О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса

О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса

Нехай S — скiнченна P-критична частково впорядкована множина (тобто частково впорядкована множина, критична вiдносно додатної визначеностi квадратичної форми Тiтса). Множину S назвемо слабкою P-критичною, якщо будь-яка нескiнченна частково впорядкована множина X ⊃ S мiстить P-критичну пiдмножину, як...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2008
1. Verfasser: Полищук, А.М.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2008
Schriftenreihe:Нелінійні коливання
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178205
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса / А.М. Полищук // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 396-408. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-178205
record_format dspace
spelling irk-123456789-1782052021-02-19T01:25:48Z О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса Полищук, А.М. Нехай S — скiнченна P-критична частково впорядкована множина (тобто частково впорядкована множина, критична вiдносно додатної визначеностi квадратичної форми Тiтса). Множину S назвемо слабкою P-критичною, якщо будь-яка нескiнченна частково впорядкована множина X ⊃ S мiстить P-критичну пiдмножину, яка не iзоморфна S. У статтi доведено iснування слабких P-критичних множин. Let S be a finite P-critical partially ordered set, is a partially ordered set that is critical with respect to positive definiteness of a quadratic Tits form. A set S is called weakly P-critical if any infinite partially ordered set X ⊃ S contains a P-critical subset that is not isomorphic to S. We give a direct proof of existence of weakly P-critical sets. 2008 Article О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса / А.М. Полищук // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 396-408. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178205 512.647.2+512.562 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Нехай S — скiнченна P-критична частково впорядкована множина (тобто частково впорядкована множина, критична вiдносно додатної визначеностi квадратичної форми Тiтса). Множину S назвемо слабкою P-критичною, якщо будь-яка нескiнченна частково впорядкована множина X ⊃ S мiстить P-критичну пiдмножину, яка не iзоморфна S. У статтi доведено iснування слабких P-критичних множин.
format Article
author Полищук, А.М.
spellingShingle Полищук, А.М.
О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
Нелінійні коливання
author_facet Полищук, А.М.
author_sort Полищук, А.М.
title О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
title_short О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
title_full О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
title_fullStr О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
title_full_unstemmed О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса
title_sort о слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы титса
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2008
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178205
citation_txt О слабых критических частично упорядоченных множествах относительно положительной определённости квадратичной формы Титса / А.М. Полищук // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 396-408. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT poliŝukam oslabyhkritičeskihčastičnouporâdočennyhmnožestvahotnositelʹnopoložitelʹnojopredelënnostikvadratičnojformytitsa
first_indexed 2025-07-15T16:34:40Z
last_indexed 2025-07-15T16:34:40Z
_version_ 1837731447170924544
fulltext УДК 512.647.2+512.562 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ТИТСА А. М. Полищук Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко Украина, 01107, Киев 127, просп. Акад. Глушкова, 6 e-mail: apol@ukr.net Let S be a finite P -critical partially ordered set, is a partially ordered set that is critical with respect to positive definiteness of a quadratic Tits form. A set S is called weakly P -critical if any infinite partially ordered set X ⊃ S contains a P -critical subset that is not isomorphic to S. We give a direct proof of existence of weakly P -critical sets. Нехай S — скiнченна P -критична частково впорядкована множина (тобто частково впоряд- кована множина, критична вiдносно додатної визначеностi квадратичної форми Тiтса). Мно- жину S назвемо слабкою P -критичною, якщо будь-яка нескiнченна частково впорядкована мно- жина X ⊃ S мiстить P -критичну пiдмножину, яка не iзоморфна S. У статтi доведено iснуван- ня слабких P -критичних множин. Квадратичные формы возникают и играют важную роль в различных областях матема- тики (алгебре, геометрии, теории дифференциальных уравнений, теории интегральных и функциональных уравнений, теории операторов и др., см., например, [1 – 21]). В этой ста- тье рассматриваются соответствующие частично упорядоченным множествам квадра- тичные формы, которые называют квадратичными формами Титса. 1. Предварительные сведения. Приведем некоторые определения и результаты, свя- занные с квадратичной формой Титса для частично упорядоченных множеств. 1.1. Форма Титса частично упорядоченных множеств. Пусть S — (конечное или беско- нечное) частично упорядоченное (сокращенно ч. у.) множество и Z — множество целых чисел. Рассмотрим в декартовом произведении ZS∪0 подмножество ZS∪0 0 , состоящее из всех векторов z = (zi) с конечным числом ненулевых координат. Квадратичной формой Титса для S называется форма qS : ZS∪0 0 → Z, задаваемая равенством qS(z) = z2 0 + ∑ i∈S z2 i + ∑ i<j,i,j∈S zizj − z0 ∑ i∈S zi (эта форма для конечных ч. у. множеств впервые рассматривалась в работе [22], а для бесконечных ч. у. множеств определена в работе [23]). Как и любая квадратичная фор- ма, форма Титса qS(z) называется положительно определенной, если qS(z) > 0 для всех ненулевых допустимых значениях z = (zi). Напомним еще некоторые определения. Говорят, что ч. у. множество S является суммой своих подмножеств A1 и A2, если S = = A1 ∪ A2 и A1 ∩ A2 = ∅. Если при этом элементы b ∈ A1 и c ∈ A2 всегда несравнимы, c© А. М. Полищук, 2008 396 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ . . . 397 то сумму называют прямой. Далее, согласно [24] сумма S = A1 + A2 называется левой (соответственно правой), если из b < c, где b и c принадлежат разным слагаемым, следует, что b ∈ A1 и c ∈ A2 (соответственно b ∈ A2 и c ∈ A1), и минимаксной, если для таких же b и c следует, что b является минимальным, а c — максимальным в S. Сумма называется односторонней, если она является левой или правой. Любое линейное упорядоченное множество называется также цепью, а ч. у. множе- ство с единственной парой несравнимых элементов — почти цепью. В работе [24] доказана следующая теорема. Теорема 1. Бесконечное ч. у. множество S имеет положительно определенную фор- му Титса в том и только в том случае, когда выполняется одно из следующих условий: 1) S — прямая сумма двух цепей; 2) S — односторонняя минимаксная сумма двух цепей; 3) S — прямая сумма цепи и почти цепи. Заметим, что в условиях 1 и 3 цепи могут быть пустыми. Графически ч. у. множества, указанные в условиях 1 – 3, имеют следующий вид: 1) 2) q q�� � � � � � � �� 3) q qq q�� @@ @@ �� где вертикальные линии являются цепями, а наклонные отрезки не содержат промежу- точных точек. Напомним что ч. у. множество с неположительно определенной формой Титса на- зывается P -критическим, если любое его собственное подмножество имеет положитель- но определенную форму Титса. В [24] указана некоторая конечная совокупностьX конечных P -критических ч. у. мно- жеств, такая, что любое бесконечное ч. у. множество, форма Титса которого не является положительной, содержит в качестве подмножества хотя бы одно X ∈ X . При этом X (состоящее из 17 ч. у. множеств) содержит не все P -критические множества; кроме то- го, оказалось, что X содержит собственное подмножество с теми же свойствами. Анализ этой ситуации привел к понятию слабо P -критических ч. у. множеств. Настоящая статья посвящена изучению таких множеств. 1.2. Описание P -критических ч. у. множеств. В работе [25] доказано, что произволь- ное P -критическое ч. у. множество является конечным. Все P -критические ч. у. множе- ства описывает следующая теорема. Теорема 2 [26]. Все (с точностью до изоморфизма и двойственности) P -критические ч. у. множества исчерпываются ч. у. множествами, которые указаны в следущей таб- лице: ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 398 А. М. ПОЛИЩУК s sss � � @ @ 1 ss s� � ss s2 ss ss� � ss 3 ss s � � � �ss s 4 s ss s � � � � � �� ss s5 s ss s � � � � � �� ss 6 s�� ss ss� � � � ss s7 s ss ss� � ss 8 s ss ss � �ss 9 s ss s � � � � ss ss 10 s ss s � � � � ss s s�� 11 s ss s � � � � ss s�� s 12 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ . . . 399 s ss s � � � � � � � � � �� ss ss 13 s ss s � � � � � � � � � �� ss s s�� 14 s ss s � � ss s s 15 s ss s � � � � � � � �ss s s 16 s ss s � � � � � � � � ss s s 17 s ss s � � � � � �� ssss 18 s ss s � � � � � ��ssss 19 s ss s � � � � ssss 20 s ss s � � s � � ss s 21 s ss s � � s � � s s s�� 22 s ss s � � s � �s s�� s 23 s ss s � � ss s � � � � � � � � s 24 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 400 А. М. ПОЛИЩУК s s ss � � s � � ss s 25 s ss s � � � � � � � �s � � � � � � � �ss s 26 s ss s � � � � � � � �ss s s�� 27 s ss s � � � � � �� s � � � � � �� s ss 28 s ss s � � � � s � � � � sss 29 s ss s� � @ @ 30 s ss sss 31 s s ss s � �s 32 s s ss s � � � � � � s 33 s ss ss� � � � s HH HH 34 s ss ss ss 35 s s ss s � � � � � �� ss 36 s s ss s � � � � � �� s � �s 37 s ss ss� � � � � ��ss 38 s ss ss� � � � s � � s s 39 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ . . . 401 s ss ss� � s � � s 40 s ss ss � � � �s�� s 41 s ss ss ss s42 s s ss s � � � � ss s43 s s ss s � � � � ss � �s 44 s s ss s � � � � s � �ss 45 s s ss s � � � � � � � � � �� ss s46 s ss ss� � ss s 47 s ss ss� � � � � � � � ss s 48 s s s ss� � � �s s s49 ss s s ss� � � � s s�� 50 s s s ss� � � �s ss 51 s ss s ss� � � � s s�� 52 s s s ss� � � �s ss53 s ss ss� � ss s54 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 402 А. М. ПОЛИЩУК s ss ss� � s � � ss 55 s ss ss� � � � � � � � s � � ss 56 s ss ss� � � � � ��s � � s s 57 s s ss ss � � � � � � ss 58 s s ss ss� � � � � �� � � � � ss 59 s s ss ss� � � � � � ss 60 s s ss ss� � � � � � � � ss 61 s s ss s s� � � � � � s s 62 s s ss s s � � � � � � ss 63 s s ss s s � � � � � � � � � � � ��ss 64 s ss ss� � s � � ss 65 s s s ss� � s�� ss 66 s ss ss� � s � � ss 67 s ss ss� � s � � s s�� 68 s ss ss� � s � � s s 69 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ . . . 403 ss ss ss� � s � � s�� 70 s ss ss� � s � � ss 71 s s ss ss � � � � � � � � ss 72 s s ss ss � � � � � �s s73 ss ss ss� � � � � � ss 74 s s s s 75 Ч. у. множество, которое указано в таблице под номером i, будем обозначать через Ki, а двойственное к нему — через Kop i . 2. Основной результат. P -критическое ч. у. множество S будем называть слабо P -критическим, если любое бесконечное ч. у. множество X ⊃ S содержит P -критическое подмножество, которое не изоморфно S (это определение предложил В. М. Бондарен- ко). Основным результатом данной статьи является следующая теорема. Теорема 3. Слабые P -критические ч. у. множества существуют. Заметим, что в силу теоремы 2 существование P -критических ч. у. множеств, ко- торые не являются слабыми P -критическими, очевидно. Например, таким является P - критическое ч. у. множество T30 = {1, 2, 3, 4 | 1 ≺ 4, 2 ≺ 4, 3 ≺ 4}, поскольку (содержа- щее его) бесконечное ч. у. множество T , которое получается из T30 заменой элемента 4 на бесконечное линейно упорядоченное множество 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ . . . , не содержит, очевидно, P -критических подмножеств, не изоморфных T30. Перейдем к доказательству теоремы. Шириной ч. у. множества S называется максимальное число его попарно несравни- мых элементов. Подмножество X ч. у. множества S будем называть нижним (соответ- ственно верхним), если x ∈ X всякий раз, когда x < y (соответственно x > y) и y ∈ X. Само множество S является, очевидно, как нижним подмножеством, так и верхним. Бу- дем счититать, что пустое подмножество также является нижним и верхним. Рассмотрим следущее ч. у. множество R : ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 404 А. М. ПОЛИЩУК e 1 e 2 e 4 e3 e 5 6 7 8 e e e � � � � � � @ @ @ @ @ @ Покажем, что это ч. у. множество является слабым P -критическим. Для этого нам понадобятся следующие леммы, которые легко доказываются про- стым перебором всех возможных случаев. Лемма 1. Нижние подмножества ширины w < 3 ч. у. множества R исчерпываются следующими множествами: U1 = ∅, U2 = {1}, U3 = {2}, U4 = {4}, U5 = {1, 2}, U6 = {1, 4}, U7 = {2, 4}, U8 = {1, 2, 3}, U9 = {2, 4, 5}, U10 = {2, 4, 5, 6}, U11 = {2, 4, 5, 6, 7}, U12 = {2, 4, 5, 6, 7, 8}. Лемма 2. Верхние подмножества ширины w < 3 ч. у. множества R исчерпываются следующими множествами: L1 = ∅, L2 = {3}, L3 = {8}, L4 = {3, 8}, L5 = {1, 3}, L6 = {7, 8}, L7 = {3, 7, 8}, L8 = {6, 7, 8}, L9 = {3, 6, 7, 8}, L10 = {5, 6, 7, 8}, L11 = {3, 5, 6, 7, 8}, L12 = {2, 3, 5, 6, 7, 8}, L13 = {4, 5, 6, 7, 8}, L14 = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}, L15 = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, L16 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Идея доказательства теоремы 3 состоит в следующем. Пусть T — бесконечное ч. у. множество, содержащее множество S. Поскольку для каждого элемента x ∈ T ч. у. множество {x}< = {y ∈ T | y < x} является нижним, а ч. у. множество {x}> = {y ∈ T | y > x} — верхним, в S существуют нижнее P и верхнее Q подмножества такие, что для некоторого бесконечного подмножества X в S = T \ S выполняется условие {x}< = P и {x}> = Q для любого x ∈ X. Так как можно считать, что ширина ч. у. множества T меньше 4 (иначе, X содержит P -критическое подмноже- ство, изоморфное K75), T содержит бесконечную цепь (линейно упорядоченное множе- ство). Будем считать, что само T является цепью. Итак, достаточно показать, что для каждой тройки P,Q,C, состоящей из нижнего подмножества P ⊆ R, верхнего Q ⊆ R и бесконечной цепи C, ч. у. множество R = = R(P,Q,C) = R∪C (R∩C = ∅), где {c}< = P и {c}> = Q для любого c ∈ C, содержит P -критическое ч. у. множество, не изоморфное R. При этом если w(P ) = 3 или w(Q) = 3, то R содержит P -критическое подмножество, изоморфное K30 или Kop 30 . А если w(P ) < 3 и w(Q) < 3, то нужно рассмотреть все случаи, когда P = Ui и Q = Lj (см. леммы 1 и 2); для фиксированных i и j этот случай будем обозначать через (i.j). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ . . . 405 Отметим, что случаи, когда Ui∩Lj 6= ∅, не рассматриваются, так как они невозможны (в противном случае для x ∈ Ui ∩ Lj и c ∈ C имеем x < c < x). По этой же причине невозможны случаи (i.j), когда Ui и Lj содержат пару несравнимых элементов x и y (x ∈ ∈ Ui, y ∈ Lj). Рассмотрим остальные случаи (i.j). В случаях (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.6), (1.7), (1.8), (1.9), (1.10), (1.11) подмножество, со- стоящее из элементов 1, 2, 4 и фиксированного элемента c ∈ C, изоморфно P -критичес- кому множеству K75. В случае (1.5) подмножество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4, 5 и фиксированных элементов c1, c2 ∈ C(c1 6= c2), изоморфно P -критическому множеству K57. В случае (1.12) подмножество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 5 и фиксированных (по- парно различных) элементов c1, c2, c3, c4 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству Kop 15 . В случае (1.13) подмножество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4, 5 и фиксированных элементов c1, c2, c3 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K56. В случае (2.1) подмножество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K42. В случае (2.2) подмножество, состоящее из элементов 2, 3, 4, 5 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K56. В случаях (3.1), (3.3), (3.6), (3.8) подмножество, состоящее из элементов 2, 3, 5 и фик- сированного элемента c ∈ C, изоморфно P -критическому множеству Kop 30 . В случаях (3.2), (3.4), (3.7) подмножество, состоящее из элементов 2, 5, 6 и фиксиро- ванных элементов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству Kop 17 . В случаях (3.9), (3.10), (3.11) подмножество, состоящее из элементов 4, 6, 7 и фиксиро- ванных элементов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K13. В случае (4.1) подмножество, состоящее из элементов 4, 5, 6, 7 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству Kop 9 . В случае (4.3) подмножество, состоящее из элементов 4, 5, 8 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K14. В случае (4.6) подмножество, состоящее из элементов 4, 5, 7 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K14. В случае (4.8) подмножество, состоящее из элементов 4, 5, 6 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K14. В случае (4.10) подмножество, состоящее из элементов 4, 5, 6 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4, c5 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K13. В случае (5.1) подмножество, состоящее из элементов 1, 2, 3 и фиксированного эле- мента c ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K1. В случае (5.2) подмножество, состоящее из элементов 2, 3, 5, 6, 7 и фиксированных элементов c1, c2 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству Kop 9 . В случае (6.1) подмножество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4, 5 и фиксированного элемента c ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K34. В случаях (7.1), (7.3), (7.6), (7.8) подмножество, состоящее из элементов 2, 4, 5 и фикси- рованного элемента c ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K1. В случае (7.10) подмножество, состоящее из элементов 2, 3, 4, 5 и фиксированных эле- ментов c1, c2, c3, c4 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K15. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 406 А. М. ПОЛИЩУК В случае (8.1) подмножество, состоящее из элементов 2, 3, 5, 6, 7 и фиксированных элементов c1, c2 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству Kop 9 . В случаях (9.1), (9.3), (9.6), (9.8), (10.1), (10.3), (10.6), (11.1), (11.3), (12.1) подмножество, состоящее из элементов 2, 3, 4, 5 и фиксированных элементов c1, c2, c3, c4 ∈ C, изоморфно P -критическому множеству K15. Теорема 3 доказана. 1. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Применение квадратичных форм к исследова- нию систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 1985. — 21, № 5. — С. 776 – 788. 2. Дрозд Ю. А. О ручных и диких матричных задачах // Матричные задачи. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1977. — С. 104 – 114. 3. Кочубей А. Н. Фундаментальные решения псевдодифференциальных уравнений, связанных с p-ади- ческими квадратичными формами // Изв. РАН. — 1998. — 62, № 6. — C. 103 – 124. 4. Brenner S. Quivers with commutativity conditions and some phenomenology of forms // Proc. Int. Conf. Represent. Algebras. — Ottawa, Ontario: Carleton Univ., 1974. — Paper № 5. 5. Bongartz K. Algebras and quadratic forms // J. London Math. Soc. — 1983. — 28, № 3. — P. 461 – 469. 6. Ringel C. M. Tame algebras and integral quadratic forms // Lect. Notes Math. — 1984. — 1099. — 376 p. 7. Corovei I. Some functional equations connected with quadratic forms // An. Numér. Théor. Approxim. — 1990. — 19, № 2. — P. 123 – 127. 8. Crandall M. G. Semidifferentials, quadratic forms and fully nonlinear elliptic equations of second order // Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéare. — 1989. — 6, № 6. — P. 419 – 435. 9. Gregory J. Generalized Fredholm quadratic forms and integral differential equations of the second kind // J. Math. Anal. and Appl. — 1970. — 70, № 1. — P. 120 – 130. 10. Al-Naggar I., Pearson D. B. Quadratic forms and solutions of the Schrödinger equation // J. Phys. A. — 1996. — 29, № 20. — P. 6581 – 6584. 11. Kohnen W. Special Siegel modular forms and singular series polynomials of quadratic forms // Contemp. Math. — 2004. — 344. — P. 229 – 236. 12. Bevelacqua A. J. Four dimensional quadratic forms over F (X) where I3 t F (X) = 0 and a failure of the strong Hasse principle // Communs Algebra. — 2004. — 32, № 3. — P. 855 – 877. 13. Teksan A. Representations of positive integers by a direct sum of quadratic forms // Results Math. — 2004. — 46. — P. 146 – 163. 14. Jaschke S., Keúppelberg C., Lindner A. Asymptotic behavior of tails and quantiles of quadratic forms of Gaussian vectors // J. Multivar. Anal. — 2004. — 88, № 2. — P. 252 – 273. 15. Li M., Dezhong C. Systems of Hermitian quadratic forms // Can. Math. Bull. — 2004. — 47, № 1. — P. 73 – 81. 16. Chan W. K., Peters M. Quaternary quadratic forms and Hilbert modular surfaces // Contemp. Math. — 2004. — 344. — P. 85 – 97. 17. Fang F., Pan J. Secondary Brown — Kervaire quadratic forms and π-manifolds // Forum Math. — 2004. — 16, № 4. — P. 459 – 481. 18. Alsina M., Bayer P. Quaternion orders, quadratic forms, and Shimura curves // CRN Monogr. Ser. — 2004. — 22. — 196 p. 19. Ateiwi A. M. A study of dichotomy of linear systems of difference equations using the quadratic forms // J. Fract. Calc. — 2004. — 25. — P. 93 – 100. 20. Shimura G. Arithmetic and analytic theories of quadratic forms and Clifford groups // Math. Surv. and Monogr. — 2004. — 109. — 275 p. 21. Hoffmann D. W., Lanhribi A. Quadratic forms and Pfister neighbors in characteristic 2 // Trans. Amer. Math. Soc. — 2004. — № 10. — P. 4019 – 4052. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 О СЛАБЫХ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ . . . 407 22. Дрозд Ю. А. Преобразования Кокстера и представления частично упорядоченных множеств // Функ- цион. анализ и его прил. — 1974. — 8. — C. 34 – 42. 23. Бондаренко В. М., Полищук А. М. О квадратичной форме Титса для бесконечных частично упорядо- ченных множеств // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. — 2002. — Вип. 7. — С. 3 – 8. 24. Бондаренко В. М., Полищук А. М. О критерии положительной определенности для одного класса бесконечных квадратичных форм // Нелiнiйнi коливання. — 2003. — 6, № 1. — С. 3 – 14. 25. Bondarenko V. M., Polishchuk A. M. On finiteness of critical Tits forms of posets // Proc. Fifth Int. Conf. „Symmetry in Nonlinear Math. Phys.”. — Kiev: Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine, 2004. — Pt 2. — P. 1061 – 1963. 26. Бондаренко В. М., Степочкина М. В. (Min, max)-эквивалентность частично упорядоченных множеств и квадратичная форма Титса // Проблеми аналiзу i алгебри: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2005. — 2, № 3. — С. 18 – 58. Получено 29.10.07 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3

Ähnliche Einträge