Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

Отримано критерiй iснування обмежених на всiй дiйснiй осi розв’язкiв лiнiйного неоднорiдного диференцiального рiвняння у банаховому просторi за припущення, що однорiдне рiвняння допускає експоненцiальну дихотомiю на пiвосях. Даний результат є узагальненням леми К. Палмера на випадок нескiнченновим...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Бойчук, А.А., Покутний, А.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178064
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / А.А. Бойчук, А.А. Покутний // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 3-14. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-178064
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1780642021-02-18T01:27:22Z Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Бойчук, А.А. Покутний, А.А. Отримано критерiй iснування обмежених на всiй дiйснiй осi розв’язкiв лiнiйного неоднорiдного диференцiального рiвняння у банаховому просторi за припущення, що однорiдне рiвняння допускає експоненцiальну дихотомiю на пiвосях. Даний результат є узагальненням леми К. Палмера на випадок нескiнченновимiрних просторiв. Розглянуто приклади iснування обмежених розв’язкiв зчисленних систем звичайних диференцiальних систем. For a linear nonhomogeneous differential equation in a Banach space, we find a criterion for existence of solutions that are bounded on the whole real axis with the assumption that the homogeneous equation admits exponential dichotomy on the half-axes. This result is a generalization of K. Palmer’s lemma to the case of infinite dimensional spaces. We consider examples of countable systems of ordinary differential equations that have bounded solutions. 2006 Article Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / А.А. Бойчук, А.А. Покутний // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 3-14. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178064 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Отримано критерiй iснування обмежених на всiй дiйснiй осi розв’язкiв лiнiйного неоднорiдного диференцiального рiвняння у банаховому просторi за припущення, що однорiдне рiвняння допускає експоненцiальну дихотомiю на пiвосях. Даний результат є узагальненням леми К. Палмера на випадок нескiнченновимiрних просторiв. Розглянуто приклади iснування обмежених розв’язкiв зчисленних систем звичайних диференцiальних систем.
format	Article
author	Бойчук, А.А. Покутний, А.А.
spellingShingle	Бойчук, А.А. Покутний, А.А. Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Нелінійні коливання
author_facet	Бойчук, А.А. Покутний, А.А.
author_sort	Бойчук, А.А.
title	Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
title_short	Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
title_full	Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
title_fullStr	Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
title_full_unstemmed	Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
title_sort	ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178064
citation_txt	Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / А.А. Бойчук, А.А. Покутний // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 3-14. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT bojčukaa ograničennyerešeniâlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvbanahovomprostranstve AT pokutnijaa ograničennyerešeniâlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvbanahovomprostranstve
first_indexed	2025-07-15T16:25:56Z
last_indexed	2025-07-15T16:25:56Z
_version_	1837730897223221248
fulltext	УДК 517 . 9 ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ А. А. Бойчук Ин-т математики НАН Украины Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3 e-mail: boichuk@imath.kiev.ua А. А. Покутний Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко Украина, 03680, Киев, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 6 For a linear nonhomogeneous differential equation in a Banach space, we find a criterion for existence of solutions that are bounded on the whole real axis with the assumption that the homogeneous equation admits exponential dichotomy on the half-axes. This result is a generalization of K. Palmer’s lemma to the case of infinite dimensional spaces. We consider examples of countable systems of ordinary differential equations that have bounded solutions. Отримано критерiй iснування обмежених на всiй дiйснiй осi розв’язкiв лiнiйного неоднорiдного диференцiального рiвняння у банаховому просторi за припущення, що однорiдне рiвняння допус- кає експоненцiальну дихотомiю на пiвосях. Даний результат є узагальненням леми К. Палмера на випадок нескiнченновимiрних просторiв. Розглянуто приклади iснування обмежених розв’яз- кiв зчисленних систем звичайних диференцiальних систем. 1. Постановка задачи. Рассмотрим в банаховом пространстве B дифференциальное урав- нение dx dt = A(t)x(t) + f(t), (1) где оператор-функция f(t) действует из R в банахово пространство B : f(t) ∈ BC(R,B) := := {f(·) : R → B, f(·) ∈ C(R), \|\|\|f \|\|\| = sup t∈R ‖f(t)‖ < ∞}, BC(R,B) — банахово пространст- во непрерывных и ограниченных на R функций, оператор-функция A(t) сильно непре- рывна [1, c. 141], \|\|\|A\|\|\| = sup t∈R ‖A(t)‖ < ∞, a решение x(t) уравнения x(t) = x0 + t∫ t0 (A(s)x(s) + f(s)) ds непрерывно дифференцируемо в каждой точке t ∈ R и удовлетворяет уравнению (1) везде в R. Поэтому ограниченное решение x(t) уравнения (1) будем искать в банаховом пространстве BC1(R,B) непрерывно дифференцируемых на R функций, ограниченных со своей производной. c© А. А. Бойчук, А. А. Покутний, 2006 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 3 4 А. А. БОЙЧУК, А. А. ПОКУТНИЙ Найдем условия существования ограниченных на всей оси R решений x(t) ∈ BC1(R,B) уравнения (1) в предположении, что соответствующее ему однородное уравнение dx dt = A(t)x(t) (2) допускает экспоненциальную дихотомию на полуосях. В случае конечномерных про- странств, когда B = Rn, эту проблему решает известная лемма К. Палмера [2, c. 245]. Как известно [1, c. 236], уравнение (2) допускает экспоненциальную дихотомию на интервале J, если существуют проектор P (P 2 = P ) и константы K ≥ 1, α > 0 такие, что для любых t, s ∈ J справедливы оценки∥∥U(t)PU−1(s) ∥∥ ≤ Ke−α(t−s), t ≥ s, ∥∥U(t)(E − P )U−1(s) ∥∥ ≤ Keα(t−s), s ≥ t, где U(t) = U(t, 0) — эволюционный оператор [1, c. 145] уравнения (2) такой, что d U(t) dt = A(t)U(t), U(0) = E − единичный оператор. Здесь и в дальнейшем J один из интервалов: J = R = (−∞; +∞), J = R+ = [0; +∞) или J = R− = (−∞; 0]. 2. Основной результат. Pассмотрим задачу о существовании ограниченных на R ре- шений дифференциального уравнения (1) в предположении, что однородное уравнение (2) допускает экспоненциальную дихотомию на полуосях R+ и R− с проекторами P и Q соответственно, т. е. существуют проекторы P (P 2 = P ) и Q(Q2 = Q), константы K1,2 ≥ 1, α1,2 > 0 такие, что имеют место оценки: для всех t, s ∈ R+ ∥∥U(t)PU−1(s) ∥∥ ≤ K1e −α1(t−s), t ≥ s, ∥∥U(t)(E − P )U−1(s) ∥∥ ≤ K1e α1(t−s), s ≥ t, для всех t, s ∈ R− ∥∥U(t)QU−1(s) ∥∥ ≤ K2e −α2(t−s), t ≥ s, ∥∥U(t)(E −Q)U−1(s) ∥∥ ≤ K2e α2(t−s), s ≥ t. Теорема. Пусть однородное уравнение (2) допускает экспоненциальную дихотомию на полуосях R+ и R− с проекторами P и Q соответственно. Если оператор D = P − (E −Q) : B → B, (3) действующий из банахового пространства B в себя, является обобщенно-обратимым, то: ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 5 1) для того чтобы существовали ограниченные на всей действительной оси реше- ния уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы оператор-функция f(t) ∈ BC(R,B) удовлетворяла условию +∞∫ −∞ H(t) f(t) dt = 0; (4) 2) при условии (4) ограниченные на всей оси решения системы (1) имеют вид x(t, c) = U(t)PPN(D)c + (Gf)(t) ∀ c ∈ B, (5) где (G[f ])(t) = U(t)  t∫ 0 PU−1(s)f(s) ds− ∞∫ t (E − P )U−1(s)f(s) ds+ +PD−  ∞∫ 0 (E − P )U−1(s)f(s) ds + + 0∫ −∞ QU−1(s)f(s)ds  , t ≥ 0, t∫ −∞ QU−1(s)f(s) ds− 0∫ t (E −Q)U−1(s)f(s) ds+ +(E −Q)D− [∞∫ 0 (E − P )U−1(s)f(s) ds+ + 0∫ −∞ QU−1(s)f(s) ds  , t ≤ 0, — обобщенный оператор Грина задачи об ограниченных на всей оси R решениях со сле- дующими свойствами: (G[f ])(0 + 0)− (G[f ])(0− 0) = +∞∫ −∞ H(t)f(t) dt, (LG[f ])(t) = f(t), t ∈ R, где H(t) = PN(D∗)QU−1(t) = PN(D∗)(E − P )U−1(t), D− — обобщенно-обратный опера- тор к оператору D, PN(D) и PN(D∗) — проекторы, которые проектируют B на ядро N(D) и коядро N(D∗) оператора D соответственно. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 6 А. А. БОЙЧУК, А. А. ПОКУТНИЙ Доказательство. Ограниченные на полуосях решения уравнения (1) имеют вид x(t, ξ) =  U(t)Pξ + t∫ 0 U(t)PU−1(s)f(s) ds− − ∞∫ t U(t)(E − P )U−1(s)f(s) ds, t ≥ 0, U(t)(E −Q)ξ + t∫ −∞ U(t)QU−1(s)f(s) ds− − 0∫ t U(t)(E −Q)U−1(s)f(s)ds, t ≤ 0. (6) Покажем, что таким образом определенные решения действительно ограничены на полуосях R− и R+. Для этого оценим интегралы в (6):∥∥∥∥∥∥ t∫ 0 U(t)PU−1(s)f(s) ds ∥∥∥∥∥∥ ≤ t∫ 0 ∥∥U(t)PU−1(s) ∥∥ ‖f(s)‖ ds ≤ ≤ \|\|\|f \|\|\| t∫ 0 K1e −α1(t−s) ds = \|\|\|f \|\|\|K1e −α1t ( eα1t − 1 α1 ) = = K1 α1 ( 1− e−α1t ) \|\|\|f \|\|\| ∀t ≥ 0. Аналогично показывается, что (6) определяет ограниченные решения и для t ≤ 0. Решения (6) будут ограничены на всей действительной оси R тогда и только тогда, когда элемент ξ банахового пространства B удовлетворяет условию x(0+, ξ) = x(0−, ξ). Таким образом, элемент ξ ∈ B банахового пространства должен удовлетворять опера- торному уравнению (P − (E −Q))ξ = ∞∫ 0 (E − P )U−1(s)f(s) ds + 0∫ −∞ QU−1(s)f(s) ds. (7) Поэтому уравнение (1) имеет ограниченные на всей действительной оси решения тогда и только тогда, когда ξ ∈ B является решением операторного уравнения (7). Поскольку, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 7 согласно условиям теоремы, существует обобщенно-обратный оператор D− к оператору D, то [3, c. 138; 4, c. 26; 5, c. 145; 6, c. 19] необходимым и достаточным условием разреши- мости уравнения (7) является следующее: PN(D∗)  ∞∫ 0 (E − P )U−1(s)f(s) ds + 0∫ −∞ QU−1(s)f(s) ds  = 0. (8) Ограниченные на всей действительной оси решения уравнения (1) будут определяться из (6), в котором элемент ξ ∈ B имеет вид ξ = D−  ∞∫ 0 (E − P )U−1(s)f(s) ds + 0∫ −∞ QU−1(s)f(s) ds  + PN(D)c ∀ c ∈ B. (9) Поскольку DPN(D) = 0 [4, c. 33], то PPN(D) = (E − Q)PN(D) и с учетом (9) ограни- ченные на R решения (6) системы (1) можно записать в виде (5). Аналогично, из того, что PN(D∗)D = 0, следует PN(D∗)Q = PN(D∗)(E − P ). Поэтому условие (8) эквивалентно одному из следующих: +∞∫ −∞ PN(D∗)(E − P )U−1(s)f(s) ds = 0, +∞∫ −∞ PN(D∗)QU−1(s)f(s) ds = 0. (10) С учетом обозначений для оператора H(t) условия (10) того, что f ∈ R(L), принима- ют вид (4). Свойства обобщенного оператора Грина (G[f ])(0 + 0)− (G[f ])(0− 0) = ∞∫ 0 PN(D∗)(E − P )U−1(s)f(s) ds+ + 0∫ −∞ PN(D∗)QU−1(s)f(s) ds = +∞∫ −∞ H(t)f(t) dt, (LG[f ])(t) = f(t), t ∈ R, непосредственно следуют из построения обобщенного оператора Грина. Теорема доказана. В случае конечномерных пространств, когда B = Rn, из доказанной выше теоремы получим известный результат [7]. Примеры. Рассмотрим несколько примеров счетных систем дифференциальных урав- нений, которые иллюстрируют рассмотренную выше теорему. Рассмотрим в пространст- ве ограниченных числовых последовательностей m [6, c. 25; 8] систему дифференциаль- ных уравнений dx dt = A(t)x(t) + f(t) (11) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 8 А. А. БОЙЧУК, А. А. ПОКУТНИЙ с оператором A(t) в виде счетномерной матрицы, которая при каждом действительном значении t действует в банаховом пространстве B = m, норма в котором определяется следующим образом: \|\|\|A\|\|\|B = sup t∈R,i,j∈N \|aij(t)\| < ∞. Здесь x(t) = col {x1(t), x2(t), . . . xk(t), . . .} ∈ BC1(R,m), f(t) = col {f1(t), f2(t), . . . , fk(t), . . .} ∈ BC(R,m) — счетные вектор-столбцы. 1. Рассмотрим систему (11) с оператором A(t) =  k︷︸︸︷ th t 0 0 . . . . . . 0 th t 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 th t . . . . . . 0 0 0 − th t . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . (12) Нетрудно убедиться, что определенный выше оператор A(t) принадлежит этому про- странству. Действительно, sup t∈R th t = et − e−t et + e−t < 2 ⇒ \|\|\|A\|\|\| = sup t∈R \|aij(t)\| = sup t∈R th t < +∞ ∀ t ∈ R. Эволюционный оператор системы (11), (12) имеет вид U(t) =  k︷︸︸︷ (et + e−t)/2 0 0 . . . . . . 0 (et + e−t)/2 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 (et + e−t)/2 . . . . . . 0 0 0 2/(et + e−t) . . . . . . . . . . . . . . . . . .  , обратный к U(t) оператор U−1(t) =  k︷︸︸︷ 2/(et + e−t) 0 0 . . . . . . 0 2/(et + e−t) 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 2/(et + e−t) . . . . . . 0 0 0 (et + e−t)/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 9 и соответствующая однородная система экспоненциально дихотомична на полуосях R+ и R− с проекторами P =  k︷︸︸︷ 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . . . . 0 0 1 . . . 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . .  и Q =  k︷︸︸︷ 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 1 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . .  соответственно. Таким образом, имеем D = P − (E −Q) = 0, PN(D) = PN(D∗) = E, а так как dim [PN(D∗)Q] = k, то оператор PN(D∗)Q конечномерный: H(t) = [PN(D∗)Q]U−1(t) =  k︷︸︸︷ 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 1 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . .  U−1(t) = diag {Hk(t), 0}, где Hk(t) =  2/(et + e−t) . . . 0 ... . . . ... 0 . . . 2/(et + e−t)  — (k × k)-мерная матрица. Согласно теореме 1, для того чтобы существовали ограниченные на всей прямой ре- шения системы (11), (12), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия +∞∫ −∞ Hk(t)f(t) dt = 0 ⇔  +∞∫ −∞ f1(t) et + e−t dt = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . +∞∫ −∞ fk(t) et + e−t dt = 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 10 А. А. БОЙЧУК, А. А. ПОКУТНИЙ Таким образом, для того чтобы система (11), (12) имела ограниченные на всей оси реше- ния, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись ровно k условий, остальные же функ- ции fi(t) при всех i ≥ k + 1 можно выбирать произвольным образом из класса BC(R,m). При этом система (11), (12) имеет счетное число линейно независимых ограниченных решений. Например, в качестве вектор-функции f из класса BC(R,m) можно выбрать произвольную вектор-функцию, у которой первые k компонент являются нечетными функциями. 2. Рассмотрим счетную систему (11) с оператором A(t) =  k︷︸︸︷ th t 0 0 . . . . . . 0 − th t 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 − th t . . . . . . 0 0 0 th t . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . (13) Эволюционный оператор U(t) =  k︷︸︸︷ 2/(et + e−t) 0 0 . . . . . . 0 2/(et + e−t) 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 2/(et + e−t) . . . . . . 0 0 0 (et + e−t)/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .  , обратный к U(t) оператор U−1(t) =  k︷︸︸︷ (et + e−t)/2 0 0 . . . . . . 0 (et + e−t)/2 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 (et + e−t)/2 . . . . . . 0 0 0 2/(et + e−t) . . . . . . . . . . . . . . . . . .  и соответствующая однородная система экспоненциально дихотомична на полуосях R+, R− с проекторами P =  k︷︸︸︷ 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 . . . . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . .  ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 11 и Q =  k︷︸︸︷ 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 . . . 0 0 0 1 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . .  соответственно. Таким образом, имеем D = P − (E −Q) = 0, PN(D) = PN(D∗) = E, а оператор PN(D∗)Q в этом случае бесконечномерный. Поэтому H(t) = [PN(D∗)Q]U−1(t) = diag { k︷︸︸︷ 0, . . . , 0, 2/(et + e−t), . . . , 2/(et + e−t), . . .}. Следовательно, условие разрешимости имеет вид +∞∫ −∞ H(t)f(t) dt = 0 ⇔ +∞∫ −∞ fi(t) et + e−t dt = 0, i ≥ k + 1. (14) Итак, для того чтобы системa (11), (13) имела ограниченные на всей оси решения, необходимо и достаточно, чтобы функции fi(t) при всех i ≥ k + 1 удовлетворяли, в отличие от предыдущего примера, счетному числу условий (14); функции fi(t) при всех i < k+1 можно выбирать произвольным образом из класса BC(R,m). B этом случае сис- тема (11), (13) будет иметь k линейно независимых ограниченных на всей оси решений (dim [PPN(D)] = k). 3. Рассмотрим в B счетную систему (11), в которой A(t) =  − th t 0 . . . . . . . . . . . . 0 th t 0 . . . . . . . . . 0 0 −1 0 . . . . . . 0 0 0 −1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . (15) Эволюционный оператор U(t) =  2/(et + e−t) 0 . . . . . . . . . 0 (et + e−t)/2 0 . . . . . . 0 0 e−t 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .  , обратный к U(t) оператор U−1(t) =  (et + e−t)/2 0 . . . . . . . . . 0 2/(et + e−t) 0 . . . . . . 0 0 et 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 12 А. А. БОЙЧУК, А. А. ПОКУТНИЙ и соответствующая однородная система экспоненциально дихотомична на полуосях R+, R− с проекторами P =  1 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 1 0 . . . . . . 0 0 0 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  , Q =  0 0 . . . . . . . . . . . . 0 1 0 . . . . . . . . . 0 0 1 0 . . . . . . 0 0 0 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . Таким образом, имеем D = P − (E −Q) =  0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 1 0 . . . . . . 0 0 0 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  = D∗, dim N(D) = dim N(D∗) = 2 и оператор D есть нетеров и, более того, фредгольмов. Про- екторы на нуль-пространства оператора D и сопряженного к нему определяются следу- ющим образом: PN(D) =  1 0 . . . . . . . . . 0 1 0 . . . . . . 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .  = PN(D∗), в этом случае PPN(D) =  1 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . .  и поэтому dim (PN(D∗)Q) = 1. Условие разрешимости запишется так: +∞∫ −∞ f2(t) et + e−t dt = 0. В этом случае для существова- ния ограниченных на всей оси решений системы уравнений (11), (15) необходимо и дос- таточно, чтобы у вектор-функции f ∈ BC(R) только вторая компонента удовлетворяла условию разрешимости, а все остальные были произвольными. При этом система (11), (15) будет иметь однопараметрическую семью ограниченных на всей действительной оси решений. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 13 4. Рассмотрим в пространстве B систему дифференциальных уравнений (1) cо счет- ной матрицей A(t) =  − th t 0 . . . . . . . . . . . . 0 th t 0 . . . . . . . . . 0 0 − th t 0 . . . . . . 0 0 0 th t 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . (16) Легко видеть, что в этом случае эволюционный оператор U(t) =  2/(et + e−t) 0 . . . . . . . . . 0 (et + e−t)/2 0 . . . . . . 0 0 2/(et + e−t) 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .  , обратный к U(t) оператор U−1(t) =  (et + e−t)/2 0 . . . . . . . . . 0 2/(et + e−t) 0 . . . . . . 0 0 (et + e−t)/2 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .  и соответствующая однородная система экспоненциально дихотомична на полуосях R+, R− с проекторами P =  1 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 1 0 . . . . . . 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  , Q =  0 0 . . . . . . . . . . . . 0 1 0 . . . . . . . . . 0 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . Таким образом, D = P−(E−Q) = 0 = D∗,PN(D) = PN(D∗) = E. В этом случае оператор PN(D∗)Q бесконечномерный. Поэтому условие разрешимости принимает вид +∞∫ −∞ H(t)f(t) dt = 0 ⇔ +∞∫ −∞ fi(t) et + e−t dt = 0, i = 2n, n ∈ N. Следовательно, в этом случае имеем счетное количество условий, необходимых и доста- точных для существования ограниченных на всей действительной оси решений системы (11), (16), и при выполнении этих условий система будет иметь счетную семью линейно независимых решений. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 14 А. А. БОЙЧУК, А. А. ПОКУТНИЙ 1. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про- странстве. — М.: Наука, 1970. — 534 с. 2. Palmer K. J. Exponential dichotomies and transversal homoclinic points // J. Different. Equat. — 1984. — 55. — P. 225 – 256. 3. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операто- ров — Кишинев: Штиинца, 1973. — 423 с. 4. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. — Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p. 5. Королюк В. С., Турбин А. Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем. — Киев: Наук. думка, 1978. — 218 с. 6. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 496 с. 7. Boichuk A. A. Solutions of weakly nonlinear differential equations bounded on the whole line // Nonlinear Oscillations. — 1999. — 2, № 1. — P. 3 – 10. 8. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Счетные системы дифференциальных уравнений. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1993. — 306 с. Получено 01.02.2005 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1

Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

Репозитарії

Схожі ресурси