Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары
Наведено обґрунтування методу усереднення для керованих лiнiйних диференцiальних рiвнянь iз загаюванням iз похiдною Хукухари.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178162 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары / В.А. Плотников, О.Д. Кичмаренко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 376-385. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178162 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781622021-02-19T01:27:29Z Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары Плотников, В.А. Кичмаренко, О.Д. Наведено обґрунтування методу усереднення для керованих лiнiйних диференцiальних рiвнянь iз загаюванням iз похiдною Хукухари. We give a substantiation of the averaging method for controlled linear differential equations with Hukuhara derivative and delay. 2006 Article Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары / В.А. Плотников, О.Д. Кичмаренко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 376-385. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178162 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Наведено обґрунтування методу усереднення для керованих лiнiйних диференцiальних рiвнянь
iз загаюванням iз похiдною Хукухари. |
| format |
Article |
| author |
Плотников, В.А. Кичмаренко, О.Д. |
| spellingShingle |
Плотников, В.А. Кичмаренко, О.Д. Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары Нелінійні коливання |
| author_facet |
Плотников, В.А. Кичмаренко, О.Д. |
| author_sort |
Плотников, В.А. |
| title |
Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары |
| title_short |
Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары |
| title_full |
Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары |
| title_fullStr |
Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары |
| title_full_unstemmed |
Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары |
| title_sort |
усреднение управляемых уравнений с производной хукухары |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178162 |
| citation_txt |
Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары / В.А. Плотников, О.Д. Кичмаренко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 376-385. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT plotnikovva usrednenieupravlâemyhuravnenijsproizvodnojhukuhary AT kičmarenkood usrednenieupravlâemyhuravnenijsproizvodnojhukuhary |
| first_indexed |
2025-07-15T16:31:45Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:31:45Z |
| _version_ |
1837731263320948736 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
УСРЕДНЕНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ
В. А. Плотников , О. Д. Кичмаренко
Одес. нац. ун-т
Украина, 65026, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: v.plotnikov@paco.net
k.olga@paco.net
We give a substantiation of the averaging method for controlled linear differential equations with Hukuhara
derivative and delay.
Наведено обґрунтування методу усереднення для керованих лiнiйних диференцiальних рiвнянь
iз загаюванням iз похiдною Хукухари.
Введение. Изучение свойств пучка траекторий и построение множества достижимости
для систем управления играют важную роль при исследовании задач оптимального управ-
ления.
Дифференциальные уравнения с производной Хукухары [1] были введены в работах
[2, 3], в которых также исследованы основные свойства их решений.
В [4] показано, что решение уравнения с производной Хукухары аппроксимирует свер-
ху множество достижимости, а в [5 – 9] уравнения с производной Хукухары применены
для исследования нечетких дифференциальных уравнений. В [10, 11] проведено обосно-
вание метода усреднения для дифференциальных уравнений и дифференциальных вклю-
чений с производной Хукухары без запаздывания, а в [12 – 14] — с запаздыванием. В дан-
ной статье приводится обоснование метода частичного усреднения управляемых уравне-
ний с производной Хукухары с переменным запаздыванием.
Определение 1 [1]. Пусть множества A, B принадлежат conv(Rn). Разностью Ху-
кухары AHB множеств A и B называется такое множество C ∈ conv(Rn), что A =
= B + C, conv(Rn) — пространство непустых выпуклых компактных подмножеств
в Rn.
Разность Хукухары, если она существует, определяется единственным образом. Опе-
рация разности непрерывна относительно метрики Хаусдорфа.
Определение 2 [1]. Многозначное отображение X : R1 → conv(Rn) дифференци-
руемо по Хукухаре в точке t0 ∈ R1, если существуют разности X(t0+∆t)
H
X(t0) и
X(t0)
H
X (t0−∆t) для всех достаточно малых ∆t > 0 и элемент DHX(t0) ∈ conv(Rn)
такой, что
lim
∆t→0+
h
(
X(t0+∆t)HX(t0)
∆t
,DHX (t0)
)
= lim
∆t→0+
h
(
X (t0)HX (t0−∆t)
∆t
,DHX (t0)
)
,
c© В. А. Плотников , О. Д. Кичмаренко, 2006
376 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 377
где h(A,B) — расстояние по Хаусдорфу между множествами A и B, причем h(A,B) =
= min{d > 0|A ⊂ Sd(B), B ⊂ Sd(A)}, A, B ∈ comp(Rn), Sd(A) — замкнутая d-окрест-
ность множества A. Модуль |A| множества A ∈ conv(Rn) равен h(A, {0}).
В работе [1] определен интеграл от непрерывного многозначного отображения X :
[a, b] → conv(Rn) и показано, что DH
∫ t
a
X(s)ds = X(t).
1. Обоснование метода усреднения для управляемых линейных дифференциальных
уравнений с производной Хукухары. 1.1. Постановка задачи. Рассмотрим управляемую
линейную систему, описываемую дифференциальным уравнением с производной Хуку-
хары и запаздыванием:
DHX(t) = ε [A(t)X(t) +A1(t)X(α(t)) + F (t) +B(t)u(t)] , (1)
где t ∈ I =
[
0, Lε−1
]
, ε — малый параметр, X : R1 → conv(Rn), A(t), A1(t) — (n × n)-
матрицы, F : R1 → conv(Rn), α(t) — переменное запаздывание, B(t) — (n× r)-матрица,
управление u(t) ∈ U, U ∈ comp(Rr).
Запаздывание 0 ≤ α(t) ≤ t — неотрицательная непрерывная функция. Для уравне-
ния (1) зададим начальное условие X(0) = X0. Если α(t) ≤ t и существует t∗ = inf
t≥0
α(t) >
> −∞, то на [t∗, 0] зададим начальную функцию Φ : R1 → conv(Rn). Далее будем счи-
тать, что 0 ≤ α(t) ≤ t.
При усреднении функции B(t)u(t) нельзя утверждать существование среднего для
произвольного управления u(t). Поэтому воспользуемся схемой частичного усредне-
ния [15].
Предположим, что существуют
A = lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
A(s) ds, A1 = lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
A1(s) ds, F = lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
F (s) ds (2)
и
V = lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
B(s)U ds. (3)
Тогда уравнению (1) поставим в соответствие частично усредненное уравнение
DHY (t) = ε
[
AY (t) +A1Y (α(t)) + F + v
]
, Y (0) = X0, (4)
где Y : R1 → conv(Rn), новое управление v(t) выбирается из множества V.
Интеграл в (2) от многозначного отображения понимается в смысле Римана – Хуку-
хары [1], а в (3) — в смысле Аумана, сходимость в conv(Rn) понимается в смысле метрики
Хаусдорфа [16]. Если ‖B(t)‖ ≤ m(t), где m(t) — суммируемая функция, то согласно тео-
реме А. А. Ляпунова [17] V ∈ conv(Rr).
1.2. Алгоритм соответствия управлений исходной и усредненной систем. Соответствие
между управлениями u(t) и v(t) установим по следующему алгоритму ступенчатого усред-
нения:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
378 В. А. ПЛОТНИКОВ , О. Д. КИЧМАРЕНКО
1. Управлению v(t) ∈ V поставим в соответствие управление u(t) ∈ U следующим
образом:
a) вычисляем vi =
1
T0
∫ (i+1)T0
iT0
v(t)dt, i = 0, 1, 2, . . . (здесь T0 — произвольно выбранная
константа);
б) зададим управление u(t) = {ui(t), iT0 ≤ t < (i+ 1)T0} , где ui(t) находим из условия
min
u(t)∈U
∥∥∥∥∥∥∥
1
T0
(i+1)T0∫
iT0
B(s)u(s) ds− vi
∥∥∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥∥∥
1
T0
(i+1)T0∫
iT0
B(s)ui(s) ds− vi
∥∥∥∥∥∥∥ . (5)
Очевидно, что управление u(t) в (5) существует, но может определяться неоднознач-
но.
2. Управлению u(t) ∈ U поставим в соответствие управление v(εt) ∈ V следующим
образом:
a) вычислимwi =
1
T0
∫ (i+1)T0
iT0
B(s)u(s)ds, i = 0, 1, 2, . . . , wi ∈ V i
T0
=
1
T0
∫ (i+1)T0
iT0
B(t)U dt;
согласно (3) имеем
lim
T0→∞
V i
T0
= V, (6)
т. е. условие wi ∈ V может не выполняться;
б) зададим управление v(t) = {vi, iT0 ≤ t < (i+1)T0, i = 0, 1, . . .} , где vi находим из
условия
min
v∈V
‖wi − v‖ = ‖wi − vi‖. (7)
В силу выпуклости и компактности множества V, а также выпуклости функции ‖wi−
−v‖ значение vi в (7) определяется однозначно.
В качестве управления v(t) можно выбрать ступенчатую функцию
ṽ(t) =
vi(t) ∈ V
∣∣∣∣∣∣∣
1
T0
(i+1)T0∫
iT0
vi(t)dt = vi, iT0 ≤ t < (i+1)T0, i = 0, 1, . . .
.
1.3. Обоснование схемы ступенчатого усреднения.
Теорема. Пусть в области Q = {t ≥ 0; X ∈ D ⊂ conv(Rn)} выполнены следующие
условия:
1) A(t), A1(t), F (t) и B(t) непрерывны и ограничены, т. е. ‖A(t)‖ ≤ M, ‖A1(t)‖ ≤ M,
‖B(t)‖ ≤ M, |F (t)| ≤ M ; |U | ≤ 1;
2) функция α(t) равномерно непрерывна при t ≥ 0 и 0 ≤ α(t) ≤ t;
3) пределы (2), (3) существуют равномерно относительно t ≥ 0;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 379
4) решения Y (t) усредненной системы (4) при любом измеримом управлении v(t) ∈ V,
ε ∈ (0, σ], t ≥ 0, Y (0) = X0 ⊂ D′ ⊂ D вместе с ρ-окрестностью принадлежат облас-
ти D.
Тогда для любого η > 0, L > 0 существует ε(η, L) ∈ (0, σ] такое, что при всех
ε ∈ (0, ε0] и t ∈ [0, Lε−1] справедливы следующие утверждения:
1) для любого допустимого управления u(t) ∈ U системы (1) существует допусти-
мое управление v(t) ∈ V системы (4) такое, что справедлива оценка
h(X(t), Y (t)) ≤ η, (8)
где X(t), Y (t) — решения уравнений (1) и (4) соответственно, при этом X(0) = Y (0) =
= X0 ∈ D′;
2) для любого допустимого управления v(t) ∈ V системы (4) существует допусти-
мое управление u(t) ∈ U системы (1) такое, что справедлива оценка (8).
Доказательство. Пусть u(t) — некоторое допустимое управление в (1), а v(t) — со-
ответствующее ему по алгоритму (п.1.2) управление в (4). Представим решения уравне-
ний (1) и (4) в интегральной форме [2, 4]
X(t) = X0 + ε
t∫
0
[A(s)X(s) +A1(s)X(α(s)) + F (s) +B(s)u(s)] ds,
Y (t) = X0 + ε
t∫
0
[AY (s) +A1Y (α(s)) + F + v] ds
и оценим |X(t)| и |Y (t)|.
Обозначим mX(s) = max
0≤τ≤s
|X(τ)|, mY (s) = max
0≤τ≤s
|Y (τ)|. Тогда
mX(t) ≤ |X0|+ ε
t∫
0
[
‖A(s)‖mX(s) + ‖A1(s)‖mX(s) + |F (s)|+ ‖B(s)‖ |U |
]
ds ≤
≤ |X0|+ 2ML+ 2εM
t∫
0
mX(s) ds ≤
(
|X0|+ 2ML
)
e2εM t ≤
(
|X0|+ 2ML
)
e2M L.
Аналогично получаем
mY (s) ≤
(
|X0|+ 2ML
)
e2M L.
Таким образом,
|X(t)| ≤
(
|X0|+ 2ML
)
e2M L и |Y (t)| ≤
(
|X0|+ 2ML
)
e2M L.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
380 В. А. ПЛОТНИКОВ , О. Д. КИЧМАРЕНКО
С учетом изложенного выше оценим
h(X(t), Y (t)) ≤ εh
t∫
0
[A(s)X(s) +A1(s)X(α(s)) + F (s) +B(s)u(s)] ds,
t∫
0
[
AY (s) +A1Y (α(s)) + F + v(s)
]
ds
≤
≤ ε
h
t∫
0
A(s)X(s) ds,
t∫
0
AY (s) ds
+
+ h
t∫
0
A1(s)X(α(s)) ds,
t∫
0
A1Y (α(s)) ds
+
+ h
t∫
0
F (s) ds,
t∫
0
F ds
+
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
B(s)u(s) ds−
t∫
0
v(s) ds
∥∥∥∥∥∥
. (9)
Каждое слагаемое в (9) оценим отдельно с учетом (2), (3).
Сегмент [0, Lε−1] разобьем на части точками ti = i∆(ε), i = 0, 1, . . . ,m, причемm∆(ε) ≤
≤ Lε < (m+ 1)∆(ε), lim
ε→0
∆(ε) = ∞, lim
ε→0
ε∆(ε) = 0.
Пусть t ∈ [tk, tk+1), тогда
h
t∫
0
A(s)X(s) ds,
t∫
0
AY (s) ds
≤
≤ h
k−1∑
i=1
ti+1∫
ti
A(s)X(s) ds+
t∫
tk
A(s)X(s)ds,
k−1∑
i=1
ti+1∫
ti
AX(s) ds+
t∫
tk
AX(s) ds
+
+ h
t∫
0
AX(s)ds,
t∫
0
AY (s) ds
≤
≤
k−1∑
i=1
h
ti+1∫
ti
A(s)X(s) ds,
ti+1∫
ti
AX(s) ds
+ h
t∫
tk
A(s)X(s) ds,
t∫
tk
AX(s) ds
+
+ h
t∫
0
AX(s) ds,
t∫
0
AY (s) ds
,
(10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 381
h
ti+1∫
ti
A(s)X(s) ds,
ti+1∫
ti
AX(s) ds
≤
≤ h
ti+1∫
ti
A(s)X(s) ds,
ti+1∫
ti
A(s)Xi ds
+ h
ti+1∫
ti
A(s)Xi ds,
ti+1∫
ti
AXi ds
+
+ h
ti+1∫
ti
AXi ds,
ti+1∫
ti
AX(s) ds
.
В силу равномерной сходимости к среднему в (2), (3) существует монотонно убывающая
функция Θ(t) → 0 при t → ∞ такая, что
h
ti+1∫
ti
A(s)Xi ds,
ti+1∫
ti
AXi ds
≤ ∆(ε)Θ (∆(ε)) ,
h
ti+1∫
ti
B(s)u(s) ds,
ti+1∫
ti
v(s) ds
≤ ∆(ε)Θ (∆(ε)) .
Тогда
h
ti+1∫
ti
A(s)X(s) ds,
ti+1∫
ti
AX(s) ds
≤ h
ti+1∫
ti
A(s)Xi ds+
+ ε
ti+1∫
ti
A(s)
s∫
ti
[A(τ)X(τ) +A1(τ)X(α(τ)) + F (τ) +B(τ)u(τ)] dτ ds,
ti+1∫
ti
A(s)Xi ds
+ h
ti+1∫
ti
AXi ds,
ti+1∫
ti
AXi ds+
+ ε
ti+1∫
ti
A
s∫
ti
[A(τ)X(τ) +A1(τ)X(α(τ)) + F (τ) + v(τ)] dτ ds
+ ∆(ε)Θ(∆(ε)) ≤
≤ ε
∣∣∣∣∣∣
ti+1∫
ti
A(s)
s∫
ti
[A(τ)X(τ) +A1(τ)X(α(τ)) + F (τ) +B(τ)u(τ)] dτ ds
∣∣∣∣∣∣+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
382 В. А. ПЛОТНИКОВ , О. Д. КИЧМАРЕНКО
+ ε
∣∣∣∣∣∣
ti+1∫
ti
A
s∫
ti
[A(τ)X(τ) +A1(τ)X(α(τ)) + F (τ) +B(τ)u(τ)] dτ ds
∣∣∣∣∣∣+ ∆(ε)Θ(∆(ε)) ≤
≤ ε(∆(ε))24M2
(
1 + (‖X0‖+ 2ML)e2ML
)
+ ∆(ε)Θ (∆(ε)) , (11)
h
t∫
tk
A(s)X(s) ds,
t∫
tk
AX(s) ds
≤
t∫
tk
h
(
A(s)X(s), AX(s)
)
ds ≤
≤
t∫
tk
max
ψ∈S1
∣∣C(A(s)X(s), ψ)− C(AX(s), ψ)
∣∣ ds ≤
≤
t∫
tk
|X(s)|max
ψ∈S1
∣∣∣AT (s)ψ −A
T
ψ
∣∣∣ ds ≤ t∫
tk
|X(s)|
∥∥∥AT (s)−A
T
∥∥∥ ds ≤
≤ 2M∆(ε) (|X0|+ 2ML) e2M L, (12)
где C(A,ψ) = max
a∈A
(a, ψ) — опорная функция множества A ∈ comp(Rn), ψ ∈ Rn, S1 —
сфера единичного радиуса.
Далее,
h
t∫
0
AX(s) ds,
t∫
0
AY (s) ds
≤
t∫
0
h
(
AX(s), AY (s)
)
ds =
=
t∫
0
max
ψ∈S1
∣∣C(AX(s), ψ)− C(AY (s), ψ)
∣∣ ds =
=
t∫
0
max
ψ∈S1
∣∣∣C(X(s), ATψ)− C(Y (s), ATψ)
∣∣∣ ds ≤
≤
t∫
0
max
ψ∈S1
∥∥∥ATψ∥∥∥h(X(s), Y (s)) ds ≤
≤
∥∥∥AT∥∥∥ t∫
0
h(X(s), Y (s)) ds ≤ M
t∫
0
δ(s) ds, (13)
где δ(t) = max
0≤x≤t
h(X(s), Y (s)).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 383
Таким образом, из (10) – (13) следует
h
t∫
0
A(s)X(s) ds,
t∫
0
AY (s) ds
≤
≤
k−1∑
i=1
[
ε(∆(ε))24M2
(
1 + (‖X0‖+ 2ML)e2ML
)
+ ∆(ε)Θ(∆(ε))
]
+
+ 2M∆(ε)(|X0|+ 2ML)e2M L +M
t∫
0
δ(s)ds ≤
≤ 2M∆(ε)
(
2ML+ (2ML+ 1)(|X0|+ 2ML)e2ML
)
+
+
L
ε
Θ(∆(ε)) +M
t∫
0
δ(s) ds. (14)
Аналогично получаем
h
t∫
0
A1(s)X(α(s)) ds,
t∫
0
A1Y (α(s)) ds
≤
≤ 2M∆(ε)(2ML+ (2ML+ 1)(|X0|+ 2ML)e2ML)+
+
L
ε
Θ(∆(ε)) +M
t∫
0
δ(s)ds. (15)
Оценим третье слагаемое в (9):
h
t∫
0
F (s) ds,
t∫
0
F ds
≤
≤ h
k−1∑
i=1
ti+1∫
ti
F (s) ds+
t∫
tk
F (s) ds,
k−1∑
i=1
ti+1∫
ti
F ds+
t∫
tk
F ds
≤
≤
k−1∑
i=1
h
ti+1∫
ti
F (s) ds,
ti+1∫
ti
F ds
+ h
t∫
tk
F (s) ds,
t∫
tk
F ds
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
384 В. А. ПЛОТНИКОВ , О. Д. КИЧМАРЕНКО
В силу равномерной сходимости к среднему в (2) существует монотонно убывающая
функция Θ(t) → 0 при t → ∞ такая, что
h
ti+1∫
ti
F (s) ds,
ti+1∫
ti
F ds
≤ ∆(ε)Θ(∆(ε)).
Тогда
h
t∫
0
F (s) ds,
t∫
0
F ds
≤
k−1∑
i=1
∆(ε)Θ(∆(ε)) + h
t∫
tk
F (s) ds,
t∫
tk
F ds
≤
≤ L
ε
Θ(∆(ε)) +
t∫
tk
h
(
F (s), F
)
ds ≤ L
ε
Θ(∆(ε)) + 2M∆(ε). (16)
Оценим четвертое слагаемое в (9) с учетом алгоритма соответствия управлений, выб-
рав T0 = ∆(ε) :∥∥∥∥∥∥
t∫
0
B(s)u(s) ds−
t∫
0
v(s) ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥∥∥∥
k−1∑
i=1
ti=1∫
ti
B(s)u(s) ds+
t∫
tk
B(s)u(s) ds
−
k−1∑
i=1
ti+1∫
ti
v(s) ds+
t∫
tk
v(s) ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
k−1∑
i=1
∥∥∥∥∥∥
ti+1∫
ti
B(s)u(s)ds−
ti+1∫
ti
v(s) ds
∥∥∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥∥
t∫
tk
B(s)u(s) ds−
t∫
tk
v(s) ds
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
k−1∑
i=1
∆(ε)Θ(∆(ε)) + 2M∆(ε) ≤ L
ε
Θ(∆(ε)) + 2M∆(ε). (17)
Из (9), (14) – (17) получаем
δ(t) ≤ r(ε) + 2εM
t∫
0
δ(s) ds,
где
r(ε) = 4Mε∆(ε)
(
2ML+ (2ML+ 1)(|X0|+ 2ML)e2ML
)
+ 4Mε∆(ε) + 4LΘ(∆(ε)).
Согласно лемме Гронуолла – Беллмана
δ(s) ≤ r(ε)e2ML. (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 385
Поскольку r(ε) → 0 при ε → 0, из (18) следует оценка (8).
2. Вывод. Доказанная теорема позволяет построить численно-асимптотические мето-
ды решения задач оптимального управления системами с производной Хукухары анало-
гично задачам оптимального управления на траекториях, описываемых обыкновенными
дифференциальными уравнениями [15].
1. Hukuhara M. Integration des applications mesurable dont la valeur est un compact convexe // Func. ekvacioj.
— 1967. — № 10. — P. 205 – 223.
2. De Blasi F. S., Iervolino F. Equazioni differentiali con soluzioni a valore compatto convesso // Boll. Unione
mat. ital. — 1969. — 2, № 4-5. — P. 491 – 501.
3. De Blasi F. S., Iervolino F. Euler method for differential equations with set-valued solutions // Ibid. — 1971.
— 4, № 4. — P. 941 – 949.
4. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. — Новосибирск: Нау-
ка, 1986. — 296 с.
5. Diniz G., Fernandes J. F. R., Meyer J. F. C. A., Barros L. C. A fuzzy Cauchy problem modelling the decay
of the biochemical oxygen demand in water // Joint 9th IFSA World Congr. and 20th NAFIPS Int. Conf. —
2001. — P. 512 – 516.
6. Hüllermeier E. An approach to modelling and simulation of uncertain dynamical systems // Int. J. Uncertai-
nty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems. — 1997. — № 5. — P. 117 – 137.
7. Lakshmikantham V., Leela S., Vatsala A. S. Interconnection between set and fuzzy differential equations //
Nonlinear Analysis. — 2003. — № 54. — P. 351 – 360.
8. Lakshmikantham V., Tolstonogov A. A. Existence and interrelation between set and fuzzy differential equati-
ons // Ibid. — № 55. — P. 255 – 268.
9. Oberguggenberger M., Pittschmann S. Differential equations with fuzzy parameters // Math. and Comput.
Modelling Dynam. Syst. — 1999. — № 5. — P. 181 – 202.
10. Плотников А. В. Усреднение дифференциальных включений с производной Хукухары // Укр. мат.
журн. — 1989. — 41, № 1. — C. 121 – 125.
11. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной пра-
вой частью. Асимптотические методы. — Одесса: Астропринт, 1999. — 356 c.
12. Kisielewicz M. Method of averaging for differential equations with compact convex valued solutions // Rend.
math. — 1976. — 9, № 3. — P. 397 – 408.
13. Janiak T., Luczak-Kumorek E. Bogollubov’s type theorem for functional differential inclusions with Hukuhara’s
derivative // Stud. Univ. Babes-Bolyai. Math. — 1991. — № 1. — P. 41 – 54.
14. Plotnikov V. A., Rashkov P. I. Averaging in differential equations with Hukuhara derivative and delay // Funct.
Different. Equat. (Israel). — 2001. — 8, № 3-4. — P. 371 – 381.
15. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. — Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. — 188 с.
16. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // То-
пология, обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы: Сб. обзорных статей.
(Тр. Мат. ин-та АН СССР). — М.: Наука, 1985. — 2. — С. 194 – 252.
17. Ляпунов А. А. О вполне аддитивных вектор-функциях // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1940. — № 6. —
С. 465 – 478.
Получено 27.02.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
|