Знаходження загального розв'язку тривимірних рівнянь Ляме теорії пружності
Зiнтегровано рiвняння Ляме, знайдено новi розв’язки тривимiрної теорiї пружностi, якi подано через гармонiчнi функцiї. Доведено, що iснують тiльки три незалежнi функцiї у поданнi розв’язку. Загальний розв’язок рiвнянь Ляме у криволiнiйнiй ортогональнiй системi координат виражено через три гармонiчн...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178068 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Знаходження загального розв'язку тривимірних рівнянь Ляме теорії пружності / В.П. Ревенко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 109-116. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178068 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1780682021-02-18T01:28:28Z Знаходження загального розв'язку тривимірних рівнянь Ляме теорії пружності Ревенко, В.П. Зiнтегровано рiвняння Ляме, знайдено новi розв’язки тривимiрної теорiї пружностi, якi подано через гармонiчнi функцiї. Доведено, що iснують тiльки три незалежнi функцiї у поданнi розв’язку. Загальний розв’язок рiвнянь Ляме у криволiнiйнiй ортогональнiй системi координат виражено через три гармонiчнi функцiї. We have integrated the Lame´ equation and, in the case of the three-dimensional elasticity theory, found new solutions that are expressed in terms of harmonic functions. We prove that the expression of the solution involvesonly three independent functions. The general solution of the Lame´ equation, in a curvilinear orthogonal coordinate system, is expressed in terms of three harmonic functions. 2006 Article Знаходження загального розв'язку тривимірних рівнянь Ляме теорії пружності / В.П. Ревенко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 109-116. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178068 539.3 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Зiнтегровано рiвняння Ляме, знайдено новi розв’язки тривимiрної теорiї пружностi, якi подано
через гармонiчнi функцiї. Доведено, що iснують тiльки три незалежнi функцiї у поданнi розв’язку. Загальний розв’язок рiвнянь Ляме у криволiнiйнiй ортогональнiй системi координат виражено через три гармонiчнi функцiї. |
| format |
Article |
| author |
Ревенко, В.П. |
| spellingShingle |
Ревенко, В.П. Знаходження загального розв'язку тривимірних рівнянь Ляме теорії пружності Нелінійні коливання |
| author_facet |
Ревенко, В.П. |
| author_sort |
Ревенко, В.П. |
| title |
Знаходження загального розв'язку тривимірних рівнянь Ляме теорії пружності |
| title_short |
Знаходження загального розв'язку тривимірних рівнянь Ляме теорії пружності |
| title_full |
Знаходження загального розв'язку тривимірних рівнянь Ляме теорії пружності |
| title_fullStr |
Знаходження загального розв'язку тривимірних рівнянь Ляме теорії пружності |
| title_full_unstemmed |
Знаходження загального розв'язку тривимірних рівнянь Ляме теорії пружності |
| title_sort |
знаходження загального розв'язку тривимірних рівнянь ляме теорії пружності |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178068 |
| citation_txt |
Знаходження загального розв'язку тривимірних рівнянь Ляме теорії пружності / В.П. Ревенко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 109-116. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT revenkovp znahodžennâzagalʹnogorozvâzkutrivimírnihrívnânʹlâmeteoríípružností |
| first_indexed |
2025-07-15T16:26:11Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:26:11Z |
| _version_ |
1837730914291941376 |
| fulltext |
УДК 539. 3
ЗНАХОДЖЕННЯ ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ
ТРИВИМIРНИХ РIВНЯНЬ ЛЯМЕ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI
В. П. Ревенко
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
We have integrated the Lamé equation and, in the case of the three-dimensional elasticity theory, found new
solutions that are expressed in terms of harmonic functions. We prove that the expression of the solution
involvesonly three independent functions. The general solution of the Lamé equation, in a curvilinear
orthogonal coordinate system, is expressed in terms of three harmonic functions.
Зiнтегровано рiвняння Ляме, знайдено новi розв’язки тривимiрної теорiї пружностi, якi подано
через гармонiчнi функцiї. Доведено, що iснують тiльки три незалежнi функцiї у поданнi розв’яз-
ку. Загальний розв’язок рiвнянь Ляме у криволiнiйнiй ортогональнiй системi координат вира-
жено через три гармонiчнi функцiї.
Вступ. При розв’язуваннi тривимiрних задач теорiї пружностi [1, 2], як правило, зада-
ють конкретний розподiл перемiщень, що приводить до знаходження частинних розв’яз-
кiв рiвнянь Ляме. Тому iнтегрування рiвнянь Ляме i знаходження вектора пружних пе-
ремiщень у загальному випадку є дуже важливою задачею. Вважають [1, 2], що загаль-
не подання розв’язку рiвнянь Ляме через гармонiчнi функцiї було одержано незалежно
П. Ф. Папковичем [3] i Нейбером [4]
u = ψ − 1
4(1− ν)
grad (Ψ + xψ1 + yψ2 + zψ3) , (1)
де Ψ, ψj , j = 1, 3, — гармонiчнi функцiї, ν — коефiцiєнт Пуассона. У роботi [5] дослiджу-
вались питання повноти знайдених розв’язкiв у залежностi вiд зв’язностi областi. Питання
побудови точних розв’язкiв тривимiрної теорiї пружностi в напруженнях дослiджувалися
в [6, 7]. При знаходженнi розв’язкiв рiвнянь Ляме використовувалися рiзнi пiдходи, але не
було доведено, що знайдено загальний розв’язок [1, 2, 8]. На даний час у теорiї пружностi
iснує великий клас задач, якi не вдається розв’язати за допомогою вiдомих подань век-
тора перемiщень, що привело до розробки нових розрахункових схем i моделей [9 – 11].
Огляд лiтератури з цiєї тематики наведено в роботах [1, 2, 7, 11].
Метою даної роботи є побудова загального розв’язку тривимiрних рiвнянь Ляме в iн-
варiантному вiдносно замiни системи координат виглядi i доведення, що в ньому iснує
тiльки три незалежнi функцiї.
1. Постановка задачi. Рiвняння Ляме в перемiщеннях [1, 2] запишемо у векторному
виглядi
α∇2u + grad e = 0, (2)
де∇2 =
∂2
∂x2
1
+
∂2
∂x2
2
+
∂2
∂x2
3
— оператор Лапласа, e = div u =
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
+
∂u3
∂x3
— об’ємне
c© В. П. Ревенко, 2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 109
110 В. П. РЕВЕНКО
розширення, α = 1 − 2ν, u = u1 i + u2 j + u3 k — вектор пружних перемiщень, i, j, k —
одиничнi орти декартової системи координат.
Розглянемо однозв’язне опукле тривимiрне тiло D. Будемо вважати, що компоненти
вектора пружних перемiщень в областi D мають неперервнi частиннi похiднi за змiнними
x1, x2, x3 до четвертого порядку включно. При побудовi тривимiрного вектора пружних
перемiщень необхiдно використовувати набiр функцiй, якi можна вважати векторами [11,
12]. Такий набiр функцiй має фiзичний змiст, пов’язаний з iнварiантнiстю вiдносно рiзних
систем координат, i його можна в подальшому використовувати в iнших системах коор-
динат, зокрема криволiнiйних.
2. Знаходження загального розв’язку рiвнянь Ляме в iнварiантному виглядi. При
дослiдженнi рiвнянь Ляме будемо виходити з вiдомого факту, що об’ємне розширення є
гармонiчною функцiєю, а кожна компонента вектора пружних перемiщень — розв’язком
бiгармонiчного рiвняння. Для цього рiвняння можна видiлити окремо два класи розв’яз-
кiв: гармонiчнi (I) i бiгармонiчнi (II) функцiї трьох змiнних.
2.1. Кожна компонента вектора перемiщень є гармонiчною функцiєю. У цьому ви-
падку з рiвнянь Ляме (2) випливає, що об’ємне розширення буде сталою, а система рiв-
нянь спрощується:
∇2u = 0, e = div u =
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
+
∂u3
∂x3
≡ C, (3)
де C — стала. Загальний розв’язок системи рiвнянь (3) розiб’ємо на частинний полiном-
ний (степенi 1) та однорiдний гармонiчний.
Теорема 1. Якщо вектор пружних перемiщень u має об’ємне розширення, що дорiв-
нює нулю (div u ≡ 0), то вiн є гармонiчним розв’язком рiвнянь Ляме i його можна пода-
ти у виглядi
u = gradΨ + rotQk, (4)
де Ψ i Q — незалежнi гармонiчнi функцiї трьох змiнних.
Доведення. У цьому випадку рiвняння Ляме, якi задовольняє вектор пружних перемi-
щень, зводяться до системи (3), де C = 0.Отже, всi компоненти вектора будуть гармонiч-
ними функцiями. Поле пружних перемiщень, задане у виглядi градiєнта
w = gradΨ,
де Ψ — довiльна гармонiчна функцiя, задовольняє рiвняння (3). Довiльний розв’язок си-
стеми рiвнянь (3) завжди можна подати у виглядi
u1 =
∂ψ1
∂x3
, u2 =
∂ψ2
∂x3
, u3 =
∂ψ3
∂x3
, (5)
де ψj — гармонiчнi функцiї. За означенням div u ≡ 0. Внаслiдок довiльностi гармонiчної
функцiї Ψ, яка описує градiєнтне поле перемiщень, покладемо Ψ = ψ3. Вiднiмаючи вiд
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ЗНАХОДЖЕННЯ ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ТРИВИМIРНИХ РIВНЯНЬ ЛЯМЕ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI 111
перемiщень (5) це градiєнтне поле, одержуємо новий вектор перемiщень v, компоненти
якого є такими:
v1 =
∂ψ1
∂x3
− ∂ψ3
∂x1
, v2 =
∂ψ2
∂x3
− ∂ψ3
∂x2
, v3 = 0.
Оскiльки div v ≡ 0, то
∂v1
∂x1
= −∂v2
∂x2
. Отже, iснує така гармонiчна функцiя Q, що v1 =
=
∂Q
∂x2
, v2 = − ∂Q
∂x1
. Звiдси випливає, що v = rotQk.
Теорему доведено.
У подальшому будемо використовувати наступне твердження.
Лема. Загальний розв’язок рiвняння
div W = −∂
2P
∂x2
3
(6)
має вигляд
W = gradK + rotM k + x1rot
(
∂P
∂x2
k
)
− x2rot
(
∂P
∂x1
k
)
, (7)
де P, K, M — довiльнi гармонiчнi функцiї трьох змiнних.
Доведення. Випадок, коли P ≡ 0, розглянуто в теоремi 1. Отже, нам потрiбно знайти
частинний розв’язок рiвняння (6). Легко перевiрити, що гармонiчний вектор B, де
B1 = x1
∂2P
∂x2
2
− x2
∂2P
∂x2∂x1
, B2 = x2
∂2P
∂x2
1
− x1
∂2P
∂x2∂x1
, B3 = 0,
є частинним розв’язком.
Лему доведено.
Таким чином, ми довели аналог теореми Гельмгольца [12] про розклад гармонiчного
векторного поля.
Наслiдок 1. Довiльне гармонiчне векторне поле можна подати у виглядi (7), де окре-
мо видiлено дивергентну, градiєнтну i роторну частини векторного поля.
2.2. Компоненти вектора пружних перемiщень є бiгармонiчними функцiями трьох
змiнних.
Теорема 2. Загальний розв’язок рiвнянь Ляме для бiгармонiчних компонент перемi-
щень iз точнiстю до гармонiчних розв’язкiв (4) має вигляд
u = x3 gradR− (3− 4ν)Rk, (8)
де R — гармонiчна функцiя трьох змiнних.
Доведення. Наведемо загальний вигляд бiгармонiчного розв’язку рiвнянь Ляме
u = x1B1 + x2B2 + x3B3 +ψ, (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
112 В. П. РЕВЕНКО
де ψ= ψ1i + ψ2j + ψ3k, Bj = Bj1i + Bj2j + Bj3k; ψj , Bjk — гармонiчнi функцiї. Згiдно з
наслiдком 1, одну частину вектора ψ враховує гармонiчний розв’язок (4), а другу можна
включити у коефiцiєнти Bjk, отже, його можна не враховувати.
Знайдемо об’ємне розширення
e = div u = N + x1div B1 + x2div B2 + x3div B3, (10)
де N = B11 +B22 +B33, та лапласiани
∇2uj = 2
(
∂B1j
∂x1
+
∂B2j
∂x2
+
∂B3j
∂x3
)
, j = 1, 3. (11)
Виходячи з вигляду рiвнянь Ляме, припустимо, що
div Bj ≡ 0, j = 1, 3. (12)
Рiвняння Ляме пiсля врахування цих умов набирають вигляду
2α
(
∂B1j
∂x1
+
∂B2j
∂x2
+
∂B3j
∂x3
)
+
∂N
∂xj
= 0, j = 1, 3. (13)
Виразимо з умов (12) компоненти Bjj , j = 1, 3, пiдставимо їх у (13) i пiсля перетворень
одержимо векторне рiвняння
2α rotW = gradN, (14)
де компоненти вектора W є такими: W1 = B23 − B32, W2 = B31 − B13, W3 = B12 − B21.
Подамо вектор W у виглядi (7), вiзьмемо вiд нього ротор, пiдставимо у рiвняння (14) i
пiсля використання векторних формул [12] одержимо
rotW = grad
∂M
∂x3
+ x1rot rot
(
∂P
∂x2
k
)
− x2rot rot
(
∂P
∂x1
k
)
=
1
2α
gradN. (15)
Iз рiвнянь (14), (15) випливає
P = 0, M =
1
2α
F, (16)
де
∂F
∂x3
= N. Визначальнi умови для коефiцiєнтiв Bjk набирають вигляду
W = gradK +
1
2α
rotFk, B11 +B22 +B33 =
∂F
∂x3
. (17)
Ми одержали сiм рiвнянь (12), (17) для визначення одинадцяти невiдомих функцiй.
Загальний розв’язок цих рiвнянь може мiстити чотири довiльнi функцiї. Iз леми, пiсля
врахування умов (12), випливає, що коефiцiєнти Bjk можна записати у виглядi
Bj1 =
∂ψj
∂x1
+
∂Hj
∂x2
, Bj2 =
∂ψj
∂x2
− ∂Hj
∂x1
, Bj3 =
∂ψj
∂x3
, (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ЗНАХОДЖЕННЯ ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ТРИВИМIРНИХ РIВНЯНЬ ЛЯМЕ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI 113
де ψj , Hj , j = 1, 3, — довiльнi гармонiчнi функцiї.
Введемо новi позначення:
G1 = H1 + ψ2, G2 = ψ1 −H2, G3 = H3 −K, A1 = ψ3 +
1
2α
F. (19)
Пiсля використання рiвностей (18) одержимо таку визначальну систему:
∂G3
∂x1
− ∂A1
∂x2
+
∂ψ2
∂x3
= 0,
∂A1
∂x1
+
∂G3
∂x2
− ∂ψ1
∂x3
= 0,
(20)
∂G1
∂x1
− ∂G2
∂x2
+
∂K
∂x3
= 0,
∂G2
∂x1
+
∂G1
∂x2
+
∂(ψ3 − F )
∂x3
= 0.
Розв’язок першого визначального рiвняння у системi (20) запишемо у виглядi
G3 =
∂Φ
∂x1
+
∂Q
∂x2
, A1 = ψ3 +
1
2α
F =
∂Q
∂x1
− ∂Φ
∂x2
, ψ2 =
∂Φ
∂x3
. (21)
Пiдставимо ψ3 в четверте рiвняння системи (20), з якого пiсля його розв’язання одержимо
G1 =
∂A
∂x2
+
∂Φ
∂x3
− ∂χ
∂x1
, F = − 2α
2α+ 1
∂A
∂x3
, G2 =
∂A
∂x1
− ∂Q
∂x3
+
∂χ
∂x2
, (22)
де Φ, Q, A, χ — чотири довiльнi гармонiчнi функцiї. Iз другого i третього рiвнянь системи
(20) та другого рiвняння у формулах (21) знаходимо
K = − ∂Q
∂x2
− ∂χ
∂x3
− ∂Φ
∂x1
, ψ1 = − ∂Q
∂x3
, ψ3 =
∂Q
∂x1
− ∂Φ
∂x2
+
1
2α+ 1
∂A
∂x3
. (23)
Пiдставимо функцiї (21) – (23) у зворотному порядку у спiввiдношення (19), (18) i знайде-
мо невiдомi функцiональнi коефiцiєнти Bkj :
B11 =
∂2A
∂x2
2
− ∂2Q
∂x1∂x3
− ∂2χ
∂x1∂x2
, B12 = − ∂2A
∂x2∂x1
− ∂2Q
∂x2∂x3
+
∂2χ
∂x2
1
, B13 = −∂
2Q
∂x2
3
,
B21 = − ∂2A
∂x2∂x1
+
∂2Φ
∂x1∂x3
− ∂2χ
∂x2
2
, B22 =
∂2A
∂x2
1
+
∂2Φ
∂x2∂x3
+
∂2χ
∂x1∂x2
,
(24)
B23 =
∂2Φ
∂x2
3
, B31 = b
∂2A
∂x3∂x1
+
∂
∂x1
(
∂Q
∂x1
− ∂Φ
∂x2
)
− ∂2χ
∂x2∂x3
,
B32 = b
∂2A
∂x3∂x2
+
∂
∂x2
(
∂Q
∂x1
− ∂Φ
∂x2
)
+
∂2χ
∂x1∂x3
, B33 = b
∂2A
∂x2
3
+
∂
∂x3
(
∂Q
∂x1
− ∂Φ
∂x2
)
,
де b =
1
2α+ 1
=
1
3− 4ν
. Безпосередньою перевiркою можна встановити, що функцiї Bkj
задовольняють рiвняння (12), (13).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
114 В. П. РЕВЕНКО
Запишемо знайденi вектори пружних перемiщень:
u = x3 grad
∂ Q
∂x1
− x1 grad
∂ Q
∂x3
, v = x2 grad
∂ Φ
∂x3
− x3 grad
∂ Φ
∂x2
(25)
для функцiй Q, Φ i
w = x1 rotk
∂ χ
∂x1
+ x2 rotk
∂ χ
∂x2
+ x3 rotk
∂ χ
∂ x3
(26)
для функцiї χ. Зазначимо, що поля перемiщень (25), (26) задають новi розв’язки рiвнянь
Ляме. Цi гармонiчнi вектори перемiщень мають нульову дивергенцiю, отже, згiдно з тео-
ремою 1, їх (пiсля перепозначення) можна записати у виглядi (4).
Тiльки функцiя A задає бiгармонiчний вектор перемiщень у виглядi
u =
x3
3− 4ν
grad
∂ A
∂x3
+ x1 rot
(
k
∂A
∂x2
)
− x2 rot
(
k
∂A
∂x1
)
, (27)
i його об’ємне розширення є вiдмiнним вiд нуля. Вектор перемiщень (27) з точнiстю до
гармонiчних розв’язкiв рiвнянь Ляме можна записати у виглядi
u =
x3
3− 4ν
grad
∂A
∂x3
− ∂A
∂x3
k, (28)
i пiсля введення позначення R =
1
3− 4ν
∂A
∂x3
вiн набере вигляду (8). Розв’язок (8) циклiч-
ною замiною змiнних можна виразити ще у двох симетричних формах:
v = x2 gradH − (3− 4ν)H j, (29)
w = x1 gradG− (3− 4ν)G i, (30)
де H, G — довiльнi гармонiчнi вектори. Вектор перемiщень (29) переходить iз точнiстю
до гармонiчного вектора (4) у розв’язок (8), якщо вибрати функцiю H з умови
∂H
∂x2
=
=
∂R
∂x3
. Отже, вони є взаємозамiнними з точнiстю до гармонiчного вектора. Аналогiчно,
для розв’язку (30) потрiбно покласти
∂G
∂x1
=
∂R
∂x3
.
Для подання (8) знайдемо об’ємне розширення
e = div u = −2(1− 2ν)
∂R
∂x3
.
Зауважимо, що частинний полiномний розв’язок системи (3) задається формулою (8),
де R = −Cx3/((1− 2ν)2).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ЗНАХОДЖЕННЯ ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ТРИВИМIРНИХ РIВНЯНЬ ЛЯМЕ ТЕОРIЇ ПРУЖНОСТI 115
Розглянемо довiльний розв’язок рiвнянь Ляме v(x1, x2, x3) з об’ємним розширенням e.
Для цього розв’язку завжди можна пiдiбрати гармонiчну функцiю
R = − 1
2(1− 2ν)
∫
e(x1, x2, x3) dx3, (31)
для якої вектор пружних перемiщень, заданий формулою (8), має об’ємне розширення
e. Вiднiмемо вiд вектора v перемiщення, заданi формулами (8), (31), i одержимо вектор
пружних перемiщень, який є розв’язком рiвнянь Ляме i має нульову дивергенцiю. Згiдно
з теоремою 1, його можна подати у виглядi (4).
Теорему доведено.
На пiдставi теорем 1 та 2 можна сформулювати загальну теорему.
Теорема 3. Загальний розв’язок рiвнянь Ляме має вигляд
u = x3 gradR− (3− 4ν)Rk + gradΨ + rotQk, (32)
де три гармонiчнi функцiї R, Ψ, Q є незалежними.
3. Криволiнiйна система координат. Знайдемо розв’язок рiвнянь Ляме у криволiнiйнiй
ортогональнiй системi координат ξj(x1, x2, x3), j = 1, 3. Будемо вважати, що у введенiй
криволiнiйнiй i декартовiй системах початок координат є спiльним. Використаємо по-
дання загального розв’язку рiвнянь Ляме через гармонiчнi функцiї у декартовiй системi
координат. Оскiльки вектор пружних перемiщень знайдено у векторному iнварiантному
виглядi (32), то у криволiнiйнiй системi координат ξj його позначимо uξ. Компоненти
вектора пружних перемiщень (32), згiдно з формулами векторних перетворень [12], бу-
дуть мати вигляд
uξ1 =
x3
h1
∂Φ
∂ξ1
− (3− 4ν)
∂ξ1
∂x3
h1Φ +
1
h1
∂Ψ
∂ξ1
+
1
h2h3
{
∂
∂ξ2
[
∂ξ3
∂x3
h2
3Q
]
− ∂
∂ξ3
[
∂ξ2
∂x3
h2
2Q
]}
,
uξ2 =
x3
h2
∂Φ
∂ξ2
− (3− 4ν)
∂ξ2
∂x3
h2 Φ +
1
h2
∂Ψ
∂ξ2
+
1
h1 h3
{
∂
∂ξ3
[
∂ξ1
∂x3
h2
1Q
]
− ∂
∂ξ1
[
∂ξ3
∂x3
h2
3Q
]}
,
(33)
uξ3 =
x3
h3
∂Φ
∂ξ3
− (3− 4ν)
∂ξ3
∂x3
h3Φ +
1
h3
∂Ψ
∂ξ3
+
1
h1h2
{
∂
∂ξ1
[
∂ξ2
∂x3
h2
2Q
]
− ∂
∂ξ2
[
∂ξ1
∂x3
h2
1Q
]}
,
де hj =
√(
∂x1
∂ξj
)2
+
(
∂x2
∂ξj
)2
+
(
∂x3
∂ξj
)2
— метричнi коефiцiєнти Ляме. Формули (33) яв-
но задають розв’язок рiвнянь Ляме у довiльнiй ортогональнiй криволiнiйнiй системi коор-
динат через гармонiчнi функцiї. Зазначимо, що для побудови цього розв’язку не потрiбно
було записувати i розв’язувати рiвняння Ляме у заданiй криволiнiйнiй системi координат.
Висновки. Встановлено:
якщо вектор пружних перемiщень має об’ємне розширення, що дорiвнює нулю, то всi
його компоненти залежать тiльки вiд двох гармонiчних функцiй;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
116 В. П. РЕВЕНКО
бiгармонiчний розв’язок рiвнянь Ляме повнiстю визначається об’ємним розширен-
ням;
iснують тiльки три незалежнi функцiї у поданнi розв’язку i вияснено їхню фiзичну
природу.
Знайденi подання вектора пружних перемiщень дозволяють визначити напруження у
пружному тiлi. Наявнiсть трьох незалежних гармонiчних функцiй дає змогу однозначно
задовольнити три граничнi умови на поверхнi тривимiрного тiла.
Одержано новi вирази для вектора пружних перемiщень, якi знайдуть застосування
при розв’язуваннi конкретних задач механiки деформiвного твердого тiла у декартовiй i
криволiнiйнiй системах координат (цилiндрична, елiптична, сферична та iн.).
1. Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.
2. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1975. — 576 с.
3. Папкович П. Ф. Выражение общего интеграла основных уравнений теории упругости через гармони-
ческие функции // Изв. АН СССР. Сер. мат. и естеств. наук. — 1932. — № 10. — С. 1425 – 1435.
4. Neuber H. Ein neuer Ansatz zur Lösung raämlicher Probleme der Elastizitätstheorie // Z. angew. Math. und
Mech. — 1934. — 14, № 4.
5. Слободянский М. Г. Общие формы решения уравнений упругости для односвязных и многосвязных
областей, выраженные через гармонические функции // Прикл. математика и механика. — 1954. —
18, № 1. — С. 55 – 74.
6. Бородачев Н. М. О построении точных решений трехмерных задач теории упругости в напряжениях
// Прикл. механика. — 2002. — 37, № 6. — С. 67 – 73.
7. Крутков Ю. А. Тензор функции напряжений и общие решения в статике теории упругости. — М.; Л.:
Изд-во АН СССР, 1949. — 200 с.
8. Чуриков Ф. С. Об одной форме общего решения уравнений равновесия теории упругости в переме-
щениях // Прикл. математика и механика. — 1953. — 17, № 6. — С. 751 – 754.
9. Березюк Т. Б., Григоренко А. Я., Дыяк И. И. Решение задачи о напряженном состоянии цилиндра ко-
нечной длины методом Шварца с использованием гибридных аппроксимаций // Прикл. механика. —
2003. — 39, № 10. — С. 69 – 74.
10. Гузь А. Н. О расчетных схемах в линеаризированной механике деформируемых тел // Там же. — 2004. —
40, № 5. — С. 30 – 47.
11. Улитко А. Ф. Векторные разложения в пространственной теории упругости. — Киев: Академперио-
дика, 2002. — 342 с.
12. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, те-
оремы, формулы. — М.: Наука, 1974. — 831 с.
Одержано 25.08.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
|