Про стійкість множин для послідовностей випадкових ламаних
Для послiдовностi випадкових ламаних вводиться поняття стiйкої множини. Отримано достатнi умови стiйкостi заданої множини для послiдовностi випадкових ламаних.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178166 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про стійкість множин для послідовностей випадкових ламаних / Г.Л. Кулініч, А.В. Єршов // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 356-367. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178166 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781662021-02-19T01:27:16Z Про стійкість множин для послідовностей випадкових ламаних Кулініч, Г.Л. Єршов, А.В. Для послiдовностi випадкових ламаних вводиться поняття стiйкої множини. Отримано достатнi умови стiйкостi заданої множини для послiдовностi випадкових ламаних. For a sequence of random polygonal lines, we introduce a notion of a stable set. We find sufficient conditions for stability of a given set for a sequence of random polygonal lines. 2006 Article Про стійкість множин для послідовностей випадкових ламаних / Г.Л. Кулініч, А.В. Єршов // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 356-367. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178166 519.21 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Для послiдовностi випадкових ламаних вводиться поняття стiйкої множини. Отримано достатнi умови стiйкостi заданої множини для послiдовностi випадкових ламаних. |
| format |
Article |
| author |
Кулініч, Г.Л. Єршов, А.В. |
| spellingShingle |
Кулініч, Г.Л. Єршов, А.В. Про стійкість множин для послідовностей випадкових ламаних Нелінійні коливання |
| author_facet |
Кулініч, Г.Л. Єршов, А.В. |
| author_sort |
Кулініч, Г.Л. |
| title |
Про стійкість множин для послідовностей випадкових ламаних |
| title_short |
Про стійкість множин для послідовностей випадкових ламаних |
| title_full |
Про стійкість множин для послідовностей випадкових ламаних |
| title_fullStr |
Про стійкість множин для послідовностей випадкових ламаних |
| title_full_unstemmed |
Про стійкість множин для послідовностей випадкових ламаних |
| title_sort |
про стійкість множин для послідовностей випадкових ламаних |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178166 |
| citation_txt |
Про стійкість множин для послідовностей випадкових ламаних / Г.Л. Кулініч, А.В. Єршов // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 356-367. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kulíníčgl prostíjkístʹmnožindlâposlídovnostejvipadkovihlamanih AT êršovav prostíjkístʹmnožindlâposlídovnostejvipadkovihlamanih |
| first_indexed |
2025-07-15T16:32:00Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:32:00Z |
| _version_ |
1837731278871330816 |
| fulltext |
УДК 519 . 21
ПРО СТIЙКIСТЬ МНОЖИН ДЛЯ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ
ВИПАДКОВИХ ЛАМАНИХ
Г. Л. Кулiнiч, А. В. Єршов
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
e-mail: a_yershov@univ.kiev.ua
For a sequence of random polygonal lines, we introduce a notion of a stable set. We find sufficient conditi-
ons for stability of a given set for a sequence of random polygonal lines.
Для послiдовностi випадкових ламаних вводиться поняття стiйкої множини. Отримано дос-
татнi умови стiйкостi заданої множини для послiдовностi випадкових ламаних.
1. Вступ. Збiжнiсть послiдовностей випадкових ламаних до розв’язкiв стохастичних ди-
ференцiальних рiвнянь розглядалася в багатьох роботах (див., наприклад, [1, 2]. При цьо-
му суттєвою умовою була невиродженiсть дифузiйної матрицi граничного рiвняння. Вод-
ночас дифузiйна матриця стохастичного диференцiального рiвняння Iто, що має iнварi-
антнi кривi [3, 4], є виродженою на цих кривих. У данiй роботi дослiджується збiжнiсть
послiдовностей випадкових ламаних до множин, якi, зокрема, можуть бути iнварiантни-
ми для розв’язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь. Вимагається невиродженiсть
локальних характеристик випадкових ламаних, але припускається, що вони можуть ви-
роджуватись у границi. Натомiсть на локальнi характеристики накладено умови, подiбнi
до умов iнварiантностi для стохастичних диференцiальних рiвнянь.
2. Постановка задачi. Нехай задано послiдовнiсть m-вимiрних випадкових векторiв
ξn0, ..., ξnmn , n = 0, 1, 2, ..., зв’язаних у кожнiй серiї в ланцюг Маркова, 0 = tn0 < tn1 < ...
... < tnmn = 1 — деяка послiдовнiсть розбиттiв вiдрiзка [0, 1] та
λn = max
k
[tnk+1 − tnk] → 0 (1)
при n → ∞.
Введемо позначення: ∆tnk = tnk+1 − tnk ; ∆ξnk = ξnk+1 − ξnk; Fnk — мiнiмальна σ-
алгебра, вiдносно якої вимiрними є величини ξnj , j ≤ k;
E {∆ξnk|Fnk} = an(ξnk)∆tnk,
E {(∆ξnk − an(ξnk)∆tnk)(∆ξnk − an(ξnk)∆tnk)T |Fnk} = σ2
n(ξnk)∆tnk,
де an(x) — m-вимiрнi вектори-стовпчики, σn(x) — матрицi розмiрностi m×m, а через (·)T
позначено операцiю транспонування.
Нехай ξn(t) — випадкова ламана з вершинами у точках (tnk, ξnk) :
ξn(t) = ξnk +
t− tnk
∆tnk
∆ξnk, tnk ≤ t < tnk+1.
c© Г. Л. Кулiнiч, А. В. Єршов, 2006
356 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ПРО СТIЙКIСТЬ МНОЖИН ДЛЯ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ ВИПАДКОВИХ ЛАМАНИХ 357
Запишемо величину ∆ξnk у виглядi
∆ξnk = an (ξnk) ∆tnk + σn (ξnk) ∆ωnk, (2)
де ∆ωnk = [σn (ξnk)]
−1 (∆ξnk − an (ξnk) ∆tnk).
Послiдовнiсть {ωnk, k = 0, 1, . . . ,mn} є Fnk-мартингалом, при цьому
E{∆ωnk|Fnk } = 0, (3)
E
{
∆ωi
nk∆ωj
nk|Fnk
}
= ∆tnkδij , (4)
де δij — символ Кронекера.
В подальшому будемо використовувати наступнi умови:
H1) σn(x) є невиродженими;
H2) для довiльного N > 0 iснує таке CN > 0, що для усiх n ≥ 1
(|an(x)|+ |σn(x)|) χN (x) ≤ CN ,
де χN (x) = 1, якщо |x| ≤ N, i χN (x) = 0 — у протилежному випадку;
H3) G(x) ∈ C(2)(Rm);
H4) lim
N→∞
sup
n
P{sup
k
|ξnk| > N} = 0;
H5) для довiльного N > 0 iснує таке CN > 0, що для усiх n ≥ 1
λn sup
|x|≤N
∣∣[σn(x)]−1an(x)
∣∣2 ≤ CN ;
H6) для довiльного N > 0
lim
n→∞
mn−1∑
k=0
E
∣∣[σn(ξnk)]−1∆ξnk
∣∣4 χN (ξnk) = 0;
H7) для довiльного N > 0
lim
n→∞
sup
|x|≤N
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
G′
xi
(x)σik
n (x)
∣∣∣∣∣ = 0, k = 1, . . . ,m;
H8) для довiльного N > 0
lim
n→∞
sup
|x|≤N
∣∣∣∣∣∣
m∑
i=1
G′
xi
(x) ai
n(x) +
1
2
m∑
k,i,j=1
G′′
xixj
(x)σik
n (x)σjk
n (x)
∣∣∣∣∣∣ = 0;
H9) lim
n→∞
G(ξn0) = G(x0) за ймовiрнiстю, де x0 ∈ Rm — фiксована точка.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
358 Г. Л. КУЛIНIЧ, А. В. ЄРШОВ
Означення. Множину Γ = {x ∈ Rm|G (x) = G (x0)}, де x0 ∈ Rm, будемо називати
стiйкою для послiдовностi ламаних ξn (t) , якщо для довiльних ε > 0, δ > 0 iснує
номер n0 такий, що
P
{
sup
0≤t≤1
|G (ξn(t))−G (x0)| ≤ ε
}
> 1− δ
при n > n0.
3. Достатнi умови стiйкостi множини для послiдовностi випадкових ламаних.
Теорема. Якщо виконуються умови H1) – H9), то множина Γ є стiйкою для послi-
довностi випадкових ламаних ξn(t).
Доведення. Для довiльного ε > 0
P
{
sup
0≤t≤1
|G (ξn (t)) − G (x0) | > ε} ≤
≤ P
{
sup
k
sup
tnk≤t<tnk+1
|G (ξn (t))−G (ξnk)| >
ε
2
}
+
+ P
{
sup
k
|G (ξnk)−G (x0)| >
ε
2
}
.
За формулою Тейлора
G (ξn (t)) = G
(
ξnk +
t− tnk
∆tnk
∆ξnk
)
=
= G (ξnk) +
(
G′
(
ξnk + θnk
t− tnk
∆tnk
∆ξnk
)
t− tnk
∆tnk
,∆ξnk
)
при t ∈ [tnk, tnk+1), де 0 < θnk < 1 . Тут (· , ·) — скалярний добуток, G′ =
( ∂G
∂x1
, . . . ,
∂G
∂xm
)
.
У подальшому будемо також позначати G′′ =
( ∂2G
∂xi∂xj
)
i,j=1,...,m
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ПРО СТIЙКIСТЬ МНОЖИН ДЛЯ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ ВИПАДКОВИХ ЛАМАНИХ 359
Позначимо Pn (N) = P
{
sup
k
|ξnk| > N
}
. Тодi
P
{
sup
k
sup
tnk≤t<tnk+1
|G (ξn (t))−G (ξnk)| >
ε
2
}
=
= P
{
sup
k
sup
tnk≤t<tnk+1
∣∣∣∣(G′
(
ξnk + θnk
t− tnk
∆tnk
∆ξnk
)
t− tnk
∆tnk
,∆ξnk
)∣∣∣∣ >
ε
2
}
≤
≤ 2Pn(N) + P
{
sup
|x|≤3N
∣∣G′ (x)
∣∣sup
k
|∆ξnk|χN (ξnk) χN (ξnk+1) >
ε
8
}
,
оскiльки при |ξnk| ≤ N , |ξnk+1| ≤ N маємо
∣∣∣ξnk + θnk
t− tnk
∆tnk
∆ξnk
∣∣∣ ≤ 3N . З умови H3)
випливає, що iснує така стала LN > 0, для якої sup
|x|≤3N
|G′ (x)| ≤ LN .
Таким чином,
P
{
sup
|x|≤3N
∣∣G′ (x)
∣∣sup
k
|∆ξnk|χN (ξnk) χN (ξnk+1) >
ε
8
}
≤
≤
mn−1∑
k=0
P
{
|∆ξnk|χN (ξnk) >
ε
8LN
}
≤
(
8LN
ε
)4 mn−1∑
k=0
E |∆ξnk|4χN (ξnk) .
Доведемо, що при фiксованому N > 0
mn−1∑
k=0
E|∆ξnk|4χN (ξnk) → 0, n → ∞.
Скориставшись умовою H2), отримаємо
mn−1∑
k=0
E |∆ξnk|4χN (ξnk) ≤
mn−1∑
k=0
E |σn (ξnk)|4
∣∣∣[σn (ξnk)]
−1∆ξnk
∣∣∣4χN (ξnk) ≤
≤ C4
N
mn−1∑
k=0
E
∣∣∣[σn (ξnk)]
−1∆ξnk
∣∣∣4χN (ξnk) → 0
при n → ∞ за умовою H6).
Отже, переходячи до границi спочатку по n → ∞ , а потiм по N → ∞ , отримуємо
P
{
sup
k
sup
tnk≤t<tnk+1
|G (ξn (t))−G (ξnk)| >
ε
2
}
→ 0, n → ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
360 Г. Л. КУЛIНIЧ, А. В. ЄРШОВ
Використовуючи формулу Тейлора та зображення (2), маємо
G (ξns) = G (ξn0) +
s−1∑
k=0
(G (ξnk+1)−G (ξnk)) =
= G (ξn0) +
s−1∑
k=0
((
G′ (ξnk) ∆ξnk
)
+
1
2
∆ξT
nk G′′ (ξnk + θnk∆ξnk) ∆ξnk
)
=
= G(ξn0) +
s−1∑
k=0
[(
G′(ξnk), an(ξnk)∆tnk + σn(ξnk)∆ωnk
)
+
+
1
2
(an(ξnk)∆tnk + σn(ξnk)∆ωnk)T G′′(ξnk + θnk∆ξnk)(an(ξnk)∆tnk + σn(ξnk)∆ωnk)
]
=
= G(ξn0) +
s−1∑
k=0
m∑
i=1
G′
xi
(ξnk) ai
n(ξnk)∆tnk +
m∑
i=1
G′
xi
(ξnk)
m∑
j=1
σij
n (ξnk)∆ωj
nk+
+
1
2
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk + θnk∆ξnk) ai
n(ξnk)aj
n(ξnk)(∆tnk)2
+
+
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk + θnk∆ξnk) ai
n(ξnk)
m∑
l=1
σjl
n (ξnk)∆tnk∆ωl
nk+
+
1
2
m∑
i,j=1
(
G′′
xixj
(ξnk + θnk∆ξnk)−G′′
xixj
(ξnk)
) m∑
p, l=1
σip
n (ξnk)σjl
n (ξnk) ∆ωp
nk∆ωl
nk
+
+
1
2
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk)
m∑
p6=l
σip
n (ξnk)σjl
n (ξnk) ∆ωp
nk∆ωl
nk
+
+
1
2
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk)
m∑
p=1
σip
n (ξnk)σjp
n (ξnk)
(
(∆ωp
nk)
2 −∆tnk
)+
+
1
2
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk)
m∑
p=1
σip
n (ξnk)σjp
n (ξnk) ∆tnk
= G (ξn0) +
8∑
r=1
I(r)
s .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ПРО СТIЙКIСТЬ МНОЖИН ДЛЯ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ ВИПАДКОВИХ ЛАМАНИХ 361
Доведемо, що для довiльного ε > 0
P
{
sup
s
∣∣∣I(1)
s + I(8)
s
∣∣∣ > ε
}
→ 0, n → ∞.
Для довiльного N > 0 маємо
P
{
sup
s
∣∣∣I(1)
s + I(8)
s
∣∣∣ > ε
}
≤ Pn (N) + P
{
mn−1∑
k=0
∣∣∣∣∣
[
m∑
i=1
G′
xi
(ξnk) ai
n (ξnk) +
+
1
2
m∑
p,i,j=1
G′′
xixj
(ξnk) σip
n (ξnk) σjp
n (ξnk)
χN (ξnk) ∆tnk
∣∣∣∣∣∣ >
ε
2
≤
≤ Pn (N) +
(
2
ε
)2
(
sup
|x|≤N
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
G′
xi
(x) ai
n (x) +
+
1
2
m∑
p,i,j=1
G′′
xixj
(x) σip
n (x) σjp
n (x)
∣∣∣∣∣∣
2(
mn−1∑
k=0
∆tnk
)2
,
а отже, за умовами H4) та H8), для довiльного ε > 0
P
{
sup
s
∣∣∣I(1)
s + I(8)
s
∣∣∣ > ε
}
→ 0, n → ∞.
Для довiльних N > 0, ε > 0 отримуємо
P
{
sup
s
∣∣∣I(2)
s
∣∣∣ > ε
}
≤
≤ Pn (N) + P
sup
s
∣∣∣∣∣∣
s−1∑
k=0
m∑
i,j=1
G′
xi
(ξnk) σij
n (ξnk) ∆ωj
nk
χN (ξnk)
∣∣∣∣∣∣ >
ε
2
.
Послiдовнiсть
s−1∑
k=0
[
m∑
i,j=1
G′
xi
(ξnk) σij
n (ξnk) ∆ωj
nk
]
χN (ξnk) є мартингалом по s.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
362 Г. Л. КУЛIНIЧ, А. В. ЄРШОВ
Скориставшись мартингальною нерiвнiстю та спiввiдношеннями (3) та (4), знайдемо
P
sup
s
∣∣∣∣∣∣
s−1∑
k=0
m∑
i,j=1
G′
xi
(ξnk) σij
n (ξnk) ∆ωj
nk
χN (ξnk)
∣∣∣∣∣∣ >
ε
2
≤
≤
(
2
ε
)2
E
mn−1∑
k=0
m∑
i,j=1
G′
xi
(ξnk) σij
n (ξnk) ∆ωj
nk
χN (ξnk)
2
≤
≤ C1
mn−1∑
k=0
m∑
j=1
E
([
m∑
i=1
G′
xi
(ξnk) σij
n (ξnk)
]
∆ωj
nkχN (ξnk)
)2
=
= C1
mn−1∑
k=0
m∑
j=1
E
[ m∑
i=1
G′
xi
(ξnk) σij
n (ξnk)
]2
E
{[
∆ωj
nk
]2∣∣∣∣Fnk
}
χN (ξnk)
≤
≤ C1
m∑
j=1
sup
|x|≤N
[
m∑
i=1
G′
xi
(x) σij
n (x)
]2mn−1∑
k=0
∆tnk = C1
m∑
j=1
sup
|x|≤N
[
m∑
i=1
G′
xi
(x) σij
n (x)
]2
→ 0
при n → ∞ за умовою H7). Звiдси випливає, що P
{
sup
s
∣∣∣I(2)
s
∣∣∣ > ε
}
→ 0 , n → ∞. Далi,
P
{
sup
s
∣∣∣I(3)
s
∣∣∣ > ε
}
≤ 2Pn (N) +
4m2
ε
m∑
i,j=1
E
mn−1∑
k=0
∣∣∣G′′
xixj
(ξnk + θnk∆ξnk)
∣∣∣×
×
∣∣ai
n (ξnk)
∣∣ ∣∣aj
n (ξnk)
∣∣ (∆tnk)
2 χN (ξnk) χN (ξnk+1) .
З умови H3) випливає, що iснує таке KN > 0, що∣∣∣G′′
xixj
(ξnk + θnk∆ξnk)
∣∣∣χN (ξnk) χN (ξnk+1) ≤ KN .
Використовуючи умови H2) та H4), отримуємо
P
{
sup
s
∣∣∣I(3)
s
∣∣∣ > ε
}
≤ 2Pn (N) +
4m4
ε
KNCN
2
mn−1∑
k=0
(∆tnk)
2 ≤
≤ 2Pn (N) +
4m4
ε
KNCN
2λn,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ПРО СТIЙКIСТЬ МНОЖИН ДЛЯ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ ВИПАДКОВИХ ЛАМАНИХ 363
а отже, P
{
sup
s
∣∣∣I(3)
s
∣∣∣ > ε
}
→ 0 при n → ∞. Далi,
P
{
sup
s
∣∣∣I(4)
s
∣∣∣ > ε
}
≤ 2Pn (N) +
m∑
i,j,l=1
(
4m3
ε
)2
×
× E
(
mn−1∑
k=0
∣∣∣G′′
xixj
(ξnk + θnk∆ξnk) ai
n (ξnk) σjl
n (ξnk) ∆tnk∆ωl
nk
∣∣∣χN (ξnk) χN (ξnk+1)
)2
≤
≤ 2Pn (N) +
m∑
i,j,l=1
(
4m3
ε
)2
K2
NC4
N
mn−1∑
k=0
E
{[
∆ωl
nk
]2∣∣∣∣ Fnk
}
(∆tnk)
2 +
+
m∑
i,j,l=1
(
4m3
ε
)2
K2
NC4
NE sup
k
[(
∆ωl
nk
)2
χN (ξnk)
]mn−1∑
k 6=k1
∆tnk∆tnk1 ≤
≤ 2Pn (N) +
m∑
i,j,l=1
(
4m3
ε
)2
K2
NC4
N
[
λ2
n + Esup
k
[(
∆ωl
nk
)2
χN (ξnk)
]]
.
Маємо
m∑
l=1
E sup
k
(∣∣∣∆ωl
nk
∣∣∣2 χ[−N,N ](ξnk)
)
≤
(
mn−1∑
k=0
E |∆ωnk|4 χN (ξnk)
) 1
2
≤
≤ C1
(
E
mn−1∑
k=0
(∣∣[σn(ξnk)]−1∆ξnk
∣∣4 χN (ξnk) +
∣∣[σn(ξnk)]−1an(ξnk)
∣∣4 χN (ξnk)(∆tnk)4
)) 1
2
.
Оскiльки
mn−1∑
k=0
E
∣∣∣[σn (ξnk)]
−1 an (ξnk)
∣∣∣4 χN (ξnk) (∆tnk)
4 ≤
≤ λ3
n sup
|x|≤N
∣∣∣[σn (x)]−1 an (x)
∣∣∣4 = λn
(
λn sup
|x|≤N
∣∣∣[σn (x)]−1 an (x)
∣∣∣2)2
→ 0 , n → ∞,
за умовами H5) та (1), то
P
{
sup
s
∣∣∣I(4)
s
∣∣∣ > ε
}
→ 0, n → ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
364 Г. Л. КУЛIНIЧ, А. В. ЄРШОВ
Для довiльного δ > 0
P
{
sup
s
∣∣∣I(5)
s
∣∣∣ > ε
}
≤ 2Pn (N) + P
{
sup
k
|θnk∆ξnk| > δ
}
+
+
8m4
ε
m∑
i,j,p,l=1
mn−1∑
k=0
E
∣∣∣G′′
xixj
(ξnk + θnk∆ξnk)−G′′
xixj
(ξnk)
∣∣∣×
×
∣∣∣σip
n (ξnk) σjl
n (ξnk) ∆ωp
nk∆ωl
nk
∣∣∣χN (ξnk) χN (ξnk+1) χ|θnk∆ξnk|<δ.
Функцiя G′′
xi xj
(x) є неперервною на компактi {x ∈ Rm| |x| ≤ N}, а тому рiвномiрно
неперервною, тобто для довiльного ε1 > 0 iснує δ > 0 таке, що при кожному k для всiх
ξnk, ξnk+1 таких, що | θnk∆ξnk| < δ, виконується∣∣∣G′′
xi xj
(ξnk + θnk∆ξnk)−G′′
xi xj
(ξnk)
∣∣∣ < ε1.
Отже,
mn−1∑
k=0
E
∣∣∣(G′′
xixj
(ξnk + θnk∆ξnk)−G′′
xixj
(ξnk)
)
σip
n (ξnk) σjl
n (ξnk) ∆ωp
nk∆ωl
nk
∣∣∣×
× χN (ξnk) χN (ξnk+1) χ|θnk∆ξnk|<δ ≤
≤ ε1C
2
N
mn−1∑
k=0
E
(∣∣∆ωp
nk
∣∣∣∣∣∆ωl
nk
∣∣∣) ≤ ε1C
2
N
mn−1∑
k=0
[
E
(
∆ωp
nk
)2 E
(
∆ωl
nk
)2
] 1
2
=
= ε1C
2
N
mn−1∑
k=0
[
E
(
E
{(
∆ωp
nk
)2 |Fnk
})
E
(
E
{(
∆ωl
nk
)2
|Fnk
})] 1
2
= ε1C
2
N .
Для довiльного δ > 0 P
{
sup
k
|θnk∆ξnk| > δ
}
→ 0 , n → ∞.
Дiйсно,
P
{
sup
k
|θnk∆ξnk| > δ
}
≤ Pn(N) + P
{
sup
k
|∆ξnk|χN (ξnk) >
δ
2
}
≤
≤ Pn (N) +
(
2
δ
)4 mn−1∑
k=0
E |∆ξnk|4χN (ξnk).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ПРО СТIЙКIСТЬ МНОЖИН ДЛЯ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ ВИПАДКОВИХ ЛАМАНИХ 365
За доведеним ранiше останнiй доданок прямує до нуля при n → ∞. Отже, P
{
sup
s
|I(5)
s | >
> ε
}
→ 0 при n → ∞. Далi,
P
{
sup
s
∣∣∣I(6)
s
∣∣∣ > ε
}
≤
≤ Pn (N) + P
sup
s
∣∣∣∣∣∣
s−1∑
k=0
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk)
m∑
p6=l
σip
n (ξnk) σjl
n (ξnk)∆ωp
nk∆ωl
nk
χN (ξnk)
∣∣∣∣∣∣ >
ε
2
.
Послiдовнiсть
s−1∑
k=0
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk)
m∑
p6=l
σip
n (ξnk) σjl
n (ξnk) ∆ωp
nk∆ωl
nk
χN (ξnk)
є мартингалом по s, оскiльки E
{
∆ωp
nk∆ωl
nk
∣∣ Fnk
}
= 0 при p 6= l. Скориставшись мартин-
гальною нерiвнiстю, отримаємо
P
sup
s
∣∣∣∣∣∣
s−1∑
k=0
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk)
m∑
p6=l
σip
n (ξnk) σjl
n (ξnk) ∆ωp
nk∆ωl
nk
χN (ξnk)
∣∣∣∣∣∣ >
ε
2
≤
≤
(
2
ε
)2
E
mn−1∑
k=0
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk)
m∑
p6=l
σip
n (ξnk) σjl
n (ξnk) ∆ωp
nk∆ωl
nk
χN (ξnk)
2
=
=
(
2
ε
)2
mn−1∑
k=0
E
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk)
m∑
p6=l
σip
n (ξnk) σjl
n (ξnk) ∆ωp
nk∆ωl
nk
2
χN (ξnk) +
+ 2
mn−1∑
k>k1
E
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk)
m∑
p6=l
σip
n (ξnk) σjl
n (ξnk) ∆ωp
nk∆ωl
nk
χN (ξnk)×
×
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk1)
m∑
p6=l
σip
n (ξnk1) σjl
n (ξnk1) ∆ωp
nk1
∆ωl
nk1
χN (ξnk1)
.
Оскiльки E
{
∆ωp
nk∆ωl
nk
∣∣ Fnk
}
= 0 при p 6= l, то другий доданок дорiвнює нулю.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
366 Г. Л. КУЛIНIЧ, А. В. ЄРШОВ
За умовами H2), H3)
mn−1∑
k=0
E
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk)
m∑
p6=l
σip
n (ξnk)σjl
n (ξnk) ∆ωp
nk∆ωl
nk
2
χN (ξnk) ≤
≤ C1KNC4
N
mn−1∑
k=0
m∑
i,j=1
m∑
p6=l
E
[
∆ωp
nk
]2[∆ωl
nk
]2
χN (ξnk) ≤
≤ C1KNC4
N
m∑
i,j=1
mn−1∑
k=0
E |∆ωnk|4χN (ξnk) → 0 , n → ∞,
а отже, P
{
sup
s
∣∣∣I(6)
s
∣∣∣ > ε
}
→ 0 при n → ∞.
Послiдовнiсть
s−1∑
k=0
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk)
m∑
p=1
σip
n (ξnk) σjp
n (ξnk)
((
∆ωp
nk
)2 −∆tnk
)
χN (ξnk)
є мартингалом по s, тому
P
{
sup
s
∣∣∣I(7)
s
∣∣∣ > ε
}
≤ Pn (N) +
+
(
2
ε
)2
E
mn−1∑
k=0
m∑
i,j=1
G′′
xixj
(ξnk)
m∑
p=1
σip
n (ξnk) σjp
n (ξnk)
((
∆ωp
nk
)2 −∆tnk
)χN (ξnk)
2
≤
≤ Pn (N) + C1
(
2
ε
)2
×
×
m∑
i,j,p=1
E
(
mn−1∑
k=0
G′′
xixj
(ξnk) σip
n (ξnk) σjp
n (ξnk)
((
∆ωp
nk
)2 −∆tnk
)
χN (ξnk)
)2
.
За умовами H2), H3) та (1)
E
(
mn−1∑
k=0
G′′
xixj
(ξnk)σip
n (ξnk)σjp
n (ξnk)
((
∆ωp
nk
)2 −∆tnk
)
χN (ξnk)
)2
=
= E
mn−1∑
k=0
(
G′′
xixj
(ξnk)
)2 (
σip
n (ξnk)
)2 (
σjp
n (ξnk)
)2 ((∆ωp
nk
)2 −∆tnk
)2
χN (ξnk) ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ПРО СТIЙКIСТЬ МНОЖИН ДЛЯ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ ВИПАДКОВИХ ЛАМАНИХ 367
≤ 2K2
NC4
N
mn−1∑
k=0
(
E
(
∆ωp
nk
)4
χN (ξnk) + (∆tnk)
2
)
≤
≤ 2K2
NC4
N
[
mn−1∑
k=0
E
(
∆ωp
nk
)4
χN (ξnk) + λn
]
→ 0, n → ∞.
Отже, P
{
sup
s
∣∣∣I(7)
s
∣∣∣ > ε
}
→ 0 при n → ∞.
Врахувавши, те, що
P
{
sup
k
|G(ξnk)−G(x0)| >
ε
2
}
≤
≤ P
{
sup
k
|G(ξnk)−G(ξn0)| >
ε
4
}
+ P
{
|G(ξn0)−G(x0)| >
ε
4
}
,
та умову H9), отримаємо твердження теореми.
4. Висновок. Отриманi в роботi результати мають теоретичне значення та практичне
застосування при побудовi математичних моделей та дослiдженнi поведiнки динамiчних
систем. Враховуючи те, що множина, яка є стiйкою для послiдовностi випадкових лама-
них, водночас може бути iнварiантною множиною для розв’язку певного стохастично-
го диференцiального рiвняння, отриманi результати можна використати при дослiдженнi
збiжностi послiдовностi випадкових ламаних до розв’язку стохастичного диференцiаль-
ного рiвняння з виродженою дифузiєю.
1. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов: В 3 т. — М.: Наука, 1975. — Т. 3. — 496 с.
2. Кулинич Г. Л. Некоторые предельные теоремы для последовательности цепей Маркова // Теория ве-
роятностей и мат. статистика. — 1975. — Вып.12. — С. 77 – 89.
3. Кулiнiч Г. Л., Перегуда О. В. Iнварiантнi множини стохастичних диференцiальних рiвнянь Iто. — Київ:
Київ. ун-т, 2002. — 92 с.
4. Kulinich G. L., Pereguda O. V. Phase picture of diffusion processes with the degenerate diffusion matrices //
Random Oper. and Stochast. Equat. — 1997. — 5, № 3. — P. 203 – 216.
Одержано 22.05.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
|