Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто
Дослiджується питання асимптотичної еквiвалентностi систем нелiнiйних звичайних i стохастичних рiвнянь у сенсi середнього квадратичного та з iмовiрнiстю одиниця.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178099 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто / А.П. Креневич // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 213-220. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178099 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1780992021-02-18T01:28:42Z Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто Креневич, А.П. Дослiджується питання асимптотичної еквiвалентностi систем нелiнiйних звичайних i стохастичних рiвнянь у сенсi середнього квадратичного та з iмовiрнiстю одиниця. We study conditions for asymptotic equivalence in mean square and with probability one of nonlinear ordinary and stochastic Ito systems. 2006 Article Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто / А.П. Креневич // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 213-220. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178099 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Дослiджується питання асимптотичної еквiвалентностi систем нелiнiйних звичайних i стохастичних рiвнянь у сенсi середнього квадратичного та з iмовiрнiстю одиниця. |
| format |
Article |
| author |
Креневич, А.П. |
| spellingShingle |
Креневич, А.П. Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто Нелінійні коливання |
| author_facet |
Креневич, А.П. |
| author_sort |
Креневич, А.П. |
| title |
Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто |
| title_short |
Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто |
| title_full |
Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто |
| title_fullStr |
Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто |
| title_full_unstemmed |
Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто |
| title_sort |
асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем іто |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178099 |
| citation_txt |
Асимптотична еквівалентність розв'язків нелінійних стохастичних систем Іто / А.П. Креневич // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 213-220. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT krenevičap asimptotičnaekvívalentnístʹrozvâzkívnelíníjnihstohastičnihsistemíto |
| first_indexed |
2025-07-15T16:28:01Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:28:01Z |
| _version_ |
1837731028921221120 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ
НЕЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ IТО
А. П. Креневич
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 6
e-mail: krenevich@univ.kiev.ua
We study conditions for asymptotic equivalence in mean square and with probability one of nonlinear
ordinary and stochastic Ito systems.
Дослiджується питання асимптотичної еквiвалентностi систем нелiнiйних звичайних i сто-
хастичних рiвнянь у сенсi середнього квадратичного та з iмовiрнiстю одиниця.
1. Вступ. Якiсна теорiя систем стохастичних диференцiальних рiвнянь займає значне мiс-
це у загальних питаннях дослiдження стохастичних рiвнянь. Одним iз найбiльш важливих
роздiлiв даної теорiї є вивчення стiйкостi розв’язкiв стохастичних систем у рiзних iмовiр-
нiсних сенсах, наприклад стiйкостi в середньому квадратичному, з iмовiрнiстю одиниця,
за ймовiрнiстю. Даним питанням присвячено низку робiт (див., наприклад, [1 – 3]). Досить
широко данi питання висвiтлено в монографiях [4 – 6].
У данiй роботi використано iнший пiдхiд до вивчення асимптотичної поведiнки розв’яз-
кiв нелiнiйних стохастичних систем, а саме, вiдшукання систем звичайних нелiнiйних ди-
ференцiальних рiвнянь, асимптотична поведiнка розв’язкiв яких є подiбною до поведiнки
розв’язкiв стохастичної системи. Таким чином, питання стiйкостi стохастичної системи
зводиться до питання стiйкостi системи звичайних диференцiальних рiвнянь, що знач-
но спрощує дослiдження вихiдної системи. Стохастичнi системи, асимптотична поведiн-
ка розв’язкiв яких є подiбною, як i у випадку звичайних диференцiальних рiвнянь, буде-
мо називати асимптотично еквiвалентними. Природно, що при дослiдженнi стохастичних
систем виникають поняття асимптотичної еквiвалентностi в рiзних iмовiрнiсних сенсах.
Автору вiдомi деякi результати дослiджень у даному напрямку (див., наприклад, [7 – 8]).
Але в зазначених працях вивчається питання асимптотичної поведiнки в дещо iншому
сенсi для автономних нелiнiйних стохастичних рiвнянь.
У данiй роботi отримано достатнi умови асимптотичної еквiвалентностi систем нелi-
нiйних стохастичних диференцiальних рiвнянь Iто та систем звичайних диференцiальних
рiвнянь у сенсi середнього квадратичного та з iмовiрнiстю 1.
2. Постановка задачi. Будемо розглядати систему звичайних диференцiальних рiв-
нянь
dx = f(t, x)dt (1)
з початковою умовою x(0) = x0, t ≥ 0, x ∈ Rn.
Поряд iз системою (2) на ймовiрнiсному просторi (Ω,F,P) з фiльтрацiєю {Ft, t ≥
c© А. П. Креневич, 2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 213
214 А. П. КРЕНЕВИЧ
≥ 0} ⊂ F розглядатимемо систему стохастичних диференцiальних рiвнянь
dy = f(t, y)dt + σ(t, y)dWt (2)
з початковою умовою y(0) = y0 (y0 = y0(ω)) такою, що E|y0|2 < ∞, t ≥ 0, y ∈ Rn. Тут
f(t, x), σ(t, y) ∈ C(R+ ×Rn) — n-вимiрнi функцiї, такi, що виконуються умови:
а) iснує додатна стала L така, що для довiльних x, y ∈ Rn i t ∈ [0,∞) виконується
оцiнка
|f(t, x)− f(t, y)|+ |σ(t, x)− σ(t, y)| ≤ L|x− y|; (3)
б) iснує додатна стала A така, що для довiльних x ∈ Rn i t ∈ [0,∞) виконується
оцiнка
|f(t, x)| ≤ A(1 + |x|); (4)
в) iснує функцiя α(t), обмежена на t ∈ [0,∞), така, що для довiльних x ∈ Rn i t ∈
∈ [0,∞) виконується оцiнка
|σ(t, x)| ≤ α(t)(1 + |x|). (5)
Wt — стандартний скалярний вiнерiв процес, визначений для t ≥ 0 на ймовiрнiсному
просторi (Ω,F,P); {Ft, t ≥ 0} — потiк σ-алгебр, вiдносно якого процес Wt є узгодженим.
Сформульованих умов досить для iснування сильного розв’язку задачi Кошi для сис-
теми стохастичних диференцiальних рiвнянь (2) [9].
Означення 1. Якщо кожному сильному розв’язку y(t) системи (2) можна поставити
у вiдповiднiсть розв’язок x(t) системи (1) такий, що
lim
t→∞
E |x(t)− y(t)|2 = 0,
то система (2) називається асимптотично еквiвалентною системi (1) у середньому
квадратичному.
Означення 2. Якщо кожному сильному розв’язку y(t) системи (2) можна поставити
у вiдповiднiсть розв’язок x(t) системи (1) такий, що
P { lim
t→∞
|x(t)− y(t)| = 0} = 1,
то система (2) називається асимптотично еквiвалентною системi (1) з iмовiрнiстю 1.
3. Основнi результати. Наступна теорема наводить достатнi умови асимптотичної
еквiвалентностi в середньому квадратичному та з iмовiрнiстю 1 системи стохастичних
диференцiальних рiвнянь Iто системi звичайних диференцiальних рiвнянь.
Теорема 1. Нехай розв’язки x(t) системи (1) задовольняють умову: iснує стала K1 ≥
≥ 0 така, що для довiльних t ≥ s ≥ 0
|x(t)| ≤ K1|x(s)|, (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ IТО 215
i, крiм цього, виконуються умови (3) – (5), причому для t ≥ 0
α(t) ≤ K2e
−γt,
де K2, γ — деякi додатнi сталi, не залежнi вiд t, причому γ > L.
Тодi:
a) система (2) асимптотично еквiвалентна системi (1) у середньому квадратич-
ному;
б) система (2) асимптотично еквiвалентна системi (1) з iмовiрнiстю 1.
Доведення. Згiдно з умовами теореми, розв’язок y(t) системи (2) iснує i єдиний.
1. Встановимо допомiжну оцiнку для розв’язкiв системи (1).
Нехай x1(t) та x2(t) — довiльнi розв’язки системи (1), такi, що x1(0) = x0
1 i x2(0) = x0
2.
Тодi з леми Гронуолла – Беллмана отримаємо
|x1(t)− x2(t)| ≤ |x1(s)− x2(s)|eL|t−s|. (7)
2. Розглянемо довiльний фiксований розв’язок y(t) системи (2).
Нехай {xn(t) |n ≥ 0} — послiдовнiсть розв’язкiв системи (1) таких, що
xn(n) = y(n).
Для t ∈ [n, n + 1] оцiнимо рiзницю
E |xn(t)− y(t)|2 ≤ 3E
∣∣∣∣∣∣
t∫
n
{f(τ, xn(τ))− f(τ, y(τ))}dτ
∣∣∣∣∣∣
2
+
+ 3E
∣∣∣∣∣∣
t∫
n
{σ(τ, xn(τ))− σ(τ, y(τ))}dWτ
∣∣∣∣∣∣
2
+ 3E
∣∣∣∣∣∣
t∫
n
σ(τ, xn(τ))dWτ
∣∣∣∣∣∣
2
≤
≤ 6L2
n+1∫
n
E |xn(τ)− y(τ)|2dτ + 3
n+1∫
n
α2(τ)(2 + 2E |xn(τ)|2)dτ ≤
≤ 6L2
n+1∫
n
E |xn(τ)− y(τ)|2dτ + 6K2
2
n+1∫
n
e−2γτ (1 + K2
1E |xn(0)|2)dτ.
Звiдси, використовуючи лему Гронуолла – Беллмана, отримуємо
E |xn(t)− y(t)|2 ≤ 6K2
2e6L2
n+1∫
n
e−2γτ (1 + K2
1E |xn(0)|2)dτ ≤
≤ 6K2
2e6L2
(1 + K2
1E |xn(0)|2)e−2γn. (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
216 А. П. КРЕНЕВИЧ
Пiдставляючи в останню нерiвнiсть t = n + 1, знаходимо
E |xn(n + 1)− y(n + 1)|2 = E |xn(n + 1)− xn+1(n + 1)|2 ≤
≤ 6K2
2e6L2
(1 + K2
1E |xn(0)|2)e−2γn.
З урахуванням нерiвностi (7) отримуємо оцiнку
E |xn(0)− xn+1(0)|2 ≤ e2L(n+1)E |xn(n + 1)− xn+1(n + 1)|2 ≤
≤ C2
1 (1 + K2
1E |xn(0)|2)e−2(γ−L)n, (9)
де C2
1 := 6K2
2e6L2+2L.
3. Покажемо, що послiдовнiсть E |xn(0)|2 є обмеженою. Для цього вводимо норму
‖ · ‖ :=
√
E | · |2. Тодi з оцiнки (9) маємо
‖xn(0)− xn+1(0)‖ ≤ C1(1 + K1‖xn(0)‖)e−(γ−L)n. (10)
Враховуючи нерiвнiсть (10), оцiнюємо вираз
1 + K1‖xn(0)‖ = 1 + K1‖xn(0)− xn−1(0) + xn−1(0)‖ ≤
≤ 1 + K1‖xn−1(0)‖+ K1‖xn(0)− xn−1(0)‖ ≤
≤ 1 + K1‖xn−1(0)‖+ C1K1(1 + K1‖xn−1(0)‖)e−(γ−L)(n−1) =
= (1 + K1‖xn−1(0)‖)(1 + C1K1e
−(γ−L)(n−1)) ≤ . . .
. . . ≤ (1 + K1‖x0(0)‖)
n∏
k=1
(1 + C1K1e
−(γ−L)(n−k)).
Але
ln
n∏
k=1
(
1 + C1K1e
−(γ−L)(n−k)
)
≤ C1K1e
γ−L
eγ−L − 1
(
1− e−n(γ−L)
)
.
Таким чином,
1 + K1‖xn(0)‖ ≤ C2(1 + K1‖x0(0)‖), (11)
де
C2 = exp
C1K1e
γ−L
eγ−L − 1
.
Отже, для t ∈ [n, n + 1] з урахуванням оцiнок (8), (11) маємо
‖xn(t)− y(t)‖ ≤ C3(1 + K1‖x0(0)‖)e−γn, (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ IТО 217
де C3 := C1C2e
−L.
4. Доведемо виконання п. а) теореми. З нерiвностi (10) отримуємо оцiнку
‖xn(0)− xn+1(0)‖ ≤ C1C2(1 + K1‖x0(0)‖)e−(γ−L)n.
Остання нерiвнiсть означає, що iснує x∞ = lim
n→∞
xn(0) в сенсi середнього квадратичного.
Визначимо розв’язок x∞(t) з початкової умови x∞(0) = x∞.
Виберемо довiльне t ≥ 0. Знайдемо таке n, що n ≤ t ≤ n + 1. Тодi
E |y(t)− x∞(t)|2 ≤ 2E |y(t)− xn(t)|2 + 2E |xn(t)− x∞(t)|2.
З нерiвностi (12) випливає, що вираз E |y(t)− xn(t)|2 прямує до нуля, як тiльки n → ∞.
Зауважимо, що оскiльки n ≤ t ≤ n + 1, то t прямує до нескiнченностi одночасно з n.
Для оцiнки другого доданка доведемо, що для довiльного T ≥ 0
xn(t) → x∞(t), n → ∞, (13)
рiвномiрно на вiдрiзку [0, T ] в середньому квадратичному.
Для цього доведемо збiжнiсть ряду
S∞(t) := x0(t) +
∞∑
k=0
(xk+1(t)− xk(t)).
Тодi, очевидно, що частинна сума
Sn(t) := x0(t) +
n−1∑
k=0
(xk+1(t)− xk(t))
дорiвнює xn(t). Отже, для довiльного фiксованого T > 0, враховуючи оцiнки (7) та (12),
маємо
sup
t∈[0,T ]
‖Sn(t)− S∞(t)‖ = sup
t∈[0,T ]
∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
(xk+1(t)− xk(t))
∥∥∥∥∥ ≤
≤ sup
t∈[0,T ]
∞∑
k=n
‖xk+1(t)− xk(t)‖ ≤ C3(1 + K1‖x0(0)‖)
∞∑
k=n
e−γkeL(k−n) =
= C3(1 + K1‖x0(0)‖)e−γn
∞∑
k=0
e−(γ−L)k.
З останньої нерiвностi можемо зробити висновок, що Sn(t) → S∞(t), n → ∞, рiвномiрно
на t ∈ [0, T ]. Тодi оскiльки S∞(0) = x∞(0), то S∞(t) = x∞(t), що й доводить спiввiдношен-
ня (13).
Отже, ‖xn(t)− x∞(t)‖ → 0 при n → ∞. Таким чином,
E|y(t)− x∞(t)|2 → 0, t → ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
218 А. П. КРЕНЕВИЧ
5. Доведемо виконання п. б) теореми. Для введеної вище послiдовностi {xn(t)|n ≥ 0},
t ∈ [n, n + 1], i деякої додатної послiдовностi дiйсних чисел {εn|n ≥ 0} оцiнимо вираз
P
{
sup
t∈[n,n+1]
|xn(t)− y(t)| ≥ εn
}
=
= P
sup
t∈[n,n+1]
∣∣∣∣∣∣
t∫
n
f(τ, xn(τ))dτ −
t∫
n
f(τ, y(τ))dτ −
t∫
n
σ(τ, y(τ))dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εn
≤
≤ P
sup
t∈[n,n+1]
∣∣∣∣∣∣
t∫
n
(f(τ, xn(τ))− f(τ, y(τ)))dτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εn
3
+
+ P
sup
t∈[n,n+1]
∣∣∣∣∣∣
t∫
n
(σ(τ, xn(τ))− σ(τ, y(τ)))dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εn
3
+
+ P
sup
t∈[n,n+1]
∣∣∣∣∣∣
t∫
n
σ(τ, xn(τ))dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εn
3
.
Оцiнимо окремо кожен з доданкiв у правiй частинi останньої нерiвностi. Використовую-
чи нерiвнiсть Чебишова для додатної випадкової величини й оцiнки (7), (12), отримуємо
P
sup
t∈[n,n+1]
∣∣∣∣∣∣
t∫
n
(f(τ, xn(τ))− f(τ, y(τ)))dτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εn
3
≤
≤ 3
εn
E sup
t∈[n,n+1]
∣∣∣∣∣∣
t∫
n
(f(τ, xn(τ))− f(τ, y(τ)))dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 3L
εn
n+1∫
n
E|xn(τ)− y(τ)|dτ ≤ 3L
εn
C3(1 + K1‖x0(0)‖)e−γn.
Використовуючи властивостi стохастичного iнтеграла Вiнера – Iто [9, с. 20] i оцiнки
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНА ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ IТО 219
(7), (12), оцiнюємо другий доданок:
P
sup
t∈[n,n+1]
∣∣∣∣∣∣
t∫
n
(σ(τ, xn(τ))− σ(τ, y(τ)))dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εn
3
≤
≤ 9
ε2
n
n+1∫
n
E|σ(τ, xn(τ))− σ(τ, y(τ))|2dτ ≤ 9L2
ε2
n
n+1∫
n
E|xn(τ)− y(τ)|2dτ ≤
≤ 9L2
ε2
n
C2
3 (1 + K1‖x0(0)‖)2e−2γn.
Враховуючи нерiвнiсть (11), оцiнюємо третiй доданок:
P
sup
t∈[n,n+1]
∣∣∣∣∣∣
t∫
n
σ(τ, xn(τ))dWτ
∣∣∣∣∣∣ ≥ εn
3
≤ 9
ε2
n
n+1∫
n
E|σ(τ, xn(τ))|2dτ ≤
≤ 2 · 9
ε2
n
n+1∫
n
α2(τ)(1 + E|xn(τ)|2)dτ ≤ 18K2
2
ε2
n
n+1∫
n
e−2γτ (1 + K2
1E|xn(0)|2)dτ ≤
≤ 2 · 18K2
2
ε2
n
C2
2 (1 + K2
1 E|x0(0)|2)e−2γn.
Виберемо послiдовнiсть εn := e−
γ+L
2
n. Тодi легко бачити, що
P
{
sup
t∈[n,n+1]
|xn(t)− y(t)| ≥ εn
}
≤ Ae−
γ−L
2
n + Be−(γ−L)n,
де A, B — деякi додатнi, не залежнi вiд n сталi.
Очевидно, що ряд, який складається з Ae−
γ−L
2
n + Be−(γ−L)n, є збiжним, а тому з ле-
ми Бореллi – Кантеллi отримуємо, що iснує додатна цiла випадкова величина N = N(ω)
така, що для довiльного n ≥ N(ω) виконується
sup
t∈[n,n+1]
|xn(t)− y(t)| ≤ e−
γ+L
2
n
для майже всiх ω ∈ Ω. Тодi для t = n + 1 отримуємо
|xn(n + 1)− xn+1(n + 1)| ≤ e−
γ+L
2
n
з iмовiрнiстю 1. З попередньої нерiвностi та нерiвностi (7) маємо
|xn(0)− xn+1(0)| ≤ eLe−
γ−L
2
n,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
220 А. П. КРЕНЕВИЧ
звiдки отримуємо, що iснує x∞ = lim
n→∞
xn(0) з iмовiрнiстю 1. Розв’язок x∞(t) знайдемо з
початкової умови x∞(0) = x∞.
Подальшi оцiнки проводимо аналогiчно до п. 4 доведення теореми, замiнюючи сере-
дньоквадратичну збiжнiсть збiжнiстю з iмовiрнiстю 1.
Таким чином,
P{ lim
t→∞
|x∞(t)− y(t)| = 0} = 1.
Теорему доведено.
1. Arnold L. Anticipative problems in the theory of random dynamical system in stochastic analysis // Proc.
Symp. Pure Math. — Providence, RI.: Amer. Math. Soc., 1995. — 57. — P. 529 – 541.
2. Arnold L., Oeljeklaus O., and Pardoux E. Almost sure and moments stability for linear Ito equations Lyapu-
nov exponents // Lect. Notes Math. / Eds L. Arnold, V. Wihstuts. — Berlin: Springer, 1986. — 1186. — P. 129 –
159.
3. Ясинський В. К., Ясинський Є. В. Задачi стiйкостi та стабiлiзацiї динамiчних систем зi скiнченною
пiслядiєю. — Київ: ТВiMC, 2005. — 578 c.
4. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения функционально-дифференциальных уравнений. — Рига: Зинат-
не, 1989. — 421 c.
5. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях
их параметров. — М.: Наука, 1969. — 368 c.
6. Ясинский В. К. Стохастические дифференциально-функциональные уравнения со всей предыстори-
ей. — Киев: ТВiMC, 2003. — 254 c.
7. Кулiнiч Г. Л. Асимптотичний аналiз нестiйких розв’язкiв одновимiрних стохастичних рiвнянь: Навч.
пос. — Київ: Київ. ун-т, 2003. — 55 с.
8. Buldygin V. V., Klesov O. L., and Steinebach J. G. PRV property and the asymptotic behavior of solution of
stochastic differential equations // Int. Conf. Modern Problems and New Trends in Probab. Theory (Cher-
nivtsi, Ukraine, June 19 – 26, 2005). — Kiev: Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine, 2005. — P. 38 – 39.
9. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. — Киев: Наук. думка,
1968. — 354 с.
Одержано 27.12.2005,
пiсля доопрацювання — 12.05.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
|