Новий підхід до дослідження існування та побудови періодичних розв'язків систем диференціальних рівнянь
Методы, разработанные для решения общих уравнений с ограничениями, применяются к построению периодических решений систем дифференциальных уравнений.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Series: | Нелінійні коливання |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178158 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Новий підхід до дослідження існування та побудови періодичних розв'язків систем диференціальних рівнянь / А.Ю. Лучка // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 55-70. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178158 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781582021-02-19T01:27:25Z Новий підхід до дослідження існування та побудови періодичних розв'язків систем диференціальних рівнянь Лучка, А.Ю. Методы, разработанные для решения общих уравнений с ограничениями, применяются к построению периодических решений систем дифференциальных уравнений. We apply the methods developed for solutions of general equations with restrictions to construction of periodic solutions of systems of differential equations. 2008 Article Новий підхід до дослідження існування та побудови періодичних розв'язків систем диференціальних рівнянь / А.Ю. Лучка // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 55-70. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178158 517.927 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методы, разработанные для решения общих уравнений с ограничениями, применяются к построению периодических решений систем дифференциальных уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Лучка, А.Ю. |
| spellingShingle |
Лучка, А.Ю. Новий підхід до дослідження існування та побудови періодичних розв'язків систем диференціальних рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Лучка, А.Ю. |
| author_sort |
Лучка, А.Ю. |
| title |
Новий підхід до дослідження існування та побудови періодичних розв'язків систем диференціальних рівнянь |
| title_short |
Новий підхід до дослідження існування та побудови періодичних розв'язків систем диференціальних рівнянь |
| title_full |
Новий підхід до дослідження існування та побудови періодичних розв'язків систем диференціальних рівнянь |
| title_fullStr |
Новий підхід до дослідження існування та побудови періодичних розв'язків систем диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Новий підхід до дослідження існування та побудови періодичних розв'язків систем диференціальних рівнянь |
| title_sort |
новий підхід до дослідження існування та побудови періодичних розв'язків систем диференціальних рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178158 |
| citation_txt |
Новий підхід до дослідження існування та побудови періодичних розв'язків систем диференціальних рівнянь / А.Ю. Лучка // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 55-70. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT lučkaaû novijpídhíddodoslídžennâísnuvannâtapobudoviperíodičnihrozvâzkívsistemdiferencíalʹnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T16:31:31Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:31:31Z |
| _version_ |
1837731248133373952 |
| fulltext |
УДК 517 . 927
НОВИЙ ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ IСНУВАННЯ
ТА ПОБУДОВИ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
А. Ю. Лучка
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
We apply the methods developed for solutions of general equations with restrictions to construction of
periodic solutions of systems of differential equations.
Методы, разработанные для решения общих уравнений с ограничениями, применяются к по-
строению периодических решений систем дифференциальных уравнений.
Серед рiзноманiтних методiв дослiдження iснування та побудови розв’язкiв задачi
dx
dt
= f(t, x), x(0) = γ, x(t + T ) = x(t), (1)
в якiй t ∈ R, x, f ∈ Rm, f(t + T, x) = f(t, x), широко використовується чисельно-
аналiтичний метод А. М. Самойленка i методи, розвиненi в [1 – 3]. У бiльшостi праць вва-
жається, що параметр γ ∈ Rm пiдлягає визначенню. В данiй статi розглядається випадок,
коли γ — вiдомий параметр, а задача (1) трактується як задача Кошi з обмеженням, ме-
тоди дослiдження якої викладено, наприклад, в [3 – 6].
1. Лiнiйна задача. Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь
dx
dt
+ P (t)x = f(t), t ∈ R, (2)
i встановимо умови iснування розв’язку системи, який справджує умови
x(0) = γ, x(t + T ) = x(t), (3)
де f(t + T ) = f(t), P (t + T ) = P (t), а елементи (m × m)-матрицi P (t) i компоненти
вектор-функцiї f(t) сумовнi з квадратом на перiодi [0, T ].
Ставиться задача: знайти вектор-функцiю x(t) iз класу неперервних перiодичних век-
тор-функцiй, похiдна яких сумовна з квадратом на перiодi [0, T ], таку, яка майже скрiзь
задовольняє рiвняння (2) та справджуються умови (3). В цьому випадку задачу вважаємо
сумiсною.
Для цiєї мети розглянемо задачу (2), (3) на перiодi [0, T ], тобто
dx
dt
+ P (t)x = f(t), x(0) = γ, x(0) = x(T ), (4)
c© А. Ю. Лучка, 2008
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1 55
56 А. Ю. ЛУЧКА
дослiдимо питання iснування розв’язку x ∈ W 1
2 ([0, T ], Rm) i, якщо вiн iснує, перiодично
продовжимо його на всю вiсь. Отримана таким чином вектор-функцiя, очевидно, буде
розв’язком задачi (2), (3).
Задачу (4), як зазначалось вище, трактуємо як задачу Кошi з обмеженням. Згiдно з
методикою, розробленою в [4 – 6], питання iснування розв’язку задачi (4) зводиться до
питання iснування розв’язку системи iнтегральних рiвнянь, який задовольняє певну умову.
Щоб її отримати, використовується допомiжна задача з керуванням
dx
dt
+ A(t)x + C(t)λ = y(t), (5)
x(0) = γ, x(0) = x(T ), t ∈ [0, T ], (6)
в якiй неперервна (m×m)-матриця A(t), (m×m)-матриця C(t) iз сумовними з квадратом
на [0, T ] елементами i вектор-функцiя y ∈ L2 ([0, T ], Rm) заданi, причому стовпцi матрицi
C(t) лiнiйно незалежнi, а потрiбно знайти λ ∈ Rm та x ∈ W 1
2 ([0, T ], Rm) .
Лема 1. Нехай матрицi A(t) та C(t) пiдiбрано таким чином, що однорiдна задача
dx
dt
+ A(t)x + C(t)λ = 0, x(0) = 0, x(0) = x(T ), (7)
має лише тривiальний розв’язок.
Тодi iснують вектор-функцiя h(t), вектор σ i матрицi G(t, s) та Γ(s) розмiру m×m
такi, що єдиний розв’язок неоднорiдної задачi (5), (6) зображується формулами
x(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)y(s)ds, λ = σ +
T∫
0
Γ(s)y(s)ds. (8)
Справджуються властивостi
T∫
0
G(t, s)C(s)ds = O,
T∫
0
Γ(s)C(s)ds = I, (9)
(
d
dt
+ A(t)
) T∫
0
G(t, s)w(s)ds = w(t)−
T∫
0
C(t)Γ(s)y(s) ds, (10)
де I — одинична матриця в Rm i w ∈ L2 ([0, T ], Rm) — довiльна вектор-функцiя.
Справдi, виберемо матрицю A(t) таким чином, щоб фундаментальну матрицю X(t),
яка визначається iз задачi
dX
dt
+ A(t)X = O, X(0) = I, (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НОВИЙ ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ IСНУВАННЯ ТА ПОБУДОВИ . . . 57
можна було б побудувати в явному виглядi порiвняно легко. Тодi вектор-функцiя
x(t) = X(t)γ +
t∫
0
H(t, s)y(s)ds− Y (t)λ, (12)
де H(t, s) — ядро Кошi i
Y (t) =
t∫
0
H(t, s)C(s) ds, (13)
задовольняє рiвняння (5) i початкову умову. Задовольнивши перiодичнi умови (6), для
визначення λ ∈ Rm отримаємо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
Dλ = ρ +
T∫
0
H(T, s)y(s) ds, (14)
в якiй ρ = X(T )γ − γ i (m×m)-матриця
D =
T∫
0
H(T, s)C(s) ds, (15)
згiдно з припущенням стосовно однорiдної задачi (7), є невиродженою. Отже, iснує єди-
ний розв’язок системи рiвнянь (14)
λ = D−1ρ +
T∫
0
D−1H(T, s)y(s) ds. (16)
Пiдставивши цей розв’язок у формулу (12), одержимо
x(t) = X(t)γ − Y (t)D−1ρ +
t∫
0
H(t, s)y(s) ds− Y (t)
T∫
0
D−1H(T, s)y(s) ds. (17)
Поклавши в формулах (16), (17)
σ = D−1ρ, Γ(s) = D−1H(T, s), h(t) = X(t)γ − Y (t)σ,
(18)
G(t, s) = Y (t)Γ(s) +
{
H(t, s), 0 ≤ s ≤ t,
0, t < s ≤ T,
отримаємо спiввiдношення (8).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
58 А. Ю. ЛУЧКА
На основi формул (18), (15), (17) та (13) маємо
T∫
0
Γ(s)C(s) ds =
T∫
0
D−1H(T, s)C(s)ds = I,
T∫
0
G(t, s)C(s) ds =
t∫
0
H(t, s)C(s) ds− Y (t)
T∫
0
Γ(s)C(s)ds = O,
отже, властивостi (9) є правильними.
Зауважимо, що правильнiсть спiввiдношення (10) безпосередньо випливає iз власти-
востей ядра Кошi.
Лема 2. Якщо однорiдна задача (7) має лише тривiальний розв’язок, то для довiльної
вектор-функцiї w(t) iз класу W 1
2 ([0, T ], Rm) , яка задовольняє умови
w(0) = γ, w(0) = w(T ), (19)
правильними є спiввiдношення
w(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)
(
d
ds
+ A(s)
)
w(s)ds, (20)
σ +
T∫
0
Γ(s)
(
d
ds
+ A(s)
)
w(s)ds = 0, (21)
де h(t) та σ визначаються формулами (18).
Справдi, розглянемо задачу(
d
dt
+ A(t)
)
z + C(t)µ =
(
d
dt
+ A(t)
)
w(t), (22)
z(0) = γ, z(0) = z(T ). (23)
Згiдно з лемою 1, оскiльки виконуються її умови, задача (22), (23) має єдиний розв’язок
z(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)
(
d
ds
+ A(s)
)
w(s) ds, (24)
µ = σ +
T∫
0
Γ(s)
(
d
ds
+ A(s)
)
w(s) ds. (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НОВИЙ ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ IСНУВАННЯ ТА ПОБУДОВИ . . . 59
Нехай v(t) = z(t)− w(t), тодi на основi формул (22), (19), (23) отримаємо(
d
dt
+ A(t)
)
v + C(t)µ = 0, v(0) = 0, v(0) = v(T ). (26)
За умови леми однорiдна задача (26) має лише тривiальний розв’язок v(t) = 0, µ = 0, а
отже, z(t) = w(t). Враховуючи останнi спiввiдношення i формули (24), (25), переконує-
мось у правильностi формул (20), (21).
Зауваження 1. Iз формул (18), (11), (13) та (10) очевидним чином випливає, що h(t) та
σ — розв’язок задачi
dh
dt
+ A(t)h + C(t)σ = 0, h(0) = γ, h(0) = h(T ), (27)
а також можна показати, що розв’язок задачi
dz
dt
+ A(t)z + C(t)µ = y(t), z(0) = z(T ) = 0, (28)
має вигляд
z(t) =
T∫
0
G(t, s)y(s) ds, µ =
T∫
0
Γ(s)y(s) ds. (29)
Отже, розв’язок (8) задачi (5), (6) можна подати у виглядi
x(t) = h(t) + z(t), λ = σ + µ, (30)
а для його побудови використовувати задачi (27) та (28).
Зведемо тепер задачу (4) до рiвносильного iнтегрального рiвняння. Для цього рiвнян-
ня (4) подамо у виглядi
dx
dt
+ A(t)x = f(t) + B(t)x, B(t) = A(t)− P (t), (31)
i будемо трактувати задачу (28) як замiну, в якiй y(t) — нова невiдома вектор-функцiя.
Тодi для її знаходження отримаємо iнтегральне рiвняння
y(t) = g(t) +
T∫
0
R(t, s)y(s) ds +
T∫
0
K(t, s)y(s) ds, (32)
в якому
g(t) = q(t) + C(t)σ, q(t) = f(t) + B(t)h(t), (33)
R(t, s) = C(t)Γ(s), K(t, s) = B(t)G(t, s). (34)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
60 А. Ю. ЛУЧКА
Справдi, вважатимемо, що розв’язок рiвняння (31) визначається першою формулою (30),
i врахуємо рiвняння (27) та (28). Тодi воно набуде вигляду
y(t)− C(t)µ− C(t)σ = f(t) + B(t)h(t) + B(t)z(t).
Пiдставивши сюди вираз (29) i врахувавши позначення (33), (34), отримаємо рiвнян-
ня (32).
Зазначимо, що на основi властивостей (9) ядра (34) також мають такi ж властивостi
T∫
0
R(t, s)C(s) ds = C(t),
T∫
0
K(t, s)C(s) ds = O. (35)
Використовуючи властивостi (35), приходимо до висновку, що розв’язок iнтегрально-
го рiвняння (32) iснує лише за певних умов, яким повинен задовольняти вiльний член g(t).
Цю умову не станемо виписувати, оскiльки вона характерна лише для лiнiйних рiвнянь, а
нижче висвiтлимо новий пiдхiд до встановлення умови iснування розв’язку рiвняння (32),
який поширюється i на нелiнiйнi рiвняння.
Нехай
L2 ([0, T ], Rm) = U ([0, T ], Rm)⊕ V ([0, T ], Rm) ,
де U ([0, T ], Rm) — пiдпростiр, породжений системою лiнiйно незалежних стовпцiв матри-
цi C(t). Введемо оператор ортогонального проектування
(Sz)(t) =
T∫
0
S(t, ξ)z(ξ)dξ, (36)
ядро якого визначається за формулою
S(t, ξ) = C(t)
T∫
0
C∗(s)C(s)ds
−1
C∗(ξ), (37)
де C∗(t) — матриця, спряжена до C(t).
Використавши оператор (36), (37) та властивостi (9), (35), першiй iз формул (8) можна
надати вигляду
x(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)v(s) ds, (38)
де
v(t) = y(t)−
T∫
0
S(t, ξ)y(ξ) dξ, (39)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НОВИЙ ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ IСНУВАННЯ ТА ПОБУДОВИ . . . 61
а рiвняння (32) записати таким чином:
y(t) = g(t) +
T∫
0
R(t, s)y(s) ds +
T∫
0
K(t, s)v(s) ds. (40)
Якщо тепер пiдставити (40) у (39), то для визначення невiдомої вектор-функцiї v(t) отри-
маємо рiвняння
v(t) = p(t) +
T∫
0
M(t, s)v(s) ds (41)
у пiдпросторi V ([0, T ], Rm) , де з урахуванням формули (33)
p(t) = q(t)−
T∫
0
S(t, ξ)q(ξ)dξ, M(t, s) = K(t, s)−
T∫
0
S(t, ξ)K(ξ, s)dξ. (42)
Теорема 1. Якщо однорiдна задача (7) має лише тривiальний розв’язок, то задача
(2), (3) сумiсна тодi i тiльки тодi, коли iснує розв’язок v∗(t) рiвняння (41) i виконується
умова
σ +
T∫
0
Γ(s)w∗(s) ds = 0, (43)
в якiй
w∗(t) = q(t) +
T∫
0
K(t, s)v∗(s) ds, (44)
де σ, Γ(s) i q(t) визначаються формулами (18) та (33).
Доведення. Нехай v∗(t) — розв’язок рiвняння (41), тобто
v∗(t) = p(t) +
T∫
0
M(t, s)v∗(s) ds, (45)
i справджується умова (43). Тодi правильною є рiвнiсть
w∗(t) = q(t) +
T∫
0
K(t, s)w∗(s) ds. (46)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
62 А. Ю. ЛУЧКА
Справдi, враховуючи формули (44), (42) та (45), маємо
w∗(t)−
T∫
0
S(t, ξ)w∗(ξ) dξ = q(t) +
T∫
0
K(t, s)v∗(s) ds−
−
T∫
0
S(t, ξ)
q(ξ) +
T∫
0
K(ξ, s)v∗(s) ds
dξ = p(t) +
T∫
0
M(t, s)v∗(s) ds = v∗(t). (47)
Отже, використовуючи властивiсть (35), згiдно з якою у спiввiдношеннi (44) можна замi-
нити v∗(t) на w∗(t), переконуємось у правильностi рiвностi (46).
Встановимо, що розв’язком задачi (4) є
x∗(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)v∗(s) ds. (48)
Для цього зазначимо, що умови x∗(0) = γ та x(0) = x(T ) виконуються очевидним чином,
а згiдно з властивiстю (9) i рiвнiстю (47) вираз (48) можна записати у виглядi
x∗(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)w∗(s) ds. (49)
Тепер на основi формул (49), (27), (10), (33), (34), (46) та умови (43) остаточно маємо
f(t)−
(
d
dt
+ P (t)
)
x∗(t) = f(t) + B(t)x∗(t)−
(
d
dt
+ A(t)
)
x∗(t) =
= f(t) + B(t)h(t) +
T∫
0
B(t)G(t, s)w∗(s) ds−
(
d
dt
+ A(t)
)
h(t)−
−
(
d
dt
+ A(t)
) T∫
0
G(t, s)w∗(s) ds = q(t) +
T∫
0
K(t, s)w∗(s) ds− w∗(t)+
+C(t)σ + C(t)
T∫
0
Γ(s)w∗(s) ds = C(t)
σ +
T∫
0
Γ(s)w∗(s) ds
= 0.
Продовживши перiодично вектор-функцiю (48), отримаємо розв’язок задачi (2), (3).
Навпаки, нехай x∗(t) — розв’язок задачi (2), (3) тобто на перiодi [0, T ] справджується
рiвнiсть (
d
dt
+ P (t)
)
x∗(t) = f(t), (50)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НОВИЙ ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ IСНУВАННЯ ТА ПОБУДОВИ . . . 63
а згiдно з лемою 2 виконуються спiввiдношення
x∗(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)
(
d
ds
+ A(s)
)
x∗(s) ds, (51)
σ +
T∫
0
Γ(s)
(
d
ds
+ A(s)
)
x∗(s) ds = 0. (52)
Встановимо, що рiвняння (41) має розв’язок, який визначається формулами
v∗(t) = w∗(t)−
T∫
0
S(t, ξ)w∗(ξ)dξ, w∗(t) =
(
d
dt
+ A(t)
)
x∗(t), (53)
i справджується умова (43). Для цього спершу встановимо правильнiсть рiвностi
w∗(t) = q(t) +
T∫
0
B(t)G(t, s)w∗(s) ds. (54)
Вона випливає iз формул (51), (53) та (50). Справдi, маємо
f(t)− w∗(t) + B(t)
h(t) +
T∫
0
G(t, s)w∗(s) ds
=
= f(t)− w∗(t) + B(t)
h(t) +
T∫
0
G(t, s)
(
d
ds
+ A(s)
)
x∗(s) ds
=
= f(t)−
(
d
dt
+ A(t)
)
x∗(t) + B(t)x∗(t) = f(t)−
(
d
dt
+ P (t)
)
x∗(t) = 0.
Врахувавши першу формулу, позначення (34) та властивiсть (35), рiвнiсть (54) можна за-
писати у виглядi
w∗(t) = q(t) +
T∫
0
K(t, s)v∗(s) ds, (55)
а спроектувавши її на пiдпростiр V ([0, T ], Rm) i використавши позначення (42), остаточно
отримаємо
v∗(t) = p(t) +
T∫
0
M(t, s)v∗(s) ds. (56)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
64 А. Ю. ЛУЧКА
Рiвнiсть (56) засвiдчує, що справдi v∗(t) — розв’язок рiвняння (41). Вiн справджує умову
(43), правильнiсть якої безпосередньо випливає iз формул (52), (53) та (55).
Зауваження 2. Можна встановити, що у випадку, коли iнтегральне рiвняння (41) має
єдиний розв’язок, iснує єдиний розв’язок задачi (2), (3), а також зворотне твердження.
Зауваження 3. Теорема 1 є правильною i в тому випадку, коли вектор-функцiя h ∈
∈ W 1
2 ([0, T ], Rm) не обов’язково визначається iз задачi (27). Її можна задати довiльним
чином, вимагаючи лише виконання умов h(0) = h(T ) = γ.
Зауваження 4. Самостiйне значення має випадок, коли в задачi з керуванням (5), (6)
A(t) = 0. В цьому випадку викладений метод i чисельно-аналiтичний метод iстотно не
вiдрiзняються один вiд одного.
2. Нелiнiйна задача. Запропонований пiдхiд до дослiдження перiодичних розв’язкiв
лiнiйної задачi без iстотних змiн переноситься на нелiнiйнi задачi. Застосуємо його у змi-
ненiй формi до задачi
dx
dt
+ A(t)x = f(t) + F (t, x), x(0) = γ, x(0) = x(T ), (57)
до якої можна звести перiодичну задачу (1). У подальшому будемо припускати, що опера-
тор Немицького, який породжується вектор-функцiєю F (t, x), вiдображає простiр
W 1
2 ([0, T ], Rm) у простiр L2 ([0, T ], Rm).
Зведемо встановлення умов сумiсностi задачi (57) до дослiдження питання iснування
розв’язкiв iнтегрального рiвняння. Для цього використаємо задачу з керуванням (5), (6).
Нехай
x(t) = h(t) +
t∫
0
H(t, s)y(s) ds− Y (t)λ, (58)
де h(t) не визначається iз задачi (27), а задається довiльним чином, з вимогою лише вико-
нання умови h(0) = h(T ) = γ, h ∈ W 1
2 ([0, T ], Rm) .
Використавши позначення (13), очевидно, будемо мати x(0) = γ, а задовольнивши
умову x(0) = x(T ) i врахувавши при цьому формули (58), (15), (18), за умови D 6= 0
отримаємо
λ =
T∫
0
Γ(s)y(s) ds. (59)
Отже, на основi формул (58), (59) маємо
x(t) = h(t) +
t∫
0
H(t, s)y(s) ds−
T∫
0
Y (t)Γ(s)y(s) ds (60)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НОВИЙ ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ IСНУВАННЯ ТА ПОБУДОВИ . . . 65
або з урахуванням позначень (18)
x(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)y(s) ds. (61)
Нехай в задачi з керуванням (5), (6)
y(t) = g(t) + F (t, x(t)), (62)
де
g(t) = f(t)−
(
d
dt
+ A(t)
)
h(t). (63)
Тодi на основi формул (61) та (62), пiдставивши першу в другу, одержимо рiвняння
y(t) = g(t) + F
t, h(t) +
T∫
0
G(t, s)y(s)ds
. (64)
Використавши формулу (38), дослiдження iснування розв’язкiв рiвняння (64) можна
звести до аналогiчного питання стосовно рiвняння
v(t) = p(t) + F
t, h(t) +
T∫
0
G(t, s)v(s) ds
−
−
T∫
0
S(t, ξ)F
ξ, h(ξ) +
T∫
0
G(ξ, s)v(s)ds
dξ (65)
у пiдпросторi V ([0, T ], Rm) , де
p(t) = g(t)−
T∫
0
S(t, ξ)g(ξ)dξ,
а g(t) має вигляд (63).
Повторюючи доведення теореми 1, переконуємось у тому, що за умови
T∫
0
Γ(s)y∗(s) ds = 0, (66)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
66 А. Ю. ЛУЧКА
у якiй y∗(t) — розв’язок рiвняння (64), який у випадку iснування розв’язку v∗(t) рiвняння
(65) визначається формулою
y∗(t) = g(t) + F
t, h(t) +
T∫
0
G(t, s)v∗(s) ds
, (67)
розв’язком задачi (57) є
x∗(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)v∗(s) ds, (68)
i можемо встановити зворотне твердження, що
v∗(t) = y∗(t)−
T∫
0
S(t, ξ)y∗(ξ)dξ, y∗(t) =
(
d
dt
+ A(t)
)
(x∗(t)− h(t)), (69)
де x∗(t) — розв’язок задачi (57), задовольняє рiвняння (65).
Iз викладеного безпосередньо випливає правильнiсть такого твердження.
Теорема 2. Якщо матриця D, яка визначається формулою (15), є невиродженою, то
задача (57) сумiсна лише тодi, коли iснує розв’язок рiвняння (65) i справджується умова
(66), причому їх розв’язки пов’язанi спiввiдношеннями (67) – (69).
Якщо iснує єдиний розв’язок одного з рiвнянь (57), (64) та (65), то й iншi мають
єдиний розв’язок.
Зауваження 5. У випадку, коли в рiвняннi (57) A(t) = 0 i h(t) = γ, формула (60)
набирає вигляду
x(t) = γ +
t∫
0
y(s) ds− t
T
T∫
0
y(s) ds. (70)
Зауваження 6. Задачу (57) можна звести до iнтегрального рiвняння вiдносно невiдо-
мої вектор-функцiї x(t). Для цього достатньо лише пiдставити вираз (62) у формулу (61).
Зокрема, для задачi (1), поклавши в (70) y(t) = f(t, x(t)), будемо мати
x(t) = γ +
t∫
0
f(s, x(s)) ds− t
T
T∫
0
f(s, x(s)) ds.
Зауваження 7. У формулi (61) вектор-функцiю h(t) можна знайти iз задачi(
d
dt
+ A(t)
)
h = r(t), h(0) = γ, h(0) = h(T ), задавши довiльним чином r ∈ L2 ([0, T ], Rm) ,
зокрема r(t) = f(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НОВИЙ ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ IСНУВАННЯ ТА ПОБУДОВИ . . . 67
3. Iтерацiйний метод. Оскiльки точний розв’язок задачi (57) можна зобразити в явно-
му виглядi у виняткових випадках, виникає потреба побудови наближених розв’язкiв да-
ної задачi. Для цього можна використати рiзноманiтнi iснуючi наближенi методи, зокре-
ма iтерацiйнi, проекцiйнi чи проекцiйно-iтеративнi.
Згiдно з iтерацiйним методом послiдовнi наближення xk(t) до шуканого розв’язку
x∗(t) задачi (57) визначаємо з допомiжної задачi
dxk
dt
+ A(t)xk + C(t)λk = yk(t), xk(0) = γ, xk(0) = xk(T ), (71)
в якiй
yk(t) = g(t) + F (t, xk−1(t)), (72)
де g(t) визначається формулою (63).
Початкове наближення визначаємо iз задачi (71) при k = 0 та довiльнiй заданiй вектор-
функцiї y0(t).
За умови леми 1 метод (71), (72) зводиться до методу послiдовних наближень
vk(t) = p(t) + F
t, h(t) +
T∫
0
G(t, s)vk−1(s) ds
−
−
T∫
0
S(t, ξ)F
ξ, h(ξ) +
T∫
0
G(ξ, s)vk−1(s) ds
dξ (73)
для системи iнтегральних рiвнянь (65).
Справдi, за лемою 1 задача (71) має єдиний розв’язок, який визначається формулами
xk(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)yk(s) ds, λk =
T∫
0
Γ(s)yk(s) ds. (74)
Нехай
vk(t) = yk(t)−
T∫
0
S(t, ξ)yk(ξ)dξ, (75)
тодi на пiдставi першої властивостi (9) неважко показати, що зображення (74) можна за-
писати у виглядi
xk(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)vk(s) ds. (76)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
68 А. Ю. ЛУЧКА
Замiнивши у формулi (76) iндекс k на k − 1 i пiдставивши її у спiввiдношення (72), отри-
маємо
yk(t) = g(t) + F
t, h(t) +
T∫
0
G(t, s)vk−1(s) ds
. (77)
Тепер уже видно, що iз формул (77) та (75) правильнiсть спiввiдношення (73) випливає
очевидним чином.
Таким чином, питання збiжностi iтерацiйного методу (71), (72) для задачi (57) звелось
до питання збiжностi методу послiдовних наближень (73) для рiвняння
v(t) = p(t) + (Mv)(t), (78)
де
(Mv)(t) = F
t, h(t) +
T∫
0
G(t, s)v(s) ds
−
−
T∫
0
S(t, ξ)F
ξ, h(ξ) +
T∫
0
G(ξ, s)v(s) ds
dξ, (79)
яке в наш час достатньо повно дослiджено. Зокрема, правильним є таке твердження.
Теорема 3. Якщо виконуються умови леми 1, оператор M : V ([0, T ], Rm) →
→ V ([0, T ], Rm) , який визначається формулою (79), є оператором стискання i
lim
k→∞
λk = 0, (80)
то iснує єдиний розв’язок x∗ ∈ W 1
2 ([0, T ], Rm) задачi (57) i послiдовнiсть {xk(t), k ≥
≥ 0} ⊂ W 1
2 ([0, T ], Rm) , побудована за iтерацiйним методом (71), (72), збiгається до
цього розв’язку.
Доведення. За умови теореми, як вiдомо, iснує єдиний розв’язок v∗(t) рiвняння (78) i
послiдовнiсть {vk(t), k ≥ 0}, побудована за формулою (73), збiгається до цього розв’язку,
тобто
lim
k→∞
vk(t) = v∗(t). (81)
Виконавши граничний перехiд у рiвностi (77) з урахуванням (81), отримаємо
lim
k→∞
yk(t) = y∗(t), y∗(t) = g(t) + F
t, h(t) +
T∫
0
G(t, s)v∗(s)ds
, (82)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
НОВИЙ ПIДХIД ДО ДОСЛIДЖЕННЯ IСНУВАННЯ ТА ПОБУДОВИ . . . 69
а перейшовши до границi в рiвностях (74) i врахувавши при цьому (82), неважко впевни-
тись в iснуваннi границь
lim
k→∞
xk(t) = x∗(t), lim
k→∞
λk = λ∗, (83)
в яких, очевидно,
x∗(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)v∗(s) ds, λ∗ =
T∫
0
Γ(s)y∗(s) ds. (84)
За умови (80) λ∗ = 0, а тому iз другої формули (84) випливає рiвнiсть
T∫
0
Γ(s)y∗(s) ds = 0. (85)
Оскiльки v∗(t) — розв’язок рiвняння (78) i виконується рiвнiсть (85), то за теоремою 2
iснує розв’язок x∗(t) задачi (57), який визначається формулою (84), i, як це випливає iз
(83), до цього розв’язку збiгається послiдовнiсть {xk(t), k ≥ 0}.
Встановимо єдинiсть розв’язку задачi (57). Для цього припустимо, що iснує другий
розв’язок x(t), вiдмiнний вiд першого x∗(t). Тодi за теоремою 2 iснує розв’язок v(t) рiв-
няння (78) i справедливим є твердження
x(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)v(s) ds, (86)
причому v(t) 6= v∗(t), оскiльки в протилежному випадку, як це випливає iз спiввiдношень
(84) та (86), було б x(t) = x∗(t). Отже, за зробленого припущення рiвняння (78) мало б
два розв’язки, що є неможливим за умови теореми 3. Таким чином, задача (57) має лише
один розв’язок, що i завершує доведення теореми.
Зауваження 8. Iтерацiйний метод очевидним чином застосовний до лiнiйної задачi (4),
яка зводиться до задачi (57) з F (t, x) = B(t)x. У цьому випадку формула (72) набирає
вигляду
yk(t) = g(t) + B(t)xk−1(t), g(t) = f(t)−
(
d
dt
+ P (t)
)
h(t), (87)
а метод (71), (87) зводиться до методу послiдовних наближень для лiнiйного iнтеграль-
ного рiвняння другого роду, ядро якого визначається формулою (42). Для лiнiйної задачi
теорему 3 можна послабити. Достатньо вимагати виконання умови ρ(L) < 1, де ρ(L) —
спектральний радiус iнтегрального оператора, що фiгурує в правiй частинi рiвняння (41).
1. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы в краевых задачах обыкновенных
дифференциальных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1992. — 279 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
70 А. Ю. ЛУЧКА
2. Ронто Н. И., Самойленко А. М., Трофимчук С. И. Теория численно-аналитического метода: достиже-
ния и новые направления развития // Укр. мат. журн. — 1998. — 50, № 1. — С. 102 – 117. — № 2. —
С. 225 – 243.
3. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 319 с.
4. Лучка А. Ю. Методи дослiдження систем диференцiальних рiвнянь з обмеженнями // Диференцiальнi
рiвняння i нелiнiйнi коливання: Працi Укр. мат. конгресу. — Київ: Iн-т математики НАН України, 2001.
— С. 43 – 59.
5. Лучка А. Ю., Ферук В. А. Проекцiйно-iтеративний метод для систем диференцiальних рiвнянь iз зага-
юванням та обмеженнями // Нелiнiйнi коливання. — 2003. — 6, № 2. — С. 206 – 232.
6. Лучка А. Ю. Парнi системи функцiонально-диференцiальних рiвнянь з обмеженнями i методи їх розв’я-
зування // Там же. — 2007. — 10, № 1. — С. 113 – 125.
Одержано 10.10.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
|