Об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной
Встановлено асимптотичнi зображення для одного класу розв’язкiв диференцiального рiвняння другого порядку з нелiнiйнiстю, близькою до експоненцiальної.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178196 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной / В.М. Харьков // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 541-553. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178196 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781962021-02-20T01:26:17Z Об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной Харьков, В.М. Встановлено асимптотичнi зображення для одного класу розв’язкiв диференцiального рiвняння другого порядку з нелiнiйнiстю, близькою до експоненцiальної. We find asymptotic representations for a class of solutions of a second order differential equation that has a nonlinearity close to an exponential. 2008 Article Об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной / В.М. Харьков // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 541-553. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178196 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено асимптотичнi зображення для одного класу розв’язкiв диференцiального рiвняння другого порядку з нелiнiйнiстю, близькою до експоненцiальної. |
| format |
Article |
| author |
Харьков, В.М. |
| spellingShingle |
Харьков, В.М. Об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной Нелінійні коливання |
| author_facet |
Харьков, В.М. |
| author_sort |
Харьков, В.М. |
| title |
Об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной |
| title_short |
Об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной |
| title_full |
Об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной |
| title_fullStr |
Об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной |
| title_sort |
об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178196 |
| citation_txt |
Об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной / В.М. Харьков // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 541-553. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT harʹkovvm obasimptotikerešenijdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasnelinejnostʹûblizkojkéksponencialʹnoj |
| first_indexed |
2025-07-15T16:34:02Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:34:02Z |
| _version_ |
1837731407222276096 |
| fulltext |
УДК 517.9
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ, БЛИЗКОЙ К ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ
В. М. Харьков
Одес. нац. ун-т
Украина, 65026, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: kharkov v m@mail.ru
We find asymptotic representations for a class of solutions of a second order differential equation that has
a nonlinearity close to an exponential.
Встановлено асимптотичнi зображення для одного класу розв’язкiв диференцiального рiвнян-
ня другого порядку з нелiнiйнiстю, близькою до експоненцiальної.
1. Постановка задачи и формулировка основных результатов. Рассматривается диффе-
ренциальное уравнение второго порядка
y′′ = α0p(t)ϕ(y), (1.1)
в котором α0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω) → (0,+∞), −∞ < a < ω ≤ +∞, — непрерывная
функция, ϕ : I → (0,+∞) (I — левая или правая окрестность y0, |y0| ≤ +∞) — дважды
непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям
ϕ′(y) 6= 0 при y ∈ I, lim
y→y0
y∈I
ϕ(y) = ϕ0, ϕ0 ∈ {0,+∞}, и при некотором k ∈ N
(1.2)
lim
y→y0
y∈I
Lk(ϕ(y)) (Fk(y) − 1) = γk, γk ∈ R,
где функции Lk : (0,+∞) → R\{0}, Fk : I → R задаются рекуррентными соотношения-
ми
Lr(z) = ln |Lr−1(z)| , L1(z) = ln z, z ∈ (0, +∞),
(1.3)
Fr(y) = Lr−1(ϕ(y)) (Fr−1(y) − 1) , F1(y) =
ϕ′′(y)ϕ(y)
ϕ′2(y)
, r = 2, . . . , k.
В работе исследуется асимптотика решений уравнения (1.1), определенных в левой
окрестности точки ω, таких, что lim
t→ω
y(t) = y0.
В [1] было изучено асимптотическое поведение решений уравнения (1.1), принадле-
жащих классу так называемых P̃ω(λ)-функций, где функция ϕ(y) удовлетворяла предель-
ному соотношению lim
y→y0
F1(y) = γ, γ ∈ R\{0}. Однако, несмотря на то, что для γ до-
c© В. М. Харьков, 2008
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4 541
542 В. М. ХАРЬКОВ
пускалось значение 1 (т. е. функция ϕ(y) могла иметь порядок роста выше степенного, на-
пример экспоненциальный), на порядок роста функции p(t) было наложено достаточно
жесткое ограничение. В настоящей статье предпринята попытка ослабить данное огра-
ничение при γ = 1.
Определение. Решение y уравнения (1.1), заданное на промежутке [ty, ω) ⊆ [a, ω), бу-
дем называть P̃ k
ω (λ)-решением (k ∈ N), если функция z(t) = ϕ(y(t)) удовлетворяет
следующим условиям:
lim
t↑ω
z(t) =
{
либо 0,
либо + ∞,
lim
t↑ω
z′(t) =
{
либо 0,
либо ±∞ и lim
t↑ω
Lk(z(t)) (Gk(t) − 1) = λ,
где Lk(z) определена в (1.3), а Gk(t) задается рекуррентным соотношением
Gk(t) = Lk−1(z(t)) (Gk−1(t) − 1) , G1(t) =
z′′(t)z(t)
z′2(t)
.
Пусть z0 ∈ Im ϕ(I). Положим
πω(t) =
{
t, если ω = ∞,
t − ω, если ω < ∞,
Mk(z) =
k∏
r=1
Lr(z), z ∈ (0,+∞),
A =
a, если
ω∫
a
√
p(τ) dτ = ∞,
ω, если
ω∫
a
√
p(τ) dτ < ∞,
B =
z0, если
ϕ0∫
z0
ds
s
√
|ϕ′(ϕ−1(s))Mk(s)|
= ∞,
ϕ0, если
ϕ0∫
z0
ds
s
√
|ϕ′(ϕ−1(s))Mk(s)|
< ∞,
ρ = signϕ′(y)Mk(ϕ(y)), ρL = signMk(ϕ(y)).
Теорема 1.1. Для существования P̃ k
ω (λ)-решений, λ ∈ R \ {1, γk}, уравнения (1.1) необ-
ходимо, чтобы
α0ρ(λ − γk) > 0, lim
t↑ω
πω(t)
√
p(t)
∫ t
A
√
p(τ)dτMk
(∣∣∣∣
∫ t
A
√
p(τ)dτ
∣∣∣∣
) =
1
1 − λ
(1.4)
и интегралы
ω∫
a
√
p(τ) dτ и
ϕ0∫
z0
ds
s
√
|ϕ′(ϕ−1(s))Mk(s)|
(1.5)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 543
сходились или расходились одновременно. Более того, для каждого такого решения при
t ↑ ω имеют место асимптотические представления
ϕ′(y(t))
Mk(ϕ(y(t)))
=
λ − γk
α0
1 + o(1)
(∫ t
A
√
p(τ) dτMk
(∣∣∣
∫ t
A
√
p(τ) dτ
∣∣∣
))2 ,
(1.6)
y′(t)
ϕ(y(t))
=
α0
(∫ t
A
√
p(τ) dτMk
(∣∣∣
∫ t
A
√
p(τ) dτ
∣∣∣
))2
(λ − γk)(1 − λ)πω(t)
[1 + o(1)].
Теорема 1.2. Пусть αϕ′(y) > 0 при y ∈ I и выполняются условия (1.4), (1.5). Тогда
для существования P̃ k
ω (λ)-решений уравнения (1.1) достаточно выполнения условия
lim
t↑ω
2πω(t)
√
p(t)
∫ t
A
√
p(τ)dτMk (ϕ (h(t)))
+
1
1 − λ
√
Mk (ϕ (h(t))) = 0, (1.7)
где
h(t) = H−1
α0(λ − γk)(∫ t
A
√
p(τ) dτMk
(∣∣∣
∫ t
A
√
p(τ) dτ
∣∣∣
))2
, H(y) =
ϕ′(y)
Mk(ϕ(y))
, y ∈ I.
2. Доказательства теорем.
Доказательство теоремы 1.1. Необходимость. Пусть y : [ty, ω] → I — решение уравне-
ния (1.1) из класса P̃ k
ω (λ), λ ∈ R \ {1, γk}.
Приняв во внимание (1.1) и (1.2), заметим, что y′(t) может быть равно нулю не бо-
лее чем в одной точке, а потому, не ограничивая общности, будем считать функцию y′(t)
отличной от нуля на [ty, ω).
Полагая
z(t) = ϕ(y(t))
и учитывая (1.1), имеем
Gk+1(t) = Fk+1(y(t)) +
α0p(t)ϕ2(y(t))Mk(ϕ(y))
ϕ′(y(t))y′ 2(t)
при t ∈ [ty, ω).
Отсюда, замечая, что ϕ строго монотонна на I, а значит, y(t) = ϕ−1(z(t)), получаем
асимптотическое соотношение
z′2(t)
z2(t) |ϕ′(ϕ−1(z(t)))Mk(z(t))| =
α0ρ
λ − γk
p(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω (2.1)
и первое из условий (1.4).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
544 В. М. ХАРЬКОВ
Введем в рассмотрение функцию Pk(t) = 1−
(
z(t)Mk(z(t))
z′(t)
)′
. Дифференцируя выра-
жение в скобках, находим
Pk(t) = 1 + Mk(z(t))
(
z(t)z′′(t)
z(t)′2
− 1
)
−
k∑
s=1
Mk(z(t))∏s
r=1 Lr(z(t))
.
Используя это равенство, нетрудно показать, что функция Pk(t) при k ≥ 2 удовлетво-
ряет рекуррентному соотношению Pk(t) = Lk(z(t))(Pk−1(t) − 1), а при k = 1 Pk(t) =
= L1(z(t))
(
z(t)z′′(t)
z(t)′2
− 1
)
. Следовательно, функции Pk и Gk+1 на промежутке [ty, ω) рав-
ны. Отсюда и из определения P̃ k
ω (λ)-решения следует предельное соотношение
(
z(t)Mk(z(t))
z′(t)
)′
= (1 − λ)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.2)
Если ω = +∞, то, интегрируя это соотношение на промежутке [ty,+∞), получаем
z(t)Mk(z(t))
z′(t)
=
z(ty)Mk(z(ty))
z′(ty)
+ (1 − λ)t[1 + o(1)] = (1 − λ)t[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Если ω < +∞, то, интегрируя (2.2) от ω до t, имеем
z(t)Mk(z(t))
z′(t)
= C + (1 − λ)(t − ω)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Покажем, что здесь C = 0. Действительно, если C 6= 0, то
z′(t)
z(t)Mk(z(t))
= C−1 + o(1)
при t ↑ ω. Поскольку z(t) → ϕ0 при t ↑ ω, то
ln | . . . | ln |z(t)|||︸ ︷︷ ︸
k+1
→ ∞ при t ↑ ω, а значит,
интеграл от левой части предыдущего предельного равенства по промежутку [ty, ω) рас-
ходится, в то время как интеграл по этому же промежутку от правой части сходится.
Таким образом, для любого ω можем записать
z′(t)
z(t)Mk(z(t))
=
1 + o(1)
(1 − λ)πω(t)
при t ↑ ω, (2.3)
откуда следует соотношение
sign
z′(t)
z(t)
= sign [(1 − λ)πω(t)Mk(z(t))] при t ∈ [ty, ω).
Учитывая знак z′(t)/z(t) и полагая ̺ = sign [(1 − λ)πω(t)Mk(z(t))] , записываем (2.1) в
виде
z′(t)
z(t)
√
|ϕ′(ϕ−1(z(t)))Mk(z(t))|
= ̺
√
α0ρ
λ − γk
√
p(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 545
Поскольку для любых t ∈ [a, ω) и y ∈ I интегралы
t∫
a
√
p(τ) dτ и
ϕ(y)∫
z0
ds
s
√
|ϕ′(ϕ−1(s))|
конечны, из (2.4) получаем (1.5). Более того, так как lim
t↑ω
z(t) = ϕ0, из (2.4) также имеем
z(t)∫
B
ds
s
√
|ϕ′(ϕ−1(s))Mk(s)|
=
̺√
|λ − γk|
t∫
A
√
p(τ) dτ [1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.5)
Далее установим справедливость предельного равенства
lim
z→ϕ0
1√
|ϕ′(ϕ−1(z))Mk(z)|∫ z
B
ds
s
√
|ϕ′(ϕ−1(s))Mk(s)|
= −1
2
. (2.6)
Нетрудно проверить, что и числитель, и знаменатель дроби являются монотонными
функциями в окрестности точки ϕ0, следовательно, имеют конечный или бесконечный
предел при z → ϕ0. Вследствие выбора предела интегрирования B можем утверждать,
что знаменатель дроби стремится либо к нулю, либо к бесконечности. При этом стре-
миться к нулю он может только в случае сходимости интеграла
∫ z
B
ds
s
√
|ϕ′(ϕ−1(s))Mk(s)|
.
Отсюда, учитывая расходимость интеграла
∫ ϕ0
z0
ds
s
и существование предела
lim
z→ϕ0
ϕ′(ϕ−1(z))Mk(z),
получаем, что предел limz→ϕ0
1√
|ϕ′(ϕ−1(z))Mk(z)|
равен нулю. Таким образом, дробь в
левой части соотношения (2.6) при z → ϕ0 либо представляет собой неопределенность
вида
[
0
0
]
, либо ее знаменатель стремится к бесконечности, а значит, для нахождения ее
предела при z → ϕ0 допустимо правило Лопиталя. Используя это правило, нетрудно
проверить справедливость (2.6).
Из предельных равенств (2.4) – (2.6) следует соотношение
z′(t)
z(t)
=
(−2 + o(1))
√
p(t)
∫ t
A
√
p(τ) dτ
при t ↑ ω, (2.7)
которое влечет за собой
lim
t→ω
ln z(t)
ln
∣∣∣
∫ t
A
√
p(τ) dτ
∣∣∣
= −2
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
546 В. М. ХАРЬКОВ
и
Mk(z(t)) = (−2 + o(1))Mk
∣∣∣∣∣∣
t∫
A
√
p(τ) dτ
∣∣∣∣∣∣
при t ↑ ω. (2.8)
Отсюда, учитывая (2.3) и (2.7), получаем второе из условий (1.4).
Для завершения доказательства теоремы необходимо показать справедливость фор-
мул (6). Используя соотношения (2.5) и (2.6), имеем
ϕ′(y(t))Mk(ϕ(y(t))) =
4(λ − γk)
α0
(∫ t
A
√
p(τ) dτ
)2 (1 + o(1)) при t → ω,
из которого с учетом (2.3) и (2.8) следует (1.6).
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 1.2. Пусть λ ∈ R \ {1, γk} и выполняются условия (1.4), (1.5),
(1.7). Покажем, что существует P̃ k
ω (λ)-решение уравнения (1.1) с асимптотическими пред-
ставлениями (1.6).
Положим
H(y) =
ϕ′(y)
Mk(ϕ(y))
, J(t) = Mk
∣∣∣∣∣∣
t∫
A
√
p(τ) dτ
∣∣∣∣∣∣
t∫
A
√
p(τ) dτ, y ∈ I, t ∈ [a, ω). (2.9)
Покажем, что функция H(y) строго монотонна, а значит, обратима, в окрестности
точки y0. Для этого найдем H ′(y) :
H ′(y) =
ϕ′′(y)
Mk(ϕ(y))
−
ϕ′2(y)
k∑
s=1
Mk(ϕ(y))
Ms(ϕ(y))
ϕ(y)M2
k (ϕ(y))
.
Отсюда следует, что при y → y0
H ′(y) =
ϕ′2(y)
ϕ(y)Mk(ϕ(y))
[1 + o(1)],
т. е. H ′(y) 6= 0 в окрестности точки y0. Не ограничивая общности, можем полагать, что
H(y) обратима на всем промежутке I. Рассуждая аналогично, нетрудно проверить, что
функция J(t) будет строго монотонной в левой окрестности точки ω.
Далее, использовав условие (1.5), установим предельное равенство
lim
y→y0
H(y) = φ0, где φ0 =
0, если
ω∫
a
√
p(τ) dτ = ∞,
∞, если
ω∫
a
√
p(τ) dτ < ∞.
(2.10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 547
В случае сходимости интеграла
∫ ω
a
√
p(τ) dτ это равенство очевидно. В случае, ког-
да интеграл
∫ ω
a
√
p(τ) dτ расходится, применяя правило Лопиталя, нетрудно проверить
справедливость соотношения
lim
y→y0
|H(y)|−1/2
∫ ϕ(y)
z0
s−1|ϕ′(ϕ−1(s))Mk(s)|−1/2 ds
= ∞ при y → +∞,
из которого следует равенство (2.10). Из (2.10), в частности, следует существование точки
t0 ∈ [a, ω) такой, что выполняются условия
θ
t0∫
a
π−1
ω (s)
∣∣∣∣∣∣
Mk
∣∣∣∣∣∣
s∫
A
√
p(τ) dτ
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
1/2
ds > 1,
{
(λ − γk)(1 + v)
α0I2(t)
: t ∈ [t0, ω), v ∈ [−1/2, 1/2]
}
⊆ Im H(I).
Теперь с помощью преобразования
H(y(t)) =
λ − γk
α0J2(t)
(1 + u1(x)),
(2.11)
(ϕ(y(t)))′
ϕ(y(t))Mk(ϕ(y(t)))
=
1
(1 − λ)πω(t)
+
u2(x)
πω(t)
√
|Mk (ϕ(h(t)))|
,
где
x = θ
t∫
a
√
|Mk (ϕ(h(t)))|
πω(s)
ds и θ = signπω(t),
сведем уравнение (1.1) к системе
u′
1 = θ(1 + u1)
[
πω(t(x))G(u1, x)
Q(x)
+
N(u1, x)
Q2(x)
u2
]
,
u′
2 = θ
[
1
(1 − λ)
+ (λ − γk)(1 + u1)K(x) +
Fk+1(h(u1, x)) − 1
(1 − λ)2
+ (2.12)
+
(
2Fk+1(h(u1, x)) − 1 − λ
(1 − λ)Q(x)
+
πω(t(x))(Q2(x))′
2Q3(x)
)
u2 +
(Fk+1(h(u1, x)) − 1)u2
2
Q2(x)
]
,
в которой
h(u1, x) = H−1 (H(h(t(x)))(1 + u1)) , N(u1, x) = Mk(ϕ(h(u1, x))) + Fk+1(h(u1, x)) − 1,
K(x) =
π2
ω(t(x))p(t(x))
(
Mk
(∣∣∣
∫ t(x)
A
√
p(τ)dτ
∣∣∣
) ∫ t(x)
A
√
p(τ)dτ
)2 , Q(x) =
√
|Mk (ϕ (h(t(x))))|,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
548 В. М. ХАРЬКОВ
G1(u1, x) =
N(u1, x) − Mk(ϕ(h(t(x))))
(1 − λ)πω(t(x))
, G(u1, x) = G1(u1, x) + G2(x),
G2(x) =
2
√
p(t(x))
∫ t(x)
A
√
p(τ) dτ
1 +
k∑
i=1
1
Mi
(∣∣∣
∫ t(x)
A
√
p(τ) dτ
∣∣∣
)
+
Mk(ϕ(h(t(x))))
(1 − λ)πω(t(x))
и t = t(x) — функция, обратная к x = x(t), определенной в (2.11).
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (2.12) на множестве
Ω = [x0,+∞) × D1 × D2, где x0 = x(t0), Di =
{
ui : |ui| ≤
1
2
}
, i = 1, 2.
Из (1.1) и (1.2) следует, что правые части системы (2.12) непрерывны на этом множестве,
причем функция h(u1, x) непрерывно дифференцируема по первой переменной на D1 ×
×[x0, +∞).
Кроме того, в силу (1.2) – (1.4), (2.10) и правила Лопиталя
lim
x→+∞
K(x) =
1
(λ − 1)2
, lim
x→+∞
h(u1, x) = y0, lim
x→+∞
Fk+1(h(u1, x)) = γk,
(2.13)
lim
x→+∞
∣∣Mk(ϕ(h(u1, x))) − Mk(ϕ(h(t(x))))
∣∣
|Mk(ϕ(h(t(x))))| 12
= 0 равномерно по u1 ∈ D1.
Запишем систему (2.12) в виде
u′
1 = a11u1 + a12u2 + R11(x, u1, u2) + R12(x, u1, u2),
(2.14)
u′
2 = a21u1 + a22u2 + R21(x, u1, u2) + R22(x, u1, u2),
где
a11 = a22 = 0, a12 = θρL, a21 = θ
λ − γk
(1 − λ)2
,
R11(x, u1, u2) = θ
[
πω(t(x))G(u1, x)(1 + u1)
Q(x)
+
(
N(u1, x)
Q2(x)
− ρL
)
u2
]
,
R12(x, u1, u2) =
θN(u1, x)
Q2(x)
u1u2,
R21(x, u1, u2) = θ
[
1
1 − λ
+ (λ − γk)
(
K(x) +
(
K(x) − 1
(1 − λ)2
)
u1
)
+
+
Fk+1(h(u1, x)) − 1
(1 − λ)2
+
(
2Fk+1(h(u1, x)) − 1 − λ
(1 − λ)Q(x)
+
πω(t(x))S(x)
2Q3(x)
)
u2
]
,
R22(x, u1, u2) = θ
(Fk+1(h(u1, x)) − 1)u2
2
Q2(x)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 549
S(x) =
2(γk − λ)Q4(x)
√
p(t(x))
(
Mk
(∣∣∣
∫ t(x)
A
√
p(τ) dτ
∣∣∣
)
+
k∑
i=1
Mk
✏☞☞☞❘ t(x)
A
√
p(τ) dτ
☞☞☞
✑
Mi
✏☞☞☞❘ t(x)
A
√
p(τ) dτ
☞☞☞
✑
)
α0ϕ′(h(t(x)))N(0, x)
(∫ t(x)
A
√
p(τ)dτMk
(∣∣∣
∫ t(x)
A
√
p(τ)dτ
∣∣∣
))3 ×
×
k∑
i=1
Mk (ϕ(h(t(x))))
Mi (ϕ(h(t(x))))
.
Из соотношений (2.13) и условия (1.4) следует, что функции Rij(x, u1, u2), i, j = 1, 2,
удовлетворяют предельным равенствам
lim
x→+∞
Ri1(x, u1, u2) = 0 равномерно по (u1, u2) ∈ R
2
b0 ,
lim
|u1|+|u2|→0
Ri2(x, u1, u2)
|u1| + |u2|
= 0 равномерно по x ∈ [x0,+∞).
Рассмотрим теперь характеристическое уравнение предельной матрицы A :
µ2 − ρL(λ − γk)
(λ − 1)2
= 0.
Поскольку по условию теоремы λ ∈ R \ {1, γk} и ρL(λ− γk) > 0, это характеристическое
уравнение имеет только вещественные отличные от нуля корни. Значит, для системы
(2.14) выполнены все условия леммы 1 из работы [1]. Согласно этой лемме система (2.14)
имеет хотя бы одно решение, стремящееся к нулю при x → +∞. Ему в силу замен (2.11)
соответствует решение уравнения (1.1), допускающее при t ↑ ω асимптотические пред-
ставления (1.6). Нетрудно проверить, что данное решение принадлежит классу P̃ k
ω (λ).
Теорема 1.2 доказана.
В качестве иллюстрации полученного результата рассмотрим уравнение
y′′ = c eσ1tmtp eσ2|y|n |y|l, (2.15)
где α0 ∈ {−1, 1}, σ1, σ2, l, m, n, p, c ∈ R \ {0}, m, n > 0.
Установим асимптотические представления P̃ k
+∞(λ)-решений этого уравнения, стре-
мящихся к ±∞ при t → +∞.
Следствие. Для существования P̃ k
+∞(λ)-решений, λ ∈ R\
{
1, 1 − 1
n
}
, уравнения (2.15),
стремящихся при t → +∞ либо к +∞, либо −∞, необходимо, а если (m − n)σ2 > 0, то
и достаточно, чтобы выполнялись условия
σ1σ2 < 0, λ = 1 − 1
m
. (2.16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
550 В. М. ХАРЬКОВ
Более того, каждое такое решение допускает при t → +∞ асимптотические пред-
ставления
σ2|y(t)|n = −σ1 tm +
(
m
n
− ml
n
− p − 2
)
ln t + ln
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣
σ1
σ2
∣∣∣∣
1−l
n m(m − n)
n2c
∣∣∣∣∣+ o(1),
(2.17)
y′(t) = sign [c(m − n)]
m
n
∣∣∣∣−
σ1
σ2
∣∣∣∣
1
n
t
m−n
n (1 + o(1)).
Доказательство. Пусть уравнение (2.15) имеет P̃ k
+∞(λ)-решение, стремящееся к ±∞
при t → +∞. Тогда в силу (1.2), второго из условий (1.4) и предельного равенства
lim
t↑ω
πω(t)
√
p(t)
∫ t
A
√
p(τ)dτ ln
∣∣∣
∫ t
A
√
p(τ)dτ
∣∣∣
= lim
t→+∞
e
σ1
2
tmt
p
2
+1
∫ t
A e
σ1
2
τm
τ
p
2 dτ ln
∣∣∣
∫ t
A |c|1/2e
σ1
2
τm
τ
p
2 dτ
∣∣∣
= m
имеем k = 1, γ1 = 1− 1
n
и λ = 1− 1
m
. Далее, используя первое из условий (1.4), получаем
неравенство c(m−n) sign y > 0, откуда следует, что y0 необходимо полагать равным +∞,
если c(m − n) > 0, и −∞, если c(m − n) < 0.
Теперь рассмотрим интегралы
∫ +∞
a
e
σ1
2
τm
τ
p
2 dτ и
∫ ϕ0
z0
ds
s
√
|ϕ′(ϕ−1(s)) ln s|
, где z0 ∈
∈ (0,+∞), ϕ(y) = eσ2|y|n |y|l, ϕ0 = +∞, если σ2 > 0, и ϕ0 = 0, если σ2 < 0. Нетруд-
но проверить, что второй из этих интегралов сходится при ϕ0 = +∞ и расходится при
ϕ0 = 0. Отсюда, так как интеграл
∫ +∞
a
e
σ1
2
τm
τ
p
2 dτ сходится, если σ1 < 0, и расходи-
тся, если σ1 > 0, а σ1 по предположению отлично от 0, получаем, что условие (1.5)
эквивалентно условию σ1σ2 < 0. Значит, необходимость выполнения условий (2.16) для
существования P̃ k
+∞(λ)-решений, стремящихся к ±∞ при t → +∞, установлена.
Согласно теореме 1.1 каждое P̃ k
+∞(1−1/m)-решение допускает асимптотические пред-
ставления
eσ2|y|n |y|l−1 sign y =
(m − n)m
n2ceσ1tmtp+2
[1 + o(1)],
y′
eσ2|y|n |y|l =
m2nc
m − n
eσ1tmtp+1[1 + o(1)].
(2.18)
Учитывая, что |y(t)| → +∞ при t → +∞, и используя первое из представлений (2.18),
получаем соотношение σ2|y|n = −σ1t
m(1 + o(1)). Отсюда и из (2.18) непосредственно
следуют соотношения (2.17).
Для завершения доказательства следствия осталось показать, что (2.16) и неравенство
(m − n)σ2 > 0 являются достаточными условиями для существования P̃ k
+∞(λ)-решения,
стремящегося к y0 при t → +∞. Положим y0 = +∞, если c(m − n) > 0, и y0 = −∞, если
c(m−n) < 0. Такой выбор y0, а также (2.16) гарантируют выполнение условий (1.4), (1.5).
Кроме того, из (1.4) и неравенства (m − n)σ2 > 0 следует α0ϕ
′(y) > 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 551
Теперь установим справедливость предельного равенства (1.7). Используя правило
Лопиталя, нетрудно проверить справедливость предельного соотношения
t∫
A
e
σ1
2
τm
τ
p
2 dτ = e
σ1
2
tm
(
2
σ1m
t1−m+ p
2 − 4 − 4m + 2p
σ2
1m
2
t1−2m+ p
2 (1 + o(1))
)
при t → +∞.
Отсюда и из определения функции H(y) следует соотношение
σ2|h(t)|n + l ln |h(t)| = ln |H(h(t)|+ 1
n
ln | ln |H(h(t))||− lnn− 1
n
lnσ2 +o(1) при t → +∞.
Замечая, что lnϕ(h(t)) = σ2|h(t)|n+l ln |h(t)|, и принимая во внимание определение функ-
ции h(t), записываем правую часть (1.7) в виде
(
2πω(t)
√
p(t)
∫ t
A
√
p(τ)dτMk (ϕ (h(t)))
+
1
1 − λ
)
|Mk (ϕ (h(t))) |1/2 =
=
(
−m
1 + (p+2)n−m
nσ1
t−m ln t(1 + o(1))
+ m
)
|σ1|1/2tm/2(1 + o(1)) при t → +∞,
а значит, имеет место предельное равенство (1.7).
Таким образом, все условия теоремы 1.2 выполнены, и поэтому уравнение (2.15) имеет
решение, принадлежащее классу P̃ k
+∞(λ).
Следствие доказано.
Замечание. Рассмотрим уравнение
y′′ = −4t2e2t2e−|y|. (2.19)
Уравнение (2.19) является частным случаем уравнения (2.15) при c = −4, p = 2, σ1 =
= 2, m = 2, σ2 = −1, n = 1 и l = 0. При таких значениях параметров выполняются
условия (2.16), но неравенство (m − n)σ2 > 0 места не имеет. Тем не менее, покажем,
что уравнение (2.19) имеет решение из класса P̃ 1
+∞
(
1
2
)
, допускающее при t → +∞
асимптотические представления
y = −2t2 − 2 ln t + o(1),
(2.20)
y′ = −4t + o(1).
С помощью преобразования
y = −2t2 − 2 ln t + u1,
y′ = −4t + 2u2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
552 В. М. ХАРЬКОВ
сведем уравнение (2.19) к системе
u′
1 =
2
t
+ 2u2,
(2.21)
u′
2 = −2u1 − 2r(u1),
в которой r(u) = eu − 1 − u.
Теперь, используя замену переменных u1 = z1 cos 2t+z2 sin 2t, u2 = −z1 sin 2t+z2 cos 2t−
−1
t
, приводим систему (2.21) к виду
z′1 =
sin 2t
t2
+ 2 sin 2t r(z1 cos 2t + z2 sin 2t),
(2.22)
z′2 = −cos 2t
t2
− 2 cos 2t r(z1 cos 2t + z2 sin 2t).
И наконец, с помощью преобразования vi =
1
4
tzi, i = 1, 2, сведем (2.22) к системе
v′1 =
sin 2t
4t
+
1
t
v1 +
sin 2t
2
t r
(
4(v1 cos 2t + v2 sin 2t)
t
)
,
v′2 = −cos 2t
4t
+
1
t
v2 −
cos 2t
2
t r
(
4(v1 cos 2t + v2 sin 2t)
t
)
,
которая в силу теоремы 1.1 из работы [2] имеет решение, стремящееся к нулю при t →
→ +∞. Ему, как следует из приведенных выше замен, соответствует решение уравнения
(2.19), допускающее асимптотические представления (2.20). Нетрудно проверить, что ре-
шение будет принадлежать классу P̃ 1
+∞
(
1
2
)
.
Выводы. Полученные в работе результаты дополняют исследования уравнения (1.1),
приведенные в [3 – 6], где функции p(t) и ϕ(y) были в некотором смысле близки к степен-
ным функциям (т. е. γ 6= 1), либо ϕ(y) полагалась равной eσy. В работах [1, 7] изучены
асимптотические свойства Pω(λ)-решений уравнения (1.1), где λ ∈ R \ {1, γ, 2γ − 1}, либо
λ = ∞, а значит, при γ = 1 оставалось лишь дать ответ на вопрос о существовании и
асимптотическом поведении Pω(1)-решений уравнения (1.1). Для этого в настоящей ра-
боте введено в рассмотрение однопараметрическое семейство классов P̃ k
ω (λ)-решений
(k ∈ N), каждый из которого является подмножеством множества Pω(1)-решений. Для
этих классов при λ ∈ R \ {1, γk} получены необходимые и достаточные условия су-
ществования, а также найдены асимптотические при t → ω формулы для выражений
y′(t)/ϕ(y(t)) и ϕ′(y(t))/Mk (ϕ(y(t))) .
Из примера, приведенного в следствии, видно, как можно уточнить полученные в те-
ореме асимптотические представления в случае конкретного вида нелинейности. Кроме
того, показано, что достаточные условия из теоремы 1.2 могут быть ослаблены или, как
отмечено в замечании, могут совпадать с необходимыми.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . 553
1. Евтухов В. М., Харьков В. М. Асимптотические представления решений существенно нелинейных
дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. — 2007. — 43, № 10. —
С. 1311 – 1323.
2. Евтухов В. М. Об исчезающих на бесконечности решениях вещественных неавтономных систем квази-
линейных дифференциальных уравнений // Там же. — 2003. — 39, № 4. — С. 433 – 444.
3. Шинкаренко В. Н. Асимптотические представления решений дифференциального уравнения n-го по-
рядка с экспоненциальной нелинейностью // Нелiнiйнi коливання. — 2004. — 7, № 4. — С. 562 – 573.
4. Кирилова Л. О. Асимптотичнi властивостi розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого по-
рядку, якi близькi до рiвнянь типу Емдена – Фаулера // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2004.
— Вип. 228. — С. 30 – 35.
5. Евтухов В. М., Кирилова Л. А. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений
второго порядка // Дифференц. уравнения. — 2005. — 41, № 8. — С. 1053 – 1061.
6. Кирилова Л. А. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений второго поряд-
ка // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 1. — С. 18 – 28.
7. Харьков В. М. Асимптотические представления решений одного существенно нелинейного диффе-
ренциального уравнения второго порядка // Вестн. молодых ученых „Ломоносов”. — 2007. — 3. —
С. 243 – 247.
Получено 08.05.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
|