Критический случай для сингулярно возмущенных нетеровых краевых задач
Побудовано асимптотичний розклад розв’язку у критичному випадку для лiнiйних сингулярно збурених систем звичайних диференцiальних рiвнянь нетерового типу. Послiдовно визначено всi члени асимптотичного розкладу методом примежових функцiй i псевдообернених матриць....
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178157 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Критический случай для сингулярно возмущенных нетеровых краевых задач / Л.И. Каранджулов // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 45-54. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178157 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781572021-02-19T01:26:43Z Критический случай для сингулярно возмущенных нетеровых краевых задач Каранджулов, Л.И. Побудовано асимптотичний розклад розв’язку у критичному випадку для лiнiйних сингулярно збурених систем звичайних диференцiальних рiвнянь нетерового типу. Послiдовно визначено всi члени асимптотичного розкладу методом примежових функцiй i псевдообернених матриць. We construct an analytic expansion of the solution in the critical case for systems of singularly perturbed linear ordinary differential equations of Noether type. Inductively, we determine all terms in the asymptotic expansion by using the method of bounding functions and pseudoinverse matrices. 2008 Article Критический случай для сингулярно возмущенных нетеровых краевых задач / Л.И. Каранджулов // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 45-54. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178157 517.928 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Побудовано асимптотичний розклад розв’язку у критичному випадку для лiнiйних сингулярно
збурених систем звичайних диференцiальних рiвнянь нетерового типу. Послiдовно визначено
всi члени асимптотичного розкладу методом примежових функцiй i псевдообернених матриць. |
| format |
Article |
| author |
Каранджулов, Л.И. |
| spellingShingle |
Каранджулов, Л.И. Критический случай для сингулярно возмущенных нетеровых краевых задач Нелінійні коливання |
| author_facet |
Каранджулов, Л.И. |
| author_sort |
Каранджулов, Л.И. |
| title |
Критический случай для сингулярно возмущенных нетеровых краевых задач |
| title_short |
Критический случай для сингулярно возмущенных нетеровых краевых задач |
| title_full |
Критический случай для сингулярно возмущенных нетеровых краевых задач |
| title_fullStr |
Критический случай для сингулярно возмущенных нетеровых краевых задач |
| title_full_unstemmed |
Критический случай для сингулярно возмущенных нетеровых краевых задач |
| title_sort |
критический случай для сингулярно возмущенных нетеровых краевых задач |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178157 |
| citation_txt |
Критический случай для сингулярно возмущенных нетеровых краевых задач / Л.И. Каранджулов // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 45-54. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT karandžulovli kritičeskijslučajdlâsingulârnovozmuŝennyhneterovyhkraevyhzadač |
| first_indexed |
2025-07-15T16:31:27Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:31:27Z |
| _version_ |
1837731244219039744 |
| fulltext |
УДК 517 . 928
КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ
НЕТЕРОВЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Л. И. Каранджулов
Техн. ун-т, София, Болгария
We construct an analytic expansion of the solution in the critical case for systems of singularly perturbed
linear ordinary differential equations of Noether type. Inductively, we determine all terms in the asymptotic
expansion by using the method of bounding functions and pseudoinverse matrices.
Побудовано асимптотичний розклад розв’язку у критичному випадку для лiнiйних сингулярно
збурених систем звичайних диференцiальних рiвнянь нетерового типу. Послiдовно визначено
всi члени асимптотичного розкладу методом примежових функцiй i псевдообернених матриць.
1. Постановка задачи и предварительные результаты. В работе рассматривается поведе-
ние решений при ε → 0 линейных краевых задач
ε
dx
dt
= Ax+ εA1(t)x+ ϕ(t), t ∈ [a, b], 0 < ε << 1, (1)
l(x) = h, h ∈ Rm, (2)
где коэффициенты системы (1), (2) подчинены следующим условиям:
У1) A — постоянная (n× n)-матрица, собственные числа таковы, что λi = 0, i = 1, k,
k < n, Reλi < 0, i = k + 1, n, причем нулевому собственному числу соответствует k
линейно независимых собственных векторов матрицы A;
У2)A1(t) — (n×n)-матрица,A1(t) ∈ C∞[a, b], ϕ(t) — n-мерная вектор-функция, такая,
что ϕ(t) ∈ C∞[a, b];
У3) l — m-мерный ограниченный векторный функционал l = col (l1, . . . , lm), l ∈ (x :
C[a, b] → Rn,Rm);
У4) вырожденная (ε = 0) для (1) система Ax0 + ϕ(t) = 0 разрeшима относительно x0.
Условие У1) показывает, что рассматривается критический случай [1].
Пусть матрицаA+ является единственной (n×n)-псевдообратной по Муру – Пенроузу
к матрице A [2, 3]. Через PA и PA∗ обозначаем ортопроекторы PA : Rn → ker (A),
PA∗ : Rn → ker(A∗), A∗ = AT . В силу условия У1) следует, что rankA = n − k и
rankPA = rankPA∗ = n− (n−k) = k. Через PAk
будем обозначать (n×k)-матрицу, кото-
рая составлена из k линейно независимых столбцов матрицы PA, а через PA∗
k
— (k × n)-
матрицу, составленную из k линейно независимых строк матрицы PA∗ .
Задачу (1), (2) будем рассматривать в классе непрерывно дифференцируемых функ-
ций. Тогда область определения D(Lε) оператора
(Lεx)(t) = ε
dx
dt
−Ax(t)− εA1(t)x(t)
c© Л. И. Каранджулов, 2008
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1 45
46 Л. И. КАРАНДЖУЛОВ
состоит из непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций, удовлетворяющих гранич-
ным условиям (2). Вырожденная система Ax0(t) + ϕ(t) = 0 разрешима относительно x0
тогда и только тогда, когда PA∗ϕ(t) = 0 для каждого t ∈ [a, b], и имеет решение
x0(t) = PAk
α0(t)−A+ϕ(t), (3)
где α0(t) — произвольная k-мерная вектор-функция.
Можно считать, что условие l(x0) = h не всегда выполнено.
Пусть система (1) имеет решение при произвольной ϕ ∈ C∞[a, b]. Тогда размерность
ядра оператора Lε равна размерности n системы (1), и краевая задача (1), (2) имеет ин-
декс n − m : ind [Lε, l] = n − m. Задача с нулевым индексом m = n называется фред-
гольмовой, а задача с ненулевым индексом m 6= n — нетеровой. Таким образом, если
размерность n дифференциальной системы (1) не совпадает с размерностью m вектор-
ного функционала l, то задача (1), (2) является нетеровой [4].
Будем исследовать нетеровую краевую задачу. В работе получено условие разреши-
мости и построено асимптотическое представление решения задачи (1), (2) методом по-
граничных функций [1, 5]. Показано, что при определенных условиях краевая задача (1),
(2) имеет решение с одним пограничным слоем в окрестности точки t = a. Решение
x(t, ε) при ε → 0 будет стремиться к решению вырожденной системы (3) при t ∈ (a, b].
Пусть X(τ), τ =
t− a
ε
, — нормальная фундаментальная матрица системы
dx
dt
= Ax.
Обозначим через Xn−k(τ) (n× (n− k))-матрицу, которая получается из X(τ) и содержит
только экспоненциально малые элементы (см. [6]). Пусть D(ε) = lXn−k — (m× (n− k))-
матрица. Вид функционала l определяет структуру матрицы D(ε). В работе [6] рассмот-
рен случай, когда матрицу D(ε) можно представить в виде
D(ε) = D0 +O
(
exp
(
−α
ε
))
,
где D0 = lim
ε→0
D(ε) — постоянная матрица, а O
(
exp
(
−α
ε
))
, α > 0, — матрица соответ-
ствующих размерностей, компоненты которой бесконечно малы по отношению к произ-
вольной степени ε.
Если функционал содержит интегральные члены, то можно рассмотреть второй слу-
чай, когда
D(ε) = D0(ε) + εD1(ε) + . . .+ εsDs(ε) +O
(
exp
(
−α
ε
))
, (4)
где Di(ε) — (m × (n − k))-матрицы, α > 0. Элементы матрицы Di(ε) непрерывны для
каждого ε ∈ (0, ε0], и для них существует предел в точке ε = 0 : lim
ε→0
Di(ε) = Di. До-
определим матрицы Di(ε) при ε = 0 следующим образом: Di(0) = Di. Тогда (4) примет
вид
D(ε) = D0 + εD1 + . . .+ εsDs +O
(
εq exp
(
−α
ε
))
, (5)
где Di — постоянные (m× (n− k))-матрицы.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕТЕРОВЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 47
В этой работе мы рассматриваем случай (4). Тогда асимптотика решения (1), (2) строит-
ся иным способом и при других условиях, чем в [6].
Рассмотрим систему
Cż(t) = B(t)z(t) + p(t), t ∈ [a, b], (6)
где
C = PA∗
k
PAk
, B(t) = PA∗
k
A1(t)PAk
, (7)
a p(t) — k-мерная вектор-функция такая, что p(t) ∈ C∞[a, b].
Принимая во внимание условие У1) и вид ортопроекторов, легко показать невырож-
денность (k×k)-матрицы C из (7). Дифференциальная система (6) имеет общее решение
z(t) = Φ(t)η +
t∫
a
Φ(t)Φ−1(s)C−1p(s) ds, (8)
где Φ(t) — нормальная фундаментальная (k×k)-матрица решений системы ż = C−1B(t)z,
η — произвольный постоянный k-мерный вектор.
2. Асимптотическое разложение. Решение задачи (1), (2) будем искать в виде [1, 5]
x(t, ε) =
∞∑
i=0
εi(xi(t) + Πi(τ)), τ =
t− a
ε
, (9)
где xi(t) и Πi(τ)) — неизвестные n-мерные вектор-функции; через Πi(τ) обозначены по-
граничные функции в окрестности точки t = a. Они будут построены так, что при доста-
точно малом ε на сегменте [a, b] выполняются неравенства
‖Πi(τ))‖ ≤ γi exp(−αiτ), γi > 0, αi > 0, i = 0, 1, 2, . . . , τ ≥ 0. (10)
Для определения коэффициентов xi(t) получаем систему
Axi(t) = fi(t), t ∈ [a, b], i = 0, 1, . . . , (11)
fi(t) =
{
−ϕ(t) при i = 0,
(L1xi−1)(t) при i = 1, 2, . . . ,
где L1 — дифференциальный оператор (L1x)(t) =
dx(t)
dt
−A1x(t).Пограничные функции
Πi(τ) определяются из краевых задач
d
dτ
Πi(τ) = AΠi(τ) + ψi(τ), τ ∈ [τa, τb], τa = 0, τb =
b− a
ε
, (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
48 Л. И. КАРАНДЖУЛОВ
lxi(·) + lΠi
(
(·)− a
ε
)
=
{
h при i = 0,
0 при i = 1, 2, . . . ,
(13)
где
ψi(τ) =
0 при i = 0,
0∑
q=i−1
1
q!
τ qA
(q)
1 (a) Πi−1−q(τ) при i = 1, 2, . . . .
Решение системы (11) при i = 0 имеет вид (3). Неизвестная k-мерная вектор-функция
α0(t) будет определяться из условия разрешимости системы (11) при i = 1.
Решение системы (12) при i = 0 имеет вид Π0(τ) = X(τ)c, c ∈ Rn. Для того что-
бы выполнялось требование lim
τ→∞
Π0(τ) = 0, необходимо в общем решении k компонент
вектора c считать равными нулю. Поэтому решение Π0(τ) примет вид
Π0(τ) = Xn−k(τ)c0, c0 ∈ Rn−k. (14)
Подставляя (3) и (14) в краевое условие (13) при i = 0, получаем, что постоянный
вектор c0 и вектор-функция α0(t) удовлетворяют уравнению
l1α(·) +D(ε)c0 = h0, (15)
где l1α(·) ≡ l(PAα(·)), h0 = h+ l(A+ϕ(·)) — m-мерный вектор-столбец.
Рассмотрим систему (11) при i = 1. Тогда x1(t) определяется из уравнения Ax1(t) =
= (L1x0)(t), условие разрешимости которого приводит, с учетом (15), к следующей крае-
вой задаче для определения вектор-функции α0(t) :
C
d
dt
α0(t) = B(t)α0(t) + g0(t), t ∈ [a, b],
(16)
l1α0(·) +D(ε)c0 = h0,
где C, B(t) — матрицы из (7), а g0(t) = −PA∗(L1A
+ϕ)(t).
Согласно (7) и (8) при l(t) ≡ g0(t) имеем
α0(t) = Φ(t, a)η0 +
t∫
a
Φ(t)Φ−1(s)C−1g0(s) ds, η0 ∈ Rk. (17)
Подставляя (17) в краевое условие из (16), получаем алгебраическую систему относи-
тельно η0 и c0
D(ε)c0 = h̄0 −Qη0, (18)
где Q = l1Φ(·) — (m× k)-матрица, h̄0 = h0 − l
(
(·)∫
a
Φ(·)Φ−1(s)C−1g0(s)ds
)
, h̄0 ∈ Rm.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕТЕРОВЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 49
Вектор c0 ищем в виде
c0 = c0(ε) =
s∑
j=0
c0jε
j , c0j ∈ Rn−k. (19)
Коэффициенты c0k определим из (18).
Для этого введем ((2s + 1)m × (s + 1)(n − k))-блочную матрицу (напомним, что Di −
(mx(n− k))-матрицы)
D0
D1 D0 0
D2 D1 D0
...
...
...
. . .
Ds Ds−1 Ds−2 . . . D0
Ds Ds−1 . . . D1
Ds . . . D2
0 . . .
...
Ds
,
а также (2s+ 1)m-мерный вектор
bi =
bi0 −Qηi, bi1, . . . , bis︸ ︷︷ ︸
sm
0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸
sm
T
при i = 0, 1, 2, . . . ,
где bij — постоянныеm-мерные векторы, которые определяются в дальнейшем, ηi ∈ Rk,
i = 0, s.
Очевидно, блочная ((2s + 1)m × (s + 1)(n − k))-матрица M состоит из (2s + 1)(s + 1)
блоков, нулевые и Di — из n− k строк и m столбцов. Следовательно, матрица M+ тоже
состоит из (s + 1)(2s + 1) блоков из n − k строк и m столбцов. Через [M+]1m обозначим
первый блок из m столбцов. Отдельные блоки матрицы M+ обозначим через (M+)i,j ,
i = 1, s+ 1, j = 1, 2s+ 1, т. е. M+ =
[
(M+)i,j
]
, i = 1, s+ 1, j = 1, 2s+ 1. Конечно,
некоторые из них будут с нулевыми элементами.
Пусть PM∗ : R(2s+1)m → ker (M∗) — ортопроектор, который является ((2s + 1)m ×
×(2s + 1)m)-матрицей, а PM∗
d
— (d × (2s + 1)m)-матрица, которая состоит из d линейно
независимых столбцов матрицы PM∗ . Тогда матрица PM∗
d
состоит из (2s + 1)d блоков,
каждый из которых состоит из одной строки и m столбцов. Эти блоки обозначим через(
PM∗
d
)
i,j
, i = 1, d, j = 1, 2s+ 1. Первый столбец из d блоков матрицы PM∗
d
обозначим
через
[
PM∗
d
]m
d
, а остальные блоки матрицы PM∗
d
— через
[
PM∗
d
]2sm
d
. И наконец, через
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
50 Л. И. КАРАНДЖУЛОВ
[M+]j+1 обозначим ((n− k)× sm)-матрицу
[
M+
]
j+1
=
[(
M+
)
j+1,2
,
(
M+
)
j+1,3
, . . . ,
(
M+
)
j+1,s+1
]
,
которая состоит из s блоков j-й строки матрицы M+.
Лемма. Пусть выполнены условия:
1) rankM = (s+ 1)(n− k) < (2s+ 1)m, d = (2s+ 1)m− (s+ 1)(n− k);
2) rankR = d = k(detR 6= 0), R =
[
PM∗
d
]m
d
Q — (d× k)-матрица.
Тогда из алгебраической системы
Mci = bi, (20)
где ci = (ci0, . . . , cis)T , cij ∈ Rn−k, единственным образом определяются ηi, ci0, . . . , cis,
i = 0, s, :
ηi = R−1
[
PM∗
d
]m
d
bi0 −R−1
[
PM∗
d
]sm
d
(bi1, bi2, . . . , bis)T , (21)
cij =
(
M+
)
j+1,1
(
Em −QR−1
[
PM∗
d
]m
d
)
bi0 +
{[
M +
]
j+1
+
[
M+
]
j+1
}
(bi1, . . . , bis)
T ,
(22)
j = 0, s.
Здесь
[
M +
]
j+1
= − (M+)j+1,1QR
−1
[
PM∗
d
]sm
d
— ((n− k)× sm)-матрица.
Доказательство. Из первого условия следует, что система (20) имеет решение
ci = M+ bi, i = 0, s, (23)
тогда и только тогда, когда выполнено условие PM∗bi = 0 ⇒ PM∗
d
bi = 0. Из
PM∗
d
(bi0 −Qηi, bi1, . . . , bis, 0, . . . , 0)T = 0
получаем
Rηi =
[
PM∗
d
]m
d
bi0 +
[
PM∗
d
]sm
d
(bi1, bi2, . . . , bis)
T . (24)
Из равенства (24), согласно условию 2 леммы, находим (21). Подставим (21) в (23). Тогда
ci = M+
(
bi0 −QR−1
[
PM∗
d
]m
d
bi0 −QR−1
[
PM∗
d
]sm
d
(bi1, . . . , bis)T , bi1, . . . , bi,s, 0, . . . , 0)T
)
,
откуда находим (22).
Лемма доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕТЕРОВЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 51
Замечание 1. Очевидно, векторы ci0, . . . , cis можно определить последовательно из
системы (20) другим способом. Тогда необходимо изменить условия леммы.
Замечание 2. Если M < min((s + 1)(n − k), (2s + 1)m), то cij , j = 0, s, определяются
при других условиях. Этот случай представляет и самостоятельный интерес.
Введем обозначения
x0(t) = P(Ak)Φ(t)R−1
[
PM∗
d
]m
d
h̄0 + x̄0,
(25)
Π0(τ) = Xn−k(τ)
s∑
j=0
(
M+
)
j+1,1
(
Em −QR−1
[
PM∗
d
]m
d
h̄0
)
εj ,
где
x̄0(t) = PAk
t∫
a
Φ(t)Φ−1(s)C−1g0(s)ds−A+ϕ(t), (26)
и
xi(t) = P(Ak)Φ(t)R−1
[
PM∗
d
]m
d
bi0 + xi(t),
Πi(τ) = Xn−k
s∑
j=0
{(
M+
)
j+1,1
(
Em −QR−1
[
PM∗
d
]m
d
)
bi0+
+
([
M +
]
j+1
+
[
M+
]
j+1
)
(bi1, . . . , bis)T
}
εj + Πi(τ), (27)
где
xi(t) = PAk
Φ(t)
t∫
a
Φ(t)Φ−1(s)C−1gi(s)ds+A+(L1xi−1)(t),
(28)
Πi(τ) =
τ∫
∞
X(τ)X−1(s)ψs(s)ds, i = 1, 2, . . . .
Отметим, что система
dx
dτ
= Ax + f(τ), где функция f(τ) удовлетворяет неравенству
‖f(τ)‖ < c1 exp(−α1τ), c1 > 0, α1 > 0, имеет частное решение вида x(τ) = −
∞∫
τ
X(τ) ×
×X−1(s)f(s)ds такое, что ‖x(τ)‖ ≤ c exp(−βτ), τ ≥ 0, c > 0, β > 0.
Теорема. Пусть выполнены условия У1) – У4) и условия леммы. Тогда краевая зада-
ча (1), (2) имеет единственное решение, представимое формальным асимптотическим
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
52 Л. И. КАРАНДЖУЛОВ
рядом вида (9). Коэффициенты разложения xi(t), Πi(τ) имеют вид (25) – (28). Погра-
ничные функции Πi(τ) удовлетворяют неравенству (10). Это решение при ε → 0 стре-
мится к решению (25) вырожденной системы при t ∈ (a, b].
Доказательство. Отбросим экспоненциально малые элементы в матрице D(ε) из (5),
а затем подставим (5) и (19) в (18). Для определения коэффициентов c0j и η0 находим
систему вида (20) при i = 0. Поскольку b00 = h̄0, h̄0 = h0− l1
(
(·)∫
a
Φ(·)Φ−1(s)C−1g0(s)ds
)
,
b01 = b02 = . . . = b0s = 0, из (21) и (22) при i = 0 имеем
η0 = R−1
[
PM∗
d
]m
d
h̄0, c0j =
(
M+
)
j+1,1
(
Em −QR−1
[
PM∗
d
]m
d
)
h̄0, j = 0, s. (29)
Используя (3), (17) и η0 из (29), получаем окончательное выражение для x0(t) в виде
(25). Для пограничной функции Π0(τ) из (14), (19), (29) находим (26).
Очевидно,
‖Π0(τ)‖ ≤ ‖Xn−k(τ)‖
s∑
j=0
∥∥∥(M+
)
j+1,1
(
Em −QR−1
[
PM∗
d
]m
d
)
h̄0
∥∥∥ εj ≤
≤ δ exp(−ατ) (δ00 + δ01ε+ . . .+ δ0sε
s) ≤ δ exp(−ατ)(δ00 + δ01 + . . .+ δ0s) ≤ δ0 exp(−ατ),
где δ0 > 0, α > 0, т. е. неравенство (10) выполнено.
Найдем коэффициенты x1(t) и Π1(t). Решение уравнения (11) при i = 1 имеет вид
x1(t) = PAk
α1(t) +A+(L1x0)(t). (30)
Вектор-функцию Π1(τ) находим из дифференциальной системы (12) при i = 1, кото-
рая имеет общее решение вида
Π1(τ) = Xn−k(τ)c1 +
τ∫
∞
X(τ)X−1(s)A1(a)Π0(s) ds, c1 ∈ Rn−k. (31)
Из краевого условия (13) при i = 1 имеем
l1α(·) +D(ε)c1 = h1(ε), (32)
где h1(ε) = −l(A+(L1x0))(·)− l
( ·∫
∞
X(·)X−1(s)A1(a)Π0(s)ds
)
.
Условие разрешимости PA∗(L1x1)(t) = 0 системы (11) при i = 2 приводит к системе
вида (6), где z(t) = α1(t), p(t) = g1(t), g1(t) = −PA∗
k
(L1A
+L1x0)(t).
Решение дифференциальной системы имеет вид (8)
α1(t) = Φ(t)η1 +
t∫
a
Φ(t)Φ−1(s)C−1g1(s)ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕТЕРОВЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 53
Подставляя его в краевое условие (32), получаем аналогичную (18) алгебраическую си-
стему
Qη1 +D(ε)c1 = h̄1(ε), (33)
где h̄1(ε) = h1(ε)− l1
(
(·)∫
a
Φ(·)Φ−1(s)C−1g1(s)ds
)
.
Пусть
h̄1(ε) = b10 + εb11 + . . .+ εsb1s +O(εq exp(−α/ε)), α > 0, q ∈ N.
Будем искать c1 в виде c1 = c1(ε) =
s∑
k=0
c1kε
k. Отбросим экспоненциально малыe
элементы в D(ε) и h̄1(ε). Согласно доказанной лемме, система (33) имеет решение (21),
(22) при i = 1. Используя α1(t) и (30), получаем (27) при i = 1.
Индуктивный подход показывает, что коэффициенты xi(t) и Πi(τ) разложения (9)
имеют вид (27), (28). При этом учтено, что
hi(ε) = hi(ε)− l1
(·)∫
a
Φ(·)Φ−1(s)C−1gi(s)ds
+
s∑
k=0
bikε
k +O(εq exp(−α
ε
)),
hi(ε) = −l(A+(L1xi−1))(·)− l
(·)∫
∞
X(·)X−1(s)ψi(s)ds
,
gi(t) = PA∗
k
(L1A
+L1xi−1)(t),
ψi(t) =
0∑
q=i−1
1
q!
sqA
(a)
1 Πi−1−q(s).
Покажем, что все Πi(τ) экспоненциально убывают. Действительно,
‖Π(τ)‖ ≤ ‖Xn−k(τ)‖
s∑
j=0
‖
(
M+
)
j+1,1
(
Em −QR−1
[
PM∗
d
]m
d
)
bi0+
+
([
M
+
]
j+1
+
[
M+
]
j+1
)
(bi1, . . . , bis)T ‖εj +
τ∫
∞
‖X(τ)X−1(s)‖‖Ψi(s)‖ds ≤
≤ δ exp(−ατ)(δi0 + δi1ε+ . . .+ δisε
s) + ci exp(−βiτ) ≤
≤ δ exp(−ατ)(δi0 + δi1 + . . .+ δis) + ci exp(−βiτ) ≤ γi exp(−αiτ),
где γi = max
i
(
δ
s∑
j=0
δij , ci
)
, αi = max(α, βi).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
54 Л. И. КАРАНДЖУЛОВ
Очевидно, что lim
ε→0
x(t, ε) = x0(t), t ∈ (a, b].
Теорема доказана.
Замечание 3. Доказательство того, что для формального ряда (9) выполнена оценка
‖x(t, ε) − Xn(t, ε)‖ ≤ Kεn+1, K > 0, где Xn(t, ε) =
n∑
i=0
[xi(t) + Πi(τ)] εi, возможно, пред-
ставляет и самостоятельный интерес.
1. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. — М:
Изд-во Моск. ун-та, 1978. — 106 с.
2. Generalize inverse and applications / Ed. M. Z. Nashed. — New York etc.: Acad. Press, 1967. — 1143 p.
3. Penrose R. A generalize inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1955. — 51. — P. 406 – 413.
4. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004.
5. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенныx урав-
нений. — М.: Наука, 1973. — 272 с.
6. Самойленко А. М., Бойчук А. А., Каранджулов Л. И. Нетеровы краевые задачи с сингулярным возму-
щением // Дифференц. уравнения. — 2001. — 37, № 9. — С. 1186 – 1193.
Получено 11.05.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
|