Нелінійні диференціальні рівняння з квазінільпотентним оператором та нестійким нульовим розв'язком
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178008 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нелінійні диференціальні рівняння з квазінільпотентним оператором та нестійким нульовим розв'язком / В.Ю. Слюсарчук, В.І. Сукретний // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 404-414. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178008 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1780082021-02-18T01:28:30Z Нелінійні диференціальні рівняння з квазінільпотентним оператором та нестійким нульовим розв'язком Слюсарчук, В.Ю. Сукретний, В.І. 2005 Article Нелінійні диференціальні рівняння з квазінільпотентним оператором та нестійким нульовим розв'язком / В.Ю. Слюсарчук, В.І. Сукретний // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 404-414. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178008 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. Сукретний, В.І. |
| spellingShingle |
Слюсарчук, В.Ю. Сукретний, В.І. Нелінійні диференціальні рівняння з квазінільпотентним оператором та нестійким нульовим розв'язком Нелінійні коливання |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. Сукретний, В.І. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Нелінійні диференціальні рівняння з квазінільпотентним оператором та нестійким нульовим розв'язком |
| title_short |
Нелінійні диференціальні рівняння з квазінільпотентним оператором та нестійким нульовим розв'язком |
| title_full |
Нелінійні диференціальні рівняння з квазінільпотентним оператором та нестійким нульовим розв'язком |
| title_fullStr |
Нелінійні диференціальні рівняння з квазінільпотентним оператором та нестійким нульовим розв'язком |
| title_full_unstemmed |
Нелінійні диференціальні рівняння з квазінільпотентним оператором та нестійким нульовим розв'язком |
| title_sort |
нелінійні диференціальні рівняння з квазінільпотентним оператором та нестійким нульовим розв'язком |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178008 |
| citation_txt |
Нелінійні диференціальні рівняння з квазінільпотентним оператором та нестійким нульовим розв'язком / В.Ю. Слюсарчук, В.І. Сукретний // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 404-414. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû nelíníjnídiferencíalʹnírívnânnâzkvazínílʹpotentnimoperatoromtanestíjkimnulʹovimrozvâzkom AT sukretnijví nelíníjnídiferencíalʹnírívnânnâzkvazínílʹpotentnimoperatoromtanestíjkimnulʹovimrozvâzkom |
| first_indexed |
2025-07-15T16:18:51Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:18:51Z |
| _version_ |
1837730451971637248 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ
З КВАЗIНIЛЬПОТЕНТНИМ ОПЕРАТОРОМ
ТА НЕСТIЙКИМ НУЛЬОВИМ РОЗВ’ЯЗКОМ
В. Ю. Слюсарчук
Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування
Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11
e-mail: V.Ye.Slyusarchuk@USUWM.rv.ua
В. I. Сукретний
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
Let E be a Banach space. The instability of ordinary solution for differential equation
dx
dt
= f(t, x)Ax, t ≥ 0,
are proved. Here f : [0,+∞) × E −→ R is the continuous map, for which inf
t≥0, x∈E
f(t, x) > 0,
sup
t≥0, x∈E
f(t, x) < +∞, and A ∈ L(E,E) \ {O}, σ(A) = {0}.
Нехай E — банахiв простiр. Доведено нестiйкiсть тривiального розв’язку диференцiального
рiвняння
dx
dt
= f(t, x)Ax, t ≥ 0,
де f : [0,+∞) × E −→ R — неперервне вiдображення, для якого inf
t≥0, x∈E
f(t, x) > 0,
sup
t≥0, x∈E
f(t, x) < +∞ i A ∈ L(E,E) \ {O}, σ(A) = {0}.
У данiй роботi видiлено один клас диференцiальних рiвнянь iз нелiнiйним квазiнiльпо-
тентним оператором, нульовi розв’язки яких є нестiйкими за Ляпуновим.
1. Основний об’єкт дослiдження. Розглянемо довiльнi банахiв простiр E та неперерв-
не вiдображення f : [0,+∞)× E −→ R, для якого
inf
(t,x)∈[0,+∞)×E
f(t, x) > 0 (1)
i
sup
(t,x)∈[0,+∞)×E
f(t, x) < +∞. (2)
Розглянемо також диференцiальне рiвняння
dx
dt
= f(t, x)Ax, t ≥ 0, (3)
де A — лiнiйний неперервний оператор.
c© В. Ю. Слюсарчук, В. I. Сукретний, 2005
404 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З КВАЗIНIЛЬПОТЕНТНИМ ОПЕРАТОРОМ . . . 405
Будемо вимагати, щоб для кожного вектора a ∈ E це рiвняння мало хоча б один
розв’язок x(t, a), що задовольняє початкову умову
x(0, a) = a. (4)
Ця вимога виконується, якщо, наприклад, для деякої монотонно зростаючої функцiї L :
[0,+∞) −→ (0,+∞) справджується спiввiдношення
sup
t∈[0,+∞), ‖x‖≤r, ‖y‖≤r, x6=y
|f(t, x)− f(t, y)|
‖x− y‖
≤ L(r) (5)
для всiх r > 0. На пiдставi спiввiдношень (2) i (5) для кожного r > 0 для правої частини
рiвняння (3) має мiсце спiввiдношення
sup
t∈[0,+∞), ‖x‖≤r, ‖y‖≤r, x6=y
‖f(t, x)Ax− f(t, y)Ay‖
‖x− y‖
≤ M(r),
де
M(r) = sup
(t,u)∈[0,+∞)×E
f(t, u)‖A‖+ L(r)r‖A‖.
Тому завдяки вiдомим твердженням про iснування та єдинiсть розв’язку задачi Кошi
для диференцiальних рiвнянь (див., наприклад, [1]) задача (3), (4) для кожного вектора
a ∈ E має єдиний розв’язок. Зокрема, якщо a = 0, то розв’язок задачi (3), (4) є нульовим.
Далi будемо вважати, що A — ненульовий квазiнiльпотентний оператор.
Покажемо, що нульовий розв’язок рiвняння (3) є нестiйким.
2. Необмеженiсть на N експоненти etA з ненульовим квазiнiльпотентним оператором
A. Спочатку розглянемо поведiнку розв’язкiв лiнiйних диференцiальних рiвнянь.
Має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Для кожного ненульового оператора A ∈ L(E,E) з нульовим спектраль-
ним радiусом справджується спiввiдношення
sup
t∈N
∥∥etA
∥∥ = +∞. (6)
Доведення. Якщо A є нiльпотентним оператором, а число m — iндексом нiльпотент-
ностi [2] цього оператора, то etA подається у виглядi
etA = I + tA +
t2
2!
A2 + . . . +
tm−1
(m− 1)!
Am−1.
Тому для кожного t ≥ 0
∥∥etA
∥∥ =
∥∥∥∥I + tA +
t2
2!
A2 + . . . +
tm−1
(m− 1)!
Am−1
∥∥∥∥ ≥ tm−1
(m− 1)!
∥∥Am−1
∥∥− m−2∑
k=0
tk
k!
∥∥∥Ak
∥∥∥ .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
406 В. Ю. СЛЮСАРЧУК, В. I. СУКРЕТНИЙ
Оскiльки
∥∥Am−1
∥∥ > 0, то
lim
t→+∞
(
tm−1
(m− 1)!
∥∥Am−1
∥∥− m−2∑
k=0
tk
k!
∥∥∥Ak
∥∥∥) = +∞.
Тому виконується спiввiдношення (6).
Тепер розглянемо випадок, коли A є квазiнiльпотентним оператором i An 6= O для
всiх n ∈ N. Виберемо довiльний нормований вектор a ∈ E (‖a‖ = 1), для якого Aa 6= 0.
Розглянемо векторну послiдовнiсть
a,Aa, . . . , Ana, . . . .
Можливi два випадки: 1) для деякого m ∈ N вектори a,Aa, . . . , Ama є лiнiйно залежними;
2) для кожного n ∈ N вектори a,Aa, . . . , Ana є лiнiйно незалежними.
Розглянемо перший випадок. Нехай L[a,Aa, . . . , Ama] — векторний пiдпростiр просто-
ру E, породжений векторами a,Aa, . . . , Ama. З лiнiйної залежностi векторiв a,Aa, . . . , Ama
випливає, що L[a,Aa, . . . , Ama] є iнварiантним пiдпростором щодо оператора A. Тому зав-
дяки квазiнiльпотентностi цього оператора його звуження на L[a,Aa, . . . , Ama] є нiльпо-
тентним оператором з iндексом нiльпотентностi
µ ≤ dim L[a,Aa, . . . , Ama].
Звiдси випливає, що для кожного t ≥ 0
etAa =
(
I + tA +
t2
2!
A2 + . . . +
tµ−1
(µ− 1)!
Aµ−1
)
a.
Оскiльки, очевидно, для всiх t ≥ 0
∥∥etAa
∥∥ ≥ tµ−1
(µ− 1)!
∥∥Aµ−1a
∥∥− µ−2∑
k=0
tk
k!
∥∥∥Ak
∥∥∥ ,
µ ≥ 2,
i ∥∥Aµ−1a
∥∥ 6= 0,
то
lim
t→+∞
∥∥etAa
∥∥ = +∞.
Тому справджується спiввiдношення (6).
Розглянемо другий випадок. На пiдставi квазiнiльпотентностi оператора A справджу-
ється спiввiдношення
lim
n→+∞
‖An‖
εn
= 0 (7)
для кожного числа ε > 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З КВАЗIНIЛЬПОТЕНТНИМ ОПЕРАТОРОМ . . . 407
Зафiксуємо довiльне досить мале число ε > 0. Завдяки (7) iснує таке натуральне чис-
ло nε, що
‖An‖
εn
≤ 1 для всiх n ≥ nε. (8)
Нехай L[a,Aa, . . . , Anεa] i L[a,A2a,A3a, . . . , Anεa] — векторнi пiдпростори простору E, по-
родженi вiдповiдно множинами {a,Aa, . . . , Anεa} i {a,A2a,A3a, . . . , Anεa}, lnε — лiнiйний
функцiонал на L[a,Aa, . . . , Anεa], для якого
lnε(Aa) = ‖Aa‖
i
lnε(x) = 0 для всiх x ∈ L[a,A2a,A3a, . . . , Anεa].
Очевидно, що норма розглянутого функцiонала дорiвнює 1. Далi розглянемо лiнiйне про-
довження l̆nε функцiонала lnε на E, норма якого дорiвнює 1. Функцiонал l̆nε з такими
властивостями iснує на пiдставi теореми Гана – Банаха про продовження лiнiйного функ-
цiонала [3, 4]. Застосовуючи l̆nε до eε−1Aa, отримуємо
l̆nε
(
eε−1Aa
)
= l̆nε
nε∑
k=0
ε−k
k!
Ak +
∞∑
k=nε+1
ε−k
k!
Ak
a
=
= l̆nε
((
nε∑
k=0
ε−k
k!
Ak
)
a
)
+ l̆nε
∞∑
k=nε+1
ε−k
k!
Ak
a
=
= l̆nε
(
ε−1Aa
)
+ l̆nε
∞∑
k=nε+1
ε−k
k!
Ak
a
=
= ε−1‖Aa‖+ l̆nε
∞∑
k=nε+1
ε−k
k!
Ak
a
.
Тому завдяки (8)
∣∣∣l̆nε
(
eε−1Aa
)∣∣∣ ≥ ε−1‖Aa‖ −
∣∣∣∣∣∣l̆nε
∞∑
k=nε+1
ε−k
k!
Ak
a
∣∣∣∣∣∣ ≥
≥ ε−1‖Aa‖ −
∞∑
k=nε+1
1
k!
≥
≥ ε−1‖Aa‖ − 1
(nε + 1)!
(
1 +
1
nε + 1
+
1
(nε + 1)2
+ . . .
)
=
= ε−1‖Aa‖ − 1
nε!nε
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
408 В. Ю. СЛЮСАРЧУК, В. I. СУКРЕТНИЙ
Оскiльки ‖l̆nε‖ = 1, то ∥∥∥eε−1A
∥∥∥ ≥ ∣∣∣l̆nε
(
eε−1Aa
)∣∣∣ .
Тому ∥∥∥eε−1A
∥∥∥ ≥ ε−1‖Aa‖ − 1
nε!nε
.
Iз цiєї нерiвностi та довiльностi вибору числа ε (зазначимо, що lim
ε→+0
nε = +∞) отримує-
мо (6).
Теорему доведено.
Дискретним аналогом теореми 1 є наступне твердження.
Теорема 2. Для кожного ненульового оператора A ∈ L(E,E) з нульовим спектраль-
ним радiусом справджується спiввiдношення
sup
n∈N
‖(I + A)n‖ = +∞. (9)
Доведення. Оскiльки спектральний радiус r(A) оператора A дорiвнює 0, то оператор-
ний ряд
A− 1
2
A2 + . . . +
(−1)n+1
n
An + . . .
збiгається i сумою цього ряду є оператор ln (I + A). Тому
(I + A)n = en ln (I+A), n ∈ N, (10)
i для обґрунтування твердження теореми можна використати теорему 1.
Покажемо, що оператор ln (I + A) задовольняє умови теореми 1.
За теоремою Данфорда про вiдображення спектра [5]
σ (ln (I + A)) = {0}.
Тут використано рiвнiсть
ln (I + A) = A− 1
2
A2 + . . . +
(−1)n+1
n
An + . . . .
Тому
r(ln (I + A)) = 0.
Також
ln (I + A) 6= O.
Справдi, якщо ln (I + A) = O, то I + A = eln (I+A) = eO = I i A = O, що неможливо.
Отже, оператор ln (I + A) задовольняє умови теореми 1. Тому на пiдставi (10) справд-
жується спiввiдношення (9).
Теорему 2 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З КВАЗIНIЛЬПОТЕНТНИМ ОПЕРАТОРОМ . . . 409
Зауважимо, що теореми 1 i 2 та їх застосування до дослiдження стiйкостi розв’язкiв
лiнiйних еволюцiйних рiвнянь наведено в [6].
3. Дослiдження рiвняння (3) у випадку f(t, x) ≡ const. Якщо
f(t, x) ≡ c ∈ R \ {0}, (11)
то рiвняння (3) має вигляд
dx
dt
= cAx, t ≥ 0, (12)
i є лiнiйним рiвнянням, причому ненульовий оператор cA є квазiнiльпотентним. Тому за
теоремою 1
sup
t≥0
∥∥etcA
∥∥ = +∞. (13)
Оскiльки загальний розв’язок рiвняння (12) подається у виглядi
x = etcAa,
де a ∈ E, то завдяки (13) та теоремi Банаха – Штейнгауза [4] справджується наступне
твердження.
Теорема 3. У випадку ненульового квазiнiльпотентного оператора A i виконання
спiввiдношення (11) усi розв’язки рiвняння (3) є нестiйкими.
Якщо f(t, x) ≡ 0, то, очевидно, розв’язки рiвняння (3) є стiйкими.
4. Iнтегральне спiввiдношення для розв’язкiв рiвняння (3). Перш нiж доводити нестiй-
кiсть нульового розв’язку диференцiального рiвняння (3) у випадку виконання спiввiдно-
шень (1) i (2), наведемо для розв’язкiв цього рiвняння одне iнтегральне спiввiдношення.
Зазначимо, що кожний розв’язок задачi Кошi (3), (4) є розв’язком iнтегрального рiв-
няння
x(t) = a +
t∫
0
f(τ, x(τ))Ax(τ)dτ, t ≥ 0, (14)
i навпаки.
Покажемо, що кожний розв’язок задачi Кошi (3), (4) також є розв’язком бiльш склад-
ного, але зручнiшого для подальших дослiджень, iнтегрального рiвняння.
Нехай неперервно диференцiйовна на [0,+∞) функцiя y = y(t) є розв’язком iнтег-
рального рiвняння (14). Тодi
y(t) ≡ a +
t∫
0
f(τ, y(τ))A y(τ) dτ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
410 В. Ю. СЛЮСАРЧУК, В. I. СУКРЕТНИЙ
Звiдси випливає
y(t) ≡ a +
t∫
0
f(τ1, y(τ1))dτ1
Aa +
t∫
0
f(τ1, y(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, y(τ2))A2y(τ2)dτ2dτ1,
y(t) ≡ a +
t∫
0
f(τ1, y(τ1))dτ1
Aa+
+
t∫
0
f(τ1, y(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, y(τ2))dτ2dτ1
A2a+
+
t∫
0
f(τ1, y(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, y(τ2))
τ2∫
0
f(τ3, y(τ3))A3y(τ3) dτ3 dτ2 dτ1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y(t) ≡ a +
t∫
0
f(τ1, y(τ1))dτ1
Aa+
+
t∫
0
f(τ1, y(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, y(τ2))dτ2dτ1
A2a + . . .
. . . +
t∫
0
f(τ1, y(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, y(τ2)) . . .
τn−1∫
0
f(τn, y(τn))dτn . . . dτ2dτ1
Ana+
+
t∫
0
f(τ1, y(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, y(τ2)) . . .
τn∫
0
f(τn+1, y(τn+1))An+1y(τn+1)dτn+1 . . . dτ2dτ1.
Легко перевiрити, що з урахуванням (2) для кожних t ≥ 0 i n ∈ N
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
f(τ1, y(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, y(τ2)) . . .
τn∫
0
f(τn+1, y(τn+1))An+1y(τn+1)dτn+1 . . . dτ2dτ1
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ tn+1
(n + 1)!
(
sup
(τ,x)∈[0,t)×E
f(τ, x)
)n+1
‖An+1‖ max
0≤s≤t
|y(s)|.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З КВАЗIНIЛЬПОТЕНТНИМ ОПЕРАТОРОМ . . . 411
Завдяки останньому спiввiдношенню функцiональний ряд
a +
t∫
0
f(τ1, y(τ1))dτ1
Aa+
+
t∫
0
f(τ1, y(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, y(τ2))dτ2dτ1
A2a + . . .
. . . +
t∫
0
f(τ1, y(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, y(τ2)) . . .
τn−1∫
0
f(τn, y(τn))dτn . . . dτ2dτ1
Ana + . . .
збiгається для кожного t ≥ 0 i
y(t) ≡ a +
t∫
0
f(τ1, y(τ1))dτ1
Aa+
+
t∫
0
f(τ1, y(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, y(τ2))dτ2dτ1
A2a + . . .
. . . +
t∫
0
f(τ1, y(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, y(τ2)) . . .
τn−1∫
0
f(τn, y(τn))dτn . . . dτ2dτ1
Ana + . . . .
Отже, справджується така теорема.
Теорема 4. Якщо функцiя y(t) є розв’язком задачi Кошi (3), (4), то ця функцiя є
розв’язком iнтегрального рiвняння
x(t) = a +
t∫
0
f(τ1, x(τ1))dτ1
Aa+
+
t∫
0
f(τ1, x(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, x(τ2))dτ2dτ1
A2a + . . .
. . . +
t∫
0
f(τ1, x(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, x(τ2)) . . .
τn−1∫
0
f(τn, x(τn))dτn . . . dτ2dτ1
Ana + . . . . (15)
5. Основне твердження про нестiйкiсть розв’язкiв рiвняння (3).
Теорема 5. Якщо виконуються спiввiдношення (1) i (2), а ненульовий оператор A є
квазiнiльпотентним, то нульовий розв’язок рiвняння (3) є нестiйким.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
412 В. Ю. СЛЮСАРЧУК, В. I. СУКРЕТНИЙ
Доведення. Покажемо, що для будь-якого числа δ > 0 iснує вектор a ∈ E, ‖a‖ = δ, та-
кий, що кожний розв’язок x(t, a) початкової задачi (3), (4) буде необмеженим на [0,+∞).
Звiдси випливає твердження теореми.
Зафiксуємо довiльне число δ > 0. Спочатку розглянемо випадок, коли оператор A
є нiльпотентним. Нехай m — iндекс нiльпотентностi цього оператора. Тодi Am = O,
Am−1 6= O i тому рiвняння (15) має вигляд
x(t) = a +
t∫
0
f(τ1, x(τ1))dτ1
Aa+
+
t∫
0
f(τ1, x(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, x(τ2))dτ2dτ1
A2a + . . .
. . . +
t∫
0
f(τ1, x(τ1))
τ1∫
0
f(τ2, x(τ2)) . . .
τm−2∫
0
f(τm−1, x(τm−1))dτm−1 . . . dτ2dτ1
Am−1a.
(16)
Використаємо числа
α = inf
t≥0, x∈E
f(t, x),
β = sup
t≥0, x∈E
f(t, x)
та вектор a ∈ E, для якого Am−1a 6= 0 i ‖a‖ = δ.
Завдяки (16) для кожного t ≥ 0
‖x(t, a)‖ ≥
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
f(τ1, x(τ1, a)) . . .
τm−2∫
0
f(τm−1, x(τm−1, a))dτm−1 . . . dτ1
∥∥∥∥∥∥ ‖Am−1a‖−
− ‖a‖ −
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
f(τ1, x(τ1, a))dτ1
∥∥∥∥∥∥ ‖Aa‖−
−
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
f(τ1, x(τ1, a))
τ1∫
0
f(τ2, x(τ2, a))dτ2dτ1
∥∥∥∥∥∥ ‖A2a‖ − . . .
. . .−
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
f(τ1, x(τ1, a)) . . .
τm−3∫
0
f(τm−2, x(τm−2, a))dτm−2 . . . dτ1
∥∥∥∥∥∥ ‖Am−2a‖ ≥
≥ αm−1‖Am−1a‖
(m− 1)!
tm−1 −
m−2∑
k=0
βk‖Aka‖
k!
tk.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З КВАЗIНIЛЬПОТЕНТНИМ ОПЕРАТОРОМ . . . 413
Оскiльки ‖Am−1a‖ > 0, то
lim
t→+∞
(
αm−1‖Am−1a‖
(m− 1)!
tm−1 −
m−2∑
k=0
βk‖Aka‖
k!
tk
)
= +∞.
Тому
lim
t→+∞
‖x(t, a)‖ = +∞.
Тепер розглянемо випадок, коли A є квазiнiльпотентним оператором i An 6= O для
всiх n ∈ N. Виберемо довiльний вектор a ∈ E, для якого Aa 6= 0 i ‖x‖ = δ. Розглянемо
векторну послiдовнiсть
a,Aa, . . . , Ana, . . . .
Можливi два випадки: 1) для деякого m ∈ N вектори a,Aa, . . . , Ama є лiнiйно залежними;
2) для кожного n ∈ N вектори a,Aa, . . . , Ana є лiнiйно незалежними.
Розглянемо перший випадок. З лiнiйної залежностi векторiв a,Aa, . . . , Ama випли-
ває, що векторний простiр L[a,Aa, . . . , Ama] простору E, породжений векторами a,Aa, . . .
. . . , Ama, є iнварiантним пiдпростором щодо оператора A. Завдяки квазiнiльпотентностi
цього оператора його звуження на L[a,Aa, . . . , Ama] є нiльпотентним оператором з iндек-
сом нiльпотентностi
µ ≤ dim L[a,Aa, . . . , Ama].
Тому, як i у випадку нiльпотентного оператора A,
‖x(t, a)‖ ≥ αµ−1‖Aµ−1a‖
(µ− 1)!
tµ−1 −
µ−2∑
k=0
βk‖Aka‖
k!
tk
для всiх t ≥ 0. Отже,
lim
t→+∞
‖x(t, a)‖ = +∞,
оскiльки ‖Aµ−1a‖ > 0.
Розглянемо другий випадок. На пiдставi квазiнiльпотентностi оператора A для кожно-
го числа ε > 0 справджується спiввiдношення (7). Зафiксуємо довiльне досить мале число
ε > 0. Завдяки (7) iснує таке натуральне число mε, що
βn‖An‖
εn
≤ 1 для всiх n ≥ mε. (17)
Нехай lmε — лiнiйний функцiонал на L[a,Aa, . . . , Amεa], для якого
lmε(Aa) = ‖Aa‖
i
lnε(x) = 0 для всiх x ∈ L[a,A2a,A3a, . . . , Amεa]. (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
414 В. Ю. СЛЮСАРЧУК, В. I. СУКРЕТНИЙ
Очевидно, що
‖lmε‖ = 1.
Розглянемо лiнiйне продовження l̆mε функцiонала lmε на E, норма якого дорiвнює 1. Функ-
цiонал l̆mε з такими властивостями iснує на пiдставi теореми Гана – Банаха про продов-
ження лiнiйного функцiонала. Застосуємо l̆mε до x(ε−1, a). Використовуючи (15) i (18),
отримуємо
l̆mε
(
x(ε−1, a)
)
= l̆mε
ε−1∫
0
f(τ1, x(τ1))dτ1
Aa
+
+ l̆mε
∞∑
k=mε+1
ε−1∫
0
f(τ1, x(τ1)) . . .
τk−1∫
0
f(τk, x(τk))dτk . . . dτ1
Aka
.
Тому завдяки (17)
∣∣∣l̆mε
(
x(ε−1, a)
)∣∣∣ ≥ ε−1α‖Aa‖ −
∞∑
k=mε+1
δ
k!
≥ ε−1α‖Aa‖ − δ
mε!mε
.
Оскiльки
∥∥∥l̆mε
∥∥∥ = 1, то
∥∥∥l̆mε
(
x(ε−1, a)
)∥∥∥ ≥ ε−1α‖Aa‖ − δ
mε!mε
.
Тому
lim
t→+∞
‖x(t, a)‖ = +∞.
Теорему 5 доведено.
1. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 535 c.
2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
3. Банах С. С. Курс функцiонального аналiзу. — Київ: Рад. шк., 1948. — 216 c.
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1968. — 496 с.
5. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. —
896 с.
6. Слюсарчук В. Ю. Нестiйкiсть розв’язкiв еволюцiйних рiвнянь. — Рiвне: Вид-во Нац. ун-ту вод. госп-ва
та природокористування, 2004. — 416 с.
Одержано 10.10.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
|