Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием
Для нечiтких диференцiальних рiвнянь iз загаюванням розглянуто питання обґрунтування схем повного та часткового усереднення на скiнченному промiжку.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178200 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием / О.Д. Кичмаренко, Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 316-328. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178200 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1782002021-02-19T01:27:17Z Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием Кичмаренко, О.Д. Скрипник, Н.В. Для нечiтких диференцiальних рiвнянь iз загаюванням розглянуто питання обґрунтування схем повного та часткового усереднення на скiнченному промiжку. For fuzzy differential equations with delay, we substantiate schemes for a complete and partial averaging over a finite interval. 2008 Article Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием / О.Д. Кичмаренко, Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 316-328. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178200 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для нечiтких диференцiальних рiвнянь iз загаюванням розглянуто питання обґрунтування схем
повного та часткового усереднення на скiнченному промiжку. |
| format |
Article |
| author |
Кичмаренко, О.Д. Скрипник, Н.В. |
| spellingShingle |
Кичмаренко, О.Д. Скрипник, Н.В. Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием Нелінійні коливання |
| author_facet |
Кичмаренко, О.Д. Скрипник, Н.В. |
| author_sort |
Кичмаренко, О.Д. |
| title |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием |
| title_short |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием |
| title_full |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием |
| title_fullStr |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием |
| title_full_unstemmed |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием |
| title_sort |
усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178200 |
| citation_txt |
Усреднение нечетких дифференциальных уравнений с запаздыванием / О.Д. Кичмаренко, Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 316-328. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kičmarenkood usrednenienečetkihdifferencialʹnyhuravnenijszapazdyvaniem AT skripniknv usrednenienečetkihdifferencialʹnyhuravnenijszapazdyvaniem |
| first_indexed |
2025-07-15T16:34:19Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:34:19Z |
| _version_ |
1837731425050165248 |
| fulltext |
УДК 517.9
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
О. Д. Кичмаренко, Н. В. Скрипник
Одес. нац. ун-т
Украина, 65026, ул. Дворянская, 2
e-mail: k.olga@paco.net
talie@ukr.net
For fuzzy differential equations with delay, we substantiate schemes for a complete and partial averaging
over a finite interval.
Для нечiтких диференцiальних рiвнянь iз загаюванням розглянуто питання обґрунтування схем
повного та часткового усереднення на скiнченному промiжку.
Работа L. A. Zadeh [1] (1965 г.) положила начало развитию теории нечетких множеств. В
1983 г. M. L. Puri и D. A. Ralescu [2] ввели понятие производной и интеграла для нечетких
отображений. В 1987 г. O. Kaleva [3] рассмотрел нечеткие дифференциальные уравнения,
которые в дальнейшем изучались в [4 – 7].
Основные определения и понятия. Пусть conv (Rn) — пространство непустых ком-
пактных выпуклых подмножеств Rn. Метрика в этом пространстве определяется с по-
мощью расстояния по Хаусдорфу
h(F,G) = max{sup
f∈F
inf
g∈G
||f − g||, sup
g∈G
inf
f∈F
||f − g||},
где под || · || понимается евклидова норма в пространстве Rn. |F | = h(F, 0) — модуль
множества F.
Введем в рассмотрение пространство En отображений u : Rn → [0, 1], удовлетворя-
ющих следующим условиям:
1) u нормально, т. е. существует вектор x0 ∈ Rn такой, что u(x0) = 1;
2) u нечетко выпукло, т. е. для любых x, y ∈ Rn и любого λ ∈ [0, 1] выполняется
неравенство u(λx + (1− λ)y) ≥ min{u(x), u(y)};
3) u полунепрерывно сверху, т. е. для любой точки x0 ∈ Rn и любого ε > 0 существует
δ(x0, ε) > 0 такое, что для всех x ∈ Rn, удовлетворяющих условию ‖x − x0‖ < δ, имеет
место неравенство u(x) < u(x0) + ε;
4) замыкание множества {x ∈ Rn : u(x) > 0} компактно.
Нулем в пространстве En является 0̂(y) =
{
1, y = 0,
0, y ∈ Rn\0.
Определение 1. α-Срезкой [u]α отображения u ∈ En при 0 < α ≤ 1 назовем множе-
ство {x ∈ Rn : u(x) ≥ α}. Нулевой срезкой отображения u ∈ En назовем замыкание
множества {x ∈ Rn : u(x) > 0}.
Теорема 1 [8]. Если u ∈ En, то:
c© О. Д. Кичмаренко, Н. В. Скрипник, 2008
316 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 317
1) [u]α ∈ conv (Rn) для всех 0 ≤ α ≤ 1;
2) [u]α2 ⊂ [u]α1 для всех 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ 1;
3) если {αk} ⊂ [0, 1] — неубывающая последовательность, сходящаяся к α > 0, то
[u]α =
⋂
k≥1
[u]αk .
Наоборот, если {Aα : 0 ≤ α ≤ 1}— семейство подмножеств Rn, удовлетворяющих
условиям 1 – 3, то существует u ∈ En такое, что [u]α = Aα для 0 < α ≤ 1 и [u]0 =
=
⋃
0<α≤1
Aα ⊂ A0.
Определим в пространстве En метрику D : En × En → [0,+∞), положив
D(u, v) = sup
0≤α≤1
h([u]α, [v]α).
Пусть I — промежуток в R.
Определение 2 [8]. Отображение F : I → En называется сильноизмеримым на I,
если для всех α ∈ [0, 1] многозначное отображение Fα(t) = [F (t)]α измеримо.
Определение 3 [8]. Отображение F : I → En называется интегрально ограничен-
ным на I, если существует интегрируемая по Лебегу функция k(t) такая, что ‖x‖ ≤
≤ k(t) для всех x ∈ F0(t).
Определение 4 [8]. Интегралом от отображения F : I → En по множеству I на-
зывается элемент G ∈ En такой, что [G]α =
∫
I Fα(t)dt для всех 0 < α ≤ 1, где интег-
рал от многозначного отображения Fα(t) понимается в смысле Ауманна [9].
Теорема 2 [8]. Если отображение F : I → En сильноизмеримо и интегрально огра-
ничено, то F интегрируемо на I.
Теорема 3 [8]. Пусть F,G : I → En интегрируемы на I и λ ∈ R. Тогда:
1)
∫
I
(F (t) + G(t))dt =
∫
I
F (t)dt +
∫
I
G(t)dt;
2)
∫
I
λF (t)dt = λ
∫
I
F (t)dt;
3) D
(∫
I
F (t)dt,
∫
I
G(t)dt
)
≤
∫
I
D(F (t), G(t))dt.
Определение 5 [8]. Отображение F : I → En называется слабонепрерывным в точ-
ке t0 ∈ I, если для любого фиксированного α ∈ [0, 1] и произвольного ε > 0 существует
δ(ε, α) > 0 такое, что h(Fα(t), Fα(t0)) < ε для всех t ∈ I таких, что |t− t0| < δ(ε, α).
Определение 6. Отображение F : I × En × . . . × En → En называется слабонепре-
рывным в точке (t0, x10, . . . , xm0) ∈ I × En × . . .× En, если для любого фиксированного
α ∈ [0, 1] и произвольного ε > 0 существует δ(ε, α) > 0 такое, что для всех t ∈ I,
xi ∈ En таких, что |t − t0| < δ(ε, α) и h([xi]α, [xi0]α) < δ(ε, α), i = 1,m, справедлива
оценка h([F (t, x1, . . . , xm)]α, [F (t, x10, . . . , xm0)]α) < ε.
Определение 7 [8]. Отображение F : I → En называется дифференцируемым в
точке t0 ∈ I, если для всех α ∈ [0, 1] многозначное отображение Fα(t) дифференцируе-
мо по Хукухаре [10] в точке t0, его производная равна DFα(t0) и семейство множеств
{DFα(t0) : α ∈ [0, 1]} определяет отображение F ′(t0) ∈ En.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
318 О. Д. КИЧМАРЕНКО, Н. В. СКРИПНИК
Если отображение F : I → En дифференцируемо в точке t0 ∈ I, то F ′(t0) называ-
ют нечеткой производной F (t) в точке t0.
Теорема 4 [8]. Пусть отображение F : I → En дифференцируемо и его нечеткая
производная F ′ : I → En интегрируема на I. Тогда для любого t ∈ I имеем
F (t) = F (t0) +
t∫
t0
F ′(s) ds.
Определение 8. Говорят, что отображение F : I × En × . . .× En → En удовлетво-
ряет условию Липшица по переменным x1, . . . , xm, если существует постоянная λ > 0
такая, что для любой пары (t, x1, . . . , xm), (t, y1, . . . , ym) ∈ I×En×. . .×En и всех α ∈ [0, 1]
выполняется неравенство
h([F (t, x1, . . . , xm)]α, [F (t, y1, . . . , ym)]α) ≤ λ
m∑
i=1
h([xi]α, [yi]α).
Очевидно, что если отображение F : I ×En× . . .×En → En удовлетворяет условию
Липшица по переменным x1, . . . , xm с постоянной λ > 0, то для любой пары (t, x1, . . . , xm),
(t, y1, . . . , ym) ∈ I × En × . . .× En имеет место неравенство
D(F (t, x1, . . . , xm), F (t, y1, . . . , ym)) ≤ λ
m∑
i=1
D(xi, yi).
Рассмотрим нечеткое дифференциальное уравнение с запаздыванием
x′(t) = F (t, x(t), x(α(t))), x(t0) = x0, (1)
где F : I × En × . . .× En → En, t0 ≤ α(t) ≤ t.
Определение 9. Отображение x : I0 → En, t0 ∈ I0 ⊂ I, называется решением
задачи (1), если оно слабонепрерывно и для всех t ∈ I0 удовлетворяет интегральному
уравнению
x(t) = x0 +
t∫
t0
F (s, x(s), x(α(s)))ds.
Теорема 5. Пусть F — слабонепрерывная функция в окрестности точки (t0, x0, x0),
удовлетворяющая условию Липшица с постоянной λ по всем переменным, начиная со
второй. Тогда существует единственное решение x(t) задачи (1) при t0 ≤ t ≤ t0 +σ, где
σ достаточно мало.
Схема полного усреднения. Рассмотрим нечеткое дифференциальное уравнение, со-
держащее переменное запаздывание
x′(t) = εF (t, x(t), x(α(t))) , x(0) = x0, (2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 319
где ε — малый параметр, t ∈ R+, x : R+ → En, F : R+ × En × En → En.
Поставим в соответствие уравнению (2) усредненное уравнение
y′(t) = εF (y(t), y(α(t))) , y(0) = x0, (3)
где
F (x, z) = lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
F (s, x, z)ds. (4)
Теорема 6. Пусть в области Q = {t ≥ 0;x, y ∈ S ⊂ En} выполнены следующие усло-
вия:
1) отображение F (t, x, z) слабонепрерывно по t, удовлетворяет условию Липшица
по x, z с постоянной λ, ограничено постоянной M, т. е.
D(F (t, x, z) , 0̂) ≤ M, D
(
F
(
t, x′, z′
)
, F
(
t, x′′, z′′
))
≤ λ
[
D
(
x′, x′′
)
+ D
(
z′, z′′
)]
;
2) предел (4) существует равномерно относительно x, z ∈ S, t ≥ 0;
3) функция α(t) равномерно непрерывна при t ≥ 0 и 0 ≤ α(t) ≤ t;
4) решение y(t) уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию y(0) = x0 ∈
∈ S′ ⊂ S, определено при t ≥ 0 и вместе с ρ-окрестностью принадлежит области S.
Тогда для любых η > 0 и L > 0 существует ε (η, L) такое, что при всех ε ∈ (0, ε0] и
t ∈
[
0, Lε−1
]
справедлива оценка
D (x(t), y(t)) ≤ η, (5)
где x(t), y(t) — решения уравнений соответственно (2) и (3) такие, что x(0) = y(0) =
= x0.
Доказательство. Предварительно заметим, что многозначное отображение F (y, z)
удовлетворяет условию Липшица по переменным y, z с постоянной λ и ограничено по-
стоянной M. Действительно, в силу условия 2 теоремы для любого δ > 0 можно указать
T (δ) > 0 такое, что при всех T ≥ T (δ) справедливы оценки
D(F (y, z), 0̂) ≤ D
F (y, z),
1
T
T∫
0
F (s, y, z)ds
+ D
1
T
T∫
0
F (s, y, z)ds, 0̂
<
< δ +
1
T
T∫
0
D(F (s, y, z), 0̂)ds ≤ δ + M,
D(F (y, z), F (y′, z′)) ≤ D
F (y, z),
1
T
T∫
0
F (s, y, z)ds
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
320 О. Д. КИЧМАРЕНКО, Н. В. СКРИПНИК
+ D
1
T
T∫
0
F (s, y, z)ds,
1
T
T∫
0
F (s, y′, z′)ds
+ D
F (y, z′),
1
T
T∫
0
F (s, y, z′)ds
<
< 2δ +
1
T
T∫
0
D(F (s, y, z), F (s, y′, z′))ds ≤ 2δ + λ
[
D(y, y′) + D(z, z′)
]
.
Поскольку значение δ произвольно, в пределе получим
D(F (y, z), 0̂) ≤ M, D(F (y, z), F (y, z′)) ≤ λ
[
D(y, y′) + D(z, z′)
]
.
Согласно определению решения уравнений (2) и (3) являются слабонепрерывными
функциями, удовлетворяющими интегральным уравнениям
x(t) = x0 + ε
t∫
0
F (s, x(s), x(α(s)))ds, y(t) = x0 + ε
t∫
0
F (y(s), y(α(s)))ds.
Тогда
D (x (t) , y (t)) = D
x0 + ε
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds, x0 + ε
t∫
0
F (y (s) , y (α (s))) ds
=
= εD
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds,
t∫
0
F (y (s) , y (α (s))) ds
≤
= εD
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds,
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds
+
+ εD
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
0
F (y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ελ
t∫
0
[D (x(s), y(s)) + D (x (α (s)) , y (α (s)))] ds + γ (ε) , (6)
где
γ(ε) = max
t
β(t, ε), β (t, ε) = εD
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
0
F (y (s) , y (α (s))) ds
.
Пусть
δ (t) = max
0≤s≤t
D (x(s), y(s)) . (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 321
Учитывая (7), записываем (6) в виде
δ (t) ≤ 2λε
t∫
0
δ(s)ds + γ (ε) . (8)
Разобьем сегмент
[
0, Lε−1
]
на m равных частей точками ti =
iL
mε
, i = 0,m. Пусть
t ∈ [tk, tk+1]. Оценим величину β (t, ε) , воспользовавшись свойствами метрики D :
β (t, ε) = εD
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
0
F (y (s) , y (α (s))) ds
=
= εD
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
F (s, y (s) , y (α (s))) ds +
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
F (y (s) , y (α (s))) ds +
t∫
tk
F (y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
D
ti+1∫
ti
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
ti+1∫
ti
F (y (s) , y (α (s))) ds
+
+ D
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
F (y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
D
ti+1∫
ti
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+ D
ti+1∫
ti
F (y (s) , y (α (s))) ds,
ti+1∫
ti
F (y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+D
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds,
ti+1∫
ti
F (y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+ εD
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
F (y (s) , y (α (s))) ds
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
322 О. Д. КИЧМАРЕНКО, Н. В. СКРИПНИК
≤ ε
k−1∑
i=0
2λ
ti+1∫
ti
[D (y(s), y (ti)) + D (y (α (s)) , y (α (ti)))] ds+
+D
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds,
ti+1∫
ti
F (y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+ εD
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
F (y (s) , y (α (s))) ds
. (9)
Оценим каждое из слагаемых в (9) отдельно:
ε
ti+1∫
ti
D (y (s) , y (ti)) ds = ε
ti+1∫
ti
D
y (ti) + ε
s∫
ti
F (y (τ) , y (α (τ))) dτ , y (ti)
ds =
= ε2
ti+1∫
ti
D
s∫
ti
F (y (τ) , y (α (τ))) dτ , 0̂
ds ≤
≤ ε2
ti+1∫
ti
s∫
ti
D
(
F (y (τ) , y (α (τ))) , 0̂
)
dτds ≤
≤ ε2M
2
(
L
εm
)2
=
ML2
2m2
. (10)
Аналогично в силу свойств модуля непрерывности ω функции α(t) получим
ε
ti+1∫
ti
D (y (α (s)) , y (α (ti))) ds = ε2
ti+1∫
ti
D
α(s)∫
α(ti)
F (y (τ) , y (α (τ))) dτ, 0̂
ds ≤
≤ ε2
ti+1∫
ti
Mω
(
α,
L
εm
)
dτ =
εLM
m
ω
(
α,
L
εm
)
≤
≤
(
1
εm
+ 1
)
εLM
m
ω (α, L) . (11)
В силу равномерной сходимости к среднему в (4) существует такая монотонно убываю-
щая функция Θ(t) → 0 при t → ∞, что
εD
ti+1∫
ti
F (s, y(ti), y(α(ti)))ds,
ti+1∫
ti
F (y(ti), y(α(ti)))ds
≤ L
m
Θ
(
L
εm
)
. (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 323
Поскольку правые части уравнений (2) и (3) ограничены постоянной M, то
εD
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
F (y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
t∫
tk
D
(
F (s, y (s) , y (α (s))) , F (y (s) , y (α (s)))
)
ds ≤
≤ ε
t∫
tk
[
D
(
F (s, y (s) , y (α (s))) , 0̂
)
+ D
(
F (y (s) , y (α (s))) , 0̂
)]
ds ≤
≤ 2Mε
t∫
tk
ds = 2
ML
m
. (13)
Следовательно, в силу (9) – (13) имеем
β (t, ε) ≤ λML2
m
+ 2λLM
(
1
m
+ ε
)
ω (α, L) + 2M
L
m
+ LΘ
(
L
εm
)
. (14)
Выберем m0 таким образом, чтобы выполнялось неравенство
λML2
m0
+
2λLM
m0
ω (α, L) +
2ML
m0
<
η
2e2λL
. (15)
Затем выберем ε0 так, чтобы
2λLMω (α, L) ε + LΘ
(
L
εm0
)
<
η
2e2λL
. (16)
Из (14) – (16) и (8) по лемме Гронуолла – Беллмана следует утверждение теоремы.
Схема частичного усреднения. Рассмотрим нечеткое дифференциальное уравнение,
содержащее переменное запаздывание (2). Поставим в соответствие уравнению (2) час-
тично усредненное уравнение
y′(t) = εG (t, y(t), y(α(t))) , y(0) = x0, (17)
где
lim
T→∞
D
1
T
t+T∫
t
F (s, x, z)ds,
1
T
t+T∫
t
G(s, x, z)ds
= 0. (18)
Теорема 7. Пусть в области Q = {t ≥ 0; x, z ∈ S ⊂ En} выполнены следующие усло-
вия:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
324 О. Д. КИЧМАРЕНКО, Н. В. СКРИПНИК
1) отображения F (t, x, z), G(t, x, z) слабонепрерывны по t, удовлетворяют условию
Липшица по x, z с постоянной λ, ограничены постоянной M, т. е.
D
(
F
(
t, x′, z′
)
, F
(
t, x′′, z′′
))
≤ λ
[
D
(
x′, x′′
)
+ D
(
z′, z′′
)]
,
D
(
G
(
t, x′, z′
)
, G
(
t, x′′, z′′
))
≤ λ
[
D
(
x′, x′′
)
+ D
(
z′, z′′
)]
,
D(F (t, x, z), 0̂) ≤ M, D(G(t, x, z), 0̂) ≤ M ;
2) предел (18) существует равномерно относительно x, z ∈ S, t ≥ 0;
3) функция α(t) равномерно непрерывна при t ≥ 0 и 0 ≤ α(t) ≤ t;
4) решение y(t) уравнения (17), удовлетворяющее начальному условию y(0) = x0 ∈
∈ S′ ⊂ S, определено при t ≥ 0, ε ∈ (0, σ] и вместе с ρ-окрестностью принадлежит
области S.
Тогда для любого η > 0, L > 0 существует ε(η, L) ∈ (0, σ] такое, что при всех
ε ∈ (0, ε0] и t ∈ [0, Lε−1] справедлива оценка
D(x(t), y(t)) ≤ η,
где x(t), y(t) — решения уравнений (2) и (17) соответственно.
Доказательство. Согласно определению решения уравнений (2), (17) являются слабо-
непрерывными функциями, удовлетворяющими интегральным уравнениям
x (t) = x0 + ε
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds, y (t) = x0 + ε
t∫
0
G (s, y (s) , y (α (s))) ds.
Тогда
D (x (t) , y (t)) = D
x0 + ε
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds, x0 + ε
t∫
0
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
=
= εD
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds,
t∫
0
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
≤
= εD
t∫
0
F (s, x (s) , x (α (s))) ds,
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds
+
+ εD
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
0
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ελ
t∫
0
[D (x(s), y(s)) + D (x (α (s)) , y (α (s)))] ds + γ (ε) , (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 325
где
γ(ε) = max
t∈[0,Lε−1]
β(t, ε), β (t, ε) = εD
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
0
G (s, y (s) , y (α(s))) ds
.
Пусть
δ(t) = max
0≤s≤t
D(x(s), y(s)). (20)
Учитывая (20), записываем (19) в виде
δ(t) ≤ 2λε
t∫
0
δ(s)ds + γ(ε). (21)
Разобьем сегмент [0, Lε−1] на m равных частей точками ti =
iL
mε
, i = 0,m. Пусть
t ∈ [tk, tk+1]. Оценим величину β(t, ε), воспользовавшись свойствами метрики D :
β (t, ε) = εD
t∫
0
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
0
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
=
= εD
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
F (s, y(s), y (α(s))) ds +
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
G (s, y (s) , y (α (s))) ds +
t∫
tk
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
D
ti+1∫
ti
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
ti+1∫
ti
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
+
+ D
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
D
ti+1∫
ti
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+ D
ti+1∫
ti
G (s, y (s) , y (α (s))) ds,
ti+1∫
ti
G (s, y (ti) , y (α (ti))) ds
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
326 О. Д. КИЧМАРЕНКО, Н. В. СКРИПНИК
+D
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds,
ti+1∫
ti
G (s, y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+ εD
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
k−1∑
i=0
2λ
ti+1∫
ti
[D (y(s), y (ti)) + D (y (α (s)) , y (α (ti)))] ds+
+D
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds,
ti+1∫
ti
G (s, y (ti) , y (α (ti))) ds
+
+ εD
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
. (22)
Оценим каждое из слагаемых в (22) отдельно:
ε
ti+1∫
ti
D (y (s) , y (ti)) ds = ε
ti+1∫
ti
D
y (ti) + ε
s∫
ti
G (τ, y (τ) , y (α (τ))) dτ , y (ti)
ds =
= ε2
ti+1∫
ti
D
s∫
ti
G (τ, y (τ) , y (α (τ))) dτ , 0̂
ds ≤
≤ ε2
ti+1∫
ti
s∫
ti
D
(
G (τ, y (τ) , y (α (τ))) , 0̂
)
dτds ≤
≤ ε2M
2
(
L
εm
)2
=
ML2
2m2
.
Аналогично, используя свойства модуля непрерывности, имеем
ε
ti+1∫
ti
D (y (α (s)) , y (α (ti))) ds = ε2
ti+1∫
ti
D
α(s)∫
α(ti)
F (Y (τ) , Y (α (τ))) dτ, 0̂
ds ≤
≤ ε2
ti+1∫
ti
α(s)∫
α(ti)
D
(
F (Y (τ) , Y (α (τ))) , 0̂
)
dτds ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 327
≤ ε2
ti+1∫
ti
Mω
(
α,
L
εm
)
dτ =
=
εLM
m
ω
(
α,
L
εm
)
≤
(
1
εm
+ 1
)
εLM
m
ω(α, L).
В силу равномерной сходимости к среднему в (18) существует такая монотонно убываю-
щая функция Θ(t) → 0 при t → ∞, что
εD
ti+1∫
ti
F (s, y (ti) , y (α (ti))) ds,
ti+1∫
ti
G (s, y (ti) , y (α (ti))) ds
≤ L
m
Θ
(
L
εm
)
.
Поскольку правые части уравнений (2) и (17) ограничены постоянной M, то
εD
t∫
tk
F (s, y (s) , y (α (s))) ds,
t∫
tk
G (s, y (s) , y (α (s))) ds
≤
≤ ε
t∫
tk
D (F (s, y (s) , y (α (s))) , G (s, y (s) , y (α (s)))) ds ≤
≤ ε
t∫
tk
[
D
(
F (s, y (s) , y (α (s))) , 0̂
)
+ D
(
G (s, y (s) , y (α (s))) , 0̂
)]
ds ≤
≤ 2Mε
t∫
tk
ds = 2
ML
m
. (23)
Следовательно,
β (t, ε) ≤ λML2
m
+ 2λLM
(
1
m
+ ε
)
ω (α, L) + 2M
L
m
+ LΘ
(
L
εm
)
. (24)
Выберем m0 таким образом, чтобы выполнялось неравенство
λML2
m0
+
2λLM
m0
ω (α, L) +
2ML
m0
<
η
2e2λL
. (25)
Затем выберем ε0 так, чтобы
2λLMω (α, L) ε + LΘ
(
L
εm0
)
<
η
2e2λL
. (26)
Из (24) – (26) и (21) по лемме Гронуолла – Беллмана следует утверждение теоремы.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
328 О. Д. КИЧМАРЕНКО, Н. В. СКРИПНИК
Замечания. 1. Теоремы 6 и 7 естественным образом распространяются на случай изме-
римых по t правых частей уравнений (2), (3) и (17).
2. В случае, когда правые части уравнений (2), (3) и (17) периодичны по t, в теоремах
6 и 7 можно получить более точные оценки.
1. Zadeh L. Fuzzy sets // Inform. and Contr. — 1965. — 8. — P. 338 – 353.
2. Puri M. L., Ralescu D. A. Differential of fuzzy functions // J. Math. Anal. and Appl. — 1983. — 91. — P. 552 –
558.
3. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1987. — 24, № 3. — P. 301 – 317.
4. Kaleva O. The Cauchy problem for fuzzy differential equations // Ibid. — 1990. — 35, № 3. — P. 389 – 396.
5. Laksmikantham V., Leela S., Vatsala A. S. Interconnection between set and fuzzy differential equations //
Nonlinear Anal. — 2003. — 54. — P. 351 – 360.
6. Seikkala S. On the fuzzy initial value problem // Fuzzy Sets and Systems. — 1987. — 24, № 3. — P. 319 – 330.
7. Song S. J., Wu C. X. Existence and uniqueness of solutions to Cauchy problem of fuzzy differential equations
// Ibid. — 2000. — 111. — P. 55 – 67.
8. Park J. Y., Han H. K. Existence and uniqueness theorem for a solution of fuzzy differential equations // Int. J.
Math. and Math. Sci. — 1999. — 22, № 2. — P. 271 – 279.
9. Aumann R. J. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. and Appl. — 1965. — 12. — P. 1 – 12.
10. Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe // Funkc. ekvaci-
oj. — 1967. — № 11. — P. 205 – 223.
Получено 11.02.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
|