Гамільтонові скінченновимірні редукції осциляторного типу інтегровних за Лаксом суперконформних ієрархій
Для бiгамiльтонових суперконформних iєрархiй нелiнiйних динамiчних систем Беннi – Каупа i Каупа – Броера розвинено метод редукування на нелокальнi скiнченновимiрнi iнварiантнi пiдпростори Неймана та Баргмана вiдповiдно. Доведено iснування парних суперсимплектичних структур на цих пiдпросторах та i...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178058 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гамільтонові скінченновимірні редукції осциляторного типу інтегровних за Лаксом суперконформних ієрархій / O.Є. Гентош // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 15-30. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178058 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1780582021-02-18T01:28:10Z Гамільтонові скінченновимірні редукції осциляторного типу інтегровних за Лаксом суперконформних ієрархій Гентош, O.Є. Для бiгамiльтонових суперконформних iєрархiй нелiнiйних динамiчних систем Беннi – Каупа i Каупа – Броера розвинено метод редукування на нелокальнi скiнченновимiрнi iнварiантнi пiдпростори Неймана та Баргмана вiдповiдно. Доведено iснування парних суперсимплектичних структур на цих пiдпросторах та iнтегровнiсть за Лаксом– Лiувiллем редукованих комутуючих векторних полiв, породжених iєрархiями. For bi-Hamiltonian superconformal hierarchies of nonlinear Benny – Kaup and Kaup – Broer dynamical systems, we develop a method for reduction into nonlocal finite dimensional invariant subspaces of Neumann and Bargman types, correspondingly. We prove that there exist even supersymplectic structures on these spaces, and that the Lax – Liouville reduced commuting vector fields generated by the hierarchies are integrable. 2006 Article Гамільтонові скінченновимірні редукції осциляторного типу інтегровних за Лаксом суперконформних ієрархій / O.Є. Гентош // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 15-30. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178058 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Для бiгамiльтонових суперконформних iєрархiй нелiнiйних динамiчних систем Беннi – Каупа i
Каупа – Броера розвинено метод редукування на нелокальнi скiнченновимiрнi iнварiантнi пiдпростори Неймана та Баргмана вiдповiдно. Доведено iснування парних суперсимплектичних
структур на цих пiдпросторах та iнтегровнiсть за Лаксом– Лiувiллем редукованих комутуючих векторних полiв, породжених iєрархiями. |
| format |
Article |
| author |
Гентош, O.Є. |
| spellingShingle |
Гентош, O.Є. Гамільтонові скінченновимірні редукції осциляторного типу інтегровних за Лаксом суперконформних ієрархій Нелінійні коливання |
| author_facet |
Гентош, O.Є. |
| author_sort |
Гентош, O.Є. |
| title |
Гамільтонові скінченновимірні редукції осциляторного типу інтегровних за Лаксом суперконформних ієрархій |
| title_short |
Гамільтонові скінченновимірні редукції осциляторного типу інтегровних за Лаксом суперконформних ієрархій |
| title_full |
Гамільтонові скінченновимірні редукції осциляторного типу інтегровних за Лаксом суперконформних ієрархій |
| title_fullStr |
Гамільтонові скінченновимірні редукції осциляторного типу інтегровних за Лаксом суперконформних ієрархій |
| title_full_unstemmed |
Гамільтонові скінченновимірні редукції осциляторного типу інтегровних за Лаксом суперконформних ієрархій |
| title_sort |
гамільтонові скінченновимірні редукції осциляторного типу інтегровних за лаксом суперконформних ієрархій |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178058 |
| citation_txt |
Гамільтонові скінченновимірні редукції осциляторного типу інтегровних за Лаксом суперконформних ієрархій / O.Є. Гентош // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 15-30. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT gentošoê gamílʹtonovískínčennovimírníredukcííoscilâtornogotipuíntegrovnihzalaksomsuperkonformnihíêrarhíj |
| first_indexed |
2025-07-15T16:25:36Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:25:36Z |
| _version_ |
1837730876562079744 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ГАМIЛЬТОНОВI СКIНЧЕННОВИМIРНI РЕДУКЦIЇ
ОСЦИЛЯТОРНОГО ТИПУ IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ
СУПЕРКОНФОРМНИХ IЄРАРХIЙ
О. Є. Гентош
Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України
Україна, 79059, Львiв, вул. Наукова, 3 Б
e-mail: dept25@iapmm.lviv.ua
hento@ua.fm
For bi-Hamiltonian superconformal hierarchies of nonlinear Benny – Kaup and Kaup – Broer dynami-
cal systems, we develop a method for reduction into nonlocal finite dimensional invariant subspaces of
Neumann and Bargman types, correspondingly. We prove that there exist even supersymplectic structures
on these spaces, and that the Lax – Liouville reduced commuting vector fields generated by the hierarchies
are integrable.
Для бiгамiльтонових суперконформних iєрархiй нелiнiйних динамiчних систем Беннi – Каупа i
Каупа – Броера розвинено метод редукування на нелокальнi скiнченновимiрнi iнварiантнi пiд-
простори Неймана та Баргмана вiдповiдно. Доведено iснування парних суперсимплектичних
структур на цих пiдпросторах та iнтегровнiсть за Лаксом – Лiувiллем редукованих комуту-
ючих векторних полiв, породжених iєрархiями.
1. Вступ. У 1976 р. О. I. Богоявленський та С. П. Новiков [1] довели теорему про га-
мiльтоновiсть вiдносно канонiчної симплектичної структури обмеження векторного по-
ля, породженого рiвнянням Кортевега – де Фрiза, на стацiонарний пiдпростiр його одно-
рiдної симетрiї. На основi цiєї теореми було розвинено метод редукування [2] узгоджено
бiгамiльтонових iєрархiй нелiнiйних динамiчних систем, що мають нескiнченну послiдов-
нiсть iнволютивних локальних законiв збереження та матричне зображення Лакса [3 – 5]
з iнварiантним вiдносно еволюцiй iєрархiї спектральним параметром, на скiнченновимiр-
нi пiдпростори критичних точок функцiї Лагранжа, яка є скiнченною лiнiйною комбiна-
цiєю локальних законiв збереження. Використовуючи теорiю Картана диференцiальних
форм, А. К. Прикарпатський [6] отримав диференцiальнi спiввiдношення для знаходжен-
ня точної симплектичної структури на таких скiнченновимiрних iнварiантних пiдпросто-
рах та гамiльтонiанiв редукованих векторних полiв.
Ю. Мозер [7] встановив, що достатньо широкий клас iнтегровних за Лаксом – Лiувiл-
лем [8] динамiчних систем осциляторного типу на скiнченновимiрних многовидах типу
Неймана та Баргмана [9] є iнварiантними редукцiями вiдомих iнтегровних за Лаксом не-
скiнченновимiрних систем на пiдпростори спiльних критичних точок деякого локального
закону збереження та скiнченної кiлькостi власних значень (нелокальних законiв збере-
ження), а їх зображення Лакса — редукованими рiвняннями Новiкова – Марченка [2, 4,
10] для матрицi монодромiї асоцiйованих перiодичних спектральних задач. М. Блашак
[11] запропонував вивчати диференцiально-геометричнi властивостi нелокальної скiн-
ченновимiрної iнварiантної редукцiї узгоджено бiгамiльтонової iєрархiї динамiчних сис-
тем на перiодичному функцiональному многовидi як властивостi векторного поля
c© О. Є. Гентош, 2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 15
16 О. Є. ГЕНТОШ
на стацiонарному пiдпросторi однорiдної симетрiї системи, розширеної еволюцiями пря-
мої та спряженої спектральних задач.
Використання результатiв Ю. Мозера, А. К. Прикарпатського та М. Блашака дозво-
лило розробити i теоретично обґрунтувати алгоритм дослiдження гамiльтоновостi та iн-
тегровностi за Лаксом – Лiувiллем редукованих комутуючих векторних полiв узгоджено
бiгамiльтонових iєрархiй динамiчних систем. Алгоритм застосовувався для вивчення не-
локальних скiнченновимiрних редукцiй типу Неймана або Баргмана (1 + 1)-вимiрних ди-
намiчних систем Беннi – Каупа [12], Буссiнеска [13], Каупа – Броера [14], iнверсної систе-
ми Каупа – Броера [15] та (2+1)-вимiрної системи Девi – Стюартсона [16]. У роботi [14] за
допомогою цього алгоритму отримано гамiльтоновий вiдносно парної канонiчної супер-
симплектичної структури [17, 18] та iнтегровний за Лаксом – Лiувiллем супераналог осци-
ляторної динамiчної системи на скiнченновимiрному супермноговидi T ∗(SN−1) ⊗ HN−2,
де T ∗(SN−1) — кодотичний простiр до сфери SN−1, аHN−2 — проективна (N−2)-вимiрна
гiперповерхня.
У пунктах 2 i 3 за допомогою диференцiальних спiввiдношень для функцiонала Ла-
гранжа на розширених фазових просторах суперконформних iєрархiй Беннi – Каупа i Ка-
упа – Броера встановлено iснування парних суперсимплектичних структур на нелокаль-
них скiнченновимiрних iнварiантних пiдпросторах типу Неймана i Баргмана вiдповiдно.
На основi властивостей суперматриць монодромiї [19] для пов’язаних з iєрархiями перiо-
дичних матричних спектральних задач доведено iнтегровнiсть за Лаксом – Лiувiллем ре-
дукованих комутуючих векторних полiв.
2. Скiнченновимiрна редукцiя типу Неймана суперконформної iєрархiї Беннi – Каупа.
Суперконформну iєрархiю Беннi – Каупа утворюють узгоджено бiгамiльтоновi нелiнiйнi
динамiчнi системи на перiодичному функцiональному супермноговидi M̆2|2 ⊂ C∞(R/2πZ;
R2|2) :
(
du
dtj
,
dv
dtj
,
dξ
dtj
,
dζ
dtj
)τ
= −η̆∇l γ̆j+1[u, v, ξ, ζ] =
= −ϑ̆∇l γ̆j [u, v, ξ, ζ], j ∈ Z+, (1)
де ∇l : M̆2|2 → T ∗(M̆2|2) — оператор лiвого градiєнта на супермноговидi M̆2|2, суперiм-
плектичнi оператори η̆, ϑ̆ : T ∗(M̆2|2) → T (M̆2|2) набирають вигляду
η̆ =
v∂ + ∂v −2∂ ζ∂ +
1
2
∂ζ 0
−2∂ 0 0 0
∂ζ +
1
2
ζ∂ 0 −1
2
v
1
2
0 0
1
2
0
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ГАМIЛЬТОНОВI СКIНЧЕННОВИМIРНI РЕДУКЦIЇ ОСЦИЛЯТОРНОГО ТИПУ . . . 17
ϑ̆ =
1
2
∂3 − (u∂ + ∂u) 0 −
(
ξ∂ +
1
2
∂ξ
)
0
0 −2∂ 0 0
−
(
∂ξ +
1
2
ξ∂
)
0
1
2
(u− ∂2) 0
0 0 0
1
2
, (2)
а вiдповiдна послiдовнiсть гамiльтонiанiв запишеться так:
γ̆0 =
2π∫
0
v dx, γ̆1 =
2π∫
0
(
u+
1
4
v2 − ζζx
)
dx,
(3)
γ̆2 =
2π∫
0
(
1
2
uv +
1
8
v3 − 3
2
uζζx + ξζx − ξxζ
)
dx,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
У випадку j = 2 маємо супераналог нелiнiйної динамiчної системи Беннi – Каупа
du
dt2
= −1
4
vxxx +
1
2
uxv + uvx − 3ξζxx − ξxζx,
dv
dt2
= ux +
3
2
vvx − 3ζζxx,
dξ
dt2
= −ζxxx + uζx +
3
4
vxξ +
1
2
vξx,
dζ
dt2
= ξx +
3
2
vζx +
3
4
vxζ.
Кожне рiвняння суперконформної iєрархiї Беннi – Каупа (1) можна подати як умову сумiс-
ностi двох лiнiйних матричних звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку:
dY
dx
= AY, (4)
A :=
0 1 0
u+ λv − λ2 0 −(ξ + λζ)
ξ + λζ 0 0
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
18 О. Є. ГЕНТОШ
де (u, v, ξ, ζ)τ ∈ M̆2|2, супервектор Y := (f, g, ψ)τ ∈ L∞(R/2πZ; C2|1), λ ∈ C, та
dY
dtj
=
(
λj+1S
)
+
:= BjY, (5)
де j ∈ Z+, S := S(x;λ) '
∑
j∈Z+
Sjλ
−j — асимптотичний розклад суперматрицi монодромiї
рiвняння (4),
S0 =
0 0 0
−1 0 0
0 0 0
,
а нижнiй iндекс + позначає полiномiальну частину вiдповiдного виразу.
Iснування матричного зображення Лакса (4), (5) з iнварiантним вiдносно еволюцiй
d/dtj , j ∈ Z+, спектральним параметром λ ∈ C та нескiнченної послiдовностi локальних
законiв збереження (3) дозволяє розвинути метод редукування на нелокальнi скiнчен-
новимiрнi iнварiантнi пiдпростори суперконформної iєрархiї Беннi – Каупа (1) та звести
пошук її частинних розв’язкiв до iнтегрування в квадратурах, наприклад, осциляторної
динамiчної системи типу Неймана на скiнченновимiрному супермноговидi T ∗(SN−1) ⊗
⊗HN−2 ⊗ R0|1, де T ∗(SN−1) — кодотичний простiр до сфери SN−1, а HN−2 — проективна
(N − 2)-вимiрна гiперповерхня. Покажемо, що така скiнченновимiрна динамiчна систе-
ма виникає в результатi редукування векторного поля d/dx на iнварiантний пiдпростiр
M̆
2|2
N ⊂ M̆2|2 суперконформної iєрархiї Беннi – Каупа (1):
M̆
2|2
N :=
{
(u, v, ξ, ζ)τ ∈ M̆2|2 : gradl LN [u, v, ξ, ζ] = 0
}
, (6)
де функцiонал Лагранжа LN має вигляд
LN = −γ̆1 +
N∑
i=1
ciλi,
а власнi значення λi ∈ D(M̆2|2), i = 1, N, перiодичної спектральної задачi (4) є гладкими
за Фреше функцiоналами на супермноговидi M̆2|2. Далi будемо вважати λi, i = 1, N, дiйс-
ними з вiдповiдними власними вектор-функцiями Yi := (fi, gi, ψi)τ ∈ W := L∞(S1; R2|1),
π(fi) = π(gi) = 0, π(ψi) = 1.
Дослiдимо диференцiально-геометричну структуру пiдпростору M̆2|2
N ⊂ M̆2|2.
Для явного опису пiдпростору (6) обчислимо лiвi градiєнти gradl λi ∈ T ∗(M̆2|2) влас-
них значень λi ∈ D(M̆2|2), i = 1, N, за допомогою спектральної задачi (4). Цi величини
виражаються через вiдповiднi власнi вектор-функцiї Yi ∈ W, i = 1, N, таким чином:
gradl λi =
(
f2
i , λif
2
i ,−2fiψi,−2λifiψi
)τ
/µi,
де µi =
∫ 2π
0
(2λif
2
i − vf2
i + 2ζfiψi)dx ∈ D(M̆2|2 ×WN ), i = 1, N , — нормуючi множники,
якi є iнварiантами векторних полiв (4), (5). У випадку µi = ci, i = 1, N, умова (6) набирає
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ГАМIЛЬТОНОВI СКIНЧЕННОВИМIРНI РЕДУКЦIЇ ОСЦИЛЯТОРНОГО ТИПУ . . . 19
вигляду обмежень типу Неймана:
N∑
i=1
f2
i = 1,
N∑
i=1
figi = 0,
N∑
j=1
fiψi = 0, (7)
а також
v = 2
N∑
i=1
λif
2
i , ζx =
N∑
j=1
λifiψi.
Зi спектральної задачi (4) можна також отримати вирази для функцiй (u, v, ξ, ζ)τ ∈ M̆2|2
та означити пiдпростiр M̆2|2
N еквiвалентним чином:
M̆
2|2
N =
{
(u, v, ξ, ζ)τ ∈ M̆2|2 : u =
N∑
i=1
(
λif
2
i − g2
i
)
− 1
2
v2 + ζζx,
v = 2
N∑
i=1
λif
2
i , ξ = −
N∑
i=1
giψi −
1
2
vζ, ζx =
N∑
j=1
λifiψi
}
. (8)
Отже, розв’язки суперконформної iєрархiї Беннi – Каупа (1) на пiдпросторi (8) виража-
ються через компоненти власних вектор-функцiй Yi, i = 1, N, та функцiю ζ ∈ C∞(S1; R0|1),
що використаємо для введення координат на пiдпросторi M̆2|2
N ⊂ M̆2|2.
На фазовому просторi M̃2|2 := M̆2|2 ×W 2N iєрархiї спарених динамiчних систем (1),
(5) з параметром λ = λi, i = 1, N, розглянемо функцiонал Лагранжа L̃N =
=
∫ 2π
0
L̃N [u, v, ξ, ζ, Yi]dx :
L̃N = −γ̆1 +
N∑
j=1
λ
′
i +
N∑
i=1
siµ
′
i,
λ
′
i :=
2π∫
0
(
g2
i + uf2
i − 2ξfiψi − ψiψi,x
)
dx,
µ
′
i :=
2π∫
0
(
λif
2
i − vf2
i + 2ζfiψi
)
dx,
де si ∈ C, i = 1, N, — деякi константи. Умова
gradl L̃N [u, v, ξ, ζ, Yi] = 0
задає iнварiантний пiдпростiр M̃
2|2
N ⊂ M̃2|2 цiєї iєрархiї. На M̃
2|2
N iснує точна парна
2-форма ω(2) = dα(1), де 1-форма α(1) ∈ Λ1(M̃2|2) задовольняє диференцiальне спiввiд-
ношення
dL̃N [u, v, ξ, ζ, Yi] = < (du, dv, dξ, dζ, dYi)τ , gradl L̃N [u, v, ξ, ζ, Yi] > +
dα(1)
dx
(9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
20 О. Є. ГЕНТОШ
для будь-яких (u, v, ξ, ζ, Yi)τ ∈ M̃
2|2
N . У формулi (9) символом <,> позначено звичайний
скалярний добуток в R(2N+2)|(N+2). Iз спiввiдношення (9) отримуємо 2-форму ω(2) у виг-
лядi
ω(2) =
N∑
i=1
(2dgi ∧ dfi + dψi ∧ dψi) + dζ ∧ dζ, (10)
яка є виродженою на M̃2|2
N ⊂ M̃2|2. Оскiльки пiдпростiр M̆2|2
N можна вкласти у M̃2|2
N згiд-
но з формулою (8), то парна 2-форма ω(2) задає на M̆2|2
N невироджену суперсимплектич-
ну структуру. Iснування цiєї структури на M̆
2|2
N доводить дифеоморфнiсть пiдпростору
M̆
2|2
N ⊂ M̆2|2 та заданого умовою (7) скiнченновимiрного супермноговиду T ∗(SN−1) ⊗
⊗HN−2 ⊗ R0|1 ⊂ R2N |(N+1) з суперсимплектичною структурою (10).
Для функцiї h̃(x) ∈ D(M̃2|2
N ), знайденої за формулою〈(du
dx
,
dv
dx
,
dξ
dx
,
dζ
dx
,
dYi
dx
)τ
, gradl L̃N [u, v, ξ, ζ, Yi]
〉
= −dh̃
(x)
dx
,
на пiдпросторi M̃2|2
N ⊂ M̃2|2 має мiсце рiвнiсть
id/dxω
(2) = −dh̃(x),
де id/dx – внутрiшнє диференцiювання за векторним полем d/dx : M̃2|2
N → T (M̃2|2
N ) в
алгебрi Грассмана диференцiальних форм на R(2N+2)|(N+2). Оскiльки ця рiвнiсть зберiга-
ється на пiдпросторi M̆2|2
N ⊂ M̃
2|2
N , то при si = −λi, i = 1, N, функцiя h(x) := h̃(x)|
M̆
2|2
N
∈
∈ D(M̆2|2
N ) є гамiльтонiаном векторного поля d/dx на M̆2|2
N .
Отже, доведено таку теорему.
Теорема 1. Функцiональний пiдпростiр M̆2|2
N ⊂ M̆2|2 (6) для кожного x ∈ S1 дифео-
морфний до скiнченновимiрного супермноговиду T ∗(SN−1) ⊗ HN−2 ⊗ R0|1 ⊂ R2N |(N+1),
заданого умовами (7), з парною суперсимплектичною структурою ω(2) ∈ Λ2(R2N |(N+1))
[17, 18] у виглядi (10), вiдносно якої векторне поле d/dx є гамiльтоновою динамiчною
системою з функцiєю Гамiльтона h(x) : R2N |(N+1) → R :
h(x) =
N∑
i=1
(λif
2
i + g2
i ) +
(
N∑
i=1
λif
2
i
)2
+ 2ζ
N∑
i=1
λifiψi.
Скiнченновимiрне векторне поле d/dx, редуковане на M̆
2|2
N ' T ∗(SN−1) ⊗ HN−2 ⊗
⊗R0|1 ⊂ R2N |(N+1), можна розглядати як супераналог осциляторної динамiчної системи
типу Неймана [12].
Аналогiчно можна встановити, що функцiї h(tj) := h̃(tj)|
M̆
2|2
N
∈ D(M̆2|2
N ), де h̃(tj) ∈
∈ D(M̃2|2
N ), якi задовольняють спiввiдношення〈( du
dtj
,
dv
dtj
,
dξ
dtj
,
dζ
dtj
,
dYi
dtj
)τ
, gradl L̃N [u, v, ξ, ζ, Yi]
〉
= −dh̃
(tj)
dx
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ГАМIЛЬТОНОВI СКIНЧЕННОВИМIРНI РЕДУКЦIЇ ОСЦИЛЯТОРНОГО ТИПУ . . . 21
для будь-яких (u, v, ξ, ζ, Yi)τ ∈ M̃
2|2
N , є гамiльтонiанами векторних полiв d/dtj на M̆2|2
N для
кожного j ∈ Z+.
Для доведення iнтегровностi гамiльтонових векторних полiв d/dx та d/dtj , j ∈ Z+, на
M̆
2|2
N для будь-якого N ∈ N використаємо запропонований Ю. Мозером [7] пiдхiд, який
дозволяє отримати для них еквiвалентне матричне зображення, залежне вiд спектраль-
ного параметра λ ∈ C.
Теорема 2. Гамiльтоновi векторнi поля d/dxта d/dtj , j ∈ Z+, на скiнченновимiрному
симплектичному супермноговидi M̆2|2
N ' T ∗(SN−1) ⊗ HN−2 ⊗ R0|1 ⊂ R2N |(N+1) мають
матричне зображення Лакса
dSN
dx
= [AN , SN ],
dSN
dtj
= [Bj,N , SN ], (11)
де AN := AN (Yi;λ) = A[u, v, ξ, ζ;λ]|
M̆
2|2
N
, Bj,N := Bj,N (Yi;λ) = Bj [u, v, ξ, ζ;λ]|
M̆
2|2
N
, j ∈ Z+,
— проекцiї вiдповiдних суперматриць на супермноговид M̆
2|2
N , а суперматриця SN :=
:= SN (Yi;λ) має вигляд
SN =
N∑
i=1
1
λ− λi
−figi f2
i fiψi
−g2
i figi giψi
−giψi fiψi 0
+
N∑
i=1
λi f
2
i
0 0 0
1 0 0
0 0 0
+
+ζ
0 0 0
0 0 −1
1 0 0
− λ
0 0 0
1 0 0
0 0 0
, λ ∈ C.
Доведення. Матричне зображення Лакса для векторного поля d/dx на M̆2|2
N знайдемо
на основi властивостi градiєнта суперслiду ∆(x;λ) := strS для суперматрицi монодро-
мiї [19]
S := S(x;λ) =
S11 S12 S13
S21 −S11 −S23
S23 S13 0
(12)
перiодичної спектральної задачi (4) породжувати за допомогою рекурентних спiввiдно-
шень
θ̆ϕn = η̆ϕn+1, ϕn = gradl γ̆n, n ∈ Z+,
де θ̆, η̆ — суперiмплектичнi оператори (2), градiєнти законiв збереження γ̆n ∈ D(M̆2|2),
n ∈ Z+, та рiвностi для градiєнтiв власних значень λi ∈ D(M̆2|2), i = 1, N,
θ̆ gradl λi = λi η̆gradl λi.
Оскiльки градiєнт функцiонала ∆(x;λ) можна виразити через елементи суперматрицi
монодромiї S :
ϕ(x;λ) = (S12, λS12,−2S13,−2λS13)τ ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
22 О. Є. ГЕНТОШ
де ϕ(x;λ) = gradl ∆(x;λ) '
∑
n∈Z+
ϕnλ
−n при |λ| → ∞, то безпосередньо отримуємо вигляд
елементiв S12 та S13 на супермноговидi M̆2|2
N . Iншi елементи суперматрицi S знаходимо з
рiвняння Новiкова – Марченка [2, 10]:
dS
dx
= [A,S]. (13)
Редукована на супермноговид M̆2|2
N cуперматриця монодромiї S задає вiдображення
Ю. Мозера S 7→ SN := S|
M̆
2|2
N
[7], а рiвняння Новiкова – Марченка (13) iз суперматрицею
SN — зображення Лакса для векторного поля d/dx на M̆2|2
N ' T ∗(SN−1)⊗HN−2 ⊗ R0|1.
Вiдповiднi зображення Лакса (11) для векторних полiв d/dtj , j ∈ Z+, на M̆2|2
N виника-
ють з умов сумiсностi диференцiальних рiвнянь (4) i (5) на M̆2|2 ⊃ M̆
2|2
N .
Теорему доведено.
Наслiдком з теореми 2 є iнварiантнiсть функцiонала
−1
2
strS2
N =
N∑
i=1
σ̆i
λ− λi
+ 1
вiдносно векторних полiв d/dx та d/dtj , j ∈ Z+, на M̆2|2
N , коефiцiєнти σ̆i ∈ D(M̆2|2
N ) роз-
кладу якого у виглядi
σ̆i =
N∑
k=1,k 6=i
(figk − gifk + ψiψk)2
λi − λk
+ λi f
2
i − f2
i
(
N∑
k=1
λkf
2
k
)2
+ 2ζ fiψi, i = 1, N,
утворюють множину N лiнiйно незалежних законiв збереження таких полiв. Функцiо-
нали σ̆i перебувають в iнволюцiї вiдносно дужки Пуассона на просторi гладких функцiй
D(R2N |(N+1)) :
{F,G}ω(2) =
1
2
N∑
i=1
(
∂F
∂fi
∂G
∂gi
− ∂F
∂gi
∂G
∂fi
+
∂rF
∂ψi
∂lG
∂ψi
)
+
1
2
∂rF
∂ζ
∂lG
∂ζ
,
де F, G ∈ D(R2N |(N+1)), ∂l/∂β та ∂r/∂β — оператори лiвої i правої похiдних вiдповiдно
за антикомутативною змiнною β, породженої парною суперсимплектичною структурою
ω(2) ∈ Λ2(R2N |(N+1)), i забезпечують iнтегровнiсть за Лiувiллем векторних полiв d/dx та
d/dtj , j ∈ Z+, на базовому многовидi M̆2
N симплектичного супермноговиду M̆2|2
N , який
можна вкласти у простiр R2N , а згiдно iз дослiдженнями В. Н. Шандера [20], i на M̆2|2
N .
Таким чином, має мiсце така теорема.
Теорема 3. Суперконформна iєрархiя Беннi – Каупа (1) допускає iнварiантну редук-
цiю на скiнченновимiрний симплектичний супермноговид M̆
2|2
N ' T ∗(SN−1) ⊗ HN−2 ⊗
⊗R0|1 ⊂ R2N |(N+1) (6), на якому векторнi поля d/dx та d/dtj , j ∈ Z+, є гамiльтоновими
та iнтегровними за Лiувiллем. Спiввiдношення (8) описують усi перiодичнi розв’язки
iєрархiї на M̆2|2
N .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ГАМIЛЬТОНОВI СКIНЧЕННОВИМIРНI РЕДУКЦIЇ ОСЦИЛЯТОРНОГО ТИПУ . . . 23
3. Скiнченновимiрна редукцiя типу Баргмана суперконформної iєрархiї Каупа – Бро-
ера. Суперконформну iєрархiю Каупа – Броера утворюють узгоджено бiгамiльтоновi
нелiнiйнi динамiчнi системи на перiодичному функцiональному супермноговидi M̌2|2 ⊂
⊂ C∞(R/2πZ; R2|2) :(
dv
dtj
,
du
dtj
,
dζ
dtj
,
dξ
dtj
)τ
= −η̌∇l γ̌j+1[v, u, ζ, ξ] =
= −ϑ̌∇l γ̌j [v, u, ζ, ξ], j ∈ Z+, (14)
де ∇l : M̌2|2 → T ∗(M̌2|2) — оператор лiвого градiєнта на супермноговидi M̌2|2, суперiм-
плектичнi оператори η̌, ϑ̌ : T ∗(M̌2|2) → T (M̌2|2) набирають вигляду
η̌ =
0 −∂ 0 0
−∂ 0 0 0
0 0 0
1
2
0 0
1
2
0
,
ϑ̌ =
−(v∂ + ∂v) −u∂ + 2∂2 −(ζ∂ +
1
2
∂ζ)
1
2
∂ξ − ξ∂
−∂u− 2∂2 −2∂ −1
2
∂ξ 0
−
(
∂ζ +
1
2
ζ∂
)
−1
2
ξ∂
1
2
v
1
2
(u− 4∂)
1
2
ξ∂ − ∂ξ 0
1
2
(u+ 4∂) 2
,
а вiдповiдна послiдовнiсть гамiльтонiанiв запишеться так:
γ̌0 =
1
4
2π∫
0
u dx, γ̌1 =
1
2
2π∫
0
v dx, γ̌2 =
1
2
2π∫
0
(uv + ξxζ − ξζx) dx,
γ̌3 =
1
2
2π∫
0
(
u2v + uxv − uvx + v2 − vξξx +
7
3
uξxζ−
−5
3
uξζx −
2
3
uxξζ + 4ξxxζ + 4ξζxx − 4ζζx
)
dx,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
24 О. Є. ГЕНТОШ
При j = 2 спiввiдношення (14) задає супераналог нелiнiйної динамiчної системи Каупа –
Броера:
dv
dt2
= −vxx + (uv)x +
3
2
ξxxζ + ξxζx −
1
2
ξζxx,
du
dt2
= uxx + uux + vx −
1
2
ξξxx,
dζ
dt2
= −2ζxx + uζx +
3
4
uxζ +
1
4
vxξ +
1
2
vξx,
dξ
dt2
= 2ξxx + uξx +
1
4
uxξ + 2ζx.
Кожне рiвняння суперконформної iєрархiї Каупа – Броера (14) можна подати як умо-
ву сумiсностi двох лiнiйних матричних звичайних диференцiальних рiвнянь першого по-
рядку:
dY
dx
= AY, (15)
A :=
−1
4
(u− λ) 1
1
4
ξ
−1
4
v +
1
8
ξζ
1
4
(u− λ)
1
4
ζ
−1
4
ζ
1
4
ξ 0
,
де (v, u, ζ, ξ)τ ∈ M̌2|2, супервектор Y := (f, g, φ)τ ∈ L∞(R/2πZ; C2|1), λ ∈ C, та
dY
dtj
=
(
λj+1S
)
+
:= BjY, (16)
де j ∈ Z+, S := S(x;λ) '
∑
j∈Z+
Sjλ
−j — асимптотичний розклад суперматрицi моно-
дромiї рiвняння (15),
S0 =
1
8
1 0 0
0 −1 0
0 0 0
,
а нижнiй iндекс + позначає полiномiальну частину вiдповiдного виразу.
Розвинемо метод редукування на нелокальнi скiнченновимiрнi iнварiантнi пiдпросто-
ри суперконформної iєрархiї (14), що дозволить звести пошук її частинних розв’язкiв до
iнтегрування в квадратурах, наприклад, осциляторної динамiчної системи типу Баргма-
на. Покажемо, що така скiнченновимiрна динамiчна система виникає в результатi реду-
кування векторного поля d/dx на iнварiантний пiдпростiр M̌2|2
N ⊂ M̌2|2 суперконформної
iєрархiї Каупа – Броера (14):
M̌
2|2
N :=
{
(v, u, ζ, ξ)τ ∈ M̌2|2 : gradl LN [v, u, ζ, ξ] = 0
}
, (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ГАМIЛЬТОНОВI СКIНЧЕННОВИМIРНI РЕДУКЦIЇ ОСЦИЛЯТОРНОГО ТИПУ . . . 25
де функцiонал Лагранжа LN має вигляд
LN = γ̌2 +
N∑
i=1
ciλi,
а власнi значення λi ∈ D(M̌2|2), i = 1, N, перiодичної спектральної задачi (15) є глад-
кими за Фреше функцiоналами на супермноговидi M̌2|2. Будемо вважати λi, i = 1, N,
дiйсними з вiдповiдними власними вектор-функцiями Yi := (fi, gi, φi)τ ∈ W, π(fi) =
= π(gi) = 0, π(φi) = 1. Слiд зауважити, що у цьому випадку будь-яка вектор-функцiя
Y i := (gi,−fi, φi)τ ∈ W є власною для спряженої до (15) спектральної задачi i вiдповiдає
власному значенню λi ∈ R.
Дослiдимо диференцiально-геометричну структуру пiдпростору M̌2|2
N ⊂ M̌2|2.
Щоб описати пiдпростiр (17) явно, обчислимо лiвi градiєнти gradl λi ∈ T ∗(M̌2|2) влас-
них значень λi ∈ D(M̌2|2), i = 1, N, за допомогою спектральної задачi (15). Цi величини
виражаються через вiдповiднi власнi вектор-функцiї Yi ∈ W, i = 1, N, таким чином:
gradl λi =
(
−1
2
f2
i , figi, fiφi −
1
4
ξf2
i ,−giφi +
1
4
ζf2
i
)τ
/µi,
де µi =
∫ 2π
0
figi dx ∈ D(M̌2|2 ×WN ), i = 1, N, — нормуючi множники, якi є iнварiан-
тами векторних полiв (15), (16). У випадку µi = ci, i = 1, N, умова (17) набирає вигляду
обмежень типу Баргмана:
u =
N∑
i=1
f2
i , v = −2
N∑
i=1
figi, ζx =
N∑
j=1
giφi −
1
4
ζ
N∑
i=1
f2
i ,
(18)
ξx = −
N∑
j=1
fiφi +
1
4
ξ
N∑
i=1
f2
i .
Отже, розв’язки суперконформної iєрархiї Каупа – Броера (14) на пiдпросторi (17) вира-
жаються через компоненти власних вектор-функцiй Yi ∈ W, i = 1, N, та функцiї ζ, ξ ∈
∈ C∞(S1; R0|1), що можна використати для введення координат на пiдпросторi M̌2|2
N ⊂
⊂ M̌2|2.
На фазовому просторi M̃2|2 := M̌2|2 ×W 2N iєрархiї спарених динамiчних систем (14),
(16) з параметром λ = λi, i = 1, N, розглянемо функцiонал Лагранжа L̃N =
=
∫ 2π
0
L̃N [v, u, ζ, ζ, Yi]dx :
L̃N = γ̌2 +
N∑
j=1
λ
′
i +
N∑
i=1
siµi,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
26 О. Є. ГЕНТОШ
λ
′
i :=
2π∫
0
(
2(fi,xgi − figi,x) + ufigi − 2g2
i +
(
1
4
ξζ − 1
2
v
)
f2
i +
+ (ζfi − ξgi)φi − 2φiφi,x
)
dx,
де si ∈ C, i = 1, N, — деякi константи. Умова
gradl L̃N [v, u, ζ, ξ, Yi] = 0
задає iнварiантний пiдпростiр M̃
2|2
N ⊂ M̃2|2 цiєї iєрархiї. На M̃
2|2
N iснує точна парна
2-форма ω(2) = dα(1), де 1-форма α(1) ∈ Λ1(M̄2|2) задовольняє диференцiальне спiввiд-
ношення
dL̃N [v, u, ζ, ξ, Yi] = < (dv, du, dζ, dξ, dYi)τ , gradl L̃N [v, u, ζ, ξ, Yi] > +
dα(1)
dx
(19)
для будь-яких (v, u, ζ, ξ, Yi)τ ∈ M̄
2|2
N . Тут символом <,> позначено звичайний скалярний
добуток в R(2N+2)|(N+2). Iз спiввiдношення (19) отримуємо 2-форму ω(2) у виглядi
ω(2) =
N∑
i=1
(4dgi ∧ dfi + 2dφi ∧ dφi) + dξ ∧ dζ, (20)
яка є виродженою на M̄2|2
N ⊂ M̄2|2. Оскiльки пiдпростiр M̌2|2
N можна вкласти у M̄2|2
N згiд-
но з формулою (18), то парна 2-форма ω(2) задає на M̌
2|2
N невироджену суперсимплек-
тичну структуру. Iснування цiєї структури на M̌2|2
N доводить дифеоморфнiсть пiдпросто-
ру M̌2|2
N ⊂ M̌2|2 та скiнченновимiрного суперпростору R2N |(N+2) з суперсимплектичною
структурою (20).
Для функцiї h̄(x) ∈ D(M̄2|2
N ), знайденої за формулою〈(dv
dx
,
du
dx
,
dζ
dx
,
dξ
dx
,
dYi
dx
)τ
, gradl L̃N [v, u, ζ, ξ, Yi]
〉
= −dh̄
(x)
dx
,
на пiдпросторi M̄2|2
N ⊂ M̄2|2 має мiсце рiвнiсть
id/dxω
(2) = −dh̃(x),
де id/dx — внутрiшнє диференцiювання за векторним полем d/dx : M̄2|2
N → T (M̄2|2
N ) в
алгебрi Грассмана диференцiальних форм на R(2N+2)|(N+2). Оскiльки ця рiвнiсть зберiга-
ється на пiдпросторi M̌2|2
N ⊂ M̄
2|2
N , то при si = −λi, i = 1, N, функцiя h(x) := h̄(x)|
M̌
2|2
N
∈
∈ D(M̌2|2
N ) є гамiльтонiаном векторного поля d/dx на M̌2|2
N .
Таким чином, має мiсце така теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ГАМIЛЬТОНОВI СКIНЧЕННОВИМIРНI РЕДУКЦIЇ ОСЦИЛЯТОРНОГО ТИПУ . . . 27
Теорема 4. Функцiональний пiдпростiр M̌2|2
N ⊂ M̌2|2 (17) для кожного x ∈ S1 дифе-
оморфний до скiнченновимiрного суперпростору R2N |(N+2) з парною суперсимплектич-
ною структурою ω(2) ∈ Λ2(R2N |(N+2)) [17, 18] у виглядi (20), вiдносно якої векторне поле
d/dx є гамiльтоновою динамiчною системою з функцiєю Гамiльтона h(x) : R2N |(N+2) →
→ R :
h(x) =
N∑
i=1
λifigi + 2
N∑
i=1
g2
i −
(
N∑
i=1
figi +
1
4
ξζ
)
N∑
k=1
f2
k + ξ
N∑
i=1
giφi − ζ
N∑
i=1
fiφi.
Скiнченновимiрне векторне поле d/dx, редуковане на M̌2|2
N ' R2N |(N+2), можна роз-
глядати як супераналог осциляторної динамiчної системи типу Баргмана [14].
Функцiї h(tj) := h̄(tj)|
M̌
2|2
N
∈ D(M̌2|2
N ), де h̄(tj) ∈ D(M̄2|2
N ), якi задовольняють спiввiдно-
шення 〈( dv
dtj
,
du
dtj
,
dζ
dtj
,
dξ
dtj
,
dYi
dtj
)τ
, gradl L̃N [v, u, ζ, ξ, Yi]
〉
= −dh̄
(tj)
dx
для будь-яких (v, u, ζ, ξ, Yi)τ ∈ M̃
2|2
N , є гамiльтонiанами векторних полiв d/dtj на M̌2|2
N для
кожного j ∈ Z+.
Теорема 5. Гамiльтоновi векторнi поля d/dxта d/dtj , j ∈ Z+, на скiнченновимiрному
симплектичному супермноговидi M̆2|2
N ' R2N |(N+2) мають матричне зображення Лакса
dSN
dx
= [AN , SN ],
dSN
dt
= [Bj,N , SN ], (21)
де AN := AN (Yi;λ) = A[v, u, ζ, ξ;λ]|
M̌
2|2
N
, Bj,N := Bj,N (Yi;λ) = Bj [v, u, ζ, ξ;λ]|
M̌
2|2
N
, j ∈ Z+,
— проекцiї вiдповiдних суперматриць на супермноговид M̌
2|2
N , а суперматриця SN :=
:= SN (Yi;λ) має вигляд
SN = 2
N∑
i=1
1
λ− λi
−figi f2
i fiφi
−g2
i figi giφi
−giφi fiφi 0
− 1
2
0 4 ξ
2
N∑
i=1
figi 0 ζ
−ζ ξ 0
+
+ ζ
0 0 0
0 0 −1
1 0 0
− 1
2
λ
1 0 0
0 −1 0
0 0 0
, λ ∈ C.
Доведення. Оскiльки градiєнт функцiонала ∆(x;λ) := strS можна виразити через
елементи суперматрицi монодромiї S у виглядi (12):
ϕ(x;λ) =
(
−1
4
S12,−
1
2
S11,
1
2
S13 −
1
8
ξS12,
1
2
S23 +
1
8
ζS12
)τ
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
28 О. Є. ГЕНТОШ
де ϕ(x;λ) = gradl ∆(x;λ) '
∑
n∈Z+
ϕnλ
−n при |λ| → ∞, то безпосередньо отримуємо виг-
ляд елементiв S12, S11, S13 та S23 на супермноговидi M̌2|2
N . Iншi елементи суперматрицi S
знаходимо з рiвняння Новiкова – Марченка (13) для векторного поля d/dx.
Редукована на супермноговид M̌2|2
N cуперматриця монодромiї S задає вiдображення
Ю. Мозера S 7→ SN := S|
M̌
2|2
N
[7], а рiвняння Новiкова – Марченка (13) iз суперматрицею
SN — зображення Лакса для векторного поля d/dx на M̌2|2
N ' R2N |(N+2).
Вiдповiднi зображення Лакса (21) для векторних полiв d/dtj , j ∈ Z+, на M̌2|2
N виника-
ють з умов сумiсностi диференцiальних рiвнянь (15) i (16) на M̌2|2 ⊃ M̌
2|2
N .
Теорему доведено.
Наслiдком з теореми 5 є iнварiантнiсть функцiонала
−1
4
strS2
N =
N∑
i=1
σ̌i
λ− λi
− 1
2
N∑
i=1
figi
вiдносно векторних полiв d/dx та d/dtj , j ∈ Z+, на M̌2|2
N , коефiцiєнти σ̌i ∈ D(M̌2|2
N ) роз-
кладу якого у виглядi
σ̌i =
N∑
k=1,k 6=i
(figk − gifk + φiφk)2
λi − λk
− 1
2
λifigi − g2
i +
1
2
f2
i
(
N∑
k=1
fkgk
)2
−
− 1
2
ξgiφi +
1
2
ζfiφi, i = 1, N,
утворюють множину N лiнiйно незалежних законiв збереження таких полiв. Функцiо-
нали σ̌i перебувають в iнволюцiї вiдносно дужки Пуассона на просторi гладких функцiй
D(R2N |(N+2)) :
{F,G}ω(2) =
1
4
N∑
i=1
(
∂F
∂fi
∂G
∂gi
− ∂F
∂gi
∂G
∂fi
+
∂rF
∂φi
∂lG
∂φi
)
+
1
4
(
∂rF
∂ξ
∂lG
∂ζ
+
∂rF
∂ζ
∂lG
∂ξ
)
,
де F,G ∈ D(R2N |(N+2)), породженої парною суперсимплектичною структурою ω(2) ∈
∈ Λ2(R2N |(N+2)), i забезпечують iнтегровнiсть за Лiувiллем векторних полiв d/dx та d/dtj ,
j ∈ Z+, на дiйсному базовому многовидi M̌2
N ' R2N симплектичного супермноговиду
M̌
2|2
N , а отже, i на M̌2|2
N .
Теорема 6. Суперконформна iєрархiя Каупа – Броера (14) допускає iнварiантну ре-
дукцiю на скiнченновимiрний симплектичний супермноговид M̌2|2
N ' R2N |(N+2) (17), на
якому векторнi поля d/dx та d/dtj , j ∈ Z+, є гамiльтоновими та iнтегровними за Лiу-
вiллем. Спiввiдношення формули (18) описують усi перiодичнi розв’язки iєрархiї на M̌2|2
N .
4. Висновки. У статтi розвинено метод редукування на нелокальнi скiнченновимiр-
нi iнварiантнi пiдпростори типу Неймана та Баргмана для узгоджено бiгамiльтонових
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ГАМIЛЬТОНОВI СКIНЧЕННОВИМIРНI РЕДУКЦIЇ ОСЦИЛЯТОРНОГО ТИПУ . . . 29
суперконформних iєрархiй Беннi – Каупа i Каупа – Броера вiдповiдно, який дозволяє звес-
ти процедуру знаходження їхнiх частинних розв’язкiв до iнтегрування в квадратурах не-
лiнiйних динамiчних систем на скiнченновимiрних супермноговидах. Показано, що цi пiд-
простори є iзоморфними до скiнченновимiрних супермноговидiв з точною парною супер-
симплектичною структурою, а редукованi на них векторнi поля d/dx та d/dtj , j ∈ Z+, —
гамiльтоновими та iнтегровними за Лаксом – Лiувiллем супераналогами деяких осциля-
торних динамiчних систем.
Метод редукування на нелокальнi скiнченновимiрнi iнварiантнi пiдпростори можна
використати для дослiдження достатньо широкого класу узгоджено бiгамiльтонових
iєрархiй динамiчних систем, заданих на перiодичних функцiональних супермноговидах.
У зв’язку з цим виникає необхiднiсть розвинути для iнтегровних за Лiувiллем динамiчних
систем на скiнченновимiрних супермноговидах метод iнтегрування в квадратурах скiн-
ченновимiрних динамiчних систем за допомогою канонiчних перетворень Гамiльтона –
Якобi, запропонований у монографiї [21].
Автор вдячна А. К. Прикарпатському за обговорення результатiв, викладених у стат-
тi.
1. Богоявленский О. И., Новиков С. П. О связи гамильтоновых формализмов стационарных и нестацио-
нарных задач // Функцион. анализ и его прил. — 1976. — 10, № 1. — C. 9 – 13.
2. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский А. П. Теория солитонов: метод обратной
задачи / Под ред. С. П. Новикова. — М.: Наука, 1980. — 319 c.
3. Lax P. D. Periodic solutions of the Korteweg – de Vries equation // Communs Pure and Appl. Math. —
1975. — 28, № 2. — P. 85 – 96.
4. Митропольский Ю. А., Боголюбов Н. Н.(мл.), Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Интегрируе-
мые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты / Под ред.
О. С. Парасюка. — Киев: Наук. думка, 1987. — 296 c.
5. Prykarpatsky A., Mykytiuk I. Algebraic integrability of nonlinear dynamical systems on manifolds: classical
and quantum aspects. —Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998. — 554 p.
6. Prykarpatsky A., Blackmore D., Strampp W., Sydorenko Yu., Samuliak R. Some remarks on Lagrangian and
Hamiltonian formalism, related to infinite-dimensional dynamical systems with symmetries // Condensed
Matt. Phys. — 1995. — № 6. — P. 79 – 104.
7. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемости гамильтоновых систем // Успехи мат. наук. — 1981. —
36, № 5. — P. 109 – 151.
8. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. — М.: Наука, 1990. —
240 c.
9. Лезнов А. Н., Савельев М. В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. —
М.: Наука, 1985. — 280 c.
10. Марченко В. А. Операторы Штурма – Лиувилля и их приложения. — Киев: Наук. думка, 1977. — 332 c.
11. Blaszak M. Bi-Hamiltonian formulation for the KdV hierarchу with sources // J. Math. Phys. — 1995. — 36,
№ 9. — P. 4826 – 4831.
12. Prykarpatsky A., Hentosh O., Kopych M., Samuliak R. Neumann – Bogoliubov – Rosochatius oscillatory dyna-
mical systems and their integrability via dual moment maps. I // J. Nonlinear. Math. Phys. — 1995. — 2, № 2. —
P. 98 – 113.
13. Prykarpatsky A. K., Hentosh O. E., Blackmore D. L. The finite-dimensional Moser type reductions of modi-
fied Boussinesq and super-Korteweg – de Vries Hamiltonian systems via the gradient-holonomic algorithm
and the dual moment maps. I // Ibid. — 1997. — 4, № 3 – 4. — P. 455 – 469.
14. Прикарпатський Я. А., Притула М. М., Гентош О. Є. Скiнченновимiрнi редукцiї узагальненої дина-
мiчної системи Бюргерса та їх iнтегровнiсть // Нелiнiйнi коливання. — 2000. — 3, № 1. — C. 95 – 102.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
30 О. Є. ГЕНТОШ
15. Притула М., Воробйова О., Гентош О. Гамiльтонова iнварiантна редукцiя iнверсної динамiчної сис-
теми Каупа – Броера // Вiсн. Львiв. ун-ту. Прикл. математика та iнформатика. — 2000. — № 3. —
C. 118 – 124.
16. Гентош О. Є. Гамiльтонова редукцiя типу Неймана системи Девi – Стюартсона // Мат. методи та фiз.-
мех. поля. — 2004. — 47, № 2. — C. 100 – 107.
17. Березин Ф. А. Введение в алгебру с антикоммутирующими переменными. — М.: Изд-во Моск. ун-та,
1983. — 208 c.
18. Shander V. N. Analogues of the Frobenius and Darboux theorems for supermanifolds // Докл. Болгар. акад.
наук. — 1983. — 36, № 3. — C. 309 – 311.
19. Филь Б. Н. Суперобобщение вполне интегрируемых динамических систем. — Киев, 1989. — 19 c. —
(Препринт / АН УССР. Ин-т математики).
20. Шандер В. Н. О полной интегрируемости обыкновенных дифференциальных уравнений на супермно-
гообразиях // Функцион. анализ и его прил. —1983. — 17, № 1. — C. 89 – 90.
21. Самойленко А. М., Прикарпатський Я. А. Алгебро-аналiтичнi аспекти цiлком iнтегровних динамiч-
них систем та їх збурень. — Київ: Iн-т математики НАН України, 2002. — 237 c.
Одержано 28.09.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
|