Умови оборотності нелінійного різницевого оператора (Dx)(n) = x(n+1) - f(x(n)) у просторі l∞(Z, R)
Отримано необхiднi i достатнi умови оборотностi нелiнiйного рiзницевого оператора (Dx)(n) = x(n + 1) − f(x(n)), n ∈ Z, у просторi обмежених двостороннiх числових послiдовностей. Тут f : R → R — неперервна функцiя....
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178106 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Умови оборотності нелінійного різницевого оператора (Dx)(n) = x(n+1) - f(x(n)) у просторі l∞(Z, R) / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 264-279. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178106 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781062021-02-18T01:28:38Z Умови оборотності нелінійного різницевого оператора (Dx)(n) = x(n+1) - f(x(n)) у просторі l∞(Z, R) Слюсарчук, В.Ю. Отримано необхiднi i достатнi умови оборотностi нелiнiйного рiзницевого оператора (Dx)(n) = x(n + 1) − f(x(n)), n ∈ Z, у просторi обмежених двостороннiх числових послiдовностей. Тут f : R → R — неперервна функцiя. Necessary and sufficient conditions of invertibility of the nonlinear operator (Dx)(n) = x(n+1)−f(x(n)), n ∈ Z, in the space of bounded two-sided number sequences are obtained. Here f : R → R is a continuous map. 2006 Article Умови оборотності нелінійного різницевого оператора (Dx)(n) = x(n+1) - f(x(n)) у просторі l∞(Z, R) / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 264-279. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178106 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримано необхiднi i достатнi умови оборотностi нелiнiйного рiзницевого оператора
(Dx)(n) = x(n + 1) − f(x(n)), n ∈ Z, у просторi обмежених двостороннiх числових послiдовностей. Тут f : R → R — неперервна функцiя. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. |
| spellingShingle |
Слюсарчук, В.Ю. Умови оборотності нелінійного різницевого оператора (Dx)(n) = x(n+1) - f(x(n)) у просторі l∞(Z, R) Нелінійні коливання |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Умови оборотності нелінійного різницевого оператора (Dx)(n) = x(n+1) - f(x(n)) у просторі l∞(Z, R) |
| title_short |
Умови оборотності нелінійного різницевого оператора (Dx)(n) = x(n+1) - f(x(n)) у просторі l∞(Z, R) |
| title_full |
Умови оборотності нелінійного різницевого оператора (Dx)(n) = x(n+1) - f(x(n)) у просторі l∞(Z, R) |
| title_fullStr |
Умови оборотності нелінійного різницевого оператора (Dx)(n) = x(n+1) - f(x(n)) у просторі l∞(Z, R) |
| title_full_unstemmed |
Умови оборотності нелінійного різницевого оператора (Dx)(n) = x(n+1) - f(x(n)) у просторі l∞(Z, R) |
| title_sort |
умови оборотності нелінійного різницевого оператора (dx)(n) = x(n+1) - f(x(n)) у просторі l∞(z, r) |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178106 |
| citation_txt |
Умови оборотності нелінійного різницевого оператора (Dx)(n) = x(n+1) - f(x(n)) у просторі l∞(Z, R) / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 264-279. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû umovioborotnostínelíníjnogoríznicevogooperatoradxnxn1fxnuprostorílzr |
| first_indexed |
2025-07-15T16:28:28Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:28:28Z |
| _version_ |
1837731056547004416 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО ОПЕРАТОРА
(Dx)(n) = x(n + 1) − f(x(n)) У ПРОСТОРI l∞(Z, R)
В. Ю. Слюсарчук
Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування
Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11
e-mail: V.Ye.Slyusarchuk@USUWM.rv.ua
Necessary and sufficient conditions of invertibility of the nonlinear operator (Dx)(n) = x(n+1)−f(x(n)),
n ∈ Z, in the space of bounded two-sided number sequences are obtained. Here f : R → R is a continuous
map.
Отримано необхiднi i достатнi умови оборотностi нелiнiйного рiзницевого оператора
(Dx)(n) = x(n + 1) − f(x(n)), n ∈ Z, у просторi обмежених двостороннiх числових послiдов-
ностей. Тут f : R → R — неперервна функцiя.
1. Вступ. Позначимо через l∞ банахiв простiр усiх вiдображень x : Z → R, множина
значень кожного з яких є обмеженою, з нормою ‖x‖l∞ = sup
n∈Z
|x(n)|, а через Tm, m ∈
∈ Z, — оператор зсуву, що дiє у просторi l∞ i визначається рiвнiстю (Tmx)(n) = x(n +
+m), де n ∈ Z i x ∈ l∞. Нехай Kl∞ — множина всiх компактних пiдмножин простору
l∞ i cll∞G — замикання множини G у просторi l∞. Елемент x ∈ l∞ називається майже
перiодичним елементом простору l∞, якщо cll∞{Tmx : m ∈ Z} ∈ Kl∞ .
Позначимо через APl∞ банахiв простiр усiх майже перiодичних елементiв простору
l∞ з нормою ‖ · ‖APl∞ , визначеною рiвнiстю ‖x‖APl∞
df= ‖x‖l∞ .
Основною метою цiєї роботи є встановлення необхiдних i достатнiх умов оборотностi
у просторах l∞ i APl∞ вiдповiдно рiзницевого оператора D, що визначається рiвнiстю
(Dx)(n) = x(n + 1)− f(x(n)), n ∈ Z, (1)
де f : R → R — неперервна функцiя, x ∈ l∞ i D|APl∞ — звуження оператора D на
пiдпростiр APl∞ простору l∞.
При встановленнi умов оборотностi оператора D важливу роль вiдiграватиме власти-
вiсть c-неперервностi цього оператора.
2. c-Неперервнi оператори. Будемо говорити, що послiдовнiсть xk ∈ l∞, k ∈ N, ло-
кально збiгається до елемента x ∈ l∞ при k → ∞, i позначати
xk
лок., l∞−−−−−→ x при k → ∞,
якщо ця послiдовнiсть є обмеженою i lim
k→∞
|xk(n)− x(n)| = 0 для кожного n ∈ Z.
Оператор F : l∞ −→ l∞ називатимемо c-неперервним, якщо для довiльних x ∈ l∞ i
послiдовностi xk ∈ l∞, k ∈ N, для яких xk
лок., l∞−−−−−→ x при k → ∞, випливає Fxk
лок., l∞−−−−−→
лок., l∞−−−−−→ Fx при k → ∞.
c© В. Ю. Слюсарчук, 2006
244 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО ОПЕРАТОРА . . . 245
Множина c-неперервних операторiв, очевидно, є досить широкою i мiстить оператори
D i Tm.
Зазначимо, що нi c-неперервнiсть не випливає з неперервностi, нi неперервнiсть не
випливає з c-неперервностi [1].
3. Множини Fs, Fu, F1 i F2. При дослiдженнi оператора D будемо використовувати
ряд допомiжних множин.
Нехай R(A) — множина значень вiдображення A : X → X, де X — один iз просторiв
R та l∞, i I : R → R — одиничне вiдображення.
Позначимо через Fs i Fu множини всiх функцiй g : R → R, для яких виконуються
вiдповiдно нерiвностi |g(x)− g(y)| < |x− y| i |g(x)− g(y)| > |x− y|, якщо x, y ∈ R i x 6= y.
Далi, позначимо через F1 i F2 множини всiх функцiй g : R → R, для яких R(I − g) =
= R, множина R(I + g) є необмеженою i мають мiсце вiдповiдно включення g ∈ Fs i
g ∈ Fu.
Важливими є наступнi два твердження.
Лема 1. Нехай неперервна функцiя g є елементом множини Fs. Тодi для кожних
замкненого вiдрiзка [a, b] i числа ε ∈ (0, b− a) iснує таке число q ∈ (0, 1), що
|g(x)− g(y)| ≤ q|x− y| (2)
для всiх x, y ∈ [a, b], для яких |x− y| ≥ ε.
Доведення. Зафiксуємо довiльне ε ∈ (0, b− a). Припустимо, що спiввiдношення (2) не
виконується для жодного q ∈ (0, 1). Iснують послiдовностi xn, yn ∈ [a, b], n ∈ N, для яких
|xn − yn| ≥ ε, n ∈ N, i lim
n→∞
∣∣∣∣g(xn)− g(yn)
xn − yn
∣∣∣∣ = 1. Тому на пiдставi неперервностi функцiї g
i компактностi [a, b] iснують точки x0, y0 ∈ [a, b], для яких |x0 − y0| ≥ ε i |g(x0) − g(y0)| =
= |x0 − y0|. Останнє спiввiдношення суперечить включенню g ∈ Fs.
Отже, припущення, що нерiвнiсть (2) не виконується для жодного q ∈ (0, 1), є хибним.
Лему доведено.
Аналогiчно встановлюється наступна лема.
Лема 2. Нехай неперервна функцiя g є елементом множини Fu. Тодi для кожних
замкненого вiдрiзка [a, b] i числа ε ∈ (0, b− a) iснує таке число Q > 1, що
|g(x)− g(y)| ≥ Q|x− y| (3)
для всiх x, y ∈ [a, b], для яких |x− y| ≥ ε.
4. Основна теорема.
Теорема 1. Наступнi твердження є еквiвалентними:
1) f ∈ F1 ∪ F2;
2) оператор D : l∞ −→ l∞ має обернений неперервний оператор;
3) оператор D : l∞ −→ l∞ має обернений неперервний i c-неперервний оператор;
4) оператор D|APl∞ : APl∞ −→ APl∞ має обернений неперервний оператор;
5) оператор D : l∞ −→ l∞ має обернений неперервний i обмежений оператор;
6) оператор D : l∞ −→ l∞ має обернений неперервний обмежений i c-неперервний
оператор;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
246 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
7) оператор D|APl∞ : APl∞ −→ APl∞ має обернений неперервний i обмежений опе-
ратор.
Нагадаємо, що нелiнiйний оператор називається обмеженим, якщо множина його зна-
чень є обмеженою на кожнiй обмеженiй множинi; крiм цього, для нелiнiйних операторiв
нi обмеженiсть не випливає з неперервностi, нi неперервнiсть не випливає з обмеженостi.
Встановлюється теорема за допомогою допомiжних тверджень про множини значень
функцiй I−f, I+f, I−f◦f, I+f◦f, про прообразиD−1h перiодичних елементiв h простору
l∞ та про iснування обмежених послiдовностей елементiв простору l∞ локально збiжних
послiдовностей.
5. Властивостi елементiв множини F1 ∪ F2. Будемо вважати, що f ∈ F1 ∪F2. Завдяки
включенню f ∈ Fs∪Fu та рiвностi R(I−f) = R функцiя f є неперервною на R. Наведемо
властивостi таких функцiй, якi використовуватимемо при обґрунтуваннi теореми 1.
Лема 3. Нехай f ∈ Fs i R(I − f) = R(I + f) = R. Тодi
lim
|x|→+∞
(
|x| − max
|t|≤|x|
: |f(t)|
)
= +∞. (4)
Доведення. Згiдно з умовами леми функцiї V (x) = x−f(x) i W (x) = x+f(x) є строго
зростаючими i неперервними на R, iснують точки x∗, x∗∗ ∈ R, для яких
V (x∗) = 0, (5)
W (x∗∗) = 0, (6)
i R(V ) = R(W ) = R. Оскiльки V (v) + W (x) = 2x для всiх x ∈ R, то можливий один iз
випадкiв:
1) lim
x→+∞
V (x) = +∞ i lim
x→−∞
V (x) = −∞;
2) lim
x→−∞
W (x) = −∞ i lim
x→+∞
W (x) = +∞;
3) lim
x→+∞
V (x) = +∞ i lim
x→−∞
W (x) = −∞;
4) lim
x→−∞
V (x) = −∞ i lim
x→+∞
W (x) = +∞.
У кожному iз цих випадкiв на пiдставi (5), (6) i строгого зростання на R функцiй
V (x) i W (x) справджується спiввiдношення lim
|x|→+∞
V (x)W (x) = +∞, тобто lim
|x|→+∞
(x2 −
−(f(x))2) = +∞. Тому lim
|x|→+∞
(|x| − |f(x))|) = +∞. Звiдси та з неперервностi функцiї f
випливає спiввiдношення (4).
Лему 3 доведено.
Лема 4. Нехай f ∈ Fu i R(I − f) = R(I + f) = R. Тодi функцiя f має обернену
неперервну функцiю f−1 : R −→ R, для якої
lim
|x|→+∞
min
ω∈[a,b]
:
(
|x| − max
|t|≤|x|
:
∣∣f−1(t− ω)
∣∣) = +∞ (7)
для кожного вiдрiзка [a, b].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО ОПЕРАТОРА . . . 247
Доведення. Згiдно з умовами леми функцiя f є строго монотонною i неперервною на
R i R(f) = R. Тому f має обернену неперервну функцiю f−1 : R → R, що є елементом
множини Fs на пiдставi включення f ∈ Fu. Оскiльки R(f−1) = R, I − f−1 = −(I − f)f−1
i I + f−1 = (I + f)f−1, то R(I − f−1) = R(I + f−1) = R.
Отже, для функцiї f−1 виконуються умови леми 3. Тому
lim
|x|→+∞
(
|x| − max
|t|≤|x|
:
∣∣f−1(t)
∣∣) = +∞. (8)
На пiдставi включення f−1 ∈ Fs для довiльних чисел t ∈ R i ω ∈ [a, b]∣∣f−1(t− ω)
∣∣ ≤ ∣∣f−1(t)
∣∣+ ∣∣f−1(t)− f−1(t− ω)
∣∣ ≤
≤
∣∣f−1(t)
∣∣+ |ω| ≤
∣∣f−1(t)
∣∣+ max{|a|, |b|}.
Звiдси та iз спiввiдношення (8) випливає спiввiдношення (7).
Лему 4 доведено.
Позначимо через B− i B+ множини неперервних функцiй b : R −→ R, обмежених
вiдповiдно на (−∞, 0] i [0,+∞), а через sω — функцiю, що визначається спiввiдношенням
sω(x) = ω, x ∈ R.
Лема 5. Нехай:
1) f ∈ Fs ∪ Fu;
2) R(I − f) = R;
3) R(I + f) — необмежена множина, причому R(I + f) 6= R.
Тодi для всiх ω1, ω2 ∈ R
R (I − (f + sω2) ◦ (f + sω1)) = R (9)
i
R (I + (f + sω2) ◦ (f + sω1)) = R. (10)
Доведення. Спочатку обґрунтуємо лему у випадку ω1 = ω2 = 0. Розглянемо функцiю
g : R → R, що визначається рiвнiстю
g(x) = x + f(x). (11)
Використаємо цю функцiю спочатку у випадку f ∈ Fs. На пiдставi включення f ∈ Fs
функцiя g є строго зростаючою i неперервною на R. Тому множина R(I + f) є зв’язною,
причому завдяки третiй умовi леми
R(I + f) = (−∞, a), (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
248 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
або
R(I + f) = (b, +∞) (13)
для деяких a, b ∈ R.
Подамо I − f ◦ f за допомогою g у виглядi
(I − f ◦ f) (x) = g(x)− g(−x + g(x)), x ∈ R. (14)
Розглянемо випадок виконання спiввiдношення (12). Завдяки (14), строгому зростан-
ню функцiї g на R i включенню g ∈ B+
lim
x→+∞
(I − f ◦ f) (x) = +∞. (15)
Тепер покажемо, що
lim
x→−∞
(I − f ◦ f) (x) = −∞. (16)
У випадку lim
x→−∞
(−x + g(x)) = +∞ i lim
x→−∞
(−x + g(x)) ∈ R спiввiдношення (16) вико-
нується на пiдставi (14).
У випадку
lim
x→−∞
(−x + g(x)) = −∞ (17)
використаємо рiвнiсть
(I − f ◦ f) (x) = (I − f)(x) + (I − f)(f(x)). (18)
Завдяки (11), строгому зростанню функцiї (I − f)(x) на R, другiй умовi леми, (17) i (18)
справджується (16).
З неперервностi функцiї (I − f ◦ f) (x) на R та з (15) i (16) випливає спiввiдношення
(9) при ω1 = ω2 = 0.
Тепер розглянемо випадок виконання спiввiдношення (13).
Завдяки (14), строгому зростанню функцiї g на R та тому, що g ∈ B−,
lim
x→−∞
(I − f ◦ f) (x) = −∞. (19)
У випадках lim
x→+∞
(−x + g(x)) = −∞ i lim
x→+∞
(−x + g(x)) ∈ R на пiдставi (14)
lim
x→+∞
(I − f ◦ f) (x) = +∞. (20)
У випадку
lim
x→+∞
(−x + g(x)) = +∞ (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО ОПЕРАТОРА . . . 249
використаємо спiввiдношення (18). Враховуючи (11), строге зростання функцiї (I − f)(x)
на R та другу умову леми, за допомогою (18) i (21) отримуємо спiввiдношення (20).
Отже, на пiдставi (19) i (20) та неперервностi функцiї f спiввiдношення (9) справджу-
ється при ω1 = ω2 = 0.
Тепер розглянемо випадок f ∈ Fu. У цьому випадку визначена рiвнiстю (11) функ-
цiя g є строго спадною на R (випадок строгого зростання на R цiєї функцiї неможливий
на пiдставi третьої умови леми). Аналогiчну властивiсть має i функцiя f. Завдяки тре-
тiй умовi леми для функцiї I + f виконується спiввiдношення (12) або (13). Використає-
мо (14).
У випадку виконання спiввiдношення (12) завдяки строгому спаданню на R функцiй
g i f
lim
x→+∞
(g(x)− g(−x + g(x))) = −∞ (22)
i
lim
x→−∞
(g(x)− g(−x + g(x))) = +∞. (23)
У випадку виконання спiввiдношення (13) lim
x→+∞
f(x) = −∞, lim
x→−∞
f(x) = +∞,
lim
x→+∞
g(x) = b i lim
x→−∞
g(x) = +∞. Тому
lim
x→+∞
(g(x)− g(−x + g(x))) = −∞ (24)
i
lim
x→−∞
(g(x)− g(−x + g(x))) = +∞. (25)
Отже, завдяки неперервностi функцiї g на R i спiввiдношенням (22) – (25) рiвнiсть (9)
справджується при ω1 = ω2 = 0 й у випадку f ∈ Fu.
Тепер покажемо, що спiввiдношення (10) виконується при ω1 = ω2 = 0.
У випадку f ∈ Fu функцiя f є строго монотонною на R. Тому функцiя f ◦ f є строго
зростаючою на R i виконується спiввiдношення (10) при ω1 = ω2 = 0.
Розглянемо випадок f ∈ Fs. Припустимо, що R(I + f ◦ f) 6= R. Тодi
R(I + f ◦ f) = (−∞, c) (26)
або
R(I + f ◦ f) = (d, +∞). (27)
Тут c i d — деякi дiйснi числа. У цьому випадку функцiя f ◦ f набирає вигляду
f(f(x)) = −x + g1(x), (28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
250 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
де g1 ∈ B+, якщо виконується спiввiдношення (26), i g1 ∈ B−, якщо виконується спiввiд-
ношення (27). Завдяки включенню f ∈ Fs функцiя g1 є строго зростаючою i неперерв-
ною на R.
Далi використаємо третю умову леми. На пiдставi цiєї умови справджується спiввiд-
ношення (12) або (13) i функцiя f(x) зображується у виглядi
f(x) = −x + g(x), (29)
де g — строго зростаюча на R функцiя, g ∈ B+ у випадку використання спiввiдношення
(12) i g ∈ B− у випадку використання спiввiдношення (13). Згiдно з рiвностями (14) i (28)
для всiх x ∈ R
2x− g(x) + g(f(x)) = g1(x). (30)
Припустимо, що виконується спiввiдношення (13). На пiдставi (30)
2x− g(x) + b < g1(x)
i, отже,
2x + b− g1(x) < g(x) (31)
для всiх x ∈ R. Завдяки (29) i включенню f ∈ Fs
g(x) = x + f(x) ≤ x + f(0) + |f(x)− f(0)| ≤ x + f(0) + |x|.
Тому для всiх x ≥ 0
g(x) ≤ 2x + f(0). (32)
Iз (31) i (32) випливає, що функцiя g(x) має вигляд g(x) = 2x + α(x), де α(x) ∈ B+ ∪ B−.
Таким чином, на пiдставi (29) справджується включення I − f ∈ B+ ∪ B−, що супере-
чить другiй умовi леми.
Отже, випадок виконання спiввiдношення (13) неможливий.
Розглянемо випадок виконання спiввiдношень (12) i (26).
Використаємо спiввiдношення (30) при x ≥ 0. Оскiльки g, g1 ∈ B+, то згiдно з (29)
g(−x + g(x)) = −2x + g2(x), (33)
де функцiя g2(x) = g(x) + g1(x) є елементом множини B+. Завдяки включенню f ∈ Fs та
(29) для всiх x, y ∈ R виконується спiввiдношення |g(x)− g(y)| ≤ |x− y|. Тому на пiдставi
(33) для деякої функцiї g3 ∈ B+ g(−x) = −2x + g3(x). Звiдси отримуємо
g(x) = 2x + g4(x), (34)
де g4(x) = g3(−x), причому g4 ∈ B−.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО ОПЕРАТОРА . . . 251
Iз (29) i (34) випливає, що функцiя I−f є елементом множини B−. Однак це на пiдставi
строгого зростання функцiї I − f на R суперечить другiй умовi леми.
Отже, випадок виконання спiввiдношення (12) також неможливий, якщо справджу-
ється (26).
Виконання спiввiдношень (12) i (27) також є неможливим. Справдi, завдяки (12) i (30)
2x−g(x)+a > g1(x) для всiх x ∈ R. Тому g(x) < 2x+a−g1(x) для x ≤ 0. Використовуючи
(29), отримуємо x − f(x) > g1(x) − a для x ≤ 0. Оскiльки функцiя x − f(x) є строго
зростаючою на R i g1 ∈ B−, то lim
x→−∞
(x− f(x)) 6= −∞, що суперечить другiй умовi леми.
Таким чином, лему 5 доведено у випадку ω1 = ω2 = 0.
Тепер розглянемо випадок ω1ω2 6= 0. Очевидно, що умови леми рiвносильнi вiдповiдно
умовам:
1) f + sω1 ∈ Fs ∪ Fu;
2) R(I − (f + sω1)) = R;
3) R(I + (f + sω1)) — необмежена множина i R(I + (f + sω1)) 6= R.
Тому, проводячи аналогiчнi мiркування щодо функцiї (f + sω1) ◦ (f + sω1), отримуємо
спiввiдношення (9) i (10) при ω1 = ω2.
У випадку ω1 6= ω2 завдяки рiвностi
(f + sω2) ◦ (f + sω1) = (f + sω1 + (sω2 − sω1)) ◦ (f + sω1)
(тодi (f + sω2) ◦ (f + sω1)(x)) ≡ (f (f(x) + ω1) + ω1) + (ω2 − ω1)) також справджуються
спiввiдношення (9) i (10).
Лему 5 доведено.
Лема 6. Нехай:
1) f ∈ Fs;
2) R(I − f) = R;
3) R(I + f) — необмежена множина, причому R(I + f) 6= R.
Тодi для довiльного вiдрiзка [a, b] справджується спiввiдношення
lim
|x|→+∞
: min
ω1,ω2∈[a,b]
: (|x| − max
|t|≤|x|
: |f(f(t) + ω1) + ω2|) = +∞. (35)
Доведення. На пiдставi леми 5 R(I − f ◦ f) = R(I + f ◦ f) = R, а завдяки включенню
f ∈ Fs справджується включення f ◦ f ∈ Fs. Тому за лемою 3
lim
|x|→+∞
(|x| − |f(f(x))|) = +∞. (36)
Оскiльки f ∈ Fs, то для довiльних x ∈ R, ω1 ∈ R i ω2 ∈ R
|f(f(x))− (f(f(x) + ω1) + ω2)| ≤ |f(f(x))− f(f(x) + ω1)|+ |ω2| ≤ |ω1|+ |ω2|.
Тому для x ∈ R i ω1, ω2 ∈ [a, b]
|x| − |f(f(x) + ω1) + ω2| ≥ |x| − |f(f(x))| − |f(f(x))− f(f(x) + ω1) + ω2| ≥
≥ |x| − |f(f(x))| − |ω1| − |ω2| ≥ |x| − |f(f(x))| − 2 max{|a|, |b|}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
252 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Звiдси з урахуванням неперервностi функцiї f та з (36) випливає спiввiдношення (35).
Лему 6 доведено.
Лема 7. Нехай:
1) f ∈ Fu;
2) R(I − f) = R;
3) R(I + f) — необмежена множина, причому R(I + f) 6= R.
Тодi функцiя f має обернену неперервну на R функцiю f−1, для якої
lim
|x|→+∞
: min
ω1,ω2∈[a,b]
:
(
|x| − max
|t|≤|x|
:
∣∣f−1
(
f−1 (t− ω1)− ω2
)∣∣) = +∞
для кожного вiдрiзка [a, b].
Доведення. Згiдно з першими двома умовами леми функцiя f є строго монотонною
i неперервною R i R(f) = R. Тому ця функцiя має обернену неперервну функцiю f−1 :
R → R. Завдяки першiй умовi леми f−1 ∈ Fs. Оскiльки R(f−1) = R, I−f−1 = −(I−f)f−1
i I+f−1 = (I+f)f−1, то R
(
I − f−1
)
= R i множина R
(
I + f−1
)
є необмеженою, причому
R
(
I + f−1
)
6= R.
Отже, для функцiї f−1 виконуються умови леми 6. Тому
lim
|x|→+∞
(
|x| −
∣∣f−1
(
f−1(x)
)∣∣) = +∞. (37)
Оскiльки f−1 ∈ Fs, то для довiльних x ∈ R, ω1 ∈ R i ω2 ∈ R∣∣f−1
(
f−1(x)
)
− f−1
(
f−1(x− ω1)− ω2
)∣∣ ≤ |ω1|+ |ω2|.
Звiдси з урахуванням неперервностi функцiї f−1 та iз спiввiдношення (37) випливає тверд-
ження леми.
Лему 7 доведено.
6. Лема про нерухому точку неперервного вiдображення. Важливою для подальшого
викладу матерiалу є така лема.
Лема 8. Нехай X — метричний простiр iз метрикою ρ, для вiдображення H : X →
→ X виконується спiввiдношення
ρ(Hx,Hy) < ρ(x, y) (38)
для всiх x, y ∈ X, для яких x 6= y, i x∗ — нерухома точка вiдображення Hk, де k ∈ N\{1}.
Тодi x∗ — єдина нерухома точка вiдображення H .
Доведення. Нехай x∗ — нерухома точка вiдображення Hk : X → X, тобто
Hkx∗ = x∗. (39)
Тодi точка Hx∗ також є нерухомою точкою вiдображення Hk. Справдi,
Hk(Hx∗) = H
(
Hkx∗
)
x∗ = Hx∗. (40)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО ОПЕРАТОРА . . . 253
Якщо виконується спiввiдношення (38) i
Hx∗ 6= x∗, (41)
то завдяки (39) i (40)
ρ(Hx∗, x∗) = ρ
(
HkHx∗,Hkx∗
)
< ρ(Hx∗, x∗),
що суперечить (41).
Отже, Hx∗ = x∗.
Нехай x∗∗ — нерухома точка вiдображення H. Припустимо, що
x∗∗ 6= x∗. (42)
Iз спiввiдношень
ρ(x∗, x∗∗) = ρ(Hx∗,Hx∗∗) < ρ(x∗, x∗∗),
що справджуються завдяки нерiвностi (38), випливає хибнiсть спiввiдношення (42).
Лему 8 доведено.
7. Перiодичнi розв’язки рiвняння Dx = h. Позначимо через Pm, де m ∈ N, банахiв
простiр усiх m-перiодичних елементiв простору l∞ iз нормою ‖·‖Pm , визначеною рiвнiстю
‖x‖Pm = ‖x‖l∞ x ∈ Pm, а через D−1h, де h ∈ l∞, повний прообраз елемента h при
вiдображеннi D.
Лема 9. Нехай f ∈ F1 ∪ F2.
Тодi для кожного вiдрiзка [α, β] iснує такий вiдрiзок [a, b], що
(D−1h) ∩ {x ∈ Pm : R(x) ⊂ [a, b]} 6= ∅
для кожного h ∈ {y ∈ Pm : R(y) ⊂ [α, β]}.
Доведення. Зафiксуємо довiльнi вiдрiзок [α, β] i елемент
h ∈ {y ∈ Pm : R(y) ⊂ [α, β]}.
Нехай f ∈ F1 i R(I + f) = R. На пiдставi леми 3 i неперервностi функцiї f на R iснує
такий вiдрiзок [a, b], що a ≤ f(x) + c ≤ b для всiх x ∈ [a, b] i c ∈ [α, β]. Тому обмежена,
замкнена й опукла множина
Ωm = {y ∈ Pm : a ≤ y(n) ≤ b для всiх n ∈ Z} (43)
є iнварiантною вiдносно оператора A, що дiє у просторi Pm i визначається рiвнiстю
(Ax)(n) = f(x(n− 1)) + h(n− 1), n ∈ Z. (44)
Цей оператор цiлком неперервний, оскiльки неперервною є функцiя f, а банахiв простiр
Pm скiнченновимiрний. Отже, виконано всi умови теореми Шаудера про нерухому точку
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
254 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
[3]. Тому оператор A має нерухому точку x∗ ∈ Ωm, яка, очевидно, є елементом множини
D−1h.
Таким чином, лему 9 доведено у випадку, коли f ∈ F1 i R(I + f) = R.
Нехай тепер f ∈ F1 i R(I + f) 6= R. На пiдставi леми 6 i неперервностi функцiї f на R
iснує такий вiдрiзок [a, b], що a ≤ f(f(x) + c1) + c2 ≤ b для всiх c1, c2 ∈ [α, β] i x ∈ [a, b].
Тому визначена рiвнiстю (43) обмежена, замкнена й опукла множина Ωm є iнварiантною
вiдносно оператора A2, що дiє у просторi Pm i завдяки (44) визначається рiвнiстю
(A2x)(n) = f(f(x(n− 2)) + h(n− 2)) + h(n− 1), n ∈ Z.
Тут x ∈ Pm. Оператор A2 цiлком неперервний, оскiльки неперервною є функцiя f, а ба-
нахiв простiр Pm скiнченновимiрний. Отже, виконано умови теореми Шаудера про неру-
хому точку. Тому оператор A2 має нерухому точку x∗ ∈ Ωm. Завдяки включенню f ∈ Fs
для A виконується спiввiдношення ‖Ax−Ay‖Pm < ‖x− y‖Pm для всiх x, y ∈ Pm, для яких
x 6= y. За лемою 8 точка x∗ ∈ Ωm є нерухомою точкою й для оператора A. Ця точка,
очевидно, є елементом множини D−1h.
Таким чином, лему 9 доведено й у випадку, коли f ∈ F1 i R(I + f) 6= R.
Тепер розглянемо випадок, коли f ∈ F2 i R(I + f) = R. Завдяки умовам леми функцiя
f є строго монотонною i тому має обернену строго монотонну неперервну функцiю f−1,
для якої R
(
f−1
)
= R. На пiдставi леми 4 iснує вiдрiзок [a, b] такий, що a ≤ f−1(x− c) ≤ b
для всiх c ∈ [α, β] i x ∈ [a, b]. Тому розглянута ранiше обмежена, замкнена й опукла
множина Ωm є iнварiантною вiдносно оператора B, що дiє у просторi Pm i визначається
рiвнiстю
(Bx)(n) = f−1 (x(n + 1)− h(n)) , n ∈ Z. (45)
Цей оператор цiлком неперервний, оскiльки неперервною є функцiя f−1, а банахiв прос-
тiр Pm скiнченновимiрний. Отже, виконано всi умови теореми Шаудера про нерухому
точку. Тому оператор B має нерухому точку x∗ ∈ Ωm, яка, очевидно, є елементом мно-
жини D−1h.
Таким чином, лему 9 доведено й у випадку, коли f ∈ F2 i R(I + f) = R.
Тепер розглянемо випадок, коли f ∈ F2 i R(I + f) 6= R. У цьому випадку функцiя f
має обернену неперервну функцiю f−1, для якої R
(
f−1
)
= R. На пiдставi леми 7 iснує
вiдрiзок [a, b] такий, що a ≤ f−1
(
f−1(x− c1)− c2
)
≤ b для всiх c1, c2 ∈ [α, β] i x ∈ [a, b].
Тому розглянута ранiше обмежена, замкнена й опукла множина Ωm iнварiантна вiдносно
оператора B2, що дiє у просторi Pm i завдяки (45) визначається рiвнiстю
(B2x)(n) = f−1
(
f−1(x(n + 2)− h(n + 1))− h(n)
)
, n ∈ Z.
Цей оператор цiлком неперервний, оскiльки неперервною є функцiя f−1, а банахiв прос-
тiр Pm скiнченновимiрний. Отже, виконано всi умови теореми Шаудера про нерухому
точку. Тому B2 має нерухому точку x∗ ∈ Ωm. Завдяки включенню f ∈ Fu для B викону-
ється спiввiдношення ‖Bx − By‖Pm < ‖x − y‖Pm для всiх x, y ∈ Pm, для яких x 6= y. За
лемою 8 точка x∗ ∈ Ωm є нерухомою точкою й для оператора B. Ця точка, очевидно, є
елементом множини D−1h.
Таким чином, лему 9 доведено й у випадку, коли f ∈ F2 i R(I + f) 6= R.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО ОПЕРАТОРА . . . 255
Лему 9 доведено.
З лем 8 i 9 випливає наступне твердження.
Наслiдок 1. Нехай f ∈ F1 ∪ F2. Тодi для кожного елемента h ∈ Pm рiвняння Dx = h
має єдиний розв’язок x ∈ Pm.
8. Умови виконання рiвностi R(D) = l∞. Спочатку наведемо одне допомiжне тверд-
ження.
Лема 10. Для кожної обмеженої послiдовностi (xk) елементiв простору l∞ iснують
такi строго зростаюча послiдовнiсть (kl) натуральних чисел i елемент x ∈ l∞, що
xkl
лок., l∞−−−−−→ x при l → ∞
i
‖x‖l∞ ≤ sup
k≥1
‖xk‖l∞ . (46)
Доведення. Нехай [t]— цiла частина числа t. Розглянемо числа nk = (−1)k[k/2], k ∈ N.
Очевидно, що {nk : k ∈ N} = Z. На пiдставi обмеженостi множини {xk ∈ l∞ : k ∈ N}
iснують збiжнi числовi послiдовностi
xk1,1(n1), xk1,2(n1), . . . , xk1,m(n1), . . . ,
xk2,1(n2), xk2,2(n2), . . . , xk2,m(n2), . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
xkm,1(nm), xkm,2(nm), . . . , xkm,m(nm), . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
для яких послiдовностi (kl,p)p≥1, l ∈ N, є строго зростаючими i для l ∈ N
{kl,p : p ∈ N} ⊃ {kl+1,p : p ∈ N}. (47)
Позначимо через am границю lim
p→∞
xkm,p(nm), а через x елемент простору l∞, для якого
x(nm) = am для всiх m ∈ N. Iз (47) випливає, що kq,q ∈ {km,p : p ∈ N} для q ≥ m i m ∈ N.
Тому послiдовнiсть xk1,1(n), xk2,2(n), . . . , xkq,q(n), . . . є збiжною для кожного n ∈ N i, отже,
xkq,q
лок., l∞−−−−−→ x при q → ∞.
Нерiвнiсть (46) випливає з того, що для всiх m ∈ N
x(nm) = lim
p→∞
xkm,p(nm) i |x(nm)| ≤ sup
p≥1
|xkm,p(nm)|.
Лему 10 доведено.
Теорема 2. Нехай f ∈ F1 ∪ F2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
256 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Тодi
R(D) = l∞ (48)
i для кожного числа H > 0 iснує число M > 0 таке, що(
D−1h
)
∩ {x ∈ l∞ : ‖x‖l∞ ≤ M} 6= ∅
для всiх h ∈ {y ∈ l∞ : ‖y‖l∞ ≤ H}.
Доведення. Зафiксуємо довiльнi число H > 0 й елемент h ∈ l∞, для яких ‖h‖l∞ ≤ H.
Кожному натуральному числу m поставимо у вiдповiднiсть елемент hm простору Pm, для
якого hm(n) = h(n), n ∈ [[(1 − m)/2], [(m − 1)/2]] ∩ Z. Зауважимо, що множина [[(1 −
−m)/2], [(m− 1)/2]] ∩ Z мiстить m елементiв, для всiх m ∈ N R(hm) ⊂ [−H,H] i
hm
лок., l∞−−−−−→ h при m → ∞. (49)
На пiдставi леми 3 iснують число M > 0 та елементи ym ∈ Pm, m ≥ 1, для яких
R(ym) ⊂ [−M,M ] (50)
для всiх m ∈ N i
ym(n + 1)− f(ym(n)) = hm(n) (51)
для всiх (m,n) ∈ N × Z. Завдякi лемi 10 та (50) iснують такi строго зростаюча послiдов-
нiсть (mk)k≥1 натуральних чисел i елемент y ∈ l∞, що
ymk
лок., l∞−−−−−→ y при k → ∞
i ‖y‖l∞ ≤ M. Звiдси, iз спiввiдношень (49), (51) i неперервностi функцiї f випливає
y(n + 1)− f(y(n)) = h(n)
для всiх n ∈ Z. З довiльностi вибору елемента h ∈ l∞ випливає твердження теореми.
Теорему 2 доведено.
9. Доведення теореми 1. Спочатку доведемо iмплiкацiю 1) ⇒ 2).
Нехай f ∈ F1∪F2. Тодi згiдно з теоремою 2 R(D) = l∞. Розглянемо довiльний елемент
h ∈ l∞. Покажемо, що рiзницеве рiвняння
x(n + 1) = f(x(n))− h(n), n ∈ Z, (52)
має єдиний у просторi l∞ розв’язок (тодi з довiльностi вибору h ∈ l∞ випливатиме, що
вiдображення D має обернене вiдображення).
Нехай u i y — обмеженi розв’язки рiвняння (52). Тодi
|u(n + 1)− y(n + 1)| = |f(u(n))− f(y(n))|, n ∈ Z. (53)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО ОПЕРАТОРА . . . 257
Припустимо, що u(n∗) 6= y(n∗) для деякого n∗ ∈ Z. Тодi на пiдставi (53)
|u(n)− y(n)| > |u(n + 1)− y(n + 1)|, n ≤ n∗ − 1, (54)
якщо f ∈ Fs, i
|u(n)− y(n)| < |u(n + 1)− y(n + 1)|, n ≥ n∗, (55)
якщо f ∈ Fu. У випадку виконання спiввiдношення (54) завдяки лемi 1, спiввiдношенню
(53) та обмеженостi множини R(u) ∪R(y) iснує число q ∈ (0, 1) таке, що
q|u(n)− y(n)| ≥ |u(n + 1)− y(n + 1)|, n ≤ n∗ − 1.
Аналогiчно у випадку виконання спiввiдношення (55) на пiдставi леми 2 iснує число Q >
> 1, для якого
Q|u(n)− y(n)| ≤ |u(n + 1)− y(n + 1)|, n ≥ n∗.
Кожне з останнiх двох спiввiдношень суперечить спiввiдношенню
|u(n)− y(n)| ≤ ‖u− y‖l∞ < +∞, n ∈ Z.
Отже, припущення, що u(n∗) 6= y(n∗) для деякого n∗ ∈ N, є хибним. Тому u = y
(рiвняння (52) має єдиний обмежений розв’язок) i вiдображення D є оборотним.
Покажемо неперервнiсть вiдображення D−1 : l∞ −→ l∞.
Припустимо, що вiдображення D−1 не є неперервним. Тодi iснують елементи h, hk ∈
∈ l∞, k ∈ N, i число µ ∈ (0,+∞) такi, що
lim
k→∞
‖h− hk‖l∞ = 0 (56)
i для x = D−1h, xk = D−1hk, k ∈ N, виконується спiввiдношення
µ ≤ ‖x− xk‖l∞ < +∞, k ∈ N. (57)
За теоремою 2 iснує вiдрiзок [a, b], для якого
R(x)
⋃(⋃
k∈N
R(xk)
)
⊂ [a, b]. (58)
Розглянемо випадок, коли f ∈ Fs. Згiдно з лемою 1 iснує таке число q ∈ (0, 1), що
|f(x)− f(y)| ≤ q|x− y| (59)
для всiх x, y ∈ [a, b], для яких |x− y| ≥ µ/4. Виберемо таке число δ ∈ (0, 1/4), щоб
1− δ > q. (60)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
258 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
З (56) випливає, що iснує число k1 ∈ N, для якого
‖h− hk1‖l∞ ≤ δµ
2
. (61)
Тодi завдяки (57) для деякого n∗ ∈ N
µ
2
< |x(n∗)− xk1(n
∗)|. (62)
Очевидно, що
|x(n + 1)− xk1(n + 1)| ≤ |f(x(n))− f(xk1(n))|+ |h(n)− hk1(n)|, n ∈ Z. (63)
Тому на пiдставi включення f ∈ Fs та нерiвностей (61) i (62)
µ
2
< |x(n∗)− xk1(n
∗)| ≤ |x(n∗ − 1)− xk1(n
∗ − 1)|+ δµ
2
.
Звiдси отримуємо
µ
4
< |x(n∗ − 1)− xk1(n
∗ − 1)|.
Далi, завдяки (59) i (63)
|x(n∗)− xk1(n
∗)| ≤ q|x(n∗ − 1)− xk1(n
∗ − 1)|+ δµ
2
.
Тодi на пiдставi (62)
(1− δ)
µ
2
≤ q|x(n∗ − 1)− xk1(n
∗ − 1)|
i з урахуванням (60)
µ
2
< |x(n∗ − 1)− xk1(n
∗ − 1)|. (64)
Отже, якщо для деякого числа n∗ ∈ Z виконується спiввiдношення (62), то викону-
ється i спiввiдношення (64). Звiдси випливає, що
µ
2
< |x(n)− xk1(n)|, n ≤ n∗.
На пiдставi останньої нерiвностi, а також спiввiдношень (59) i (63) отримуємо
|x(n)− xk1(n)| ≤ q|x(n− 1)− xk1(n− 1)|+ δµ
2
, n ≤ n∗.
Таким чином,
|x(n− 1)− xk1(n− 1)| ≥ q−1
(
|x(n)− xk1(n)| − δµ
2
)
, n ≤ n∗,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО ОПЕРАТОРА . . . 259
i тому
b− a ≥ |x(n∗ −m)− xk1(n
∗ −m)| ≥ q−m|x(n∗)− xk1(n
∗)|−
− δµ
2
(
q−1 + q−2 + . . . + q−m
)
, m ∈ N,
якщо врахувати (58), тобто
b− a ≥ |x(n∗ −m)− xk1(n
∗ −m)| ≥ µδq
2(1− q)
+
µ(1− q − δ)
2(1− q)
q−m, m ∈ N. (65)
Однак спiввiдношення (65) не може виконуватись, оскiльки
1− q − δ
1− q
> 0 (на пiдставi
(60)) i lim
m→+∞
q−m = +∞.
Отже, припущення про те, що вiдображенняD−1 не є неперервним (у випадку f ∈ Fs),
є хибним.
Теперь розглянемо випадок, коли f ∈ Fu.
На пiдставi леми 2 iснує число Q > 1 таке, що
|f(x)− f(y)| ≥ Q|x− y| (66)
для всiх x, y ∈ [a, b], для яких |x−y| ≥ µ
4
. Виберемо довiльне число δ ∈ (0, Q−1). Завдяки
(56) i (57) iснують числа k2 ∈ N i n∗ ∈ Z такi, що
‖h− hk2‖l∞ ≤ δµ
2
, (67)
i
|x(n∗)− xk2(n
∗)| >
µ
2
. (68)
Оскiльки
|x(n + 1)− xk2(n + 1)| ≥ |f(x(n))− f(xk2(n))| − |h(n)− hk2(n)|, n ∈ Z, (69)
i Q− δ > 1, то на пiдставi (66) – (68)
|x(n∗ + 1)− xk2(n
∗ + 1)| ≥ Q|x(n∗)− xk2(n
∗)| − δµ
2
>
Qµ
2
− δµ
2
=
µ
2
(Q− δ) >
µ
2
.
Таким чином, якщо для n∗ ∈ Z виконується спiввiдношення (68), то справедливим є
спiввiдношення
|x(n∗ + 1)− xk2(n
∗ + 1)| >
µ
2
.
Звiдси випливає, що
|x(n)− xk2(n)| >
µ
2
, n ≥ n∗.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
260 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
На пiдставi останньої нерiвностi та спiввiдношень (66), (67) i (69) отримуємо
|x(n + 1)− xk2(n + 1)| ≥ Q|x(n)− xk2(n)| − δµ
2
, n ≥ n∗.
Тому
b− a ≥ |x(n∗ + m)− xk2(n
∗ + m)| ≥ Qm|x(n∗)− xk2(n
∗)|−
− δµ
2
(
1 + Q + Q2 + . . . + Qm−1
)
, m ∈ N,
якщо врахувати (58), тобто для m ∈ N
b− a ≥ |x(n∗ + m)− xk2(n
∗ + m)| ≥ δµ
2(Q− 1)
+
µ(Q− 1− δ)
2(Q− 1)
Qm.
А це неможливо, оскiльки
1−Q− δ
1−Q
> 0 i lim
m→+∞
Qm = +∞.
Отже, припущення про те, що вiдображення D−1 не є неперервним, є хибним i у ви-
падку f ∈ Fu. Тому вiдображення D−1 : l∞ −→ l∞ неперервне.
Таким чином, iмплiкацiю 1) ⇒ 2) доведено.
Доведемо iмплiкацiю 2) ⇒ 4).
Нехай вiдображенняD має обернене неперервне вiдображення. На пiдставi неперерв-
ностi вiдображення D : l∞ −→ l∞ та очевидної рiвностi DTm = TmD, m ∈ Z, для кожно-
го майже перiодичного елемента x ∈ APl∞ справджується рiвнiсть Dcll∞{Tmx : m ∈
∈ Z} = cll∞{TmDx : m ∈ Z}, тобто простiр APl∞ є iнварiантним щодо вiдображен-
ня D. Тому для оператора D|APl∞ : APl∞ −→ APl∞ можна розглядати задачу про його
оборотнiсть.
Оскiльки образ компактної множини при неперервному вiдображеннi компактний [4],
то Dcll∞{Tmh : m ∈ Z} ∈ Kl∞ для кожного елемента h ∈ APl∞. Враховуючи та-
кож те, що на пiдставi рiвностi D−1Tm = TmD−1, m ∈ Z, та неперервностi оператора
D−1 D−1cll∞{Tmy : m ∈ Z} = cll∞{TmD−1y : m ∈ Z}, де y ∈ APl∞, отримуємо,
що D−1APl∞ ⊂ APl∞.
Отже, оператор D|APl∞ : APl∞ −→ APl∞ на пiдставi неперервностi оператора D−1 :
l∞ −→ l∞ має обернений неперервний оператор, тобто iмплiкацiю 2) ⇒ 4) доведено.
Очевидно, що 3) ⇒ 4).
Доведемо iмплiкацiю 4) ⇒ 1).
Нехай оператор D|APl∞ : APl∞ −→ APl∞ має обернений неперервний оператор.
Розглянемо рiвняння
y(n + 1) = f(y(n))− c, n ∈ R, (70)
i
x(n) = f(x(n))− c, n ∈ R, (71)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО ОПЕРАТОРА . . . 261
в яких c ∈ R. Кожний сталий розв’язок рiвняння (71) є розв’язком рiвняння (70). А оскiль-
ки згiдно з оборотнiстю оператора D рiвняння (70) має єдиний розв’язок y ∈ l∞, то рiв-
няння (71) також матиме єдиний сталий розв’язок. На пiдставi цього та довiльностi c ∈ R
справджується рiвнiсть R(I − f) = R, а функцiя I − f : R −→ R має обернену. З непе-
рервностi функцiї (I − f)−1 (за неперервнiстю вiдображення D−1) випливає, що функцiя
I − f є строго монотонною на R i, отже, функцiя f є неперервною на R.
Доведемо, що f ∈ Fs ∪ Fu.
Припустимо, що це включення не справджується. У цьому випадку на пiдставi непе-
рервностi функцiї f iснують такi точки x∗, y∗ ∈ R, x∗ 6= y∗, що
|f(x∗)− f(y∗)| = |x∗ − y∗|.
Iз цiєї рiвностi випливає
f(x∗)− x∗ = f(y∗)− y∗ (72)
або
f(x∗)− y∗ = f(y∗)− x∗. (73)
Рiвнiсть (72), очевидно, суперечить iснуванню для функцiї I − f : R −→ R оберненої
функцiї.
Рiвнiсть (73) суперечить оборотностi вiдображенняD|APl∞ : APl∞ −→ APl∞. Справ-
дi, завдяки (73) x∗ = f(y∗) + d i y∗ = f(x∗) + d, де d = x∗ − f(y∗) = y∗ − f(x∗). Тому
x1 = x1(n) =
{
x∗, якщо n − парне число,
y∗, якщо n − непарне число,
i
x2 = x2(n) =
{
y∗, якщо n − парне число,
x∗, якщо n − непарне число,
є розв’язками рiзницевого рiвняння
x(n + 1) = f(x(n)) + d,
що суперечить оборотностi D|APl∞ : APl∞ −→ APl∞, оскiльки x1 6= x2.
Отже, f ∈ Fs ∪ Fu i R(I − f) = R.
Покажемо, що множина R(I + f) є необмеженою.
Припустимо, що iснує таке число γ > 0, що
R(I + f) ⊂ [−γ, γ]. (74)
Розглянемо рiзницеве рiвняння
x(n + 1) = f(x(n)) + h(n), n ∈ Z. (75)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
262 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Завдяки (74) функцiю f(x) можна подати у виглядi f(x) = −x+g(x), де g(x) — неперервна
на R функцiя, для якої для всiх x ∈ R |g(x)| ≤ γ. Тому рiвняння (75) можна подати у
виглядi
x(n + 1) = −x(n) + g(x(n)) + h(n), n ∈ Z. (76)
Зафiксуємо довiльне число c < −γ. Будемо вважати, що
h(n) = (−1)nc, n ∈ Z. (77)
Використаємо вiдображення S : APl∞ −→ APl∞, що визначається рiвнiстю
(Sx)(n) = (−1)nx(n), n ∈ Z. (78)
З урахуванням (77) i (78) рiвняння (76) набирає вигляду
(−1)n+1(Sx)(n + 1) = −(−1)n(Sx)(n) + g ((−1)n(Sx)(n)) + (−1)nc, n ∈ Z.
Пiсля спрощень отримуємо
(Sx)(n + 1)− (Sx)(n) = (−1)n+1g ((−1)n(Sx)(n)) + |c|, n ∈ Z. (79)
Звiдси випливає, що (Sx)(n+1)−(Sx)(n) ≥ |c|−γ > 0 для всiх n ∈ Z. Тому lim
n→+∞
(Sx)(n) =
= +∞ i завдяки (77) рiвняння (76) не має обмеженого розв’язку.
Таким чином, вiдображення D|APl∞ : APl∞ −→APl∞ не є оборотним, а припущення
про виконання спiввiдношення (74) є хибним.
Отже, з того, що вiдображення D|APl∞ : APl∞ −→APl∞ має обернене неперервне
вiдображення, випливає включення f ∈ F1 ∪ F2, тобто iмплiкацiю 4) ⇒ 1) доведено.
Доведемо iмплiкацiю 2) ⇒ 3). Нехай вiдображення D має обернене неперервне вi-
дображення D−1. Покажемо, що вiдображення D−1 є c-неперервним.
Розглянемо довiльнi елементи h, hk ∈ l∞, k ∈ N, для яких
hk
лок., l∞−−−−−→ h при k → ∞. (80)
Нехай x = D−1h i xk = D−1hk, k ∈ N. Покажемо, що
xk
лок., l∞−−−−−→ x при k → ∞. (81)
Припустимо, що спiввiдношення (81) не виконується, тобто для деяких чисел n∗ ∈ N,
µ > 0 i kl ∈ N, l ∈ N, виконується нерiвнiсть
|xkl
(n∗)− x(n∗)| ≥ µ, l ∈ N. (82)
Не зменшуючи загальностi можна вважати, що числа kl, l ∈ N, є такими, що
xkl
лок., l∞−−−−−→ z при l → ∞ (83)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
УМОВИ ОБОРОТНОСТI НЕЛIНIЙНОГО РIЗНИЦЕВОГО ОПЕРАТОРА . . . 263
для деякого елемента z ∈ l∞. Такий елемент за лемою 10 iснує, оскiльки 1) ⇒ 2), 2) ⇒ 4)
i 4) ⇒ 1), тобто f ∈ F1 ∪ F2, i на пiдставi (80) та теореми 2 sup
l∈N
‖xkl
‖l∞ < +∞. З (80), (83) i
c-неперервностi вiдображення D випливає, що Dz = h. Ця рiвнiсть суперечить оборот-
ностi оператора D, оскiльки Dx = h i на пiдставi (82) ‖x− z‖l∞ ≥ µ.
Таким чином, припущення, що спiввiдношення (81) не виконується, є хибним. Тому
неперервне вiдображення D−1 є c-неперервним.
Отже, iмплiкацiю 2) ⇒ 3) доведено.
Оскiльки 1) ⇒ 2), 2) ⇒ 4), 4) ⇒ 1), 2) ⇒ 3) i 3) ⇒ 4), то першi чотири твердження
теореми є рiвносильними.
Iмплiкацiя 1) ⇒ 5) є наслiдком iмплiкацiї 1) ⇒ 2) та теореми 2.
Iмплiкацiї 5)⇒ 6) i 6)⇒ 7) є наслiдками вiдповiдно iмплiкацiй 2)⇒ 3) i 3)⇒ 4), а також
обмеженостi оператора D−1.
Iмплiкацiя 7) ⇒ 4) є тривiальною.
Оскiльки також 4) ⇒ 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4), то всi твердження теореми є рiвносильними.
Теорему 1 доведено.
1. Слюсарчук В. Ю. Оборотнiсть нелiнiйних рiзницевих операторiв. — Рiвне: Вид-во Нац. ун-ту вод. госп-
ва та природокористування, 2005. — 233 с.
2. Schauder J. Die Fixpunktsatz in Funktionalräume // Stud. Math. — 1930. — 2. — P. 171 – 180.
3. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.: Мир, 1977. — 232 с.
4. Антоневич А. Б., Радыно Я. В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. — Минск: Изд-во
"Университетское", 1984. — 352 с.
Одержано 11.10.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
|