Зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь
Дослiджено зв’язок мiж iнварiантними множинами систем диференцiальних та вiдповiдних рiзницевих рiвнянь у термiнах знакосталих функцiй Ляпунова. Для систем диференцiальних рiвнянь отримано обернений результат про iснування додатно означеної функцiї Ляпунова, нулi якої збiгаються з заданим iнварiант...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178108 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь / А.М. Ткачук // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 280-285. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178108 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781082021-02-18T01:29:07Z Зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь Ткачук, А.М. Дослiджено зв’язок мiж iнварiантними множинами систем диференцiальних та вiдповiдних рiзницевих рiвнянь у термiнах знакосталих функцiй Ляпунова. Для систем диференцiальних рiвнянь отримано обернений результат про iснування додатно означеної функцiї Ляпунова, нулi якої збiгаються з заданим iнварiантним многовидом. We study the relationship between invariant sets of systems of differential equations and the corresponding difference equations in terms of constant sign Lyapunov functions. For a system of differential equations, we obtain a converse result on existence of a positive definite function which has zeros that coincide with a given invariant manifold. 2006 Article Зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь / А.М. Ткачук // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 280-285. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178108 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Дослiджено зв’язок мiж iнварiантними множинами систем диференцiальних та вiдповiдних рiзницевих рiвнянь у термiнах знакосталих функцiй Ляпунова. Для систем диференцiальних рiвнянь отримано обернений результат про iснування додатно означеної функцiї Ляпунова, нулi
якої збiгаються з заданим iнварiантним многовидом. |
| format |
Article |
| author |
Ткачук, А.М. |
| spellingShingle |
Ткачук, А.М. Зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Ткачук, А.М. |
| author_sort |
Ткачук, А.М. |
| title |
Зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь |
| title_short |
Зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь |
| title_full |
Зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь |
| title_fullStr |
Зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь |
| title_sort |
зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178108 |
| citation_txt |
Зв'язок між інваріантними множинами систем диференціальних та відповідних різницевих рівнянь / А.М. Ткачук // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 280-285. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT tkačukam zvâzokmížínvaríantnimimnožinamisistemdiferencíalʹnihtavídpovídnihríznicevihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T16:28:35Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:28:35Z |
| _version_ |
1837731064046419968 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ЗВ’ЯЗОК МIЖ IНВАРIАНТНИМИ МНОЖИНАМИ
СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ
ТА ВIДПОВIДНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ
А. М. Ткачук
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 6
We study the relationship between invariant sets of systems of differential equations and the corresponding
difference equations in terms of constant sign Lyapunov functions. For a system of differential equations,
we obtain a converse result on existence of a positive definite function which has zeros that coincide with a
given invariant manifold.
Дослiджено зв’язок мiж iнварiантними множинами систем диференцiальних та вiдповiдних рiз-
ницевих рiвнянь у термiнах знакосталих функцiй Ляпунова. Для систем диференцiальних рiв-
нянь отримано обернений результат про iснування додатно означеної функцiї Ляпунова, нулi
якої збiгаються з заданим iнварiантним многовидом.
1. Постановка задачi. Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь вигляду
dx
dt
= X(x) (1)
та вiдповiдну їй систему рiзницевих рiвнянь
xh
n+1 = xh
n + hX(xh
n), (2)
де n ∈ Z, t0 ∈ R, h > 0 — крок рiзницевого рiвняння, xh
n = xh
n(t0 + nh), xh
0(t0) = x0.
Вектор-функцiю X(x) визначено при x ∈ D (D — деяка область простору Rn). Будемо
вивчати зв’язок мiж iнварiантними множинами систем (1) та (2).
Означення 1. Множину M ⊂ D назвемо iнварiантною множиною системи (2), якщо
вона має властивiсть: розв’язок xh
n(x0) системи (2), що бере початок у точцi x0 ∈ M,
залишається на M для довiльного n ∈ Z. Якщо n ∈ Z+, то множину M будемо назива-
ти додатно iнварiантною множиною системи (2).
Зв’язок мiж iнварiантними множинами систем (1) та (2) можна вивчити в термiнах
знакосталих функцiй Ляпунова. Подальшi дослiдження є продовженням роботи [1], в якiй
встановлено умови iснування iнварiантної множини для системи (2).
Нехай D1 — обмежена область, що мiститься в D з деяким своїм околом, D1 — зами-
кання D1.
Означення 2. Функцiю Vh(x), визначену в D1, будемо називати знакосталою в D1,
якщо для всiх x ∈ D1 ненульовi значення функцiї Vh(x) мають один i той самий знак.
Знакосталу в D1 функцiю Vh(x) назвемо знаковизначеною в D1, якщо множина її нулiв є
непорожньою i компактною в D1.
c© А. М. Ткачук, 2006
280 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
ЗВ’ЯЗОК МIЖ IНВАРIАНТНИМИ МНОЖИНАМИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 281
2. Основнi результати. Нехай 4V (x) = V (x + hX(x)) − V (x) та V (x) ∈ C1(D1). На-
ведена нижче теорема дає умови iснування iнварiантної множини системи (1) у термiнах
знакосталих функцiй Ляпунова системи (2).
Теорема 1. Якщо V (x) — знаковизначена в D1 функцiя, для якої 4V (x) є знакоста-
лою в D1, то множина нулiв N0 :
V (x) = 0, x ∈ D1, (3)
є (додатно) iнварiантною множиною вiдповiдної системи диференцiальних рiвнянь (1),
коли знаки V (x) та 4V (x) рiзнi.
Доведення. Припустимо, що V (x) ≥ 0, 4V (x) ≤ 0, x ∈ D1. Покажемо, що похiдна
функцiї V (x) в силу системи (1) не є додатною.
Оскiльки V (x) ∈ C1(D1), то для неї iснує похiдна за довiльним напрямком в будь-якiй
точцi x ∈ D1.
З того, що 4V (x) ≤ 0, маємо
lim
h→0
V (x + hX(x))− V (x)
h
=
n∑
i=1
∂V
∂xi
Xi(x) =
∂V
∂x
X(x) ≤ 0.
З [2, с. 68] отримуємо, що (3) є iнварiантною множиною системи (1).
Тепер, на вiдмiну вiд попереднього результату, де V (x) не залежала вiд h, будемо вва-
жати, що функцiя Ляпунова Vh(x) залежить вiд кроку h рiзницевого рiвняння.
Нехай для кожного 0 < h ≤ h0 сiм’я функцiй Vh(x) належить C1(D1) i є одностайно
неперервною по x, тобто для довiльного ε > 0 можна знайти таке δ(ε) > 0, що для
будь-якого h ≤ h0 виконується нерiвнiсть ‖Vh(x′)− Vh(x′′)‖ < ε при |x′ − x′′| < δ, x′,
x′′ ∈ D1.
Теорема 2. Нехай Vh(x) — знаковизначена в D1 функцiя, для якої 4Vh(x) є знакоста-
лою в D1, сiм’я функцiй Vh(x) рiвномiрно збiгається по x (при h → 0) до V (x) ∈ C1(D1)
та множина нулiв N0(h) :
Vh(x) = 0, x ∈ D1, (4)
рiвномiрно вiдокремлена по h вiд межi областi ∂D1, тобто
∃h0 > 0 ∃γ > 0 ∀h ≤ h0 : ρ(N0(h), ∂D1) > γ. (5)
Тодi система (1) має iнварiантну множину, якщо знаки Vh(x) та 4Vh(x) є рiзними.
Доведення. Припустимо, що Vh(x) ≥ 0, 4Vh(x) ≤ 0, x ∈ D1. Покажемо, що множина
нулiв функцiї V (x) не є порожньою в D1. Згiдно з умовою теореми для довiльного h > 0
iснує x ∈ D1 таке, що Vh(x) = 0. Оскiльки D1 є обмеженою, то з (5) випливає, що нулi
всiх функцiй Vh(x) належать деякому компакту з D1. Тому iснує збiжна послiдовнiсть {xn}
така, що
∀n ≥ 0 : xn ∈ D1 i Vhn(xn) = 0,
де lim
n→∞
hn = 0, lim
n→∞
xn = x0, x0 ∈ D1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
282 А. М. ТКАЧУК
Отже, lim
n→∞
Vhn(xn) = 0.
Доведемо рiвнiсть
lim
n→∞
Vhn(xn) = V (x0).
Iз рiвномiрної збiжностi Vh(x) випливає
∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ N ∀n ≥ N ∀x ∈ D1 : ‖Vhn(x)− V (x)‖ < ε. (6)
Тодi з (6) та одностайної неперервностi Vh(x) при x = xn маємо
‖Vhn(xn)− V (x0)‖ ≤ ‖Vhn(xn)− Vhn(x0)‖+ ‖Vhn(x0)− V (x0)‖ < 2ε
при n ≥ N i таких, що |xn − x0| < δ.
Таким чином, знайдеться x ∈ D1 таке, що V (x) = 0. Тепер покажемо, що похiдна
функцiї V (x) в силу системи (1) не є додатною.
Iз 4Vh(x) = Vh(x + hX(x))− Vh(x) ≤ 0, x ∈ D1, отримуємо
lim
t→0+
V (x + tX(x))− V (x)
t
= lim
t→0+
1
t
[
lim
h→0
(Vh(x + tX(x))− Vh(x))
]
≤ 0,
де lim
t→0+
V (x + tX(x))− V (x)
t
— похiдна функцiї V (x) за напрямком X(x).
Отже,
∂V
∂x
X(x) ≤ 0, x ∈ D1.
З [2, с. 68] випливає, що множина
V (x) = 0, x ∈ D1,
є (додатно) iнварiантною множиною системи (1).
Теорему доведено.
Наслiдок. Якщо в теоремi 2 одностайну неперервнiсть Vh(x) по x та рiвномiрну
збiжнiсть Vh(x) по x замiнити умовами:
1) сiм’я функцiй Vh(x) є рiвномiрно обмеженою, тобто
∃C1 > 0 ∀h ≤ h0 ∀x ∈ D1 : ‖Vh(x)‖ ≤ C1; (7)
2) iснують C2 > 0, C3 > 0 такi, що
∀h ≤ h0 ∀x ∈ D1 :
∥∥∥∥∂Vh(x)
∂x
∥∥∥∥ ≤ C2,
∥∥∥∥∂2Vh(x)
∂x2
∥∥∥∥ ≤ C3, (8)
то теорема залишиться справедливою.
Доведення. Iз (7), (8) випливає одностайна неперервнiсть функцiй Vh(x) та їх похiдних
∂V
∂x
. З викладеного вище маємо, що з сiм’ї функцiй Vh(x) можна видiлити пiдпослiдов-
нiсть, яка буде збiгатися до функцiї V (x) iз класу C1(D1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
ЗВ’ЯЗОК МIЖ IНВАРIАНТНИМИ МНОЖИНАМИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 283
При доведеннi теорем 1 та 2 основну роль вiдiгравали результати А. М. Самойлен-
ка [2, с. 68] про iснування iнварiантних множин системи (1) у термiнах нулiв невiд’ємно
означених функцiй Ляпунова.
У роботах [3, 4] данi результати узагальнено на системи неавтономних диференцiаль-
них рiвнянь та рiвнянь з випадковими збуреннями. Доведено, що нулi деякої невiд’ємно
означеної функцiї Ляпунова V (t, x), t ≥ 0, x ∈ D ⊂ Rn, є iнварiантною множиною при
умовi, що їх проекцiя на Rn компактна в D, а похiдна V (t, x) в силу системи недодатно
означена.
Вияснимо питання про те, наскiльки наявнiсть функцiї Ляпунова з даними властивос-
тями є необхiдною для iснування та стiйкостi iнварiантних множин, тобто в подальшому
фактично отримаємо обернення теорем А. М. Самойленка аналогiчно оберненим тео-
ремам Ляпунова в теорiї стiйкостi (див., наприклад, [5, с. 254]). В роботi [6] дослiджено
аналогiчне питання, але суттєвою вiдмiннiстю її вiд даної є умова рiвномiрної асимптоти-
чної стiйкостi iнварiантної множини.
Отже, розглянемо систему диференцiальних рiвнянь
dx
dt
= X(t, x) (9)
в областi t ≥ 0, x ∈ D ⊂ Rn, де функцiя X(t, x) неперервна за сукупнiстю змiнних i
лiпшiцева по x.
Нехай M ⊂ Rn+1, а Mt0 — перерiз M гiперплощиною t = t0, t0 ≥ 0.
Означення 3. Множину M назвемо додатно iнварiантною множиною системи (9),
якщо розв’язок x(t) системи (9) такий, що x(t0) ∈ Mt0 , має властивiсть: x(t) ∈ Mt для
довiльного t ≥ 0.
Означення 4. Додатно iнварiантну множину M системи (9) назвемо стiйкою при
t ≥ t0, якщо для довiльного ε > 0 iснує δ = δ(ε, t0) > 0 таке, що якщо ρ(x(t0),Mt0) < δ,
то ρ(x(t),Mt) < ε для t ≥ t0.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 3. Нехай система (9) має при t ≥ 0 гладкий додатно iнварiантний стiй-
кий многовид M такий, що PrRnM є компактною в D (PrRnM — проекцiя множини M
на Rn).
Тодi в областi t ≥ 0, x ∈ D iснує диференцiйовна за будь-яким напрямком функцiя
Ляпунова V (t, x) з властивостями:
1) V (t, x) є додатно означеною рiвномiрно по t ≥ 0, тобто
inf
t≥0; x:ρ(x,Mt)>ε
V (t, x) = Vε > 0 (10)
при довiльному ε > 0;
2) похiдна функцiї V (t, x) в силу системи (9) недодатно означена:
∂V
∂t
+
(
∂V
∂x
,X(t, x)
)
≤ 0, t ≥ 0, x ∈ D;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
284 А. М. ТКАЧУК
3) множина нулiв функцiї V (t, x) збiгається з M, тобто
M = {(t, x) : V (t, x) = 0, t ≥ 0, x ∈ D} .
Доведення. Нехай x(s; t, x) — розв’язок системи (9), що визначається початковою
умовою x(t; t, x) = x.
Розглянемо функцiю
V (t, x) = (1 + e−t)ρ2 (x(τ ; t, x),Mτ ) , t ≥ 0, x ∈ D, (11)
де τ — момент першого виходу розв’язку x(s, t, x), 0 ≤ s ≤ t, на межу областi D. Якщо
таке τ на [0, t] не iснує, то функцiю V (t, x) визначимо таким чином:
V (t, x) = (1 + e−t)ρ2 (x(0; t, x),M0) , t ≥ 0, x ∈ D, (12)
де ρ (x(0; t, x),M0) = min
y∈M0
‖x(0; t, x)− y‖ — вiдстань вiд розв’язку системи (9) до M0.
Iз стiйкостi многовиду при t ≥ 0 випливає, що для будь-якого ε > 0 iснує δ = δ(ε) >
> 0 таке, що якщо ρ (x0,M0) < δ, то
ρ (x(t; 0, x0),Mt) < ε, t ≥ 0. (13)
Доведемо нерiвнiсть (10). Справдi, якщо це не так, то
∃ ε > 0 ∀δ1 > 0 (δ1 < δ2) : inf
t≥0; x:ρ(x,Mt)>ε
V (t, x) < δ1.
Звiдси випливає, що iснують t ≥ 0, x ∈ D такi, що
ρ (x,Mt) > ε (14)
i
V (t, x) = (1 + e−t)ρ2
(
x(τ ; t, x),Mτ
)
< δ1.
З компактностi проекцiї, мализни δ1 i останньої нерiвностi випливає, що x(τ, t, x) ∈ D
для довiльного τ ∈ [0, t]. Тодi iз (12) отримуємо
V (t, x) = (1 + e−t)ρ2
(
x(0; t, x),M0
)
< δ1.
А тому iз стiйкостi множини M вибором достатньо малого δ1 при t = t одержуємо нерiв-
нiсть
V (t, x) = (1 + e−t)ρ2
(
x(t; t, x),Mt
)
= (1 + e−t)ρ2 (x,Mt) < ε,
що суперечить (14).
Для доведення властивостi 2 розглянемо функцiю ρ(x) = min
y∈Mt
‖x− y‖2 для довiльного
фiксованого t ≥ 0. Покажемо її диференцiйовнiсть за довiльним напрямком при x ∈ D.
Якщо x0 не належить Mt, то диференцiйовнiсть випливає з [7, с. 245].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
Нехай x0 належить ∈ Mt, тобто ρ(x0) = 0. Виберемо довiльну послiдовнiсть {αk} таку,
що αk → 0+, i розглянемо границю
lim
αk→0+
ρ(x0 + αkg)− ρ(x0)
αk
= lim
αk→0+
ρ(x0 + αkg)
αk
, (15)
що є похiдною за напрямком g для довiльного g ∈ Rn. З гладкостi множини M випливає
iснування для Mt дотичного пiдпростору в кожнiй точцi, тодi xαk
= x0+αkh+o(αk) ∈ Mt,
де h — фiксований елемент з дотичного пiдпростору до Mt у точцi x0.
З (15) маємо
0 ≤ ρ(x0 + αkg)
αk
=
1
αk
min
y∈Mt
‖x0 + αkg − y‖2 ≤
≤ 1
αk
‖x0 + αkg − x0 − αkh− o(αk)‖2 =
= αk‖g − h− o(αk)
αk
‖2 → 0, αk → 0 + .
З останнього спiввiдношення випливає диференцiйовнiсть функцiї ρ(x) на многовидi Mt.
Для похiдної в силу системи (9) функцiї V (t, x), заданої спiввiдношенням (11), отри-
муємо
dV
dt
=
{
d
ds
[1 + e−s]ρ2(x(τ ; s, xs),Mτ )
}
s=t
,
де xs = x(s; t, x). Але x(τ ; s, xs) = x(τ ; t, x) при s ≥ 0.
Таким чином, iз (16) одержуємо
dV
dt
= ρ2(x(τ ; t, x),Mτ )
[
d
ds
(1 + e−s)
]
s=t
= −e−tρ2(x(τ ; t, x),Mτ ) < 0.
У випадку, коли V (t, x) визначається формулою (12), доведення проводиться анало-
гiчно.
Властивiсть 3 випливає очевидним чином iз означення функцiї V (t, x) та iнварiант-
ностi многовиду.
1. Ткачук А. М. Iнварiантнi множини рiзницевих систем та їх стiйкiсть // Нелiнiйнi коливання. — 2005. —
8, № 2. — С. 258 – 264.
2. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные то-
ры. — М.: Наука, 1987. — 304 с.
3. Станжицький О. М. Дослiдження iнварiантних множин систем з випадковими збуреннями за допомо-
гою функцiй Ляпунова // Укр. мат. журн. — 1998. — 50, № 2. — С. 309 – 312.
4. Игнатьев А. О. Об асимптотической устойчивости интегральных множеств // Укр. мат. журн. — 1996.
— 48, № 8. — С. 1064 – 1073.
5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
6. Игнатьев А. О. О существовании функции Ляпунова в задачах устойчивости интегральных множеств
// Укр. мат. журн. — 1993. — 45, № 7. — С. 932 – 941.
7. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. — М.: Наука, 1981. — 384 с.
Одержано 27.12.2005
|