Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях

Розглядаються гладкi векторнi поля на замкнених орiєнтованих поверхнях iз фiксованим набором особливостей зi скiнченним числом сепаратрис, серед яких немає тих, що з’єднують стани рiвноваги. Встановлено, що на орiєнтованiй поверхнi довiльного роду g ≥ 2 iснує векторне поле з припустимим набором ос...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Кадубовський, О.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178105
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях / О.А. Кадубовський // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 178-186. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-178105
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1781052021-02-18T01:28:35Z Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях Кадубовський, О.А. Розглядаються гладкi векторнi поля на замкнених орiєнтованих поверхнях iз фiксованим набором особливостей зi скiнченним числом сепаратрис, серед яких немає тих, що з’єднують стани рiвноваги. Встановлено, що на орiєнтованiй поверхнi довiльного роду g ≥ 2 iснує векторне поле з припустимим набором особливостей (вироджених сiдел), яке має скрiзь щiльну на нiй траєкторiю. We consider smooth vector fields on closed oriantable surfaces with a fixed set of singularities and a finite number of separatrices none of which connects the equillibrium points. We prove that for an oriantable surface of genus g, g ≥ 2, there exists a vector field that has a fixed set of singularities, which are degenerate saddles, and whose trajectory is everywhere dense in the surface. 2006 Article Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях / О.А. Кадубовський // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 178-186. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178105 515.165+514.763.85 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розглядаються гладкi векторнi поля на замкнених орiєнтованих поверхнях iз фiксованим набором особливостей зi скiнченним числом сепаратрис, серед яких немає тих, що з’єднують стани рiвноваги. Встановлено, що на орiєнтованiй поверхнi довiльного роду g ≥ 2 iснує векторне поле з припустимим набором особливостей (вироджених сiдел), яке має скрiзь щiльну на нiй траєкторiю.
format	Article
author	Кадубовський, О.А.
spellingShingle	Кадубовський, О.А. Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях Нелінійні коливання
author_facet	Кадубовський, О.А.
author_sort	Кадубовський, О.А.
title	Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях
title_short	Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях
title_full	Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях
title_fullStr	Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях
title_full_unstemmed	Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях
title_sort	транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178105
citation_txt	Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях / О.А. Кадубовський // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 178-186. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT kadubovsʹkijoa tranzitivnípotokinaoríêntovanihpoverhnâh
first_indexed	2025-07-15T16:28:24Z
last_indexed	2025-07-15T16:28:24Z
_version_	1837731052336971776
fulltext	УДК 515.165+514.763.85 ТРАНЗИТИВНI ПОТОКИ НА ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ О. А. Кадубовський Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3 e-mail: kadubovs@imath.kiev.ua We consider smooth vector fields on closed oriantable surfaces with a fixed set of singularities and a finite number of separatrices none of which connects the equillibrium points. We prove that for an oriantable surface of genus g, g ≥ 2, there exists a vector field that has a fixed set of singularities, which are degenerate saddles, and whose trajectory is everywhere dense in the surface. Розглядаються гладкi векторнi поля на замкнених орiєнтованих поверхнях iз фiксованим набо- ром особливостей зi скiнченним числом сепаратрис, серед яких немає тих, що з’єднують стани рiвноваги. Встановлено, що на орiєнтованiй поверхнi довiльного роду g ≥ 2 iснує векторне поле з припустимим набором особливостей (вироджених сiдел), яке має скрiзь щiльну на нiй траєкторiю. 1. Вступ. У данiй статтi розглядаються транзитивнi потоки на замкнених орiєнтованих поверхнях роду g ≥ 2. Нагадаємо, що потiк, заданий на многовидi M, називають транзи- тивним, якщо вiн має скрiзь щiльну на M траєкторiю. У роботах [1, 2] вивчались транзитивнi потоки на зв’язних замкнених орiєнтованих по- верхнях M2 роду g > 1. Автори запропонували топологiчний iнварiант — гомотопiчний клас обертання, який є узагальненням числа обертання Пуанкаре. У цих термiнах вста- новлено необхiднi й достатнi умови топологiчної еквiвалентностi транзитивних потокiв на M2, що мають скiнченне число станiв рiвноваги i не мають сепаратрис, що з’єднують стани рiвноваги. Приклади побудов транзитивних потокiв для поверхонь малого роду на- ведено в [3] (приклади 11, 12), [4, 5]. Проте залишилось нез’ясованим питання про iсну- вання транзитивних потокiв iз заданим набором iндексiв нерухомих точок. Саме цьому питанню й присвячено дану статтю. Питання про реалiзацiю векторних полiв iз заданим набором особливостей на двови- мiрних многовидах дослiджувались, наприклад, у роботах [6 – 8]. Будемо дослiджувати питання про iснування транзитивних потокiв iз припустимим на- бором особливостей — сiдел — зi скiнченним числом сепаратрис (серед яких немає тих, що з’єднують стани рiвноваги) на замкнених орiєнтованих поверхнях. У роботi встановлено iснування таких потокiв на орiєнтованих поверхнях довiльного роду g ≥ 2. 2. Допомiжнi вiдомостi про траєкторiї на двовимiрних многовидах. Нехай M — замкнена орiєнтована поверхня. Позначимо через Xt, t ∈ R, гладкий потiк на M, що породжується векторним полем X ∈ ℵr(M). Означення 1. Траєкторiєю поля X , яка проходить через точку p ∈ M, називають множину σ(p) = {Xt(p), t ∈ R}, ω-граничною множиною ω(p) точки p ∈ M — мно- жину тих точок q ∈ M, для яких iснує послiдовнiсть tn → ∞ така, що Xtn(p) → q; c© О. А. Кадубовський, 2006 178 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 ТРАНЗИТИВНI ПОТОКИ НА ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 179 α-гранична множина точки p ∈ M — це множина α(p) = {q ∈ M \| ∃ tn → −∞ : Xtn(p) → → q}. Означення 2. Нехай γ — траєкторiя поляX ∈ ℵr(M). Говорять, що γ — рекурентна траєкторiя, якщо γ ⊂ ω(γ) або γ ⊂ α(γ). Означення 3. Будемо говорити, що потiк Xt на M належить класу T, якщо викону- ються такi умови: 1) потiк Xt є транзитивним (має на M скрiзь щiльну траєкторiю); 2) потiк Xt має тiльки скiнченне число станiв рiвноваги i сепаратрис; 3) потiк Xt не має сепаратрис, що з’єднують сiдла. Приклади потокiв класу T неважко побудувати на довiльнiй орiєнтованiй поверхнi M роду g ≥ 2, використовуючи транзитивнi потоки на торi без станiв рiвноваги. Приклади транзитивних потокiв на кренделi можна знайти, наприклад, в [3] (приклади 11, 12). Один iз пiдходiв до побудови потоку з класу T описано в [5]. Означення 4. Патологiчним сiдлом називатимемо стан рiвноваги, який має сектор гiперболiчного типу та принаймнi один сектор параболiчного або елiптичного типу [9]. Зауваження 1. З означення транзитивностi випливає, що потоки класу T не мають джерел, стокiв, замкнених траєкторiй, сепаратрисних контурiв та патологiчних сiдел. Далi пiд сiдлом будемо розумiти стан рiвноваги зi скiнченним числом сепаратрис, усi сектори якого лише гiперболiчного типу. Сiдло будемо називати виродженим, якщо в нього входить (або виходить) бiльше двох сепаратрис. Припустимi та реалiзованi набори особливостей. Для кожного натурального n позна- чимо через (n1, . . . , nk) = (ni)k n його зображення у виглядi суми k натуральних доданкiв, тобто таких, що ∑k i=1 ni = n. Очевидно, що 1 ≤ k ≤ n. Означення 5. Нехай M2 — замкнена орiєнтована поверхня роду g ≥ 2, χ(M2) — ейлерова характеристика. Набiр (ni)k n будемо називати припустимим на M2, якщо має мiсце рiвнiсть k − n = χ(M2). Означення 6. Набiр (ni)k n будемо називати реалiзованим на M2, якщо на M2 iснує (гладке) векторне полеX ∈ T , у якого точно k критичних точок — сiдел (у загальному випадку вироджених), причому ind(X,xi) = 1− ni, i = 1, . . . , k. З теореми Пуанкаре – Хопфа випливає, що кожен реалiзований набiр є припустимим. Нижче встановимо справедливiсть оберненого твердження, а саме, що кожен припу- стимий набiр є реалiзованим на замкненiй орiєнтованiй поверхнi. 3. Про iснування транзитивних потокiв iз фiксованим набором особливостей. Лема. Нехай M — замкнена орiєнтована поверхня роду g ≥ 2, а (ni)k k+2g−2 – при- пустимий на M набiр. Тодi на M iснує гладка функцiя g, яка має один максимум, один мiнiмум i k критичних точок x1, . . . , xk типу сiдла (в загальному випадку вироджених), в деякому околi кожної з яких функцiя g неперервною замiною координат зводиться до вигляду g = Re zni , i = 1, . . . , k. Доведення. Розглянемо наM функцiю Морса f, яка має один максимум, один мiнiмум i 2g критичних точок y1, . . . , y2g iндексу 1. Без втрати загальностi можна вважати, що всi ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 180 О. КАДУБОВСЬКИЙ yi належать одному критичному рiвню f−1(c). Якщо це не так, то за допомогою збурень даної функцiї Морса це завжди можна зробити. Вiдомо [10, 11], що лiнiя рiвня Γ = f−1(c) є зв’язним графом, порядок кожної з 2g вершин якого дорiвнює чотирьом. Розглянемо малi дисковi околи Di точок yi. Кожен такий окiл є кругом, розбитим на 4 сектори (по черзi розфарбованих у чорний i бiлий колiр), у внутрiшностi яких функцiя f набирає значення бiльше або менше c. Ми стверджуємо, що якщо зафiксувати деяку точку yi (для визначеностi y1), один iз секторiв вiдповiдного круга Di та напрям на колi цього диска i рухатись вздовж ребер графа Γ = f−1(c) (у вiдповiдностi з кольорами), то можна послiдовно занумерувати всi критичнi точки yi. Справедливiсть цього твердження випливає з того факту, що функцiя f має наM точ- но один максимум i один мiнiмум. Тодi очевидно, що, занумерувавши точки yi вказаним способом, ми визначимо порядок сусiдства точок yi. У подальшому будемо вважати, що y1, . . . , y2g — саме такий порядок. Розiб’ємо точки yi на k послiдовних груп ∆1 = {y1,1, y1,2, . . . , y1,n1},∆2 = {y2,1, y2,2, . . . , y2,n2}, . . . ,∆k = {yk,1, yk,2, . . . , yk,nk } по ni в кожнiй, де y1,p = yp, p = 1, . . . , n1, yj,p = yn∗j +p, n ∗ j = ∑j−1 i=1 ni, j = 2, . . . , k. Неважко встановити, що вiдрiзки Ij лiнiї рiвня, кiнцями яких є точки yj,1, yj,nj , j = = 1, . . . , k, попарно не перетинаються. Нехай, далi, αi : [0, 1] → f−1(c) — кусково-гладкий шлях, який мiстить всi критичнi точки з множини ∆i, i = 1, . . . , k. Для кожного i = 1, . . . , k визначимо вiдображення Ψi : M → M, що задовольняє умови: 1) Ψi (αi[0, 1]) є точкою xi ∈ M ; 2) Ψ(M\αi[0, 1]) → M\{xi} є дифеоморфiзмом. Вiдображення Ψ1 тотожне на доповненнi малому околу критичного рiвня f−1(c). Тодi за теоремою 2.7 [12] функцiя g1 = f ◦ Ψ−1 1 (x1) є гладкою функцiєю, яка вiдрiзняється вiд f лише в малому околi критичного рiвня f−1(c) i має в цьому околi одну (вироджену) критичну точку x1 i всi критичнi точки yi, за винятком точок iз ∆1. Застосувавши вказану технiку до функцiї g1, побудуємо функцiю g2, яка вiдрiзняється вiд g1 лише в малому околi критичного рiвня i має в цьому околi двi (виродженi) критичнi точки x1, x2 та всi критичнi точки yi, за винятком точок iз ∆1 ⋃ ∆2. Таким чином, застосувавши описану вище технiку k разiв, на M можна побудувати гладку функцiю g = gk, що задовольняє умови леми. Той факт, що функцiя g в деякому околi кожної з критичних точок x1, ..., xk (що не є локальними максимумами або мiнiмумами) неперервною замiною координат зводиться до вигляду g = Re zni , i = 1, . . . , k, випливає з роботи [13]. Теорема. На замкненiй орiєнтованiй поверхнi роду g ≥ 2 кожен припустимий набiр (ni)k k+2g−2 є реалiзованим. I. Розглянемо замкнену орiєнтовану поверхню N2 g−1 роду g − 1 ≥ 1. Згiдно з лемою iснує гладка функцiя f : N2 g−1 → R1 з одним максимумом, одним мiнi- мумом i k (виродженими) критичними точками x1, . . . , xk типу сiдла, в достатньо малому ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 ТРАНЗИТИВНI ПОТОКИ НА ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 181 околi кожної з яких (xi) функцiя f неперервною замiною координат зводиться до вигляду f = Re zi, i = 1, . . . , k. Далi, за даною функцiєю f побудуємо векторне поле X градiєнта. Побудоване век- торне поле має k+2 точки спокою: одне джерело, один стiк, k сiдел xi i не має сепаратрис, що з’єднують сiдла. Справедливiсть останнього випливає з властивостей поля градiєнта i того факту, що всi сiдла належать одному критичному рiвню. Нехай C1 i C2 — ортогональнi полю X кола, що обмежують диски D1, D2, якi мiстять вiдповiдно джерело i стiк. Вирiжемо з N2 g−1 вказанi диски та ототожнимо кола C1 i C2 за допомогою необхiдного дифеоморфiзму h. Ця операцiя еквiвалентна приклеюванню ручки до поверхнi N2 g−1. В результатi отримаємо замкнену поверхню M роду g. Нехай X — гладке поле, породжене на M полем X у вiдповiдностi зi зробленим ото- тожненням (за допомогою дифеоморфiзму h) кiл C1 i C2. Гладкiсть X досягається в ре- зультатi застосування так званих „комiрцiв”. При цьому ототожнення повинно бути та- ким, щоб поле X мало особливостi лише в точках xi. Таким чином, з припущення, що необхiдний дифеоморфiзм iснує, на M побудовано векторне полеX, яке має k точок спокою xi (сiдел, в загальному випадку вироджених). За побудовою iндекс Пуанкаре кожної з критичних точок xi поля X дорiвнює ind(X,xi) = = 1−ni. Бiльш того, ∑k i=1(1−ni) = χ(N2 g−1)−2 = 2−2(g−1)−2 = 2−2g, що збiгається з ейлеровою характеристикою поверхнi M. Нагадаємо [13], що iндекс Пуанкаре сiдлової критичної точки x поля Y визначається спiввiдношенням ind(Y, x) = 1 − r, де r — число сепаратрис, якi входять (або виходять) у x. II. Нижче встановимо, що дифеоморфiзм h можна вибрати так, що кожна регулярна траєкторiя поля X буде щiльною в M. Оскiльки кожна регулярна траєкторiя перетинає коло C1, то достатньо показати, що перетин будь-якої регулярної траєкторiї з C1 є щiль- ним у C1. З того, що немає сепаратрис, якi з’єднують стани рiвноваги, випливає, що сепарат- риси сiдел x1, x2, . . . , xk перетинають кожне з кiл C1 i C2 в n = k + 2g − 2 точках (у подальшому — в точках A1, . . . , An i B1, . . . , Bn вiдповiдно). Нехай Xt — потiк, породжений векторним полем X на N2 g−1. Тодi можна визначити вiдображення наслiдування P : C1 → C2, яке кожнiй точцi p ∈ C1 \ (A1, . . . , An) ставить у вiдповiднiсть точку q = P (p), в якiй додатна траєкторiя точки p (вперше) перетне C2. НехайAixj — вiдрiзок сепаратриси, що входить у сiдло xj .Оскiльки поверхня орiєнто- вана, то можна задати циклiчний порядок (наприклад, проти руху годинникової стрiлки) на вiдрiзках L1,j , . . . , Lnj ,j (L′ 1,j , . . . , L ′ nj ,j) сепаратрис, що входять (виходять) в xj . Можна вважати, що L1,j ⊂ Aixj . У зв’язку з цим у подальшому будемо вважати, що L′ 1,j ⊂ xjBi, де Bi ∈ C2. Iншими словами, ми довизначили вiдображення P для точок сепаратрис, а саме P (Aj) = Bj . Зауважимо, що обрана орiєнтацiя на поверхнi природним чином встанов- лює циклiчний порядок точокAi на колiC1 та точокBj на колiC2.Саме такий циклiчний порядок i будемо розумiти в подальшому. За побудовою вiдображення P є бiєктивним, неперервним в обидва боки та має роз- рив лише в скiнченному числi точок, а саме, в точках A1, . . . , An сепаратрис L1, . . . , Ln. Бiльш того, вiдображення P : C1 → C2 неперервне злiва в точках Ai, а вiдображення P−1 : C2 → C1 — справа в точках Bi. Нехай C1 ( C2 ) — коло в R2 одиничного радiуса з n точками A1, . . . , An ( B1, . . . , Bn ) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 182 О. КАДУБОВСЬКИЙ на ньому, якi є вершинами правильного n-кутника. Нехай, далi, ϕ1 — гомеоморфiзм (що зберiгає орiєнтацiю) кола C1 на C1, при якому ϕ1(Ai) = Ai, i = 1, . . . , n. Аналогiчно визначимо ϕ2 як вiдображенняC2 наC2.Очевидно, що на кожному з кiлC1 iC2 циклiчний порядок точок Ai = ϕ1(Ai) i Bi = ϕ2(Bi) такий самий, як порядок їх прообразiв на C1 i C2 вiдповiдно. Розглянемо вiдображення P : C1 → C2, iндуковане вiдображенням P : C1 → C2. Оскiльки вiдображення P задається комбiнаторно, то можна вважати, що вiдображен- ня P зберiгає довжини iнтервалiв (локально iзометричне), тобто образом iнтервалу з C1 довжини L є не бiльш нiж скiнченне число iнтервалiв з C2, сума довжин яких дорiвнює L. Тому вiдображення ϕ2 : C2 → C2 слiд визначити як ϕ2 = P ◦ ϕ1 ◦ P−1. Нехай α — точка з C1, яка визначається центральним кутом α (в напрямку проти годинникової стрiлки вiдносно точки A1), i β = P (α) — точка на C2, що визначається центральним кутом β (в напрямку проти годинникової стрiлки вiдносно точки B1). Ви- значимо вiдображення γ : C2 → C2 за правилом γ(β) = β + ε+ i 2π n , β ∈ [ 2π(i− 1) n , 2πi n ) , i = 1, . . . , n, де ε, ε π — iррацiональнi числа, ε > 0 — як завгодно мале. Нехай D = { i 2π n ∣∣∣∣ i = 1, . . . , n } = { Ai ∣∣ i = 1, . . . , n } . Визначимо вiдображення ψ : C1 → C1 таким чином: ψ = P −1 ◦ γ ◦ P (α). Далi, нехай θ+(α) = {ψm(α)\|m ≥ 0} — додатна ψ-пiвтраєкторiя точки α ∈ C1, а θ−(α) = = {ψm(α)\|m ≤ 0} — її вiд’ємна ψ-траєкторiя. Ми стверджуємо, що перетин довiльної регулярної X-траєкторiї з C1 (що проходить через точку p ∈ C1) є щiльним у C1 тодi i лише тодi, коли додатна (вiд’ємна) ψ-траєкторiя точки α = ϕ1(p) щiльна в C1. Справдi, якщо θ+(α) ∩D 6= ∅, то ϕ−1 1 (α) належить стiйкому многовиду сiдла, а якщо θ−(α) ∩ D 6= ∅ — нестiйкому. Якщо ж θ+(α) ∩ D = ∅ i θ+(α) щiльна в C1, то додатна X-траєкторiя точки ϕ−1 1 (α) є щiльною в C1. Аналогiчно для вiд’ємних ψ i X-траєкторiй. Встановимо деякi властивостi вiдображення ψ : C1 → C1 : 1) вiдображення ψ є бiєктивним i має розрив лише в скiнченному числi точок (в точ- ках множини D); 2) ψ зберiгає довжини вiдрiзкiв, тобто образом iнтервалу довжини L є не бiльш нiж скiнченне число iнтервалiв, сума довжин яких дорiвнює L; 3) ψ не має перiодичних траєкторiй; 4) будь-яка траєкторiя вiдображення ψ має з множиною D не бiльше однiєї спiльної точки. Справедливiсть властивостей 1 i 2 випливає з властивостей вiдображень P i γ. Покажемо справедливiсть властивостi 3 (властивiсть 4 доводиться аналогiчно). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 ТРАНЗИТИВНI ПОТОКИ НА ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 183 Припустимо обернене, а саме, що для деякої точки x ∈ C1 \D iснує таке m ∈ Z, що ψm(x) = x. Це означає, що P −m ◦ γm ◦ P m(x) = x. Звiдси маємо γ m ◦ P m(x) = = P m(x). Оскiльки P m(x) = β ∈ C2, то з останнього випливає, що γ m(β) = β, тобто вiдображення γ : C2 → C2 має перiодичну траєкторiю, чого не може бути, оскiльки число ε/π є iррацiональним. Згiдно з iдеями iз [14] та на пiдставi мiркувань з [3] (приклад 12) для вiдображення ψ кола в себе з властивостями 1 – 4, доведення того факту, що кожна додатна (вiд’ємна) ψ- траєкторiя точки α ∈ C1 є щiльною в C1, буде випливати зi справедливостi встановлених нижче тверджень. Твердження 1. Якщо F ⊂ C1 — таке об’єднання скiнченного числа замкнених iнтер- валiв, що ψ(F ) = F, то F = C1. Доведення проведемо методом вiд супротивного. Нехай F = ⋃k i=0[ai, bi], F 6= C1, i α ∈ C1 — гранична точка F. Оскiльки ψ(F ) = F, а звуження ψ на C1\D є гомеоморфiзмом, то ψ−1(α) або є граничною точкою множини F (кiнець деякого iнтервалу [ai, bi]), або належить D. Якщо ψ−1(α) /∈ D, то, здiйснюючи „вiд’ємнi” iтерацiї, обов’язково при деякому k отримаємо точку δ = ψ−k(α) ∈ D. Для цього достатньо взяти k = 2m+ 1. Справдi, якщо кожна з 2m попереднiх iтерацiй давала точку, що є кiнцем деякого з m iнтервалiв множини F, то (2m+ 1)-ша iтерацiя не може збiгтися з кiнцем одного з iнтер- валiв множини F. Якщо припустити обернене, то буде випливати, що ψ має перiодичну траєкторiю, чого не може бути за властивiстю 3. У випадку додатних iтерацiй точки α iснує деяке натуральне q таке, що ψ−q(α) ∈ D. Отже, iснують натуральнi k та q такi, що ψk+q(δ) ∈ D, де δ = ψ−k(α). Але ж останнє суперечить властивостi 3 вiдображення ψ. Таким чином, F = C1. Твердження 2. Для довiльного замкненого iнтервалу I ⊂ C1 iснує натуральне m таке, що C1 = ⋃m i=0 ψ −i(I). Доведення. Оскiльки I при необхiдностi можна зменшити, то будемо вважати, що I ∩ ∩D = ∅ а кiнцi I не належать траєкторiям точок iз D. Нехай B = (∂I) ∪ D, де (∂I) — граничнi точки iнтервалу. При кожному x ∈ B покладемо ρ(x) = { +∞, ψm(x) 6∈ int I ∀m > 0, min{m > 0 : ψm(x) ∈ int I}. Тодi I можна подати у виглядi об’єднання I = ∪n i=0Ij , де Ij — такi замкненi iнтервали з внутрiшностями, якi не перетинаються, що n⋃ i=1 ∂Ii = (∂I) ⋃ {ψρ(x) : x ∈ B, ρ(x) < ∞}. 1. Для кожного j покладемо nj = min{m > 0 : ψ−m(x) ∩ I 6= ∅} i покажемо, що nj є скiнченним. Припустимо, що це не так. Тодi для будь-яких n, m таких, що 0 ≤ n < m, виконується умова ψ−m(int Ij) ⋂ ψ−n(int Ij) = ∅.Справдi, якщо припустити, що iснує пара 0 ≤ n < m, для якої ψ−m(int Ij) ⋂ ψ−n(int Ij) 6= ∅, то з цього буде випливати, що ψ−(n−m)(int Ij) ⋂ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 184 О. КАДУБОВСЬКИЙ ⋂ int Ij 6= ∅. Оскiльки int Ij ⊂ int I, то з останнього та визначення nj випливає, що nj = = m− n, а тому є скiнченним. Однак не всi множини ψ−i(int Ij), i = 1, 2, . . . , попарно не перетинаються, тому що довжина кожної з них (якi є об’єднанням скiнченного числа iнтервалiв: вiдкритих, замкнених або напiввiдкритих i ще, можливо, скiнченного числа точок) дорiвнює дов- жинi iнтервалу Ij . Таким чином, nj є скiнченним. Бiльш того, методом вiд супротивного можна встано- вити, що множини int Ij , ψ−1(int Ij), . . . , ψ−(nj−1)(int Ij) попарно не перетинаються. 2. Переконаємось у тому, що всi цi множини належать вiдрiзкам, на яких ψ−1 є гомео- морфiзмом, так що цi множини i ψ−nj (int Ij) є вiдкритими iнтервалами. Для int Ij це вiрно (весь int Ij належить такому вiдрiзку). Нехай це так для ψ−i(int Ij) при всiх i = 0, . . . , h− 1, а ψ−h(int Ij) не належить такому вiдрiзку (1 ≤ h ≤ nj). Останнє можливе лише в тому випадку, коли ψ−h(int Ij) мiстить точку вигляду ψ(d), d ∈ D. Тодi ψh+1(d) ∈ int Ij ⊂ int I и ρ(d) ≤ h+ 1. Якщо припустити, що ρ(d) = h + 1, то з цього буде випливати, що точка ψρ(d)(d) належить внутрiшностi Ij . Але це суперечить означенню iнтервалiв Ij . Припустимо тепер, що ρ(d) < h + 1. Тодi для точки x = ψh+1(d) маємо x ∈ int Ij i ψ−(h+1−ρ(d))(x) = ψρ(d)(d) ∈ int Ij . Але число m = h + 1 − ρ(d) є таким, що 0 < m < nj (тому що h ≤ nj i ρ(d) ≥ 1) i ψ−m(int Ij) ∩ int Ij 6= ∅. Останнє суперечить означенню величини nj . 3. Далi покажемо, що ψ−nj (int Ij) ⊂ I. Припустимо обернене. Тодi вiдкритий iнтервал ψ−nj (int Ij) має точку x ∈ ∂I, оскiльки ψ−nj (int Ij) ∩ I 6= ∅. З означення числа nj випливає, що ψi(x) /∈ I, i = 1, . . . , nj , а точка ψnj (x) належить int Ij ⊂ int I. Оскiльки x ∈ B, то nj = ρ(x). Але точка ψnj (x) = ψρ(x)(x) не може належати внутрiшностi Ij з тих же причин, з яких це неможливо для точок ψρ(d)(d). 4. Покладемо F = m⋃ j=1 nj−1⋃ k=0 ψ−k(int Ij) i доведемо, що ψ−1F ⊂ F . Для цього достатньо показати, що при всiх k, j (що розгляда- ються) має мiсце включення ψ−1ψ−k(int Ij) ⊂ F. 4.1. Перевiримо, що при даних k, j ψ−1ψ−k(int Ij) = ψ−k−1(int Ij), за винятком того випадку, коли правий кiнець Ij є точкою вигляду ψρ(d)(d), d ∈ D, i k = ρ(d) − 1. У цьому випадку ψ−1ψ−k(int Ij) = ψ−k−1(int Ij) ⋃ {d}. Ранiше встановлено, що ψ−k(int Ij), k = 1, . . . , nj , є вiдкритими iнтервалами, якi пере- ходять один в iнший гомеоморфно (пiд дiєю ψ) зi збереженням орiєнтацiї. Нехай, далi, ψ−k(int Ij) = (x, y) i 0 ≤ k < nj . Тодi ψ−1ψ−k(int Ij) = ψ−1(x) ∪ ψ−k−1(int Ij) ∪ ψ−1(y). Але будь-яка точка з int Ij має такий правий пiвокiл, на якому ψ є гомеоморфiзмом, що зберiгає орiєнтацiю. Тому ψ−1(x) ⊂ ψ−1(x, y) = ψ−k−1(int Ij). Аналогiчно ψ−1(y) ⊂ ⊂ ψ−1(x, y), якщо y має окiл з такою властивiстю. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 ТРАНЗИТИВНI ПОТОКИ НА ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 185 Подiбного пiвоколу немає лише в тому випадку, коли y = ψ(d), d ∈ D. Тодi правi кiнцi ψ−i(int Ij) при i = 1, . . . , k є ψk−i(y) — вони вже не можуть потрапити в D i, як окремий випадок, правим кiнцем iнтервалу int Ij є точка z = ψk+1(d). Вiн не збiгається з правим кiнцем I (який не належить ∪ψi(D)), а тому мiститься в int Ij . Отже, ρ(d) ≤ h+ 1. Якщо припустити, що ρ(d) < h+1, то з цього випливатиме, щоψρ(d)−k−1(z) = ψρ(d)(d)∈ ∈ int Ij , причому 0 < k + 1 − ρ(d) < nj . Але це суперечить означенню nj : оскiльки ψ−1 є неперервним у точках ψ−1(z), 0 ≤ i < k, то в ψ−(k+1−ρ(d))(int Ij) мiстяться точки, як завгодно близькi до ψρ(d)−k−1(z). У розглянутому випадку (коли k + 1 = ρ(d) i т. д.) z не може бути правим кiнцем I, а тому є лiвим кiнцем деякого Ih. Покажемо, що ρ(d) ≤ nh.Припустимо, що ρ(d)−nh > 0.Вже вiдомо, щоψ−nh(int Ij) ⊂ ⊂ I, а оскiльки ψ−1 є скрiзь неперервним справа, то ψ−nh(z) ∈ ψ−nh(int Ij) ⊂ I. Але ψ−nh(z) = ψρ(d)−nh(d) /∈ ∂I, тому ψρ(d)−nh(d) ∈ int I, що суперечить означен- ню ρ(d). Пiдсумовуючи викладене, приходимо до висновку, що d ∈ ⋃nh k=0 ψ −k(int Ih) та при 0 ≤ ≤ k < nj ψ−1ψ−k(int Ij) ⊂ ⋃( nj⋃ k=0 ψ−k(int Ij) )⋃( nh⋃ k=0 ψ−k(int Ih) ) . Таким чином, ψ−1(F ) ⊂ m⋃ j=1 nj⋃ k=0 ψ−k(int Ij) = F ⋃ m⋃ j=1 ψ−nj (int Ij)  . Але ψ−nj (int Ij) ⊂ I, ψ−nj (int Ij) ⊂ I, так що ψ−1(F ) ⊂ F ⋃ I.Оскiльки I = ⋃m j=1 int Ij ⊂ ⊂ F, то ψ−1F ⊂ F. Звiдси випливає, що F ⊂ ψ(F ). Оскiльки F є об’єднанням скiнчен- ного числа замкнених iнтервалiв, то з властивостей ψ випливає, що i ψ(F ) є об’єднанням скiнченного числа iнтервалiв, можливо не лише замкнених, але й напiввiдкритих або вiд- критих. Якщо припустити, що ψ(F )\F 6= ∅, то множина ψ(F )\F повинна мати внутрiшнi точки, що неможливо, тому що ψ зберiгає довжини iнтервалiв. Таким чином, ψ(F ) = F. Згiдно з твердженням 1 маємо F = C1. Оскiльки твердження про те, що додатна траєкторiя точки α ∈ C1 потрапляє у вiдрi- зок I, є еквiвалентним тому, що α ∈ ⋃m i=1 ψ −i(I), то з твердження 2 випливає, що θ+(α) є щiльною в C1 при будь-якому α ∈ C1. Доведення щiльностi θ−(α) аналогiчне. 4. Висновки. З’ясовано питання про iснування транзитивних потокiв на замкнених орiєнтованих поверхнях iз заданим набором iндексiв нерухомих точок (сiдел), що задо- вольняють теорему Пуанкаре – Хопфа. У процесi розв’язання вказаної задачi розроблено технiку побудови транзитивного потоку (з припустимим набором особливостей) на орiєнтованiй поверхнi довiльного роду g ≥ 2. 1. Арансон С. Х., Гринес В. З. Топологическая классификация потоков на замкнутых двумерных много- образиях // Успехи мат. наук. — 1986. — 41, № 1. — С. 149 – 169. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 186 О. КАДУБОВСЬКИЙ 2. Арансон С. Х., Гринес В. З. О некоторых инвариантах динамических систем на двумерных многообра- зиях (необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности транзитивных систем) // Мат. сб. — 1973. — 90(132), № 3. — С. 372 – 402. 3. Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем: Введение. — М.: Мир, 1986. — 301 c. 4. Блохин А. А. Гладкие эргодические потоки на поверхностях // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1972. — 27. — С. 113 – 128. 5. Sacker R. J., Sell J. R. On the existance of periodic solutions on 2-manifolds // J. Different. Equat. — 1972. — 11, № 3. — P. 449 – 463. 6. Пришляк А. О. Векторные поля с заданным набором особых точек // Укр. мат. журн. — 1997. — 49, № 10. — С. 1373 – 1384. 7. Гирик Е. А. О существовании векторных полей с заданным набором особенностей на двумерном замкнутом ориентируемом многообразии // Там же. — 1993. — 46, № 12. — С. 1706 – 1709. 8. Poltavets D. N. Cherry vector fields on the torus T 2 // Meth. Funct. Anal. and Top. — 1996. — 2, № 2. — P. 94 – 98. 9. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго по- рядка. — М.: Наука, 1966. — 568 с. 10. Шарко В. В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на поверхностях // Укр. мат. журн. — 2003. — 55, № 5. — С. 687 – 700. 11. Кадубовський О. А. Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй на орiєнтованих поверхнях // Там же. — 2006. — 58, № 3. — C. 343 – 351. 12. Takens F. The minimal number of critical points of a function on a compact manifold and the Lusternik – Sehnirelman category // Invent. math. — 1968. — 6. — P. 197 – 244. 13. Prishlyak A. O. Topological equivalence of smooth functions with isolated critical points on a cloused surface // Top. and Appl. — 2002. — 119. — P. 257 – 267. 14. Keane M. Interval exchange transformatins // Math. Z. — 1975. — 141, № 5. — S. 25 – 31. Одержано 30.01.2006 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2

Транзитивні потоки на орієнтованих поверхнях

Репозитарії

Схожі ресурси