Про оборотність оператора d/dt + A у просторі L₂(R, H)
Посилено твердження про неперервну оборотнiсть у просторi L₂(R, H) оператора d/dt + A, де H — комплексний гiльбертiв простiр, A — секторiальний оператор зi спектром у правiй пiвплощинi C....
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178061 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про оборотність оператора d/dt + A у просторі L₂(R, H) / М.Ф. Городнiй, А.В. Чайковський // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 31-36. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178061 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1780612021-02-18T01:28:15Z Про оборотність оператора d/dt + A у просторі L₂(R, H) Городній, М.Ф. Чайковський, А.В. Посилено твердження про неперервну оборотнiсть у просторi L₂(R, H) оператора d/dt + A, де H — комплексний гiльбертiв простiр, A — секторiальний оператор зi спектром у правiй пiвплощинi C. We generalize the assertion on continuous invertibility of the operator d/dt + A in the space L₂(R, H). Here H is a complex Hilbert space, A is a sectorial operator with the spectrum inside the right half-plane of C. 2006 Article Про оборотність оператора d/dt + A у просторі L₂(R, H) / М.Ф. Городнiй, А.В. Чайковський // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 31-36. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178061 517.98 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Посилено твердження про неперервну оборотнiсть у просторi L₂(R, H) оператора
d/dt + A, де
H — комплексний гiльбертiв простiр, A — секторiальний оператор зi спектром у правiй пiвплощинi C. |
| format |
Article |
| author |
Городній, М.Ф. Чайковський, А.В. |
| spellingShingle |
Городній, М.Ф. Чайковський, А.В. Про оборотність оператора d/dt + A у просторі L₂(R, H) Нелінійні коливання |
| author_facet |
Городній, М.Ф. Чайковський, А.В. |
| author_sort |
Городній, М.Ф. |
| title |
Про оборотність оператора d/dt + A у просторі L₂(R, H) |
| title_short |
Про оборотність оператора d/dt + A у просторі L₂(R, H) |
| title_full |
Про оборотність оператора d/dt + A у просторі L₂(R, H) |
| title_fullStr |
Про оборотність оператора d/dt + A у просторі L₂(R, H) |
| title_full_unstemmed |
Про оборотність оператора d/dt + A у просторі L₂(R, H) |
| title_sort |
про оборотність оператора d/dt + a у просторі l₂(r, h) |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178061 |
| citation_txt |
Про оборотність оператора d/dt + A у просторі L₂(R, H) / М.Ф. Городнiй, А.В. Чайковський // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 31-36. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT gorodníjmf prooborotnístʹoperatoraddtauprostoríl2rh AT čajkovsʹkijav prooborotnístʹoperatoraddtauprostoríl2rh |
| first_indexed |
2025-07-15T16:25:44Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:25:44Z |
| _version_ |
1837730884924473344 |
| fulltext |
УДК 517 . 98
ПРО ОБОРОТНIСТЬ ОПЕРАТОРА
d
dt
+ A У ПРОСТОРI L2(R, H)
М. Ф. Городнiй, А. В. Чайковський
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 6
e-mail: gorodnii@yandex.ru
ChaikovskiyAV@ukr.net
We generalize the assertion on continuous invertibility of the operator
d
dt
+ A in the space L2(R,H). Here
H is a complex Hilbert space, A is a sectorial operator with the spectrum inside the right half-plane of C.
Посилено твердження про неперервну оборотнiсть у просторi L2(R,H) оператора
d
dt
+ A, де
H — комплексний гiльбертiв простiр, A — секторiальний оператор зi спектром у правiй пiв-
площинi C.
1. Вступ. Нехай (B, ‖·‖) — комплексний банахiв простiр iз нульовим елементом 0, L(B) —
банахiв простiр усiх лiнiйних обмежених операторiв, що дiють з B у B; I — одиничний
оператор у B. Нехай A : D(A) ⊂ B → B — секторiальний оператор, σ(A) — спектр
оператора A, e−As, s > 0 — експонента вiд A [1], e−A0 := I.
Для кожного 1 ≤ p < +∞ позначимо через Lp = Lp(R, B) банахiв простiр усiх вимiр-
них за Бохнером, сумовних з p-м степенем функцiй з нормою ‖f‖p :=
∫
R
||f(t)||pdt
1/p
(див., наприклад, [2, с. 102]).
Оператору A поставимо у вiдповiднiсть лiнiйний оператор LA : D(LA) ⊂ Lp → Lp,
який визначається за таким правилом. Функцiя x iз класу Lp належить D(LA) тодi й лише
тодi, коли знайдеться така функцiя f ∈ Lp, що для всiх t0 ≤ t з R справджуються рiвностi
x(t) = e−A(t−t0)x(t0) +
t∫
t0
e−A(t−s)f(s) ds, (1)
де використовується iнтеграл у сенсi Бохнера. При цьому покладаємо LAx = f.
Оскiльки {e−A(t−s)|−∞ < s ≤ t < +∞} є сiм’єю еволюцiйних операторiв для лiнiйно-
го диференцiального рiвняння x′(t)+Ax(t) = ~0, t ∈ R, тоLA =
d
dt
+A : D(LA) ⊂ Lp → Lp
є абстрактним параболiчним оператором (див. [3, с. 165]).
З результатiв роботи [4] випливає, що справджується така теорема.
Теорема 1. Наведенi нижче твердження є еквiвалентними:
a1) оператор LA має обернений оператор L−1
A ∈ L(Lp);
a2) спектр σ(A) оператора A не перетинається з уявною вiссю i R := {i t | t ∈ R}.
c© М. Ф. Городнiй, А. В. Чайковський, 2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 31
32 М. Ф. ГОРОДНIЙ, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Позначимо через W 1
p = W 1
p (R, B) простiр Соболєва функцiй з Lp, узагальненi похiд-
нi яких належать Lp, а через | · |1,p норму в W 1
p . З [5] випливає, що виконується таке
твердження.
Теорема 2. Нехай A ∈ L(B), σ(A) ∩ i R = ∅. Тодi D(LA) = W 1
p i лiнiйний оператор
LA : W 1
p → Lp є обмеженим i неперервно оборотним, тобто
∃M > 0 ∀f ∈ Lp :
∣∣L−1
A f
∣∣
p,1
≤ M ‖f‖p.
Мета цiєї статтi — узагальнити результат теореми 2 на випадок секторiального опе-
ратора A зi спектром у правiй пiвплощинi, посиливши при цьому твердження a2) ⇒ a1)
з теореми 1. Про застосування таких результатiв до дослiдження лiнiйних параболiчних
диференцiальних операторiв див. [3] (гл. X) та [4].
2. Основний результат. Для кожного 1 ≤ p < +∞ позначимо G1
p := {f : R → D(A)|
f, f ′, Af ∈ C(R, B) ∩ Lp(R, B)}, ||f ||G1
p
= ||f ||p + ||f ′||p + ||Af ||p. Нехай G1
p — поповнення
G1
p за нормою || · ||G1
p
. Зауважимо, що справджується включення множин G1
p ⊂ Lp(R, B).
Припустимо також, що
σ(A) ⊂ {z C | Re z > 0} . (2)
Через 1V позначатимемо iндикатор множини V ⊂ R. Далi використовується така
лема.
Лема 1. Нехай 1 ≤ p < +∞, A — секторiальний оператор, для якого виконується
умова (2), y — фiксований елемент B, ϕ := 1(a,b)y. Тодi єдиний розв’язок x ∈ Lp(R, B)
рiвняння LAx = ϕ належить простору G1
p .
Доведення. 1. Вiдомо [4], що розв’язок x ∈ Lp(R, B) рiвняння LAx = ϕ має вигляд
x(t) =
∫ t
−∞
e−A(t−s)ϕ(s) ds, t ∈ R. Тому, врахувавши, що ϕ = 1(a,b)y, отримаємо
x(t) = A−1
(
I − e−A(t−a)
)
y 1(a,b](t) + A−1
(
e−A(t−b) − e−A(t−a)
)
y 1(b,+∞)(t), t ∈ R. (3)
При цьому
x′(t) = e−A(t−a)y 1(a,b)(t) +
(
e−A(t−a) − e−A(t−b)
)
y 1(b,+∞)(t), t ∈ R\{a, b}.
2. Для кожного ε > 0 розглянемо рiвняння
εx′ε(t) + A xε(t) = Ax(t), t ∈ R. (4)
Оскiльки оператор A задовольняє умову (2), то для операторної експоненти справджу-
ються оцiнки [1]
∃ δ > 0 ∃L > 0 ∀ t > 0 :
∥∥e−At
∥∥ ≤ Le−δt,
+∞∫
0
∥∥e−At
∥∥p
dt ≤ Lp
δp
. (5)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ПРО ОБОРОТНIСТЬ ОПЕРАТОРА
d
dt
+ A У ПРОСТОРI L2(R, H) 33
Тому функцiя Ax(t), t ∈ R, що є комбiнацiєю експонент, неперервна, обмежена, належить
класу Lp(R, B). Отже [4], iснує єдиний розв’язок рiвняння (4) в Lp(R, B) :
xε(t) =
1
ε
t∫
−∞
e−
A
ε
(t−s)Ax(s)ds =
(
I − 1
1− ε
e−A(t−a) − ε
1− ε
e−
A
ε
(t−a)
)
A−1y1(a,b](t)+
+
(
1
1− ε
(
e−A(t−b) − e−A(t−a)
)
− ε
1− ε
(
e−
A
ε
(t−b) − e−
A
ε
(t−a)
))
A−1y1(b,+∞)(t),
x′ε(t) =
1
1− ε
(
e−A(t−a) − e−
A
ε
(t−a)
)
y1(a,b](t)+
+
1
1− ε
((
e−A(t−a) − e−A(t−b)
)
+
(
e−
A
ε
(t−b) − e−
A
ε
(t−a)
))
y1(b,+∞)(t),
t ∈ R.
При цьому легко перевiрити безпосередньо, що Axε ∈ C(R, B), xε ∈ C1(R, B); xε, x′ε,
Axε ∈ Lp(R, B). Отже,
∀ε > 0 : xε ∈ G1
p. (6)
3. Доведемо, що x′ε −−−−→
ε→0+
x′ в Lp(R, B). З урахуванням (5) дiстанемо
‖x′ε(t)− x′(t)‖ =
∥∥∥∥ ε
1− ε
e−A(t−a)y − 1
1− ε
e−
A
ε
(t−a)y
∥∥∥∥ ≤
≤
(
ε
1− ε
||e−A(t−s)‖+
1
1− ε
‖e−
A
ε
(t−a)‖
)
‖y‖ ≤
≤ L
(
ε
1− ε
e−δ(t−a) +
1
1− ε
e−
δ
ε
(t−a)
)
‖y‖, a < t < b,
‖x′ε(t)− x′(t)‖ =
∥∥∥∥ ε
1− ε
(e−A(t−a) − e−A(t−b))y +
1
1− ε
(e−
A
ε
(t−b) − e−
A
ε
(t−a))y
∥∥∥∥ ≤
≤ L
(
2ε
1− ε
e−δ(t−b) +
2
1− ε
e−
δ
ε
(t−b)
)
‖y‖, t > b.
Тому ‖x′ε − x′‖p
p ≤ 3L
(
ε
1− ε
(
1
δp
)1/p
+
1
1− ε
(
ε
δp
)1/p
)
‖y‖ → 0, ε → 0 + .
Також внаслiдок (4) Axε −−−−→
ε→0+
Ax в Lp(R, B). Отже, ‖xε − x‖G1
p
→ 0, ε → 0 + . З (6)
випливає, що x ∈ G1
p .
Лему 1 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
34 М. Ф. ГОРОДНIЙ, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Основним результатом статтi є наступна теорема.
Теорема 3. Якщо p = 2 i B = H — гiльбертiв простiр, то D(LA) = G1
2 i оператор
LA : G1
2 → L2(R,H) є обмеженим i неперервно оборотним.
Доведення. 1. Нехай 4 > 0, n ∈ N, y1, y2, . . . , yn ∈ H,
ϕ = 1(0,4)y1 + 1(4,24)y2 + . . . + 1((n−1)4,n4)yn. (7)
Тодi розв’язок x ∈ Lp(R,H) рiвняння LAx = ϕ є скiнченною сумою розв’язкiв вигляду
(3), а отже, функцiї x, Ax, x′, ϕ належать класу функцiй
E(R,H) :=
{
f ∈ L1(R,H) | ∃µ > 0 : e−µ|t|‖f(t)‖ → 0, |t| → +∞
}
.
2. Якщо f1, f2 ∈ E(R,H), то iснують їх перетворення Фур’є f̂1, f̂2, i, аналогiчно [6,
c. 505], ∫
R
(f1(t), f2(t)) dt =
∫
R
(f̂1(λ), f̂2(λ))dλ.
Тому для f ∈ E(R,H) справджується рiвнiсть Парсеваля
‖f‖2 = ‖f̂‖2.
3. Застосувавши почленно до рiвняння x′ + Ax = ϕ перетворення Фур’є, отримаємо
−it x̂(t) + Ax̂(t) = ϕ̂(t), t ∈ R. Звiдси x̂(t) = (A − it)−1ϕ̂(t), а отже, A x̂(t) = ϕ̂(t) +
+it(A−it)−1ϕ̂(t), t ∈ R. За означенням секторiального оператора iснує така стала M > 0,
що ‖Ax̂(t)‖H ≤ (1 + M)‖ϕ̂(t)‖H , t ∈ R. Тому з урахуванням рiвностi Парсеваля ‖Ax‖2 =
= ‖Âx‖2 = ‖Ax̂‖2 ≤ (1 + M)‖ϕ̂‖2 = (1 + M)‖ϕ‖2. Отже, iснує така стала C > 0, що для
всiх функцiй ϕ вигляду (7) справджується оцiнка
‖x‖G1
2
= ‖x‖2 + ‖x′‖2 + ‖Ax‖2 ≤ ‖ϕ‖2 +
(
‖A−1‖+ 2
)
‖Ax‖2 ≤ C‖ϕ‖2. (8)
4. Якщо y ∈ L2(R,H), то в L2(R,H) iснує така послiдовнiсть простих функцiй {ϕn :
n ≥ 1} вигляду (7), що ϕn → y, n → ∞. Нехай функцiї xn, n ≥ 1, є розв’язками рiвнянь
x′n + Axn = ϕn в G1
2 , якi iснують за лемою 1. Тодi внаслiдок (8) ‖xn − xm‖G1
2
≤ C‖ϕn −
−ϕm‖2 → 0, m, n → ∞, а отже, послiдовнiсть {xn : n ≥ 1} є фундаментальною в G1
2 .
Тому вона збiгається до деякого елемента x ∈ G1
2 . При цьому внаслiдок (7)
∀n ≥ 1 : ‖xn‖G1
p
≤ C‖ϕn‖2 ⇒ ‖x‖G1
p
≤ C‖y‖2. (9)
З оцiнки (9) випливає неперервна оборотнiсть оператора LA.
Крiм того,
xn(t) = e−A(t−t0)xn(t0) +
t∫
t0
e−A(t−s)ϕn(s) ds =
t∫
−∞
e−A(t−s)ϕn(s) ds, t ∈ R.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ПРО ОБОРОТНIСТЬ ОПЕРАТОРА
d
dt
+ A У ПРОСТОРI L2(R, H) 35
Звiдси, переходячи до границi при n → ∞ в нормi простору L2 (це можливо внаслiдок
нерiвностi Гельдера й оцiнок експоненти (4)), отримуємо
x(t) =
t∫
−∞
e−A(t−s)y(s) ds = e−A(t−t0)x(t0) +
t∫
t0
e−A(t−s)y(s) ds, t ∈ R,
тобто x ∈ D(LA). Отже, D(LA) ⊂ G1
2 .
Кожна функцiя x ∈ G1
2 є границею послiдовностi функцiй {xn : n ≥ 1} ⊂ G1
p. При
цьому послiдовнiсть fn = x′n + Axn збiгається в L2 до деякої функцiї f ∈ L2. Для цих
функцiй x, f справджується рiвнiсть (1), отже, x ∈ D(LA). Таким чином, D(LA) ⊃ G1
2 .
Обмеженiсть оператора LA випливає з теореми Банаха про обернений оператор.
Теорему 3 доведено.
Зазначимо, що в загальному випадку оператор LA : G1
p → Lp(R, B), p ≥ 1, не завжди
має обернений.
Приклад. Нехай p = 1, B = c0 =
{
u = (u1, u2, . . . , un, . . .) | uk ∈ C, k ≥ 1; lim
n→∞
un = 0
}
— банахiв простiр iз нормою ‖u‖∞ = sup
k≥1
|uk|. Тодi оператор A : c0 → c0, що дiє за фор-
мулою Au = (u1, 2u2, . . . , nun, . . .), x ∈ c0, є секторiальним.
При цьому для розв’язку (3) у випадку y =
(
1
ln 2
,
1
ln 3
,
1
ln 4
, . . .
)
справджується оцiнка
‖Ax(t)‖∞ ≥
(
e−k(t−b) − e−k(t−a)
) 1
ln(k + 1)
≥ e−1
(
1− e−(b−a)( 1
t−b
−1)
) 1
ln
(
1
t−b + 1
) ,
b < t ≤ b + 1, k =
[
1
t− b
]
.
Позначимо ε := b− a. Тодi при ε ∈ (0, 1) дiстанемо
‖Ax‖L1(R,c0) ≥
b+1∫
b+ε
‖Ax(t)‖∞ dt ≥
1∫
ε
e−1
(
1− e−ε( 1
t
−1)
) 1
ln
(
1
t + 1
) dt ≥
≥
1∫
ε
e−1
(
ε
(
1
t
− 1
)
−
ε2
(
1
t − 1
)2
2
)
1
ln
(
1
t + 1
) dt ≥
≥
1∫
ε
e−1ε
(
1
t
− 1
)
1
ln
(
1
t + 1
) dt− 1
2 ln 2
1∫
ε
ε2
(
1
t
)2
dt = εs(ε)− ε− ε2
2 ln 2
,
де s(ε) → +∞, ε → 0 + . Оскiльки ‖ϕ‖L1(R,c0) =
ε
ln 2
, то
‖Ax‖L1(R,c0)
‖ϕ‖L1(R,c0)
→ +∞, ε → 0 + . Це
означає, що оператор LA не має оберненого.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
36 М. Ф. ГОРОДНIЙ, А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
3. Висновок. За допомогою властивостей перетворення Фур’є для функцiй зi значен-
нями в гiльбертовому просторi доведено, що коли спектр оператора A задовольняє умову
(2), то оператор LA : G1
2 → L2 є обмеженим i неперервно оборотним. Цей результат по-
силює вiдповiдний результат з [4], згiдно з яким iснує L−1
A ∈ L(L2(R,H)).
1. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985. — 376 с.
2. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 829 с.
3. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. — М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1978. — 204 с.
4. Баскаков А. Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференци-
альных операторов // Функцион. анализ и его прил. — 1996. — 30, № 3. — С. 1 – 11.
5. Городнiй М. Ф. Lp-розв’язки диференцiального рiвняння з обмеженим операторним коефiцiєнтом //
Наук. зап. НаУКМА. Фiз.-мат. науки. — 2003. — 21. — С. 32 – 35.
6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1989. — 624 с.
Одержано 24.10.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
|