Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку
Розглянуто слабконелiнiйну крайову задачу для систем звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку. Знайдено достатню умову iснування хоча б одного розв’язку такої задачi та запропоновано збiжний iтерацiйний алгоритм вiдшукання її розв’язку....
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178161 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку / М. Лангерова, Т.В. Шовкопляс // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 368-375. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178161 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781612021-02-19T01:26:47Z Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку Лангерова, М. Шовкопляс, Т.В. Розглянуто слабконелiнiйну крайову задачу для систем звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку. Знайдено достатню умову iснування хоча б одного розв’язку такої задачi та запропоновано збiжний iтерацiйний алгоритм вiдшукання її розв’язку. We consider a weakly nonlinear boundary-value problem for a system of second order ordinary differential equations. We find a sufficient condition for existence of at least one solution of such a problem, and propose a convergent iteration procedure for finding the sought solution. 2006 Article Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку / М. Лангерова, Т.В. Шовкопляс // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 368-375. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178161 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто слабконелiнiйну крайову задачу для систем звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку. Знайдено достатню умову iснування хоча б одного розв’язку такої задачi та запропоновано збiжний iтерацiйний алгоритм вiдшукання її розв’язку. |
| format |
Article |
| author |
Лангерова, М. Шовкопляс, Т.В. |
| spellingShingle |
Лангерова, М. Шовкопляс, Т.В. Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку Нелінійні коливання |
| author_facet |
Лангерова, М. Шовкопляс, Т.В. |
| author_sort |
Лангерова, М. |
| title |
Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку |
| title_short |
Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку |
| title_full |
Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку |
| title_fullStr |
Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку |
| title_full_unstemmed |
Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку |
| title_sort |
умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178161 |
| citation_txt |
Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку / М. Лангерова, Т.В. Шовкопляс // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 368-375. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT langerovam umoviísnuvannârozvâzkuneterovoíkrajovoízadačídlâsistemidrugogoporâdku AT šovkoplâstv umoviísnuvannârozvâzkuneterovoíkrajovoízadačídlâsistemidrugogoporâdku |
| first_indexed |
2025-07-15T16:31:41Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:31:41Z |
| _version_ |
1837731259274493952 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
УМОВИ IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ НЕТЕРОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI
ДЛЯ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
М. Лангерова*
Ун-т м. Жилiно, Словаччина
Т. Шовкопляс
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 6
We consider a weakly nonlinear boundary-value problem for a system of second order ordinary differential
equations. We find a sufficient condition for existence of at least one solution of such a problem, and
propose a convergent iteration procedure for finding the sought solution.
Розглянуто слабконелiнiйну крайову задачу для систем звичайних диференцiальних рiвнянь дру-
гого порядку. Знайдено достатню умову iснування хоча б одного розв’язку такої задачi та за-
пропоновано збiжний iтерацiйний алгоритм вiдшукання її розв’язку.
Будемо розглядати нетерову крайову задачу
(P (t)x′(t))′ −Q(t)x(t) = f(t) + εX(x(t, ε)), t, ε), t ∈ [a, b],
(1)
lx(·) = α + εJ(x(·, ε), ε), α ∈ Rm,
де x = x(t, ε)) = col(x1(t, ε)), . . . , xn(t, ε))) — n-вимiрна двiчi неперервно диференцiйовна
на [a, b] вектор-функцiя: x(·, ε)) ∈ C2([a, b]); P (t), Q(t) — квадратнi (n×n)-вимiрнi матрицi.
Компоненти матрицi P (t) — дiйснi неперервно диференцiйовнi функцiї: P (t) ∈ C1[a, b],
det P (t) 6= 0, t ∈ [a, b]; компоненти матрицi Q(t) — дiйснi неперервнi на вiдрiзку [a, b]
функцiї: Q(t) ∈ C[a, b]; f(t) = col(f1(t), f2(t), . . . , fn(t)) — n-вимiрна неперервна вектор-
функцiя: f(t) ∈ C[a, b]; l — лiнiйний обмежений векторний функцiонал, визначений на
просторi n-вимiрних неперервних на вiдрiзку [a, b] вектор-функцiй: l = col(l1, l2, . . . , lm);
l : C[a, b] → Rm, −∞ < a ≤ b < +∞, α ∈ Rm.
Вiдповiдна породжуюча (ε = 0) для (1) крайова задача має вигляд
(P (t)x′(t))′ −Q(t)x(t) = f(t), t ∈ [a, b], (2)
lx(·) = α, α ∈ Rm. (3)
Нелiнiйна по x n-вимiрна вектор-функцiя X(x(t, ε), t, ε) є неперервно диференцiйов-
ною по x в околi розв’язку x0 породжуючої крайової задачi (2), (3): X(·, t, ε) ∈ C1[‖x −
∗ Пiдтримано грантом VEGA 1/3238/06 Словацької грантової агенцiї.
c© М. Лангерова, Т. Шовкопляс, 2006
368 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УМОВИ IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ НЕТЕРОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 369
−x0‖ ≤ δ], неперервна по t : X(x, ·, ε) ∈ C[a, b], неперервна по ε : X(x, t, ·) ∈ C[0, ε0]. Не-
лiнiйний обмежений m-вимiрний вектор-функцiонал J(x(·, ε), ε) є неперервно диференцi-
йовним по x у розумiннi Фреше i неперервним по ε в околi породжуючого розв’язку; ε —
малий невiд’ємний параметр.
Позначимо через X(t) = [X1(t)X2(t)] (n × 2n)-вимiрну фундаментальну матрицю лi-
нiйної однорiдної f(t) = 0 системи (2), Xi(t) — (n×n)-вимiрнi матрицi, вектор-стовпчики
яких є лiнiйно незалежними розв’язками однорiдної f(t) = 0 системи (2), D := lX(·) —
(m×2n)-вимiрна матриця, утворена дiєю функцiонала на фундаментальну матрицю X(t);
PD — (2n×2n)-вимiрна матриця-ортопроектор, що проектує простiр R2n на нуль-простiр
N(D) = PDR2n матрицi D, PD∗ — (m×m)-вимiрна матриця-ортопроектор, що проектує
простiр Rm на нуль-простiр N(D∗) = PD∗Rm; матриця D∗ є транспонованою до матрицi
D. Для породжуючої крайової задачi має мiсце така теорема [1 – 3].
Теорема 1. Нехай rank D = n1 ≤ min{2n, m}, тодi однорiдна (f(t) = 0, α = 0) крайо-
ва задача (2), (3) має r (r = 2n−n1) i лише r лiнiйно незалежних розв’язкiв. Неоднорiдна
крайова задача (2), (3) розв’язна тодi i тiльки тодi, коли вектор-функцiя f(t) ∈ C[a, b]
i векторна стала α ∈ Rm задовольняють умову
PD∗
d
α− l
b∫
a
K(·, s)f(s) ds
= 0, d = m− n1.
При виконаннi цiєї умови породжуюча крайова задача (2), (3) має r-параметричну сiм’ю
лiнiйно незалежних розв’язкiв вигляду
x = x0(t, cr) = Xr(t)cr + (Gf)(t) + X(t)D+α ∀cr ∈ Rr, t ∈ [a, b],
де (Gf)(t), t ∈ [a, b], — узагальнений оператор Грiна, який дiє на довiльну вектор-
функцiю f(t) ∈ C[a, b] таким чином:
(Gf)(t) df=
b∫
a
K(t, s)f(s) ds−X(t)D+l
b∫
a
K(·, s)f(s) ds.
K(t, s) — (n× n)-вимiрна матриця, визначена так само, як i в [3, 4]; Xr(t) = X(t) ·PDr ,
PDr−(2n×r)-вимiрна матриця, яка складається з r лiнiйно незалежних стовпчикiв матрицi
PD; PD∗
d
— (d×m)-вимiрна матриця, яка складається з повної системи d лiнiйно незалеж-
них рядкiв матрицi PD∗ , D+ — (2n × m)-вимiрна матриця, псевдообернена за Муром –
Пенроузом до матрицi D [1, 2].
Достатня умова iснування розв’язкiв нелiнiйної крайової задачi (1) визначається на-
ступним твердженням.
Теорема 2. Нехай для нелiнiйної крайової задачi (1) має мiсце критичний випадок,
тобто rank D = n1 < m та крайова задача (2), (3) має r-параметричну сiм’ю пород-
жуючих розв’язкiв
x0(t, cr) = Xr(t)cr + (Gf)(t) + X(t)D+α ∀cr ∈ Rr.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
370 М. ЛАНГЕРОВА, Т. ШОВКОПЛЯС
Тодi для кожного значення вектора cr = c0
r ∈ Rr, що задовольняє рiвняння
F (c0
r) = PD∗
d
J(x0(·, c0
r), 0)− l
b∫
a
K(·, s)X(x0(s, c0
r), s, 0) ds
≡ 0, d = m− n1, (4)
при виконаннi умови
rank
B0 = PD∗
d
l1Xr(·)− l
b∫
a
K(·, s)A1(s)Xr(s) ds
= d
крайова задача (1) має хоча б один розв’язок x(t, ε) : x(·, ε) ∈ C2[a, b], x(t, ·) ∈ C[0, ε0],
який при ε = 0 перетворюється в породжуючий розв’язок
x0(t, c0
r) = Xr(t)c0
r + (Gf)(t) + X(t)D+α
з векторною сталою c0
r ∈ Rr, що задовольняє рiвняння (4), та визначається за допо-
могою рiвномiрно збiжного на [0, ε0] iтерацiйного процесу
ck = −B+
0 PD∗
d
l1z
(1)
k (·, ε) + R0(zk(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)
[
A1(s)z
(1)
k (s, ε) + R(zk(s, ε), s, ε)
]
ds
,
z
(1)
k+1(t, ε) = ε
{
G(X
(
x0(s, c0
r), s, 0
)
+ A1(s)
(
Xr(s)ck + z
(1)
k (s, ε)
)
+ R (zk(s, ε), s, ε)
}
(t)+
+ εX(t)D+J
(
x0(·, c0
r), 0
)
+ l1
(
Xr(·)ck + z
(1)
k (·, ε)
)
+ R0
(
z
(1)
k (·, ε), ε
)
, (5)
zk+1(t, ε) = Xr(t)ck + z
(1)
k+1(t, ε), k = 0, 1, 2, . . . ,
xk(t, ε) = x0(t, c0
r) + zk(t, ε), k = 0, 1, 2, . . . , z0(t, ε) = z
(1)
0 (t, ε) = 0.
Доведення. В крайовiй задачi (1) виконаємо замiну змiнних
x(t, ε) = x0(t, c0
r) + z(t, ε), c0
r ∈ Rr, (6)
де вектор-функцiя x0(t, c0
r) — розв’язок породжуючої крайової задачi (2), (3) з векторною
сталою c0
r ∈ Rr, що задовольняє рiвняння (4). Врахувавши, що вектор-функцiя x0(t, c0
r)
є розв’язком породжуючої крайової задачi (2), (3), вiд крайової задачi (1) перейдемо до
задачi
(P (t)z(t, ε)′)′ −Q(t)z(t, ε) = εX(x0(t, c0
r) + z(t, ε), t, ε), t ∈ [a, b],
(7)
lz(t, ε) = εJ(x0(·, c0
r) + z(·, ε), ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УМОВИ IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ НЕТЕРОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 371
Врахувавши зазначенi вище умови на нелiнiйностi X(x, t, ε), J(x(·, ε), ε), розкладемо
їх в ряди в околi точки z = 0, ε = 0 :
X(x0(t, c0
r) + z, t, ε) = X(x0(t, c0
r), t, 0) + A1(t)z + R(z, t, ε),
A1(t) =
∂X(x, t, 0)
∂x
∣∣∣∣
x=x0(t,c0r)
, R(0, t, 0) = 0,
∂R(0, t, 0)
∂z
= 0, (8)
J(x0(t, c0
r + z(·, ε), ε) = J(x0(t, c0
r), 0) + l1z(·, ε) + R0(z(·, ε), ε),
l1z(·, ε) — лiнiйна частина векторного функцiонала J(x0(·, c0
r) + z(·, ε), ε),
R0(0, 0) = 0,
∂R0(0, 0)
∂z
= 0.
У крайовiй задачi (7) нелiнiйностi будемо розглядати як неоднорiдностi та застосуємо
до цiєї задачi теорему 1. Тодi для розв’язку z(t, ε) отримаємо
z(t, ε) = Xr(t)c + z(1)(t, ε),
де сталий вектор c = c(ε) ∈ Rr є невiдомим i визначається з умови розв’язностi крайової
задачi (7), тобто з умови
PD∗
d
J(x0
(
·, c0
r
)
+ z(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)X(x0(s, c0
r) + z(s, ε), s, ε) ds
= 0, (9)
а невiдома вектор-функцiя z(1)(t, ε) — як частинний розв’язок задачi (7):
z(1)(t, ε) = εXD+J
(
x0(·, c0
r) + z(·, ε), ε
)
+ εG
(
X(x0(s, c0
r) + z(s, ε), s, ε)
)
(t).
Розклади (8) нелiнiйностей X(x0 + z, t, ε) та J(x0 + z, ε) пiдставимо в рiвнiсть (9):
PD∗
d
{
J(x0(·, c0
r), 0) + l1z(·, ε) + R0(z(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)
[
X(x0(s, c0
r), s, 0)+
+ A1(s)z(s, ε) + R(z(s, ε), s, ε)
]
ds
}
= 0. (10)
Тодi, врахувавши (9), вiд (10) перейдемо до рiвностi
PD∗
d
{
J(x0(·, c0
r), 0) + l1Xr(·)c + l1z
(1)(·, ε) + R0(z(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)(X(x0(s, c0
r), s, 0) +
+A1(s)
[
Xr(s)c + z(1)(s, ε) + R(z, s, ε)
]
ds
}
= 0. (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
372 М. ЛАНГЕРОВА, Т. ШОВКОПЛЯС
Таким чином, оскiльки векторна стала c0
r ∈ Rr задовольняє рiвняння (4), (11) можна
записати у виглядi
B0c = −PD∗
d
l1z
(1)(·, ε) + R0(z(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)A1(s)(z(1)(s, ε) + R(z(s, ε), s, ε)) ds
,
(12)
де
B0 = PD∗
d
l1Xr(·)− l
b∫
a
K(·, s)A1(s)Xr(s) ds
— (d× r)-вимiрна матриця.
Нехай PB0 — (r × r)-вимiрна матриця-ортопроектор, PB0 : Rr −→ N(B0), N(B0) —
нуль-простiр матрицi B0, а PB∗
0
— (d × d)-вимiрна матриця-ортопроектор, PB∗
0
: Rd −→
−→ B∗
0 , B∗
0 — (r × d)-вимiрна матриця, транспонована до матрицi B0. У цьому випадку
рiвняння (12) розв’язне тодi i лише тодi, коли виконується умова
PB∗
0
PD∗
d
l1z
(1)(·, ε) + R0(z(·, ε), ε)− `
b∫
a
K(·, s)[A1(s)z(1)(s, ε) + R(z(s, ε), s, ε)] ds
= 0.
(13)
Якщо PB∗
0
= 0, то умова (13) завжди виконується. Тому при виконаннi однiєї з еквiвалент-
них умов
PB∗
0
= 0 або rank B0 = d (14)
рiвняння (12) розв’язне i один з його розв’язкiв можна подати у виглядi
c = −B+
0 PD∗
d
l1z
(1)(·, ε) + R0(z(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)[A1(s)z(1)(s, ε) + R(z(s, ε), s, ε)] ds
.
Тут матриця B+
0 ∈ (r × d)-вимiрною псевдооберненою за Муром – Пенроузом до мат-
рицi B0.
Отже, при умовi (14) на множинi двiчi неперервно диференцiйовних по змiннiй t ∈
∈ [a, b] вектор-функцiй z(t, ε), z(t, 0) = 0, крайова задача (7) еквiвалентна операторнiй
системi
z(t, ε) = Xr(t) + z
(1)
1 (t, ε), (15)
c = −B+
0 PD∗
d
l1z
(1)(·, ε) + R0(z(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)(A1(s)z(1)(s, ε) + R(z(s, ε), s, ε)) ds
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УМОВИ IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ НЕТЕРОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 373
z
(1)
1 (t, ε) = εG
[
X(x0(s, c∗r , s, 0)) + A1(s)(Xr(s)c + z(1)(s, ε))
]
+ R(z(1)(s, ε), s, ε)(t)+
+ εX(t)D+
[
J(x0(·, c∗r), 0) + l1Xr(·)c + z(1)(·, ε) + R0(z(1)(·, ε), ε)
]
.
Вiдомо, що для розв’язання операторної системи (15) можна застосувати метод простих
iтерацiй [1, 2].
Iтерацiйний алгоритм. Перше наближення z
(1)
1 (t, ε) до z(1)(t, ε) покладемо таким:
z
(1)
1 (t, ε) = ε(G(X(x0(s, c0
r), s, 0)))(t) + εX(t)D+J(x0(·, c0
r), 0).
Вектор-функцiя z
(1)
1 = z
(1)
1 (t, ε) є частинним розв’язком крайової задачi
(P (t)z
′
1(t))
′ −Q(t)z1(t) = εX(x0(t, c0
r), t, 0), lz1(·) = εJ(x0(·, c0
r), 0).
Цей розв’язок iснує завдяки вибору сталої c0
r ∈ Rr з рiвняння (4). Вважаємо, що перше
наближення z1(t, ε) до шуканого розв’язку z(t, ε) крайової задачi (7) дорiвнює z
(1)
1 (t, ε).
Друге наближення
z
(1)
2 (t, ε) = ε
{
G(X(x0(s, c0
r), s, 0) + A1(s)(Xr(s)c1 + z
(1)
1 (s, ε)) + R(z1(s, ε), s, ε))
}
(t)+
+ εX(t)D+
{
J(x0(·, c0
r), 0) + l1(Xr(·)c1 + z
(1)
1 (·, ε)) + R0(z1(·, ε), ε)
}
.
Вектор-функцiя z
(1)
2 (t, ε) є частинним розв’язком крайової задачi
(P (t)z
′
2(t))
′ −Q(t)z2(t) = ε
{
X(x0(t, c0
r), t, 0) + A2(t)(Xr(t)c1 + z
(1)
1 (t, ε)) + R(z1, t, ε)
}
,
lz2(·) = ε
{
J(x0(·, c0
r), 0) + l1[Xr(·)c1 + z
(1)
1 ] + R0(z1, ε)
}
,
при цьому необхiдна та достатня умова розв’язностi останньої задачi має вигляд
B0c1 + PD∗
d
l1z
(1)
1 (·, ε) + R0(z1(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)[A1(s)z
(1)
1 (s, ε) + R(z1(s, ε), s, ε)]ds
= 0.
(16)
Перше наближення c1 до c(ε) з (16) є таким:
c1 = −B+
0 PD∗
d
l1z
(1)
1 (·, ε) + R0(z1(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)
[
A1(s)z
(1)
1 (s, ε) + R(z1(s, ε), s, ε)
]
ds
.
Умова (14) гарантує розв’язнiсть алгебраїчної системи (16) вiдносно c1 ∈ Rr. Отже, друге
наближення z2(t, ε) до шуканого розв’язку z(t, ε) запишемо таким чином:
z2(t, ε) = Xr(t)c1 + z
(1)
2 (t, ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
374 М. ЛАНГЕРОВА, Т. ШОВКОПЛЯС
Продовживши iтерацiйний процес далi, отримаємо, що наближення z
(1)
k+1(t, ε) до z(1)(t, ε)
визначається за формулою
z
(1)
k+1(t, ε) = ε
{
G
[
X(x0(s, c0
r), s, 0) + A1(s)(Xr(s)ck + z
(1)
k (s, ε)) + R(zk(s, ε), s, ε)
]}
(t)+
+ εX(t)D+(J(x0(·, c0
r), 0) + l1[Xr(·)ck + z
(1)
k (·, ε)] + R0(zk(·, ε), ε)),
як частинний розв’язок крайової задачi
(P (t)z
′
k+1(t))
′−Q(t)zk+1(t) = ε
{
X(x0(t, c0
r), t, 0) + A1(t)(Xr(t)ck + z
(1)
k (t, ε)) + R(zk, t, ε)
}
,
lzk+1(·) = ε
{
J(x0(·, c0
r), 0) + l1[Xr(·)ck + z
(1)
k (·, ε)] + R0(zk(·, ε), ε)
}
.
З необхiдної та достатньої умови розв’язностi цiєї крайової задачi приходимо до алгебраїч-
ної системи
B0ck + PDd∗
{
l1z
(1)
k (·, ε) + R0(zk(·, ε), ε)−
− l
b∫
a
K(·, s)
[
A1(s)z
(1)
k (s, ε) + R(zk(s, ε), s, ε)
]
ds
}
= 0, (17)
з якої знаходимо k-те наближення ck до c(ε) :
ck = −B+
0 PDd∗
{
l1z
(1)
k (·, ε) + R0(zk(·, ε), ε)−
− l
b∫
a
K(·, s)
[
A1(s)z
(1)
k (s, ε) + R(zk(s, ε), s, ε)
]
ds
}
.
Умова (14) гарантує розв’язнiсть алгебраїчної системи (17) вiдносно ck ∈ Rr на кожному
кроцi iтерацiйного процесу. Наближення zk+1(t, ε) до шуканого розв’язку запишеться у
виглядi
zk+1(t, ε) = Xr(t)ck + z
(1)
k+1(t, ε).
Враховуючи замiну змiнних (6), для вiдшукання розв’язку x(t, ε) : x(·, ε) ∈ C[a, b], x(t, ·) ∈
∈ C[0, ε0], x(t, 0) = x0(t, c0
r) крайової задачi (1) отримаємо схему (5).
Доведення збiжностi та отримання оцiнок, що характеризують iтерацiйний процес (5),
проводяться за схемою методу мажорант Ляпунова [5, 1].
1. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 318 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УМОВИ IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ НЕТЕРОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 375
2. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p.
3. Шовкопляс Т. В. Критерiй розв’язностi лiнiйної крайової задачi для системи другого порядку // Укр.
мат. журн. — 2000. — 52, № 6. — C. 861 – 864.
4. Langerova M. Boundary value problem for weakly perturbed linear differential equation of the second order
// 5-th Int. Conf. APLIMAT-2006. — Bratislava: Slovak Univ. Technol., 2006. — P. 273 – 278.
5. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука,
1979. — 432 с.
Одержано 23.12.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
|