Розв'язність задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом
Отримано умови, достатнi для однозначної розв’язностi початкової задачi для лiнiйних iнтегро-диференцiальних рiвнянь.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178007 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Розв'язність задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом / А.М. Самойленко, Н.З. Дільна, А.М. Ронто // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 388-403. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178007 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1780072021-02-18T01:27:49Z Розв'язність задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом Самойленко, А.М. Дільна, Н.З. Ронто, А.М. Отримано умови, достатнi для однозначної розв’язностi початкової задачi для лiнiйних iнтегро-диференцiальних рiвнянь. We find sufficient conditions for the initial-value problem for a linear integral-differential equation to have a unique solution. 2005 Article Розв'язність задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом / А.М. Самойленко, Н.З. Дільна, А.М. Ронто // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 388-403. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178007 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримано умови, достатнi для однозначної розв’язностi початкової задачi для лiнiйних iнтегро-диференцiальних рiвнянь. |
| format |
Article |
| author |
Самойленко, А.М. Дільна, Н.З. Ронто, А.М. |
| spellingShingle |
Самойленко, А.М. Дільна, Н.З. Ронто, А.М. Розв'язність задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Самойленко, А.М. Дільна, Н.З. Ронто, А.М. |
| author_sort |
Самойленко, А.М. |
| title |
Розв'язність задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом |
| title_short |
Розв'язність задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом |
| title_full |
Розв'язність задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом |
| title_fullStr |
Розв'язність задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом |
| title_full_unstemmed |
Розв'язність задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом |
| title_sort |
розв'язність задачі коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178007 |
| citation_txt |
Розв'язність задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом / А.М. Самойленко, Н.З. Дільна, А.М. Ронто // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 388-403. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT samojlenkoam rozvâznístʹzadačíkošídlâlíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzperetvorenimargumentom AT dílʹnanz rozvâznístʹzadačíkošídlâlíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzperetvorenimargumentom AT rontoam rozvâznístʹzadačíkošídlâlíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzperetvorenimargumentom |
| first_indexed |
2025-07-15T16:18:47Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:18:47Z |
| _version_ |
1837730447907356672 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ
IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ПЕРЕТВОРЕНИМ АРГУМЕНТОМ*
А. М. Самойленко, Н. З. Дiльна, А. М. Ронто
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: dilna@imath.kiev.ua
ar@imath.kiev.ua
We find sufficient conditions for the initial-value problem for a linear integral-differential equation to have
a unique solution.
Отримано умови, достатнi для однозначної розв’язностi початкової задачi для лiнiйних iнтег-
ро-диференцiальних рiвнянь.
Метою даної роботи є отримання умов, за яких система лiнiйних iнтегро-диференцiальних
рiвнянь
u′(t) =
N∑
j=1
b∫
a
Hj(t, s)u(ωj(t, s))ds + f(t), t ∈ [a, b], (1)
має єдиний абсолютно неперервний розв’язок u : [a, b] → Rn, що задовольняє початкову
умову
u(τ) = c. (2)
Тут −∞ < a < b < +∞; N ∈ N; Hj : [a, b] × [a, b] → GLn(R), j = 1, 2, . . . , N , —
матричнозначнi функцiї, всi компоненти яких належать до L1([a, b] × [a, b], R); n ∈ N;
f : [a, b] → Rn — iнтегровна, а ωj : [a, b]× [a, b] → [a, b], j = 1, 2, . . . , N , — вимiрнi функцiї;
c ∈ Rn; τ — задана точка з промiжку [a, b]. Пiд розв’язком задачi (1), (2), як прийнято у
сучаснiй теорiї функцiонально-диференцiальних рiвнянь [1], розумiємо вектор-функцiю
u : [a, b] → Rn з абсолютно неперервними компонентами, що має властивiсть (2) та
задовольняє рiвнiсть (1) при майже всiх t з [a, b].
Зазначимо, що без додаткових припущень щодо коефiцiєнтiв рiвняння та вiдхилень
аргументу твердження про однозначну розв’язнiсть лiнiйної початкової задачi (1), (2) не
має мiсця навiть серед скалярних рiвнянь вигляду (1). Наприклад, найпростiша однорiдна
початкова задача
u′(t) = λu(1), t ∈ [0, 1], (3)
∗ Частково пiдтримано грантами INTAS № 04-83-3968 i Президента України № F 8/331/2005 (А. М. Ронто)
та грантом Президiї НАН України № 0105U005666 (Н. З. Дiльна).
c© А. М. Самойленко, Н. З. Дiльна, А. М. Ронто, 2005
388 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 389
u(0) = 0, (4)
яку, очевидно, можна записати у виглядi (1), (2) при n = 1, N = 1, a = 0, b = 1, c = 0, f ≡
≡ 0, H1 ≡ λ, ω1 ≡ 1, не має нетривiального розв’язку при жодному λ ∈ (−∞, 1)∪(1,+∞),
але має безлiч таких розв’язкiв при λ = 1.
1. Позначення. Скрiзь у цiй роботi R = (−∞,∞); N = {1, 2, 3, . . .}; GLn(R) — алгебра
n-вимiрних квадратних матриць з дiйсними елементами; C([a, b], Rn) — банахiв простiр
неперервних вектор-функцiй u = (uk)n
k=1 : [a, b] → Rn, норма в якому задана формулою
C([a, b], Rn) 3 u 7−→ max
1≤k≤n
max
s∈[a,b]
|uk(s)| ;
L1([a, b], Rn) — банахiв простiр iнтегровних за Лебегом вектор-функцiй u = (uk)n
k=1 :
[a, b] → Rn з нормою
L1([a, b], Rn) 3 u 7−→ max
1≤k≤n
b∫
a
|uk(s)| ds;
L1([a, b]× [a, b], R) — банахiв простiр iнтегровних за Лебегом функцiй u : [a, b]× [a, b] → R
зi стандартною нормою.
2. Початкова задача для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь. Справедливим є
наступне твердження.
Теорема 1. Нехай iснують такi сталi {σ1, σ2, . . . , σn} ⊂ {−1, 1} , що кожна з матрич-
нозначних функцiй Hj : [a, b]× [a, b] → GLn(R), j = 1, 2, . . . , N, задовольняє умову
ΣHj(t, s)Σsign (t− τ) ≥ 0 для майже всiх t та s з [a, b], (5)
де
Σ := diag(σ1, σ2, . . . , σn). (6)
Крiм цього, припустимо, що при деяких сталих q ∈ N, γ ∈ [0, 1) та векторi d iз
властивiстю
σνdν > 0, ν = 1, 2, . . . , n, (7)
для майже всiх t з промiжку [a, b] виконується нерiвнiсть
Σ
N∑
j=1
b∫
a
Hj(t, s)|ωj(t, s)− τ |q ds sign(t− τ)d ≤ γq |t− τ |q−1 Σd. (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
390 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. З. ДIЛЬНА, А. М. РОНТО
Тодi однорiдна задача Кошi
u′(t) =
N∑
j=1
b∫
a
Hj(t, s) u(ωj(t, s)) ds, t ∈ [a, b], (9)
u(τ) = 0, (10)
матиме лише тривiальний розв’язок, а вiдповiдна неоднорiдна задача (1), (2) однознач-
но розв’язна при довiльних f ∈ L1([a, b], Rn) i c ∈ Rn. Крiм того, розв’язок задачi (1), (2)
можна подати у виглядi рiвномiрно збiжного на [a, b] функцiонального ряду
u(t) =
∞∑
k=0
f [k](t), t ∈ [a, b], (11)
де, за означенням,
f [k](t) :=
N∑
j=1
t∫
τ
b∫
a
Hj(ξ, s)f [k−1](ωj(ξ, s))ds
dξ, k = 1, 2, . . . ,
i
f [0](t) := c +
t∫
τ
f(s)ds. (12)
Бiльш того, зi справедливостi для f i c умови
σν
t∫
τ
fν(s) ds ≥ −σνcν для всiх t ∈ [a, b], ν = 1, 2, . . . , n, (13)
випливає, що єдиний розв’язок (11) задачi (1), (2) задовольняє нерiвнiсть
σνuν(t) ≥ 0, ν = 1, 2, . . . , n. (14)
Зауваження 1. Знак нерiвностi у (5), (8) та в усiх iнших спiввiдношеннях мiж вектора-
ми та матрицями розумiємо покомпонентно.
Зауваження 2. Той факт, що припущення (13) забезпечує властивiсть (14) єдиного
розв’язку задачi (1), (2), природно називати монотонною залежнiстю розв’язку вiд ади-
тивних збурень рiвняння та початкової умови. Спiввiдношення (13) виконується, зокре-
ма, у випадку, коли σkck ≥ 0 та σkfk(t)sign(t−τ) ≥ 0 для кожного k = 1, 2, . . . , n та майже
всiх t з [a, b].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 391
Зауваження 3. Iз зауважень 6 та 7 п. 4 випливає, що умова 0 ≤ γ < 1 щодо константи
γ, яка фiгурує в нерiвностi (8), є суттєвою, i замiсть неї не можна припускати, що 0 ≤ γ ≤
≤ 1.
Перед доведенням наведеного твердження сформулюємо означення i встановимо ле-
му.
Означення 1. Оператор l = (lν)n
ν=1 : C([a, b], Rn) → L1([a, b], Rn) назвемо (σ1, σ2, . . .
. . . , σn; τ)-позитивним, якщо зi справедливостi для u = (uν)n
ν=1 ∈ C([a, b], Rn) умови
σνuν(t) ≥ 0 при всiх t ∈ [a, b], ν = 1, 2, . . . , n, (15)
випливає, що при майже всiх t iз [a, b] та всiх ν = 1, 2, . . . , n має мiсце нерiвнiсть
σν(lνu)(t) sign (t− τ) ≥ 0.
Тут lk : C([a, b], Rn) → L1([a, b], R), k = 1, 2, . . . , n, — компоненти оператора l :
C([a, b], Rn) → L1([a, b], Rn), тобто
lu = col (l1u, l2u, . . . , lnu)
для кожного u з C([a, b], Rn). Зауважимо, що кожний лiнiйний оператор l : C([a, b], Rn) →
→ L1([a, b], Rn), який при деяких {σ1, σ2, . . . , σn} ⊂ {−1, 1} має властивiсть (σ1, σ2, . . .
. . . , σn; τ)-позитивностi, є обмеженим (див., наприклад, зауваження 1 в [2]).
Лема 1. Якщо кожна з функцiй Hj : [a, b] × [a, b] → GLn(R), j = 1, 2, . . . , N, задо-
вольняє нерiвнiсть (5), то при довiльних вимiрних функцiях ωj : [a, b] × [a, b] → [a, b],
j = 1, 2, . . . , N, лiнiйний оператор
C([a, b], Rn) 3 u 7−→ (lu)(·) :=
N∑
j=1
b∫
a
Hj(·, s)u(ωj(·, s)) ds (16)
є (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-позитивним у сенсi означення 1.
Доведення. Припустимо, що всi компоненти (uν)n
ν=1 вектор-функцiї u ∈ C([a, b], Rn)
задовольняють умову (14). Оскiльки {σ1, σ2, . . . , σn} ⊂ {−1, 1} , з (16) випливає тотож-
нiсть
Σ(lu)(t) sign (t− τ) = Σ
N∑
j=1
b∫
a
Hj(t, s)u(ωj(t, s)) ds sign (t− τ) =
= Σ
N∑
j=1
b∫
a
Hj(t, s)ΣΣu(ωj(t, s))ds sign (t− τ), t ∈ [a, b]. (17)
На пiдставi (14) маємо Σu(t) ≥ 0 при всiх t ∈ [a, b], i, отже, беручи до уваги припущення
(5), з (17) одержуємо, що при майже всiх t ∈ [a, b]
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
392 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. З. ДIЛЬНА, А. М. РОНТО
Σ
N∑
j=1
b∫
a
Hj(t, s)u(ωj(t, s))ds sign(t− τ) ≥ 0,
тобто оператор l, заданий формулою (16), є (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-позитивним.
Лему доведено.
Зауваження 4. Умова аналогу леми 1, який використовується в деяких твердженнях
з [3 – 6], що стосуються систем iз перетвореним аргументом, мiстить неточнiсть. Так, за-
мiсть нерiвностi (33) в [4] слiд припускати, що при майже всiх t та всiх ν виконується
спiввiдношення, яке в наших позначеннях має вигляд
ΣPν(t)Σsign (t− τ) ≥ 0,
де Σ — означена вище дiагональна матриця (6). Решта умов та викладок у згаданих робо-
тах при цьому залишаються без змiн.
Для доведення теореми 1 нам знадобиться наступний результат (див. [4], наслiдок 3).
Твердження 1. Нехай l : C([a, b], Rn) → L1([a, b], Rn) — (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-позитив-
ний лiнiйний оператор. Припустимо, що знайдуться абсолютно неперервна функцiя
y0 : [a, b] → Rn з властивостями
y0(τ) = 0 (18)
i
Σy0(t) > 0, t ∈ [a, b] \ {τ}, (19)
а також натуральне m та дiйсне %, % > 1, такi, що для майже всiх t з промiжку [a, b]
виконується нерiвнiсть
Σ
[
y′0(t)− % (lym−1) (t)
]
sign (t− τ) ≥ 0, (20)
де, за означенням,
yk(t) :=
t∫
τ
(lyk−1)(s) ds, t ∈ [a, b], k = 1, 2, . . . . (21)
Тодi неоднорiдна задача Кошi (2) для рiвняння
u′(t) = (lu)(t) + f(t), t ∈ [a, b], (22)
є однозначно розв’язною при довiльних c ∈ Rn та f ∈ L1([a, b], Rn), причому її розв’язок
подається у виглядi рiвномiрно збiжного ряду
u(t) = f [0](t) +
t∫
τ
(lf [0])(s) ds +
t∫
τ
l
·∫
τ
(lf [0])(ξ)dξ
(s) ds + . . . , t ∈ [a, b], (23)
де f [0] визначено формулою (12). Крiм цього, якщо f i c задовольняють умову (13), то
єдиний розв’язок (23) задачi (22), (2) має властивiсть (14).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 393
Доведення теореми 1. Згiдно з лемою 1, умова (5) забезпечує (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-пози-
тивнiсть оператора (16), яким визначається рiвняння (1). Припущення (8) забезпечує ви-
конання умови (20) твердження 1, якщо в останньому означити оператор l : C([a, b], Rn)→
→ L1([a, b], Rn) формулою (16), покласти m = 1, % = γ−1 (очевидно, можна вважати, що
стала γ в умовi (8) вiдмiнна вiд нуля) та визначити функцiю y0 : [a, b] → Rn за формулою
y0(t) := |t− τ |qd, t ∈ [a, b], (24)
де d — вектор, що фiгурує в умовi теореми. При цьому, як видно з (24),
y′0(t) = q|t− τ |q−1sign(t− τ) d, t ∈ [a, b]. (25)
Вектор d, за припущенням, має властивiсть (7), i тому функцiя (24) задовольняє умову
(19). Отже, застосовуючи твердження 1, встановлюємо, що неоднорiдна задача (1), (2),
для всiх f ∈ L1([a, b], Rn) та c ∈ Rn має єдиний розв’язок u, причому зi спiввiдношення
(13) випливає властивiсть (14) цього розв’язку. Рiвнiсть (11), очевидно, випливає з (23).
Теорему 1 доведено.
3. Умови розв’язностi задачi Кошi для скалярних iнтегро-диференцiальних рiвнянь.
Сформулюємо деякi умови розв’язностi початкової задачi (1), (2) для випадку, коли (1) є
одновимiрним лiнiйним iнтегро-диференцiальним рiвнянням вигляду
u′(t) =
N∑
ν=1
b∫
a
hν(t, s) u(ων(t, s)) ds + f(t), t ∈ [a, b]. (26)
Тут −∞ < a < b < +∞; N ∈ N; f ∈ L1([a, b], R); функцiї ων : [a, b]2 → [a, b] — вимiрнi, а
hν : [a, b]2 → R, ν = 1, 2, . . . , N — iнтегровнi на [a, b]2.
Теорема 2. Припустимо, що кожна з функцiй hν : [a, b]× [a, b] → R1, ν = 1, 2, . . . , N, у
рiвняннi (26) задовольняє умову
hν(t, s) sign (t− τ) ≥ 0 для майже всiх t ∈ [a, b] та s ∈ [a, b] (27)
i, крiм цього, при деякому q ∈ N має мiсце нерiвнiсть
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
N∑
j=1
N∑
ν=1
b∫
a
|hj(t, η)|
|t− τ |q−1
ωj(t,η)∫
τ
b∫
a
hν(ξ, s)|ων(ξ, s)− τ |q ds dξ dη < q. (28)
Тодi задача Кошi (26), (2) має єдиний розв’язок для довiльних f ∈ L1([a, b], R) та c ∈
∈ R. Крiм того, якщо
t∫
τ
f(s) ds ≥ −c для всiх t ∈ [a, b], (29)
то єдиний розв’язок задачi (26), (2) є невiд’ємним.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
394 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. З. ДIЛЬНА, А. М. РОНТО
Доведення. Покладемо в твердженнi 1 n = 1, m = 2, означимо оператор l : C([a, b],
R) → L1([a, b], R) формулою
C([a, b], R) 3 u 7−→ lu :=
N∑
ν=1
hν(·) u(ων(·)) (30)
та розглянемо абсолютно неперервну функцiю
y0(t) := |t− τ |q, t ∈ [a, b]. (31)
Функцiя (31), очевидно, задовольняє умови (18) i (19) з Σ = σ1 = 1. Крiм того, з (30)
та (31) видно, що в даному випадку для функцiї y1, означеної формулою (21) при k = 1,
мають мiсце рiвностi
y1(t) =
N∑
ν=1
t∫
τ
b∫
a
hν(ξ, s) |ων(ξ, s)− τ |q ds dξ (32)
та
(ly1)(t) =
N∑
j=1
b∫
a
hj(t, η) y1(ωj(t, η)) dη =
=
N∑
j=1
∫ b
a
hj(t, η)
N∑
ν=1
ωj(t,η)∫
τ
hν(ξ, s) |ων(ξ, s)− τ |qds dξ
dη (33)
вiдповiдно при всiх та майже всiх t з [a, b].
Припущення (28) гарантує iснування такої сталої γ ∈ [0, 1), що при майже всiх t ∈
∈ [a, b] справджується спiввiдношення
N∑
j=1
N∑
ν=1
b∫
a
|hj(t, η)|
ωj(t,η)∫
τ
b∫
a
hν(ξ, s) |ων(ξ, s)− τ |q ds dξ dη ≤ γq|t− τ |q−1,
яке внаслiдок (27) рiвносильне нерiвностi
N∑
j=1
N∑
ν=1
b∫
a
hj(t, η)sign (t− τ)
ωj(t,η)∫
τ
b∫
a
hν(ξ, s) |ων(ξ, s)− τ |q ds dξ dη ≤ γq|t− τ |q−1. (34)
Тому з огляду на (32), (33) маємо
(ly1) (t)sign (t− τ) ≤ γq |t− τ |q−1 (35)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 395
при майже всiх t ∈ [a, b]. Оскiльки похiдна функцiї (31) oбчислюється за формулою (25)
з d = 1, спiввiдношення (35) означає, що[
γ y′0(t)− (ly1) (t)
]
sign (t− τ) ≥ 0 (36)
при майже всiх t з [a, b], тобто має мiсце (20) з Σ = 1 та % = γ−1 (очевидно, достатньо
припускати, що 0 < γ < 1, оскiльки при γ = 0 властивiсть (34) гарантує виконання
умови (20) для довiльного % > 1).
Нарештi, на пiдставi леми 1 умова (27) забезпечує (1; τ)-позитивнiсть оператора (30),
яким визначається рiвняння (26). Отже, для отримання потрiбного результату достатньо
скористатись твердженням 1.
Теорему 2 доведено.
4. Початкова задача для скалярного рiвняння з одним вiдхиленням аргументу. Наве-
демо умови iснування i єдиностi розв’язку неоднорiдної задачi Кошi (2) для скалярного
iнтегро-диференцiального рiвняння вигляду
u′(t) =
b∫
a
h(t, s) u(ω(t, s)) ds + f(t), t ∈ [a, b], (37)
в якому ω : [a, b]2 → [a, b] — вимiрна, а f : [a, b] → R та h : [a, b]2 → R — iнтегровнi
функцiї.
Наслiдок 1. Припустимо, що функцiя h : [a, b]× [a, b] → R у рiвняннi (37) задовольняє
умову
h(t, s)sign (t− τ) ≥ 0 для майже всiх t та s з [a, b] (38)
та, крiм цього, при деякому q ∈ N справджується нерiвнiсть
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
|t− τ |−q+1
b∫
a
|h(t, η)|
ω(t,η)∫
τ
b∫
a
h(ξ, s) |ω(ξ, s)− τ | ds dξ dη < q. (39)
Тодi задача Кошi (37), (2) є однозначно розв’язною для довiльних f ∈ L1([a, b], R) та
c ∈ R. Крiм того, якщо f та c задовольняють умову (29), то єдиний розв’язок задачi
(37), (2) є невiд’ємним.
Для доведення наслiдку 1 достатньо покласти N = 1, h1 = h, ω1 = ω та скористатися
теоремою 2. З наслiдку 1, зокрема, випливає, що твердження про однозначну розв’язнiсть
задачi (37), (2) та монотонну залежнiсть її розв’язку вiд адитивних збурень рiвняння та
початкової умови мають мiсце, зокрема, при виконаннi припущення (38) та нерiвностi
ess sup
t∈[a,b]
b∫
a
|h(t, η)|
ω(t,η)∫
τ
b∫
a
h(ξ, s) |ω(ξ, s)− τ | ds dξ dη < 1. (40)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
396 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. З. ДIЛЬНА, А. М. РОНТО
Зауваження 5. Замiсть нерiвностi (40) не можна припускати виконання вiдповiдної
нестрогої нерiвностi
ess sup
t∈[a,b]
b∫
a
|h(t, η)|
ω(t,η)∫
τ
b∫
a
h(ξ, s) |ω(ξ, s)− τ | ds dξ dη ≤ 1, (41)
оскiльки умова (41), на вiдмiну вiд (40), не гарантує однозначної розв’язностi задачi (37),
(2) при довiльних f ∈ L1([a, b], R) i c ∈ R. Наприклад, однорiдна початкова задача (4) для
скалярного рiвняння (3) при λ = 1, тобто рiвняння
u′(t) = u(1), t ∈ [0, 1], (42)
має однопараметричну сiм’ю розв’язкiв u(t) = ξt, t ∈ [0, 1], ξ ∈ (−∞,∞), однак умова
(41) в цьому випадку виконується у виглядi рiвностi.
Iз зауваження 5 очевидно, що i умову (39) в наслiдку 1 не можна послабити до нестро-
гої нерiвностi
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
|t− τ |−q+1
∫ b
a
|h(t, η)|
ω(t,η)∫
τ
b∫
a
h(ξ, s) |ω(ξ, s)− τ | ds dξ dη ≤ q.
Теорема 3. Нехай функцiя h : [a, b]× [a, b] → R у рiвняннi (37) задовольняє умову (38)
i, крiм цього, iснують такi сталi γ ∈ (0, 1), β ∈ [0,+∞) та q ∈ N, для яких при майже
всiх t з [a, b] виконується нерiвнiсть
b∫
a
|h(t, η)|
[
β
γ
ω(t,η)∫
τ
b∫
a
h(ξ, s) |ω(ξ, s)− τ |q ds dξ +
+ (1− β) |ω(t, η)− τ |q
]
dη ≤ γq|t− τ |q−1. (43)
Тодi задача Кошi (37), (2) є однозначно розв’язною для довiльних f ∈ L1([a, b], R) та
c ∈ R, а її розв’язок подається рiвномiрно збiжним функцiональним рядом
u(t) = c +
t∫
τ
f(s0) ds0 +
b∫
a
h(t, s1)
c +
ω(t,s1)∫
τ
f(s0) ds0
ds1 + . . . , t ∈ [a, b]. (44)
Крiм того, якщо f та c задовольняють умову (29), то єдиний розв’язок задачi (37), (2)
є невiд’ємним.
Доведення сформульованої теореми спирається на наступне твердження (див. [4], на-
слiдок 2).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 397
Твердження 2. Нехай l : C([a, b], Rn) → L1([a, b], Rn) — (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-позитивний
лiнiйний оператор. Припустимо, що знайдуться такi абсолютно неперервна функцiя
y0 : [a, b] → Rn з властивостями (18), (19) та константи m ∈ N, % ∈ (1,+∞) i β ∈
∈ [0,+∞), при яких для майже всiх t з промiжку [a, b] виконується нерiвнiсть
Σ
[
%−my′0(t) + (β − 1)(lym−1)(t)− %β(lym)(t)
]
sign (t− τ) ≥ 0. (45)
Тодi щодо задачi (22), (2) має мiсце твердження 1.
Доведення теореми 3. Скористаймось твердженням 2, в якому покладемо m = 1 та
означимо функцiю y0 за формулою (31). Очевидно, що функцiя (31) абсолютно непе-
рервна та задовольняє умови (18), (19).
Визначимо лiнiйний оператор l : C([a, b], R) → L1([a, b], R) формулою
C([a, b], R) 3 u 7−→ lu :=
b∫
a
h(·, s)u(ω(·, s)) ds. (46)
З огляду на (21), (31) та (46) мають мiсце рiвностi
y1(t) =
t∫
τ
b∫
a
h(ξ, s) |ω(ξ, s)− τ |q ds dξ (47)
та
(ly1)(t) =
b∫
a
h(t, η) y1(ω(t, η)) dη =
=
b∫
a
h(t, η)
ω(t,η)∫
τ
b∫
a
h(ξ, s) |ω(ξ, s)− τ |q ds dξdη, (48)
вiдповiдно при всiх та майже всiх t ∈ [a, b].
Оскiльки y′0 oбчислюється за формулою (25) при d = 1, з припущення (43) та рiвно-
стей (47), (48) для майже всiх t з [a, b] дiстаємо
γq |t− τ |q−1 ≥
[
β
γ
b∫
a
h(t, η)
ω(t,η)∫
τ
b∫
a
h(ξ, s) |ω(ξ, s)− τ |q ds dξ dη−
− (β − 1)
b∫
a
h(t, η) |ω(t, η)− τ |q dη
]
sign (t− τ) =
=
[
βγ−1(ly1)(t)− (β − 1)(ly0)(t)
]
sign (t− τ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
398 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. З. ДIЛЬНА, А. М. РОНТО
тобто при % := 1/γ майже скрiзь на [a, b] виконується умова (45). На пiдставi леми 1 умова
(38) забезпечує (1; τ)-позитивнiсть оператора (46), i, отже, потрiбний результат дiстаємо
застосуванням твердження 2.
Теорему 3 доведено.
При β = 1 результат теореми 3 зводиться до наслiдку 1. Покладаючи в цiй теоремi β
рiвним 0, отримуємо наступне твердження.
Наслiдок 2. Припустимо, що для функцiї h : [a, b]× [a, b] → R у рiвняннi (37) викону-
ється умова (38) i, крiм цього, при деякому q ∈ N справджується нерiвнiсть
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
sign(t− τ)
|t− τ |q−1
b∫
a
h(t, s) |ω(t, s)− τ |q ds < q. (49)
Тодi щодо задачi Кошi (37), (2) справедливою є теорема 3.
Зауваження 6. Наслiдок 2 випливає також з теореми 1 при n = 1.
Наслiдок 2 забезпечує однозначну розв’язнiсть задачi (37), (2) та монотонну залеж-
нiсть розв’язку цiєї задачi вiд її адитивних збурень, зокрема, якщо виконано умову (38) та
нерiвнiсть
ess sup
t∈[a,b]
b∫
a
|h(t, s)| |ω(t, s)− τ | ds < 1. (50)
Зауваження 7. Приклад задачi (42), (4) показує, що замiсть строгих нерiвностей (49)
та (50) не можна припускати виконання вiдповiдних нестрогих нерiвностей
ess sup
t∈[a,b]\{τ}
sign(t− τ)
|t− τ |q−1
b∫
a
h(t, s) |ω(t, s)− τ |q ds ≤ q
та
ess sup
t∈[a,b]
b∫
a
|h(t, s)| |ω(t, s)− τ | ds ≤ 1,
оскiльки при виконаннi останнiх умов висновок щодо однозначної розв’язностi задачi
(37), (2), взагалi кажучи, не має мiсця.
Теорема 4. Припустимо, що в рiвняннi (37) функцiя h : [a, b]× [a, b] → R задовольняє
умову (38) i, крiм цього, можна вказати такi числа % ∈ (1,+∞) та q ∈ N, для яких при
майже всiх t з [a, b] має мiсце спiввiдношення
b∫
a
|h(t, ξ)|
|ω(t, ξ)− τ |q + %
ω(t,ξ)∫
τ
b∫
a
h(s, η) |ω(s, η)− τ |q dη ds
dξ ≤ 2q
%
|t− τ |q−1 . (51)
Тодi щодо неоднорiдної задачi Кошi (37), (2) справедливою є теорема 3.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 399
Для доведення теореми 4 скористаймось наступним твердженням (див. [3], наслi-
док 2.12).
Твердження 3. Нехай оператор l в системi (22) є (σ1, σ2, . . . , σn; τ)-позитивним з де-
якими {σ1, σ2, . . . , σn} ⊂ {−1, 1}та iснують такi сталi % ∈ (1,+∞), α ∈ (0, %) i абсолют-
но неперервнi функцiї z0, z1 : [a, b] → Rn, що
zk(τ) = 0, (52)
Σzk(t) > 0 для всiх t ∈ [a, b] \ {τ} , k = 0, 1, (53)
i, крiм цього, для майже всiх t з [a, b] справджується нерiвнiсть
Σ
[
z′0(t) + z′1(t)− (%− α) (lz0) (t)− α (lz1) (t)− % (lz2) (t)
]
sign (t− τ) ≥ 0, (54)
де
z2(t) := (%− α)
t∫
τ
(lz1)(s) ds + α
t∫
τ
(lz0)(s) ds. (55)
Тодi для задачi (22), (2) має мiсце твердження 1.
Доведення теореми 4. Покладемо n = 1, σ1 = 1 та
z0(t) = |t− τ |q, z1(t) = |t− τ |q, t ∈ [a, b]. (56)
Означенi таким чином функцiї z0 та z1, очевидно, абсолютно неперервнi i задовольня-
ють умови (52), (53). Задамо оператор l формулою (46). Тодi вiдповiдна функцiя (55) має
вигляд
z2(t) = %
t∫
τ
b∫
a
h(s, η) |ω(s, η)− τ |q dη ds, t ∈ [a, b].
Тому з припущення (51) випливає, що для майже всiх t з [a, b]
b∫
a
|h(t, ξ)| [|ω(t, ξ)− τ |q + z2(ω(t, ξ))] dξ ≤ 2q
%
|t− τ |q−1 ,
або, що те ж саме (завдяки умовi (38)), b∫
a
h(t, ξ) |ω(t, ξ)− τ |q dξ + (lz2) (t)
sign (t− τ) ≤ 2q
%
|t− τ |q−1 . (57)
Однак внаслiдок (56) спiввiдношення (57) означає, що
% [(lz0) (t) + (lz2) (t)] sign (t− τ) ≤ 2z′0(t)sign (t− τ), t ∈ [a, b],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
400 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. З. ДIЛЬНА, А. М. РОНТО
i, отже, в даному випадку при Σ = 1 i довiльному α ∈ (0, %) справджується умова (54).
Оскiльки, за лемою 1, умова (38) забезпечує (1; τ)-позитивнiсть оператора (46), для отри-
мання потрiбного результату залишається застосувати твердження 3.
Теорему доведено.
Наслiдок 3. Припустимо, що в рiвняннi (37) функцiя h : [a, b]× [a, b] → R задовольняє
умову (38) i, крiм цього, можна вказати таке число % ∈ (1,+∞), для якого має мiсце
спiввiдношення
ess sup
t∈[a,b]
b∫
a
|h(t, ξ)|
|ω(t, ξ)− τ |+ %
ω(t,ξ)∫
τ
b∫
a
h(s, η) |ω(s, η)− τ | ds dη
dξ ≤ 2
%
. (58)
Тодi щодо неоднорiдної задачi Кошi (37), (2) справедливою є теорема 3.
Останнє сформульоване твердження випливає з теореми 4 при q = 1.
Зауваження 8. Умова (58) є непокращуваною в тому сенсi, що її замiна в наслiдку 3
слабкiшим припущенням про iснування константи % ∈ (1,+∞) з властивiстю
ess sup
t∈[a,b]
b∫
a
|h(t, ξ)|
|ω(t, ξ)− τ |+ %
ω(t,ξ)∫
τ
b∫
a
h(s, η) |ω(s, η)− τ | ds dη
dξ ≤ 2 + ε
%
, (59)
де ε — додатна стала, призводить до того, що твердження згаданого наслiдку втрачає
силу.
Дiйсно, розглянемо задачу (42), (4), яка, очевидно, має вигляд (37), (2) при a = 0,
b = 1, c = 0, f ≡ 0, r ≡ 1, ω ≡ 1. Легко перевiрити, що в цьому випадку маємо
ess sup
t∈[a,b]
b∫
a
|h(t, ξ)|
|ω(t, ξ)− τ |+ %
ω(t,ξ)∫
τ
b∫
a
h(s, η) |ω(s, η)− τ | ds dη
dξ = 1 + %,
i, отже, припущення про iснування константи % ∈ (1,+∞) з властивiстю (59) рiвносильне
розв’язностi квадратичної нерiвностi
1 + % ≤ 2 + ε
%
(60)
на вiдкритому пiвiнтервалi (1,+∞). Оскiльки ε вiдмiнне вiд нуля, множина чисел % ∈
∈ (1,+∞), якi задовольняють нерiвнiсть (60), є непорожньою, а це означає, що для задачi
(42), (4) виконано умови послабленої версiї наслiдку 3, в якiй замiсть (58) припускається
виконання (59) (якби ε дорiвнювало нулю, то нерiвностi (60) та % > 1 були б несумiсни-
ми). Однак, як зазначено у зауваженнi 5, задача (42), (2) не є однозначно розв’язною.
Iз зауваження 8 також випливає, що величину 2q%−1, яка фiгурує в правiй частинi
нерiвностi (51), в теоремi 4 не можна замiнити величиною (2q + ε) %−1 при жодному додат-
ному ε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 401
5. Розв’язнiсть задачi Кошi для двовимiрних iнтегро-диференцiальних рiвнянь. Роз-
глянемо задачу Кошi вигляду
u′1(t) =
b∫
a
h11(t, s)u1(ω11(t, s)) ds +
b∫
a
h12(t, s)u2(ω12(t, s)) ds + f1(t), (61)
u′2(t) =
b∫
a
h21(t, s)u1(ω21(t, s)) ds +
b∫
a
h22(t, s)u2(ω22(t, s)) ds + f2(t), (62)
u1(τ) = c1, (63)
u2(τ) = c2, (64)
де t змiнюється у промiжку [a, b], c1, c2 ∈ R, функцiї hij : [a, b]2 → R та fi : [a, b] → R, i,
j = 1, 2, є iнтегровними, а ωij : [a, b]2 → [a, b], i, j = 1, 2, — вимiрними.
Наслiдок 4. Нехай при деяких {σ1, σ2} ∈ {−1, 1} для майже всiх t та s з [a, b] функцiї
hij : [a, b]× [a, b] → R, i, j = 1, 2, задовольняють нерiвностi
h11(t, s) sign (t− τ) ≥ 0, (65)
σ1σ2h12(t, s) sign (t− τ) ≥ 0, (66)
σ1σ2h21(t, s) sign(t− τ) ≥ 0, (67)
h22(t, s) sign (t− τ) ≥ 0. (68)
Крiм цього, припустимо, що
ess sup
t∈[a,b]
∫ b
a
|ω11(t, s)− τ | |h11(t, s)| ds +
b∫
a
|ω12(t, s)− τ | |h12(t, s)| ds
< 1 (69)
та
ess sup
t∈[a,b]
b∫
a
|ω21(t, s)− τ | |h21(t, s)| ds +
b∫
a
|ω22(t, s)− τ | |h22(t, s)| ds
< 1. (70)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
402 А. М. САМОЙЛЕНКО, Н. З. ДIЛЬНА, А. М. РОНТО
Тодi задача Кошi (61) – (64) має єдиний розв’язок при довiльних {f1, f2} ⊂ L1([a, b], R)
i дiйсних c1, c2. Бiльш того, якщо при всiх t ∈ [a, b] виконуються спiввiдношення
σ1
t∫
τ
f1(s) ds + c1
≥ 0, (71)
σ2
t∫
τ
f2(s) ds + c2
≥ 0, (72)
то компоненти єдиного розв’язку (u1, u2) задачi (61) – (64) при кожному t з [a, b] задо-
вольняють нерiвностi
σ1u1(t) ≥ 0,
σ2u2(t) ≥ 0.
Доведення. Означимо матричнозначнi функцiї Hj : [a, b]2 → GL2(R), 1 ≤ j ≤ 4,
поклавши при майже всiх t i s з [a, b] та всiх j, 1 ≤ j ≤ 4,
H1(t, s) =
(
h11(t, s) 0
0 0
)
, H2(t, s) =
(
0 h12(t, s)
0 0
)
, (73)
H3(t, s) =
(
0 0
h21(t, s) 0
)
, H4(t, s) =
(
0 0
0 h22(t, s)
)
. (74)
Крiм того, при всiх j, 1 ≤ j ≤ 4, покладемо
ω1 = ω11, ω2 = ω12, (75)
ω3 = ω21, ω4 = ω22. (76)
Згiдно з лемою 1, умови (65) – (68) забезпечують (σ1, σ2; τ)-позитивнiсть лiнiйного опе-
ратора l : C([a, b], R2) → L1([a, b], R2), заданого спiввiдношенням
C([a, b], R2) 3
(
u1
u2
)
7−→
b∫
a
h11(·, s)u1(ω11(·, s)) ds +
b∫
a
h12(·, s)u2(ω12(·, s)) ds
b∫
a
h21(·, s)u1(ω21(·, s)) ds +
b∫
a
h22(·, s)u2(ω22(·, s)) ds
.
З огляду на (73), (74) та (75), (76) це означає, що (σ1, σ2; τ)-позитивним є оператор (16).
Для означених таким чином функцiй Hj : [a, b]2 → GL2(R) та ωj : [a, b]2 → [a, b], 1 ≤ j ≤
≤ 4, задача (61) – (64), очевидно, має вигляд (1), (2) при n = 2 та N = 4.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 403
На пiдставi припущень (65) – (68) з умов (69), (70) випливає iснування константи γ ∈
∈ [0, 1), для якoї при майже всiх t ∈ [a, b] виконуються нерiвностi b∫
a
|ω11(t, s)− τ |h11(t, s) ds + σ1σ12
b∫
a
|ω12(t, s)− τ |h12(t, s) ds
sign (t− τ) ≤ γ (77)
та σ1σ12
b∫
a
|ω21(t, s)− τ |h21(t, s) ds +
b∫
a
|ω22(t, s)− τ |h22(t, s) ds
sign (t− τ) ≤ γ. (78)
Спiввiдношення (77), (78) забезпечують виконання умови (8) з N = 4, Σ = diag {σ1, σ2},
q = 1 та
d =
(
σ1
σ2
)
.
Отже, застосування теореми 1 приводить до потрiбного висновку.
Наслiдок доведено.
1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф Введение в теорию функционально-дифференци-
альных уравнений. — M.: Наука, 1991. — 280 с.
2. Ронто А. Н. Точные условия разрешимости задачи Коши для систем линейных функционально-диф-
ференциальных уравнений первого порядка, задаваемых (~σ, τ)-положительными операторами // Укр.
мат. журн. — 2003. — 55, № 11. — С. 1541 – 1568.
3. Dilnaya N., Ronto A. Multistage iterations and solvability of linear Cauchy problems // Miskolc Math. Notes. —
2003. — 4, №. 2. — P. 89 – 102.
4. Дильная Н. З., Ронто А. Н. Некоторые новые условия разрешимости задачи Коши для систем линей-
ных функционально-дифференциальных уравнений // Укр. мaт. журн. — 2004. — 56, № 7. — С. 867 –
884 .
5. Дильная Н. З., Ронто А. Н. Разрешимость задачи Коши для систем линейных функционально-диффе-
ренциальных уравнений с (~σ, τ)-положительными правыми частями // Допов. НАН України. — 2004. —
№ 2. — С. 29 – 35.
6. Dilna N. On the solvability of the Cauchy problem for linear integral-differential gathers // Miskolc Math.
Notes. — 2004. — 5, № 2. — P. 161 – 171.
Одержано 25.05.2005,
пiсля доопрацювання — 08.07.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
|