О регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил
Дослiджено умови iснування регулярних прецесiй гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил у припущеннi, що вiсь прецесiї не збiгається з вiссю симетрiї силового поля. Отримано розв’язок рiвняння Кiрхгофа, що мiстить одну суттєву довiльну сталу....
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178097 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / Е.К. Щетинина // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 133-144. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178097 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1780972021-02-18T01:28:20Z О регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Щетинина, Е.К. Дослiджено умови iснування регулярних прецесiй гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил у припущеннi, що вiсь прецесiї не збiгається з вiссю симетрiї силового поля. Отримано розв’язок рiвняння Кiрхгофа, що мiстить одну суттєву довiльну сталу. We study conditions for existence of regular processions in the motion of a gyrostat under the influence of potential and gyroscopic forces in the assumption that the procession axis does not coincide with the symmetry axis of the force field. We find a solution to the Kirchhoff equation such that it contains one arbitrary essential constant. 2006 Article О регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / Е.К. Щетинина // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 133-144. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178097 531.38 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Дослiджено умови iснування регулярних прецесiй гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил у припущеннi, що вiсь прецесiї не збiгається з вiссю симетрiї силового поля. Отримано
розв’язок рiвняння Кiрхгофа, що мiстить одну суттєву довiльну сталу. |
| format |
Article |
| author |
Щетинина, Е.К. |
| spellingShingle |
Щетинина, Е.К. О регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Нелінійні коливання |
| author_facet |
Щетинина, Е.К. |
| author_sort |
Щетинина, Е.К. |
| title |
О регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_short |
О регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full |
О регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_fullStr |
О регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full_unstemmed |
О регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_sort |
о регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178097 |
| citation_txt |
О регулярной прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / Е.К. Щетинина // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 133-144. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT ŝetininaek oregulârnojprecessiiotnositelʹnonaklonnojosivzadačeodviženiigirostatapoddejstviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsil |
| first_indexed |
2025-07-15T16:27:54Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:27:54Z |
| _version_ |
1837731021096747008 |
| fulltext |
УДК 531 . 38
О РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ
ОТНОСИТЕЛЬНО НАКЛОННОЙ ОСИ
В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ГИРОСТАТА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
Е. К. Щетинина
Донецк. ун-т экономики и торговли
Украина, 83050, Донецк, ул. Щорса, 31
We study conditions for existence of regular processions in the motion of a gyrostat under the influence
of potential and gyroscopic forces in the assumption that the procession axis does not coincide with the
symmetry axis of the force field. We find a solution to the Kirchhoff equation such that it contains one
arbitrary essential constant.
Дослiджено умови iснування регулярних прецесiй гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiч-
них сил у припущеннi, що вiсь прецесiї не збiгається з вiссю симетрiї силового поля. Отримано
розв’язок рiвняння Кiрхгофа, що мiстить одну суттєву довiльну сталу.
Введение. Прецессионные движения твердого тела с неподвижной точкой, свойством ко-
торых является постоянство угла между двумя осями, одна из которых неизменно связана
с телом, а другая неподвижна в пространстве [1, 2], находят широкое применение в дина-
мике твердого тела и динамике систем связанных твердых тел (см. [2]). Наиболее полно
изучены прецессии гиростата в случае, когда ось прецессии совпадает с осью симметрии
силового поля. Прецессии гиростата относительно наклонной оси исследованы только
в предположении, что скорости прецессии и собственного вращения тела постоянны и
равны между собой. Д. Гриоли [1] получил случай регулярной прецессии твердого тела
в классической задаче о движении тела в поле силы тяжести. Г. В. Горр [3] изучил усло-
вия существования регулярных прецессий тяжелого гиростата. В. Н. Рубановский [4] и
Н. В. Хлыстунова [5] рассмотрели прецессии типа Гриоли в задаче о движении твердого
тела в жидкости. При этом в работе [5] исследован более общий случай, чем в работе [4],
так как в ней предполагается, что ось, связанная с телом, и ось прецессии не ортогональ-
ны.
В данной работе в общем случае изучаются регулярные прецессии гиростата в си-
ловом поле, которое является суперпозицией центрального ньютоновского, электриче-
ского и магнитного полей. В качестве математической модели приняты дифференциаль-
ные уравнения класса Г. Кирхгофа [6, 7], которые в силу гидродинамической аналогии
[6, 8] невырожденным линейным преобразованием основных переменных могут быть
преобразованы в уравнения движения тела в жидкости [6 – 9]. Доказано, что необходи-
мым условием существования регулярных прецессий гиростата является условие равен-
ства скоростей прецессии и собственного вращения гиростата. Рассмотрен случай, когда
угол между осью гиростата и осью прецессии произволен, и получены все условия для
параметров задачи, при выполнении которых дифференциальные уравнения Кирхгофа
допускают новое частное решение, содержащее одну существенную произвольную по-
стоянную.
c© Е. К. Щетинина, 2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 133
134 Е. К. ЩЕТИНИНА
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении гиростата с неподвижной точ-
кой под действием потенциальных и гироскопических сил, описываемую дифференци-
альными уравнениями класса Г. Кирхгофа [6 – 9]
Aω̇ = (Aω + λ)× ω + ω ×Bν + (s− Cν)× ν, ν̇ = ν × ω, (1)
которые допускают интегралы
(Aω · ω)− 2(s · ν) + (Cν · ν) = 2E, (Aω + λ) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k, ν · ν = 1, (2)
где E и k — произвольные постоянные. В уравнениях (1), (2) ω = (ω1, ω2, ω3) — угловая
скорость тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) — единичный вектор оси симметрии силового
поля; λ = (λ1, λ2, λ3) — гиростатический момент, характеризующий движение носимых
тел; s = (s1, s2, s3) — вектор, коллинеарный вектору обобщенного центра масс; A =
= (Aij) — тензор инерции, построенный в неподвижной точке O гиростата; B = (Bij),
C = (Cij) — симметричные матрицы третьего порядка; точка над переменными обозна-
чает производную по времени t.
Обозначим через γ единичный вектор с началом в точке O и неизменный в простран-
стве. Для вектора γ имеем уравнение
γ̇ = γ × ω. (3)
Пусть κ0 — угол между векторами ν и γ. Тогда
ν · γ = c, γ · γ = 1. (4)
Здесь c = cos κ0. Движение гиростата называют [1, 2] прецессией относительно вектора
γ, если существует единичный вектор a, неизменно связанный с гиростатом, который в
течение всего времени движения образует постоянный угол θ0 с вектором γ. Свойство
прецессии можно охарактеризовать инвариантным соотношением [2]
a · γ = a0, (5)
где a0 = cos θ0, θ0 — угол между векторами a и γ.Производная по времени от левой части
(5) в силу уравнения (3) должна быть равна нулю, поэтому имеем равенство ω·(a×γ) = 0.
Для случая регулярной прецессии из него вытекает следующее разложение для векто-
ра ω :
ω = na +mγ. (6)
Инвариантному соотношению (5) и геометрическому интегралу из (4) удовлетворим,
связав подвижную систему координат с вектором a так, что a = (0, 0, 1), и положив
γ1 = a′0 sinϕ, γ2 = a′0 cosϕ1, γ3 = a0. (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
О РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ ОТНОСИТЕЛЬНО НАКЛОННОЙ ОСИ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ГИРОСТАТА . . . 135
Здесь a′0 = sin θ0. Подставляя соотношения (6), (7) в скалярные уравнения, вытекающие
из уравнения (3), получаем условие ϕ̇ = n, т. е. ϕ = nt+ ϕ0. Рассмотрим геометрический
интеграл из (2) и первое инвариантное соотношение из (4). Следуя работе [2], указанным
равенствам удовлетворяем, полагая
ν = (c+ a0d
′ sinψ)ν − d′a sinψ − d′(γ × a) cosψ, (8)
где d′ =
d
a′0
, d = sin κ0, а ψ — новая переменная, которая в силу уравнения Пуассона
из системы (1) удовлетворяет условию ψ̇ = m, т. е. ψ = mt + ψ0. Поскольку выбором
подвижной и неподвижной систем координат можно добиться выполнения условий ϕ0 =
= 0, ψ0 = 0, из (6), (8) для случая регулярной прецессии имеем равенства
ω1 = a′0m sinnt, ω2 = a′0m cosnt, ω3 = n+ aom; (9)
ν1 = a′0c sinnt+ d(a0 sinnt sinmt− cosnt cosmt),
ν2 = a′0c cosnt+ d(a0 cosnt sinmt+ sinnt cosmt), (10)
ν3 = a0c− a′0d sinmt.
Таким образом, основные переменные задачи (1) имеют вид (9), (10). При этом уравне-
ние Пуассона и геометрический интеграл обращаются в тождества. Подставляя в дина-
мическое уравнение из (1) и первые интегралы из (2) векторные выражения (6), (8) и
учитывая, что γ̇ = n(γ × a), получаем
d
′2
4
[
(1 + a2
0)(Bγ · γ)− 4a0(Ba · γ) + 2(Ba · a)− a
′2
0 Sp (B)
]
cos 2ψ+
+
d
′2
2
[a0(Bγ · (γ × a)− (Ba · (γ × a)))] sin 2ψ + d′[c(Bγ · (γ × a))−
− λ · (γ × a)−m(Aγ · (γ × a))− n(Aa · (γ × a))] cosψ + d′[c(Ba · γ)−
− a0c(Bγ · γ) + a0(λ · γ)− (λ · a) + a0m1(Aγ · γ) + (a0n−m)(Aa · γ)−
− n(Aa · a)] sinψ + cm(Aγ · γ) + cn(Aa · γ) + c(λ · γ)+
+
1
4
(
d2 − 2c2
)
(Bγ · γ)− d2
4
Sp (B)− k = 0, (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
136 Е. К. ЩЕТИНИНА
d
′2
2
[
a
′2
0 Sp (C)− (1 + a2
0)(Cγ · γ) + 4a0(Ca · γ)− 2(Ca · a)
]
cos 2ψ+
+ d
′2 [(Ca · (γ × a))− a0(Cγ · (γ × a))] sin 2ψ + 2d′[(s · (γ × a))−
− c(Cγ · (γ × a))] cosψ + 2d′[a0c(Cγ · γ)− c(Ca · γ)− a0(s · γ)+
+ (s · a)] sinψ + n2(Aa · a) + 2nm(Aa · γ) +m2(Aγ · γ)−
− 2c(s · γ)− 1
2
(d2 − 2c2)(Cγ · γ) +
1
2
d2 Sp (C)− 2E = 0, (12)
d2
2
[(Ca · γ)− a0(Cγ · γ)] cos 2ψ − d2
2
[Cγ · (γ × a)] sin 2ψ+
+ d′[(a0m+ n) (Bγ · (γ × a))− (a0n+m)(Ba · (γ × a)) + a0c(Cγ · (γ × a))−
− c(Ca · (γ × a))] cosψ + d′[(2a0m+ (1 + a2
0)n)(Ba · γ)−
− a0(a0m+ n)(Bγ · γ)− (a0n+m)(Ba · a)− a
′2
0 (s · γ) + 2a0c(Ca · γ)−
− c(Ca · a) + c(a
′2
0 − a2
0)(Cγ · γ)] sinψ − a
′2
0 nm Sp (A)− a0n
2(Aa · a)+
+m(a0m+ 2n)(Aγ · γ) + (n2 − 2a0nm−m2)(Aa · γ) + (a0m+ n)(λ · γ)−
− (a0n+m)(λ · a) + c(a0n+m)(Ba · γ)− c(a0m+ n)(Bγ · γ)+
+
a0
2
(d2 − 2c2)(Cγ · γ)− 1
2
(d2 − 2c2)(Ca · γ)− c(s · a) = 0. (13)
В этих уравнениях через Sp(A), Sp(B), Sp(C) обозначены следы матриц A, B, C.
Итак, условия существования регулярных прецессий гиростата относительно наклон-
ной оси сведены к исследованию условий разрешимости алгебраических уравнений (11) –
(13), которые в силу соотношений (7) являются уравнениями двух переменных ϕ и ψ сле-
дующего вида:
(M (i)
2 cos 2ϕ+N
(i)
2 sin 2ϕ+M
(i)
1 cosϕ+N
(i)
1 sinϕ+N
(i)
0 ) cos 2ψ+
+ (P (i)
2 cos 2ϕ+Q
(i)
2 sin 2ϕ+ P
(i)
1 cosϕ+Q
(i)
1 sinϕ+Q
(i)
0 ) sin 2ψ+
+ (m(i)
2 cos 2ϕ+ n
(i)
2 sin 2ϕ+m
(i)
1 cosϕ+ n
(i)
1 sinϕ+ n
(i)
0 ) cosψ+
+ (p(i)
2 cos 2ϕ+ q
(i)
2 sin 2ϕ+ p
(i)
1 cosϕ+ q
(i)
1 sinϕ+ q
(i)
0 ) sinψ+
+ e
(i)
2 cos 2ϕ+ f
(i)
2 sin 2ϕ+ e
(i)
1 cosϕ+ f
(i)
1 sinϕ+ f
(i)
0 = 0, i = 1, 3. (14)
Здесь коэффициенты при тригонометрических функциях являются функциями парамет-
ров задачи (1) и параметров a0, n, m.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
О РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ ОТНОСИТЕЛЬНО НАКЛОННОЙ ОСИ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ГИРОСТАТА . . . 137
Отметим, что уравнения (11) – (13) зависимы и не могут рассматриваться вместо ди-
намических уравнений из (1) при выполнении условий c = 0, a0n+m = 0. В этом случае
нужно рассматривать систему (1).
2. Исследование условий (14). Предположим, что отношение
n
m
иррационально. В
уравнениях (14) положим t =
π
m
k, k = 1, 2, . . . , и t =
π
2m
+
πl
m
, l = 0, 1, . . . . Тогда
получим бесконечную систему уравнений(
M
(i)
2 +(−1)km
(i)
2 + e
(i)
2
)
cos
2nπk
m
+
(
N
(i)
2 + (−1)kn
(i)
2 + f
(i)
2
)
sin
2nπk
m
+
+
(
M
(i)
1 + (−1)km
(i)
1 + e
(i)
1
)
cos
nπk
m
+
(
N
(i)
1 + (−1)kn
(i)
1 + f
(i)
1
)
sin
nπk
m
+
+
(
N
(i)
0 + (−1)kn
(i)
0 + f
(i)
0
)
= 0, (15)
(
−M (i)
2 + (−1)lp
(i)
2 + e
(i)
2
)
cos
2nπ(1 + 2l)
m
+
(
−N (i)
2 + (−1)lq
(i)
2 +
+ f
(i)
2
)
sin
2nπ(1 + 2l)
m
+
(
−M (i)
1 + (−1)lp
(i)
1 + e
(i)
1
)
cos
nπ(1 + 2l)
m
+
+
(
−N (i)
1 + (−1)lq
(i)
1 + f
(i)
1
)
sin
nπ(1 + 2l)
m
+
(
−N (i)
0 + (−1)lq
(i)
0 + f
(i)
0
)
= 0. (16)
Рассматривая первые десять уравнений системы (15) и первые десять уравнений систе-
мы (16), как наиболее простые по виду, и используя предположение, что отношение
n
mиррационально, а также соотношение∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
cos 2ϕ1 sin 2ϕ1 cosϕ1 sinϕ1 1
cos 2ϕ2 sin 2ϕ2 cosϕ2 sinϕ2 1
cos 2ϕ3 sin 2ϕ3 cosϕ3 sinϕ3 1
cos 2ϕ4 sin 2ϕ4 cosϕ4 sinϕ4 1
cos 2ϕ5 sin 2ϕ5 cosϕ5 sinϕ5 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= c∗ sin
1
2
(ϕ2 − ϕ1) sin
1
2
(ϕ3 − ϕ1)×
× sin
1
2
(ϕ4 − ϕ1) sin
1
2
(ϕ5 − ϕ1) sin
1
2
(ϕ3 − ϕ2) sin
1
2
(ϕ4 − ϕ2) sin
1
2
(ϕ5 − ϕ2)×
× sin
1
2
(ϕ4 − ϕ3) sin
1
2
(ϕ5 − ϕ3) sin
1
2
(ϕ5 − ϕ4),
где c∗ — постоянная величина, приходим к выводу, что все коэффициенты при тригоно-
метрических функциях в (14) равны нулю. Рассматривая систему (11) – (13) и используя
принятые обозначения, получаем следующие условия для параметров:
Cij = 0, i 6= j, C33 = C22 = C11, Bij = 0, i 6= j, B33 = B22 = B11,
Aij = 0, i 6= j, A22 = A11, λ2 = λ1 = 0, s3 = s2 = s1 = 0, (17)
λ3 = a0m(A11 −A33)− nA33, (a0n+m)B11 = 0, cB11 = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
138 Е. К. ЩЕТИНИНА
Если в (17) положить B11 = 0, то уравнения (1) вырождаются в уравнения движения сим-
метричного гиростата по инерции. Поскольку момент количества движения гиростата
Aω + λ = mA11γ, приходим к известной регулярной прецессии относительно момента
количества движения.
Пусть в последних двух равенствах системы (17) B11 = 0. Тогда из них следует c = 0,
a0n + m = 0, т. е. уравнения (11) – (13) зависимы, и поэтому необходимо рассматривать
динамическое уравнение из (1). Запишем с учетом (17) скалярное уравнение для ω3 :
A3ω̇3 = B11(ω1ν2 − ω2ν1). Далее, так как ω3 постоянно, а при c = 0 ω1 = a′0m cosϕ,
ω2 = a′0m sinϕ, ν1 = a0 sinϕ sinψ − cosϕ cosψ, ν2 = a0 cosϕ sinψ + sinϕ cosψ, указанное
уравнение не может выполняться. Поэтому случай B11 6= 0 невозможен.
Перейдем к рассмотрению случая, когда в уравнениях (14) отношение
n
m
— рацио-
нальное число. Положим n =
k
q
, m =
l
p
, где l, p, k, q — целые числа. Введем переменную
u =
t
pq
. Тогда ϕ = Nu, ψ = Mu, где N = kp, M = lq. В силу принятых обозначений
представим уравнения (11), (12) в виде
d2
[
1
2
(a0 + 1)2(B22 −B11) cos 2(M +N)u+ (a0 + 1)2B12 sin 2(M +N)u +
+
1
2
(a0 − 1)2(B11 −B22) cos 2(M −N)u− (a0 − 1)2B12 sin 2(M −N)u+ . . .
]
+ . . . , (18)
d2
[
1
2
(a0 + 1)2(C11 − C22) cos 2(M +N)u− (a0 + 1)2C12 sin 2(M +N)u +
+
1
2
(a0 − 1)2(C11 − C22) cos 2(M −N)u+ (a0 − 1)2C12 sin 2(M −N)u+ . . .
]
+ . . . . (19)
Без ограничения общности считаем N > 0. Многоточием обозначены члены, кото-
рые содержат тригонометрические функции аргументов, имеющих множителями вели-
чины 2M − N, 2M + N, 2M, M + 2N, M − 2N, M + N, M − N, N, 2N. Если M > 0, то
максимальный аргумент тригонометрических функций будет равен значению 2(M +N).
Поэтому равенства (18), (19) будут тождествами по u при выполнении условий
B12 = 0, B22 = B11, C12 = 0, C22 = C11. (20)
Аналогичные условия получим и в случае M < 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
О РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ ОТНОСИТЕЛЬНО НАКЛОННОЙ ОСИ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ГИРОСТАТА . . . 139
При условиях (20) уравнения (11) – (13) примут вид
a′0d
2
4
[−(a0 + 1)B23 cos(2M +N)u− (a0 + 1)B13 sin(2M +N)u+
+ (1− a0)B23 cos(2M −N)u+ (a0 − 1)B13 sin(2M −N)u+
+ a′0(B33 −B11) cos 2Mu] +
d
2
[a′0m
2
(a0 − 1)(A22 −A11) sin(M − 2N)u+
+
a′0m
2
(a0 + 1)(A22 −A11) sin(M + 2N)u+ P1 sin(M −N)u+
+Q1 sin(M +N)u+ P2 cos(M −N)u−Q2 sin(M +N)u+ 2P0 sin Mu
]
+
+
1
2
a
′2
0 m(A22 −A11) cos 2Nu+G1 cos Nu+G′
1 sin Nu+G0 = 0, (21)
a′0d
2
2
[(a0 + 1)C23 cos(2M +N)u+ (a0 + 1)C13 sin(2M +N)u+
+ (a0 − 1)C23 cos(2M −N)u− (a0 − 1)C13 sin(2M −N)u+ a′0(C11−
− C33) cos 2Mu] + d[(a0 + 1)(s1 − (2a0 − 1)cC13) cos(M +N)u+
+ (a0 + 1)(s2 − (2a0 − 1)cC23) sin(M +N)u− (a0 − 1)(s1 − (2a0+
+ 1)cC13) cos(M −N)u− (a0 − 1)(s2 − (2a0 + 1)cC23) sin(M −N)u+
+ 2a′0(a0c(C11 − C33) + s3) sinMu] +
a
′2
0 m
2
2
(A22 −A11) cos 2Nu+
+H1 cos Nu+H ′
1 sin Nu+H0 = 0, (22)
a′0d
2
4
[(a0 + 1)(1− 2a0)C23 cos(2M +N)u+ (a0 + 1)(1− 2a0)C13 sin(2M+
+N)u− (a0 − 1)(2a0 + 1)C23 cos(2M −N)u+ 2a0a
′
0(C33 − C11) cos 2Mu]+
+
d
2
[−S1 cos(M +N)u+R1 sin(M +N)u+ S2 cos(M −N)u+
+R2 sin(M −N)u+ 2S0 sinMu] +
a
′2
2
m(a0m+ 2n)(A22 −A11) cos 2Nu+
+ L1 cos Nu+ L′
1 sinNu+ L0 = 0, (23)
где
P1 = (a0 − 1)[((2a0 + 1)m+ n)A23 − (2a0 + 1)cB23 + λ2],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
140 Е. К. ЩЕТИНИНА
Q1 = (a0 + 1)[((2a0 − 1)m+ n)A23 − (2a0 − 1)cB23 + λ2],
P2 = (a0 − 1)[((2a0 + 1)m+ n)A13 − (2a0 + 1)cB13 + λ1],
Q2 = (a0 + 1)[((2a0 − 1)m+ n)A13 − (2a0 − 1)cB13 + λ1],
P0 = a′0
[a0m
2
(A11 +A22 − 2A33) + a0c(B33 −B11)− nA33 − λ3
]
,
G1 = a′0
[a0
2
(d2 − 2c2)B23 + c(2a0m+ n)A23 + cλ2
]
,
G′
1 = a′0
[a0
2
(d2 − 2c2)B13 + c(2a0m+ n)A13 + cλ1
]
,
G0 =
cm
2
[
2a2
0A33 + a
′2
0 (A11 +A22)
]
+ a0cnA33 + a0cλ3+
+
d2 − 2c2
4
(a2
0B33 + a
′2
0 B11)−
d2
4
(2B11 +B33)− k,
H1 = 2a′0
[a0
2
(
2c2 − d2
)
C23 +m(a0m+ n)A23 − cs2
]
,
H ′
1 = 2a′0
[a0
2
(
2c2 − d2
)
C13 +m(a0m+ n)A13 − cs1
]
, (24)
H0 =
d2
2
(2C11 + C33) +
2c2 − d2
2
(
a2
0C33 + a
′2
0 C11
)
+ 2a0mnA33+
+n2A33 +
m2
2
(a2
0A33 + a
′2
0 (A11 −A22))− 2a0cs3 − 2E,
R1 = a
′3
0 [((2a0 + 1)m+ n)B23 + (4a0 + 1)cC23 − s2],
S1 = −a′3
0 [((2a0 + 1)m+ n)B13 + (4a0 + 1)cC13 − s1],
R2 = a
′3
0 [((2a0 − 1)m+ n)B23 + (4a0 − 1)cC23 − s2],
S2 = a
′3
0 [((2a0 − 1)m+ n)B13 + (4a0 − 1)cC13 − s1],
S0 = a
′2
0
[(
a2
0 − a
′2
0
)
c(C11 − C33)− a0nB11 −m
(
a2
0B11 + a
′2
0 B33
)
− a0s3
]
,
L1 = a′0
{[
2a0mn+
(
a2
0 − a
′2
0
)
m2 + n2
]
A23 + c
[
(a
′2
0 − a2
0)m− a0n
]
B23+
+(a0m+ n)λ2 +
a2
0 − a
′2
0
2
(d2 − 2c2)C23 + a0cs2
}
,
L′
1 = a′0
{[
2a0mn+
(
a2
0 − a
′2
0
)
m2 + n2
]
A13 + c
[(
a
′2
0 − a2
0
)
m− a0n
]
B13+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
О РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ ОТНОСИТЕЛЬНО НАКЛОННОЙ ОСИ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ГИРОСТАТА . . . 141
+(a0m+ n)λ1 +
a2
0 − a
′2
0
2
(d2 − 2c2)C13 + a0cs1
}
,
L0 = a
′2
0
[a0
2
m2(A11 +A22)− (a0m+ n)nA33 − a0cm(B11 −B33) −
− cnB11 −mλ3 − cs3 +
a0
2
(d2 − 2c2)(C11 − C33)
]
.
Подвижная система координат выбрана так, чтобы выполнялось равенство A12 = 0.
Покажем, что уравнения (21) – (23) могут быть тождествами по переменной u только
при условиях C23 = 0, C13 = 0. Пусть N > 0 и C2
13 + C2
23 6= 0. Тогда из уравнения (22)
следует, что N = 2M, C13 = 0 и
(a0 + 1) d2C23 + a′0m
2(A22 −A11) = 0. (25)
Максимальный аргумент тригонометрических функций, входящих в уравнение (21), ра-
вен 5Mu.Это означает, что уравнение (21) может быть тождеством по u только при усло-
вии A22 = A11. Но тогда из (25) следует, что C23 = 0. К аналогичному выводу приходим
и в случае N < 0, так как величины 2M + N, 2M − N и M − 2N, M + 2N в уравнениях
(21), (22) содержатся симметричным образом. Следовательно, в дальнейшем полагаем,
что C23 = C13 = 0.
Покажем, что уравнения (21) – (23) могут быть тождествами по переменной u толь-
ко при условиях N = M и N = −M. Доказательство будем проводить от противного,
т. е. считаем, что ни один из этих вариантов не выполняется. Пусть A22 6= A11, тогда
уравнение (22) может быть тождеством лишь при выполнении условий M = ±2N ли-
бо M = ±3N. В первом случае из уравнения (22) получаем равенство A22 = A11. Во
втором случае приходим к такому же выводу, рассматривая уравнение (21). Итак, поло-
жим A22 = A11. Из уравнения (22) следует, что параметры C33 и C11 не равны между
собой только при выполнении условий N = ±2M, N = ±3M. Тогда требование того,
чтобы равенства (21) – (23) были тождествами по u, приводит к условиям s2 = s1 = 0
и C33 = C11. Поэтому необходимо считать, что C33 = C11. Дальнейшее рассмотрение
уравнений (21) – (23) дает условия (17). Таким образом, уравнения (21) – (23) могут обра-
щаться в тождества по u в нетривиальном случае только при выполнении условияN = M
(случай N = −M — симметричный).
Пусть в уравнениях (21) – (23) N = M. На основании обозначений (24) и равенства
m = n из условия, что (21) – (23) должны быть тождествами по u, получаем
A12 = 0, A23 = 0, B23 = 0, Cij = 0, i 6= j, λ2 = 0, s2 = s1 = 0, (26)
B2
13 = (A22 −A11)(C33 − C11), dB13 = n(A22 −A11), (27)
d(1− a0)(B33 −B11) + 2a0cB13 − 2(2a0nA13 + λ1) = 0, (28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
142 Е. К. ЩЕТИНИНА
(a0 + 1)n2A13 + d[a0c(C11 − C33) + s3] = 0, (29)
cd(a0 + 1)(B33 −B11) + a0d
2B13 − 2dλ3 + 2cnA13+
+dn[a0(A11 +A22)− 2(a0 + 1)A33] = 0, (30)
2cd(1− a0)(C11 − C33)− dn[(a0 + 1)B11 + (1− a0)B33]+
+2cn(1− a0)B13 + 2a0n
2A13 = 0. (31)
Следовательно, условиями существования регулярных прецессий гиростата являются
равенства (20), (26) – (31). Отметим, что в силу (26) вектор a сонаправлен вектору обоб-
щенного центра масс гиростата и вместе с вектором λ принадлежит главной плоскости
эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки O. Первое равенство из сис-
темы (27) является ограничением на компоненты матриц A, B, C, второе служит для
определения скорости собственного вращения гиростата. Из уравнения (28) вытекает
условие, связывающее параметры κ0 и θ0, а из уравнений (29) – (31) можно найти условия
на параметры λ1, λ3, s3.
3. Случай произвольного θ0. Особый интерес представляет случай, когда уравнения
(28) – (31) выполняются для любого значения a0. Тогда из (27) – (31) вытекают условия
A2
13 = (A22 −A11)(A22 −A33), (32)
B33 = −B11, A13B13 − (A22 −A11)B11 = 0, B2
13 = (A22 −A11)(C33 − C11), (33)
tg κ0 =
A22 −A11
A13
, λ1 = −B11 sin κ0, λ3 = −A33B13 sin κ0
A22 −A11
, (34)
s3 = −A13B
2
13 sin κ0
(A22 −A11)2
, m = n =
B13 sin κ0
A22 −A11
. (35)
Таким образом, если параметры задачи (1) и параметры регулярной прецессии (5), (6)
удовлетворяют равенствам (32) – (35), то дифференциальные уравнения (1) допускают
решение (9), (10), в котором θ0 — произвольная постоянная, а m = n и имеют значение
из (35).
Изучим условие (32). Как было отмечено, вторая ось подвижной системы координат
является главной. Обозначим через A, B, C моменты инерции относительно главных
осей эллипсоида инерции, построенного в неподвижной точке. Пусть Oxyz — подвижная
система координат, в которой получены условия (32) – (35), а Ox′y′z′ — главная система
координат. Тогда
A11x
2 +A22y
2 +A33z
2 + 2A13xz = Ax
′2 +By
′2 + Cz
′2. (36)
Запишем формулы преобразования главной системы координат к системе Oxyz :
x′ = x cosα+ z cosα, y′ = y, z′ = −x sinα+ z cosα. (37)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
О РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ ОТНОСИТЕЛЬНО НАКЛОННОЙ ОСИ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ГИРОСТАТА . . . 143
Тогда из (36), (37) вытекает
A11 =
A+ C
2
+
A− C
2
cos 2α, A22 = B,
(38)
A33 =
A+ C
2
− A− C
2
cos 2α, A13 =
A− C
2
sin 2α.
Подставив выражения (38) в равенство (32), получим (A−B)(B−C) = 0. Таким образом,
эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения. В отличие от прецессии Д. Гриоли
[1] вектор обобщенного центра масс не лежит на перпендикуляре к круговому сечению
эллипсоида инерции.
Принципиальным свойством решения (9), (10) является то, что оно содержит одну
произвольную постоянную. Условие существования этого решения показывает, что оно
не может быть частным случаем решения П. В. Харламова – Г. Кирхгофа [8], так как для
него, например, центр масс лежит на перпендикуляре к круговому сечению эллипсоида
инерции.
Запишем условие существования аналога решения (9), (10) в задаче о движении тя-
желого твердого тела в жидкости [5]. Следуя [5], введем кинетическую энергию системы
„тело + жидкость”
T =
1
2
3∑
i,j=1
(aijPiPj + bijRiRj + 2cijPiRj) , (39)
где aij = aji, bij = bji, Pi — компоненты кинетического момента импульсивной пары,
Ri — компоненты импульсивной силы. Пусть λ1, λ2, λ3 — проекции гиростатического
момента, а e1, e2, e3 — постоянные, пропорциональные проекциям на подвижные оси
радиуса-вектора, проведенного из центра тяжести объема, ограниченного внешней по-
верхностью тела, в центр масс гиростата. Введем матрицы
A = (Aij) = a−1, B∗ = (B∗
ij) = b− cTa−1c, C∗ = (C∗
ij) = a−1c.
В силу аналогии [6] сохраним обозначения Aij и λi. Угловую скорость обозначим через
Ω, а по вектору R направим единичный вектор ν. Обозначим через γ единичный вектор,
для которого γ · ν = cos κ0. В работе [5] поставлена и решена задача об исследовании
прецессий тела типа Гриоли, т. е. полагается, что имеют место соотношения (5) – (10), в
которых угловая скорость заменена на Ω и m = n. Потребуем, чтобы условия существо-
вания (указанные в [5] под номером (13)) выполнялись для любых значений a0 = cos θ0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
144 Е. К. ЩЕТИНИНА
Тогда получим следующие условия существования:
A12 = A23 = 0, A2
13 = (A22 −A11)(A22 −A33), B∗
ij = 0, i 6= j,
B∗
22 = B∗
11, C∗
22 = C∗
11 = 0, C∗
21 = −C∗
12, C∗
32 = −C∗
23,
A13(C∗
13 + C∗
31) + (A22 −A11)C∗
33 = 0,
(40)
(A22 −A11)(B∗
33 −B∗
11)− (C∗
13 + C∗
31)
2 = 0,
tg κ0 =
A22 −A11
A13
, n = − λ1
A13
, λ1 = −e3A13
C∗
33
, λ3 = −e3A33
C∗
33
,
e1 = e2 = 0, λ2 = 0.
При выполнении условий (40) уравнения Кирхгофа задачи о движении тяжелого твердо-
го тела в жидкости допускают решение, содержащее одну существенную произвольную
постоянную.
1. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante
asimmetrico // Ann. mat. pura ed appl. Ser. 4. — 1947. — 26. — Fasc. 3-4. — P. 271 – 281.
2. Горр Г. В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и динамике систем связанных твердых
тел // Прикл. математика и механика. — 2003. — 67, вып. 4. — С. 573 – 587.
3. Горр Г. В. Одно свойство прецессии относительно наклонной оси в задаче о движении тяжелого гиро-
стата // Механика твердого тела. — 1977. — Вып. 13. — С. 35 – 41.
4. Рубановский В. Н. Об одном новом частном решении уравнений движения тяжелого твердого тела в
жидкости // Прикл. математика и механика. — 1985. — 49, вып. 2. — С. 212 – 219.
5. Хлыстунова Н. В. О прецессии типа Гриоли тяжелого твердого тела в жидкости // Там же. — 2000. —
64, вып. 4. — С. 551 – 554.
6. Yehia H. M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces. I: The equation of
motion and their transformations // J. Theor. Mech. and Appl. — 1986. — 5, № 5. — P. 747 – 754.
7. Харламов П. В., Мозалевская Г. В., Лесина М. Е. О различных представлениях уравнений Кирхгофа //
Механика твердого тела. — 2001. — Вып. 31. — С. 3 – 17.
8. Харламов П. В. О движении в жидкости тела, ограниченного многосвязной поверхностью // Журн.
прикл. механики и техн. физики. — 1963. — № 4. — С. 17 – 29.
9. Чаплыгин С. А. О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости. Статья вторая // Собр.
соч. — М.; Л.: Гостехиздат, 1948. — Т. 1. — С. 136 – 193.
Получено 23.06.2005,
после доработки — 09.11.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
|