Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы
Вивчаються екстремальнi задачi про областi з вiльними полюсами, що належать променевим системам точок.
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178011 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 298-303. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178011 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1780112021-02-18T01:28:34Z Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. Вивчаються екстремальнi задачi про областi з вiльними полюсами, що належать променевим системам точок. We study extremal problems for regions with free poles lying in ray systems of points 2005 Article Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 298-303. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178011 517.54 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Вивчаються екстремальнi задачi про областi з вiльними полюсами, що належать променевим
системам точок. |
| format |
Article |
| author |
Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. |
| spellingShingle |
Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. |
| author_sort |
Бахтин, А.К. |
| title |
Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы |
| title_short |
Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы |
| title_full |
Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы |
| title_fullStr |
Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы |
| title_full_unstemmed |
Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы |
| title_sort |
экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178011 |
| citation_txt |
Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 298-303. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT bahtinak ékstremalʹnyezadačiikvadratičnyedifferencialy AT targonskijal ékstremalʹnyezadačiikvadratičnyedifferencialy |
| first_indexed |
2025-07-15T16:19:02Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:19:02Z |
| _version_ |
1837730463746097152 |
| fulltext |
УДК 517 . 54
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
А. К. Бахтин, А. Л. Таргонский
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
e-mail: abahtin@imath.kiev.ua
We study extremal problems for regions with free poles lying in ray systems of points.
Вивчаються екстремальнi задачi про областi з вiльними полюсами, що належать променевим
системам точок.
Введение. В геометрической теории функций комплексной переменной экстремальные
задачи о неналегающих областях представляют известное классическое направление.
Возникновение этого направления связано с известной работой М. А. Лаврентьева [1],
где была впервые поставлена и решена задача о произведении конформных радиусов
двух взаимно не пересекающихся односвязных областей. В последующем эта задача обоб-
щалась и усиливалась в работах многих авторов (см., например, [2 – 8]). Следует отме-
тить, что большое значение при решении таких задач имеет теория квадратичных диф-
ференциалов, в частности результаты, описывающие локальную и глобальную структу-
ру их траекторий (см., например, [2]).
1. Обозначения и определения. Пусть N, R, C обозначают множества натуральных,
вещественных и комплексных чисел соответственно.
Системой неналегающих областей (с. н. о.) называется конечный набор {Bk}n
k=1 , n ∈
∈ N, n ≥ 2, таких произвольных областей любой связности, что Bk ⊂ C, Bk
⋂
Bm = ∅
∀k 6= m, k,m = 1, n.
Рассмотрим при n ∈ N, n ≥ 2, множество Λn всех наборов точек An = {ak}n
k=1 ⊂
⊂ C \ {0} таких, что
0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg an < 2π.
Такие системы точек An ∈ Λn будем называть лучевыми системами точек. Для лучевых
систем точек введем следующие обозначения: an+1 := a1, a0 := an, σk :=
1
π
(arg ak+1−
− arg ak), k = 1, n. Очевидно, что
n∑
k=1
σk = 2.
На Λn определим функционал
µ = µ (An) = µ ({ak}n
k=1) =
n∏
k=1
χ
(∣∣∣∣ ak
ak+1
∣∣∣∣ 1
2σk
)
|ak|,
где χ (t) =
1
2
(
t + t−1
)
.
c© А. К. Бахтин, А. Л. Таргонский, 2005
298 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 299
Величину r (B, a) будем называть внутренним радиусом области B относительно точ-
ки a (определение внутреннего радиуса области см., например, в [6]).
Рассмотрим функционал
Jn = (r (B0, 0) r (B∞,∞))α
n∏
k=1
r (Bk, ak) ,
где An = {ak}n
k=1 , n ≥ 2, — произвольная система точек множества Λn, {B0, B1, B2, . . .
. . . , Bn, B∞} — произвольная с. н. о., причем 0 ∈ B0, ∞ ∈ B∞, ak ∈ Bk, k = 1, n, а
фиксированное число α ∈ R, α ≥ 0.
В работе при любом n ∈ N, n ≥ 3, и при некоторых ограничениях на систему то-
чек An = {ak}n
k=1 ∈ Λn и с. н. о. {B0, B1, B2, . . . , Bn, B∞} оцениваются сверху значения
функционала Jn. Близкие задачи были рассмотрены в работах [4 – 14].
2. Основные результаты.
Теорема 1. Пусть n ≥ 3, n ∈ N, α ∈ [0; 0, 125] . Тогда для произвольной системы
точек An = {ak}n
k=1 ∈ Λn и произвольной с. н. о. {B0, B1, B2, . . . , Bn, B∞} такой, что
0 ∈ B0, ak ∈ Bk, k = 1, n,∞ ∈ B∞, выполняется неравенство
(r (B0, 0) r (B∞,∞))α
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤ (r (D0, 0) r (D∞,∞))α
n∏
k=1
r (Dk, dk) , (1)
где области D0, D∞, Dk и точки dk, k = 1, n, — соответственно круговые области и
полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −
αw2n + µ
(
n2 − 2α
)
wn + αµ2
w2 (wn − µ)2
dw2. (2)
Теорема 2. Пусть n ≥ 3, n ∈ N, 0 ≤ α ≤
(
7
20
n
)2
. Тогда для произвольной системы
точек An = {ak}n
k=1 ∈ Λn, для которой σk ≤
7
10
√
α
∀k = 1, n, и произвольной с. н. о.
{B0, B1, B2, . . . , Bn, B∞} такой, что 0 ∈ B0, ak ∈ Bk, k = 1, n, ∞ ∈ B∞, выполняется
неравенство (1) с аналогичным утверждением о знаке равенства.
Непосредственно из теоремы 2 получаем следующий результат.
Следствие 1. Пусть n ≥ 3, n ∈ N, 0 < ε0 <
1
n
, 0 ≤ α ≤ 1
2
(
n
2 + ε0n
)2
. Тогда для
произвольной системы точек An = {ak}n
k=1 ∈ Λn, для которой σk =
2
n
+ εk, |εk| ≤ ε0,
k = 1, n, и произвольной с. н. о. {B0, B1, B2, . . . , Bn, B∞} такой, что 0 ∈ B0, ak ∈ Bk,
k = 1, n, ∞ ∈ B∞, выполняется неравенство (1) с аналогичным утверждением о знаке
равенства.
При α = 0 из формулировки теоремы 1 получаем следующий результат.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
300 А. К. БАХТИН, А. Л. ТАРГОНСКИЙ
Следствие 2. Пусть n ≥ 3, n ∈ N. Тогда для произвольной системы точек An =
= {ak}n
k=1 ∈ Λn и с. н. о. {B1, B2, . . . , Bn} такой, что ak ∈ Bk, k = 1, n, выполняется
неравенство
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤
n∏
k=1
r (Dk, dk) ,
где области Dk и точки dk, k = 1, n, — соответственно круговые области и полюсы
квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = − wn−2
(wn − µ)2
dw2.
3. Доказательства. Доказательство теоремы 1. При доказательстве этой теоремы так-
же воспользуемся методом кусочно-разделяющего преобразования В. Н. Дубинина.
Функция
ζk (w) = −i
(
e−i arg akw
) 1
σk , k = 1, 2, . . . , n, (3)
конформно отображает область
∆k := {w : arg ak < arg w < arg ak+1} , k = 1, n,
на правую полуплоскость. Из соотношений (3) видно, что
|ζk (w)− ζk (am)| ∼ 1
σk
|am|
1
σk
−1 |w − am| , w → am,
k = 1, 2, . . . , n, m = k, k + 1, (4)
|ζk (w)| = |w|
1
σk , w → 0, w → ∞.
Обозначим
ζk (ak) =: ω
(k)
1 , ζk (ak+1) =: ω
(k)
2 , k = 1, 2, . . . , n. (5)
Из формул (3) и (5) получаем
ω
(k)
1 = ζk (ak) = −i
(
|ak|
ak
ak
) 1
σk
= −i |ak|
1
σk ,
(6)
ω
(k)
2 = ζk (ak+1) = −i
(
ei(arg ak+1−arg ak) |ak+1|
) 1
σk = i |ak+1|
1
σk , k = 1, n.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 301
Результаты разделяющего преобразования [5, 6] областей B0 и B∞ относительно семей-
ства функций {ζk}n
k=1 обозначим соответственно
{
G
(k)
0
}n
k=1
и
{
G
(k)
∞
}n
k=1
. Результат раз-
деляющего преобразования области Bk, k = 2, 3, . . . , n, относительно семейства функ-
ций {ζk−1, ζk} обозначим
{
G
(k−1)
2 , G
(k)
1
}
. Для области B1 результатом разделяющего пре-
образования относительно семейства функций {ζ1, ζn} будет пара областей
{
G
(1)
1 , G
(n)
2
}
.
Таким образом, совокупность областей {∆k}n
k=1 и любая система точек {0, {ak}n
k=1 ,∞} ,
{ak}n
k=1 ∈ Λn с с. н. о. {B0, B1, B2, . . . , Bn, B∞} такой, что 0 ∈ B0, ak ∈ Bk, k = 1, n, ∞ ∈
∈ B∞, порождают систему точек
{
0, ω
(k)
1 , ω
(k)
2 ,∞
}
такую, что
{
ω
(k)
1 , ω
(k)
2
}
∈ Λ∗2 ∀k = 1, n,
и с. н. о.
{
G
(k)
0 , G
(k)
1 , G
(k)
2 , G
(k)
∞
}
такую, что 0 ∈ G
(k)
0 , ω
(k)
1 ∈ G
(k)
1 , ω
(k)
2 ∈ G
(k)
2 , ∞ ∈ G
(k)
∞ ,
k = 1, n.
Из теоремы 1.9 [6] и соотношений (4) – (6) следуют неравенства
r (Bk, ak) ≤
r
(
G
(k)
1 , ω
(k)
1
)
σ−1
k |ak|
1
σk
−1
r
(
G
(k−1)
2 , ω
(k−1)
2
)
σ−1
k−1 |ak|
1
σk−1
−1
1
2
∀k = 2, . . . , n,
r (B1, a1) ≤
r
(
G
(1)
1 , ω
(1)
1
)
σ−1
1 |a1|
1
σ1
−1
r
(
G
(n)
2 , ω
(n)
2
)
σ−1
n |a1|
1
σn
−1
1
2
, (7)
r (B0, 0) ≤
n∏
k=1
[
r
(
G
(k)
0 , 0
)]σ2
k
2
, r (B∞,∞) ≤
n∏
k=1
[
r
(
G(k)
∞ ,∞
)]α2
k
2
.
Условия реализации знака равенства в неравенствах (7) полностью описаны в теоре-
ме 1.9 [6]. На основании соотношений (7) получаем неравенство
Ξn (p) = [r (B0, 0) r (B∞,∞)]α
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤
≤
n∏
k=1
(
r
(
G
(k)
0 , 0
)
r
(
G(k)
∞ ,∞
))ασ2
k
2
r
(
G
(k)
1 , ω
(k)
1
)
r
(
G
(k)
2 , ω
(k)
2
)
(σk−1σk)−1 (|ak| |ak+1|)
1
σk
−1
1
2
, (8)
где σ0 := σn. Выражение (8) можно записать следующим образом:
Ξn ≤ 2n
n∏
k=1
σk
n∏
k=1
χ
(∣∣∣∣ ak
ak+1
∣∣∣∣ 1
2σk
)
|ak|×
×
n∏
k=1
r
(
G
(k)
1 , ω
(k)
1
)
r
(
G
(k)
2 , ω
(k)
2
)
(
|ak|
1
σk + |ak+1|
1
σk
)2
(
r
(
G
(k)
0 , 0
)
r
(
G(k)
∞ ,∞
))ασ2
k
1
2
. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
302 А. К. БАХТИН, А. Л. ТАРГОНСКИЙ
Каждое выражение, стоящее в фигурных скобках неравенства (9), является значением
функционала
Γτ = (r (B0, 0) r (B∞,∞))τ2 r (B1, a1) r (B2, a2)
|a1 − a2|2
(10)
на системе точек
{
0, ω
(k)
1 , ω
(k)
2 ,∞
}
и с. н. о.
{
G
(k)
0 , G
(k)
1 , G
(k)
2 , G
(k)
∞
}
, k = 1, n. На основании
теоремы 1 [10, 11] и инвариантности функционала (10) получаем оценку
Γτ ≤ Ψ(τ) , (11)
где Ψ(τ) — положительная функция, равная значению функционала Γτ на системе точек
{0, i,−i,∞} и с. н. о.
{
B0
0 , B0
1 , B0
2 , B0
∞
}
, а B0
0 , B0
1 , B0
2 , B0
3 — круговые области квадратич-
ного дифференциала
Q(w)dw2 = −
w4 + 2
(
1− 2
τ2
)
w2 + 1
w2 (w2 + 1)2
dw2.
Тогда из (9) и (11) получаем соотношение
Ξn ≤
(
4
n
)n
µ
(
n∏
k=1
Ψ
(√
ασk
)) 1
2
. (12)
Пользуясь результатами [6, 8], нетрудно показать, что функция log Ψ (τ) выпукла на
промежутке
[
0;
1√
2
]
. Тогда из (12) имеем соотношение
Ξn ≤
(
4
n
)n
µ
(
Ψ
(
2
√
α
n
))n
2
для 0 ≤ α ≤ 0, 125. Из (13) следует справедливость неравенства (1) и квадратичного
дифференциала (2).
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2, в основном, аналогично доказательству теоремы 1.
1. Лаврентьев М. А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. — 1934. —
5. — С. 159 – 245.
2. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. — М.: Изд-во иностр. лит.,
1962. — 256 с.
3. Бахтина Г. П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих
областях: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Киев, 1975. — 11 с.
4. Кузьмина Г. В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы // Зап. научн. сем. Ленингр.
отд-ния Мат. ин-та РАН. — 2001. — 276. — С. 253 – 275.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 303
5. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. —
Владивосток, 1988. — 193 с.
6. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного
// Успехи мат. наук. — 1994. — 49, № 1 (295). — С. 3 – 76.
7. Ковалев Л. В. О трех непересекающихся областях // Дальневост. мат. журн. — 2000. — 1, № 1. — С. 3 – 7.
8. Емельянов Е. Г. К задаче о максимуме произведения степеней конформных радиусов неналегающих
областей // Зап. научн. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та РАН. — 2002. — 286. — С. 103 – 114.
9. Bakhtin А. К. Extremal problems for non-overlapping domains with free poles on closed curves // Int. Work-
shop Potential Theory and Free Boundary Flows: Abstrs. — Kiev: Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine,
2003. — P. 4.
10. Бахтин А. К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окруж-
ности // Некоторые экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами. —
Киев, 2003. — С. 1 — 45. — (Препринт/ НАН Украины. Ин-т математики; 2003.6).
11. Бахтин А. К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окруж-
ности // Допов. НАН України. — 2004. — № 8. — С. 7 – 15.
12. Бахтин А. К. Кусочно-разделяющее преобразование и экстремальные задачи со свободными полю-
сами на лучах // Там же. — № 12. — С. 7 – 13.
13. Бахтин А. К., Таргонский А. Л. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными по-
люсами на лучах // Там же. — № 7. — C. 7 – 13.
14. Бахтин А. К., Таргонский А. Л. Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со
свободными полюсами на лучах // Некоторые экстремальные задачи о неналегающих областях со
свободными полюсами. — Киев, 2003. — С. 46 – 67. — (Препринт/ НАН Украины. Ин-т математики;
2003.6).
Получено 14.02.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
|