Про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією
С помощью теоремы Красносельского о неподвижной точке отображения в конусе получены условия существования положительных кусочно-гладких периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием....
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178192 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією / O.I. Кочерга, О.І. Неня, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 501-511. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178192 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781922021-02-19T01:26:06Z Про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією Кочерга, O.I. Неня, О.І. Ткаченко, В.І. С помощью теоремы Красносельского о неподвижной точке отображения в конусе получены условия существования положительных кусочно-гладких периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. By applying the Krasnosel’skii fixed point theorem to a mapping on a cone, we find conditions for existence of piecewise smooth periodic solutions of functional-differential equations with impulsive effects. 2008 Article Про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією / O.I. Кочерга, О.І. Неня, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 501-511. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178192 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
С помощью теоремы Красносельского о неподвижной точке отображения в конусе получены условия существования положительных кусочно-гладких периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. |
| format |
Article |
| author |
Кочерга, O.I. Неня, О.І. Ткаченко, В.І. |
| spellingShingle |
Кочерга, O.I. Неня, О.І. Ткаченко, В.І. Про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією Нелінійні коливання |
| author_facet |
Кочерга, O.I. Неня, О.І. Ткаченко, В.І. |
| author_sort |
Кочерга, O.I. |
| title |
Про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією |
| title_short |
Про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією |
| title_full |
Про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією |
| title_fullStr |
Про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією |
| title_full_unstemmed |
Про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією |
| title_sort |
про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178192 |
| citation_txt |
Про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією / O.I. Кочерга, О.І. Неня, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 501-511. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kočergaoi prododatníperíodičnírozvâzkinelíníjnihfunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹzímpulʹsnoûdíêû AT nenâoí prododatníperíodičnírozvâzkinelíníjnihfunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹzímpulʹsnoûdíêû AT tkačenkoví prododatníperíodičnírozvâzkinelíníjnihfunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹzímpulʹsnoûdíêû |
| first_indexed |
2025-07-15T16:33:46Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:33:46Z |
| _version_ |
1837731390455545856 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПРО ДОДАТНI ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ
О. I. Кочерга
Нiжин. ун-т
Україна, 16602, Нiжин Чернiгiвської обл., вул. Крапив’янського, 2
О. I. Неня
Київ. нац. економ. ун-т
Україна, 03680, Київ, просп. Перемоги, 54/1
В. I. Ткаченко*
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
By applying the Krasnosel’skii fixed point theorem to a mapping on a cone, we find conditions for exi-
stence of piecewise smooth periodic solutions of functional-differential equations with impulsive effects.
С помощью теоремы Красносельского о неподвижной точке отображения в конусе получе-
ны условия существования положительных кусочно-гладких периодических решений функцио-
нально-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.
Вступ. Позначимо через PC(J,Rn) банахiв простiр означених на iнтервалi J кусково-
неперервних неперервних злiва функцiй зi значеннями в R
n. Введемо стандартну норму в
PC формулою
‖ϕ‖0 = sup
θ∈J
‖ϕ(θ)‖,
де ‖.‖ — норма в R
n. Якщо функцiя x ∈ PC(R,Rn), то xt ∈ PC(R,Rn) означається рiвнiс-
тю xt(θ) = x(t+ θ) для всiх θ ∈ R.
Розглянемо n-вимiрну систему функцiонально-диференцiальних рiвнянь з iмпульсною
дiєю
ẋ(t) = A(t)x(t) + f(t, xt), t 6= τk, (1)
x(τk + 0) − x(τk) = ∆x|t=τk
= Bkx(τk) + Ik(x(τk)), k ∈ Z, (2)
де x ∈ R
n, A(t) — кусково-неперервна T -перiодична матрична функцiя, послiдовнiсть
моментiв iмпульсної дiї {τk} задовольняє умову τk+p−τk = T, сталi матрицiBk та функцiї
* Частково пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень України (грант 14.1/007).
c© О. I. Кочерга, О. I. Неня, В. I. Ткаченко, 2008
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 501
502 О. I. КОЧЕРГА, О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО
Ik(x) задовольняють умови перiодичностiBk+p = Bk, Ik+p(x) = Ik(x) з деяким натураль-
ним p, f(t+ T, ϕ) = f(t, ϕ).
Пiд розв’язком системи рiвнянь (1), (2) розумiємо абсолютно неперервну на кожному
iнтервалi (tj , tj+1] функцiю, яка задовольняє систему рiвнянь (1) майже скрiзь, а також
умови iмпульсiв (2).
Клас iмпульсних систем (1), (2) включає багато моделей математичної бiологiї. До
цього класу належать рiвняння Маккi – Гласса та Нiколсона з iмпульсною дiєю, система
Лотки – Вольтерри з запiзненням та iмпульсною дiєю, а також бiльш загальнi системи з
запiзненням та iмпульсами, якi описують конкуренцiю кiлькох бiологiчних видiв. Iнший
приклад — система хижак-жертва з запiзненням та iмпульсами.
Виходячи з бiологiчної iнтерпретацiї, розглядаємо розв’язки, якi набувають невiд’єм-
них значень. Метою даної роботи є дослiдження додатних перiодичних розв’язкiв системи
(1), (2) з допомогою теореми Красносельського про нерухому точку вiдображення в до-
датному конусi. Застосуванню теореми Красносельського до дослiдження рiзних класiв
диференцiальних рiвнянь присвячено багато робiт (див., наприклад, [1 – 5]). У роботах [6 –
8] теорему застосовано до функцiонально-диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю.
В данiй роботi ми використаємо функцiю Грiна задачi про перiодичнi розв’язки iм-
пульсної системи [9, с. 153], що дозволить дослiдити бiльш широкий клас систем i отри-
мати новi умови iснування перiодичних розв’язкiв.
Основнi результати. Спочатку сформулюємо теорему Красносельського про нерухо-
му точку (див. [10, 11]).
Розглянемо банаховий простiр E. Замкнена непорожня пiдмножина P простору E на-
зивається конусом, якщо:
1) αx+ βy ∈ P для всiх x ∈ P, y ∈ P i для всiх α ≥ 0, β ≥ 0;
2) з того, що x ∈ P i −x ∈ P , випливає x = 0.
Теорема 1 (Красносельського). НехайE — банахiв простiр iз нормою ‖.‖b, а P ⊂ E —
конус в E. Припустимо, що Ω1 i Ω2 — вiдкритi обмеженi пiдмножини простору E такi,
що 0 ∈ Ω1 ⊂ Ω̄1 ⊂ Ω2.
Розглянемо цiлком неперервний оператор Ψ : P ∩ (Ω̄2 \ Ω1) → P, який задовольняє
умови:
1) ‖Ψx‖b ≤ ‖x‖b для x ∈ P ∩ ∂Ω1;
2) iснує ненульовий вектор ψ ∈ P такий, що x 6= Ψx+ λψ для x ∈ P ∩ ∂Ω2 та λ > 0,
або
3) ‖Ψx‖b ≤ ‖x‖b для x ∈ P ∩ ∂Ω2;
4) iснує ненульовий вектор ψ ∈ P такий, що x 6= Ψx+ λψ для x ∈ P ∩ ∂Ω1 та λ > 0.
Тодi оператор Ψ має нерухому точку в P ∩ (Ω̄2 \ Ω1).
Позначимо через Ep банахiв простiр T -перiодичних кусково-неперервних неперерв-
них злiва вектор-функцiй
Ep = {x(t) = (x1(t), ..., xn(t)) ∈ PC(R,Rn), x(t+ T ) = x(t)}
з нормою ‖x‖0 = supt∈[0,T ] ‖x(t)‖.
Позначимо UR = {u : u ∈ Ep, ‖u‖0 < R}, ∂UR = {u : ‖u‖0 = R}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ПРО ДОДАТНI ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 503
Нехай X(t) — матрицант лiнiйної однорiдної iмпульсної системи
ẋ(t) = A(t)x(t), t 6= τk,
∆x|t=τk
= Bkx, k ∈ Z,
X(0) = I, I — одинична матриця.
Лема 1. Припустимо, що det(I − X(T )) 6= 0. Перiодична вектор-функцiя x(t) є T -
перiодичним розв’язком системи (1), (2) тодi i тiльки тодi, коли x(t) є T -перiодичним
розв’язком системи iнтегральних рiвнянь
x(t) =
t+T
∫
t
G(t, s)f(s, xs)ds+
∑
t≤τj<t+T
G(t, τj)Ij(x(τj)), (3)
де функцiя Грiна G(t, s) має вигляд
G(t, s) = X(t+ T )(I −X(T ))−1X−1(s).
Доведення. В монографiї [9] побудовано функцiю Грiна i знайдено перiодичний розв’я-
зок лiнiйної неоднорiдної системи рiвнянь з iмпульсною дiєю. Застосовуючи цi формули
до системи рiвнянь (1), (2), отримуємо iнтегральне рiвняння (3).
Далi припускаємо, що виконуються наступнi умови:
H1) матрицi A(t) i Bk є дiагональними:
A(t) = diag(a1(t), ..., an(t)), функцiї aj(t) кусково-неперервнi та T -перiодичнi,
Bk = diag(bk1, ..., bkn), Bk = Bk+p, а також
1 + bkj > 0, k ∈ Z, j = 1, ..., n; (4)
H2) det(I −X(T )) 6= 0; для дiагональних матриць ця умова набере вигляду
gj =
T
∫
0
aj(s)ds+
∑
0≤τi<T
ln(1 + bij) 6= 0, j = 1, ..., n; (5)
H3) функцiонал f(t, ϕ) : R ×Xp → R
n є неперервним та T -перiодичним по t : f(t+
+T, ϕ) = f(t, ϕ) та рiвномiрно неперервним по ϕ : для всiх L > 0 i ε > 0 iснує δ > 0 таке,
що для ϕ,ψ ∈ Xp, ‖ϕ‖0 ≤ L, ‖ψ‖0 ≤ L, ‖ϕ− ψ‖0 < δ, виконується
sup
s∈[0,ω]
‖f(s, ϕs) − f(s, ψs)‖ < ε;
H4) gjfj(t, φ) ≤ 0 для всiх t, φ ∈ R × Ep, j = 1, ..., n.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
504 О. I. КОЧЕРГА, О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО
Вектор-функцiя G(t, s) = diag(G1(t, s), ..., Gn(t, s)) має координати
Gj(t, s) =
1 − e
❘ T
0
aj(ξ)dξ
∏
0≤τk<T
(1 + bkj)
−1
e
❘ t+T
s
aj(ξ)dξ
∏
s≤τk<t+T
(1 + bkj) =
=
e−
❘ T
0
aj(ξ)dξ
∏
0≤τk<T
(1 + bkj)
−1 − 1
−1
e−
❘ s
t
aj(ξ)dξ
∏
t≤τk<s
(1 + bkj)
−1. (6)
За умови (4) функцiї Gj(t, s) є вiдмiнними вiд нуля при всiх t, s i signGj(t, s) = −sign gj .
Позначимо
GL
j ≤ |Gj(t, s)| ≤ GM
j , s ∈ [t, t+ T ], j = 1, ..., n,
GM = max
1≤j≤n
GM
j , GL = min
1≤j≤n
GL
j .
У просторi Ep означимо конус
Pσ = {x(t) = (x1(t), ..., xn(t)) ∈ Ep : xj(t) ≥ σj‖xj‖0, σj = const, j = 1, ..., n},
де σ = (σ1, ..., σn), σj = GL
j (GM
j )−1, j = 1, ..., n, σ0 = mini σi.
Розглянемо iнтегральний оператор Φ : Ep → Ep :
(Φx)(t) =
t+T
∫
t
G(t, s)f(s, xs)ds+
∑
t≤τj<t+T
G(t, τj)Ij(x(τj)). (7)
Лема 2. При виконаннi умов H1 –H4 вiдображення Φ є цiлком неперервним i ΦPσ ⊆
⊆ Pσ.
Доведення. Легко перевiрити, що функцiя Грiна G(t, s) задовольняє умову перiодич-
ностi G(t+T, s+T ) = G(t, s). Звiдси випливає, що (Φx)(t+T ) = (Φx)(t), тобто оператор
Φ переводить простiр Ep в себе.
Використовуючи умову H4, перевiряємо, що оператор Φ є неперервним.
Для доведення компактностi вiдображення Φ скористаємося теоремою Арцела. Роз-
глянемо обмежену множину
SM = {x ∈ Ep : ‖x‖0 ≤ M}
i доведемо, що її образ ΦSM є рiвномiрно обмеженою i одностайно неперервною множи-
ною функцiй на кожному з iнтервалiв [τj , τj+1].
Рiвномiрна обмеженiсть безпосередньо випливає з нерiвностi
‖(Φx)(t)‖ ≤
t+T
∫
t
‖G(t, s)‖‖f(s, xs)‖ds+
∑
t≤τj<t+T
‖G(t, τj)‖‖Ij(x(τj))‖ ≤
≤ GM (TFM + IM ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ПРО ДОДАТНI ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 505
де
FM = sup
‖φ‖0≤M,s∈R
‖f(s, φ)‖, IM =
p
∑
j=1
sup
‖φ‖0≤M,
‖Ij(φ)‖.
Для доведення одностайної неперервностi на iнтервалi [τj , τj+1] досить довести рiвно-
мiрну обмеженiсть похiдних d(Φx)(t)/dt для x ∈ SM , t ∈ [τj , τj+1] :
(Φx)(t)
dt
= G(t, t+ T )f(t+ T, xt+T ) −G(t, t)f(t, xt)+
+A(t)
t+T
∫
t
G(t, s)f(s, xs)ds+A(t)
∑
t≤τj<t+T
G(t, τj)Ij(x(τj)) =
= A(t)(Φx)(t) + f(t, xt).
З останньої формули отримуємо рiвномiрну оцiнку для похiдної
∥
∥
∥
∥
(Φx)(t)
dt
∥
∥
∥
∥
≤ ‖A‖0G
M (TFM + IM ) + FM .
Зазначимо, що функцiя Грiна G(t, s) при кожному фiксованому s є неперервно диферен-
цiйовною по t при t 6= τj .
Використовуючи оцiнки для функцiї Грiна Gj(t, s), отримуємо
‖(Φy)j‖0 ≤ GM
j
T
∫
0
fj(s, ys)ds+
∑
0≤τm<T
Imj(y(τm))
, (8)
(Φy)j(t) ≥ GL
j
T
∫
0
fj(s, ys)ds+
∑
0≤τm<T
Imj(y(τm))
. (9)
З формул (8) i (9) маємо
(Φy)j(t) ≥ GL
j (GM
j )−1‖(Φy)j‖0.
Лему доведено.
Теорема 2. Нехай виконуються умови H1 –H4 та iснують додатнi сталi R1 та R2
такi, що:
D1) для u ∈ ∂UR1
∩ Pσ
∥
∥
∥
∥
∥
∥
t+T
∫
t
G(t, s)f(s, us)ds+
∑
t≤τk<t+T
G(t, τk)Ik(u(τk))
∥
∥
∥
∥
∥
∥
≤ R1; (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
506 О. I. КОЧЕРГА, О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО
D2) для u ∈ ∂UR2
∩ Pσ i деякого 1 ≤ j ≤ n
t+T
∫
t
Gj(t, s)fj(s, us)ds+
∑
t≤τk<t+T
Gj(t, τj)Ikj(u(τk)) ≥ inf
0≤s≤T
uj(s). (11)
Тодi система (1), (2) має T -перiодичний розв’язок u(t), який задовольняє оцiнки σ0r ≤
≤ ‖u‖0 ≤ R, де R = max(R1, R2), r = min(R1, R2).
Доведення. Доведемо, що оператор Φ має нерухому точку в конусi Pσ. Перевiримо
виконання умов теореми Красносельського.
Виконання умови 1 теореми 1 випливає з умови D1.
Припустимо, що друга умова теореми Красносельського не виконується. Тодi для кож-
ного ненульового вектора ψ, зокрема для вектора ψ = (1, ..., 1), iснують u0 ∈ ∂UR2
∩Pσ та
додатне число λ такi, що u0 = Φu0+λψ.З нерiвностi (11) для деякого t1 i ε < λ отримуємо
inf
0≤s≤T
u0
j (s) + ε > u0
j (t1) =
t1+T
∫
t1
Gj(t1, s)fj(s, u
0
s)ds+
+
∑
t1≤τk<t1+T
Gj(t1, τj)Ikj(u
0(τk)) + λ ≥ inf
0≤s≤T
u0
j (s) + λ.
Прийшли до суперечностi.
Теорему доведено.
Розглянемо рiвняння Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю
x′(t) = −δ(t)x(t) +
p(t)x(t− h(t))
1 + xn(t− h(t))
, t 6= τk, (12)
x(τk + 0) = (1 + bk)x(τk), k ∈ Z, (13)
де x ∈ R, функцiї δ(t), p(t) i h(t) є кусково-неперервними i T -перiодичними, n — додатна
стала, τk+p = τk + T, bk+p = bk, 1 + bk > 0, k ∈ Z.
У вiдповiдностi з лемою 1 будемо шукати додатнозначнi T -перiодичнi розв’язки iнтег-
рального рiвняння
x(t) =
t+T
∫
t
G(t, s)
p(s)x(s− h(s))
1 + xn(s− h(s))
ds, (14)
де функцiя Грiна G(t, s) має вигляд
G(t, s) = g(t+ T, s)(1 − g(T, 0))−1, (15)
g(t, s) = exp
−
t
∫
s
δ(ξ)dξ
∏
s≤τk<t
(1 + bk). (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ПРО ДОДАТНI ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 507
Позначимо через GL i GM її нижню i верхню оцiнки, тобто GL ≤ |G(t + T, s)| ≤
≤ GM , s ∈ [t, t+ T ].
Теорема 3. Нехай виконуються умови g(T, 0) 6= 1, (g(T, 0) − 1)p(t) ≤ 0 i
1
1 − g(T, 0)
t+T
∫
t
g(t+ T, s)p(s)ds > 1, t ∈ R. (17)
Тодi рiвняння (12), (13) має додатнозначний кусково-неперервний T -пе-
рiодичний розв’язок, який задовольняє оцiнки r0 ≤ x0(t) ≤ R з деякими r0 > 0, R > 0.
Доведення. У банаховому просторi Ep кусково-неперервних неперервних злiва T -пе-
рiодичних функцiй розглянемо оператор Φx, означений правою частиною рiвняння (14).
При виконаннi умов теореми конус
Pσ = {x(t) ∈ Ep : x(t) ≥ σ‖x‖0, σ = GL/GM}
iнварiантний вiдносно оператора Φ.
Перевiримо, що за припущення (17) виконуються умови теореми Красносельського.
Припустимо, що (g(T, 0) < 1 i p(t) ≥ 0 (випадок (g(T, 0) > 1, p(t) ≤ 0 розглядається
аналогiчно).
Легко бачити, що при x ∈ ∂UR ∩ Pσ з R, яке задовольняє нерiвнiсть
GMpMT
1 +Rn
< 1, pM = max
t∈[0,T ]
p(t),
виконується оцiнка ‖Φx‖0 ≤ R = ‖x‖0.
За умови (17) iснує досить мале r таке, що
t+T
∫
t
g(t+ T, s)p(s)ds ≥ (1 − g(T, 0))(1 + rn),
а тому при x ∈ ∂Ur ∩ Pσ справджується оцiнка
(Φx)(t) ≥
t+T
∫
t
g(t+ T, s)p(s)ds
(1 − g(T, 0))(1 + rn)
min
s∈[t,t+T ]
x(s) ≥ min
s∈[t,t+T ]
x(s).
Отже, всi умови теореми 2 виконано, що завершує доведення теореми.
Наслiдок 1. Для виконання нерiвностi (17) достатнiми умовами є
gLpL > 1 − g(T, 0) > 0, gL = inf
t,s
g(t, s), pL = inf
t
p(t) > 0
або
−gLpM > g(T, 0) − 1 > 0, pM = sup
t
p(t) < 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
508 О. I. КОЧЕРГА, О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО
Наслiдок 2. Припустимо, що p(t) > 0, δ(t) > 0 i всi iмпульси є додатними, тобто
bk ≥ 0, k ∈ Z. Тодi для iснування додатного перiодичного розв’язку рiвняння (12), (13)
достатньо виконання нерiвностi
min
t∈[0,T ]
p(t)
δ(t)
+
∏
0≤τk<T
(1 + bk) − 1
exp
{
T
∫
0
δ(s)ds
}
− 1
> 1. (18)
Доведення. Оскiльки bk ≥ 0, то
∏
k(1 + bk) ≥ 1. Тодi
1
1 − g(T, 0)
t+T
∫
t
g(t+ T, s)p(s)ds ≥
≥
mint(p(t)/δ(t)
1 − g(T, 0)
t+T
∫
t
e
−
t+T❘
s
δ(ξ)dξ
δ(s)
∏
s≤tk<t+T
(1 + bk)ds ≥
≥
mint(p(t)/δ(t))
1 − g(T, 0)
t+T
∫
t
e
−
t+T❘
s
δ(ξ)dξ
δ(s)ds =
=
min(p(t)/δ(t)
1 − g(T, 0)
1 − e
−
T❘
0
δ(ξ)dξ
.
Для виконання (17) достатньо, щоб останнiй вираз був бiльшим за одиницю, а саме
min
t
p(t)
δ(t)
(
1 − e−
❘ T
0
δ(ξ)dξ
)
> 1 − e−
❘ T
0
δ(ξ)dξ
∏
0≤τk<T
(1 + bk). (19)
Легко перевiрити, що нерiвнiсть (19) еквiвалентна (18).
Наслiдок доведено.
Розглянемо тепер рiвняння Маккi – Гласса з нелiнiйними iмпульсами
x′(t) = −δ(t)x(t) +
p(t)x(t− h(t))
1 + xn(t− h(t))
, t 6= τk, (20)
x(τk + 0) = (1 + bk)x(τk) + Ik(x(τk)), k ∈ Z, (21)
де функцiї δ(t), p(t) i h(t) є кусково-неперервними i T -перiодичними, n — додатна стала.
Послiдовностi у правiй частинi (21) задовольняють умови τk+p = τk + T, bk+p = bk, 1 +
+bk > 0, Ik+p(x) = Ik(x), k ∈ Z.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ПРО ДОДАТНI ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 509
У вiдповiдностi з лемою 1 будемо шукати додатнозначнi T -перiодичнi розв’язки iнтег-
рального рiвняння
x(t) =
t+T
∫
t
G(t, s)
p(s)x(s− h(s))
1 + xn(s− h(s))
ds+
∑
t≤τk≤t+T
G(t, τk)Ik(x(τk)). (22)
Теорема 4. Припустимо, що g(T, 0) < 1, p(t) ≥ 0, t ∈ R i Ik(x) ≥ 0 для x ≥ 0, k ∈ Z.
Тодi рiвняння (20), (21) має додатнозначний кусково-неперервний T -перiодичний роз-
в’язок, якщо виконуються умови:
a) Ik(0) > 0, i Ik(R)/R → 0, R → ∞, для всiх k ∈ Z
або
b) GMpM < 1, Ik(r)/r → 0, r → 0 i Ik(R)/R → ∞, R → ∞, для всiх k ∈ Z.
Доведення. Нехай виконуються умови a). При виконаннi умов Ik(ξ)/ξ → 0, ξ → ∞,
для деякого досить великого R1 має мiсце нерiвнiсть
GMpMT
1 +Rn
1
+
GM
σR1
p
∑
k=1
max
u∈[σR1,R1]
Ik(u) < 1.
Тому для x ∈ ∂UR1
∩ Pσ виконується умова ‖Φx‖0 ≤ ‖x‖0, де Φ — оператор, який означа-
ється правою частиною (22).
Оскiльки Ik(0) > 0, то при досить малому r1 для x ∈ ∂Ur1
∩ Pσ виконується
(Φx)(t) ≥
t+T
∫
t
g(t+ T, s)p(s)ds
(1 − g(T, 0))(1 + rn
1 )
+
p
∑
k=1
GL Ik(0)
2σr1
inf
0≤s≤T
x(s) ≥ inf
0≤s≤T
x(s).
Отже, за теоремою 2 рiвняння (20), (21) має T -перiодичний розв’язок, який задовольняє
оцiнки σr1 ≤ x(t) ≤ R1, t ∈ R.
Випадок b) доводиться аналогiчно.
Теорему доведено.
Розглянемо рiвняння Нiколсона з iмпульсною дiєю
ẏ(t) = −δ(t)y(t) + p(t)y(t− h(t))e−β(t)y(t−h(t)), t 6= τk, (23)
y(τk + 0) = (1 + bk)y(τk) + Ik(y(τk)), k ∈ Z, (24)
де функцiї δ(t), p(t) > 0, β(t) > 0 i h(t) є кусково-неперервними i T -перiодичними. Послi-
довностi у правiй частинi (24) задовольняють умови τk+p = τk + T, bk+p = bk, 1 + bk >
> 0, Ik+p(x) = Ik(x), k ∈ Z.
Вiдповiдне iнтегральне рiвняння має вигляд
y(t) =
t+T
∫
t
G(t, s)α(s)y(s− h(s))e−β(s)y(s−h(s))ds+
∑
t≤τk≤t+T
G(t, τk)Ik(x(τk)),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
510 О. I. КОЧЕРГА, О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО
де функцiя Грiна G(t, s) визначається формулами (15), (16).
Аналогiчно теоремам 3 i 4 доводимо наступне твердження.
Теорема 5. Припустимо, що g(T, 0) < 1, i p(t) ≥ 0, t ∈ [0, T ]. Тодi рiвняння (23),
(24) має строго додатний кусково-неперервний T -перiодичний розв’язок, якщо викону-
ється одна з умов:
1) Ik(x) ≡ 0, x ∈ R, k ∈ Z, i
∫ t+T
t
g(t, s)p(s)ds > 1 − g(T, 0);
2) Ik(x) ≥ 0, Ik(0) > 0, i Ik(R)/R → 0, R → ∞, для x ∈ R, k ∈ Z;
3) Ik(x) ≥ 0, GMpM < 1, Ik(r)/r → 0, r → 0, i Ik(R)/R → ∞, R → ∞, для x ∈ R, k ∈
∈ Z.
Розглянемо iнтегро-диференцiальнi рiвняння Вольтерри з iмпульсною дiєю
dyj(t)
dt
= aj(t)yj(t) +
0
∫
−∞
Kj(s)Fj(t, y(t+ s))ds, t 6= τk, (25)
yj(τk + 0) = yj(τk) + bkjy(τk) + Ikj(y(τk)), k ∈ Z, j = 1, ..., n, (26)
де y(t) = (y1(t), ..., yn(t)),функцiї aj(t) таFj(t, y) є кусково-неперервними i T -перiодичними
по t, неперервнi додатнозначнi функцiї Kj(s) iнтегровнi на (−∞, 0) i
∫ 0
−∞Kj(r)dr = 1. Як
i ранiше, τk+p = τk + T, Ik+p,j(y) = Ik,j(y), bk+p,j = bk,j , bk,j + 1 > 0, k ∈ Z.
Перiодичнi розв’язки системи рiвнянь (25), (26) шукаємо як перiодичнi розв’язки сис-
теми iнтегральних рiвнянь
y(t) =
t+T
∫
t
G(t, s)
0
∫
−∞
K(ξ)F (s, y(s+ ξ))dξds+
∑
t≤τj<t+T
G(t, τj)Ij(y(τj)) (27)
з формулою Грiна G(t, s) = (G1(t, s), ..., Gn(t, s)), яка задається формулами (6).
Теорема 6. Нехай iснують додатнi R1 i R2 такi, що:
1) gjF (t, φ) ≤ 0, gjIkj(φ(τk)) ≤ 0 для всiх t ∈ R, φ ∈ Pσ, j = 1, ..., p, де величини gj
визначаються формулами
gj =
T
∫
0
aj(s)ds+
∑
0≤τi<T
ln(1 + bij) 6= 0, j = 1, ..., n;
2) для u ∈ Pσ, ‖u‖0 = R1
|fj(s, u)| ≤ fM
j (R1)R1, |Ikj(u)| ≤ IM
kj (R1)R1,
GM
j
(
fM
j (R1) +
p
∑
k=1
IM
kj (R1)
)
≤ 1, j = 1, ..., n;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ПРО ДОДАТНI ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 511
3) для вектор-функцiй u ∈ Pσ, ‖u‖0 = R2 та деякого j, 1 ≤ j ≤ n,
|fj(s, u(ξ))| ≥ fL
j (R2) min
ξ
uj(ξ), |Ikj(u(τk))| ≥ IL
kj(R2) min
ξ
uj(ξ),
GL
j
(
fL
j (R2) +
p
∑
k=1
IL
kj(R2)
)
≥ 1.
Тодi система рiвнянь (25), (26) має T -перiодичний додатнозначний кусково-непе-
рервний розв’язок u(t), σr ≤ ‖u‖0 ≤ R, де R = max{R1, R2}, r = min{R1, R2}.
Прикладом системи (25), (26) є система Лотки – Вольтерри
ẏi(t) = ai(t)yi(t) − yi(t)
n
∑
j=1
0
∫
−∞
Kij(s)yj(t+ s)ds, t 6= τk, (28)
yi(τk + 0) = (1 + bkj)yi(τk) + Ikj(y(τk)), k ∈ Z, (29)
де y(t) = (y1(t), ..., yn(t)), неперервнi додатнозначнi функцiї Kj(s) iнтегровнi на (−∞, 0) i
∫ 0
−∞
Kj(r)dr > 0.
Теорема 7. Нехай виконуються умови:
1) gj > 0, j = 1, ..., n;
2) Ikj(y) ≤ 0, Ikj(y)/‖y‖ → 0, ‖y‖ → 0, k = 1, ..., p, j = 1, ..., n.
Тодi система рiвнянь (28), (29) має T -перiодичний додатнозначний кусково-неперерв-
ний розв’язок.
1. Franco D., Liz E., Torres P.J. Existence of periodic solutions for functional equations with periodic delay //
Indian J. Pure and Appl. Math. — 2007. — 38. — P. 143 – 152.
2. Jiang D., Wei J., Zhang B. Positive periodic solutions of functional differential equations and population
models // Electron. J. Different. Equat. — 2002. — № 71. — P. 1 – 13.
3. Li Y., Zhu L. Positive periodic solutions of nonlinear functional differential equations // Appl. Math. and
Comput. — 2004. — 156. — P. 329 – 339.
4. Wang H. Positive periodic solutions of functional differential equations // J. Different. Equat. — 2004. — 202.
— P. 354 – 366.
5. Zhang W., Zhu D., Bi P. Existence of periodic solutions of a scalar functional differential equation via fixed
point theorem // Math. and Comput. Modelling. — 2007. — 46. — P. 718 – 729.
6. Zhang N., Dai B., Qian X. Periodic solutions for a class of higher-dimension functional differential equations
with impulses // Nonlinear Anal. — 2008. — 68. — P. 629 – 638.
7. Zhang X., Jiang D., Li X., Wang K. A new existence theory for single and multiple positive periodic solutions
to Volterra integro-differential equations with impulsive effects // Comput. and Math. with Appl. — 2006. —
51. — P. 17 – 32.
8. Zhang X., Yan J., Zhao A. Existence of positive periodic solutions for an impulsive differential equation //
Nonlinear Anal. — 2008. — 68. — P. 3209 – 3216.
9. Samoilenko A.M., Perestyuk N.A. Impulsive differential equations. — Singapore: World Sci., 1995. — 462 p.
10. Deimling K. Nonlinear functional analysis. — Berlin: Springer, 1985. — 450 p.
11. Krasnoselskii M.A. Positive solutions of operator equations. — Groningen: Noordhoff, 1964.
Одержано 28.08.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
|