Сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов

Пропонується побудова сингулярно збуреного самоспряженого оператора iз заданою ком- пактною множиною в його сингулярно неперервному спектрi. Зокрема, множина може бути фракталом наперед заданого типу. При цьому використовується конструкцiя сингулярно збу- реного оператора Ã ˜ для заданого самоспряже...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
1. Verfasser:	Дудкин, Н.Е.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2006
Schriftenreihe:	Нелінійні коливання
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178160
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов / Н.Е. Дудкин // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 326-335. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-178160
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1781602021-02-19T01:27:15Z Сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов Дудкин, Н.Е. Пропонується побудова сингулярно збуреного самоспряженого оператора iз заданою ком- пактною множиною в його сингулярно неперервному спектрi. Зокрема, множина може бути фракталом наперед заданого типу. При цьому використовується конструкцiя сингулярно збу- реного оператора Ã ˜ для заданого самоспряженого оператора A в гiльбертовому просторi H, який розв’язує задачу на власнi значення Ã ψi = λiψi для злiченної множини Λ = {λi}∞ i=1 дiйс- них чисел λi ∈ R¹, \|λi \| < ∞, й ортонормованої системи векторiв {ψi}, i = 1, 2, . . . , iз деякими додатковими умовами загального характеру. We propose a construction of a singularly perturbed self-adjoint operator with a given compact set in its singularly continuous spectrum. In particular, the set can be a fractal of a prescribed type. There we use the construction of a singularly perturbed operator Ã of a given self-adjoint operator A on a Hilbert space H such that it solves the eigen value problem Ãψi = λiψi for a countable set Λ = {λi}∞ i=1 with real numbers λi ∈ R¹, \|λi \| < ∞, and an orthonormal system of vectors {ψi}, i = 1, 2 . . . , under some general type conditions. 2006 Article Сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов / Н.Е. Дудкин // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 326-335. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178160 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Пропонується побудова сингулярно збуреного самоспряженого оператора iз заданою ком- пактною множиною в його сингулярно неперервному спектрi. Зокрема, множина може бути фракталом наперед заданого типу. При цьому використовується конструкцiя сингулярно збу- реного оператора Ã ˜ для заданого самоспряженого оператора A в гiльбертовому просторi H, який розв’язує задачу на власнi значення Ã ψi = λiψi для злiченної множини Λ = {λi}∞ i=1 дiйс- них чисел λi ∈ R¹, \|λi \| < ∞, й ортонормованої системи векторiв {ψi}, i = 1, 2, . . . , iз деякими додатковими умовами загального характеру.
format	Article
author	Дудкин, Н.Е.
spellingShingle	Дудкин, Н.Е. Сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов Нелінійні коливання
author_facet	Дудкин, Н.Е.
author_sort	Дудкин, Н.Е.
title	Сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов
title_short	Сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов
title_full	Сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов
title_fullStr	Сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов
title_full_unstemmed	Сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов
title_sort	сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178160
citation_txt	Сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов / Н.Е. Дудкин // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 326-335. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT dudkinne singulârnonepreryvnyjspektrsingulârnovozmuŝennyhoperatorov
first_indexed	2025-07-15T16:31:37Z
last_indexed	2025-07-15T16:31:37Z
_version_	1837731255357014016
fulltext	УДК 517 . 9 СИНГУЛЯРНО НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ Н. Е. Дудкин Нац. техн. ун-т Украины „КПИ” Украина, 02057, Киев, просп. Победы, 37 e-mail: dudkin@imath.kiev.ua We propose a construction of a singularly perturbed self-adjoint operator with a given compact set in its singularly continuous spectrum. In particular, the set can be a fractal of a prescribed type. There we use the construction of a singularly perturbed operator Ã of a given self-adjoint operator A on a Hilbert space H such that it solves the eigen value problem Ãψi = λiψi for a countable set Λ = {λi}∞i=1 with real numbers λi ∈ R1, \|λi\| < ∞, and an orthonormal system of vectors {ψi}, i = 1, 2 . . . , under some general type conditions. Пропонується побудова сингулярно збуреного самоспряженого оператора iз заданою ком- пактною множиною в його сингулярно неперервному спектрi. Зокрема, множина може бути фракталом наперед заданого типу. При цьому використовується конструкцiя сингулярно збу- реного оператора Ã для заданого самоспряженого оператора A в гiльбертовому просторi H, який розв’язує задачу на власнi значення Ãψi = λiψi для злiченної множини Λ = {λi}∞i=1 дiйс- них чисел λi ∈ R1, \|λi\| < ∞, й ортонормованої системи векторiв {ψi}, i = 1, 2, . . . , iз деякими додатковими умовами загального характеру. 1. Введение. Пусть A = A∗ — неограниченный самосопряженный оператор, определен- ный на D(A) ≡ dom(A) в сепарабельном гильбертовом пространстве H со скалярным произведением (·, ·) и нормой ‖ · ‖. Самосопряженный оператор Ã 6= A в H называется чисто сингулярно возмущенным [1 – 6] относительно A, если множество D := {f ∈ D(A) ∩ D(Ã)\|Af = Ãf} плотно в H, и обозначается Ã ∈ Ps(A). Очевидно, что для каждого Ã ∈ Ps(A) существует плотно определенный эрмитов (симметрический) оператор Ȧ := A � D = Ã � D,D(Ȧ) = D с нетривиальными индексами дефекта n±(Ȧ) = dim Ker(Ȧ ± i)∗ 6= 0. Размерность де- фектного подпространства общего эрмитова оператора называют рангом возмущения. В настоящей работе рассматриваются возмущения бесконечного ранга. Основной задачей работы является построение сингулярно возмущенного (бесконеч- ного ранга) оператора, сингулярно непрерывный спектр которого содержит наперед за- данное компактное множество действительной оси. Для решения этой задачи использу- ется построение оператора Ã ∈ Ps(A), для которого выполняется Ãψi = λiψi, i = 1, 2, . . . , (1) для заданного счетного множества Λ = {λi}∞i=1 действительных чисел λi ∈ R, \|λi\| < ∞, и ортонормированной системы векторов Ψ := {ψi}∞i=1 такой, что (spanΨ)cl ∩ dom(A) = {0}, (2) c© Н. Е. Дудкин, 2006 326 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3 СИНГУЛЯРНО НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 327 где cl обозначает замыкание по норме H и ∞∑ i=1 (dist (z, spsupp0(ψi)))−2 < ∞. (3) Здесь dist(z, spsupp0(ψi)) обозначает расстояние от некоторой фиксированной точки z до спектрального носителя spsupp0(ψi) вектора ψi (спектральный носитель относительно разложения единицы оператора A). Близкими к данной работе являются исследования самосопряженных расширений за- данного эрмитова оператора, так что расширенные операторы имеют в лакунах эрмито- ва оператора наперед заданные типы спектров. Заметим, что первые исследования, каса- ющиеся конечного точечного спектра, выполнены в роботах М. Г. Крейна [7]. Указанные вопросы рассматривались и в работах [8 – 14] (см. также библиографию в них). В этих ра- ботах расширения описываются в терминах функции Вейля и пространств граничных значений. Преимущество метода, предлагаемого в настоящей работе, заключается в том, что в спектр сингулярно возмущенного оператора можно включить любое компактное мно- жество (не обязательно в лакуну). 2. Точечный спектр сингулярно возмущенного оператора. Основным вспомогатель- ным результатом является следующая теорема (ср. с [15, 16]). Теорема 1. Для каждого неограниченного самосопряженного оператора A, опреде- ленного на D(A), в сепарабельном гильбертовом пространстве H существует сингу- лярно возмущенный оператор Ã ∈ Ps(A), решающий задачу о собственных значениях (1) для заданного счетного множества Λ = {λi}∞i=1 действительных чисел λi ∈ R1, \|λi\| < ∞, i = 1, 2, . . . , и системы ортонормированных векторов Ψ := {ψi}∞i=1, для ко- торых выполняются условия (2) и (3). Заметим, что оператор Ã определяется однозначно, если множество Λ конечно. Крат- кое доказательство теоремы в случае конечного Λ имеется в [16], а детальное доказатель- ство приведено в [17]. Доказательство. По условию теоремы предполагается существование множества Ψ = = {ψi}∞i=1, удовлетворяющего условию (2). В следующей лемме доказывается существо- вание такого множества. Лемма 1. Для неограниченного самосопряженного оператора A, определенного на D(A), в сепарабельном гильбертовом пространстве H существует подпространство Φ такое, что Φ ∩D(A) = {0}, при этом dim Φ = ∞. Для заданного счетного множества Λ = {λi}∞i=1 действительных чисел λi ∈ R, \|λi\| < < ∞, i = 1, 2, . . . , и ортонормированной системы векторов Ψ = {ψi}∞i=1, ‖ψi‖ = 1, ψi ⊥ ψj , i 6= j, удовлетворяющих условию (2), построим последовательность оператор- нозначных функций Rk(z) : для k = 0 R0(z) := (A0 − z)−1, A0 ≡ A, для k ≥ 1 Rk(z) := Rk−1(z) + b−1 k (z)(·, ηk(z̄))ηk(z), Im (z) 6= 0, (4) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3 328 Н. Е. ДУДКИН где Rk−1(z) — резольвента самосопряженного оператора Ak−1, построенного индуктив- ным путем с помощью векторнозначной ηk(z) и скалярнозначной bk(z) функций ηk(z) := (Ak−1 − λk)Rk−1(z)ψk, (5) bk(z) := (λk − z)(ψk, ηk(z̄)). (6) Рассмотрим последовательность (4), определенную с помощью (5) и (6), а также силь- ный предел R̃(z) := s− lim k→∞ Rk(z), (7) т. е. R̃(z) := R0(z) + ∞∑ k=1 b−1 k (z)(·, ηk(z̄))ηk(z). Покажем, что B̃(z) := ∞∑ k=1 b−1 k (z)(·, ηk(z̄))ηk(z) (8) является ограниченным оператором для некоторого z ∈ C (а следовательно, и для всех z ∈ C таких, что Im (z) 6= 0). Заметим, что все операторы Rn(z), n = 0, 1, 2, . . . , равномерно ограничены для фик- сированного z (Im (z) 6= 0) : ‖Rk(z)‖ = 1 dist(σ(Ak), z) ≤ 1 \|Im (z)\| = c0. Кроме того, ‖b−1 k (z)(·, ηk(z̄)ηk(z)‖ = ‖b−1 k (z)\|‖ηk(z)‖2 = = ‖Rk(z)−Rk−1(z)‖ ≤ ‖Rk(z)‖+ ‖Rk−1(z)‖ ≤ 2c0, (9) и, вообще, для n < ∞∥∥∥∥∥ n∑ k=1 b−1 k (z)(·, ηk(z̄))ηk(z) ∥∥∥∥∥ = ‖Rk(z)−R0(z)‖ ≤ ‖Rk(z)‖+ ‖R0(z)‖ ≤ 2c0. Из (5) имеем ηk(z) = ψk + (z − λk)Rk−1(z)ψk, k = 1, 2, . . . . Все векторы ηk(z), k = 1, 2, . . . , равномерно ограничены (по норме) ‖ηk(z)‖ = ‖ψk + (z − λk)Rk−1(z)ψk‖ ≤ ≤ ‖ψk‖+ \|z − λk\| ‖Rk−1(z)ψk‖ ≤ 1 + M Im (z) = 1 +Mc0 = c1, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3 СИНГУЛЯРНО НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 329 где M := sup k \|z − λk\| < ∞, поскольку числа множества {λk}∞k=1 не стремятся к ±∞. Напомним, что spsuppn(ψk) = spsuppRn(z)(ψk) обозначает спектральный носитель вектора ψk относительно разложения единицы оператора An (его резольвенты Rn(z)). Лемма 2. Для ортонормированной системы векторов Ψ и последовательностиRk(z), определенной в (4), выполняются неравенства dist (z, spsupp0(ψk)) ≤ dist (z, spsuppk−1(ψk)). (10) Доказательство. Для k = 1 из (4) имеем R1(z) = R0(z) + b−1 1 (z)(·, η1(z̄))η1(z), (11) где η1(z) = ψ1 + (z − λ1)R0(z)ψ1, b1(z) = (λ1 − z)(ψ1, η1(z̄)) (12) получены из (5) и (6). Подставляя ψ2 в (11), получаем R1(z)ψ2 = R0(z)ψ2 + b−1 1 (z)(ψ2, η1(z̄))η1(z) и (R1(z)ψ2, ψ2) = (R0(z)ψ2, ψ2) + b−1 1 (z)\|(ψ2, η1(z̄))\|2 = = (R0(z)ψ2, ψ2) + b−1 1 (z)\|(z̄ − λ1)\|2 \|(R0(z̄)ψ2, ψ1)\|2, а также∫ R 1 x− z d(E1 xψ2, ψ2) = = ∫ R 1 x− z d(E0 xψ2, ψ2) + b−1 1 (z)\|(z − λ1)\|2 ∣∣∣∣∣∣ ∫ R 1 x− z d(E0 xψ2, ψ1) ∣∣∣∣∣∣ 2 . (13) Из равенства следует, что для интервала ∆ ⊂ R такого, что E0(∆)ψ2 = 0, следует E1(∆)ψ2 = 0, т. е. spsupp0(ψ2) ⊇ spsupp1(ψ2). Аналогично для произвольного k имеем spsuppk−2(ψk) ⊇ spsuppk−1(ψk). По транзи- тивности spsupp0(ψk) ⊇ spsuppk−1(ψk). Следовательно, для фиксированного z, Im (z) 6= 6= 0, получаем (10). Лемма 2 доказана. Теперь, используя лемму, находим ∞∑ k=1 ‖Rk−1(z)ψk‖2 ≤ ∞∑ k=1 (dist (z, spsuppk−1(ψk)))−2 ≤ ≤ ∞∑ k=1 (dist (z, spsupp0(ψk)))−2 < ∞. (14) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3 330 Н. Е. ДУДКИН Поскольку ‖ηk(z)‖ ≥ \|1 − \|z − λk\|‖Rk−1(z)ψk‖\|, существует константа c2 > 0 такая, что ‖ηk(z)‖ ≥ c2 для достаточно больших номеров k. Таким образом, последовательность ηk(z) является почти нормированным базисом в Nz [18, 19], т. е. 0 < c2 ≤ ‖ηk(z)‖ ≤ c1 < ∞. (15) Из (9) имеем \|b−1 k (z)\| ‖ηk(z)‖2 ≤ 2c0, и, следовательно, \|b−1 k (z)\| ≤ 2c0 c22 =: c3. (16) Покажем, что векторы {ηk(z)} линейно независимы. Для достаточно больших номе- ров k \|(ηk(z), ηn(z))\| < c4 < ‖ηk(z)‖ ‖ηn(z)‖. Для k > n имеет место ψk ⊥ ηn(z), поэтому \|(ηk(z), ηn(z))\| = \|((ψk + (z − λk)Rk−1(z)ψk), ηn(z))\| = = \|z − λk\| \|(Rk−1(z)ψk, ηn(z))\| ≤ M‖Rk−1(z)ψk‖ ‖ηn(z)‖. Из (14) следует ‖Rk−1(z)ψk‖ −→ 0 при k −→ ∞. Тогда для достаточно больших номеров k найдется константа c4 такая, что M‖Rk−1(z)ψk‖ ‖ηn(z)‖ ≤ c4 < c2 ≤ ‖ηk(z)‖. Покажем, что ηk(z), k = 1, 2, . . . , является базисом Рисса в Nz := (span{ηi(z)}∞i=1) cl для каждого фиксированного z ∈ C, Im (z) 6= 0. (Базисом Рисса называется базис, экви- валентный ортонормированному [8, 18, 19].) Поскольку все векторы {ηk(z)} линейно независимы и ∞∑ k=1 ‖η̃k(z)− ψk(z)‖2 = ‖ ∞∑ k=1 (z − λk)Rk−1(z)ψk‖2 ≤ ≤ ∞∑ k=1 \|z − λk\| ‖Rk−1(z)ψk‖2 ≤ M ∞∑ k=1 ‖Rk−1(z)‖2 < ∞, согласно теореме VI.2.3 [19] базис {ηk(z)} является эквивалентным ортонормированному и, следовательно, оператор, переводящий базис в базис, T : ψk −→ η̃k(z) = ψk + (z − λk)Rk−1(z)ψk, k = 1, 2, . . . , ограничен и имеет ограниченный обратный. Рассмотрим линейный оператор S(z) = ∞∑ k=1 b−1 k (z)(·, ψk)ψk. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3 СИНГУЛЯРНО НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 331 Он ограничен, поскольку \|b−1 k (z)\| ≤ c3 и {ψk}∞k=1 — множество ортонормированных век- торов. Тогда оператор B̃(z) = TS(z)T, точнее ∞∑ n=1 b−1 k (z)(·, ηk(z̄))ηk(z) = ∞∑ n=1 b−1 k (z)(·, T (z̄)ψk)T (z)ψk, ограничен как произведение трех ограниченных операторов. Теперь для произвольного ненулевого вектора η 6= 0, η ∈ Nz := span{ηk(z)}∞k=1 имеем разложение η = ∞∑ k=1 ckη̃k(z) = ∞∑ k=1 ckψk + ∞∑ k=1 ck(z − λk)R0ψk, где ∞∑ k=1 \|ck\|2 < ∞, так как {ηk(z)}∞k=1 — базис Рисса [8, 18, 19]. Поскольку ∞∑ k=1 ckψk 6∈ D(A) и ∞∑ k=1 ck(z − λk)R0ψk ∈ D(A), то η 6∈ D(A). Таким образом, Nz ∩D(A) = {0}. Покажем, что определенный в (7) оператор R̃(z) — резольвента некоторого замкну- того оператора. Проверим тождество Гильберта для R̃(z). Действительно, при переходе в выражении Rn(z)−Rn(ξ) = (z − ξ)Rn(z)Rn(ξ), n = 1, 2, . . . , к пределу при n → ∞ (в сильном смысле) получаем R̃(z)− R̃(ξ) = (z − ξ)R̃(z)R̃(ξ). Покажем, что ker R̃(z) = {0}. Действительно, для любого f ∈ H R̃(z)f = R0(z)f + B̃(z)f 6= 0, посколькуR0(z)f ∈ D(A) иR0(z)f 6= 0 вследствие того, чтоR0(z) является резольвентой самосопряженного оператора и B̃(z)f 6∈ D(A). Покажем, что R̃(z) также является резольвентой самосопряженного оператора. Дей- ствительно, для любого k ∈ N имеем (Rk(z))∗ = Rk(z̄). Переходя в последнем равенстве к пределу при k → ∞, получаем (R̃(z))∗ = R̃(z̄). Принимая во внимание предыдущие рассуждения и теорему 7.7.3 [20], заключаем, что определенный в (7) оператор R̃(z) является резольвентой самосопряженного оператора. Покажем, что R̃(z)ψm = 1 λm − z ψm, m = 1, 2, . . . . Заметим, что (ψk, ηn(z)) = 0 ∀k < < n. Действительно, (ψk, ηn(z)) = (ψk, [ψn + (z − λn)Rn(z)ψn]) = = (ψk, ψn) + (z̄ − λn)(ψk, Rn(z)ψn) = = (z̄ − λn)(Rn(z̄)ψk, ψn) = z̄ − λn λk − z̄ (ψk, ψn) = 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3 332 Н. Е. ДУДКИН Теперь можно получить R̃ψm = R0(z)ψm + B̃−1(z)ψm = R0(z)ψm + ∞∑ j=1 bj(z)(ψm, ηj(z̄))ηj(z) = = R0(z)ψm + m∑ j=1 bj(z)(ψm, ηj(z̄))ηj(z) = Rm(z)ψm = 1 λm − z ψm, m = 1, 2, . . . . Таким образом, не только доказано существование сингулярно возмущенного операто- ра со свойствами, сформулированными в теореме 1, а и приведено его конструктивное построение. Теорема 1 доказана. Заметим, что выполнение условия (3) не зависит от первых k членов для достаточно большого номера k. Потому в некоторых оценках в доказательстве теоремы 1 этот факт принят во внимание. 3. Сингулярный спектр сингулярно возмущенного оператора. Пусть Γ ⊂ R1 — ком- пактное множество. Выберем счетное плотное подмножество Γ0 в Γ. Положим Γ0 = = {λi}∞i=1. Обозначим через σ(Ã), σac(Ã), σs(Ã), σsc(Ã), σc(Ã) и σpp(Ã) соответственно абсолютно непрерывный, сингулярный, сингулярно непрерывный, непрерывный и чисто точечный спектры оператора Ã (согласно классификации [8]). Напомним, что σ(Ã) = = σac(Ã) ∪ σs(Ã), σs(Ã) = σsc(Ã) ∪ σpp(Ã) и σc(Ã) = σac(Ã) ∪ σsc(Ã). Используя критерий Вейля (теорема 1, п. 93 в [8]), можно доказать такой факт. Теорема 2. Для неограниченного самосопряженного оператора A в сепарабельном гильбертовом пространствеH и компактного подмножества Γ ⊂ R1 существует чис- то сингулярно возмущенный оператор Ã ∈ Ps(A) такой, что Γ ⊂ σ(Ã), (17) Γ0 ⊂ σpp(Ã), (18) где Γ0 — счетное подмножество, плотное в Γ; Γ \ Γ0 ⊂ σsc(Ã). (19) Доказательство. Включение (17) следует из теоремы 1, если выбрать ортонормиро- ванную последовательность векторов {ψi}∞i=1 в H, удовлетворяющую условиям (2) и (3). Покажем включение (18). Для любого λ ∈ Γ\Γ0 найдется последовательность {λk}∞k=1 ⊂ ⊂ Γ0 такая, что lim k→∞ λk = λ. Согласно критерию Вейля (теорема 1, п. 93 в [8]) точка λ принадлежит непрерывному спектру λ ∈ σc(Ã) тогда и только тогда, когда существует ортонормированная последовательность векторов {fk}∞k=1 такая, что lim k→∞ ‖(Ã− λ)fk‖ = ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3 СИНГУЛЯРНО НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 333 = 0. В данном случае мы вибираем векторы {fk := ψk}∞k=1, соответствующие {λk}∞k=1. Тогда для λ ∈ Γ \ Γ0 имеем ‖(Ã− λ)ψk‖ = ‖(Ã− λk)ψk + (λk − λ)ψk‖ ≤ \|λk − λ\| −→ 0, k −→ ∞, где (Ã− λk)ψk = 0 и ‖ψk‖ = 1. Поскольку λ 6∈ σac(Ã), доказано, что λ ∈ σsc(Ã). Включение (19) следует из (17) и (18). Теорема 2 доказана. Замечание. В работе используется классификация спектра самосопряженного опера- тора, предложенная в [8]. Как известно, при таком подходе замыкание точечного спект- ра является сингулярно непрерывным спектром. При ином подходе [21, 22] замыкание точечного спектра по определению полагается множеством, содержащимся в точечном спектре. При таком подходе также возможно решить поставленную задачу, однако это требует дополнительных рассуждений, предложенных, например, в [13]. 4. Сингулярно возмущенный оператор, содержащий в спектре фрактальное множест- во заданного типа. Пусть Γ ⊂ R1 является фрактальным множеством в том смысле, что у него дробная размерность Хаусдорфа [23, 24]. Пусть Γ построено с помощью матрицы Q = {qik}i,k=1 и матрицы распределений P = {pik}i,k=1, i = 1, 2, . . . , n ≤ ∞, k = 1, 2, . . . [24]. Напомним коротко суть построения. Разбиваем заданный отрезок на n частей в отношении чисел, взятих из первого столбца матрицы Q. Затем распределяем конечный вес (на первом этапе, как правило, единичный) по полученным отрезкам в отношени- ях чисел из первого столбца матрицы P. На втором шаге разбиваем каждый отрезок, полученный на предыдущем шаге, уже в отношениях чисел, взятых со второго столбца матрицы Q, и распределяем вес из первого шага на отрезке между новыми (более мел- кими) отрезками в отношениях чисел, взятых со второго столбца матрицы P, и т. д. В пределе получаем фрактальное множество. Одновременно строится сингулярная мера. Например, канторово множество строится следующими матрицами (с повторяющимися элементами): Q =  1/3 1/3 . . . 1/3 1/3 . . . 1/3 1/3 . . .  , P =  1/2 1/2 . . . 0 0 . . . 1/2 1/2 . . .  , а соответствующая мера является мерой Хаусдорфа. Если элементы матриц Q и P не повторяются, то любое фрактальное (не обязательно самоподобное) множество может быть генерировано описанным методом. В данном случае нас интересует не мера, а лишь ее носитель — само фрактальное множество. Напомним [23], что множество Γ называется множеством C-типа [24, 25], если оно совершенно и нигде не плотно лебеговой меры нуль; множеством P -типа, если для лю- бого замкнутого интервала [a, b] множество [a, b] ∩ Γ или пустое или совершенное нигде не плотное ненулевой меры Лебега; множеством S-типа, если оно является замыканием не более чем счетного множества замкнутых интервалов. В [23] доказано, что любая сингулярно непрерывная вероятностная мера с носителем на Γ может быть однозначно представлена в виде линейной комбинации сингулярно не- прерывных мер соответственно S-, C- и P -типа относительно носителя (см. также [25]). Используя теорему 8 [24], можно сформулировать очевидные следствия из теорем 1 и 2. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3 334 Н. Е. ДУДКИН Следствие 1. Оператор Ã, построенный в теореме 1, имеет множество Γ, опреде- ленное с помощью матриц Q и P, в сингулярно непрерывном спектре S-типа, если мат- рица P̃ содержит только конечное множество нулевых элементов. Следствие 2. Оператор Ã, построенный в теореме 1, имеет множество Γ, определен- ное с помощью матриц Q̃ и P̃ , в сингулярно непрерывном спектреC-типа, если матрица P̃ содержит бесконечно много столбцов с элементами pik = 0 и ∞∑ k=1  ∑ i=1,pik=0 qik  = ∞. (20) Следствие 3. Оператор Ã, построенный в теореме 1, имеет множество Γ, определен- ное с помощью матриц Q̃ и P̃ , в сингулярно непрерывном спектре P -типа, если матрица P̃ содержит бесконечно много столбцов с элементами pik = 0 и ∞∑ k=1  ∑ i=1,pik=0 qik  < ∞. (21) В качестве множества Γ0 в следствиях следует использовать точки, получаемые при разбиении заданного интервала элементами матрицы Q. Фактически множество Γ0 — это замыкание этих точек. Заметим, что в [24] (см. также [25]) авторы конструируют вероятностную меру с но- сителем на множестве Γ заданного типа. В данном случае несущественно, какая мера задается с помощью Q̃ и P̃ , а важен лишь ее носитель, который определяет тип, т. е. ко- личество позиций с нулевыми элементами в матрице P̃ и суммы в (20), (21). Используя следствия, можно предложить более тонкую классификацию сингулярно непрерывного спектра самосопряженного оператора, т. е. σsc(S)(Ã), σsc(C)(Ã) и σsc(P )(Ã) — сингулярно непрерывные спектры S-, C- и P -типов соответственно [25]. В данной работе предложен метод построения операторов, соответствующих заданым спектраль- ным типам. 1. Albeverio S., Karwowski W., Koshmanenko V. Square power of singularly perturbed operators // Math. Nachr. — 1995. — 173. — P. 5 – 24. 2. Albeverio S., Koshmanenko V. Singular rank one perturbations of self-adjoint operators and Krein theory of self-adjoint extensions // Potential Analysis. — 1999. — 11. — P. 279 – 287. 3. Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbations of differential operators and solvable Schrödinger type opera- tors. — Cambridge: Univ. Press, 2000. — 265 p. 4. Koshmanenko V. D. Towards the rank-one singular perturbations of self-adjoint operators // Ukr. Math. J. — 1991. — 43, № 11. — P. 1559 – 1566. 5. Koshmanenko V. Singular quadratic forms in perturbation theory. — Kluwer Acad. Publ., 1999. 6. Gesztesy F., Simon B. Rank-one perturbations at infinite coupling // J. Funct. Anal. — 1995. — 128. — P. 245 – 252. 7. Крейн М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения // Мат. сб. — 1947. — 20(62), № 3. — P. 431 – 495. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3 СИНГУЛЯРНО НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 335 8. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Нау- ка, 1966. — 544 с. 9. Alonso A., Simon B. The Birman – Krein – Vishik theory of self-adjoint extensions of semibounded operators // J. Operator Theory. — 1980. — 4. — P. 251 – 270. 10. Кошманенко В., Самойленко О. Cингулярные возмущения конечного ранга. Точечный спектр // Укр. мат. журн. — 1997. — 49, № 11. — С. 1186 – 1212. 11. Posilicano A. A Krein-like formula for singular perturbations of self-adjoint operators and applications // J. Funct. Anal. — 2001. — 183. — P. 109 – 147. 12. Derkach V. A., Malamud M. M. General resolvents and the boundary value problem for Hermitian operators with gaps // Ibid. — 1991. — 95. — P. 1 – 95. 13. Albeverio S., Brasche J. F., Neidhardt H. On inverse spectral theory of self-adjoint extensions mixed types of spectra // Ibid. — 1998. — 154. — P. 130 – 173. 14. Brasche J. F., Malamud M. M., Neidhardt H. Weyl function and spectral properties of self-adjoint extensions // Integr. Equat. and Operator Theory. — 2002. — 43. — P. 264 – 289. 15. Koshmanenko V. A variant of inverse negative eigenvalues problem in singular perturbation theory // Meth. Funct. Anal. and Top. — 2002. — 8, № 1. — P. 49 – 69. 16. Дудкiн М. Є., Кошманенко В. Д. Про точковий спектр самоспряжених операторiв, що виникає при сингулярних збуреннях скiнченного рангу // Укр. мат. журн. — 1997. — 55, № 9. — С. 1269 – 1276. 17. Дудкiн М. Сингулярно збуренi самоспряженi оператори (скiнченного рангу) iз заданими власними значеннями i власними векторами // Наук. вiстi НТУУ „КПI”. — 2002. — № 5. — С. 140 – 145. 18. Бари Н. О базисах в гильбертовом пространстве // Докл. СССР. — 1946. — 54, № 5. — С. 383 – 386. 19. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. — М.: Нау- ка, 1965. — 448 с. 20. Плеснер А. И. Спектральная теория линейных операторов. — М.: Наука, 1965. — 624 с. 21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972. — 740 с. 22. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977. — 357 с. 23. Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. — Київ: Нац. пед. ун-т, 1998. — 296 с. 24. Albeverio S., Koshmanenko V., Pratsiovytyi M., Torbin G. Q̃-representation of real numbers and fractal probability distributions. — Bonn, 2002. — 22 p. — Preprint № 12. 25. Albeverio S., Koshmanenko V., Torbin G. Fine structure of the singular continuous spectrum // Meth. Funct. Anal. and Top. — 2003. — 9, № 2. — P 101 – 119. Получено 11.04.2006 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3

Сингулярно непрерывный спектр сингулярно возмущенных операторов

Institution

Ähnliche Einträge