Топологічна класифікація афінних відображень з R² в R²
Исследуются аффинные отображения с R² в R² . Получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности таких отображений.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178189 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Топологічна класифікація афінних відображень з R² в R² / Т.В. Будницька // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 472-480. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178189 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781892021-02-19T01:25:54Z Топологічна класифікація афінних відображень з R² в R² Будницька, Т.В. Исследуются аффинные отображения с R² в R² . Получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности таких отображений. We study affine maps from R² to R² , and find necessary and sufficient conditions for such maps to be topologically similar. 2008 Article Топологічна класифікація афінних відображень з R² в R² / Т.В. Будницька // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 472-480. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178189 515.126, 517.91 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Исследуются аффинные отображения с R² в R² . Получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности таких отображений. |
| format |
Article |
| author |
Будницька, Т.В. |
| spellingShingle |
Будницька, Т.В. Топологічна класифікація афінних відображень з R² в R² Нелінійні коливання |
| author_facet |
Будницька, Т.В. |
| author_sort |
Будницька, Т.В. |
| title |
Топологічна класифікація афінних відображень з R² в R² |
| title_short |
Топологічна класифікація афінних відображень з R² в R² |
| title_full |
Топологічна класифікація афінних відображень з R² в R² |
| title_fullStr |
Топологічна класифікація афінних відображень з R² в R² |
| title_full_unstemmed |
Топологічна класифікація афінних відображень з R² в R² |
| title_sort |
топологічна класифікація афінних відображень з r² в r² |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178189 |
| citation_txt |
Топологічна класифікація афінних відображень з R² в R² / Т.В. Будницька // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 472-480. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT budnicʹkatv topologíčnaklasifíkacíâafínnihvídobraženʹzr2vr2 |
| first_indexed |
2025-07-15T16:33:32Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:33:32Z |
| _version_ |
1837731375595126784 |
| fulltext |
УДК 515.126, 517.91
ТОПОЛОГIЧНА КЛАСИФIКАЦIЯ АФIННИХ ВIДОБРАЖЕНЬ З R2 В R2
Т. В. Будницька
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ 33, вул. Володимирська, 64
e-mail: Budnitska T@ukr.net
We study affine maps from R2 to R2, and find necessary and sufficient conditions for such maps to be
topologically similar.
Исследуются аффинные отображения с R2 в R2. Получены необходимые и достаточные усло-
вия топологической сопряженности таких отображений.
1. Вступ. У роботi розглядаються матрицi над полем дiйсних чисел. Вiдображення f, g :
R2 → R2 називають лiнiйно спряженими (будемо позначати f l∼ g), якщо iснує бiєктивне
лiнiйне вiдображення h : R2 → R2 таке, що g = h ◦ f ◦ h−1.
Вiдображення f, g : R2 → R2 називають топологiчно спряженими (будемо позначати
f
t∼ g), якщо iснує гомеоморфiзм h : R2 → R2 такий, що g = h ◦ f ◦ h−1.
Нехай A — (2 × 2)-матриця, b ∈ R2 — фiксований вектор. Вiдображення вигляду
f(x) = Ax + b називають афiнним вiдображенням, а матрицю A — лiнiйною частиною
вiдображення f.
Класифiкацiя афiнних вiдображень, з точнiстю до топологiчної спряженостi, є вiдкри-
тою проблемою, тому дослiдженню цiєї задачi й присвячено дану статтю.
Мета даної роботи полягає у встановленнi критерiю топологiчної спряженостi афiн-
них вiдображень, що дiють з R2 в R2.
2. Топологiчна класифiкацiя лiнiйних вiдображень з R2 в R2. Для класифiкацiї афiн-
них вiдображень, з точнiстю до топологiчної спряженостi, буде використано аналогiчну
класифiкацiю лiнiйних вiдображень, тому нагадаємо деякi вiдомi результати.
Якщо f : R2 → R2 — лiнiйне вiдображення, f(x) = Ax, то J — дiйсна канонiчна
форма матрицi A (див. [1]) — має вигляд однiєї з матриць
(
a 0
0 a
)
,
(
a 1
0 a
)
,
(
a 0
0 b
)
,
(
a −b
b a
)
,
де a, b ∈ R.
Для матрицi J визначимо матрицi Aα, α = +, −,∞, 0, таким чином:
Матриця Характеристичнi числа λ матрицi
A+ 0 < |λ| < 1
A− |λ| > 1
A∞ λ = 0
A0 |λ| = 1
c© Т. В. Будницька, 2008
472 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ТОПОЛОГIЧНА КЛАСИФIКАЦIЯ АФIННИХ ВIДОБРАЖЕНЬ З R2 В R2 473
Вiдображення f : R2 → R2 називають перiодичним, якщо iснує k ∈ N таке, що fk =
= idR2 . Найменше таке число k називають перiодом вiдображення f.
У роботах [2, 3] наведено топологiчну класифiкацiю неперiодичних лiнiйних вiдобра-
жень, що дiють iз Rn в Rn. Сформулюємо даний результат для випадку n = 2.
Теорема 1 [2, 3]. Нехай f, g : R2 → R2, f(x) = Ax, g(x) = Cx — лiнiйнi неперiодичнi
вiдображення. Вiдображення f i g топологiчно спряженi тодi i тiльки тодi, коли
rank (A+) = rank (C+), sign(det(A+)) = sign (det(C+)),
rank (A−) = rank (C−), sign (det(A−)) = sign (det(C−)),
A∞ = C∞, A0 = C0.
Для ортогональних лiнiйних вiдображень, що дiють з R2 в R2, в [4] показано, що топо-
логiчна спряженiсть означає лiнiйну спряженiсть, тобто має мiсце наступна теорема.
Теорема 2 [4]. Нехай f, g : R2 → R2, f(x) = Ax, g(x) = Cx — лiнiйнi ортогональнi
вiдображення. Вiдображення f i g топологiчно спряженi тодi i тiльки тодi, коли f l∼ g
(тобто коли A0 = C0).
Наслiдок 1. Нехай f, g : R2 → R2, f(x) = Ax, g(x) = Cx — лiнiйнi перiодичнi вi-
дображення. Вiдображення f i g топологiчно спряженi тодi i тiльки тодi, коли f l∼ g
(тобто коли A0 = C0).
Отже, об’єднуючи теорему 1 та наслiдок 1, для всiх лiнiйних вiдображень, що дiють з
R2 в R2, отримуємо наступне твердження.
Твердження 1. Нехай f, g : R2 → R2, f(x) = Ax, g(x) = Cx — лiнiйнi вiдображення.
Вiдображення f i g топологiчно спряженi тодi i тiльки тодi, коли
rank (A+) = rank (C+), sign (det(A+)) = sign (det(C+)),
rank (A−) = rank (C−), sign (det(A−)) = sign (det(C−)),
A∞ = C∞, A0 = C0.
Зауваження 1. З курсу лiнiйної алгебри вiдомо, що необхiдною та достатньою умо-
вою лiнiйної спряженостi двох лiнiйних вiдображень є рiвнiсть дiйсних канонiчних форм
матриць, що вiдповiдають цим лiнiйним вiдображенням. Необхiднi та достатнi умови то-
пологiчної спряженостi двох лiнiйних вiдображень дає твердження 1.
3. Топологiчна класифiкацiя афiнних вiдображень з R2 в R2. Оскiльки топологiчно
спряженi вiдображення мають однакову кiлькiсть нерухомих точок, топологiчну класи-
фiкацiю афiнних вiдображень з R2 в R2 розiб’ємо на 2 випадки:
1) топологiчна класифiкацiя афiнних вiдображень, що мають хоча б одну нерухому
точку;
2) топологiчна класифiкацiя афiнних вiдображень, що не мають нерухомих точок.
3.1. Топологiчна класифiкацiя афiнних вiдображень з R2 в R2, що мають хоча б одну
нерухому точку. Має мiсце наступна теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
474 Т. В. БУДНИЦЬКА
Теорема 3. Нехай f, g : R2 → R2, f(x) = Ax + b, g(x) = Ax. Вiдображення f i g
топологiчно спряженi тодi i тiльки тодi, коли iснує q ∈ R2 такий, що f(q) = q (тобто
коли вiдображення f має нерухому точку).
Доведення. Наведемо iдею доведення, яка базується на двох кроках:
1) топологiчно спряженi вiдображення мають однакову кiлькiсть нерухомих точок;
2) якщо вiдображення f має нерухому точку q ∈ R2, то f(x) = Ax + b
t∼ g(x) = Ax,
оскiльки iснує гомеоморфiзм h : R2 → R2, h(x) = x+ q, такий, що f ◦ h = h ◦ g.
Наступна теорема дає необхiднi та достатнi умови топологiчної спряженостi двох до-
вiльних афiнних вiдображень з R2 в R2, що мають хоча б по однiй нерухомiй точцi.
Теорема 4. Нехай f, g : R2 → R2, f(x) = Ax + b та g(x) = Cx + d — афiннi вi-
дображення, що мають хоча б по однiй нерухомiй точцi. Вiдображення f i g топологi-
чно спряженi тодi i тiльки тодi, коли
rank (A+) = rank (C+), sign (det(A+)) = sign (det(C+)),
rank (A−) = rank (C−), sign (det(A−)) = sign (det(C−)),
A∞ = C∞, A0 = C0.
Доведення. За умовою теореми вiдображення f та g мають нерухомi точки. Викори-
стовуючи теорему 3, маємо
f(x) = Ax+ b
t∼ r(x) = Ax, g(x) = Cx+ d
t∼ s(x) = Cx.
Тобто вiдображення f(x) = Ax+ b та g(x) = Cx+ d, що мають хоча б по однiй нерухомiй
точцi, будуть топологiчно спряженими тодi i тiльки тодi, коли топологiчно спряженими
є вiдображення r(x) = Ax та s(x) = Cx.
Застосовуючи до r(x) = Ax та s(x) = Cx твердження 1, отримуємо необхiдний ре-
зультат.
Теорему доведено.
Зауваження 2. Може здатись, що необхiднi та достатнi умови топологiчної спряженос-
тi двох довiльних афiнних вiдображень, що дiють з R2 в R2, i необхiднi та достатнi умови
топологiчної спряженостi двох довiльних лiнiйних вiдображень з R2 в R2 збiгаються. Та
це не вiрно. Виявляється, що топологiчна класифiкацiя всiх афiнних вiдображень не зво-
диться до топологiчної класифiкацiї лiнiйних вiдображень. I це буде доведено в наступно-
му пiдпунктi.
3.2. Топологiчна класифiкацiя афiнних вiдображень з R2 в R2, що не мають нерухомих
точок. Сформулюємо деякi допомiжнi результати.
Лема 1. Нехай f : R2 → R2, f(x) = Ax + b — афiнне вiдображення. Якщо f не має
нерухомої точки, то одне з власних чисел матрицi A дорiвнює 1.
Доведення. Вiдображення f(x) = Ax+b не має нерухомої точки, якщо не iснує x ∈ R2
такого, що f(x) = x, тобто система (A− E)x = −b не має розв’язку на R2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ТОПОЛОГIЧНА КЛАСИФIКАЦIЯ АФIННИХ ВIДОБРАЖЕНЬ З R2 В R2 475
Припустимо, що матриця A не має жодного власного числа, що дорiвнює 1, тобто
det(A−E) 6= 0, а отже, iснує (A−E)−1. Звiдси випливає, що система (A−E)x = −b має
розв’язок x̃ = −(A− E)−1b, тобто f має нерухому точку, що суперечить умовi леми.
Лему доведено.
Зауваження 3. Далi, якщо афiнне вiдображення f : R2 → R2, f(x) = Ax + b, не має
нерухомої точки та λ(1)
A , λ
(2)
A — власнi числа матрицi A, будемо вважати, що λ(1)
A = 1.
Твердження 2, 3 iдейно однаковi, оскiльки дають необхiднi та достатнi умови для ви-
падкiв, коли конкретнi афiннi вiдображення не мають нерухомих точок. Цi результати
будуть використанi при доведеннi теорем 5 та 6.
Твердження 2. Нехай f : R2 → R2, f(x) =
(
1 1
0 1
)(
x1
x2
)
+
(
b1
b2
)
, b1, b2 ∈ R.
Вiдображення f не має нерухомої точки тодi i тiльки тодi, коли b2 6= 0.
Доведення. Вiдображення f не має нерухомої точки, якщо не iснує x ∈ R2 такого, що
f(x) = x, тобто якщо не iснує x =
(
x1
x2
)
∈ R2 такого, що
(
x1 + x2 + b1
x2 + b2
)
=
(
x1
x2
)
,
b1, b2 ∈ R, тобто у випадку, коли
x2 + b1 = 0,
b2 = 0,
така система не має розв’язку на R2.
А це можливо тодi i тiльки тодi, коли b2 6= 0.
Твердження доведено.
Твердження 3. Нехай f : R2 → R2, f(x) =
(
1 0
0 α
) (
x1
x2
)
+
(
δ1
δ2
)
, де α ∈ R\{1},
δ1, δ2 ∈ R. Вiдображення f не має нерухомої точки тодi i тiльки тодi, коли δ1 6= 0.
Доведення аналогiчне доведенню твердження 2.
Твердження 4. Нехай f, g : R2 → R2, де f(x) = x + b та g(x) = x + d, b, d ∈ R2.
Вiдображення f i g топологiчно спряженi тодi i тiльки тодi, коли b та d або одночасно
дорiвнюють 0, або одночасно вiдмiннi вiд 0.
Доведення. Топологiчно спряженi вiдображення мають однакову кiлькiсть нерухомих
точок, тому f(x) = x + b та g(x) = x + d або одночасно тотожнi вiдображення, або
одночасно вiдмiннi вiд тотожного.
Якщо b = d = 0, то f(x) = g(x) = idR2 .
Якщо b 6= 0 та d 6= 0, то f t∼ g, оскiльки iснує гомеоморфiзм ψ : R2 → R2, ψ(x) = Bx,
де матриця B така, що detB 6= 0, Bb = d, такий, що g = ψ ◦ f ◦ ψ−1.
Твердження доведено.
Оскiльки топологiчно спряженi вiдображення є одночасно або бiєктивними, або не
бiєктивними, то топологiчну класифiкацiю афiнних вiдображень, якi дiють з R2 в R2 та
не мають нерухомих точок, розiб’ємо на два можливi випадки:
а) топологiчна класифiкацiя афiнних вiдображень f(x) = Ax + b, що не мають неру-
хомих точок та detA 6= 0;
б) топологiчна класифiкацiя афiнних вiдображень f(x) = Ax + b, що не мають неру-
хомих точок та detA = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
476 Т. В. БУДНИЦЬКА
Топологiчна класифiкацiя афiнних вiдображень f(x) = Ax + b, що не мають не-
рухомих точок та det A 6= 0. Основним результатом у цьому випадку є теорема 5, яка
стверджує, що довiльне бiєктивне афiнне вiдображення, що не має нерухомих точок, та
g(x) = x+ d, d ∈ R2\{0}, є топологiчно спряженими.
Теорема 5. Нехай f, g : R2 → R2, f(x) = Ax+ b, g(x) = x+ d — афiннi вiдображення
такi, що:
1) не iснує q, ν ∈ R2 таких, що f(q) = q та g(ν) = ν;
2) detA 6= 0.
Тодi f t∼ g.
Доведення. Iдея доведення: для вiдображень f та g,що задовольняють умови теореми,
побудуємо гомеоморфiзм h : R2 → R2 такий, що g = h ◦ f ◦h−1, тим самим доведемо, що
f
t∼ g.
За умовою теореми вiдображення f задовольняє умови: @ q ∈ R2 : f(q) = q, detA 6= 0.
Використовуючи лему 1 маємо λ(1)
A = 1, λ(2)
A 6= 0.
Доведення теореми розiб’ємо на два можливi випадки:
1) λ(1)
A = 1 та λ(2)
A = 1;
2) λ(1)
A = 1 та λ(2)
A = α, де α ∈ R \ {0, 1},
i побудуємо вiдповiднi спрягаючi гомеоморфiзми у кожному з них.
Випадок 1: λ(1)
A = 1 та λ(2)
A = 1. Зауважимо, що якщо матриця A є одиничною, то тео-
рема випливає з твердження 4, тому далi будемо вважати, що матриця A не є одиничною.
Використавши твердження 2, доведемо, що вiдображення f(x) = Ax + b таке, що
@ q ∈ R2 : f(q) = q, λ
(1)
A = 1 = λ
(2)
A , A 6= E, та g(x) = x + d, d ∈ R2\{0}, є топологiчно
спряженими.
Побудова вiдповiдного гомеоморфiзму базується на 4 кроках:
1. Спрягаючи гомеоморфiзмом φ1 : R2 → R2, φ1(x) = Sx, де матриця S така,
що detS 6= 0, SAS−1 = J, вiдображення f(x) = Ax + b таке, що @ q ∈ R2 : f(q) = q,
λ
(1)
A = 1 = λ
(2)
A , A 6= E, отримуємо вiдображення
f1(x) = Jx+ δ =
(
1 1
0 1
)(
x1
x2
)
+
(
δ1
δ2
)
, δ = Sb, δ1 ∈ R, δ2 ∈ R\{0}.
Зауважимо, що умови δ1 ∈ R, δ2 ∈ R\{0} випливають з твердження 2, оскiльки вi-
дображення f1(x) = Jx+δ не має нерухомих точок (f1 = φ1◦f ◦φ−1
1 , а f не має нерухомих
точок за умовою).
2. Вiдображення f1(x) = Jx+ δ =
(
1 1
0 1
) (
x1
x2
)
+
(
δ1
δ2
)
, де δ1 ∈ R, δ2 ∈ R\{0},
та f2(x) = Jx+e2 =
(
1 1
0 1
)(
x1
x2
)
+
(
0
1
)
є топологiчно спряженими, оскiльки iснує
гомеоморфiзм φ2 : R2 → R2 такий, що f2 = φ2 ◦ f1 ◦ φ−1
2 , а саме
φ2
(
x1
x2
)
=
1
δ2
−δ1
δ22
0
1
δ2
(
x1
x2
)
, δ1 ∈ R, δ2 ∈ R\{0}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ТОПОЛОГIЧНА КЛАСИФIКАЦIЯ АФIННИХ ВIДОБРАЖЕНЬ З R2 В R2 477
3. Вiдображення f2(x) = Jx + e2 =
(
1 1
0 1
) (
x1
x2
)
+
(
0
1
)
та f3(x) = x + e2 =
=
(
x1
x2
)
+
(
0
1
)
є топологiчно спряженими, тому що iснує гомеоморфiзм φ3 : R2 → R2
такий, що f3 = φ3 ◦ f2 ◦ φ−1
3 , а саме
φ3
(
x1
x2
)
=
x1 −
1
2
(
x2 −
1
2
)2
x2
.
4. Вiдображення f3(x) = x + e2
t∼ g(x) = x + d, d 6= 0, за твердженням 4, тобто iснує
гомеоморфiзм ψ такий, що g = ψ ◦ f3 ◦ ψ−1.
З крокiв 1 – 4 випливає, що афiннi вiдображення f, g : R2 → R2, f(x) = Ax + b таке,
що @ q ∈ R2 : f(q) = q, λ
(1)
A = 1 = λ
(2)
A , A 6= E, та g(x) = x+d, d ∈ R2\{0}, є топологiчно
спряженими, тому що iснує гомеоморфiзм h : R2 → R2, h(x) = ψ ◦ φ3 ◦ φ2 ◦ φ1(x), такий,
що g = h ◦ f ◦ h−1 (тут φ1, φ2, φ3, ψ — вiдповiднi гомеоморфiзми з крокiв 1 – 4).
Випадок 2: λ(1)
A = 1 та λ(2)
A = α, де α ∈ R\{0, 1}. Використавши твердження 3, доведе-
мо, що вiдображення f(x) = Ax + b таке, що @ q ∈ R2 : f(q) = q, λ
(1)
A = 1, λ(2)
A = α, де
α ∈ R\{0, 1}, та g(x) = x+ d, d ∈ R2\{0}, є топологiчно спряженими.
Доведення є аналогiчним доведенню попереднього випадку: за 4 кроки побудуємо го-
меоморфiзм h : R2 → R2 такий, що g = h ◦ f ◦ h−1.
1′. Спрягаючи гомеоморфiзмом φ1 : R2 → R2, φ1(x) = Bx, де матриця B така, що
detB 6= 0, BAB−1 = J, вiдображення f(x) = Ax + b таке, що @ q ∈ R2 : f(q) = q,
λ
(1)
A = 1, λ(2)
A = α, де α ∈ R \ {0, 1}, отримуємо
f1(x) = Jx+δ =
(
1 0
0 α
) (
x1
x2
)
+
(
δ1
δ2
)
, α ∈ R\{0, 1}, δ = Bb, δ1 ∈ R\{0}, δ2 ∈ R.
Умови δ1 ∈ R\{0}, δ2 ∈ R випливають з твердження 3, оскiльки вiдображення f1(x) =
= Jx+ δ не має нерухомих точок (f1 = φ1 ◦ f ◦ φ−1
1 ).
2′. Вiдображення f1(x) = Jx + δ =
(
1 0
0 α
)(
x1
x2
)
+
(
δ1
δ2
)
та f2(x) = Jx + e1 =
=
(
1 0
0 α
) (
x1
x2
)
+
(
1
0
)
, де α ∈ R\{0, 1}, δ1 ∈ R\{0}, δ2 ∈ R, є топологiчно
спряженими, тому що iснує гомеоморфiзм φ2 : R2 → R2 такий, що f2 = φ2 ◦ f1 ◦ φ−1
2 , а
саме
φ2
(
x1
x2
)
=
x1
δ1
x2 +
δ2
α− 1
, α ∈ R\{0, 1}, δ1 ∈ R\{0}, δ2 ∈ R.
3′. Вiдображення f2(x) = Jx + e1 =
(
1 0
0 α
) (
x1
x2
)
+
(
1
0
)
, де α ∈ R\{0, 1}, та
f3(x) = x+e1 =
(
x1
x2
)
+
(
1
0
)
є топологiчно спряженими, оскiльки iснує гомеоморфiзм
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
478 Т. В. БУДНИЦЬКА
φ3 : R2 → R2 такий, що f3 = φ3 ◦ f2 ◦ φ−1
3 , а саме
φ3
(
x1
x2
)
=
(
x1
x2α
−x1
)
, α ∈ R\{0, 1}.
4′. Вiдображення f3(x) = x + e1
t∼ g(x) = x + d, d 6= 0, за твердженням 4, тобто iснує
гомеоморфiзм ψ такий, що g = ψ ◦ f3 ◦ ψ−1.
З крокiв 1′ – 4′ випливає, що f, g : R2 → R2, f(x) = Ax+b таке, що @ q ∈ R2 : f(q) = q,
λ
(1)
A = 1, λ(2)
A = α, де α ∈ R\{0, 1}, та g(x) = x+d, d ∈ R2\{0}, є топологiчно спряженими,
тому що iснує гомеоморфiзм h : R2 → R2, h(x) = ψ◦φ3◦φ2◦φ1(x), такий, що g = h◦f◦h−1
(тут φ1, φ2, φ3, ψ — вiдповiднi гомеоморфiзми з крокiв 1′ – 4′).
Висновки. З випадку 1 випливає, що вiдображення f(x) = Ax + b таке, що @ q ∈ R2 :
f(q) = q, λ
(1)
A = λ
(2)
A = 1, та g(x) = x+ d, d ∈ R2\{0}, є топологiчно спряженими.
З випадку 2 випливає, що f(x) = Ax + b таке, що @ q ∈ R2 : f(q) = q, λ
(1)
A = 1,
λ
(2)
A = α, де α ∈ R\{0, 1}, та g(x) = x+ d, d ∈ R2\{0}, є топологiчно спряженими.
Отже, афiнне вiдображення f(x) = Ax + b таке, що @ q ∈ R2 : f(q) = q, detA 6= 0
(⇔ λ
(2)
A 6= 0), та вiдображення g(x) = x+ d, d ∈ R2\{0}, є топологiчно спряженими.
Теорему доведено.
Наслiдок 2. Нехай f, g : R2 → R2, f(x) = Ax + b, g(x) = Cx + d — бiєктивнi афiннi
вiдображення без нерухомих точок. Тодi f t∼ g.
Топологiчна класифiкацiя афiнних вiдображень f(x) = Ax + b, що не мають неру-
хомих точок та det A = 0. Наступна теорема стверджує, що два довiльнi не бiєктивнi
афiннi вiдображення з R2 в R2 без нерухомих точок є топологiчно спряженими.
Теорема 6. Нехай f, g : R2 → R2, f(x) = Ax+ b, g(x) = Cx+d — афiннi вiдображення
такi, що:
1) не iснують q, ν ∈ R2 такi, що f(q) = q та g(ν) = ν;
2) detA = 0 та detC = 0.
Тодi f t∼ g.
Доведення аналогiчне доведенню попередньої теореми: для вiдображень f та g, що
задовольняють умови теореми, побудуємо гомеоморфiзм h : R2 → R2 такий, що g =
= h ◦ f ◦ h−1.
Тобто, використавши лему 1 та твердження 3, доведемо, що f(x) = Ax + b та g(x) =
= Cx + d такi, що @ q, ν ∈ R2 : f(q) = q та g(ν) = ν, λ
(1)
A = λ
(1)
C = 1, λ(2)
A = λ
(2)
C = 0,
є топологiчно спряженими.
Побудова вiдповiдного гомеоморфiзму базується на 3 кроках:
1. Спрягаючи гомеоморфiзмом φ1 : R2 → R2, φ1(x) = Sx, де матриця S така,
що detS 6= 0, SAS−1 = J, вiдображення f(x) = Ax + b таке, що @ q ∈ R2 : f(q) = q,
λ
(1)
A = 1, λ(2)
A = 0, отримуємо вiдображення
f1(x) = Jx+ δ =
(
1 0
0 0
) (
x1
x2
)
+
(
δ1
δ2
)
, δ = Sb, δ1 ∈ R\{0}, δ2 ∈ R.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ТОПОЛОГIЧНА КЛАСИФIКАЦIЯ АФIННИХ ВIДОБРАЖЕНЬ З R2 В R2 479
Умови δ1 ∈ R\{0}, δ2 ∈ R випливають з твердження 3, оскiльки вiдображення f1(x) =
= Jx+ δ не має нерухомих точок (f1 = φ1 ◦ f ◦ φ−1
1 ).
2. Спрягаючи гомеоморфiзмом φ3 : R2 → R2, φ3(x) = Kx, де матриця K така, що
detK 6= 0, K−1CK = J, вiдображення g(x) = Cx + d таке, що @ ν ∈ R2 : g(ν) = ν,
λ
(1)
C = 1, λ(2)
C = 0, отримуємо вiдображення
f2(x) = Jx+ η =
(
1 0
0 0
) (
x1
x2
)
+
(
η1
η2
)
, η = K−1d, η1 ∈ R\{0}, η2 ∈ R.
Умови η1 ∈ R\{0}, η2 ∈ R випливають з твердження 3, оскiльки вiдображення f2(x) =
= Jx+ η не має нерухомих точок (g = φ3 ◦ f2 ◦ φ−1
3 ).
3. Вiдображення f1(x) = Jx+ δ =
(
1 0
0 0
) (
x1
x2
)
+
(
δ1
δ2
)
, де δ = Sb, δ1 ∈ R\{0},
δ2 ∈ R, та f2(x) = Jx + η =
(
1 0
0 0
) (
x1
x2
)
+
(
η1
η2
)
, де η = K−1d, η1 ∈ R\{0},
η2 ∈ R, є топологiчно спряженими, тому що iснує гомеоморфiзм φ2 : R2 → R2 такий, що
f2 = φ2 ◦ f1 ◦ φ−1
2 , а саме
φ2
(
x1
x2
)
=
( η1
δ1
x1
x2 − δ2 + η2
)
, δ = Sb, η = K−1d, δ1, η1 ∈ R\{0}, δ2, η2 ∈ R.
З крокiв 1 – 3 випливає, що вiдображення f, g : R2 → R2, f(x) = Ax+b та g(x) = Cx+d
такi, що @ q, ν ∈ R2 : f(q) = q та g(ν) = ν, λ
(1)
A = λ
(1)
C = 1, λ(2)
A = λ
(2)
C = 0, є топологiчно
спряженими, оскiльки iснує гомеоморфiзм h : R2 → R2, h(x) = φ3 ◦ φ2 ◦ φ1(x) такий, що
g = h ◦ f ◦ h−1 (тут φ1, φ2, φ3 — гомеоморфiзми з крокiв 1 – 3).
Теорему доведено.
Пiдсумовуючи викладене вище для афiнних вiдображень з R2 в R2, що не мають неру-
хомих точок, отримуємо таке твердження.
Твердження 5. Нехай f, g : R2 → R2, f(x) = Ax + b та g(x) = Cx + d — афiннi
вiдображення, якi не мають нерухомих точок. Вiдображення f i g топологiчно спряженi
тодi i тiльки тодi, коли detA та detC або одночасно дорiвнюють 0, або одночасно
вiдмiннi вiд 0.
Об’єднуючи теорему 4 та твердження 5, отримуємо наступний критерiй топологiчної
спряженостi афiнних вiдображень з R2 в R2.
Теорема 7 (основна теорема). Нехай f, g : R2 → R2, f(x) = Ax + b, g(x) = Cx + d —
афiннi вiдображення.
Якщо f, g мають хоча б по однiй нерухомiй точцi, то f t∼ g тодi i тiльки тодi, коли
rank (A+) = rank (C+), sign (det(A+)) = sign (det(C+)),
rank (A−) = rank (C−), sign (det(A−)) = sign (det(C−)),
A∞ = C∞, A0 = C0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
480 Т. В. БУДНИЦЬКА
Якщо f, g не мають нерухомих точок, то f t∼ g тодi i тiльки тодi, коли detA та
detC або одночасно дорiвнюють 0, або одночасно вiдмiннi вiд 0.
1. Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем: Введение: Пер. с англ. — М.: Мир,
1986. — 301 с.
2. Kuiper N.H., Robbin J.W. Topological classification of linear endomorphisms // Invent. Math. — 1973. — 19.
— P. 83 – 106.
3. Robbin J. W. Topological conjugacy and structural stability for discrete dynamical systems // Bull. Amer. Math.
Soc. — 1972. – 78, № 6. — P. 923 – 952.
4. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. — М.; Л., 1947. — 392 с.
Одержано 30.05.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
|