Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками
Для неоднорiдних стохастичних диференцiальних рiвнянь iз стрибками вводиться поняття iнварiантних поверхонь. Отриманi результати дають загальнi можливостi знаходження iнварiантних поверхонь для вказаних стохастичних диференцiальних рiвнянь....
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178022 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками / Г.Л. Кулініч, С.В. Кушніренко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 234-240. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178022 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1780222021-02-18T01:27:51Z Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками Кулініч, Г.Л. Кушніренко, С.В. Для неоднорiдних стохастичних диференцiальних рiвнянь iз стрибками вводиться поняття iнварiантних поверхонь. Отриманi результати дають загальнi можливостi знаходження iнварiантних поверхонь для вказаних стохастичних диференцiальних рiвнянь. We introduce the notion of an invariant surface for nonhomogeneous stochastic differential equations with jumps. We obtain results that allow to determine invariant surfaces of such stochastic differential equations. 2005 Article Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками / Г.Л. Кулініч, С.В. Кушніренко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 234-240. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178022 519.21 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Для неоднорiдних стохастичних диференцiальних рiвнянь iз стрибками вводиться поняття
iнварiантних поверхонь. Отриманi результати дають загальнi можливостi знаходження iнварiантних поверхонь для вказаних стохастичних диференцiальних рiвнянь. |
| format |
Article |
| author |
Кулініч, Г.Л. Кушніренко, С.В. |
| spellingShingle |
Кулініч, Г.Л. Кушніренко, С.В. Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками Нелінійні коливання |
| author_facet |
Кулініч, Г.Л. Кушніренко, С.В. |
| author_sort |
Кулініч, Г.Л. |
| title |
Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками |
| title_short |
Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками |
| title_full |
Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками |
| title_fullStr |
Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками |
| title_full_unstemmed |
Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками |
| title_sort |
інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178022 |
| citation_txt |
Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками / Г.Л. Кулініч, С.В. Кушніренко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 234-240. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kulíníčgl ínvaríantnímnožinisistemstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹízstribkami AT kušnírenkosv ínvaríantnímnožinisistemstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹízstribkami |
| first_indexed |
2025-07-15T16:23:21Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:23:21Z |
| _version_ |
1837730734819770368 |
| fulltext |
УДК 519 . 21
IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ СИСТЕМ
СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ СТРИБКАМИ
Г. Л. Кулiнiч, С. В. Кушнiренко
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
e-mail: bksv@univ.kiev.ua
We introduce the notion of an invariant surface for nonhomogeneous stochastic differential equations with
jumps. We obtain results that allow to determine invariant surfaces of such stochastic differential equations.
Для неоднорiдних стохастичних диференцiальних рiвнянь iз стрибками вводиться поняття
iнварiантних поверхонь. Отриманi результати дають загальнi можливостi знаходження iнва-
рiантних поверхонь для вказаних стохастичних диференцiальних рiвнянь.
1. Вступ. Розглянемо систему стохастичних диференцiальних рiвнянь (СДР)
dξ(t) = a(t, ξ(t)) dt +
n∑
k=1
bk(t, ξ(t)) dwk(t)+
+
∫
Θ1
c(t, ξ(t−), θ) ν̃(dt, dθ) +
∫
Θ2
c(t, ξ(t−), θ) ν(dt, dθ), (1)
ξ(t0) = x0(t0 ≥ 0, x0 = (x10, x20, . . . , xn0)),
де a(t, x) = (ai(t, x), i = 1, n), bk(t, x) = (bik(t, x), i = 1, n), c(t, x, θ) = (ci(t, x, θ), i = 1, n)
— дiйснi невипадковi векторнi функцiї, визначенi при t ≥ t0, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn,
θ ∈ Θ, Θ = Θ1 ∪ Θ2, Θ1 ∩ Θ2 = ∅; (Θ,BΘ) — вимiрний простiр; wk(t) — незалежнi
в сукупностi одновимiрнi вiнерiвськi процеси; ν([0, t], A) — пуассонiвська мiра, для якої
Eν([0, t], A) = tΠ(A), A ∈ BΘ, ν̃(dt, dθ) = ν(dt, dθ)−Π(dθ)dt, Π(Θ1) = ∞,
∫
Θ1
|θ|2Π(dθ) < ∞,
Π(Θ2) < ∞; процеси wk(t) i мiра ν([0, t], A) заданi на ймовiрнiсному просторi (Ω,=, P ), =t-
вимiрнi при будь-якому t ≥ t0 i A, а також незалежнi мiж собою, =t ⊂ = — неспадний
потiк σ-алгебр.
Припустимо, що для коефiцiєнтiв рiвняння (1) виконуються наступнi умови: a(t, x),
bk(t, x),
∫
Θ1
c(t, x, θ)Π(dθ) неперервнi по змiнних (t, x), c(t, x, θ) неперервна по (t, x) за мiрою
Π(dθ) при θ ∈ Θ2;
iснує стала C > 0 така, що
| a(t, x)|2 +
n∑
k=1
| bk(t, x)|2 +
∫
Θ
| c(t, x, θ)|2Π(dθ) ≤ C[1 + |x|2],
c© Г. Л. Кулiнiч, С. В. Кушнiренко, 2005
234 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ СТРИБКАМИ 235
для довiльної сталої N > 0 iснує стала CN така, що
|a(t, x)− a(t, y)|2 +
n∑
k=1
|bk(t, x)− bk(t, y)|2 +
∫
Θ1
|c(t, x, θ)− c(t, y, θ)|2 Π(dθ) ≤ CN |x− y|2
при t ≤ N, |x| ≤ N, |y| ≤ N .
Вiдомо (див. [1]), що вказанi умови гарантують iснування єдиного неперервного спра-
ва сильного розв’язку ξ(t) = (ξi(t), i = 1, n) рiвняння (1).
Розглянемо область Q = [0,∞) × D, де D — певна вiдкрита область iз Rn i така, що
Π{θ ∈ Θ : (t, x + c(t, x, θ)) 6∈ Q} = 0 для всiх (t, x) ∈ Q. Нехай (t0, x0) ∈ Q. Позначи-
мо через τQ(t0, x0) момент першого виходу траєкторiї розв’язку ξ(t) iз областi Q, тобто
τQ(t0, x0) = inf{t ≥ t0 : ξ(t) 6∈ Q}, якщо множина тих t ≥ t0, для яких ξ(t) 6∈ Q, не є
порожньою, i τQ(t0, x0) = ∞ — у протилежному випадку.
Далi будемо дотримуватись таких позначень: (·, ·) — скалярний добуток,
∇x· =
(
∂·
∂x1
,
∂·
∂x2
, · · · ,
∂·
∂xn
)
,
(
∇x·, bk(x)
)2
G(x) =
n∑
i=1
G
′′
x2
i
(x) b2
ki(x) +
n∑
i,j=1,i6=j
G
′′
xixj
(x)bki(x)bkj(x),
LG(t, x) = G
′
t(t, x) +
∇xG(t, x), a(t, x)−
∫
Θ1
c(t, x, θ) Π(dθ)
+
+
1
2
n∑
k=1
(∇x·, bk(t, x)
)2
G(t, x),
4G(t, x, θ) = G(t, x + c(t, x, θ))−G(t, x).
Позначимо через ΓQ(G) множину Γ = {(t, x) : G(t, x) = C} ⊂ Q, де функцiя G(t, x)
визначена в областi Q, має неперервнi похiднi G′
t, G′
xi
, G′′
xixj
в Q, поверхня G(t, x) = C є
простою у розумiннi Жордана i∫
Θ
[4G(t, x, θ)] k Π(dθ), k = 1, 2, (2)
неперервнi по змiнних (t, x).
Означення 1. Множина ΓQ(G) називається iнварiантною в областi Q множиною рiв-
няння (1), якщо для всiх (t0, x0) ∈ ΓQ(G) i всiх t ≥ t0:
[G(t, ξ(t))− C]φ(t) = 0 з iмовiрнiстю 1,
де C = G(t0, x0), φ(t) = 1 при t0 ≤ t < τQ(t0, x0) i φ(t) = 0 при t ≥ τQ(t0, x0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
236 Г. Л. КУЛIНIЧ, С. В. КУШНIРЕНКО
У данiй роботi для iнварiантностi в областi Q множини ΓQ(G) рiвняння (1) отри-
мано необхiднi умови (теорема 1), необхiднi та достатнi умови (теорема 2), достатнi
умови (теореми 3, 4). Для рiвняння вигляду (1) при c(t, x, θ) ≡ 0, θ ∈ Θ1, аналогiчнi
результати отримано в роботi [2].
2. Необхiднi та достатнi умови iнварiантностi.
Теорема 1. Для iнварiантностi множини ΓQ(G) рiвняння (1) необхiдно, щоб для всiх
(t, x) ∈ ΓQ(G) мали мiсце рiвностi
(∇xG(t, x), bk(t, x)) = 0, k = 1, n, (3)
LG(t, x) = 0, (4)
Π{θ ∈ Θ : 4G(t, x, θ) 6= 0} = 0. (5)
Доведення. Нехай множина ΓQ(G) iнварiантна в областi Q i (t0, x0) ∈ ΓQ(G). Оскiльки
похiднi G′
t, G′
xi
, G′
xixj
неперервнi в областi Q i в областi Q виконуються умови (2), то при
t0 ≤ t < τQ(t0, x0) має мiсце формула Iто (див. [1]), згiдно з якою
G(t, ξ(t)) = G(t0, x0) + I1(t) + I2(t), (6)
де
I1(t) =
t∫
0
LG(s, ξ(s)) +
∫
Θ
4G(s, ξ(s), θ)Π(dθ)
ds,
I2(t) =
n∑
k=1
t∫
0
(
∇xG(s, ξ(s)), bk(s, ξ(s))
)
dwk(s) +
t∫
0
∫
Θ
4G(s, ξ(s), θ)ν̃(ds, dθ).
Оскiльки (t0, x0) ∈ ΓQ(G), то згiдно з (6) при всiх t0 ≤ t < τQ(t0, x0)
−I1(t) = I2(t). (7)
Процес I1(t) є абсолютно неперервним з iмовiрнiстю 1, тобто має похiдну з iмовiрнiстю
1, а процес I2(t) — локальний мартингал, тобто не має похiдної з iмовiрнiстю 1. Тому
рiвнiсть (7) може мати мiсце лише у випадку, коли при всiх t0 ≤ t < τQ(t0, x0)
I1(t) = 0, I2(t) = 0. (8)
Далi доведення теореми аналогiчне доведенню теореми 1 (див. [2]).
Теорема 2. Для того щоб множинa ΓQ(G) булa iнварiантною в областi Q множиною
рiвняння (1) при C = G(t0, x0) для (t0, x0) ∈ Q, необхiдно i досить, щоб рiвностi (3), (4)
мали мiсце при всiх (t, x) ∈ Q,
Π{θ ∈ Θ1 : 4G(t, x, θ) 6= 0} = 0 для всiх (t, x) ∈ Q,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ СТРИБКАМИ 237
Π{θ ∈ Θ2 : 4G(t, x, θ) 6= 0} = 0 для всiх (t, x) ∈ ΓQ(G).
Доведення. Необхiднiсть умов теореми випливає iз теореми 1. При доведеннi достат-
ностi скористаємось умовою Π(Θ2) < ∞, з якої випливає, що процес ν([0, t],Θ2) на ко-
жному скiнченному промiжку часу має лише скiнченне число стрибкiв (див. [1, с. 232]),
тобто iснують t0 < τ1 < τ2 < . . . та θk ∈ Θ2 такi, що пари {τk, θk} є незалежними,
ν({τk}, {θk}) = 1, k = 1, 2, . . . . Тодi ξ(t) при t0 ≤ t < τ1 є розв’язком рiвняння
ξ(t) = ξ(t0) +
t∫
t0
a(s, ξ(s)) ds +
n∑
k=1
t∫
t0
bk(s, ξ(s)) dwk(s) +
t∫
t0
∫
Θ1
c(s, ξ(s−), θ) ν̃(ds, dθ). (9)
Нехай (t0, x0) ∈ Q i τ1 < τQ(t0, x0). Розглянемо криву ΓQ(G) = {(t, x) ∈ Q : G(t, x) =
= G(t0, x0)}. При t0 ≤ t < τ1 використаємо формулу Iто
G(t, ξ(t)) = G(t0, x0) +
t∫
t0
L(s, ξ(s)) +
∫
Θ1
4G(s, ξ(s), θ)Π(dθ)
ds+
+
n∑
k=1
t∫
t0
(∇G(s, ξ(s)), bk(s, ξ(s))) dwk(s) +
t∫
t0
∫
Θ1
[4G(s, ξ(s−), θ)] ν̃(ds, dθ). (10)
Враховуючи умови теореми, отримуємо G(t, ξ(t)) = G(t0, x0) при t0 ≤ t < τ1, тоб-
то (t, ξ(t)) ∈ ΓQ(G) з iмовiрнiстю одиниця. Далi, ξ(t) → ξ(τ1 − 0) при t → τ1, тоб-
то G(t, ξ(t)) → G(τ1, ξ(τ1 − 0)) при t → τ1. Oтже, G(τ1, ξ(τ1 − 0)) = G(t0, x0), звiдки
(τ1, ξ(τ1 − 0)) ∈ ΓQ(G).
Згiдно з iдеєю побудови розв’язку рiвняння (1)
ξ(τ1) = ξ(τ1 − 0) + c(τ1, ξ(τ1 − 0), θ1),
а використовуючи умови теореми, переконуємося, що (τ1, ξ(τ1)) ∈ ΓQ(G).
Аналогiчно на кожному з промiжкiв τk ≤ t < τk+1, де k = 1, 2, . . . , a t < τQ(t0, x0),
маємо рiвняння
ξ(t) = ξ(τk) +
t∫
τk
a(s, ξ(s)) ds +
n∑
i=1
t∫
τk
bi(s, ξ(s)) dwi(s) +
t∫
τk
∫
Θ1
c(s, ξ(s−), θ)ν̃(ds, dθ),
де (τk, ξ(τk)) ∈ ΓQ(G). Використовуючи при τk ≤ t < τk+1 формулу Iто та умови тео-
реми, отримуємо G(t, ξ(t)) = G(τk, ξ(τk)) при τk ≤ t < τk+1, тобто (t, ξ(t)) ∈ ΓQ(G) з
iмовiрнiстю 1 на розглядуваному промiжку.
Аналогiчно ξ(τk+1 − 0) + c(τk+1, ξ(τk+1 − 0), θk+1) = ξ(τk+1), а використовуючи умови
теореми, переконуємося, що (τk+1, ξ(τk+1)) ∈ ΓQ(G).
Нехай τ∗ = max
k
{τk < τQ(t0, x0)}. Справедливiсть рiвностi G(t, ξ(t)) = G(t0, x0) при
τ∗ ≤ t < τQ(t0, x0) встановлюється тими ж мiркуваннями, що i при t0 ≤ t < τ1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
238 Г. Л. КУЛIНIЧ, С. В. КУШНIРЕНКО
Отже, з iмовiрнiстю 1 має мiсце рiвнiсть G(t, ξ(t)) = G(t0, x0) при t0 ≤ t < τQ(t0, x0).
За означенням 1 множина ΓQ(G) буде iнварiантною множиною рiвняння (1) в областi Q.
Наслiдок 1. Для iнварiантностi множини ΓQ(G) рiвняння (1) при C = G(t0, x0) для
(t0, x0) ∈ Q у випадку bk(t, x) = 0, k = 1, n, необхiдно i досить, щоб для всiх (t, x) ∈ Q
виконувались умови
G′
t(t, x) +
∇xG(t, x), a(t, x)−
∫
Θ1
c(t, x, θ) Π(dθ)
= 0,
Π{θ ∈ Θ1 : 4G(t, x, θ) 6= 0} = 0,
Π{θ ∈ Θ2 : 4G(t, x, θ) 6= 0} = 0 для всiх (t, x) ∈ ΓQ(G).
Наслiдок 2. Якщо в рiвняннi (1) a(t, x) = 0, bk(t, x) = 0, k = 1, n, c(t, x, θ) = 0 при
θ ∈ Θ1, (t, x) ∈ Q i G(t, x) = G(x) для всiх (t, x) ∈ Q в множинi ΓQ(G), то умова
Π{θ ∈ Θ2 : 4G(t, x, θ) 6= 0} = 0 при всiх (t, x) ∈ ΓQ(G)
є необхiдною i достатньою умовою iнварiантностi в областi Q множини ΓQ(G) для
такого рiвняння.
Зауваження 1. В умовах наслiдкiв 1, 2 для функцiї G(t, x) не потрiбно вимагати не-
перервностi других похiдних, а досить вимагати неперервної диференцiйовностi функцiї
G(t, x) в областi Q. Це випливає з умов, якi накладаються на функцiю G(t, x), для справед-
ливостi формули Iто (див. [1]).
Теорема 3. Для того щоб множина ΓQ(G) була iнварiантною в областi Q множиною
рiвняння (1) для C = C0, досить, щоб iснували функцiї Fi(t, x, y), i = 1, 2, визначенi в
областi (t, x, y) ∈ Q × I, де I = {G(t, x) : (t, x) ∈ Q}, такi, що при всiх (t, x) ∈ Q
справджуються рiвностi
LG(t, x) = F1(t, x,G(t, x)),
n∑
k=1
(∇xG(t, x), bk(t, x))2 = F 2
2 (t, x, G(t, x)),
Π{θ ∈ Θ1 : 4G(t, x, θ) 6= 0} = 0
та умова
Π{θ ∈ Θ2 : 4G(t, x, θ) 6= 0} = 0 для всiх (t, x) ∈ ΓQ(G),
Fi(t, x, C0) = 0 для всiх (t, x) ∈ Q, i = 1, 2,
крiм того, стохастичне рiвняння
dη(t) = F1(t, ξ(t), η(t)) dt + F2(t, ξ(t), η(t)) dw(t) (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ СТРИБКАМИ 239
з випадковими коефiцiєнтами Fi(t, ξ(t), y), i = 1, 2, при t0 ≤ t < τQ(t0, x0) мало єдиний
сильний розв’язок η(t) такий, що η(t0) = C0.
Доведення. Нехай (t0, x0) ∈ ΓQ(G) i G(t0, x0) = C0. У рiвностi (10) скористаємося при
t0 ≤ t < τ1 < τQ(t0, x0) зображенням (див. [3, c. 106])
n∑
k=1
t∫
0
(∇xG(s, ξ(s)), bk(s, ξ(s))) dwk(s) =
t∫
0
F2(s, ξ(s), G(s, ξ(s))) dw(s),
де w(t) — одновимiрний вiнерiвський процес, незалежний вiд мiри ν([0, t], A).
Отже, для процесу η(t) = G(t, ξ(t)) отримаємо рiвняння (11) або
η(t) = G(t0, x0) +
t∫
t0
F1(s, ξ(s), η(s)) ds +
t∫
t0
F2(s, ξ(s), η(s)) dw(s).
З умов теореми випливає, що η(t) = C0 — стацiонарний розв’язок цього рiвняння. Iз
сильної єдиностi розв’язку η(t) маємо η(t) = G(t0, x0) = C0 при t0 ≤ t < τ1. Враховуючи
неперервнiсть функцiї G(t, x) i процесу η(t) при t < τ1, маємо G(τ1, ξ(τ1 − 0)) = C0.
Iз побудови розв’язку рiвняння (1) випливає, що ξ(τ1) = ξ(τ1 − 0) + c(τ1, ξ(τ1 − 0), θ1),
а використовуючи умови теореми, одержуємо
G(τ1, ξ(τ1)) = G(τ1, ξ(τ1 − 0) + c(τ1, ξ(τ1 − 0), θ1)) = G(τ1, ξ(τ1 − 0)) = C0.
Отже, G(t, ξ(t)) = G(t0, x0) = C0 з iмовiрнiстю 1 при t0 ≤ t ≤ τ1.
Аналогiчнi мiркування можна повторити при τ1 ≤ t < τ2 i при всiх t < τQ(t0, x0) отри-
мати, що множина ΓQ(G) при C = C0 є iнварiантною множиною рiвняння (1) в областi Q.
Теорема 4. Для того щоб множина ΓQ(G) при C = C0 була iнварiантною в областi
Q множиною рiвняння (1), досить, щоб при всiх (t, x) ∈ Q виконувались умови:
1) G(t, x) ≥ C0
(
G(t, x) = C0 при всiх (t, x) ∈ ΓQ(G)
)
;
2) LG(t, x) +
∫
Θ1
4G(t, x, θ) Π(dθ) ≤ 0;
3)
n∑
k=1
(∇xG(t, x), bk(t, x))2 +
∫
Θ1
[4G(t, x, θ)]2 Π(dθ) ≤ l0
[
1 + |x|2
]
;
4) Π{θ ∈ Θ2 : G(t, x + c(t, x, θ))−G(t, x) 6= 0} = 0 при всiх (t, x) ∈ ΓQ(G).
Доведення. Нехай (t0, x0) ∈ ΓQ(G), G(t0, x0) = C0. При t0 ≤ t < τ1 < τQ(t0, x0) (див.
доведення теореми 2) скористаємося рiвнiстю (10). Використовуючи умову 2 теореми,
маємо, що при t0 ≤ t < τ1 виконується нерiвнiсть
G(t, ξ(t))− C0 ≤ I(t), (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
240 Г. Л. КУЛIНIЧ, С. В. КУШНIРЕНКО
де
I(t) =
n∑
k=1
t∫
t0
(∇xG(s, ξ(s)), bk(s, ξ(s))) dwk(s)+
+
t∫
t0
∫
Θ1
[G (s, ξ(s−) + c(s, ξ(s−), θ))−G (s, ξ(s−))] ν̃(ds, dθ).
Позначимо τ̃1(t) = min(t, τ1). Оскiльки τ1 — марковський момент, то i τ̃1(t) теж буде
марковським моментом. Використовуючи умову 3 теореми, переконуємося, що випадко-
ва величина < I(τ̃1(t)) >, де < I(t) > — характеристика мартингала I(t), має скiнченне
математичне сподiвання, тому EI(τ̃1(t)) = 0. Отже, враховуючи нерiвнiсть (12), маємо
E[G(τ̃1(t), ξ(τ̃1(t)))− C0] ≤ 0.
З отриманої нерiвностi та умови 1 теореми випливає справедливiсть рiвностi
G(τ̃1(t), ξ(τ̃1(t)))− C0 = 0 з iмовiрнiстю 1.
Оcкiльки при зростаннi t τ̃1(t) → τ1, a G(t, x) — неперервна функцiя, то G(τ̃1(t), ξ(τ̃1(t))) →
→ G(τ1, ξ(τ1 − 0)) при t → τ1, отже, G(τ1, ξ(τ1 − 0)) = C0.
Згiдно з iдеєю побудови розв’язку ξ(t) рiвняння (1)
ξ(τ1) = ξ(τ1 − 0) + c(τ1, ξ(τ1 − 0), θ1),
а використовуючи умову 4 теореми отримуємо, що G(τ1, ξ(τ1)) ∈ ΓQ(G).
Аналогiчно на кожному з промiжкiв τk ≤ t < τk+1 < τQ(t0, x0) отримаємо з iмо-
вiрнiстю 1 рiвнiсть G(t, ξ(t)) = C0. Справедливiсть рiвностi G(t, ξ(t)) = G(t0, x0) при
τ∗ ≤ t < τQ(t0, x0), де τ∗ = max
k
{τk < τQ(t0, x0)}, встановлюється тими ж мiркуваннями,
що i при t0 ≤ t < τ1.
Отже,
[G(t, ξ(t))− C0]1{t<τQ(t0,x0)} = 0 з iмовiрнiстю 1,
тобто множина ΓQ(G) є iнварiантною в областi Q множиною рiвняння (1).
3. Висновок. Отриманi в роботi результати мають теоретичне значення та практичне
застосування при побудовi математичних моделей та дослiдженнi поведiнки динамiчних
систем при випадкових збуреннях процесами типу „бiлого” i „дробового” шумiв.
1. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. — Ки-
ев: Наук. думка, 1982. — 611 с.
2. Кулiнiч Г. Л., Кушнiренко С. В. Iнварiантнi множини систем стохастичних диференцiальних рiвнянь
без пiслядiї // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. — 2000. — Вип. 63. — С. 112 – 118.
3. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов: В 3 т. — М.: Наука, 1975. — Т. 3. — 496 с.
Одержано 31.03.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
|