Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи
Знайдено оцiнки областi значень малого параметра, для яких зберiгається збiжнiсть iтерацiйної процедури для побудови розв’язкiв нетерової слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному та некритичному випадках....
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178026 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи / А.С. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 278-288. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178026 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1780262021-02-18T01:27:26Z Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи Чуйко, A.С. Знайдено оцiнки областi значень малого параметра, для яких зберiгається збiжнiсть iтерацiйної процедури для побудови розв’язкiв нетерової слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному та некритичному випадках. We find estimates for values of the small parameter such that the iteration procedure used to construct solutions of a Noetherian semi-nonlinear boundary-value problem for a system of ordinary differential equations is convergent in both the critical and the noncritical cases. 2005 Article Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи / А.С. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 278-288. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178026 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Знайдено оцiнки областi значень малого параметра, для яких зберiгається збiжнiсть iтерацiйної процедури для побудови розв’язкiв нетерової слабконелiнiйної крайової задачi для системи
звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному та некритичному випадках. |
| format |
Article |
| author |
Чуйко, A.С. |
| spellingShingle |
Чуйко, A.С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи Нелінійні коливання |
| author_facet |
Чуйко, A.С. |
| author_sort |
Чуйко, A.С. |
| title |
Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи |
| title_short |
Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи |
| title_full |
Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи |
| title_fullStr |
Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи |
| title_full_unstemmed |
Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи |
| title_sort |
область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178026 |
| citation_txt |
Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи / А.С. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 278-288. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT čujkoas oblastʹshodimostiiteracionnojprocedurydlâslabonelinejnojkraevojzadači |
| first_indexed |
2025-07-15T16:23:38Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:23:38Z |
| _version_ |
1837730755268050944 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ
ДЛЯ СЛАБОНЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
А. С. Чуйко
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
e-mail: chujko-slav@inbox.ru
We find estimates for values of the small parameter such that the iteration procedure used to construct
solutions of a Noetherian semi-nonlinear boundary-value problem for a system of ordinary differential
equations is convergent in both the critical and the noncritical cases.
Знайдено оцiнки областi значень малого параметра, для яких зберiгається збiжнiсть iтерацiй-
ної процедури для побудови розв’язкiв нетерової слабконелiнiйної крайової задачi для системи
звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному та некритичному випадках.
1. Постановка задачи. Найдем оценку ε∗ длины отрезка [0, ε∗], на котором сохраня-
ется сходимость итерационной процедуры [1, 2] для построения решения z(t, ε) = col (z1(t,
ε), . . . , zn(t, ε)), zi(·, ε) ∈ C1[a, b], zi(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n, системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
dz
dt
= A(t)z + f(t) + εZ(z, t, ε), (1)
удовлетворяющих краевому условию
`z(·, ε) = α + εJ(z(·, ε), ε). (2)
Решение задачи (1), (2) ищем в малой окрестности решения порождающей задачи
dz0
dt
= A(t)z0 + f(t), (3)
`z0(·) = α, α ∈ Rm. (4)
Здесь A(t) — (n×n)-мерная матрица и f(t) — n-мерный вектор-столбец, элементы кото-
рых — непрерывные на отрезке [a, b] действительные функции, `z(·) — линейный огра-
ниченный векторный функционал вида `z(·) = col (`1z(·), . . . , `mz(·)), где m 6= n, `1z(·), . . .
. . . , `mz(·) : C[a, b] → R1 — линейные ограниченные функционалы. Нелинейности
Z(z, t, ε) и J(z(·, ε), ε) задачи (1), (2) непрерывно дифференцируемы по неизвестной z в
малой окрестности порождающего решения и непрерывны по малому параметру ε в ма-
лой положительной окрестности нуля. Кроме того, считаем вектор-функцию Z(z, t, ε)
непрерывной по независимой переменной t на отрезке [a, b].
c© А. С. Чуйко, 2005
278 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ СЛАБОНЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 279
Для определения величины ε∗ ранее был использован метод мажорирующих уравне-
ний Ляпунова [2 – 4], основной трудностью которого было нахождение этих уравнений. В
данной статье предложены конструктивные формулы для вычисления величины ε∗ как
в критических, так и в некритических случаях.
2. Некритический случай. Предположим, что для порождающей задачи (3), (4) имеет
место некритический случай PQ∗ = 0. Здесь Q = `X(·) — (m × n)-матрица, PQ∗ — (m ×
×m)-матрица-ортопроектор PQ∗ : Rm → N(Q∗), X(t) — нормальная фундаментальная
матрица (X(a) = In) однородной части системы (3). При этом общее решение задачи (3),
(4) z0(t, cr) = Xr(t)cr + G[f ;α](t) определяет обобщенный оператор Грина задачи (3), (4)
G[f ;α](t) = X(t)Q+{α− `K[f ](·)}+ K[f ](t).
Здесь Q+ — псевдообратная матрица по Муру – Пенроузу [1].
В некритическом случае задача (1), (2) разрешима для любых нелинейностей диффе-
ренциальной системы Z(z(t, ε), t, ε) и краевого условия J(z(·, ε), ε). Искомое решение
z(t, ε) = z0(t, cr)+x(t, ε) ищем в окрестности решения порождающей задачи. Для нахож-
дения возмущения
x(t, ε) = col (x1(t, ε), . . . , xn(t, ε)),
xj(·, ε) ∈ C1[a, b], xj(t, ·) ∈ C[0, ε0], x(t, 0) ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n,
порождающего решения z0(t, cr) получаем задачу
dx
dt
= A(t)x + εZ(z0 + x, t, ε), (5)
`x(·, ε) = εJ(z0(·, cr) + x(·, ε), ε). (6)
Решение задачи (5), (6) представимо в виде
x(t, ε) = Xr(t)cr(ε) + x(1)(t, ε), (7)
где x(1)(t, ε) = εG [Z(z0(s, cr) + x(s, ε), s, ε);J(z0(·, cr) + x(·, ε), ε)] (t). Произвольный век-
тор
cr(ε) = col
(
c(1)
r (ε), . . . , c(r)
r (ε)
)
,
c(j)
r (·) ∈ C1[0, ε0], cr(0) = 0, j = 1, 2, . . . , r.
Оператор Грина в равенстве (7) определяет непрерывный оператор
Φ0x(t, ε) = Xr(t)cr(ε) + εX(t)Q+{J(z0(·, cr) + x(·, ε), ε)−
− `K[Z(z0(s, cr) + x(s, ε), s, ε)](·)}+ εK[Z(z0(s, cr) + x(s, ε), s, ε)](t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
280 А. С. ЧУЙКО
Система x(t, ε) = Φ0x(t, ε) в этом случае эквивалентна краевой задаче (1), (2) на мно-
жестве функций x(t, ε), обращающихся в нуль при ε = 0, причем для построения реше-
ний этой операторной системы применим [1, 2] метод простых итераций. Таким образом,
получаем итерационную процедуру
xk+1(t, ε) = Φ0 xk(t, ε), x0(t, ε) ≡ 0, k = 0, 1, . . . . (8)
Пусть x(t, ε), y(t, ε) — вектор-функции из малой окрестности нуля, причем
x(t, ε) = col (x1(t, ε), . . . , xn(t, ε)), y(t, ε) = col (y1(t, ε), . . . , yn(t, ε)),
xi(·, ε) ∈ C1[a, b], xi(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
yi(·, ε) ∈ C1[a, b], yi(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n.
Норму функции ϕ(t) = col (ϕ1(t), . . . , ϕn(t)), ϕi(·) ∈ C[a, b], i = 1, 2, . . . , n, полагаем рав-
ной [5, с. 385, 6, с. 123]
‖ϕ(t)‖ = max
1≤i≤n
‖ϕi(t)‖, ‖ϕi(t)‖ = max
a≤t≤b
|ϕi(t)| .
Нормой (m× n)-матрицы A(t) = aij(t), aij(·) ∈ C[a, b], будем называть число
‖A(t)‖ = max
1≤i≤n
n∑
j=1
‖aij(t)‖.
В силу теоремы Рисса векторный функционал `x(·) = col (`1x(·), . . . , `mx(·)) , определен-
ный на пространстве непрерывных вектор-функций, представим в виде интеграла Рима-
на – Стильтьеса
`x(·) =
b∫
a
dΩ(t) x(t),
где Ω(t) — (m× n)-матрица, элементы которой — функции ограниченной на [a, b] вариа-
ции; при этом ‖`x(·)‖ = ‖Ω(t)‖.
Для некоторых точек ξ(t, ε) и ζ(t, ε) отрезка, соединяющего точки z0(t, cr) + x(t, ε) и
z0(t, cr) + y(t, ε), и достаточно малых норм векторов x(t, ε), y(t, ε) справедливы оценки
‖Z(z0(t, cr) + x(t, ε), s, ε)− Z(z0(t, cr) + y(t, ε), s, ε)‖ ≤
≤
∥∥∥∥∥ ∂Z(z(t, ε), t, ε)
∂z
∣∣∣∣
z=ξ(t,ε)
∥∥∥∥∥ ‖x− y‖ ≤ θ1‖x− y‖, (9)
J(z0(·, cr) + x(·, ε), ε)− J(z0(·, cr) + y(·, ε), ε) ≤ θ2‖x− y‖, (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ СЛАБОНЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 281
где
θ1 = max
‖x‖,‖y‖≤ρ
ε∈[0,ε0]
t∈[a,b]
∥∥∥∥∥ ∂Z(z(t, ε), t, ε)
∂z
∣∣∣∣
z=ξ(t,ε)
∥∥∥∥∥ ,
θ2 = max
‖x‖,‖y‖≤ρ
ε∈[0,ε0]
∥∥∥∥∥ ∂J(z(·, ε), ε)
∂z
∣∣∣∣
z=ζ(·,ε)
∥∥∥∥∥ .
Существование и конечность констант θ1, θ2 гарантированы непрерывной дифферен-
цируемостью нелинейной вектор-функции Z(z, t, ε) по первому аргументу и непрерыв-
ной дифференцируемостью (в смысле Фреше) по первому аргументу векторного функ-
ционала J(z(·, ε), ε) в малой окрестности порождающего решения z0(t, cr) и точки ε = 0.
Пусть
q = ‖X(t)Q+‖, λ = ‖`K[∗](·)‖, µ = ‖K[∗](t)‖.
С учетом неравенств (9), (10) получаем оценку
‖Φ0 x(t, ε)− Φ0 y(t, ε)‖ ≤ εqθ1‖x− y‖+ εqλθ2‖x− y‖+ εµθ2‖x− y‖.
При условии 0 < ε < ε∗ оператор Φ0 x(t, ε) является сжимающим; здесь
ε∗ =
1
q(θ1 + θ2λ) + µ
≤ ε∗.
Таким образом, доказана следующая теорема [1, 2].
Теорема 1. В некритическом случае (PQ∗ = 0) порождающая задача (3), (4) разреши-
ма при любых неоднородностях дифференциальной системы (3) и краевого условия (4)
и имеет r линейно независимых решений z0(t, cr). Задача (1), (2) при этом разрешима для
любых неоднородностей дифференциальной системы Z(z(t, ε), t, ε) и краевого условия
J(z(·, ε), ε) и имеет r-параметрическое решение z(t, ε) = z0(t, cr) + x(t, ε). Для нахож-
дения возмущения x(t, ε) = col (x1(t, ε), . . . , xn(t, ε)), xj(·, ε) ∈ C1[a, b], xj(t, ·) ∈ C[0, ε0],
x(t, 0) ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n, порождающего решения z0(t, cr) применима сходящаяся при
ε ∈ [0, ε∗] итерационная процедура (8).
Оценка величины ε∗ в каждом конкретном случае может быть улучшена, например,
оптимальным выбором норм вектор-функций и согласованных с ними норм матриц; кро-
ме того, как показано в монографии [2], итерационная процедура вида (8) может сходить-
ся к искомому решению, даже если оператор Φ0 не является сжимающим.
Пример 1. Оценим значение величины ε∗ в задаче о нахождении периодического ре-
шения z(·, ε) ∈ C1[0, T ] скалярного уравнения
dz
dt
= z −
√
2
2
+ ε arccos z. (11)
Поскольку X(t) = et, Q = `X(·) = 1−eT 6= 0, имеет место некритический случай. Таким
образом, согласно теореме 1 уравнение (11) имеет единственное периодическое решение,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
282 А. С. ЧУЙКО
при ε = 0 обращающееся в порождающее z0(t) =
√
2
2
. Легко показать, что итерационная
процедура
zk+1(t, ε) =
√
2
2
− ε arccos(zk(t, ε)), k = 0, 1, 2, . . . ,
сходится к периодическому решению уравнения (11). Положив T = 1, оценим величину
ε∗ ≥ ε∗ =
e− 1
e(2e− 1) · 0, 8578
≈ 0, 1661.
При этом, как показывают численные эксперименты, значение ε∗ ≈ 0, 6033.
3. Критический случай. Предположим далее, что имеет место критический случай
PQ∗ 6= 0 и выполнено условие
PQ∗
d
{
α− `K[f(s)](·)
}
= 0. (12)
При этом порождающая задача (3), (4) имеет r-параметрическое семейство решений
z0(t, cr). Потребуем от нелинейностей задачи (1), (2) Z(z, t, ε) и J(z(·, ε), ε) непрерывной
дифференцируемости по неизвестной z в малой окрестности порождающего решения
z0(t, cr) и непрерывной дифференцируемости по малому параметру ε в малой положи-
тельной окрестности нуля. Кроме того, как и в некритическом случае, считаем нелиней-
ную вектор-функцию Z(z(t, ε), t, ε) непрерывной по независимой переменной t на отрез-
ке [a, b].
Необходимое условие существования решения задачи (1), (2) в критическом случае
определяет следующая теорема.
Теорема 2. Пусть краевая задача (1), (2) представляет критический случай PQ∗ 6= 0
и выполнено условие (12) разрешимости порождающей задачи (3), (4). Предположим
также, что задача (1), (2) имеет решение, при ε = 0 обращающееся в порождающее
z(t, 0) = z0(t, c∗r). Тогда вектор c∗r ∈ Rr удовлетворяет уравнению
PQ∗
d
{
J(z0(·, cr), 0)− `K[Z(z0(s, cr), s, 0)](·)
}
= 0. (13)
Предположим далее необходимое условие разрешимости задачи (1), (2) выполнен-
ным. Фиксируя одно из решений c∗r ∈ Rr уравнения (13), ищем решение задачи (1), (2)
z(t, ε) = z0(t, c∗r) + x(t, ε) в окрестности порождающего решения z0(t, c∗r) = Xr(t)c∗r +
+G[f ;α](t). Таким образом, приходим к задаче
dx(t, ε)
dt
= A(t)x(t, ε) + εZ(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε), (14)
`x(·, ε) = εJ(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε). (15)
Используя непрерывную дифференцируемость по первому аргументу функции Z(z, t, ε)
в окрестности порождающего решения и по третьему аргументу, разлагаем эту функцию
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ СЛАБОНЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 283
в окрестности точек x = 0 и ε = 0 :
Z(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε) = Z(z0(t, c∗r), t, 0)+
+ A1(t)x(t, ε) + R1(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε), (16)
где A1(t) = Z ′
z(z0(t, c∗r), t, 0). Остаток R1(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε) разложения функции
Z(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε) при условии Z ′
ε(z0(t, c∗r), t, 0) ≡ 0 имеет более высокий порядок
малости по x и ε в окрестности точек x = 0 и ε = 0, чем первых два члена разложения,
поэтому
R1(z, t, ε)
∣∣∣∣∣z=z0(t,c∗r)
ε=0
≡ 0,
∂R1(z, t, ε)
∂z
∣∣∣∣∣z=z0(t,c∗r)
ε=0
≡ 0.
Аналогично, используя непрерывную дифференцируемость (в смысле Фреше) по пер-
вому аргументу векторного функционала J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) и по второму аргументу,
выделяем линейную `1x(·, ε) часть этого функционала
J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) = J(z0(·, c∗r), 0) + `1x(·, ε) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε). (17)
Остаток J1(z0(·, c∗r)+x(·, ε), ε) разложения функционала J(z0(·, c∗r)+x(·, ε), ε) при условии
J ′
ε(z0(·, c∗r), 0) = 0 имеет более высокий порядок малости по x и ε в окрестности точек
x = 0 и ε = 0, чем первых два члена разложения, поэтому
J1(z(·, ε), ε)
∣∣∣∣∣z=z0(t,c∗r)
ε=0
= 0,
∂J1(z(·, ε), ε)
∂z
∣∣∣∣∣z=z0(t,c∗r)
ε=0
= 0.
При условии PB∗
0
= 0 решение краевой задачи (14), (15) определяет операторная система
x(t, ε) = Xr(t)cr + x(1)(t, ε),
B0cr = −PQ∗
d
{
`1x
(1)(·, ε) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)−
− `K
[
A1(s)x(1)(s, ε) + R1(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε)
]
(·)
}
, (18)
x(1)(t, ε) = εG
[
Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε); J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(t),
эквивалентная задаче о построении решения системы уравнений (14), удовлетворяющих
краевому условию (15); здесь B0 = PQ∗
d
{
`1Xr(·) − `K[A1(s)Xr(s)](·)
}
— (d × r)-мат-
рица. Операторная система (18) эквивалентна задаче о построении решения уравнения
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
284 А. С. ЧУЙКО
x(t, ε) = Φx(t, ε) на множестве функций x(t, ε), обращающихся в нуль при ε = 0, где
Φx(t, ε) = −Xr(t)B+
0 PQ∗
d
{
ε`1G [Z(z0 + x, s, ε); J(z0 + x, ε)] (·) + J1(z0 + x, ε)−
− `K [εA1(s)G [Z(z0 + x, τ, ε); J(z0 + x, ε)] (s) + R1(z0 + x, s, ε)] (·)
}
+
+ εG
[
Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε); J(z0(·, c∗r) + x(·, ε, ε))
]
(t) + Xr(t)Pρcρ.
Оператор Φ
(
Z(z0(t, cr)+x(t, ε), s, ε) J(z0(·, cr)+x(·, ε), ε)
)
представляет собой суперпози-
цию билинейного по Z(z(s, ε), s, ε) и J(z(·, ε), ε) оператора, действующего на непрерывно
дифференцируемую по x функцию Z(z(t, ε), t, ε) и функционал J(z(·, ε), ε). Билинейность
по Z(z(t, ε), t, ε) и J(z(·, ε), ε) означает, что для любых действительных чисел λ1, λ2 и лю-
бых функций Z1(z(t, ε), t, ε), Z2(z(t, ε), t, ε) и функционалов J1(z(·, ε), ε), J2(z(·, ε), ε) имеет
место равенство
Φ
(
λ1Z1(z(t, ε), t, ε) + λ2Z2(z(t, ε), t, ε); λ1J1(z(·, ε), ε) + λ2J2(z(·, ε), ε)
)
=
= λ1Φ
(
Z1(z(t, ε), t, ε); J1(z(·, ε), ε)
)
+ λ2Φ
(
Z2(z(t, ε), t, ε); J2(z(·, ε), ε)
)
.
Таким образом, Φx(t, ε) — непрерывный ограниченный оператор, действующий из про-
странства непрерывных на отрезках [a, b] и [0, ε0] действительных вектор-функций x(t, ε)
в себя. Оценим длину промежутка, на котором оператор Φx(t, ε) является сжимающим.
Пусть x(t, ε) и y(t, ε) — вектор-функции из малой окрестности нуля. Учитывая билиней-
ность оператора Φx(t, ε), представим его в виде
Φx(t, ε) =
5∑
i=1
Φix(t, ε) + Xr(t)Pρcρ, cρ ∈ Rρ,
где
Φ1x(t, ε) = εG
[
Z(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε); J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
]
(t),
Φ2x(t, ε) = −εXr(t)B+
0 PQ∗
d
`1G
[
Z(z0 + x, s, ε); J(z0 + x, ε)
]
(·),
Φ3x(t, ε) = −Xr(t)B+
0 PQ∗
d
J1(z0 + x, ε),
Φ4x(t, ε) = εXr(t)B+
0 PQ∗
d
`K
{
A1(s)G
[
Z(z0 + x, τ, ε); J(z0 + x, ε)
]
(s)
}
(·),
Φ5x(t, ε) = Xr(t)B+
0 PQ∗
d
`K
{
R1(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε)
}
(·),
и оценим норму разности ‖Φx(t, ε)− Φy(t, ε)‖. Очевидно,
‖Φx(t, ε)− Φy(t, ε)‖ ≤
5∑
i=1
‖Φix(t, ε)− Φiy(t, ε)‖ .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ СЛАБОНЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 285
Пусть ξ1(t, ε), ζ1(t, ε) — некоторые точки отрезка, соединяющего точки z0(t, cr) + x(t, ε)
и z0(t, cr) + y(t, ε). Обозначим
σ1 = max
‖x‖,‖y‖≤ρ
ε∈[0,ε0]
t∈[a,b]
∥∥∥∥∥ ∂Z(z(t, ε), t, ε)
∂z
∣∣∣∣
z=ξ1(t,ε)
∥∥∥∥∥ ,
σ2 = max
‖x‖,‖y‖≤ρ
ε∈[0,ε0]
∥∥∥∥∥ ∂J(z(·, ε), ε)
∂z
∣∣∣∣
z=ζ1(·,ε)
∥∥∥∥∥ .
Как и в некритическом случае, получаем оценку нормы разности
‖Φ1x(t, ε)− Φ1y(t, ε)‖ ≤ ε
[
q(σ1 + σ2λ) + µ
]
‖x− y‖.
Аналогично составляется неравенство
‖Φ2x(t, ε)− Φ2y(t, ε)‖ ≤ εq1
(
λ1σ2 + λλ1σ1 + λ2σ1
)
‖x− y‖,
где
q1 = ‖Xr(t)B+
0 PQ∗
d
‖, λ1 = ‖`1X(·)Q+‖,
λ2 = ‖`1K[∗](·)‖, λ3 = ‖`1K[A1(s)∗](·)‖.
Согласно теореме о среднем в некоторой точке ζ2(t, ε) отрезка, соединяющего точки
z0(t, c∗r) + x(t, ε) и z0(t, c∗r) + y(t, ε), и в некоторой точке ε1 отрезка [0, ε0] при условии ‖x‖,
‖y‖ ≤ ρ, ε ∈ [0, ε0]
‖J1(z0 + x, ε)− J1(z0 + y, ε)‖ =
∥∥∥∥∥∂J1(z(·, ε), ε)
∂z
∣∣∣∣∣
z=ζ2(t,ε)
· (x− y)
∥∥∥∥∥ =
=
∥∥∥∥∥∂2J1(z(·, ε), ε)
∂z∂ε
∣∣∣∣∣
z=ζ2(t,ε)
ε=ε1
· ε(x− y)
∥∥∥∥∥.
Таким образом, ‖J1(z0 + x, ε)− J1(z0 + y, ε)‖ ≤ σ3ε‖x− y‖, где
σ3 = max
‖x‖, ‖y‖≤ρ
ε1∈[0,ε0]
∥∥∥∥∥∂2J1(z(·, ε), ε)
∂z∂ε
∣∣∣∣∣
z=ζ2(t,ε)
ε=ε1
∥∥∥∥∥,
следовательно,
‖Φ3x(t, ε)− Φ3y(t, ε)‖ ≤ εq1σ3‖x− y‖.
Оценим норму разности
‖Φ4x(t, ε)− Φ4y(t, ε)‖ ≤ εq1qλ3σ2‖x− y‖+ εq1qλ3λσ1‖x− y‖+ εq1λ3µσ1‖x− y‖.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
286 А. С. ЧУЙКО
Согласно теореме о среднем при условии ‖x‖, ‖y‖ ≤ ρ, ε ∈ [0, ε0] в некоторой точке
ξ2(t, ε) отрезка, соединяющего точки z0(t, cr) + x(t, ε) и z0(t, cr) + y(t, ε), и в некоторой
точке ε2 отрезка [0, ε0]
‖R1(z0 + x, s, ε)−R1(z0 + y, s, ε)‖ =
∥∥∥∥∥∂R1(z, t, ε)
∂z
∣∣∣∣∣
z=ξ2(t,ε)
· (x− y)
∥∥∥∥∥ =
=
∥∥∥∥∥∂2R1(z, t, ε)
∂z∂ε
∣∣∣∣∣
z=ξ2(t,ε)
ε=ε2
· ε(x− y)
∥∥∥∥∥.
Таким образом,
‖Φ5x(t, ε)− Φ5y(t, ε)‖ ≤ εq1λσ4‖x− y‖,
где
σ4 = max
‖x‖, ‖y‖≤ρ
t∈[a,b]
ε2∈[0,ε0]
∥∥∥∥∥∂2R1(z(t, ε), t, ε)
∂z∂ε
∣∣∣∣∣
z=ζ2(t,ε)
ε=ε2
∥∥∥∥∥.
Используя неравенства для разностей ‖Φix(t, ε) − Φiy(t, ε)‖, i = 1, 2, . . . , 5, получаем
оценку
‖Φx(t, ε)− Φy(t, ε)‖ ≤ ε
[
q(σ1 + σ2λ) + µ
]
‖x− y‖+
+ εq1
(
λ1σ2 + λλ1σ1 + λ2σ1
)
‖x− y‖+
+ εq1qλ3λσ1‖x− y‖+ εq1λ3µσ1‖x− y‖+ εq1σ3‖x− y‖+
+ εq1λσ4‖x− y‖+ εq1qλ3σ2‖x− y‖.
Итак,
ε−1
∗ = q(σ1 + σ2λ) + µ+
+ q1
{
λ1(λσ1 + σ2) + λ2σ1 + σ3 + λσ4 + λ3
[
qσ2 + (λ + µ)σ1
]}
,
при этом искомое значение ε∗ ≤ ε∗.
Теорема 3. Пусть краевая задача (1), (2) представляет критический случай PQ∗ 6= 0
и выполнено условие (12) разрешимости порождающей задачи (3), (4). Тогда для каждо-
го корня c∗r ∈ Rr уравнения (13) для порождающих амплитуд при условии PB∗
0
= 0
задача (5), (6) имеет ρ-параметрическое решение, при ε = 0 обращающееся в нулевое
x(t, 0) ≡ 0 (здесь rank PB0 = ρ, PB0 : Rr → N(B0) — (r × r)-матрица-ортопроектор).
Это решение можно определить с помощью сходящегося при ε ∈ [0, ε∗] итерационного
процесса вида [2 – 4]. При этом задача (1), (2) имеет ρ-параметрическое решение, при
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ СЛАБОНЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 287
ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) ≡ z0(t, c∗r), которое может быть найдено
по формуле zk(t, ε) = z0(t, c∗r) + xk(t, ε).
Пример 2. Условиям теоремы 3 удовлетворяет краевая задача
dz
dt
= (2t− 1)z + εz ln z,
`z(·) = z(0)− z(1) = 0.
(19)
Поскольку X(t) = et2−t, Q = `X(·) = X(0) − X(1) = 0, имеет место критический
случай; при этом r = d = 1, PQ∗ = PQ∗
d
= PQ = PQr = 1. Порождающее решение имеет
вид z0(t, c) = cet2−t. Единственное нетривиальное решение c∗1 = e
1
6 ≈ 1, 18136 уравнения
(13) F (c) = c ln c− c
6
= 0 задачи (19) определяет константу B0 = 1.
Поскольку B0 6= 0, условие PB∗
0
= 0 выполнено, следовательно, согласно теореме 3
задача (19) имеет единственное (rank PB0 = ρ = 0) решение, при этом первое приближе-
ние к отклонению от порождающего решения
x1(t, ε) = εet2−t
t∫
0
es−s2
e
1
6 es2−s ln e
1
6 es2−s ds = εe
1
6 et2−t
(
t
6
+
t3
3
− t2
2
)
.
Оценим длину отрезка [0, ε∗], ε∗ ≤ ε0, на котором сохраняется сходимость итераци-
онной процедуры для построения решения задачи (19). Прежде всего заметим, что для
линейного функционала `z(·, ε) = z(0, ε) − z(1, ε) ≡ 0, определяющего краевое условие
задачи (19), имеют место тождества `1z(·, ε) ≡ J1(z(·, ε), ε) ≡ 0, в свою очередь опре-
деляющие константы σ2 = 0, σ3 = 0. Поскольку Q = 0, то Q+ = 0, следователь-
но, q = ‖X(t)Q+‖ = 0. Функция et−t2 достигает своего максимума на отрезке [0; 1] в
точке t =
1
2
, в которой своего максимума достигает показатель t − t2. Следователь-
но, ‖et−t2‖ = e
1
4 . Таким образом, λ ≤ e
1
4 . Функция et2−t достигает своего максимума
на отрезке [0; 1] в точках t = 0 и t = 1, следовательно, ‖et2−t‖ = 1. Таким образом,
µ ≤ e
1
4 . Для константы q1 имеет место равенство q1 = ‖Xr(t)B+
0 PQ∗
d
‖ = ‖Xr(t)‖ = 1.
Поскольку Q+ = 0, то λ1 = ‖`1X(·)Q+‖ = 0. В силу тождества `1z(·, ε) ≡ 0 имеем
λ2 = ‖`1K[∗](·)‖ = 0. Функция A1(t) = 1 + ln z0(t, c∗1) = t2 − t +
7
6
достигает максимума
на отрезке [0; 1] на его концах, поэтому ‖A1(t)‖ = A1(0) = A1(1) =
7
6
. Таким образом,
справедлива оценка
λ3 = ‖`K[A1(s)∗](·)‖ =
∥∥∥∥∥∥
1∫
0
es−s2
(
s2 − s +
7
6
)
∗ (s)ds
∥∥∥∥∥∥ ≤ e
1
4 · 7
6
.
Производная Z ′
z(z, t, ε) = 1+ln z(t, ε) определена в малой окрестности порождающего
решения; положим, для определенности, ρ = 0, 01, при этом
1 + ln
(
et2−t+ 1
6 − ρ
)
≤ ∂Z(z, t, ε)
∂z
≤ 1 + ln
(
et2−t+ 1
6 + ρ
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
288 А. С. ЧУЙКО
Следовательно,
σ1 = max
‖x‖, ‖y‖≤0,01
ε∈[0,ε0]
t∈[a,b]
∥∥∥∥∥∂Z(z(t, ε), t, ε)
∂z
∣∣∣∣∣
z=ξ1(t,ε)
∥∥∥∥∥ = 1 + ln(e
1
6 + 0, 1).
Тождество Z ′
ε(z, t, ε) ≡ Z ′′
z ε(z, t, ε) ≡ 0 определяет константу σ4 = 0. Итак,
ε∗ =
1
µ + q1λ3σ1(λ + µ)
=
1
e
1
4 + e
1
2
3
[
1 + ln
(
e
1
6 + 0, 01
) ] ≈ 0, 518181.
Предложенная в статье методика оценки величины ε∗ дает возможность получать
соответствующие оценки для автономных краевых задач вида (1), (2) краевых задач с
запаздывающим аргументом и различным импульсным воздействием, в том числе и в
более сложных критических случаях, например в критическом случае второго поряд-
ка [4].
1. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 318 c.
2. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука,
1979. — 432 с.
3. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. — Киев: Наук. думка, 1990. — 96 с.
4. Лыкова О. Б., Бойчук А. А. Построение периодических решений нелинейных систем в критических
случаях // Укр. мат. журн. — 1988. — 40, № 1. — C. 62 – 69.
5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 c.
6. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 744 c.
Получено 15.02.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
|