Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами
Для нечiтких диференцiальних рiвнянь з iмпульсами у фiксованi моменти часу обґрунтовано схеми часткового та повного усереднення.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178195 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 530-540. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178195 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781952021-02-19T01:26:12Z Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами Скрипник, Н.В. Для нечiтких диференцiальних рiвнянь з iмпульсами у фiксованi моменти часу обґрунтовано схеми часткового та повного усереднення. For fussy differential equations with impulsive effects occurring at fixed times, we substantiate algorithms for partial and complete averaging. 2008 Article Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 530-540. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178195 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для нечiтких диференцiальних рiвнянь з iмпульсами у фiксованi моменти часу обґрунтовано
схеми часткового та повного усереднення. |
| format |
Article |
| author |
Скрипник, Н.В. |
| spellingShingle |
Скрипник, Н.В. Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами Нелінійні коливання |
| author_facet |
Скрипник, Н.В. |
| author_sort |
Скрипник, Н.В. |
| title |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами |
| title_short |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами |
| title_full |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами |
| title_fullStr |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами |
| title_full_unstemmed |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами |
| title_sort |
усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178195 |
| citation_txt |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с импульсами / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 530-540. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT skripniknv usrednenienečetkihdifferencialʹnyhuravnenijsimpulʹsami |
| first_indexed |
2025-07-15T16:33:58Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:33:58Z |
| _version_ |
1837731402880122880 |
| fulltext |
УДК 517.9
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ИМПУЛЬСАМИ
Н. В. Скрипник
Одес. нац. ун-т
Украина, 27026, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: talie@ukr.net
For fussy differential equations with impulsive effects occurring at fixed times, we substantiate algorithms
for partial and complete averaging.
Для нечiтких диференцiальних рiвнянь з iмпульсами у фiксованi моменти часу обґрунтовано
схеми часткового та повного усереднення.
С 1965 г. после работы L. A. Zadeh [1] началось развитие теории нечетких множеств. В
1983 г. M. L. Puri, D. A. Ralescu [2] ввели понятиеH-производной и интеграла для нечетких
многозначных отображений, при этом использовался подход M. Hukuhara для α-срезок
нечетких многозначных отображений. В 1985 г. O. Kaleva [3] рассмотрел нечеткие диф-
ференциальные уравнения и доказал теорему существования и единственности решения
задачи Коши для случая, когда правая часть удовлетворяет условию Липшица. В даль-
нейшем нечеткие дифференциальные уравнения рассматривались в работах [4 – 7].
Пусть conv (Rn) — метрическое пространство непустых компактных выпуклых под-
множеств R
n. Метрика в этом пространстве определяется с помощью расстояния по Ха-
усдорфу
h(F,G) = max{sup
f∈F
inf
g∈G
||f − g||, sup
g∈G
inf
f∈F
||f − g||},
где под ‖ · ‖ понимается евклидова норма в пространстве R
n.
Введем в рассмотрение пространство En отображений u : R
n → [0, 1], которые удов-
летворяет следующим условиям:
1) u нормально, т. е. существует вектор x0 ∈ R
n такой, что u(x0) = 1;
2) u нечетко выпукло, т. е. для любых x, y ∈ R
n и любого λ ∈ [0, 1] выполняется
неравенство u(λx+ (1 − λ)y) ≥ min{u(x), u(y)};
3) u полунепрерывно сверху;
4) замыкание множества {x ∈ R
n : u(x) > 0} компактно.
α-Срезкой отображения u : R
n → [0, 1] назовем множество [u]α = {x ∈ R
n : u(x) ≥
≥ α} при 0 < α ≤ 1, [u]0 — замыкание множества {x ∈ R
n : u(x) > 0}.
Теорема 1 [8]. Если u ∈ En, то:
1) [u]α ∈ conv (Rn) для всех 0 ≤ α ≤ 1;
2) [u]α2 ⊂ [u]α1 для всех 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ 1;
3) если {αk} ⊂ [0, 1] — неубывающая последовательность, сходящаяся к α > 0, то
[u]α =
⋂
k≥1
[u]αk .
c© Н. В. Скрипник, 2008
530 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСАМИ 531
Наоборот, если {Aα : 0 ≤ α ≤ 1} — семейство подмножеств R
n, удовлетворяющих
условиям 1 – 3, то существует u ∈ En такое, что [u]α = Aα для 0 < α ≤ 1 и
[u]0 =
⋃
0<α≤1
Aα ⊂ A0.
Определим в пространстве En метрику D : En × En → [0,+∞), положив
D(u, v) = sup
0≤α≤1
h([u]α, [v]α).
Лема 1. Пусть xj , yj ∈ En, j = 1, p. Тогда D
(
p
∑
j=1
xj ,
p
∑
j=1
yj
)
≤
p
∑
j=1
D(xj , yj).
Доказательство непосредственно следует из определения метрики и свойств расстоя-
ния по Хаусдорфу.
Пусть I — промежуток в R.
Определение 1 [8]. Отображение F : I → En называется сильноизмеримым на I,
если для всех α ∈ [0, 1] многозначное отображение Fα(t) = [F (t)]α измеримо.
Определение 2 [8]. Отображение F : I → En называется интегрально ограничен-
ным на I, если существует интегрируемая по Лебегу функция k(t) такая, что ‖x‖ ≤
≤ k(t) для всех x ∈ F0(t).
Определение 3 [8]. Интегралом от отображения F : I → En по множеству I на-
зывается элемент G ∈ En такой, что [G]α =
∫
I
Fα(t)dt для всех 0 < α ≤ 1, где инте-
грал от многозначного отображения Fα(t) понимается в смысле Ауманна [9].
Теорема 2 [8]. Если отображение F : I → En сильноизмеримо и интегрально огра-
ничено, то F интегрируемо на I.
Теорема 3 [8]. Пусть F,G : I → En интегрируемы на I и λ ∈ R. Тогда:
1)
∫
I
(F (t) +G(t)) dt =
∫
I
F (t) dt+
∫
I
G(t) dt;
2)
∫
I
λF (t) dt = λ
∫
I
F (t) dt;
3) функция D(F (t), G(t)) интегрируема по Лебегу на I;
4) D
(∫
I
F (t)dt,
∫
I
G(t)dt
)
≤
∫
I
D(F (t), G(t))dt.
Определение 4 [8]. Отображение F : I → En называется дифференцируемым в
точке t0 ∈ I, если для всех α ∈ [0, 1] многозначное отображение Fα(t) дифференциру-
емо по Хукухаре [10] в точке t0, его производная равна DFα(t0) и семейство множеств
{DFα(t0), α ∈ [0, 1]} определяет элемент F ′(t0) ∈ En.
Если отображение F : I → En дифференцируемо в точке t0 ∈ I, то F ′(t0) называ-
ют нечеткой производной F (t) в точке t0.
Теорема 4 [8]. Пусть отображение F : I → En дифференцируемо и его нечеткая
производная F ′ : I → En интегрируема на I. Тогда для любого t ∈ I имеем
F (t) = F (t0) +
t
∫
t0
F ′(s) ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
532 Н. В. СКРИПНИК
Определение 5 [8]. Отображение F : I → En называется слабонепрерывным в то-
чке t0 ∈ I, если для любого фиксированного α ∈ [0, 1] и произвольного ε > 0 существу-
ет δ(ε, α) > 0 такое, что h(Fα(t), Fα(t0)) < ε для всех t ∈ I таких, что |t− t0| < δ(ε, α).
Определение 6. Отображение F : I × Q → En, Q ⊂ En, называется равномерно
непрерывным по x равномерно относительно t, если для любого ε > 0 существует
δ(ε) > 0 такое, что D(F (t, x1), F (t, x2)) < ε для всех x1, x2 ∈ Q таких, что D(x1, x2) <
< δ, и для всех t ∈ I.
Определение 7. Отображения Fk : Q → En называются равностепенно непрерыв-
ными, если для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что D(Fk(x1), Fk(x2)) < ε для
всех x1, x2 ∈ Q таких, что D(x1, x2) < δ, и для всех k.
Рассмотрим нечеткое импульсное дифференциальное уравнение вида
ẋ = F (t, x), t 6= τi, x(t0) = x0, (1)
∆x|t=τi
= Ii(x), (2)
где отображение F : I × En → En, импульсные функции Ii : En → En, i = 1,m,
начальное условие t0 ∈ I, x0 ∈ En, моменты импульсов τi ∈ I, i = 1,m, занумерованы в
возрастающем порядке.
Определение 8. Отображение x : I → En называется решением задачи (1), (2), если
на промежутках между импульсами оно слабонепрерывно и для всех t ∈ (τi, τi+1] удов-
летворяет интегральному уравнению
x(t) = x(τi + 0) +
t
∫
τi
F (s, x(s)) ds,
а в точках импульса t = τi — условию скачка (2).
Рассмотрим обоснование схемы частичного усреднения для нечетких дифференци-
альных уравнений с импульсами в фиксированные моменты времени:
x′ = εF (t, x), t 6= τi, x(0) = x0, (3)
∆x|t=τi
= εIi(x), (4)
где отображения F : R+ × En → En, Ii : En → En, начальный вектор x0 ∈ En, момен-
ты импульсов τi ∈ R+ занумерованы множеством натуральных чисел в возрастающем
порядке, т. е. τi < τi+1 для любого натурального i.
Системе (3), (4) поставим в соответствие частично усредненную систему
y′ = εF (t, y), t 6= σj , y(0) = x0, (5)
∆y|t=σj
= εIj(y), (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСАМИ 533
где отображения F : R+ × En → En, Ij : En → En таковы, что
lim
T→∞
1
T
D
T
∫
0
F (t, x)dt+
∑
0≤τi<T
Ii(x),
T
∫
0
F (t, x)dt+
∑
0≤σj<T
Ij(x)
= 0, (7)
моменты импульсов σj ∈ R+ занумерованы множеством натуральных чисел в возраста-
ющем порядке, т. е. σj < σj+1 для любого натурального j.
Справедлива следующая теорема, устанавливающая близость решений задач (3), (4)
и (5), (6) на конечном промежутке.
Теорема 5. Пусть в области G = {(t, x) : t ≥ 0, x ∈ Q ⊂ En} выполнены следующие
условия:
1) отображение F (t, x) измеримо по t при каждом фиксированном x и существуют
функция k(t) ≥ 0, постоянная k0 ≥ 0 и неубывающая функция ψ(u) ≥ 0, lim
u↓0
ψ(u) = 0,
такие, что
D(F (t, x1), F (t, x2)) ≤ k(t)ψ(D(x1, x2)),
и
∫ t2
t1
k(t)dt ≤ k0(t2 − t1) на любом конечном промежутке [t1, t2];
2) отображения Ii(x) таковы, что
D(Ii(x1), Ii(x2)) ≤ k0ψ(D(x1, x2));
3) отображение F (t, x) измеримо по t при каждом фиксированном x и удовлетворя-
ет по x условию Липшица с ограниченной суммируемой функцией λ(t) ≥ 0, т. е.
D(F (t, x1), F (t, x2)) ≤ λ(t)D(x1, x2), λ(t) ≤ λ;
4) отображения Ij(x) удовлетворяют условию Липшица с постоянной λ :
D(Ij(x1), Ij(x2)) ≤ λD(x1, x2));
5) отображения F (t, x) и F (t, x) интегрально ограничены, отображения Ii(x) и Ij(x)
равномерно ограничены, т. е. существуют суммируемая функция M(t) ≥ 0 и постоян-
ная M0 ≥ 0 такие, что
D(F (t, x), 0̂) ≤ M(t), D(F (t, x), 0̂) ≤ M(t), D(Ii(x), 0̂) ≤ M0,
D(Ij(x), 0̂) ≤ M0, 0̂(y) =
{
1, y = 0,
0, y ∈ R
n\0,
и
∫ t2
t1
M(t)dt ≤ M0(t2 − t1) на любом конечном промежутке [t1, t2];
6) равномерно относительно x в области Q существует предел (7) и постоянная
0 ≤ d < ∞ такая, что
1
T
i(t, t+ T ) ≤ d,
1
T
j(t, t+ T ) ≤ d,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
534 Н. В. СКРИПНИК
где i(t, t + T ) и j(t, t + T ) — количество точек последовательностей {τi} и {σj} со-
ответственно на промежутке [t, t+ T ];
7) решение y(t), y(0) = x0 ∈ Q′ ⊂ Q системы (5), (6) при t ≥ 0 для всех ε ∈ (0, θ]
принадлежит области Q вместе с некоторой ρ-окрестностью.
Тогда для любых сколь угодно малого η > 0 и сколь угодно большого L > 0 можно
указать такое ε0(η, L) ∈ (0, θ], что при 0 < ε ≤ ε0 на отрезке t ∈ [0, Lε−1] выполняется
неравенство
D(x(t), y(t)) ≤ η,
где x(·) и y(·) — решения систем (3), (4) и (5), (6) соответственно.
Доказательство. Нечеткие дифференциальные уравнения (3), (4) и (5), (6) эквивалент-
ны соответственно интегральным уравнениям
x(t) = x0 + ε
t
∫
0
F (s, x(s))ds+ ε
∑
0≤τi<t
Ii(x(τi)), (8)
y(t) = x0 + ε
t
∫
0
F (s, y(s)) ds+ ε
∑
0≤σj<t
Ij(y(σj)). (9)
Оценим D(x(t), y(t)). В силу соотношений (8) и (9) имеем
D(x(t), y(t)) =
= D
x0 + ε
t
∫
0
F (s, x(s))ds+ ε
∑
0≤τi<t
Ii(x(τi)), x0 + ε
t
∫
0
F (s, y(s))ds+ ε
∑
0≤σj<t
Ij(y(σj))
≤
≤ εD
t
∫
0
F (s, x(s))ds+
∑
0≤τi<t
Ii(x(τi)),
t
∫
0
F (s, x(s))ds+
∑
0≤σj<t
Ij(x(σj))
+
+εD
t
∫
0
F (s, x(s))ds+
∑
0≤σj<t
Ij(x(σj)),
t
∫
0
F (s, y(s))ds+
∑
0≤σj<t
Ij(y(σj))
≤
≤ εD
t
∫
0
F (s, x(s))ds+
∑
0≤τi<t
Ii(x(τi)),
t
∫
0
F (s, x(s))ds+
∑
0≤σj<t
Ij(x(σj))
+
+ελ
t
∫
0
D(x(s), y(s))ds+ ελ
∑
0≤σj<t
D(x(σj), y(σj)). (10)
Отдельно рассмотрим первое слагаемое. Выполним разбиение отрезка [0, Lε−1] с шагом
L
εm
, где m — целое число и обозначим ti =
iL
εm
, i = 0,m.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСАМИ 535
Пусть t ∈ (tk, tk+1]. Тогда
D
t
∫
0
F (s, x(s))ds+
∑
0≤τi<t
Ii(x(τi)),
t
∫
0
F (s, x(s))ds+
∑
0≤σj<t
Ij(x(σj))
=
= D
k−1
∑
p=0
tp+1
∫
tp
F (s, x(s))ds+
∑
tp≤τi<tp+1
Ii(x(τi))
+
t
∫
tk
F (s, x(s))ds+
∑
tk≤τi<t
Ii(x(τi)),
k−1
∑
p=0
tp+1
∫
tp
F (s, x(s))ds+
∑
tp≤σj<tp+1
Ij(x(σj))
+
t
∫
tk
F (s, x(s))ds+
∑
tk≤σj<t
Ij(x(σj))
=
= D
k−1
∑
p=0
F p + F k,
k−1
∑
p=0
F
p
+ F
k
≤
k−1
∑
p=0
D(F p, F
p
) +D(F k, F
k
), (11)
где
F p =
tp+1
∫
tp
F (s, x(s))ds+
∑
tp≤τi<tp+1
Ii(x(τi)), F
p
=
tp+1
∫
tp
F (s, x(s))ds+
∑
tp≤σj<tp+1
Ij(x(σj)),
p = 0, k − 1,
F k =
t
∫
tk
F (s, x(s))ds+
∑
tk≤τi<t
Ii(x(τi)), F
k
=
t
∫
tk
F (s, x(s))ds+
∑
tk≤σj<t
Ij(x(σj)).
Оценим D(F p, F
p
) :
D(F p, F
p
) ≤ D
tp+1
∫
tp
F (s, x(s))ds+
∑
tp≤τi<tp+1
Ii(x(τi)),
tp+1
∫
tp
F (s, x(tp))ds+
∑
tp≤τi<tp+1
Ii(x(tp))
+
+D
tp+1
∫
tp
F (s, x(tp))ds+
∑
tp≤τi<tp+1
Ii(x(tp)),
tp+1
∫
tp
F (s, x(tp))ds+
∑
tp≤σj<tp+1
Ij(x(tp))
+
+D
tp+1
∫
tp
F (s, x(tp))ds+
∑
tp≤σj<tp+1
Ij(x(tp)),
tp+1
∫
tp
F (s, x(s))ds+
∑
tp≤σj<tp+1
Ij(x(σj))
≤
≤
tp+1
∫
tp
k(s)ψ(D(x(s), x(tp)))ds+ k0
∑
tp≤τi<tp+1
ψ(D(x(τi), x(tp)))+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
536 Н. В. СКРИПНИК
+D
tp+1
∫
tp
F (s, x(tp))ds+
∑
tp≤τi<tp+1
Ii(x(tp)),
tp+1
∫
tp
F (s, x(tp))ds+
∑
tp≤σj<tp+1
Ij(x(tp))
+
+λ
tp+1
∫
tp
D(x(s), x(tp))ds+ λ
∑
tp≤σj<tp+1
D(x(σj), x(tp)). (12)
В силу условия 6 теоремы существует монотонно убывающая функция ϑ(t), стремящаяся
к 0 при t → ∞, такая, что во всей области Q выполняется неравенство
D
t
∫
0
F (s, x)ds+
∑
0≤τi<t
Ii(x),
t
∫
0
F (s, x)ds+
∑
0≤σj<t
Ij(x)
≤ tϑ(t).
Таким образом,
D
tp+1
∫
tp
F (s, x(tp))ds+
∑
tp≤τi<tp+1
Ii(x(tp)),
tp+1
∫
tp
F (s, x(tp))ds+
∑
tp≤σj<tp+1
Ij(x(tp))
≤
≤ D
tp+1
∫
0
F (s, x(tp))ds+
∑
0≤τi<tp+1
Ii(x(tp)),
tp+1
∫
0
F (s, x(tp))ds+
∑
0≤σj<tp+1
Ij(x(tp))
+
+D
tp
∫
0
F (s, x(tp))ds+
∑
0≤τi<tp
Ii(x(tp)),
tp
∫
0
F (s, x(tp))ds+
∑
0≤σj<tp
Ij(x(tp))
≤
≤ tp+1ϑ(tp+1) + tpϑ(tp) ≤ 2
L
ε
ϑ
(
L
ε
)
.
Кроме того, в силу условия 5 теоремы и равенства (8) имеем
D(x(s), x(tp)) ≤ D
x(tp) + ε
s
∫
tp
F (τ, x(τ))dτ + ε
∑
tp≤τi<s
Ii(x(τi)), x(tp)
≤
≤ ε
[
M0(s− tp) + d
L
εm
M0
]
≤
LM0(1 + d)
m
. (13)
Тогда, учитывая (12), получаем
D(F p, F
p
) ≤
k0L(1 + d)
εm
ψ
(
LM0(1 + d)
m
)
+ 2
L
ε
ϑ
(
L
ε
)
+
λL2M0(1 + d)2
εm2
. (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСАМИ 537
Оценим
D(F k, F
k
) = D
t
∫
tk
F (s, x(s))ds+
∑
tk≤τi<t
Ii(x(τi)),
t
∫
tk
F (s, x(s))ds+
∑
tk≤σj<t
Ij(x(σj))
≤
≤
t
∫
tk
D(F (s, x(s)), 0̂)ds+
∑
tk≤τi<t
D(Ii(x(τi)), 0̂) +
t
∫
tk
D(F (s, x(s)), 0̂)ds+
+
∑
tk≤σj<t
D(Ij(x(σj)), 0̂) ≤
2LM0(1 + d)
εm
. (15)
Из (11), (14) и (15) находим
εD
t
∫
0
F (s, x(s))ds+
∑
0≤τi<t
Ii(x(τi)),
t
∫
0
F (s, x(s))ds+
∑
0≤σj<t
Ij(x(σj))
≤
≤ ε
k−1
∑
p=0
[
k0L(1 + d)
εm
ψ
(
LM0(1 + d)
m
)
+ 2
L
ε
ϑ
(
L
ε
)
+
λL2M0(1 + d)2
εm2
]
+
2LM0(1 + d)
m
≤
≤ k0L(1 + d)ψ
(
LM0(1 + d)
m
)
+ 2Lmϑ
(
L
ε
)
+
LM0(1 + d)(λL(1 + d) + 2)
m
≡ γ(m, ε).
В силу (10) имеем
D(x(t), y(t)) ≤ ελ
t
∫
0
D(x(s), y(s))ds+ ελ
∑
0≤σj<t
D(x(σj , y(σj)) + γ(m, ε),
откуда, используя неравенство Гронуолла – Беллмана, получаем
D(x(t), y(t)) ≤ γ(m, ε)(1 + ελ)dteελt ≤ γ(t, ε)eελdteελt ≤ γ(m, ε)e(1+d)L. (16)
Число m0 выберем из условия
k0L(1 + d)ψ
(
M0(1 + d)
m
)
+
LM0(1 + d)(λL(1 + d) + 2)
m
<
η
2
e−(1+d)L,
затем при фиксированном m0 выберем ε0 из условия
2Lm0ϑ
(
L
ε
)
<
η
2
e−(1+d)L.
Таким образом, D(x(t), y(t)) < η при условии, что x(·) на отрезке [0, Lε−1] не выходит
за пределы области Q.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
538 Н. В. СКРИПНИК
Покажем, что x(·) принадлежит области Q на отрезке [0, Lε−1]. Действительно, по-
скольку начальное значение x0 принадлежит intQ, на некотором отрезке [0, t0] решение
x(·) принадлежит области Q. Выберем ε0 и m0 так, чтобы
γ(m, ε) < e−(1+d)L min
{ρ
2
,
η
2
}
.
Тогда на отрезке [0, t0], где x(·) ∈ Q, имеем
D(x(t), y(t)) <
ρ
2
.
Если предположить, что t0 < Lε−1, то на отрезке [0, Lε−1] в силу слабой непрерывно-
сти решений x(·) и y(·) найдется точка t′, в которой будет выполняться неравенство
ρ
2
< D(x(t′), y(t′)) < ρ.
Отсюда следует, что при t = t′ решение x(·) не выходит из области Q. Поэтому t′ ∈
∈ [0, t0] и тогда D(x(t′), y(t′)) <
ρ
2
, т. е. пришли к противоречию. Таким образом, t0 ≥
≥ Lε−1.
Теорема доказана.
Из данной теоремы непосредственно следует такая теорема
Теорема 6. Пусть в области G = {(t, x) : t ≥ 0, x ∈ Q ⊂ En} выполнены следующие
условия:
1) отображения F (t, x), F (t, x) измеримы по t при каждом фиксированном x, ограни-
чены постоянной M и удовлетворяют по x условию Липшица с постоянной λ;
2) отображения Ii(x), Ij(x) равномерно ограничены постоянной M и удовлетворя-
ют условию Липшица с постоянной λ;
3) равномерно относительно x в области Q существует предел (7) и существует
постоянная 0 ≤ d < ∞ такая, что
1
T
i(t, t+ T ) ≤ d,
1
T
j(t, t+ T ) ≤ d,
где i(t, t + T ) и j(t, t + T ) — количество точек последовательностей {τi} и {σj} со-
ответственно на промежутке [t, t+ T ];
4) решение y(t), y(0) = x0 ∈ Q′ ⊂ Q системы (5), (6) при t ≥ 0 для всех ε ∈ (0, θ]
принадлежит области Q вместе с некоторой ρ-окрестностью.
Тогда для любых сколь угодно малого η > 0 и сколь угодно большого L > 0 можно
указать такое ε0(η, L) ∈ (0, θ], что при 0 < ε ≤ ε0 на отрезке t ∈ [0, ε−1] выполняется
неравенство
D(x(t), y(t)) ≤ η,
где x(·) и y(·) — решения систем (3), (4) и (5), (6) соответственно.
В теореме 5 можно ослабить условия на правые части неусредненного уравнения, а
именно справедлива следующая теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСАМИ 539
Теорема 7. Пусть в области G = {(t, x) : t ≥ 0, x ∈ Q ⊂ En} выполнены условия
3 – 7 теоремы 2 и:
1′) отображение F (t, x) измеримо по t при каждом фиксированном x и равномерно
непрерывно по x равномерно относительно t;
2′) отображения Ii(x) равностепенно непрерывны.
Тогда для любых сколь угодно малого η > 0 и сколь угодно большого L > 0 можно
указать такое ε0(η, L) ∈ (0, θ], что при 0 < ε ≤ ε0 на отрезке t ∈ [0, ε−1] выполняется
неравенство
D(x(t), y(t)) ≤ η,
где x(·) и y(·) — решения систем (3), (4) и (5), (6) соответственно.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5, за исключением того, что при
оценивании D(F s, F
s
) первое слагаемое оцениваем, используя условия 1′ и 2′.
Для произвольного η1 > 0 найдем δ > 0 такое, что при D(x1, x2) < δ
D(F (t, x1), F (t, x2)) < η1 и D(Ii(x1), Ii(x2)) < η1.
Выберем m1
0 ∈ N так, что при m > m1
0 выполняется неравенство
LM0(1 + d)
m
< δ.
Тогда, используя оценку (13), имеем
D
ts+1
∫
ts
F (s, x(s))ds+
∑
ts≤τi<ts+1
Ii(x(τi)),
ts+1
∫
ts
F (s, x(ts))ds+
∑
ts≤τi<ts+1
Ii(x(ts))
<
<
L
εm
η1 + d
L
εm
η1 =
(1 + d)Lη1
εm
.
В этом случае
γ(m, ε) ≡ (1 + d)Lη1 + 2Lmϑ
(
L
ε
)
+
LM0(1 + d)(λL(1 + d) + 2)
m
.
Числа η1 и m0 ≥ m1
0 выберем из условий
(1 + d)Lη1 <
η
3
e−(1+d)L,
LM0(1 + d)(λL(1 + d) + 2)
m
<
η
3
e−(1+d)L,
затем при фиксированном m0 выберем ε0 из условия
2Lm0ϑ
(
L
ε
)
<
η
3
e−(1+d)L.
Таким образом, из (16) следует, что D(x(t), y(t)) < η.
Теорема доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
540 Н. В. СКРИПНИК
Следствие. Пусть
F (t, x) ≡ F0(x) = lim
T→∞
1
T
T
∫
0
F (t, x)dt+
∑
0≤τi<T
Ii(x)
, Ii(x) ≡ {0̂}.
Тогда соотношение (7) выполнено и теоремы 5 – 7 обосновывают схему полного усред-
нения.
1. Zadeh L. Fuzzy sets // Inform. and Control. — 1965. — № 8. — P. 338 – 353.
2. Puri M. L., Ralescu D. A. Differential of fuzzy functions // J. Math. Anal. and Appl. — 1983. — 91. — P. 552 –
558.
3. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1987. — 24, № 3. — P. 301 – 317.
4. Laksmikantham V., Leela S., Vatsala A. S. Interconnection between set and fuzzy differential equations //
Nonlinear Anal. — 2003. — 54. — P. 351 – 360.
5. Puri M. L., Ralescu D. A. Fuzzy random variables // J. Math. Anal. and Appl. — 1986. — 114, № 2. — P. 409 –
422.
6. Seikkala S. On the fuzzy initial value problem // Fuzzy Sets and Systems. — 1987. — 24, № 3. — P. 319 – 330.
7. Song S. J., Wu C. X. Existence and uniqueness of solutions to Cauchy problem of fuzzy differential equations
// Ibid. — 2000. — 110. — P. 55 – 67.
8. Park J. Y., Han H. K. Existence and uniqueness theorem for a solution of fuzzy differential equations // Int. J.
Math. and Math. Sci. — 1999. — 22, № 2. — P. 271 – 279.
9. Aumann R. J. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. and Appl. — 1965. — № 12. — P. 1 – 12.
10. Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe // Funkc. ekvaci-
oj. — 1967. — № 10. — P. 205 – 223.
Получено 22.05.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
|