Нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими на R розв'язками
Приведены утверждения об ограниченных решениях нелинейных дифференциальных уравнений.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178151 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими на R розв'язками / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 96-111. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178151 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781512021-02-19T01:27:13Z Нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими на R розв'язками Слюсарчук, В.Ю. Приведены утверждения об ограниченных решениях нелинейных дифференциальных уравнений. We obtain assertions about bounded solutions of nonlinear differential equations. 2008 Article Нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими на R розв'язками / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 96-111. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178151 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Приведены утверждения об ограниченных решениях нелинейных дифференциальных уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. |
| spellingShingle |
Слюсарчук, В.Ю. Нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими на R розв'язками Нелінійні коливання |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими на R розв'язками |
| title_short |
Нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими на R розв'язками |
| title_full |
Нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими на R розв'язками |
| title_fullStr |
Нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими на R розв'язками |
| title_full_unstemmed |
Нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими на R розв'язками |
| title_sort |
нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими на r розв'язками |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178151 |
| citation_txt |
Нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими на R розв'язками / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 96-111. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû nelíníjnídiferencíalʹnírívnânnâzobmeženiminarrozvâzkami |
| first_indexed |
2025-07-15T16:31:04Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:31:04Z |
| _version_ |
1837731220496056320 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ
З ОБМЕЖЕНИМИ НА R РОЗВ’ЯЗКАМИ
В. Ю. Слюсарчук
Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування
Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11
e-mail: V.Ye.Slyusarchuk@USUWM.rv.ua
We obtain assertions about bounded solutions of nonlinear differential equations.
Приведены утверждения об ограниченных решениях нелинейных дифференциальных уравнений.
1. Основний об’єкт дослiдження. Нехай R — множина всiх дiйсних чисел i E — дiйсний
повний скiнченновимiрний евклiдовий простiр зi скалярним добутком (x, y). Норма в E
вводиться за допомогою рiвностi ‖x‖E =
√
(x, x).
Позначимо через C0(R, E) банахiв простiр неперервних i обмежених на R функцiй
x = x(t) зi значеннями в E з нормою ‖x‖C0(R,E) = supt∈R ‖x(t)‖E , а через C1(R, E) банахiв
простiр функцiй x ∈ C0(R, E), похiдна кожної з яких є елементом простору ∈ C0(R, E), з
нормою ‖x‖C1(R,E) = max
{
‖x‖C0(R,E),
∥∥∥∥dx
dt
∥∥∥∥
C0(R,E)
}
.
Розглянемо диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
+ f(x(t)) = h(t), t ∈ R, (1)
де f : E −→ E — неперервний обмежений оператор i h ∈ C0(R, E), та диференцiальний
оператор L : C1(R, E) −→ C0(R, E), що визначається рiвнiстю
(Lx)(t) =
dx(t)
dt
+ f(x(t)), t ∈ R, (2)
де x ∈ C1(R, E).
Наведемо умови iснування обмежених розв’язкiв диференцiального рiвняння (1) та
оборотностi оператора L.
2. Умови A i B. Будемо використовувати наступнi умови.
Умова A. Iснує самоспряжений додатний оператор W : E −→ E, для якого
lim
‖x‖E→+∞
(Wf(x), x)
‖x‖E
= +∞ (3)
або
lim
‖x‖E→+∞
(Wf(x), x)
‖x‖E
= −∞. (4)
c© В. Ю. Слюсарчук, 2008
96 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ОБМЕЖЕНИМИ НА R РОЗВ’ЯЗКАМИ 97
Умова B. Для оператора W , що задовольняє умову A, справджується нерiвнiсть
(Wf(x1)−Wf(x2), x1 − x2) 6= 0,
якщо x1 6= x2.
Оскiльки оператор W , що використовується в умовах A i B, самоспряжений i до-
датний, то на пiдставi скiнченної розмiрностi простору E цей оператор є рiвномiрно до-
датним i його спектр σ(W ) є скiнченною множиною додатних чисел. Нехай
λmin(W ) = min{λ : λ ∈ σ(W )}
i
λmax(W ) = max{λ : λ ∈ σ(W )}.
Як вiдомо [1, 2],
λmin(W )‖x‖2E ≤ (Wx, x) ≤ λmax(W )‖x‖2E , x ∈ E, (5)
i для норми ‖W‖ оператора W справджується рiвнiсть
‖W‖ = λmax(W ). (6)
3. Оцiнка норми перiодичного розв’язку. Вважатимемо, що виконується умова A.
Для кожного числа a ≥ 0 розглянемо множину
Ωa(f) = {x ∈ E : |(Wf(x), x)| ≤ a‖x‖E},
що завдяки умовi A є обмеженою, i величину
ωa(f) = sup
x∈Ωa(f)
‖x‖E .
Очевидно, що для кожного a ≥ 0
ωa(f) < +∞.
Позначимо через W лiнiйний неперервний оператор, що дiє в просторi C0(R, E) i ви-
значається рiвнiстю
(Wx)(t) = Wx(t), t ∈ R,
де x ∈ C0(R, E).
Лема 1. Нехай виконується умова A i рiвняння (1), де h ∈ C0(R, E), має перiодичний
розв’язок y ∈ C1(R, E).
Тодi
‖y‖C0(R,E) ≤
(
λmax(W )
λmin(W )
)1/2
ω‖Wh‖C0(R,E)
(f). (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
98 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Доведення. Оскiльки
dy(t)
dt
+ f(y(t)) ≡ h(t)
i завдяки самоспряженостi та обмеженостi оператора W(
W
dy(t)
dt
, y(t)
)
≡ 1
2
d(Wy(t), y(t))
dt
,
то (
W
dy(t)
dt
, y(t)
)
+ (Wf(y(t)), y(t)) ≡ (Wh(t), y(t))
i, отже,
1
2
d(Wy(t), y(t))
dt
+ (Wf(y(t)), y(t)) ≡ (Wh(t), y(t)).
Внаслiдок перiодичностi функцiї (Wy(t), y(t)) iснує точка t∗ ∈ R, в якiй ця функцiя дося-
гає найбiльше значення. Тодi на пiдставi диференцiйовностi цiєї функцiї
d(Wy(t), y(t))
dt
∣∣∣∣
t=t∗
= 0.
Тому
(Wf(y(t∗)), y(t∗)) = (Wh(t∗), y(t∗)).
Звiдси з урахуванням нерiвностi Кошi – Буняковського [3] отримуємо
|(Wf(y(t∗)), y(t∗))| ≤ ‖Wh(t∗)‖E‖y(t∗)‖E ≤ ‖Wh‖C0(R,E)‖y(t∗)‖E .
Тому
‖y(t∗)‖E ≤ ω‖Wh‖C0(R,E)
(f). (8)
Оскiльки на пiдставi (5), (6) i (8)
λmin(W )‖y‖2C0(R,E) ≤ sup
t∈R
(Wy(t), y(t)) = (Wy(t∗), y(t∗)) ≤
≤ ‖W‖‖y(t∗)‖2E = λmax(W )‖y(t∗)‖2E ≤ λmax(W )
(
ω‖Wh‖C0(R,E)
(f)
)2
,
то
‖y‖2C0(R,E) ≤
λmax(W )
λmin(W )
(
ω‖Wh‖C0(R,E)
(f)
)2
.
Звiдси випливає нерiвнiсть (7).
Лему 1 доведено.
4. Умови iснування перiодичних розв’язкiв. Позначимо через PT (R, E) банахiв прос-
тiр T -перiодичних елементiв простору C0(R, E) з нормою ‖ · ‖C0(R,E).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ОБМЕЖЕНИМИ НА R РОЗВ’ЯЗКАМИ 99
Теорема 1. Нехай:
1) виконується умова A;
2) h ∈ PT (R, E).
Тодi диференцiальне рiвняння (1) має розв’язок y ∈ C1(R, E) ∩ PT (R, E), для якого
‖y‖C0(R,E) ≤
(
λmax(W )
λmin(W )
)1/2
ω‖Wh‖C0(R,E)
(f).
Доведення. Спочатку розглянемо випадок, коли виконується спiввiдношення (3).
Виберемо довiльнi числа числа M1 i M2, для яких
M2 > M1 >
(
λmax(W )
λmin(W )
)1/2
ω‖Wh‖C0(R,E)
(f) (9)
i
inf
‖x‖E≥M1
(Wf(x), x) > sup
‖x‖E≤
�
λmax(W )
λmin(W )
�1/2
ω‖Wh‖
C0(R,E)
(f)
(Wf(x), x). (10)
Використаємо неперервний оператор g : E −→ E, що визначається рiвнiстю
g(x) =
f(x), якщо ‖x‖E ≤ M1,
F (x), якщо M1 < ‖x‖E ≤ M2,
kx, якщо ‖x‖E > M2,
(11)
де
F (x) =
M2 − ‖x‖E
M2 −M1
f
(
M1
‖x‖E
x
)
+
‖x‖E −M1
M2 −M1
(
M2k
‖x‖E
x
)
i
k = max
{
sup
M1≤‖x‖E≤M2
‖f(x)‖E
‖x‖E
, 1
}
,
а також диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
+ g(x(t)) = h(t), t ∈ R. (12)
Легко перевiрити, що рiвняння (12) рiвносильне iнтегральному рiвнянню
x(t) =
t∫
−∞
e−k(t−s)(kx(s)− g(x(s)) + h(s))ds. (13)
Розглянемо оператор
(By)(t) =
t∫
−∞
e−k(t−s)(ky(s)− g(y(s)) + h(s))ds,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
100 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
що дiє iз C0(R, E) в C1(R, E), i опуклу обмежену замкнену множину
BR = {x ∈ PT (R, E) : ‖x‖C0(R,E) ≤ R},
де
R = sup
x∈E
‖kx− g(x)‖E + ‖h‖C0(R,E).
Множина BR обмежена, оскiльки
kx− g(x) = 0,
якщо
‖x‖E ≥ M2,
i завдяки неперервностi kx− g(x) на E i скiнченнiй розмiрностi простору E
sup
x∈E
‖kx− g(x)‖E < +∞.
Оператор B має такi властивостi:
1) є неперервним;
2) BBR ⊂ BR ∩ C1(R, E);
3) множина BBR передкомпактна у просторi PT (R, E) (завдяки скiнченнiй розмiр-
ностi простору E та лемi Арцела – Асколi [3]).
Завдяки теоремi Шаудера про нерухому точку [4] оператор B має нерухому точку
y∗ ∈ BR. Ця точка є розв’язком рiвнянь (13) i (12). За лемою 1
‖y∗‖C0(R,E) ≤
(
λmax(W )
λmin(W )
)1/2
ω‖Wh‖C0(R,E)
(g).
Оскiльки на пiдставi (9) – (11)
ω‖Wh‖C0(R,E)
(g) = ω‖Wh‖C0(R,E)
(f)
i тому
g(y∗(t)) ≡ f(y∗(t)),
то розв’язок y∗ рiвняння (12) також є розв’язком рiвняння (1).
Отже, у випадку, коли виконується спiввiдношення (3), теорему доведено.
Випадок, коли виконується спiввiдношення (4), замiною t на −t зводиться до розгля-
нутого випадку.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай:
1) виконується умова A;
2) (Wf(x1)−Wf(x2), x1 − x2) 6= 0, якщо x1 6= x2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ОБМЕЖЕНИМИ НА R РОЗВ’ЯЗКАМИ 101
Тодi для кожного h ∈ PT (R, E) диференцiальне рiвняння (1) має єдиний розв’язок
y ∈ C1(R, E) ∩ PT (R, E).
Доведення. Припустимо, що функцiї yi, y2 ∈ PT (R, E) є розв’язками рiвняння (1) i
y1 6= y2. (14)
Тодi
dy1(t)
dt
+ f(y1(t)) ≡
dy2(t)
dt
+ f(y2(t))
i, отже,
dW (y2(t)− y1(t))
dt
≡ Wf(y1(t))−Wf(y2(t)).
Звiдси внаслiдок самоспряженостi оператора W випливає
1
2
d(W (y2(t)− y1(t)), y2(t)− y1(t))
dt
≡ −(Wf(y2(t))−Wf(y1(t)), y2(t)− y1(t)). (15)
Оскiльки функцiя (W (y2(t)− y1(t)), y2(t)− y1(t)) є диференцiйовною i T -перiодичною, то
iснує точка t∗ ∈ R, в якiй ця функцiя досягає найбiльшого значення, причому
(W (y2(t∗)− y1(t∗)), y2(t∗)− y1(t∗)) > 0 (16)
завдяки нерiвностi (14) та додатностi оператора W i
d(W (y2(t)− y1(t)), y2(t)− y1(t))
dt
∣∣∣∣
t=t∗
= 0.
Тодi на пiдставi (15)
(Wf(y2(t∗))−Wf(y1(t∗)), y2(t∗)− y1(t∗)) = 0.
Це спiввiдношення разом iз (16) суперечить умовi 2 теореми.
Отже, припущення, що рiвняння (1) має бiльше, нiж один T -перiодичний розв’язок, є
хибним.
Теорему 2 доведено.
5. Локально збiжнi послiдовностi. Будемо говорити, що послiдовнiсть функцiй xk ∈
∈ C0(R, E), k ∈ N, локально збiгається до функцiї x ∈ C0(R, E) при k → +∞, i позначати
xk
лок., C0(R,E)−−−−−−−−−→ x при k → +∞,
якщо ця послiдовнiсть є обмеженою i
lim
k→+∞
max
|t|≤p
‖xk(t)− x(t)‖E = 0
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
102 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
для кожного p ∈ N.
Аналогiчно послiдовнiсть функцiй xk ∈ C1(R, E), k ∈ N, локально збiгається до функ-
цiї x ∈ C1(R, E) при k → +∞:
xk
лок., C1(R,E)−−−−−−−−−→ x при k → +∞,
якщо
sup
k≥1
‖xk‖C1(R,E) < +∞
i для кожного p ∈ N
lim
k→+∞
max
|t|≤p
(
‖xk(t)− x(t)‖E +
∥∥∥∥dxk(t)
dt
− dx(t)
dt
∥∥∥∥
E
)
= 0.
Далi розглянемо у просторах C0(R, E) i C1(R, E) замкненi кулi
Si
r = {x : ‖x‖Ci(R,E) ≤ r}, i = 0, 1.
Важливим для подальшого є наступне твердження.
Лема 2. Для кожної послiдовностi функцiй xn ∈ S0
r ∩ S1
R, n ∈ N, де r i R — довiльнi
додатнi числа, iснують такi строго зростаюча послiдовнiсть натуральних чисел nk,
k ∈ N, i функцiя x ∈ S0
r , що
xnk
лок., C0(R,E)−−−−−−−−−→ x при k → +∞.
Доведення. З умов леми випливає, що функцiї xn = xn(t), n ∈ N, рiвномiрно обмеженi
й одностайно неперервнi на R. Тому на пiдставi теореми Арцела – Асколi [3] та скiнченної
розмiрностi простору E iснують такi пiдпослiдовностi
xn1,1 , xn1,2 , . . . , xn1,p , . . . ,
xn2,1 , xn2,2 , . . . , xn2,p , . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . .
xnm,1 , xnm,2 , . . . , xnm,p , . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . .
послiдовностi xn, n ∈ N, що:
1) послiдовностi чисел nl,p, p ∈ N, є строго зростаючими для кожного l ∈ N i
{n1,p : p ∈ N} ⊃ {n2,p : p ∈ N} ⊃ . . . ⊃ {nm,p : p ∈ N} ⊃ . . . ;
2) для кожного m ∈ N послiдовнiсть xnm,p(t), p ∈ N, є рiвномiрно збiжною на [−m,m].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ОБМЕЖЕНИМИ НА R РОЗВ’ЯЗКАМИ 103
Тодi дiагональна послiдовнiсть xn1,1 , xn2,2 , . . . , xnp,p , . . . буде рiвномiрно збiжною на кож-
ному вiдрiзку [a, b] ⊂ R i тому функцiя
x(t) = lim
p→∞
xnp,p(t), t ∈ R,
буде неперервною i, очевидно, x ∈ S0
r . Звiдси випливає, що
xnp,p
лок., C0(R,E)−−−−−−−−−→ x при p → +∞.
Лему 2 доведено.
Зазначимо, що у випадку E = R лему 2 наведено в [5].
6. c-Неперервнi оператори. Оператор F : Ci(R, E) −→ Cj(R, E), де i, j ∈ {0, 1}, нази-
ватимемо c-неперервним, якщо для довiльних функцiї x ∈ X i послiдовностi xk ∈ X, k ∈
∈ N, для яких
xk
лок., X−−−−−→ x при k → ∞,
випливає, що
Fxk
лок., Y−−−−−→ Fx при k → ∞.
Поняття c-неперервного оператора введено до розгляду Е. Мухамадiєвим [6]. За Му-
хамадiєвим лiнiйний неперервний оператор A : C0(R, E) −→ C0(R, E) називають c-непе-
рервним, якщо для довiльних числа ε > 0 i вiдрiзка [a, b] iснують такi число δ > 0 i вiдрiзок
[c, d], що справджується нерiвнiсть
‖(Ax)(t)‖E < ε для всiх t ∈ [a, b]
для кожного елемента x ∈ C0(R, E), для якого
‖x(t)‖E < δ для всiх t ∈ [c, d]
i
‖x‖C0(R,E) = 1.
Означення c-неперервного оператора, в якому використано локально збiжнi послiдов-
ностi, належить автору.
Прикладом c-неперервного оператора, що дiє iз C1(R, E) в C0(R, E), є, очевидно, опе-
ратор L, що визначається рiвнiстю (2). Цей оператор, очевидно, також є неперервним.
Зазначимо, що не кожний нелiнiйний неперервний оператор є c-неперервним i не
кожний c-неперервний оператор є неперервним [7].
7. Умови iснування обмежених розв’язкiв. Твердження, аналогiчне теоремi 1, також
справджується у випадку h ∈ C0(R, E).
Теорема 3. Нехай:
1) виконується умова A;
2) h ∈ C0(R, E).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
104 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Тодi рiвняння (1) має хоча б один розв’язок y ∈ C1(R, E), для якого
‖y‖C0(R,E) ≤
(
λmax(W )
λmin(W )
)1/2
ω‖Wh‖C0(R,E)
(f) (17)
i ∥∥∥∥dy
dt
∥∥∥∥
C0(R,E)
≤ sup
‖x‖E≤
�
λmax(W )
λmin(W )
�1/2
ω‖Wh‖
C0(R,E)
(f)
‖f(x)‖E + ‖h‖C0(R,E). (18)
Доведення. Нехай (Tn)n≥1 — довiльна строго зростаюча послiдовнiсть додатних чи-
сел, для якої
lim
n→+∞
Tn = +∞.
Використаємо такi елементи hn ∈ PTn(R, E), n ∈ N, щоб
‖hn‖C0(R,E) ≤ ‖h‖C0(R,E) (19)
i
hn
лок., C0(R,E)−−−−−−−−−→ h при n → +∞. (20)
Елементи з такими властивостями iснують завдяки умовi 2. На пiдставi (19), умови 1 тео-
реми 3 та теореми 1 iснують такi функцiї yn ∈ PTn(R, E), n ∈ N, що
dyn(t)
dt
+ f(yn(t)) = hn(t), t ∈ R, n ∈ N, (21)
i
‖yn‖C0(R,E) ≤
(
λmax(W )
λmin(W )
)1/2
ω‖Wh‖C0(R,E)
(f), n ∈ N. (22)
Завдяки неперервностi оператора f , скiнченнiй розмiрностi простору E та спiввiдношен-
ням (19), (21) i (22)
sup
t∈R, n∈N
∣∣∣∣dyn(t)
dt
∣∣∣∣ < +∞.
Тому за лемою 2 (з урахуванням спiввiдношення (22)) для деякої строго зростаючої по-
слiдовностi (nk)k≥1 натуральних чисел та елемента y ∈ C0(R, E)
ynk
лок., C0(R,E)−−−−−−−−−→ y при k → +∞. (23)
Використаємо спiввiдношення
yn(t)− yn(0) +
t∫
0
f(yn(s))ds =
t∫
0
hn(s)ds, t ∈ R, n ∈ N,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ОБМЕЖЕНИМИ НА R РОЗВ’ЯЗКАМИ 105
що випливають iз (21). Звiдси на пiдставi (20), (23) та неперервностi оператора f отриму-
ємо
y(t)− y(0) +
t∫
0
f(y(s))ds =
t∫
0
h(s)ds, t ∈ R. (24)
Функцiї
t∫
0
f(y(s))ds i
t∫
0
h(s)ds є диференцiйовними, оскiльки пiдiнтегральнi функцiї не-
перервнi. Тому аналогiчну властивiсть має функцiя y(t) i на пiдставi (24)
dy(t)
dt
+ f(y(t)) = h(t), t ∈ R. (25)
Звiдси, з обмеженостi та неперервностi функцiй f(y(t)) i h(t) випливає, що
sup
t∈R
∣∣∣∣dy(t)
dt
∣∣∣∣ < +∞.
Отже, y ∈ C1(R, E).
Нерiвнiсть (17) випливає iз (22), (23). Нерiвнiсть (18) випливає iз (17), (25).
Теорему 3 доведено.
8. Умови єдиностi обмежених розв’язкiв. Спочатку наведемо допомiжнi твердження.
Лема 3. Нехай:
1) оператор g : E −→ E є неперервним;
2) (Wg(x1)−Wg(x2), x1 − x2) > 0, якщо x1 6= x2 (тут W — оператор, що й в умовi
A).
Тодi для довiльних чисел r > 0 i R > 0, r < R, iснує таке число ε > 0, що
inf
r≤(W (x1−x2),x1−x2)
‖x1‖E≤R, ‖x2‖E≤R
(Wg(x1)−Wg(x2), x1 − x2) ≥ ε.
Доведення. Припустимо, що лема є хибною. Тодi iснують послiдовностi (un)n≥1 i
(vn)n≥1, для яких
‖un‖E ≤ R, n ≥ 1,
‖vn‖E ≤ R, n ≥ 1,
(W (un − vn), un − vn) ≥ r, n ≥ 1,
i
lim
n→+∞
(Wg(un)−Wg(vn), un − vn) = 0. (26)
Завдяки скiнченнiй розмiрностi простору E та обмеженостi послiдовностей (un)n≥1 i
(vn)n≥1 iснують строго зростаюча послiдовнiсть (nk)k≥1 натуральних чисел та вектори
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
106 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
u, v ∈ E, для яких
‖u‖E ≤ R,
(27)
‖v‖E ≤ R,
lim
k→+∞
unk
= u,
(28)
lim
k→+∞
vnk
= v
i
(W (u− v), u− v) ≥ r.
Тому на пiдставi умови 1 та спiввiдношень (26) – (28)
(Wg(u)−Wg(v), u− v) = 0,
що суперечить умовi 2 леми.
Отже, лема не є хибною.
Лему 3 доведено.
Аналогiчним чином встановлюється наступна лема.
Лема 4. Нехай:
1) оператор g : E −→ E є неперервним;
2) (Wg(x1)−Wg(x2), x1 − x2) < 0, якщо x1 6= x2 (тут W — оператор, що й в умовi
A).
Тодi для довiльних чисел r > 0 i R > 0, r < R, iснує таке число ε > 0, що
sup
r≤(W (x1−x2),x1−x2)
‖x1‖E≤R, ‖x2‖E≤R
(Wg(x1)−Wg(x2), x1 − x2) ≤ −ε.
Теорема 4. Нехай виконуються умови A i B.
Тодi для кожного h ∈ C0(R, E) рiвняння (1) має єдиний розв’язок y ∈ C1(R, E).
Доведення. Зазначимо, що завдяки теоремi 3 та умовi A множина обмежених розв’яз-
кiв рiвняння (1) є непорожньою.
Припустимо, що функцiї yi, y2 ∈ C1(R, E) є розв’язками рiвняння (1) i
y1 6= y2. (29)
Тодi
dy1(t)
dt
+ f(y1(t)) ≡
dy2(t)
dt
+ f(y2(t))
i, отже,
dW (y2(t)− y1(t))
dt
≡ Wf(y1(t))−Wf(y2(t)).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ОБМЕЖЕНИМИ НА R РОЗВ’ЯЗКАМИ 107
Звiдси на пiдставi самоспряженостi та обмеженостi оператора W випливає
d(W (y2(t)− y1(t)), y2(t)− y1(t))
dt
≡ −2(Wf(y2(t))−Wf(y1(t)), y2(t)− y1(t)). (30)
Виберемо довiльну точку t∗ ∈ R, для якої
(W (y2(t∗)− y1(t∗)), y2(t∗)− y1(t∗)) > 0. (31)
Така точка iснує на пiдставi нерiвностi (29) та додатностi оператора W . Жодна з таких
точок не може бути для функцiї (W (y2(t) − y1(t)), y2(t) − y1(t)) точкою екстремуму, бо
тодi
d(W (y2(t)− y1(t)), y2(t)− y1(t))
dt
∣∣∣∣
t=t∗
= 0,
i тому на пiдставi (30)
(Wf(y2(t∗))−Wf(y1(t∗)), y2(t∗)− y1(t∗)) = 0,
що суперечить умовi B.
Отже, якщо справджується спiввiдношення (31), то
d(W (y2(t)− y1(t)), y2(t)− y1(t))
dt
∣∣∣∣
t=t∗
6= 0.
Тому функцiя (W (y2(t)− y1(t)), y2(t)− y1(t)) є строго зростаючою на [t∗,+∞) або строго
спадною на (−∞, t∗]. Тодi
(W (y2(t)− y1(t)), y2(t)− y1(t)) > (W (y2(t∗)− y1(t∗)), y2(t∗)− y1(t∗)) > 0 (32)
для всiх t > t∗ або
(W (y2(t)− y1(t)), y2(t)− y1(t)) > (W (y2(t∗)− y1(t∗)), y2(t∗)− y1(t∗)) > 0 (33)
для всiх t < t∗.
Використаємо числа
R = max{‖y1‖C0(R,E), ‖y2‖C0(R,E)}
i
r = (W (y2(t∗)− y1(t∗)), y2(t∗)− y1(t∗)).
У випадку виконання спiввiдношення (32) iснує таке число ε > 0 (на пiдставi леми 3), що
справджується нерiвнiсть
−2(Wf(y2(t))−Wf(y1(t)), y2(t)− y1(t)) ≥ ε
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
108 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
для всiх t ≥ t∗. Тодi завдяки (30) для всiх t ≥ t∗
(W (y2(t)− y1(t)), y2(t)− y1(t)) ≥ (W (y2(t∗)− y1(t∗)), y2(t∗)− y1(t∗)) + ε(t− t∗).
Це спiввiдношення суперечить тому, що
max{‖y1‖C0(R,E), ‖y2‖C0(R,E)} < +∞.
До аналогiчної суперечностi приходимо у випадку виконання спiввiдношення (33) (тут
потрiбно використовувати лему 4).
Теорему 4 доведено.
9. Умови оборотностi оператора L.
Теорема 5. Нехай виконуються умови A i B.
Тодi оператор L : C1(R, E) −→ C0(R, E) має обернений обмежений неперервний i
c-неперервний оператор.
Доведення. Оператор L має обернений оператор L−1 на пiдставi теореми 4.
Обернений оператор L−1 є обмеженим завдяки нерiвностям (17), (18).
Покажемо c-неперервнiсть цього оператора. Припустимо, що ця властивiсть для L−1
не виконується. Тодi iснують елементи hn ∈ C0(R, E), yn ∈ C1(R, E), n ∈ N, h ∈ C0(R, E),
y ∈ C1(R, E), вiдрiзок [a, b] i число ε > 0, для яких
dy(t)
dt
+ f(y(t)) = h(t), t ∈ R, (34)
dyn(t)
dt
+ f(yn(t)) = hn(t), t ∈ R, n ∈ N, (35)
hn
лок., C0(R,E)−−−−−−−−−→ h при n → +∞ (36)
i
max
t∈[a,b]
(∣∣∣∣dyn(t)
dt
− dy(t)
dt
∣∣∣∣ + |yn(t)− y(t)|
)
≥ ε, n ∈ N. (37)
Послiдовнiсть (hn)n≥1 є обмеженою (на пiдставi (36)). Тому завдяки обмеженостi опе-
ратора L−1 послiдовнiсть (xn)n≥1 також є обмеженою (у просторi C1(R, E)). За лемою
2 iснують функцiя y∗ ∈ C0(R, E) i строго зростаюча послiдовнiсть (nk)n≥1 натуральних
чисел, для яких
ynk
лок., C0(R,E)−−−−−−−−−→ y∗ при k → +∞. (38)
Оскiльки на пiдставi (35)
ynk
(t)− ynk
(0) +
t∫
0
f(ynk
(s))ds =
t∫
0
hnk
(s)ds, t ∈ R, n ∈ N,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ОБМЕЖЕНИМИ НА R РОЗВ’ЯЗКАМИ 109
то завдяки (36), (38), неперервностi оператора f та скiнченнiй розмiрностi простору E
y∗(t)− y∗(0) +
t∫
0
f(y∗(s))ds =
t∫
0
h(s)ds, t ∈ R.
Звiдси отримуємо спiввiдношення
dy∗(t)
dt
+ f(y∗(t)) = h(t), t ∈ R,
i включення y∗ ∈ C1(R, E), що суперечать оборотностi оператора L−1, оскiльки завдяки
спiввiдношенням (34) – (37) та неперервностi вiдображення f : E −→ E
inf
n∈N
max
t∈[a,b]
|yn(t)− y(t)| > 0
i тому
y∗ 6= y.
Отже, оператор L−1 є c-неперервним.
Покажемо неперервнiсть оператора L−1. Припустимо, що ця властивiсть для опера-
тора L−1 не виконується. Iснують елементи h ∈ C0(R, E), y ∈ C1(R, E), hn ∈ C0(R, E),
yn ∈ C1(R, E), n ∈ N, i число γ > 0, для яких справджуються спiввiдношення (34), (35),
lim
n→+∞
‖hn − h‖C0(R,E) = 0 (39)
i
‖yn − y‖C1(R,E) ≥ γ, n ∈ N. (40)
Послiдовнiсть (hn)n≥1 є обмеженою (на пiдставi (39)). Тому завдяки обмеженостi опера-
тора L−1 для деякого числа R > 0
sup
n≥1
‖yn‖C0(R,E) ≤ R. (41)
Будемо вважати, що також
‖y‖C0(R,E) ≤ R. (42)
Завдяки спiввiдношенням (34), (35), (39) i (40) та неперервностi вiдображення f iснують
такi число r > 0 i числова послiдовнiсть (tn)n≥1, що
‖yn(tn)− y(tn)‖E ≥ r, n ∈ N.
Припустимо, що виконується спiввiдношення (3). За лемою 3 iснує число ε > 0, для
якого
inf
r≤(W (x1−x2),x1−x2)
‖x1‖E≤R, ‖x2‖E≤R
(Wf(x1)−Wf(x2), x1 − x2) ≥ ε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
110 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Виберемо натуральне число n∗ так, щоб
sup
t∈R
|(Whn∗(t)−Wh(t), yn∗(t)− y(t))| ≤ ε
2
. (43)
Таке число iснує на пiдставi (39), (41) i (42).
Оскiльки завдяки (34) i (35)
d(W (yn∗(t)− y(t)), yn∗(t)− y(t))
dt
+ 2(Wf(yn∗(t))−Wf(y(t)), yn∗(t)− y(t)) ≡
≡ 2(Whn∗(t)−Wh(t), yn∗(t)− y(t)),
то на пiдставi (41) – (43)
d(W (yn∗(t)− y(t)), yn∗(t)− y(t))
dt
∣∣∣∣
t=tn∗
≤ −ε.
Iз цiєї нерiвностi та неперервностi функцiй yn∗(t), y(t), hn∗(t), h(t) на (−∞, tn∗ ] i вiдобра-
ження f на E випливає, що функцiя (W (yn∗(t) − y(t)), yn∗(t) − y(t)) є строго спадною на
деякому промiжку [T, tn∗ ]. Не iснує числа T < tn∗ такого, щоб
d(W (yn∗(t)− y(t)), yn∗(t)− y(t))
dt
∣∣∣∣
t=T
= 0
i
d(W (yn∗(t)− y(t)), yn∗(t)− y(t))
dt
< 0
для всiх t ∈ (T, tn∗ ], оскiльки тодi
ε ≤ (Wf(yn∗(T ))−Wf(y(T )), yn∗(T )− y(T )) =
= (Whn∗(T )−Wh(T ), yn∗(T )− y(T )) ≤ ε
2
,
що неможливо. З наведених мiркувань випливає, що (W (yn∗(t) − y(t)), yn∗(t) − y(t)) —
строго спадна на промiжку (−∞, tn∗ ] функцiя. Тодi
d(W (yn∗(t)− y(t)), yn∗(t)− y(t))
dt
≤ −ε
для всiх t ≤ tn∗ . Звiдси випливає, що
(W (yn∗(t)− y(t)), yn∗(t)− y(t)) ≥ (W (yn∗(tn∗)− y(tn∗)), yn∗(tn∗)− y(tn∗)) + ε|t− tn∗ |
для всiх t ≤ tn∗ . Це спiввiдношення суперечить тому, що
max{‖yn∗‖C0(R,E), ‖y‖C0(R,E)} ≤ R.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НЕЛIНIЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ З ОБМЕЖЕНИМИ НА R РОЗВ’ЯЗКАМИ 111
Отже, припущення, що оператор L−1 не є неперервним (у випадку виконання спiввiд-
ношення (3)), є хибним.
Аналогiчним чином встановлюється неперервнiсть оператора L−1 у випадку вико-
нання спiввiдношення (4).
Теорему 5 доведено.
Зауважимо, що результати цiєї статтi не випливають iз вiдповiдних результатiв про
обмеженi розв’язки диференцiальних рiвнянь iз монотонними нелiнiйностями [8]. Вi-
дображення f , що задовольняє умову A, може не належати нi класу монотонних вiдобра-
жень, нi класу дисипативних вiдображень.
1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
2. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1982. — 272 с.
3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1968. — 496 с.
4. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.: Мир, 1977. — 232 с.
5. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограничен-
ных решений нелинейных дифференциальных уравнений // Нелiнiйнi коливання. — 1999. — 2, № 4. —
C. 523 – 539.
6. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси
функций // Мат. заметки. — 1972. — 11, № 3. — С. 269 – 274.
7. Слюсарчук В. Ю. Неявнi недиференцiйовнi функцiї в теорiї операторiв. — Рiвне: Вид-во Нац. ун-ту
вод. госп-ва та природокористування, 2007. — 221 с.
8. Трубников Ю. В., Перов А. И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. —
Минск: Наука и техника, 1986. — 200 с.
Одержано 17.04.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
|