B, ak) ≤ 2n P
(
{ak}n
k=1
) n∏
k=1
αk. (6)
Равенство в неравенстве (6) реализуется, когда открытое множество B является
объединением системы неналегающих областей {Bk}n
k=1 таких, что
B̃k = Ek :=
{
w ∈ C : (2k − 3)
π
n
< arg w < (2k − 1)
π
n
}
и cap (Ek \Bk) = 0, k = 1, n, а система точек {ak}n
k=1 определена равенствами
ak =
[
P
(
{am}n
m=1
)] 1
n
ei 2π
n
(k−1), k = 1, n. (7)
Доказательство базируется на использовании метода разделяющего преобразования,
развитого в работах [8 – 10].
Пусть
Dk = {w ∈ C : θk < arg w < θk+1} , k = 1, n. (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ДЛЯ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ 149
Функция
Πk(w) = −i
(
e−iθkw
) 1
αk , k = 1, n, (9)
однолистно и конформно отображает область Dk, k = 1, n, на правую полуплоскость.
В соответствии с формулами (2) можем считать Πn+1 := Π1, Π0 := Πn, α0 := αn. Из
соотношений (8) и (9) легко видеть, что
| Πk(w)−Πk(ap) | ∼
1
αk
| ap |
1
αk
−1| w − ap |, w → ap, k = 1, n, p = k, k + 1. (10)
Обозначим
Πk(ak) = ω
(1)
k , Πk(ak+1) = ω
(2)
k , k = 1, n,
(11)
Πn(an+1) = Πn(a1) := ω(2)
n .
Для некоторых точек akν , ν = 1, 2, . . . , q, q <
[n
2
]
, заданной лучевой системы связные
компоненты B(akν ) могут совпадать. В силу условий теоремы 1 имеем соотношение
B(ak+1)
⋂
B(ak) = ∅, k = 1, n. (12)
Поскольку по определению r(B, ak) = r(B(ak), ak) (см. [10, с. 25]), выполняем разделяю-
щее преобразование каждой области B(ak) относительно пары функций {Πk−1(w),Πk(w)}
и системы углов Dk, k = 1, n [7 – 10].
Из теоремы 1.9 [9] (см. также [8, 10]) и соотношений (1) – (3), (8) – (11) получаем нера-
венства
r(B, ak) = r(B(ak), ak) ≤
r
(
G
(2)
k−1, ω
(2)
k−1
)
r
(
G
(1)
k , ω
(1)
k
)
1
αk−1
| ak |
1
αk−1
−1 1
αk
| ak |
1
αk
−1
, k = 1, n, (13)
где пара областей
{
G
(2)
k−1, G
(1)
k
}
есть результат разделяющего преобразования области
B(ak) относительно семейства функций {Πk,Πk+1} , k = 1, n, причем
G
(2)
0 := G(2)
n , ω
(s)
k ∈ G
(s)
k , k = 1, n, s = 1, 2.
Случай реализации знака равенства в неравенстве (13) полностью изучен в работах
[8 – 10].
Используя (13), можно получить следующую оценку:
n∏
k=1
r(B, ak) ≤
n∏
k=1
αk−1αk
r
(
G
(2)
k−1, ω
(2)
k−1
)
r
(
G
(1)
k , ω
(1)
k
)
| ak |
1
αk−1
+ 1
αk
| ak |2
1/2
=
=
n∏
k=1
αk
n∏
k=1
| ak |
| ak |
1
2
�
1
αk−1
+ 1
αk
�
[
n∏
k=1
r
(
G
(1)
k , ω
(1)
k
)
r
(
G
(2)
k , ω
(2)
k
)]1/2
. (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
150 А. К. БАХТИН
Из свойств разделяющего преобразования и условия (12) следует, что области G
(1)
k и G
(2)
k
удовлетворяют условию (5) и поэтому являются парой неналегающих областей для лю-
бого k = 1, n.
Отметим, что из соотношений (9) и (11) следует
ω
(1)
k = Πk(ak) = −i | ak |
1
αk ,
ω
(2)
k = Πk(ak+1) = −i
(
e−iθkπei(θk+αk)π | ak+1 |
) 1
αk =
= −ieiπ | ak+1 |
1
αk = i | ak+1 |
1
αk , (15)
| ω
(1)
k − ω
(2)
k |=| ak |
1
αk + | ak+1 |
1
αk .
Преобразуя неравенство (14) с учетом (15), получаем оценку
n∏
k=1
r(B, ak) ≤
≤
n∏
k=1
αk
n∏
k=1
| ak |
1
αk + | ak+1 |
1
αk
| akak+1 |
1
2
1
αk
| ak |
n∏
k=1
r
(
G
(1)
k , ω
(1)
k
)
r
(
G
(2)
k , ω
(2)
k
)
| ω
(1)
k − ω
(2)
k |2
1/2
=
=
n∏
k=1
αk
n∏
k=1
| ak |
(∣∣∣∣ ak
ak+1
∣∣∣∣ 1
2αk
+
∣∣∣∣ak+1
ak
∣∣∣∣ 1
2αk
) n∏
k=1
r
(
G
(1)
k , ω
(1)
k
)
r
(
G
(2)
k , ω
(2)
k
)
| ω
(1)
k − ω
(2)
k |2
1/2
=
= 2n
n∏
k=1
αk
n∏
k=1
χ
(∣∣∣∣ ak
ak+1
∣∣∣∣ 1
2αk
)
| ak |
n∏
k=1
r
(
G
(1)
k , ω
(1)
k
)
r
(
G
(2)
k , ω
(2)
k
)
| ω
(1)
k − ω
(2)
k |2
1/2
, (16)
где χ(t) =
1
2
(t + t−1).
С учетом формулы (4) находим
n∏
k=1
r(B, ak) ≤ 2nP ({ak}n
k=1)
n∏
k=1
αk
n∏
k=1
r
(
G
(1)
k , ω
(1)
k
)
r
(
G
(2)
k , ω
(2)
k
)
| ω
(1)
k − ω
(2)
k |2
1/2
, (17)
а с учетом неравенства (16) получаем соотношение
[
2nP ({ak}n
k=1)
n∏
k=1
αk
]−1 n∏
k=1
r(B, ak) ≤
n∏
k=1
r
(
G
(1)
k , ω
(1)
k
)
r
(
G
(2)
k , ω
(2)
k
)
| ω
(1)
k − ω
(2)
k |2
1/2
. (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ДЛЯ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ 151
Известное неравенство М. А. Лаврентьева [1, 9, с. 50] дает возможность заключить из
соотношения (17), что справедлива оценка[
2nP ({ak}n
k=1)
n∏
k=1
αk
]−1 n∏
k=1
r(B, ak) ≤ 1. (19)
Знак равенства в неравенстве (18) имеет место тогда и только тогда, когда во всех нера-
венствах (13), (14), (17), (18) достигается равенство. Отсюда и из свойств разделяющего
преобразования следует, что открытое множество B0 =
n⋃
k=1
Ek и система точек {ak}n
k=1,
определяемых равенствами (7), реализуют знак равенства в неравенстве (18).
Легко видеть, что отсюда следует утверждение о знаке равенства в теореме 1.
Теорема 1 доказана.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Для любого n ∈ N, n ≥ 3, любой лучевой системы точек {ak}n
k=1 и любо-
го открытого множества B ⊂ C такого, что
{ak}n
k=1 ⊂ B и B(ak)
⋂
B(ap) = ∅ ∀k 6= p, k, p = 1, n,
выполняется неравенство (6) и знак равенства в этом неравенстве имеет место тогда
и только тогда, когда
B =
n⋃
k=1
B(ak), B̃(ak) = Ek, cap (Ek \B(ak)) = 0,
ak = (P {am}n
m=1)
1
n exp i
2π
n
(k − 1), k = 1, n.
Доказательство. Из условий теоремы 2 получаем, что неравенство (18) выполняется.
Равенство в (18) возможно тогда и только тогда, когда знак равенства достигается в соот-
ношениях (13), (14), (17), (18). Тогда
B(ak) ⊂ {w : θk−1 < arg w < θk+1} ,
так как в противоположном случае в неравенстве Лаврентьева не достигается знак ра-
венства при некоторых kν , ν = 1, p, p ≤ n. Знак равенства в (13) при всех k = 1, n
обеспечивает симметрию B̃(ak) относительно луча
lk = {w : arg w = θ} , k = 1, n.
Тогда αk =
2
n
, k = 1, n. Легко видеть, что
B̃(ak) = Ek, cap (Ek \B(ak)) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
152 А. К. БАХТИН
Отсюда следует справедливость утверждения теоремы 2 относительно знака равенства.
Теорема 2 доказана.
Приведем некоторые следствия теоремы 2.
Следствие 1. Для любого n ∈ N, n ≥ 3, M ∈ R+, лучевой системы точек {ak}n
k=1
такой, что P ({ak}n
k=1) ≤ M, и системы неналегающих областей {Bk}n
k=1 , ak ∈ Bk,
k = 1, n, выполняется неравенство
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤ 2nM
n∏
k=1
αk. (20)
Равенство в неравенстве (19) имеет место тогда и только тогда, когда
B̃(ak) = Ek, cap (Ek \B(ak)) = 0, k = 1, n,
а система точек {ak}n
k=1 определена равенствами
ak = M
1
n exp i
2π
n
(k − 1), k = 1, n. (21)
Следствие 2. При условиях следствия 1 и M = 1 выполняется неравенство
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤ 2n
n∏
k=1
αk. (22)
Равенство в (21) имеет место тогда и только тогда, когда
B̃(ak) = Ek, cap (Ek \B(ak)) = 0, k = 1, n,
а система точек определена формулой (21) при M = 1.
Следствие 3. При условиях следствия 2 выполняется неравенство
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤
(
4
n
)n
. (23)
Знак равенства в (23) реализуется тогда и только тогда, когда равенство достига-
ется в неравенстве (22).
Следствия 2 и 3 являются существенным усилением известных результатов В. Н. Ду-
бинина (см. [8 – 10]).
1. Лаврентьев М. А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. — 1934. — 5.
— С. 159 – 245.
2. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1966. — 628 с.
3. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций. — М.: Наука, 1975. — 336 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ДЛЯ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ 153
4. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
— 256 с.
5. Бахтина Г. П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих
областях: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Киев, 1975. — 11 с.
6. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы. — Л.: Наука, 1980. — 241 с.
7. Кузьмина Г. В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-
ния Мат. ин-та РАН. — 2001. — 276. — С. 253 – 275.
8. Дубинин В. Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. — 1988. — 168. — С. 48 – 66.
9. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного
// Успехи мат. наук. — 1994. — 49, № 1 (295). — С. 3 – 76.
10. Дубинин В. Н. Емкости конденсаторов в геометрической теории функций: Уч. пос. — Владивосток:
Изд-во Дальневост. ун-та, 2003. — 114 c.
11. Емельянов Е. Г. О связи двух задач об экстремальном разбиении // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния
Мат. ин-та АН СССР. — 1987. — 160. — С. 91 – 98.
12. Ковалев Л. В. О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей // Изв. вузов. Матема-
тика. — 2000. — № 6. — C. 82 – 87.
13. Ковалев Л. В. О трех непересекающихся областях // Дальневост. мат. журн. — 2000. — 1, № 1. — С. 3 – 7.
14. Бахтин А. К. Кусочно-разделяющее преобразование и экстремальные задачи со свободными полю-
сами на лучах // Допов. НАН України. — 2004. — № 12. — С. 7 – 13.
15. Хейман В. К. Многолистные функции. — М.: Изд-во иностр. лит., 1960. — 180 с.
Получено 08.02.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
|