Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами

Для одного класса псевдодифференциальных систем с гладкими символами, зависящими от времени, исследованы свойства фундаментальной матрицы решений; сформулированы достаточные, а для некоторых систем и необходимые условия корректной разрешимости задачи Коши с обобщенными начальными данными. При этом...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2006
Автор: Літовченко, В.А.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2006
Назва видання:Нелінійні коливання
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178178
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами / В.А. Літовченко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 502-524. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-178178
record_format dspace
spelling irk-123456789-1781782021-02-19T01:27:36Z Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами Літовченко, В.А. Для одного класса псевдодифференциальных систем с гладкими символами, зависящими от времени, исследованы свойства фундаментальной матрицы решений; сформулированы достаточные, а для некоторых систем и необходимые условия корректной разрешимости задачи Коши с обобщенными начальными данными. При этом построены пространства основных и обобщенных функций, являющиеся обобщениями некоторых классических пространств. For a class of pseudodifferential systems with smooth symbols that depend on time, we study properties of the fundamental matrix of solutions. We formulate sufficient and, for some systems, necessary conditions for correct solvability of the Cauchy problem with generalized initial conditions. We also construct spaces, which generalize certain classical spaces, of test and generalized functions. 2006 Article Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами / В.А. Літовченко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 502-524. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178178 517.928 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Для одного класса псевдодифференциальных систем с гладкими символами, зависящими от времени, исследованы свойства фундаментальной матрицы решений; сформулированы достаточные, а для некоторых систем и необходимые условия корректной разрешимости задачи Коши с обобщенными начальными данными. При этом построены пространства основных и обобщенных функций, являющиеся обобщениями некоторых классических пространств.
format Article
author Літовченко, В.А.
spellingShingle Літовченко, В.А.
Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами
Нелінійні коливання
author_facet Літовченко, В.А.
author_sort Літовченко, В.А.
title Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами
title_short Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами
title_full Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами
title_fullStr Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами
title_full_unstemmed Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами
title_sort задача коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2006
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178178
citation_txt Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами / В.А. Літовченко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 4. — С. 502-524. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT lítovčenkova zadačakošídlâodnogoklasupsevdodiferencíalʹnihsistemzgladkimisimvolami
first_indexed 2025-07-15T16:32:47Z
last_indexed 2025-07-15T16:32:47Z
_version_ 1837731327896453120
fulltext УДК 517 . 928 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ В. А. Лiтовченко Чернiв. нац. ун-т Україна, 58000, Чернiвцi, вул. Л. Толстого, 3/5 e-mail: vladlit@chnu.cv.ua For a class of pseudodifferential systems with smooth symbols that depend on time, we study properties of the fundamental matrix of solutions. We formulate sufficient and, for some systems, necessary conditions for correct solvability of the Cauchy problem with generalized initial conditions. We also construct spaces, which generalize certain classical spaces, of test and generalized functions. Для одного класса псевдодифференциальных систем с гладкими символами, зависящими от вре- мени, исследованы свойства фундаментальной матрицы решений; сформулированы достаточ- ные, а для некоторых систем и необходимые условия корректной разрешимости задачи Коши с обобщенными начальными данными. При этом построены пространства основных и обоб- щенных функций, являющиеся обобщениями некоторых классических пространств. Вступ. Теорiя просторiв типу S, розвинена I. М. Гельфандом i Г. Є. Шиловим у 50-х роках минулого столiття, вiдiграла важливу роль при дослiдженнi задачi Кошi для систем рiв- нянь у згортках таких, що коефiцiєнти у вiдповiдних двоїстих за Фур’є системах є цiлими аналiтичними функцiями за просторовою змiнною (окремим випадком таких систем є диференцiальнi та диференцiально-рiзницевi системи з неперервними коефiцiєнтами, за- лежними вiд часу). Зокрема, у термiнах цих просторiв вдалося описати класи єдиностi та класи коректної розв’язностi задачi Кошi. При цьому з’ясувалося, що чим краще себе по- водить з функцiональної точки зору фундаментальна матриця розв’язкiв (ФМР) системи, тим слабшi умови задовольняють початковi данi, тобто тим ширшi її класи єдиностi та коректної розв’язностi [1 – 3]. Природне розвинення теорiї просторiв типу S здiйснив Б. Л. Гуревич, увiвши так званi простори типу W . Данi простори дозволили точнiше описати класи єдиностi задачi Кошi для зазначених систем [4, 5]. Бурхливий розвиток теорiї псевдодиференцiальних операторiв спонукає до постанов- ки i дослiдження задачi Кошi для псевдодиференцiальних систем, символи диференцiю- вання яких мають рiзнi ступенi гладкостi (не обов’язково цiлi аналiтичнi функцiї) й зро- стають на нескiнченностi не лише степеневим чином. Для таких систем точний опис властивостей фундаментальних розв’язкiв завдяки про- сторам типу S та W не завжди є можливим. Справдi, для рiвняння ∂tu(t, x) + γ∫ −∞ ((aI − ∂2 x) τ 2 u)(t, x)dτ = 0, γ > 0, a > 0, (t, x) ∈ (0;+∞)× R, (1) де I — одиничний оператор, фундаментальний розв’язок Gt(·) збiгається з оберненим c© В. А. Лiтовченко, 2006 502 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ 503 перетворенням Фур’є функцiї θt(·) = exp { −2t (a+ (·)2)γ/2 ln(a+ (·)2) } , t > 0. Однак [6] серед Sβ α , α > 0, β > 0 (тобто просторiв типу S), не iснує найвужчого простору, в який при кожному фiксованому t > 0 потрапляла б θt(·). Бiльш того, фундаментальний розв’язок рiвняння (1) не належить жодному з просторiв WΩ M (просторiв типу W ), оскiльки функцiя θt(·), t > 0, не є цiлою аналiтичною. Таким чином, виникає потреба у поширеннi теорiї I. М. Гельфанда, Г. Є. Шилова i Б. Л. Гуревича на випадок задач Кошi для псевдодиференцiальних систем, символи яких характеризуються обмеженим ступенем гладкостi у комплексному просторi. Доречно зазначити, що задачу Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiв- нянь i систем з гладкими символами дослiджували японськi математики [7 – 10]. Ними описано клас нескiнченно диференцiйовних на Rn символiв, залежних вiд просторової змiнної; наведено достатнi умови гiпоелiптичностi псевдодиференцiальних операторiв iз такими символами, побудовано фундаментальнi розв’язки вiдповiдних задач Кошi та роз- винено методику дослiдження їх властивостей. Проте i в цьому випадку символи псевдо- диференцiювання мають степеневу поведiнку на нескiнченностi. У данiй роботi описується клас псевдодиференцiальних систем з гладкими, але не обо- в’язково цiлими аналiтичними символами з часовим параметром, поведiнка яких у околi нескiнченно вiддалених точок характеризується завдяки опуклим функцiям. Дослiджу- ються властивостi ФМР таких систем, згiдно з якими будуються простори основних i уза- гальнених функцiй, якi є певним узагальненням просторiв типу S та W ; описується їх то- пологiчна структура i з’ясовується питання взаємодвоїстостi за Фур’є. Також доводиться критерiй мультиплiкатора i встановлюється коректна розв’язнiсть задачi Кошi для таких систем у випадку, коли початковi данi є узагальненими функцiями. Для окремих систем описуються максимальнi класи узагальнених початкових даних, при яких вiдповiдна за- дача Кошi коректно розв’язна, а її розв’язок має тi властивостi гладкостi та поведiнку в околi нескiнченно вiддалених точок, що i ФМР. 1. Простори основних i узагальнених функцiй. Нехай T — довiльне фiксоване чис- ло з (0;+∞), C — множина комплексних чисел, Rn — n-вимiрний евклiдiв простiр, x = = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) — його елементи (вектори), (x, y) = n∑ j=1 xjyj — скалярний добуток у Rn, ‖x‖2 = (x, x),C∞(L) — простiр усiх нескiнченно диференцiйовних функцiй, визначених на множинi L; Ĉ(L) — сукупнiсть усiх обмежених за модулем функцiй на L; S — простiр Л. Шварца [11], а ωj(·) — зростаючi неперервнi функцiї на [0;+∞), причому ωj(0) = 0 i limt→+∞ ωj(t) = +∞, j = 1, n. Для x ≥ 0 покладемо Ωj(t) = ∫ t 0 ωj(ξ)dξ, j = 1, n. При кожному j ∈ {1, . . . , n} функцiя Ωj(·) має такi властивостi [2, 12]: 1) вона є диференцiйовною, зростаючою на [0;+∞); 2) Ωj(0) = 0, limx→+∞ Ωj(x) = +∞; 3) Ωj(·) — опукла функцiя, тобто: а) ∀{x1;x2} ⊂ [0;+∞): Ωj(x1) + Ωj(x2) ≤ Ωj(x1 + x2); б) ∀δ ≥ 1 ∀x ∈ [0;+∞): Ωj(δx) ≥ δΩj(x); в) ∀δ ∈ (0; 1) ∀x ∈ [0;+∞): Ωj(δx) ≤ δΩj(x). Довизначимо Ωj(·), j = 1, n, на (−∞; 0) парним чином, i нехай −→ Ω(x)df={Ω1(x1), . . . ,Ωn(xn)}, x ∈ Rn. Поряд з −→ Ω(·) розглянемо функцiю −→ M(x) = {M1(x1), . . . ,Mn(xn)}, де Mj(·) — функцiя, аналогiчна до Ωj(·), побудована по µj(·), яка має такi самi властивостi, що i функцiя ωj(·). Далi, говоритимемо, що послiдовнiсть {αk, k ∈ Zn +} ⊂ Rn задовольняє умову А), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 504 В. А. ЛIТОВЧЕНКО якщо для кожного ν ∈ {1, . . . , n}: 1) 0 < αν,kν < αν,kν+1, kν ∈ Z+; 2) limkν→∞ αν,kν = = +∞; 3) ∃cν > 0 ∃Aν > 0 ∀kν ∈ Z+: αν,kν+2 αν,kν ≤ cνA kν ν ; 4) ∃Lν > 0 ∀{kν ;mν} ⊂ Z+: αν,kναν,mν ≤ Lkν+mν ν αν,(kν+mν). Прикладом такої послiдовностi є послiдовнiсть iз загаль- ним членом αk = (kβ1k1 1 , . . . , kβnkn n ), βν > 0, kν ∈ Z+, ν = 1, n. У випадку, коли для {αk, k ∈ Zn +} виконуються умови 1 – 3 з А) i при цьому ∃cν > 0 ∀{kν ;mν} ⊂ Z+ : γν,kνγν,mν ≤ cνγν,(kν+mν), де γk df= { α1,k1 k1! ; . . . ; αn,kn kn! } , вважатимемо, що {αk, k ∈ Zn +} задовольняє умову В). За вектор-функцiєю −→ Ω(·) i послiдовнiстю {αk, k ∈ Zn +} побудуємо клас L {αk} −→ Ω ([0;T ]), який складається з усiх функцiй aj(t, x): [0;T ] × Rn → C таких, що: 1) aj(t, ·) ∈ C∞(Rn) (∀t ∈ [0;T ]); 2) Dk xaj(t+ τ, x)−→ τ→0 Dk xaj(t, x) рiвномiрно по x на кожному компактi з Rn для всiх k ∈ Zn + i t ∈ (0;T ]; 3) ∃bj(·) ∈ Ĉ([0;T ]) ∀k ∈ Zn + ∀x ∈ Rn: |Dk xaj(t, x)| ≤ |bj(t)||Aj(k, x)|, причому функцiя Aj(·, ·) така, що для всiх 0 < δ � 1 sup x∈Rn {|Aj(k, x)|e−δ(1, −→ Ω(x))} ≤ cjδ −1B |k| j _ αk, (1, −→ Ω(x)) = n∑ j=1 Ωj(xj), _ αk df= n∏ ν=1 αν,kν , де cj , Bj — додатнi сталi, не залежнi вiд k i δ, а |k| = k1 + . . . + kn, k ∈ Zn +; 4) ∃c ≥ 0 ∀t ∈ [0;T ], 0 < ε � 1, ∃νj(ε) > 0, νj(ε)−→ ε→0 0 ∀∆t ∈ [0; ε] ∀x ∈ Rn: |aj(t+ ∆t, x)− aj(t, x)| ≤ νj(ε)(|Aj(0, x)|+ c) (тут Aj(·, ·) — функцiя з попередньої умови); 5) iснує функцiя B̂j(·, ·; ·): Zn + × Z+ × Rn → → (0;+∞) така, що: а) ∣∣∣∣∣Dk ξ ( r∏ ν=1 aj(tν , x) )∣∣∣∣∣ ≤ B̂j(k, r;x) (∀k ∈ Zn + ∀r ∈ Z+ ∀{tν , ν = 1, r} ⊂ [0;T ] ∀x ∈ Rn); б) ряд ∞∑ r=1 LrB̂j(k, r;x)/r! є рiвномiрно збiжним по x на кожному компактi K ⊂ Rn i L ∈ [0; 2T ], причому його сума прямує до нуля при L → 0 (поточково вiдносно k i x). Зазначимо, що клас L {αk} −→ Ω ([0;T ]) є замкненим вiдносно операцiй вiднiмання, додавання та множення на неперервну функцiю b(t), t ∈ [0, T ]. Покладемо W {αk} −→ Ω = {ϕ ∈ C∞(Rn) ∣∣∣∃c > 0∃A > 0∃δ > 0∀k ∈ Zn + ∀x ∈ Rn : |Dk xϕ(x)| ≤ cA|k| _ αk exp { − n∑ ν=1 Ων(δxν) } , W −→ M {αk} = {ϕ ∈ C∞(Cn) ∣∣∣∃c > 0∃B > 0∃b > 0∀k ∈ Zn + ∀z = x+ iy ∈ Cn : ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ 505 |xkϕ(z)| ≤ cB|k| _ αk exp { n∑ ν=1 Mν(byν) } . ЧерезW {αk},A −→ Ω ,a iW −→ M,b {αk},B позначимо сукупностi всiх тих функцiй ϕ зW {αk} −→ Ω i, вiдповiдно, ψ з W −→ M {αk}, для яких виконуються нерiвностi |Dk xϕ(x)| ≤ cÂ|k| _ αk exp { − n∑ ν=1 Ων(âxν) } , x ∈ Rn, |xkψ(z)| ≤ cB̌|k| _ αk exp { n∑ ν=1 Mν(b̌yν) } , z = x+ iy ∈ Cn, для всiх k ∈ Zn +, де Â ≥ A, â ≤ a, B̌ ≥ B та b̌ ≥ b — деякi додатнi сталi. Якщо для ϕ ∈ W {αk},A −→ Ω ,a та ψ ∈ W −→ M,b {αk},B покласти ‖ϕ‖δρ = sup x∈Rn k∈Zn + { |Dk xϕ(x)| / ( (A+ δ)|k| _ αk exp { − n∑ ν=1 Ων(a(1− ρ)xν) })} , ‖ψ‖δρ = sup z=x+iy∈Cn k∈Zn + { |xkψ(z)| / ( (B + δ)|k| _ αk exp { n∑ ν=1 Mν(b(1 + ρ)yν) })} , {δ, ρ} ⊂ {1/n;n ≥ 2}, то, мiркуючи, як i у випадку просторiв типу S таW [1, 2] за умови, що послiдовнiстьαk, k ∈ ∈ Zn + задовольняє умову А), можна переконатися, що з цими нормами просториW {αk},A −→ Ω ,a i W −→ M,b {αk},B є повними, досконалими, злiченно нормованими; W {αk} −→ Ω = ⋃ A,a>0W {αk},A −→ Ω ,a , W −→ M {αk} = ⋃ B,b>0W −→ M,b {αk},B , причому послiдовнiсть {ϕν , ν ≥ 1} ⊂ W {αk} −→ Ω збiгається до ϕ ∈ W {αk} −→ Ω при ν → +∞ у цьому просторi ( позначатимемо ϕν W {αk} −→ Ω−→ ν→+∞ ϕ ) тодi i тiльки тодi, коли: а) {ϕν , ν ≥ 1} є правильно збiжною на Rn (тобто для кожного k ∈ Zn + послiдовнiсть Dk xϕν(x) збiгається до Dk xϕ(x) при ν → +∞ рiвномiрно по x на кожному компактi з Rn); б) вона є обмеженою у W {αk} −→ Ω . А ψν W −→ M {αk}−→ ν→+∞ ψ, де {ψ;ψν , ν ≥ 1} ⊂ W −→ M {αk}, лише тодi, коли: а) функцiї ψν рiвномiрно збiгаються до ψ у кожнiй обмеженiй областi з Cn; б) {ψn, n ≥ 1} є обмеженою у W {αk} −→ M . Виконання умови А) для {αk, k ∈ Zn +} гарантує iснування та неперервнiсть операцiй додавання, вiднiмання, множення, диференцiювання, а також зсуву у просторах W {αk} −→ Ω , W −→ M {αk}. Бiльш того, оскiльки зазначенi простори досконалi, то операцiя зсуву у них не лише неперервна, а й нескiнченно диференцiйовна [1]. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 506 В. А. ЛIТОВЧЕНКО Очевидно, що для {αk, k ∈ Z+}, {βk, k ∈ Z+}, якi задовольняють умову А) i такi, що αν,kν ≤ βν,kν , kν ∈ Z+, ν = 1, n, правильними є наступнi вкладення: W {αk} −→ Ω ⊂ W {βk} −→ Ω ⊂ W−→ Ω ⊂ S ⊂ W ′−→ Ω ⊂ (W {βk} −→ Ω )′ ⊂ (W {αk} −→ Ω )′, W −→ M {αk} ⊂ W −→ M {βk} ⊂ W −→ M ⊂ S ⊂ (W −→ M)′ ⊂ (W −→ M {βk}) ′ ⊂ (W −→ M {αk}) ′, де W−→ Ω , W −→ M , W −→ M−→ Ω — простори типу W , побудованi Б. Л. Гуревичем у [2, 4, 5] (тут через Φ′ позначено простiр, топологiчно спряжений до Φ). Слiд зазначити, що у W {αk} −→ Ω , в залежностi вiд {αk, k ∈ Zn +}, можуть мiститися не лише цiлi функцiї, як це вимагається для простору W −→ M−→ Ω , а inf kν∈Z+ {cBkναν,kν |zν |kν } не завжди є функ- цiєю з властивостями функцiї e−Ων(zν), ν = 1, n, що є обов’язковим для простору W −→ Ω−→ M . Зауважимо також, що якщо Mν(·) = | · |1/α, 0 < α < 1, а αν,kν = kβkν ν , kν ∈ Z+, ν = 1, n, β > 0, то W {αk} −→ M = Sβ α , де Sβ α — простiр типу S [1]. Має мiсце така теорема. Теорема 1. Якщо функцiї Mν(·) i Ων(·), ν = 1, n, взаємодвоїстi за Юнгом (у сенсi [2]), а послiдовнiсть {αk, k ∈ Zn +} задовольняє умову А), то F [W {αk} −→ Ω ] = W −→ M {αk}, F [W −→ M {αk}] = W {αk} −→ Ω , причому оператор Фур’є F на цих просторах є неперервним i взаємно однозначним. У правильностi зазначеної теореми неважко переконатися, якщо дiяти, як i при її до- веденнi у випадку просторiв типу S та W (див. [1, 2]). Далi наведемо таке означення: послiдовнiсть {αk, k ∈ Zn +} називається узгодженою з {k!, k ∈ Zn +}, якщо iснує така додатна стала B, що для всiх iν , jν , . . ., hν-цiлочисельних невiд’ємних розв’язкiв рiвняння kν = 1 · iν + 2 · jν + . . .+ Lν · hν виконується нерiвнiсть (αν,1 1! )iν (αν,2 2! )jν . . . ( αν,Lν Lν ! )hν ≤ Bkν ν αν,kν kν ! , ν ∈ {1, . . . , n}, k ∈ Zn +. Зазначимо, що кожна послiдовнiсть {αk, k ∈ Zn +}, яка задовольняє умову В), є узгод- женою з послiдовнiстю {k!, k ∈ Zn +}. Наступне твердження характеризує елементи простору W −→ M {αk} на множинi Rn. Теорема 2. Якщо послiдовнiсть {αk, k ∈ Zn +} задовольняє умову А) i узгоджена з {k!, k ∈ Zn +}, то функцiя f з C∞(Rn) належатиме простору W −→ M {αk} тодi й лише тодi, коли ∃c > 0∃A > 0∃B > 0 ∀k ∈ Zn + ∃ρk = {ρk1 , ρk2 , . . . , ρkn}, ρkν ∈ [0, kν), ν = 1, n, ∀x ∈ Rn : |Dk xf(x)| ≤ cA|k|k! n∏ ν=1 ( eMν(ρkν ) ρkν kν inf m≥0 { Bmαν,m |xν |m }) , (2) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ 507 де ρkν — розв’язок рiвняння ρµν(ρ) = kν , kν ∈ Z+, ν = 1, n. Доведення. Нехай f ∈ W −→ M {αk}. Покажемо, що для f виконуються умови (2). Згiдно з теоремою 1 f(·) = F−1[f̃(ξ)](·), де f̃(·) = F [f ](·) — елемент з W {αk} −→ Ω , а −→ Ω — двоїста за Юнгом до −→ M вектор-функцiя. Отже, для всiх {k,m} ⊂ Zn +, x ∈ Rn |xmDk xf(x)| ≤ c ∫ Rn |Dm ξ (ξkf̃(ξ))|dξ ≤ c1 m∑ |l|=0 C l m k! (k − l)! A|m−l|× × ( n∏ ν=1 (∫ R |ξν |kν−lνe−Ων(aξν)dξν ) αν,mν−lν ) . Скористаємося тепер нерiвнiстю Юнга [2] ξνyν ≤ Ων(ξν) + Mν(yν), ξν ≥ 0, yν ≥ 0, завдяки якiй ∫ R |ξν |lνe−Ων(aξν)dξν ≤ ∫ R |ξν |lνe−|ξν |yν exp { −Ων ( a 2 ξν ) +Mν ( 2 a yν )} dξν ≤ ≤ c0lν !eMν( 2 a yν) ylν ν , lν ∈ Z+, yν ≥ 0. Оскiльки yν ≥ 0 є довiльним, то ∫ R |ξν |lνe−Ων(aξν)dξν ≤ c0lν ! ( 2 a )lν inf yν≥0 { eMν(yν) ylν ν } , lν ∈ Z+. Традицiйними засобами математичного аналiзу переконуємось у тому, що inf yν≥0 { eMν(yν) ylν ν } = eMν(ρlν ) ρlν lν , (3) де ρlν — розв’язок рiвняння ρµν(ρ) = lν , lν ∈ Z+, ν = 1, n, причому якщо lν = 0, то ρ0 = 0. Звiдси приходимо до нерiвностi |xmDk xf(x)| ≤ c22|k|A |m| 1 m∑ |l|=0 ( n∏ ν=1 ( lν !αν,mν−lν ( 2 a )kν−lν (kν − lν)! eMν(ρkν−lν ) ρkν−lν kν−lν )) , (4) x ∈ Rn, {k,m} ⊂ Zn + (тут c2, A1 — додатнi сталi, не залежнi вiд x, k i m). Зазначимо, що ρk — корiнь рiвняння ρµν(ρ) = k, k ∈ Z+. Тому зi збiльшенням k зростатиме також i ρkµν(ρk). Оскiльки µν(·) — монотонно зростаюча функцiя така, що ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 508 В. А. ЛIТОВЧЕНКО lim ρ→+∞ µν(ρ) = +∞, то таке зростання ρkµν(ρk) є можливим лише завдяки зростанню ρk, причому lim k→+∞ ρk = +∞. Отже, ( 2 a )k−l (k − l)!eMν(ρk−l) ρk−l k−l ≤ BkeMν(ρk) (k − l)! ρk−l k−l ≤ BkeMν(ρk) ( ρk−lµν(ρk−l) ρk−l )k−l ≤ ≤ Bk 1k! eMν(ρk) ρk k (µν(ρk−l))k−l (µν(ρk))k ≤ Bk 1k!e Mν(ρk) ρk k , {l, k} ⊂ Z+, l ≤ k, ν = 1, n, (5) де B1 — додатна стала, не залежна вiд k i l. Далi, з того, що послiдовнiсть {αk, k ∈ Zn +} задовольняє умову А) й узгоджена з {k!, k ∈ Zn +}, маємо lν !αν,(mν−lν) = lν ! αν,lν αν,(mν−lν)αν,lν ≤ cB mν αν,mν , lν ≤ mν , ν = 1, n. (6) Враховуючи оцiнки (5), (6), з (4) отримуємо умову (2). Доведемо тепер зворотне. Нехай f з C∞(Rn) задовольняє умову (2). Тодi цю функцiю можна аналiтично продовжити на Cn. Дiйсно, залишковий член iз розкладу у формулi Тейлора допускає оцiнку∣∣∣∣∣hq q! Dq xf(x+ θh) ∣∣∣∣∣ ≤ cA|q| n∏ ν=1 ( eMν(ρqν ) ρqν qν |hν |qν inf m≥0 { Bmαν,m |x+ θh|m }) , q ∈ Zn +, x ∈ Rn, θν ∈ (0, 1), ν ∈ 1, n (тут θ = {θ1, . . . , θn}). Оскiльки Mν(ρl) = ∫ ρl 0 µν(ξ)dξ, l ∈ N, то згiдно з теоремою про середнє значення iнтеграла для кожного l з N знайдеться ξl ∈ (0; ρl) таке, що Mν(ρl) = ρlµν(ξl) (у випадку, коли l = 0, Mν(ρ0) = 0, оскiльки ρ0 = 0). Звiдси, зважаючи на монотонне зростання функцiї µν(·), одержуємо Mν(ρl) ≤ ρlµν(ρl) = l, l ∈ N. Тодi( A|hν | ρqν )qν eMν(ρqν ) ≤ ( A|hν |e ρqν )qν . Оскiльки ρqν → +∞ при qν → +∞, то n∏ ν=1 ( A|hν | ρqν )qν eMν(ρqν ) −→ |q|→+∞ 0 для всiх |hν | ∈ [0;+∞). Отже, залишковий член hq q! Dq xf(x+ θh) прямує до нуля при |q| → → +∞ для всiх h ∈ Rn, тобто функцiя f допускає аналiтичне продовження на Cn: f(x+ iy) = ∞∑ |q|=0 Dq xf(x) q! (iy)q, z = x+ iy ∈ Cn. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ 509 Далi, iз спiввiдношень (2), (3) для всiх z = x+ iy ∈ Cn i k ∈ Zn + дiстаємо |xkf(z)| ≤ ∞∑ |q|=0 |xkDq xf(x)| q! |y|q ≤ c ∞∑ |q|=0 ( n∏ ν=1 |Ayν |qν |xν |kν eMν(ρqν ) ρqν qν inf m≥0 { Bmαν,m |xν |m }) ≤ ≤ c ∞∑ |q|=0 ( n∏ ν=1 Bkναν,kν |Ayν |qν inf ρ≥0 { eMν(ρ) ρqν }) ≤ cB|k| ( n∏ ν=1 αν,kνe Mν(2Ayν) ) ∞∑ |q|=0 1 2|q| = = cB|k| _ αke Pn ν=1 Mν(2Ayν) (тут |y|q = n∏ ν=1 |yν |qν , y ∈ Rn, q ∈ Zn +). Теорему доведено. Нехай, далi, Φ — простiр основних функцiй. Позначимо через Φm, (Φ′)m декартовi степенi (з натуральним показником m) просторiв Φ i Φ′ з покомпонентною збiжнiстю у Φ та Φ′ вiдповiдно, через PΦm множину всiх можливих квадратних матриць порядку m, рядками яких є елементи з Φm (також з поелементною збiжнiстю у просторi Φ). Говоритимемо, що вектор-функцiя ψ(·)T = {ψ1(·), . . . , ψm(·)} є мультиплiкатором у просторi Φm, якщо: 1) pψT ∈ Φm (∀p ∈ PΦm); 2) ∀{p; pν , ν ≥ 1} ⊂ PΦm, pν PΦm −→ ν→+∞ p: pνψ T Φm −→ ν→+∞ pψT , де iндекс T позначає операцiю транспонування, причому пiд транспо- нуванням векторного простору розумiтимемо транспонування усiх елементiв цього прос- тору. Вектор fT з (Φ′)m назвемо згортувачем у просторi Φm, якщо: 1) (p ∗ f)(·) = ( m∑ j=1 〈fj(ξ), pij(· − ξ)〉 )m i=1 ∈ ΦmT (∀p ∈ PΦm); 2) ∀{p; pν , ν ≥ 1} ⊂ PΦm, pν PΦm −→ ν→+∞ p: pν ∗ f ΦmT −→ ν→+∞ p ∗ f (тут кутовими дужками позначено дiю функцiонала, а зiрочкою — операцiю згортки). 2. Задача Кошi. Розглянемо систему ∂tu(t, x) = (AAtu)(t, x), (t, x) ∈ (0;T ]× Rn, (7) де u = {u1; . . . ;um}T , а AAt = (Aaij ) m i,j=1 — матричний псевдодиференцiальний опера- тор iз параметром t ∈ [0;T ], побудований за матрицею-символом At(·) = (aij(t, ·))m i,j=1, кожен елемент якої належить класу L {αk} −→ Ω ([0;T ]), тобто оператор, дiя якого при кожно- му фiксованому t з [0;T ] на достатньо хороших елементах ϕ = {ϕ1; . . . ;ϕm}T задається таким чином: (AAtϕ)(t, ·) = { m∑ j=1 (Aa1jϕj)(t, ·), . . . , m∑ j=1 (Aamjϕj)(t, ·) }T ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 510 В. А. ЛIТОВЧЕНКО (тут (Aaijϕj)(t, ·) = F−1[aij(t, ξ)F [ϕj ](ξ)](t, ·), F , F−1 — вiдповiдно пряме та обернене пе- ретворення Фур’є [13]). Припустимо, що для (7) виконується аналог рiвномiрної по t умо- ви параболiчностi: ∃δ∗ > 0∃c∗ ∈ R ∀t ∈ [0;T ]∀ξ ∈ Rn : max j=1,m Reλj(t, ξ) ≤ −δ∗(1, −→ Ω(ξ)) + c∗, (8) де λj , j = 1,m, — власнi значення матрицi At — символу оператора AAt . Знайдемо ФМР Gt(·), t ∈ (0;T ], системи (7) i дослiдимо її властивостi. Для цього спо- чатку подiємо формально на (7) перетворенням Фур’є вiдносно змiнної x. Одержимо лi- нiйну систему звичайних диференцiальних рiвнянь з параметром ξ: ∂tV (t, ξ) = (AtV )(t, ξ), (t, ξ) ∈ (0;T ]× Rn, (9) де V = {v1, . . . , vm}T , а At — матричний символ оператора AAt . Нехай θ(t; ξ, τ) = (θij(t; ξ, τ))m i,j=1 для всiх τ ∈ [0;T ), t ∈ (τ ;T ] i ξ ∈ Rn є розв’язком системи (9), що задовольняє (у звичайному розумiннi) початкову умову θ(t; ξ, τ)|t=τ = E (10) (тут E — одинична матриця). Такий розв’язок далi називатимемо матрицею Грiна або матрицантом системи (9). Зазначимо, що зробленi припущення на елементи матрицiAt забезпечують iснування такого матрицанта, причому будь-який iнший розв’язок системи (9) має вигляд V = θC, де C — довiльна матриця-стовпець з елементами, залежними лише вiд ξ (див., наприклад, [14]). Далi нам знадобляться наступнi допомiжнi твердження. Лема 1. Для кожного τ ∈ [0;T ) iснує 0 < ε � 1 таке, що для всiх t ∈ (τ, τ +ε] i ξ ∈ Rn виконується нерiвнiсть |θ(t; ξ, τ)| ≤ c exp{−(t− τ)δ(1, −→ Ω(ξ))}, де c, δ — додатнi сталi, не залежнi вiд t, τ, ξ i ε, а |(bij)m i,j=1| = max i,j=1,m |bij |. Доведення. Подамо (9) у виглядi ∂tθ = At∗(ξ)θ + q(t, ξ), (11) де q(t, ξ) = (At(ξ)−At∗(ξ))θ(t; ξ, τ), а t∗ — довiльна фiксована точка з [τ ;T ]. Розв’язавши задачу Кошi (11), (10), прийдемо до того, що матрицант системи (9) до- пускає зображення θ(t; ξ, τ) = e(t−τ)At∗ (ξ) + t∫ τ e(t−σ)At∗ (ξ)q(σ, ξ)dσ, e(t−τ)At∗ = E + ∞∑ j=1 ((t− τ)At∗)j/j!. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ 511 Згiдно з вiдповiдною лемою з [2, с. 78] ‖e(t−τ)At∗ (ξ)‖ ≤ exp{(t− τ) max j=1,m Reλj(t∗, ξ)} ( 1 + m−1∑ j=1 (2(t− τ)‖At∗(ξ)‖)j ) (∀t ∈ [τ ;T ]) (тут ‖A‖ — норма матрицi A = (aij)m i,j=1, тобто норма вiдповiдного оператора у m- вимiрному просторi). Звiдси з огляду на умову (8) та властивостi елементiв матрицi At∗ , використавши оцiнку [2] max j=1,m m∑ i=1 |aij |2 ≤ ‖A‖2 ≤ m∑ i=1 m∑ j=1 |aij |2, отримаємо |e(t−τ)At∗ (ξ)| ≤ c exp { (t− τ)(c∗ − δ∗ / 2(1, −→ Ω(ξ))) }( 1 + m−1∑ j=1 ((t− τ)× × sup ξ∈Rn {|A∗(0, ξ)|e−(t−τ)δ∗(2j)−1(1, −→ Ω(ξ))})j ) ≤ ≤ c1 exp { −(t− τ)δ∗ / 2(1, −→ Ω(ξ)) } , τ ∈ [0;T ), {t, t∗} ⊂ [τ ;T ] (12) (тут i далi через A∗(·, ·) позначено вiдповiдну функцiю з умови 3 в описi класу L {αk} −→ Ω , а c1 — додатна стала, не залежна вiд t, t∗, τ i ξ). Використавши нерiвнiсть (12), знайдемо |θ(t; ξ, τ)| ≤ c1 exp { −(t− τ)δ∗ / 2(1, −→ Ω(ξ)) } + + c1m t∫ τ exp { −(t− σ)δ∗ / 2(1, −→ Ω(ξ)) } |q(σ, ξ)|dσ. (13) Оскiльки |q(t, ξ)| ≤ m|At(ξ)−At∗(ξ)| |θ(t; ξ, τ)|, то, врахувавши властивостi елементiв матрицi At за змiнною t i поклавши t∗ = τ , для всiх t з (τ, τ + ε] i ξ ∈ Rn одержимо |q(t, ξ)| ≤ mν(ε)(|A∗(0, ξ)|+ c)|θ(t; ξ, τ)|. Звiдси та з нерiвностi (13) дiстанемо |θ(t; ξ, τ)| exp { (t− τ)δ∗ / 2(1, −→ Ω(ξ)) } ≤ c1 + c1m 2ν(ε)(|A∗(0, ξ)|+ c)× × t∫ τ exp { (σ − τ)δ∗ / 2(1, −→ Ω(ξ)) } |θ(σ; ξ, τ)|dσ, t ∈ (τ ; τ + ε], τ ∈ [0;T ], ξ ∈ Rn. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 512 В. А. ЛIТОВЧЕНКО Тепер, поклавши ϕ(t) = |θ(t; ξ, τ)| exp { (t− τ)δ∗ / 2(1, −→ Ω(ξ)) } , ψ(t) = c1, χ(t) = c1m 2ν(ε)(|A∗(0, ξ)|+c) i врахувавши лему 2 з [15, c. 300], прийдемо до нерiвностi |θ(t; ξ, τ)| exp { (t− τ)δ∗ / 2(1, −→ Ω(ξ)) } ≤ c1 + (c1m)2ν(ε)(|A∗(0, ξ)|+ c)× × t∫ τ exp{(t− σ)c1m2ν(ε)(|A∗(0, ξ)|+ c)}dσ ≤ ≤ c1(1 + exp{(t− τ)2c1m2ν(ε)(|A∗(0, ξ)|+ c)}). Далi, виберемо ε > 0 так, щоб _ α024Bm2c1c∗ν(ε) ≤ δ∗, де c∗ — стала, що вiдповiдає функцiї A∗(·, ·) (див. умову 3 з опису класу L {αk} −→ Ω ); B — найменше серед B̂ > 0 таких, що kk ≤ B̂kk!, k ∈ Z+, а c1 — стала з оцiнки (13). Тодi e−(t−τ)δ∗/4(1, −→ Ω(ξ)) exp{(t− τ)2c1m2ν(ε)|A∗(0, ξ)|} ≤ e−(t−τ)δ∗/4(1, −→ Ω(ξ))× × ∞∑ k=0 ((t− τ)2c1m2ν(ε)|A∗(0, ξ)|)k k! ≤ ∞∑ k=0 ((t− τ)2c1m2ν(ε) sup ξ∈Rn {|A∗(0, ξ)|× × e−(t−τ)δ∗(4k)−1(1, −→ Ω(ξ))})k/k! ≤ ∞∑ k=0 1 2k , а отже, для τ ∈ [0;T ], t ∈ (τ, τ + ε] i ξ ∈ Rn |θ(t; ξ, τ)| ≤ c2 exp{−(t− τ)δ∗/4(1, −→ Ω(ξ))}, (14) де c2 — додатна стала, не залежна вiд τ , t, ξ i ε. Лему доведено. Наслiдок 1. Iснують додатнi сталi c i δ такi, що для всiх t ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T ), ξ ∈ Rn |θ(t; ξ, τ)| ≤ c exp{−(t− τ)δ(1, −→ Ω(ξ))}. Цей наслiдок стає очевидним, якщо зважити на те, що згiдно з попередньою лемою iснує таке розбиття {tj}k j=1 промiжку (τ ; t], t ∈ (τ ;T ], на кожному елементi (tj ; tj+1] якого для матрицанта θ виконується нерiвнiсть (14) з оцiнюючими сталими, не залежними вiд t, tj , tj+1 i ξ, а також на одну з вiдомих властивостей матрицанта [14]: θ(tj ; ·, t0) = θ(tj ; ·, t1)θ(t1; ·, t0) (∀{t0, t1, t} ⊂ (τ ;T ]). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ 513 Лема 2. Нехай послiдовнiсть {αk, k ∈ Zn +} задовольняє умову В). Тодi матрицант θ системи (9) є нескiнченно диференцiйовним по просторовiй змiннiй на Rn, причому ∃{c, δ, B} ⊂ (0;+∞)∀k ∈ Zn + \ {0} ∀τ ∈ [0;T )∀t ∈ (τ ;T ]∀ξ ∈ Rn : |Dk ξ θ(t; ξ, τ)| ≤ cB|k| _ αke −(t−τ)δ(1, −→ Ω(ξ)). (15) Доведення. Насамперед доведемо таке допомiжне твердження: якщо θ — матрицант системи (9), то Dk ξ θ є розв’язком задачi Кошi ∂tV (t, ξ) = At(ξ)V (t, ξ) + f(t, ξ), (t, ξ) ∈ (τ ;T ]× Rn, V |t=τ = 0, (16) де f(t, ξ) = Dk ξ (At(ξ)θ(t; ξ, τ))−At(ξ)Dk ξ θ(t; ξ, τ) для всiх k ∈ Zn + \ {0} i τ ∈ [0;T ). Для цього скористаємося рiвнiстю [14] θ(t; ξ, τ) = E + ∞∑ r=1 t∫ τ t1∫ τ . . . tr−1∫ τ ( r∏ j=1 Atj (ξ) ) dtr . . . dt2dt1. (17) Зазначимо, що умова 5 з опису класу L {αk} −→ Ω (до якого належать елементи матрицi At) забезпечує: 1) нескiнченну диференцiйовнiсть по ξ матрицанта θ на Rn; 2) iснування час- тинної похiдної по t матричної функцiї Dk ξ θ(t; ξ, τ), причому ∂t(Dk ξ θ(t; ξ,τ)) = Dk ξAt(ξ) + ∞∑ r=1 t∫ τ t1∫ τ . . . tr−1∫ τ Dk ξ ( At(ξ) r∏ j=1 Atj (ξ) ) dtr . . . dt2dt1 = = Dk ξAt(ξ) + ∞∑ r=1 t∫ τ t1∫ τ . . . tr−1∫ τ ( k∑ l=0 C l kD l ξAt(ξ)Dk−l ξ ( r∏ j=1 Atj (ξ) )) dtr . . . dt2dt1 = = k∑ l=0 C l kD l ξAt(ξ)Dk−l ξ ( E + ∞∑ r=1 t∫ τ t1∫ τ . . . tr−1∫ τ ( r∏ j=1 Atj (ξ) ) dtr . . . dt2dt1 ) = = Dk ξ (At(ξ)θ(t; ξ, τ)), τ ∈ [0;T ), t ∈ (τ ;T ], ξ ∈ Rn, k ∈ Zn + \ {0}, де k∑ l=p C l k df= k1∑ l1=p1 . . . kn∑ ln=pn ( n∏ ν=1 C lν kν ) , p ∈ Zn +; 3) виконання граничної рiвностi lim t→τ+0 Dk ξ θ(t; ξ, τ) = 0 для всiх ξ ∈ Rn, τ ∈ [0, T ) i k ∈ Zn + \ {0}. Таким чином, Dk ξ θ — розв’язок задачi Кошi (16) (∀k ∈ Zn + \ {0}). Згiдно з формулою (45′) з [14, c. 407] дiстанемо Dk ξ θ(t; ξ, τ) = t∫ τ θ(t; ξ, τ)θ−1(σ; ξ, τ)f(σ, ξ)dσ. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 514 В. А. ЛIТОВЧЕНКО Оскiльки θ−1(t; ·, τ) = θ(τ ; ·, t), t ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T ), бо E = θ(τ ; ·, τ) = θ(τ ; ·, t)θ(t; ·, τ), t ∈ [τ ;T ] (див. вiдповiднi властивостi матрицанта [14]), то Dk ξ θ(t; ξ, τ) = t∫ τ θ(t; ξ, σ)(Dk ξ (Aσ(ξ)θ(σ; ξ, τ))−Aσ(ξ)Dk ξ θ(σ; ξ, τ))dσ для всiх k ∈ Zn + \ {0}, τ ∈ [0;T ), t ∈ (τ ;T ] i ξ ∈ Rn. Скористаємося тепер цiєю рекурентною формулою для встановлення оцiнок похiд- них матрицанта системи (9). Щоб уникнути громiздких викладок, будемо вважати, що n = 1 (для решти натуральних значень n правильнiсть оцiнок (15) перевiряється анало- гiчно). У цьому випадку Dk ξ θ(t; ξ, τ) = t∫ τ θ(t; ξ, σ1) k∑ ν1=1 Cν1 k ∂ν1 ξ Aσ1(ξ) σ1∫ τ θ(σ1; ξ, σ2) k−ν1∑ ν2=1 Cν2 k−ν1 ∂ν2 ξ Aσ2(ξ) . . . . . . σl−1∫ τ θ(σl−1; ξ, σl) 1∑ νl=1 Cνl 1 ∂ νl ξ Aσl (ξ)θ(σl; ξ, τ)dσl . . . dσ2dσ1, k ∈ Z+ \ {0}, ξ ∈ R, τ ∈ [0;T ), t ∈ (τ ;T ], де l ≤ k таке, що ν1 + ν2 + . . . + νl = k − 1. Звiдси, врахувавши наслiдок 1, властивостi елементiв матрицi Aσ, а також виконання умови В) для {αk, k ≥ 0} та нерiвнiсть k∑ ν1=1 k−ν1∑ ν2=1 . . . 1∑ νl=1 1 ≤ ek, одержимо |Dk ξ θ(t; ξ,τ)| ≤ c1B k 1e −(t−τ)δ(1, −→ Ω(ξ)) k∑ ν1=1 k−ν1∑ ν2=1 . . . 1∑ νl=1 Cν1 k Cν2 k−ν1 . . . Cνl 1 (t− τ)l l! × × ( l∏ j=1 |A∗(νj , ξ)| ) ≤ c1B k 1e −(t−τ)δ/2(1, −→ Ω(ξ)) k∑ ν1=1 k−ν1∑ ν2=1 . . . 1∑ νl=1 Cν1 k Cν2 k−ν1 . . . Cνl 1 (l!)−1× × ( l∏ j=1 ( (t− τ) sup ξ∈R {|A∗(νj , ξ)|e−(t−τ)δ(2l)−1(1, −→ Ω(ξ))} )) ≤ c2B k 2e −(t−τ)δ/2(1, −→ Ω(ξ))k!× × k∑ ν1=1 k−ν1∑ ν2=1 . . . 1∑ νl=1 ( l∏ j=1 γνj ) ≤ c3B k 3 _ αke −(t−τ)δ/2(1, −→ Ω(ξ)), де c3,B3 — додатнi сталi, не залежнi вiд k, t, τ i ξ, а k ∈ Z+\{0}, ξ ∈ R, τ ∈ [0;T ), t ∈ (τ ;T ]. Лему доведено. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ 515 Наслiдок 2. Нехай функцiїMν(·), Ων(·) є взаємодвоїстими за Юнгом (∀ν ∈ {1, . . . , n}), а послiдовнiсть {αk, k ∈ Zn +} задовольняє умову В). Тодi ФМР Gt(·) системи (7) збiга- ється з F−1[θ(t;σ, 0)](t, ·), t ∈ (0;T ], i при кожному фiксованому t з (0;T ] належить класу P (( W −→ M {αk} )m) . Далi, нехай Φ ∈ {W−→ Ω ;W {βk} −→ Ω , {βk, k ∈ Zn +} ≥ {αk, k ∈ Zn +}}, а послiдовностi {βk, k ∈ ∈ Zn +}, {αk, k ∈ Zn +} такi, що для них виконується умова В). Наступнi допомiжнi тверджен- ня характеризують властивостi θt(·) за змiнною t, де θt(·) df=θ(t; ·, 0). Лема 3. Кожен елемент матрицанта θt(·) диференцiйовний по t ∈ (0;T ] у розумiннi топологiї простору Φ. Доведення. Досить переконатися у тому, що граничне спiввiдношення Ψ∆t(t, ·) df=(θt+∆t(·)− θt(·))/∆t −→ ∆t→0 At(·)θt(·) виконується у сенсi збiжностi у класi PΦm. Зазначимо, що матрицант θt диференцiйовний по t ∈ (0;T ] у звичайному розумiннi, тому згiдно з теоремою про скiнченнi прирости Ψ∆t(t, ·) = ∂tθt+ε∆t(·), {t, t+ ε∆t} ⊂ (0;T ], ε ∈ (0; 1), тобто Ψ∆t(t, ·) = At+ε∆t(·)θt+ε∆t(·), оскiльки θτ∗(·) — звичайний розв’язок системи (9) для всiх τ∗ з (0;T ]. Розглянемо Dk ξ (Ψ∆t(t, ξ)−At(ξ)θt(ξ)) = Dk ξ (At+ε∆t(ξ)(θt+ε∆t(ξ)− θt(ξ)))+ +Dk ξ ((At+ε∆t(ξ)−At(ξ))θt(ξ)), k ∈ Zn +. Звiдси, зваживши на властивостi елементiв матрицi At (див. опис класу L {αk} −→ Ω ) i лему 2, а також на те, що θt+ε∆t(ξ)− θt(ξ) = t+ε∆t∫ t At1(ξ)dt1 + ∞∑ r=1 t+ε∆t∫ t t1∫ 0 . . . tr∫ 0 ( r∏ j=1 Atj (ξ) ) dtr+1 . . . dt2dt1, i скориставшись формулою Лейбнiца диференцiювання добутку функцiй, одержимо Dk ξ (Ψ∆t(t, ξ)−At(ξ)θt(ξ)) ξ∈K ⇒ ∆t→0 0, k ∈ Zn +, t ∈ (0;T ], де K — довiльна компактна множина з Rn. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 516 В. А. ЛIТОВЧЕНКО Доведемо тепер, що кожен елемент матрицi Ψ∆t рiвномiрно обмежений у просторi W {αk} −→ Ω по ∆t (для достатньо малих |∆t|). Дiйсно, згiдно з лемою 2 |Dk ξ Ψ∆t(t, ξ)| = |Dk ξ (At+ε∆t(ξ)θt+ε∆t(ξ))| ≤ k∑ l=0 C l k|Dl ξAt+ε∆t(ξ)| |Dk−l ξ θt+ε∆t(ξ)| ≤ ≤ cB|k| k∑ l=0 |A∗(l, ξ)| _ αk−le −(t+ε∆t)δ(1, −→ Ω(ξ)) ≤ cB|k|e−tδ/4(1, −→ Ω(ξ)) k∑ l=0 _ αk−l× × sup ξ∈Rn {|A∗(l, ξ)|e−tδ/4(1, −→ Ω(ξ))} ≤ c1t −1B |k| 1 _ αke −tδ/4(1, −→ Ω(ξ)), k ∈ Zn +, t ∈ (0;T ], ξ ∈ Rn, 2|∆t| < t, де c1, B1 — додатнi сталi, не залежнi вiд t, ξ, ∆t i k (тут враховано те, що t+ ε∆t > t/2 при |∆t| < t/2 i ε ∈ (0; 1)). Звiдси згiдно з критерiєм збiжностi у просторi Φ приходимо до твердження даної леми. Лему доведено. Зважаючи на те, що оператор оберненого перетворення Фур’є є неперервним у про- сторi Φ (див. [2] i теорему 1), з леми 3 отримуємо такий наслiдок. Наслiдок 3. F−1[∂tθt(·)] = ∂tF −1[θt(·)] (∀t ∈ (0;T ]). Лема 4. θtϕ ΦmT −→ t→+0 ϕ (∀ϕ ∈ ΦmT ). Доведення. Достатньо встановити виконання наступних умов: 1) θt(ξ)−→ t→+0 E, Dk ξ θt(ξ)−→ t→+0 0 рiвномiрно по ξ на кожному компактi K з Rn (∀k ∈ ∈ Zn + \ {0}); 2) обмеженiсть θtϕ по t (0 < t � 1) у класi ΦmT для всiх ϕ ∈ ΦmT . Зазначимо, що умова 2 стає очевидною, якщо врахувати наслiдок 1 та оцiнки (15) матрицанта θt, а також те, що компоненти вектора ϕT належать простору Φ. Умову 1 одержуємо безпосередньо, виходячи зi структури (17) матрицанта θt та умови 5 з опису класу L {αk} −→ Ω . Лему доведено. Лема 4 „пiдказує”, що граничними значеннями системи (7) при t → +0 можуть бути елементи з класу (Φ̃′)mT , де Φ̃df={F [ϕ](·), ϕ ∈ Φ}, причому початкову умову для (7) u(t, ·)|t=0 = f (18) слiд розумiти як u(t, ·)(Φ̃ ′)mT −→ t→+0 f (тобто як слабку збiжнiсть у (Φ̃′)mT ). Таким чином, пiд розв’язком задачi Кошi (7), (18) розумiтимемо гладку вектор-функцiю uT , яка задовольняє систему (7) у звичайному розумiннi, а початкову умову (18) у тому сенсi, що u(t, ·)(Φ̃ ′)mT −→ t→+0 f . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ 517 Наступне твердження характеризує розв’язнiсть задачi Кошi (7), (18). Теорема 3. Нехай елементи матричного символу At системи (7) належать класу L {αk} −→ Ω ([0;T ]), Mν(·) i Ων(·) — функцiї, взаємодвоїстi за Юнгом (ν ∈ {1; . . . ;n}); {αk, k ∈ ∈ Zn +}, {βk, k ∈ Zn +} — послiдовностi, для яких виконується умова В), а f з (Φ̃′)mT такий, що F [f ] — мультиплiкатор у просторi Φm. Тодi для задачi Кошi (7), (18) iснує єдиний розв’язок u, який неперервно залежить вiд початкових даних i такий, що для всiх t з (0;T ]:1) u(t, ·) ∈ Φ̃mT ; 2) F [∂tu(t, ·)] = ∂t(F [u(t, ·)]); 3) u(t, ·) = Gt(·) ∗ f, де Φ̃ ∈ {W −→ M ;W −→ M {βk}, {βk, k ∈ Zn +} ≥ {αk, k ∈ Zn +}}. Доведення. Оскiльки нас цiкавлять розв’язки системи (7), якi при кожному фiксова- ному t з (0;T ] є елементами простору Φ̃mT i по t задовольняють умову 2 даної теореми, то, зваживши на те, що вiдображення F (F−1): Φ̃ → Φ є взаємно однозначними i неперерв- ними (див. [2] i теорему 1), одержуємо рiвносильнiсть системи (7) iз системою (9). При цьому початкова умова (18) виконуватиметься тодi i тiльки тодi, коли V (t, ·)(Φ ′)mT −→ t→+0 F [f ] (19) (див. означення перетворення Фур’є узагальненої функцiї [1]). Отже, питання про коректну розв’язнiсть задачi Кошi (7), (18) у просторi (Φ̃′)m рiвно- сильне питанню про коректну розв’язнiсть задачi Кошi (9), (19) у просторi (Φ′)m. Як було зазначено, система (9) є лiнiйною системою звичайних диференцiальних рiв- нянь з параметром, загальний розв’язок якої має вигляд V (t, ξ) = θt(ξ)c(ξ), (t, ξ) ∈ (0;T ]× Rn. (20) З початкової умови (19), з огляду на (20) та лему 4 одержимо 〈vj(t, ·), ϕj〉 = m∑ k=1 〈 ck, θ jk t (·)ϕj 〉 −→ t→+0 〈cj , ϕj〉 = 〈F [fj ], ϕj〉 , j = 1,m, ϕ ∈ Φm (тут (·) позначає комплексну спряженiсть, а θjk t (·) — вiдповiдний елемент матрицанта θt(·)). Отже, V (t, ·) = θt(·)F [f ], t ∈ (0;T ], — розв’язок задачi Кошi (9), (19). Оскiльки F [f ] — мультиплiкатор у Φm, а матрицант θt(·) належить PΦm при кожному t з (0;T ] (див. наслiдок 2), то V (t, ·) ∈ ΦmT , t ∈ (0;T ]. Доведемо тепер, що знайдений розв’язок — єдиний у просторi ΦmT . Для цього при- пустимо, що у цьому просторi iснує ще один розв’язок V1 задачi Кошi (9), (19). Виходячи зi структури (20) загального розв’язку системи (9), маємо V1(t, ·) = θt(·)c1(·), t ∈ (0;T ]. Оскiльки V1(t, ·) ∈ ΦmT , t ∈ (0;T ], то компоненти вектора c1(·) належать C∞(Rn). Розглянемо вектор-функцiю V2(t, ·) = V1(t, ·) − V (t, ·), t ∈ (0;T ], яка також є роз- в’язком системи (9) i, як неважко переконатися, задовольняє нульову початкову умову: V2(t, ·) (Φ′)mT −→ t→+0 0. З цiєї умови дiстанемо 〈(c1 − F [f ]), ϕ〉 = 〈0, ϕ〉 (∀ϕ ∈ ΦmT ). (21) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 518 В. А. ЛIТОВЧЕНКО Зваживши на те, що θjj t (ξ)−→ t→+0 1 рiвномiрно по ξ на кожному компактi K ⊂ Rn (див. доведення леми 4), прийдемо до висновку, що iснує таке (достатньо мале) t0 > 0, що θjj t0 (ξ) 6= 0, ξ ∈ Rn, j = 1,m. Поклавши тепер ϕj = (c1j − F [fj ])(θ jj t0 (·))2, з (21) отримаємо рiвностi ∫ Rn (c1j − F [fj ](ξ))2(θ jj t0 (ξ))2dξ = 0, j = 1,m. Звiдси, врахувавши гладкiсть c1(·) i F [f ](·), одержимо рiвнiсть цих вектор-функцiй на Rn. Таким чином, V1(t, ξ) = V (t, ξ), (t, ξ) ∈ (0;T ]×Rn. Це i доводить єдинiсть розв’язку задачi Кошi (9), (19) у просторi ΦmT . Виконання ж умови 2 цiєї теореми стає очевидним, якщо взяти до уваги наслiдок 3. Нарештi, з огляду на те, що u(t, ·) = F−1[V ](t, ·) = F−1[θt(ξ)F [f ](ξ)](t, ·), t ∈ (0;T ], а також на теорему 1 з [16] прийдемо до висновку, що u(t, ·) = Gt(·) ∗ f , t ∈ (0;T ]. Розв’язок u задачi Кошi (7), (18) неперервно залежить вiд початкових даних задачi, оскiльки вiдповiдний розв’язок V має таку властивiсть, а F−1— неперервний оператор з Φ у Φ̃. Теорему доведено. Зазначимо, що при деяких додаткових припущеннях на систему (7) та вектор-функцiю −→ Ω сформульованi умови в теоремi 3 є не лише достатнiми, але й необхiдними для ко- ректної розв’язностi задачi Кошi (7), (18). Опишемо цi припущення: С) функцiї Ωj(·), j = 1, n, окрiм ранiше описаних властивостей, мають ще i таку: Ωj(δx) ≥ f̂1j(δ)Ωj(x) + f̂2j(δ), δ ∈ (0; 1), x ∈ R, де f̂1j(·) — додатнi, а f̂2j(·) — довiльнi функцiї, обмеженi на (0; 1); Д) система (7) не лише задовольняє умову (8), а є такою, що ∃δ∗0 > 0∃c∗0 ∈ R ∀t ∈ [0;T ]∀ξ ∈ Rn : min j=1,m Reλj(t, ξ) ≥ −δ∗0(1, −→ Ω(ξ)) + c∗0, де λj , j = 1,m, — власнi значення матричного символу At системи (7). Мають мiсце такi допомiжнi твердження. Лема 5. Нехай для системи (7) виконується припущення Д) i послiдовнiсть {αk, k ∈ ∈ Zn +} задовольняє умову В), а θ−1(t; ·, τ) — обернена матриця до матрицанта θ(t; ·, τ) системи (9) при τ ∈ [0; t), t ∈ (0;T ]. Тодi iснують додатнi сталi c0, δ0, не залежнi вiд τ, t, ξ i такi, що для всiх τ ∈ [0; t), t ∈ (0;T ], ξ ∈ Rn |θ−1(t; ξ, τ)| ≤ c0 exp{(t− τ)δ0(1, −→ Ω(ξ))}. Доведення. Насамперед нагадаємо, що θ−1(t; ·, τ) = θ(τ ; ·, t), t ∈ (0;T ], τ ∈ [0, t). Отже, θ−1(t; ·, τ) — нормований розв’язок задачi Кошi ∂τθ −1(t; ξ, τ) = Aτ (ξ)θ−1(t; ξ, τ), (τ, ξ) ∈ [0; t)× Rn, θ−1(t; ·, τ)|τ=t = E. (22) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ 519 Далi дiятимемо, як i при доведеннi леми 1. Зафiксуємо довiльне τ∗ з [0;T ] i подамо систему з (22) у виглядi ∂τθ −1 = Aτ∗(ξ)θ−1 + q(τ, ξ), де q(τ, ·) = (Aτ (·)−Aτ∗(·))θ−1(t; ·, τ). Тодi θ−1(t; ·, τ) = e(τ−t)Aτ∗ (·) + τ∫ t e(τ−σ)Aτ∗ (·)q(σ, ·)dσ, причому виконуються нерiвностi |e(τ−t)Aτ∗ (ξ)| ≤ e (τ−t) min j=1,m Reλj(τ ∗,ξ) ( 1 + m−1∑ j=1 (2(t− τ)‖Aτ∗(ξ)‖)j ) ≤ ≤ c exp{(t− τ)2δ∗0(1, −→ Ω(ξ))} ( c0 + m−1∑ j=1 ((t− τ) sup ξ∈Rn {|A∗(0, ξ)|e−(t−τ)δ∗0/j(1, −→ Ω(ξ))})j ) ≤ ≤ c1 exp{(t− τ)δ(1, −→ Ω(ξ))}, τ ∈ [0; t), де c1 — додатна стала, не залежна вiд t, τ , τ∗ i ξ, а δ = 2δ∗0 . Звiдси вже з огляду на те, що при τ∗ = t для всiх τ з [t− ε, t), 0 < ε � 1, i ξ ∈ Rn |q(τ, ξ)| ≤ mν(ε)(|A∗(0, ξ)|+ c)|θ−1(t; ξ, τ)|, дiстанемо |θ−1(t; ξ, τ)| exp{(τ − t)δ(1, −→ Ω(ξ))} ≤ c1 + c1m 2ν(ε) ( |A∗(0, ξ)|+ c ) × × t∫ τ exp{(σ − t)δ(1, −→ Ω(ξ))}|θ−1(t; ξ, σ)|dσ. Тепер на пiдставi аналога леми 2 з [15, c. 300] отримаємо |θ−1(t; ξ, τ)| exp{(τ − t)δ(1, −→ Ω(ξ))} ≤ c1 ( 1 + exp{(t− τ)2c1m2ν(ε)(|A∗(0, ξ)|+ c)} ) . Вiдтак, зафiксувавши вiдповiдним чином ε з (0; 1) (див. доведення леми 1), одержимо оцiн- ку |θ−1(t; ξ, τ)| ≤ c2 exp{(t− τ)4δ∗0(1, −→ Ω(ξ))} (23) для всiх τ ∈ [t− ε, t), t ∈ (0;T ] i ξ ∈ Rn, де c2 — додатна стала, не залежна вiд t, τ , ξ i ε. На завершення зазначимо, що мiркуючи, як i при обґрунтуваннi наслiдку 1, зважаючи при цьому на рiвнiсть θ−1(t; ·, τ) = θ(τ ; ·, t), оцiнку (23) можна легко поширити по змiннiй τ на увесь промiжок [0, t) для кожного фiксованого t з (0, T ]. Лему доведено. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 520 В. А. ЛIТОВЧЕНКО Лема 6. Нехай виконуються умови леми 5. Тодi θ−1(t; ·, τ) нескiнченно диференцiйовна по просторовiй змiннiй на Rn, причому ∃{c, δ, B} ⊂ (0;+∞)∀k ∈ Zn + \ {0} ∀t ∈ (0;T ]∀τ ∈ [0; t)∀ξ ∈ Rn : |Dk ξ θ −1(t; ξ, τ)| ≤ cB|k|_αke (t−τ)δ(1, −→ Ω(ξ)). Доведення. Оскiльки θ−1 — розв’язок задачi Кошi (22), а елементи матрицiAτ (·) нале- жать класу L {αk} −→ Ω , то, як i при доведеннi леми 2, переконуємось у правильностi рекурент- ної формули Dk ξ θ −1(t; ξ, τ) = τ∫ t θ−1(σ; ξ, τ)(Dk ξ (Aσ(ξ)θ−1(t; ξ, σ))−Aσ(ξ)Dk ξ θ −1(t; ξ, σ))dσ для всiх k ∈ Zn + \ {0}, t ∈ (0;T ], τ ∈ [0; t) i ξ ∈ Rn. З цiєї формули на пiдставi леми 5, а також властивостей елементiв матрицi Aτ (·) та умови В) послiдовностi {αk, k ∈ Zn +} отримуємо твердження даної леми (див. доведення леми 2). Лему доведено. Лема 7. Нехай виконуються припущення С) i Д), Φ ∈ {W−→ Ω ;W {βk} −→ Ω , {βk, k ∈ Zn +} ≥ ≥ {αk, k ∈ Zn +}}, а послiдовнiсть {βk, k ∈ Zn +} задовольняє умову В). Тодi для кожного елемента P (·) з PΦm iснує t0 ∈ (0; 1) таке, що для всiх t ∈ (0; t0) добуток P (·)θ−1 t (·) належить класу PΦm (тут θ−1 t (·) = θ−1(t; ·, 0)). Доведення. Покладемо спочатку Φ = W {βk} −→ Ω . Для довiльного l ∈ Zn + |Dl ξ(P (ξ)θ−1 t (ξ))| ≤ m l∑ k=0 Ck l |Dl−k ξ P (ξ)| |Dk ξ θ −1 t (ξ)|, t ∈ (0;T ], ξ ∈ Rn, i, оскiльки P ∈ PΦm i виконуються припущення С), iснують такi додатнi сталi c, B i δ1 ∈ (0; 1), що |Dl ξ(P (ξ)θ−1 t (ξ))| ≤ mcB|l| l∑ k=0 _ β l−ke − Pn ν=1 Ων(δ1ξν)|Dk ξ θ −1 t (ξ)| ≤ c1B |l| 1 e − bf1(δ1)(1, −→ Ω(ξ))× × l∑ k=0 _ β l−k _ β ke tδ(1, −→ Ω(ξ)) ≤ c2B |l| 2 _ β le − bf1(δ1)/2(1, −→ Ω(ξ)), 1 ∈ Zn +, ξ ∈ Rn, t ∈ ( 0; f̂1(δ1) 2δ ) , де c2, B2 — додатнi сталi, не залежнi вiд l, t i ξ, a f̂1(δ1) = min ν=1,n {f̂1ν(δ1)} (тут враховано леми 5, 6 та умову В) послiдовностi {βk, k ∈ Zn +}). Отже, P (·)θ−1 t (·) ∈ P (W {βk} −→ Ω )m для всiх t ∈ (0; t0), де t0 = f̂1(δ1)/(2δ). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ 521 Аналогiчним чином переконуємося у тому, що дане твердження справджується й у випадку Φ = W−→ Ω . Лему доведено. Наступне твердження характеризує мультиплiкатори у класi Φm. Теорема 4 (критерiй мультиплiкатора). Нехай виконуються всi умови леми 7. Тодi для того щоб вектор-функцiя µ(·)T = {µ1(·); . . . ;µm(·)} була мультиплiкатором у просто- рi Φm, необхiдно i достатньо, щоб для кожного 0 < t � 1 добуток θt(·)µ(·) належав класу Φm. Доведення. Необхiднiсть є очевидною, оскiльки матрицант θt(·) належить PΦm для всiх t ∈ (0;T ]. Доведемо достатнiсть. Для цього зафiксуємо довiльну матрицю P (·) з PΦm i розглянемо добуток P (·)µ(·), який подамо у виглядi P (·)µ(·) = (P (·)θ−1 t (·))(θt(·)µ(·)), 0 < t � 1. (24) Беручи до уваги лему 7, бачимо, що P (·)µ(·) ∈ Φm. Таким чином, умова 1 з означення мультиплiкатора у Φm виконується. Переконаємось тепер у виконаннi умови 2 з цього означення. Нехай довiльна послi- довнiсть {P ;Pν , ν ≥ 1} ⊂ PΦm є такою, що Pν PΦm −→ ν→+∞ P . Тодi достатньо показати, що Pνµ ΦmT −→ ν→+∞ Pµ, тобто: а) Dk ξ ((Pν(ξ) − P (ξ))µ(ξ)) −→ ν→+∞ 0 рiвномiрно по ξ на кожному ком- пактi K ⊂ Rn (∀k ∈ Zn +); б) послiдовнiсть {Pνµ, ν ≥ 1} рiвномiрно обмежена (по ν ≥ 1) у класi ΦmT . Зазначимо, що умова а) одержується безпосередньо зi збiжностi {Pν , ν ≥ 1} у класi PΦm та з обмеженостiDk ξµ(ξ), k ∈ Zn +, по ξ на кожному компактi K ⊂ Rn. Умова ж б) стає очевидною, якщо зважити на аналог рiвностi (24), лему 7 та на збiжнiсть послiдовностi {Pν , ν ≥ 1} у PΦm. Теорему доведено. З попередньої теореми одержуємо очевидний наслiдок. Наслiдок 4. Нехай виконуються всi умови леми 7. Тодi для того щоб вектор-функцiя µ(·)T з (C∞(Rn))m була мультиплiкатором у Φm, необхiдно i достатньо, щоб ∀0 < δ � 1 ∀k ∈ Zn + ∃cδ,k > 0 ∀ξ ∈ Rn : |Dk ξµ(ξ)| ≤ cδ,ke δ(1, −→ Ω(ξ)), причому cδ,k = cδB |k| δ _ β k у випадку Φ = W {βk} −→ Ω , де cδ i Bδ — додатнi сталi, залежнi лише вiд δ. Правильним є таке твердження. Теорема 5. Нехай m = 1, виконуються всi умови леми 7 i aj ∈ L {αk} −→ Ω ([0;T ]). Тодi при кожному фiксованому t з [0;T ] функцiя aj(t, ·) є мультиплiкатором у просторi Φ1 ≡ Φ. Доведення. Згiдно з умовою 3 з опису елементiв класу L {αk} −→ Ω ([0;T ]) отримуємо |Dk ξaj(t, ξ)| ≤ |bj(t)| sup ξ∈Rn {|Aj(k, ξ)|e−δ(1, −→ Ω(ξ))}eδ(1, −→ Ω(ξ)) ≤ 3 ≤ cj |bj(t)|δ−1B |k| j _ αke δ(1, −→ Ω(ξ)) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 522 В. А. ЛIТОВЧЕНКО для всiх k ∈ Zn +, δ ∈ (0; 1) i t ∈ [0;T ]. Звiдси, зважаючи на наслiдок 4, приходимо до твердження теореми 5. Теорему доведено. З цiєї теореми випливає, що якщо символ aj(·, ·) належить класу L {αk} −→ Ω ([0;T ]), то при кожному фiксованому t з [0;T ]: 1) псевдодиференцiальний оператор Aaj неперервно вiдображає простiр Φ̃ в себе; 2) перетворення Фур’є символу aj(t, ·) (позначатимемо ãj(t, ·)) є згортувачем у Φ̃; 3) Aajf = ãj ∗ f , f ∈ Φ̃. Зазначимо, що трактування псевдодиференцiального оператора Aaj як оператора згортки дозволяє здiйснити продовження його з простору Φ̃ (досить „хороших” функ- цiй) на простiр Φ̃′ (узагальнених функцiй). При цьому таке продовження Âaj оператора Aaj є коректним. Дiйсно, оскiльки Âajf = ãj ∗ f, f ∈ Φ̃′, a (Aajϕ) ∈ Φ̃ для всiх ϕ ∈ Φ̃, то〈 Âajf, ϕ 〉 = 〈ãj ∗ f, ϕ〉 = 〈f, ãj ∗ ϕ〉 = 〈 f,Aajϕ 〉 (∀ϕ ∈ Φ̃). Отже, якщо виконуються всi умови з леми 7 i aj ∈ L {αk} −→ Ω ([0;T ]), то Âaj : Φ̃′ → Φ̃′, причому правильною є рiвнiсть〈 Âajf, ϕ 〉 = 〈 f,Aajϕ 〉 (∀ϕ ∈ Φ̃). Основний результат сформулюємо у виглядi наступного твердження. Теорема 6. Нехай виконуються припущення С) i Д), елементи матрицi At належать класу L {αk} −→ Ω ([0;T ]), функцiї Mν(·) i Ων(·), ν = 1, n, є взаємодвоїстими за Юнгом, а по- слiдовнiсть {βk, k ∈ Zn +} (з опису простору Φ) задовольняє умову В). Тодi для того щоб задача Кошi (7), (18) була коректно розв’язною i: 1) її розв’язок u(t, ·) при кожному фiксованому t ∈ (0;T ] належав класу Φ̃mT ; 2) ∂tF [u] = F [∂tu], t ∈ (0;T ], необхiдно i до- статньо, щоб F [f ] був мультиплiкатором у Φm. При цьому завжди виконуватиметься рiвнiсть u(t, x) = Gt(x) ∗ f, (t, x) ∈ (0;T ]× Rn. Доведення. Достатнiсть одержуємо з теореми 3. Доведемо необхiднiсть. Як зазна- чалося при доведеннi теореми 3, питання про коректну розв’язнiсть задачi Кошi (7), (18) у просторi (Φ̃′)m рiвносильне питанню про коректну розв’язнiсть задачi Кошi (9), (19) у просторi (Φ′)m. Тому достатньо показати, що якщо задача Кошi (9), (19) є коректно розв’язною, то F [f ] — мультиплiкатор у Φm. Оскiльки V (t, ·) = θt(·)C(·) ∈ ΦmT при кожному фiксованому t з (0;T ] (див. (20)), то згiдно з теоремою 4 функцiя C(·) — мультиплiкатор у Φm. Зважаючи на лему 4, з умови (19) одержуємо 〈C(·), ϕ(·)〉 = 〈F [f ], ϕ(·)〉 (∀ϕ ∈ ΦmT ). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ З ГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ 523 Звiдси на пiдставi єдиностi розв’язку задачi Кошi (9), (19) приходимо до висновку, що F [f ] — регулярний вектор-функцiонал, породжений мультиплiкатором у просторi Φm. Теорему доведено. На завершення наведемо приклад. Розглянемо систему ∂tu1(t, x) = −1 2 γ∫ −∞ (Bτ au1)(t, x)dτ − b(t)u2(t, x), (25) ∂tu2(t, x) = b(t)u1(t, x)− 1 2 γ∫ −∞ (Bτ au2)(t, x)dτ, (t, x) ∈ (0;T ]× R, де γ > 0, a > 1,Bτ a — оператор Бесселя дробового диференцiювання з додатним парамет- ром [17] (тобто Bτ a = (aI − ∂2 x)τ/2), а b(·) ∈ Ĉ([0;T ]). За умови, що u = {u1, u2}T ∈ S2T , дана системи еквiвалентна системi (7) з матричним символом At(ξ) =  −(a+ ξ2)γ/2 ln(a+ ξ2) −b(t) b(t) −(a+ ξ2)γ/2 ln(a+ ξ2)  . Неважко переконатися, що Reλ1(t, ξ) = Reλ2(t, x) = −(a+ ξ2)γ/2 ln(a+ ξ2) , (t, ξ) ∈ [0;T ]× R, де λj — власнi значення матрицi At. Узгодимо тепер γ > 0 i a > 1 так, щоб (a+ (·)2)γ/2 ln(a+ (·)2) була опуклою функцiєю, i по- кладемо −→ Ω(·) = (a+ (·)2)γ/2 ln(a+ (·)2) − aγ/2 ln a , αk = k!, k ∈ Z. Тодi, як фактично доведено в [12], елементи матрицi At належать класу L {k!} −→ Ω ([0;T ]), причому послiдовнiсть {k!, k ∈ Z+} за- довольняє умову В) i виконуються припущення С), Д). Отже, згiдно з теоремою 6 вiдповiдна задачi Кошi (25), (18) буде коректно розв’язною у Φ̃2T , де Φ ∈ {W−→ Ω ;W {(k!)β} −→ Ω , β ≥ 1}, тодi i лише тодi, коли F [f ] — мультиплiкатор у класi Φ2T . 1. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. — М.: Физматгиз, 1958. — 307 с. 2. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. — М.: Физ- матгиз, 1958. — 274 с. 3. Городецький В. В. Граничнi властивостi гладких у шарi розв’язкiв рiвняння параболiчного типу. — Чернiвцi: Рута, 1998. — 225 с. 4. Гуревич Б. Л. Новые типы пространств основных и обобщенных функций и задача Коши для систем конечно-разностных уравнений // Докл. АН СССР. — 1954. — 99, № 6. — С. 893 – 895. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4 524 В. А. ЛIТОВЧЕНКО 5. Гуревич Б. Л. Новые типы пространств основных и обобщенных функций и задача Коши для диффе- ренциально-разностных уравнений // Докл. АН СССР. — 1956. — 108, № 6. — С. 1001 – 1003. 6. Литовченко В.А. Корректная разрешимость задачи Коши для одного псевдодифференциального урав- нения интегрального вида в пространствах типа S // Нелинейные граничные задачи. — 2003. — Вып. 13.— С. 105 – 113. 7. Nagase M. On the Cauchy problem for parabolic pseudodifferential equations // Osaka J. Math. — 1974. — 11, №2. — P. 239 – 264. 8. Shinkai R. On symbols of fundamental solutions of parabolic systems // Proc. Jap. Acad. — 1974. — 50, № 5-6. — P. 337 – 341. 9. Tsutsumi C. The fundamental solutions for a degenerate parabolic pseudodifferential operator // Ibid. — № 1. — P. 11 – 15. 10. Tsutsumi C. The fundamental solutions for a parabolic pseudo-differential operator and parametrices for degenerate operators // Ibid. — 1975. — 51, № 2. — P. 103 – 108. 11. Schwartz L. Theorie des distributions // Acra. sci. industr. — 1950. — 1, № 1091. 12. Лiтовченко В. А. Коректна розв’язнiсть задачi Кошi для одного рiвняння iнтегрального вигляду // Укр. мат. журн. — 2004. — 56, № 2. — С. 185 – 197. 13. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с. 14. Гантмахер Ф .Р. Теория матриц. — 4-е изд. — М.: Наука, 1968. — 552 с. 15. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. — М.: Мир, 1968. — 428 с. 16. Борок В. М. Решение задачи Коши для некоторых типов систем линейных уравнений в частных про- изводных // Докл. АН СССР. — 1954. — 97, № 6. — С. 949 – 952. 17. Лiтовченко В. А. Бесселеве дробове iнтегродиференцiювання з додатним параметром // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2002. — Вип. 134. — С. 65 – 70. Одержано 24.02.2006 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 4